Kitabı oku: «Tratados. Comentarios»

BIBLIOTECA CLÁSICA GREDOS, 333

Asesor para la sección griega: CARLOS GARCÍA GUAL .

Según las normas de la B. C. G., la traducción de este volumen ha sido revisada por M.^a LUISA PUERTAS CASTAÑOS .

© EDITORIAL GREDOS, S. A.

Sánchez Pacheco, 85, Madrid, 2005.

www.editorialgredos.com

REF. GEBO413

ISBN 9788424937096.

INTRODUCCIÓN GENERAL

ARQUÍMEDES

Vida de Arquímedes: datos biográficos y anécdotas literarias

Frente a la ausencia prácticamente total de datos con que nos encontramos al acercarnos a la biografía de Euclides, sobre Arquímedes, en comparación, estamos relativamente bien informados. No porque haya llegado hasta nosotros la biografía que Eutocio atribuye a un cierto Heraclidas, sino gracias, más bien, a las indicaciones del propio Arquímedes, las referencias historiográficas de Polibio y Tito Livio y el encomio literario de Plutarco, a lo que hay que sumar algunos datos transmitidos por Cicerón y por los matemáticos posteriores.

Sabemos con certeza que era natural de Siracusa y que su muerte se produjo durante el saqueo de esta ciudad en 212 a. C., en el transcurso de la Primera Guerra Púnica, tras ser tomada la ciudad por las tropas romanas comandadas por Marco Marcelo. Algunas noticias, aunque tardías, puesto que proceden de la época bizantina, afirman que falleció a los 75 años, de manera que se suele fechar su nacimiento en 287 a. C. El propio Arquímedes menciona a su padre, Fidias, y nos dice de él que era astrónomo y que había llevado a cabo una estimación de la relación entre los diámetros del Sol y la Luna ¹ : la ocupación del padre desempeñó seguramente un papel relevante en la formación primera y la vocación del hijo.

Diodoro de Sicilia ² atribuye a Arquímedes una estancia en Egipto, concretamente en Alejandría, y es probable que así fuera, puesto que como sede de la Biblioteca y el Museo era el lugar más adecuado para profundizar en el estudio de las matemáticas; además, Arquímedes deja en sus obras constancia de la relación que mantenía con algunos estudiosos de aquella ciudad a los que debió de conocer por entonces. Entre sus corresponsales alejandrinos constan los nombres de Conón, Dosíteo y Eratóstenes. El primero era un matemático y astrónomo famoso sobre todo por haber dado nombre a la constelación conocida como «Cabellera de Berenice». Arquímedes habla de él como «amigo y hombre que ha llegado a ser admirable en matemáticas» y afirma que solía «escribirle teoremas matemáticos que antes no habían sido estudiados», aunque no sabemos cuál pudo ser el contenido de esa correspondencia, pues no se nos ha conservado ningún testimonio directo de la misma. De Dosíteo sabemos que Arquímedes probablemente no había tenido trato personal previo con él, sino que decidió empezar a remitirle los resultados de sus investigaciones tras saber de la muerte de Conón y por haber oído que Dosíteo «había conocido a Conón y estaba familiarizado con la geometría». A éste le envió los dos libros de la Esfera y el cilindro y los tratados Sobre conoides y esferoides, Sobre las líneas espirales y la Cuadratura de la parábola ³ . En cuanto a Eratóstenes, el bien conocido matemático y filólogo, sucesor de Apolonio de Rodas en la dirección de la Biblioteca de Alejandría, se ha sugerido que la correspondencia de Arquímedes con él pudo nacer a raíz del renombre como matemático de que Eratóstenes hubo de gozar en Alejandría, cosa probable, puesto que antes de remitirle el Método le había enviado los enunciados de Método 1 y 2 invitándole «a descubrir sus demostraciones» que, hasta el momento, no le había comunicado; Arquímedes, además, le considera digno receptor de sus descubrimientos y capaz de obtener nuevos rendimientos de ellos, pues en la carta que precede al tratado afirma: «Y al ver, como digo, que eres estudioso y que destacas notablemente en filosofía y que aprecias la teoría matemática cuando es el caso, probé a escribirte y a definir en este mismo libro la peculiaridad de cierto método mediante el cual, cuando te lo haya proporcionado, te será posible disponer de recursos para poder estudiar algunos asuntos matemáticos por medio de la mecánica». Eratóstenes fue destinatario también del Problema de los bueyes , que Arquímedes le envió sin la solución (aunque no sabemos si lo hizo antes o después de enviarle el Método ) para que lo estudiara y lo sometiera a la consideración de los círculos alejandrinos de estudiosos de las matemáticas.

