Kitabı oku: «Microeconomía del equilibrio general»

Índice de tablas

Unidad 2

Tabla 2.1. Problema del consumidor i = A, B en una economía de intercambio puro

Tabla 2.2. Datos del ejercicio de intercambio puro. Caso Cobb-Douglas

Tabla 2.3. Condiciones de primer orden de intercambio puro. Caso Cobb-Douglas

Unidad 3

Tabla 3.1. Funciones de utilidad, dotaciones iniciales y demandas ordinarias para los agentes en una economía de intercambio puro

Tabla 3.2. Demandas ordinarias en el óptimo de las mercancías por agente

Unidad 4

Tabla 4.1. Resultados óptimos para el productor y consumidor en el equilibrio general

Tabla 4.2. Cantidades de equilibrio en el mercado laboral y del bien de consumo bajo el modelo Arrow-Debreu

Unidad 5

Tabla 5.1. Resultados del modelo del equilibrio general con producción para los consumidores

Tabla 5.2. Resultados del modelo del equilibrio general con producción para la firma

Unidad 6

Tabla 6.1. Estructura intertemporal del modelo de generaciones traslapadas

Tabla 6.2. Resultados del modelo OLG de intercambio puro bajo economía financiera

Presentación

La ciencia económica analiza el comportamiento de las diferentes relaciones de intercambio que pueden entablar los agentes de un mercado; además, aborda cómo logran satisfacer las múltiples necesidades que generan utilidad en un contexto de recursos limitados e intereses individuales y colectivos. La microeconomía es una de las partes de la economía que se encarga de estudiar las decisiones de los consumidores, productores y demás agentes de ese mercado, cuyas relaciones permiten la formación de los precios.

El análisis de la microeconomía se enfoca en tres grandes vertientes: la primera estudia las decisiones económicas de los consumidores y los productores bajo el enfoque del equilibrio parcial, con el cual la oferta y la demanda determinan el precio con que se hacen los intercambios del bien o servicio que se transa. La segunda profundiza en el funcionamiento de los mercados de acuerdo con su estructura, en la que se distinguen dos casos principales: los mercados bajo competencia perfecta y los mercados donde existen fallos, como los monopolios, los oligopolios y la información asimétrica; en estos, la teoría de juegos es la principal forma de análisis y la información es fundamental para la toma de decisiones de los agentes. La tercera vertiente aborda el comportamiento de los agentes económicos con el enfoque del equilibrio general, planteado inicialmente por el economista francés León Walras en el siglo XIX. Con este, la demanda y la oferta de los bienes son influenciadas por los precios de otros bienes (sustitutos o complementarios) que existen en la economía y que tienen un mercado donde se transan.

En este sentido, el análisis del equilibrio general se aproxima a la determinación de precios a partir de la oferta y la demanda, no solo del bien analizado, sino de otros bienes que pueden suplir su función de satisfacer necesidades (bienes sustitutos) o que complementan la satisfacción de una o varias necesidades (bienes complementarios), con el enfoque neoclásico y los postulados de los mercados bajo competencia perfecta, donde ningún agente tiene influencia suficiente en la determinación de los precios, es decir, todos se consideran exógenos.

Así, los contenidos correspondientes a la teoría del equilibrio general, que conforman una gran parte del curso de Microeconomía III, incluido en la malla curricular del quinto semestre del programa de Economía de la Universidad de La Salle, se exponen aquí en seis unidades: en la 1 se repasa la teoría del consumidor, como fundamento para el desarrollo del modelo de intercambio puro en la unidad 2; en esta se explican los principales conceptos de análisis y representación, y se señalan los elementos matemáticos de optimización requeridos para el desarrollo inicial del modelo presentado.

La unidad 3 muestra de manera sucinta los dos teoremas del bienestar económico, a partir de la economía de intercambio puro y sus implicaciones para el equilibrio general con dos consumidores. La unidad 4 despliega el modelo del equilibrio general con producción, en el cual se tiene en cuenta todo lo desarrollado en las unidades anteriores. También incluye un breve repaso de las consideraciones más relevantes de la teoría del productor, sobre la base de los postulados planteados por Arrow y Debreu en 1954, con un ejemplo de dos agentes: un productor y un consumidor.

La unidad 5 presenta el modelo de equilibrio tipo Arrow-Debreu a partir de los postulados de los dos teoremas del bienestar económico. Además, amplía algunos elementos de análisis, por ejemplo, la existencia del equilibrio general, la unicidad de este y el proceso de formación de precios, conocido como tâtonnement lineal, con los diferentes factores que proporcionan las aplicaciones y los ejercicios matemáticos, a fin de que el estudiante ponga en práctica sus habilidades en el proceso operativo y, sobre todo, en el análisis económico del equilibrio general.

La unidad 6 muestra una extensión de la microeconomía del equilibrio general desde el modelo de generaciones traslapadas, en el cual las decisiones intertemporales de los consumidores y las posibilidades de ahorro e inversión en activos financieros permiten suavizar el consumo en el tiempo. Para finalizar, la unidad 7 propone algunos ejercicios dirigidos a que el estudiante los desarrolle con base en el libro. Los ejercicios se extrajeron de las referencias bibliográficas consultadas en la construcción del texto (se modificaron algunos enunciados).

Es importante aclarar que si bien este libro tiene como objetivo presentar la teoría del equilibrio general de una forma más amable que los textos tradicionales de microeconomía, no sustituye los planteamientos, desarrollos y análisis de estas fuentes, que se deben considerar abrebocas a las diferentes temáticas. Asimismo, se resalta el aporte de los libros clásicos de microeconomía, como los de Varian (1992, 2010), Villar (1999), Nicholson (2008), Samuelson y Nordhaus (2006), Pindyck y Rubinfeld (2013), Nicholson y Snyder (2015), y el de autores colombianos como Lozano et al. (2002), Lozano (2017) y Monsalve (2016, 2017), quienes, gracias a su experiencia e investigación en la academia, presentan de forma rigurosa la teoría microeconómica neoclásica estudiada en los últimos años.

Por otra parte, aquí se extiende un agradecimiento a la Universidad de La Salle, a los directivos de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, en la decanatura anterior y la actual (Adriana Patricia López y Diana Milena Carmona, respectivamente), así como al exdirector del programa de Economía, Jaime Alberto Rendón, y al actual director, Sander Alberto Rangel, con quienes se planeó y ejecutó este producto. También se agradece a Sebastián Chacón Marín, quien, desde la Escuela de Negocios y Sostenibilidad del Politécnico Grancolombiano, motivó el desarrollo de esta publicación en la elaboración de un módulo virtual sobre el equilibrio general. Además, se les hace un reconocimiento especial a todos los estudiantes de Microeconomía III del programa de Economía de la Universidad de La Salle, quienes desde el 2017 han vivido el equilibrio general de una forma cordial en la teoría, pero no tanto en el desarrollo de los talleres.

Los errores u omisiones que se den en el libro son responsabilidad única y exclusiva del autor; no corresponden ni comprometen a las instituciones para las cuales labora el autor (Universidad de La Salle, Unidad de Planificación Rural Agropecuaria y Politécnico Grancolombiano).

Unidad 1

Teoría del consumidor: conceptos básicos bajo la elección racional

La teoría del consumidor plantea un gran reto para el agente económico considerado: antes de tomar la decisión de comprar (demanda) debe tener en cuenta sus gustos por determinado bien o servicio, a partir de una cesta de consumo y la ordenación de sus preferencias, así como la cantidad de recursos económicos (monetarios) que dispone para su adquisición.

Con esta premisa, se parte del supuesto de que el consumidor es un agente que optimiza sus recursos en búsqueda de la satisfacción de sus gustos (necesidades), lo que permite utilizar los recursos de las matemáticas para tratar de encontrar ese óptimo. La estrategia es la maximización de la “utilidad” del consumidor, acorde al presupuesto disponible para dicho objetivo.

Lo expuesto implica que se deben analizar desde la microeconomía o teoría neoclásica los axiomas de las preferencias, la representación de una utilidad —desde una función matemática—, el presupuesto del agente representativo y los elementos matemáticos necesarios para su desarrollo, el cual tiene como resultado una función de demanda ordinaria de la cesta de consumo respectiva.