Una vez que Arquímedes regresó de Egipto a su patria, mantuvo cierta relación con Hierón, tirano de Siracusa —tal vez por estar emparentado con él, como sugiere Plutarco ⁴ — y varias anécdotas ponen en conexión a ambos personajes. La más conocida cuenta que en una ocasión Arquímedes le había escrito que era posible mover mediante una fuerza dada un peso dado; tan convencido estaba de su aserto que incluso aseguraba que si le dieran otra Tierra, tras pasar a aquélla movería ésta (la versión más conocida y abreviada de esta anécdota atribuye a Arquímedes la frase «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo»). Hierón le pidió una demostración; Arquímedes hizo sacar a tierra, con gran esfuerzo y ayuda de gran número de hombres, una nave de tres palos de la flota real e introdujo en ella carga y tripulación; luego «él, sentado fuera, no con esfuerzo, sino poniendo en marcha tranquilamente con la mano un mecanismo de varias poleas, la atrajo hacia sí suavemente y sin sacudidas, como si avanzara por el mar» ⁵ .

Otra de las anécdotas en las que participa Hierón cuenta que el tirano deseaba consagrar a los dioses una corona votiva y para ello entregó el oro al orfebre; la corona, una vez realizada, pesaba lo mismo que el metal entregado, pero Hierón sospechaba que una parte del oro había sido sustituida por plata; para salir de dudas solicitó de Arquímedes que ideara un medio para comprobarlo. Mientras se ocupaba mentalmente en esta tarea, Arquímedes tomaba un baño: a medida que se sumergía, el agua iba desbordándose de la bañera, y ese hecho es el que le sugirió la solución del problema. Emocionado por el hallazgo, salió corriendo desnudo como estaba al tiempo que gritaba: ¡Heúrēka, heúrēka! («¡Lo encontré, lo encontré!»); a continuación, puso a prueba su intuición sumergiendo en una vasija llena de agua volúmenes de oro y de plata de peso igual al de la corona y haciendo lo mismo con ésta; comparando los volúmenes de agua desplazados calculó el porcentaje de cada metal que había en la joya y demostró el engaño del orfebre ⁶ .

Estas notabilísimas muestras de inventiva fueron, según Plutarco, las que impulsaron a Hierón a encargarle las tareas de ingeniería que más tarde, cuando los romanos atacaron Siracusa, serían de tanta utilidad a la ciudad y fuente de tanta fama para el matemático.

Polibio, que fue apenas una generación posterior a Arquímedes y pudo, por tanto, conocer los hechos por testimonios muy próximos —si no directos— describe el detalle de las acciones bélicas en un largo pasaje cuyas noticias recoge en su obra Tito Livio, quien, por su parte, añade el relato más antiguo sobre la muerte del matemático. Plutarco, aproximadamente un siglo más tarde, compone con esos mimbres el cesto de su encomio historiográfico-literario ⁷ , amenísimo y colmado de anécdotas… difícilmente contrastables.

Gracias a estos autores sabemos que durante esa campaña, en efecto, Arquímedes desempeñó un importante papel en la defensa de su ciudad natal mediante el empleo de ingenios que él había ideado y fabricado: máquinas que lanzaban a gran distancia grandes piedras que hundían las naves; otras que disparaban a menor distancia proyectiles menores destinados a los soldados atacantes; manos de hierro que, accionadas mediante un contrapeso de plomo, agarraban las naves romanas cuando se acercaban con sus «arpas» ⁸ y las suspendían con la proa en el aire para luego dejarlas caer de golpe con severos daños para las embarcaciones y el consiguiente espanto de soldados y tripulantes. Una fuente tardía pero no exenta de credibilidad, el matemático e ingeniero Antemio de Trales (s. VI ), que fue uno de los arquitectos de Santa Sofía, refiere que Arquímedes consiguió incendiar las naves romanas mediante otro invento aún más llamativo, el de los «espejos ustorios» ⁹ . Según él, lo consiguió no por medio de un espejo parabólico, sino mediante un artilugio formado por veinticuatro espejos planos. Este último relato, a pesar de contar con el apoyo de algunas otras fuentes, ha hecho correr ríos de tinta, casi siempre con el encarnizado propósito no ya de negarlo, sino de demostrar su imposibilidad desde el punto de vista de la física y la técnica ¹⁰ . Desde el punto de vista filológico, lo que más crédito resta a las fuentes que transmiten esta noticia es el hecho de que los autores más antiguos —Polibio, Tito Livio, Plutarco— no mencionen esta invención. Luciano de Samosata, que es el primero en hacer referencia al asunto, dice sólo que «prendió fuego a las trirremes de los enemigos gracias a su arte (têi téchnēi )» ¹¹ , sin mencionar los espejos, y Galeno emplea la expresión equívoca dià tôn pyríōn , que tanto puede referirse a «espejos ustorios» como a «materias inflamables».

Sea lo que fuere de esa cuestión, la situación de la empresa bélica contra Siracusa vino a ser tal que Marco Marcelo tuvo que renunciar al ataque por mar; Polibio dice que «se llevó un gran disgusto, pero al cabo se mofó de sus propias acciones y dijo que Arquímedes con las naves romanas sacaba el agua para mezclar con el vino, y que sus arpas, caídas en desgracia, habían quedado excluidas del banquete» ¹² . En el ataque por tierra sucedieron cosas muy semejantes, de manera que las tropas romanas, cuenta Plutarco, «si se veía un cable o un madero que sobresalía un poco por encima de la muralla, gritando que Arquímedes ponía en marcha otro ingenio contra ellos, se retiraban y huían» ¹³ .

A pesar de las máquinas de Arquímedes, que hicieron imposible consumar el asalto de la ciudad, Marco Marcelo logró al fin tomarla por asedio. En medio de la confusión provocada por los soldados entregados al pillaje, Arquímedes, indiferente, estaba inclinado sobre unos dibujos que había trazado cuando uno de los soldados, tras una disputa, lo mató. Marcelo se disgustó por ello, pues quería haber conocido al hombre que le puso en tantas dificultades, y se encargó de avisar a sus parientes y de que se le diera sepultura como convenía a hombre tan notable. Plutarco nos transmite que era deseo de Arquímedes que en su tumba figurara la relación entre el cilindro y la esfera inscrita en él, relación que Arquímedes había descubierto y demostrado, según figura en el tratado Sobre la esfera y el cilindro . Y cuenta Cicerón que cuando él fue a Sicilia como cuestor en el año 75 a. C., consiguió encontrar, cerca de la puerta de Acradina, una columna sepulcral oculta bajo la maleza en la que, efectivamente, estaban representadas la esfera y el cilindro ¹⁴ .