1.1. El consumidor representativo

El agente representativo del hogar o consumidor es un individuo que tiene un propósito de consumo unificado, quien, en competencia perfecta, “busca entender el proceso de formación de la demanda bajo los parámetros de la economía como ciencia natural” (Monsalve, 2016, p. 15); en esta, los consumidores son partículas y optimizan una función de utilidad, con el fin de obtener unas funciones de demanda.

Así, un plan de consumo —denominado también canasta o cesta— es un vector de mercancías en el conjunto de los números reales positivos ℝ+, el cual es no vacío, cerrado, convexo. En términos vectoriales, la cesta de consumo se define como x=(x1, x2, …, xn); x1 representa las cantidades de las n mercancías (bien o servicio) que puede comprar el consumidor o individuo representativo.

La teoría neoclásica dice que la función de utilidad se basa en el principio de que el consumo de un bien o servicio le genera “cierta felicidad” al individuo; por ende, los bienes o servicios son “útiles” para suplir una necesidad determinada. En este sentido, la utilidad se construye desde las preferencias de los individuos, lo cual implica revisar algunos axiomas que permiten identificar el proceso de elección a partir de la ordenación relativa de la multiplicidad de opciones o alternativas a la hora de consumir un bien o servicio.

1.2. Axiomas de las preferencias

El consumidor tiene múltiples opciones para elegir entre los diferentes bienes y servicios que existen en la economía; en consecuencia, debe ordenar las posibles elecciones acorde con las preferencias y las cestas de consumo disponibles. Se define una relación de preferencias (≿) sobre la cesta de consumo x: ≿ significa “ser al menos tan preferido como”; el símbolo ∼ corresponde a “tan bueno como” o indiferente. Esto permite plantear dos axiomas de orden y tres axiomas analíticos en un orden lexicográfico de las matemáticas, con base en lo planteado por Villar (1999) y retomado por Lozano (2017).

1.2.1. Axioma 1: completitud

Se dice que x1, x2 ∈ x es completa si se cumple que x1 ≿ x2, x2 ≿ x1 o ambas, lo que implica que “no pueden existir dos planes de consumo tales que ninguno de ellos sea al menos tan bueno como el otro”. Esto hace que el consumidor no “se declare indeciso entre cualquier par de planes de consumo” (Lozano, 2017, p. 103); es decir, “x1 es al menos tan preferido como x2” o viceversa, lo cual posibilita la comparación entre las mercancías de la cesta de consumo x. Por ende, cuando esta relación es completa, también es reflexiva: si x1 ~ x1, x2 = x1.

Sobre la base de lo planteado por Kreps (1995, p. 20), un consumidor puede elegir entre una cesta de consumo compuesta por botellas de cervezas y otra de botellas de vino. Si x1 =(40,2) y x2 =(20,8) son las cestas de comparación, el consumidor está en capacidad de ordenarlas y elegir a partir de su relación de preferencias ≿. Por otra parte, si un consumidor no es capaz de elegir una de las dos cestas, se puede declarar indiferente: x1 ~ x2, lo que involucraría que (40,2) ~ (20,8) desde las preferencias de este, las cuales involucran las cantidades que conforman cada cesta de comparación.

1.2.2. Axioma 2: transitividad

Se dice que x1, x2, x3 ∈ x es transitiva si x1 ≿ x2 y x2 ≿ x3; entonces, x1 ≿ x3. Esto significa que si el consumo de x1 es al menos tan bueno como x2 y x2 es al menos tan bueno como x3, x1 es al menos tan bueno como x3. El cumplimiento de los dos axiomas de orden se denomina preorden completo o relación racional, de acuerdo con lo expresado por Lozano (2017, p. 104), lo que necesariamente permite especificar dos aspectos adicionales en términos de las relaciones de preferencia.

Para x1, x2 ∈ x, se dice que x1 se prefiere ante x2 (x1 ≻ x2) si, y solo si, se cumple que x1 ≿ x2 y x2 ⋡ x1. Por otra parte, para x1, x2 ∈ x, se dice que x1 es indiferente a x2 (x1 ~ x2) o, lo que es igual, x2 es indiferente a x1 (x2 ~ x1); esto significa que x1 es igual a x2 en términos de preferencias (x1 = x2). Lo expuesto se enmarca en que la completitud de la relación ≿ implica que para cualquier par de planes de consumo x1 y x2 solo una de tres posibilidades mutuamente excluyentes ocurre: x1 ≻ x2, x2 ≻ x1 o x1 ~ x2 (Lozano, 2017, pp. 104-105).

1.2.3. Axioma 3: continuidad

Una relación de preferencias ≿ es continua si para todos los componentes de la cesta de consumo x (donde x ∈ ℝ+ ) los conjuntos de preferencias ≿ o ≾ en x son cerrados en ℝ+. De acuerdo con Lozano (2017), un conjunto cerrado se caracteriza porque “contiene todos sus puntos adherentes” (p. 41); es decir, “si dada una sucesión de puntos de” conjunto de las preferencias “que converja, su límite también será un elemento” de dicho conjunto. En este, las preferencias se pueden representar de manera numérica en una función de utilidad y asegurar “al menos una solución para todos los precios estrictamente positivos y niveles no negativos de renta” (Kreps, 1995, p. 35).

1.2.4. Axioma 4: convexidad estricta

De acuerdo con Villar (1999), la definición del axioma de convexidad estricta indica que si el consumo de una cesta xi es al menos tan preferido o al menos tan bueno como otra cesta x’i , todo consumo intermedio con ponderaciones positivas resultará preferido a x’i . Esto se sintetiza matemáticamente así: “definición 1: la relación de preferencias ≿i es estrictamente convexa si para todo xi, x’i ∈ X y para todo λ ∈ (0, 1), xi ≿i x’i ⟹ [λ xi + (1 - λ) x’i ] ≻i x’i ” (Villar, 1999, pp. 31-32). En términos prácticos, esto tiene tres implicaciones relevantes:

1. Los subconjuntos de cestas de consumo mejores o iguales a la cesta elegida también son conjuntos convexos1.

2. Las curvas de indiferencia, que representan las preferencias a partir de una función de utilidad, no pueden ser gruesas.

3. Las mencionadas curvas no deben contener tramos lineales, lo que implica que la curva de indiferencia “solo puede ser tangente en un punto a la restricción presupuestaria” (Villar, 1999, p. 30).

1.2.5. Axioma 5: monotonía

Se dice que una relación de preferencias es monótona cuando el consumidor analizado tiene una mejora en su bienestar al aumentar la cantidad de consumo de todas mercancías, lo cual necesariamente está relacionado con el concepto de no saciabilidad o insaciabilidad.

La no saciabilidad hace referencia a que un consumidor cualquiera preferirá siempre elegir “en un conjunto de oportunidades lo más grande posible” (Villar, 1999, p. 31). Esto se vincula con el problema económico de escasez en las mercancías —y los insumos con que se fabrican— y con las necesidades de los agentes —en este caso, los consumidores—, que se alinean con los múltiples deseos y aspiraciones en términos de bienestar.

Lo expuesto lo sintetiza Villar (1999): “un bien es deseable cuando el consumidor mejora al aumentar la cantidad consumida del mismo, sin disminuir las cantidades consumidas de los demás bienes” (p. 33), lo cual implica que si todas las mercancías son deseables, la relación de preferencias es monótona; pero no al contrario, a menos que se analice junto a los demás axiomas expuestos.

1.3. Utilidad y curva de indiferencia

El consumidor representativo de la economía bajo competencia perfecta mide de alguna manera su satisfacción, placer, felicidad y bienestar, a partir de una representación matemática o forma funcional relacionada con el consumo de una canasta o cesta de mercancías x. De acuerdo con Monsalve (2016), “esta es la ‘fuerza de atracción’ o ‘deseo de consumo’ hacia las diferentes combinaciones de bienes del mercado” (p. 16) e indica las preferencias de elección en función del consumo de mercancías.

El análisis gráfico de la función de utilidad que representa las preferencias del consumidor conlleva que se calcule una curva de nivel, en la cual se ven todas las cestas de consumo que tienen el mismo nivel de utilidad o, lo que es igual, que le generan el mismo grado de satisfacción al consumidor. Esta curva también se conoce como curva de indiferencia o isoutilidad. Aquí se representan las diferentes curvas de indiferencia que la teoría neoclásica ha adoptado de las matemáticas, con las funciones de utilidad del cálculo infinitesimal.