Los relatos que hemos referido han conformado durante siglos la fama de Arquímedes, y no podemos dejar de señalar que incluso la literatura de divulgación de nuestros días —y en ella incluyo las informaciones que circulan por la red— hace más hincapié en esos puntos que en cualesquiera otros relativos al matemático. Sin embargo, no cabe dejar de lado la consideración de que era tradicional en la literatura biográfica de la Antigüedad la invención de anécdotas que permitieran situar cronológicamente al biografiado o poner de relieve sus logros o las características más destacadas del personaje ¹⁵ : y sucede que las anécdotas relatadas vienen, precisamente, a resaltar los principales descubrimientos de Arquímedes. El «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo» nos recuerda que fue Arquímedes el primero en formular matemáticamente la ley de la palanca; el Heúrēka , que fue el descubridor del primer principio de la hidrostática; los espejos ustorios nos deberían llevar a considerar sus trabajos en materia de catóptrica —aunque perdidos, sabemos que él fue el primero en observar la refracción de la luz—; la inscripción funeraria sobre el cilindro y la esfera nos remite a sus descubrimientos sobre el volumen y la superficie de la esfera… La «muerte entre los círculos» es paralela al despiste de Tales, que cayó en un pozo mientras observaba las estrellas, con gran regocijo de la esclava que lo atendía, con lo que nos los representamos como «sabios despistados», más interesados en su mundo intelectual que en las banalidades de la existencia cotidiana. Y obsérvese que todas estas anécdotas pueden resumirse en poquísimas palabras; a veces, incluso, en una sola frase. De modo que alguna sospecha sí que cabe sobre si estos relatos son testimonio de los hechos de la vida del matemático o muestra de la maestría de la Antigüedad en materia de invención biográfica y de recursos mnemotécnicos.

Pero haya en ellos lo que haya de veracidad, no podemos perder de vista que contienen las referencias más difundidas sobre la vida del matemático. Otras fuentes algo menos conocidas atribuyen a Arquímedes tres llamativas construcciones mecánicas más: el tornillo de Arquímedes, un planetario y un órgano hidráulico.

El kochlías o tomillo de Arquímedes era un mecanismo para extraer agua de lugares inundados que, según diversos testimonios, Arquímedes puso en funcionamiento en Egipto para regar terrenos a los que no alcanzaban las crecidas del Nilo y que también se utilizó en las minas de Hispania para extraer el agua de las galerías inundadas. Respecto al planetario, Cicerón nos ha conservado una descripción ¹⁶ : en él, al ponerse el Sol en movimiento, la Luna y los planetas reproducían el mismo movimiento que cursarían en un día respecto de una bóveda de estrellas fijas: unos versos de Claudio Claudiano (Carmina Minora LI) narran la sorpresa de Júpiter al ver el mundo reproducido por obra de un ser humano ¹⁷ . En cuanto al órgano hidráulico, estamos aún peor informados: sólo Lactancio lo menciona y lo hace para comparar con él la naturaleza del alma: igual que el órgano es uno, a pesar de estar compuesto de muchas partes, así también el alma, a pesar de la variedad de sus funciones, es sólo una.

Por otro lado, las fuentes antiguas nos hablan de la existencia de planetarios y órganos hidráulicos en fechas más antiguas, de manera que la atribución a Arquímedes de estos dos mecanismos debemos interpretarla más bien en el sentido de que llevó a cabo modelos especialmente bien logrados de inventos ya conocidos; en cuanto al kochlías , Ateneo y Diodoro dicen que fue invención suya, pero un testimonio de Estrabón ¹⁸ , en el que describe un ingenio semejante sin atribuírselo a Arquímedes hace dudosa esta afirmación.

Como vemos, la fama más extendida sobre Arquímedes no hace referencia tanto a su labor de geómetra como a su inventiva en el terreno de la ingeniería, y esa fama, nacida en la Antigüedad, se prolongó a lo largo de toda la Edad Media. Sin embargo, si escribió algo sobre esas materias no nos ha llegado noticia. Según Plutarco —pero ya venimos viendo que las versiones de los hechos que este autor nos ofrece son muy personales y no siempre están del todo libres de intención literaria ni de prejuicio— estas ocupaciones no eran para él más que entretenimientos sobre los que no quiso dejar ningún escrito «considerando innoble y menestral el ocuparse de la mecánica y, en general, de cualquier arte que tocara la utilidad» ¹⁹ .

Obras

Las obras que se nos han conservado de Arquímedes son todas de carácter teórico, dedicadas unas a la geometría y otras a la física matemática. En griego se nos han conservado los dos libros Sobre la esfera y el cilindro, Sobre la medida del círculo , Sobre conoides y esferoides, Sobre las espirales , los dos libros Sobre el equilibrio de las figuras planas , el Arenario , la Cuadratura de la parábola , los dos libros Sobre los cuerpos flotantes , el Stomachion , el Método , el Problema de los bueyes y breves fragmentos —o resúmenes— de sus trabajos sobre los polígonos semirregulares y sobre catóptrica.