1.3.1. Función de utilidad tipo Cobb-Douglas: Ui (x1, x2 )= x1α x2β con α, β > 0

Esta función caracteriza la relación entre dos bienes o mercancías x1, x2 que componen la cesta de consumo x y tienen un grado de sustituibilidad entre ellos en términos brutos. Es importante recordar que dos bienes son sustitutos cuando al aumentar el precio de uno de ellos, se incrementa la cantidad demandada del otro. El grado de sustitución bruta está determinado por los parámetros α, β > 0. En este sentido, la sustitución entre x1, x2 no afecta el nivel de utilidad del consumidor (figura 1.1).

Figura 1.1. Función de utilidad tipo Cobb-Douglas

Fuente: el autor.

1.3.2. Función de utilidad tipo Leontief:

Ui (x1, x2) = Mín {αx1, βx2} con α, β > 0

Esta función identifica la relación entre dos mercancías x1, x2 que componen la cesta de consumo x y se consumen al mismo tiempo en proporciones fijas, acorde a los parámetros α, β; en la teoría económica, estas se denominan bienes complementarios perfectos. Dos bienes son complementarios si al aumentar el precio de uno de ellos, disminuye la cantidad demandada del otro. Son complementarios perfectos cuando las curvas de indiferencia tienen forma de ángulo recto (forma de L) y su relación marginal de sustitución es infinita (figura 1.2).

Figura 1.2. Función de utilidad tipo Leontief

Fuente: el autor.

1.3.3. Función de utilidad lineal:

Ui (x1, x2) = αx1 + βx2 con α, β > 0

Se refiere a las rectas de indiferencia que se forman cuando la relación entre dos mercancías x1, x2 que componen la cesta de consumo x corresponde a la sustituibilidad perfecta, es decir, se consume una mercancía o la otra, no ambas, y se mantiene la utilidad del consumidor constante. Los bienes sustitutos perfectos se caracterizan porque su relación marginal de sustitución es una constante. La decisión de consumir una mercancía y no ambas es el precio de mercado más bajo de las mercancías (figura 1.3).

Figura 1.3. Función de utilidad lineal

Fuente: el autor.

1.4. Restricción de presupuesto

Una vez consideradas las preferencias del consumidor, los axiomas que las caracterizan y su representación a partir de una función de utilidad, el segundo elemento del análisis en la elección racional es la recta de presupuesto que enfrenta el agente analizado. Dicha restricción tiene tres grandes componentes:

1. El ingreso del consumidor, que significa el poder de compra del individuo representativo al momento de tomar sus decisiones de demanda de la cesta de consumo x elegida.

2. Las demandas individuales de los bienes o mercancías, acorde a su cesta de consumo x= (x1, x2).

3. Los precios de mercado de los bienes que componen la cesta de consumo x, es decir, el vector p= (p1, p2): p1, p2 se asocian a las mercancías x1, x2, respectivamente.

Lo expuesto implica que los precios de las mercancías los determina el mercado, con base en la interacción entre los oferentes y demandantes de estas, bajo los supuestos de la competencia perfecta. La recta o restricción de presupuesto se define con una ecuación desde el punto de vista vectorial:

Donde:

I: ingreso del consumidor representativo, el cual es exógeno o dado.

px t: gasto del consumidor en las mercancías de la cesta de consumo.

En caso de dos mercancías, la restricción de presupuesto se corresponde con la ecuación de resta equivalente a p1 x1 + p2 x2 ≤ I. La restricción se plantea en términos de desigualdad, dado que un consumidor no puede gastar más del ingreso que percibe. Esto conlleva que el gasto debe ser menor o igual a dicho ingreso. Si el consumidor desea que su utilidad sea máxima, tiene que agotar todo su ingreso, por lo que la restricción se cumple en términos de igualdad, como se expresa en la ecuación p1 x1 + p2 x2 = I y se representa en la figura 1.4.

Figura 1.4. Restricción de presupuesto