Desde ahora hay que hacer constar que una ojeada somera a los textos nos hace ver que la mayor parte de las obras no nos han llegado completas ni con los ipsissima verba que Arquímedes empleó para redactarlas. Unas tienen carácter fragmentario por causa del deterioro del soporte escriptorio: tal es el caso del Método , el Stomachion o el libro II de los Cuerpos flotantes , transmitidas de modo incompleto por un único manuscrito, el famoso palimpsesto de Jerusalén, o de los dos libros Sobre los cuerpos flotantes , de los que algunas partes sólo nos han llegado en versión latina. Otras han padecido resúmenes y refecciones en el curso de sucesivas adaptaciones a su uso escolar, como se evidencia en la Medida del círculo y en las obras transmitidas en árabe. Muchas, como consecuencia de la desaparición de los antiguos dialectos, han perdido el original dorio de Siracusa en que Arquímedes escribía para ser vertidas a la koinè diálektos , el «dialecto común», generalizado a partir de la época helenística en la expresión literaria y que, al evolucionar, produciría el griego bizantino y el griego moderno: así ha sucedido con la Esfera y el cilindro , la Medida del círculo , la Cuadratura de la parábola , el Stomachion , el Método y el Problema de los Bueyes .

Aún así, el corpus de obras conservadas nos da pie más que suficiente para reconocer los dos rasgos más característicos de la obra de Arquímedes: profundidad y originalidad, perceptibles tanto en los temas abordados como en los métodos empleados. Ambas peculiaridades están en relación directa con una tercera característica: no son, como los Elementos de Euclides o las Cónicas de Apolonio, recopilaciones de descubrimientos matemáticos anteriores, ordenadas y completadas por sus autores con finalidad principalmente didáctica; los escritos de Arquímedes son verdaderos ensayos científicos, destinados a dar a conocer a la comunidad matemática los nuevos descubrimientos realizados por su autor.

Algunos de ellos derivan de las líneas de investigación emprendidas y proseguidas en la matemática griega, como ocurre con la Medida del círculo , que pretendía —y consiguió— dar solución a uno de los tres problemas clásicos de la matemática griega mediante la intuición de renunciar a la cuadratura estricta e intentar la triangulación y el recurso al método «de compresión» ²⁰ , o con la Cuadratura de la parábola , en esa misma tradición de buscar equivalencias entre áreas de figuras planas y figuras curvilíneas, la clase de problemas que suelen llamarse «de aplicación de áreas»; relacionado en cierto modo con esa clase de problemas está también el Stomachion , juego ²¹ elevado a la categoría de problema geométrico en el que se pretende dividir un cuadrado —o un rectángulo— de tal manera que las figuras resultantes de la división sean o bien iguales y semejantes o bien susceptibles, tomadas de dos en dos, de sustituir a otra u otras dos de las figuras, siempre dentro del cuadrado o el rectángulo inicial. Siguiendo aún la línea pitagórica de encontrar equivalencias entre figuras, como lo habían hecho otros matemáticos antes que él ²² , pero ahora en el terreno de los sólidos, tenemos los dos libros Sobre la esfera y el cilindro y el tratado Sobre conoides y esferoides .

El resto de sus obras se apartan de la tradición geométrica más clásica para adentrarse en territorios apenas explorados: Sobre las líneas espirales se ocupa del estudio de la curva que hoy recibe el nombre de «espiral de Arquímedes», curva de generación mecánica ideal descrita por un punto que se mueve a velocidad uniforme sobre una semirrecta que, a su vez, se desplaza radialmente en tomo a su origen. La originalidad del tratado radica en que la matemática griega no había llevado a cabo hasta entonces estudios sobre curvas distintas de la circunferencia más que en el caso de las cónicas, descubiertas y estudiadas primero por Menecmo y después por Euclides ²³ , y de la trisectriz (o cuadratriz) de Hipias. En Sobre el equilibrio de las figuras planas y Sobre los cuerpos flotantes Arquímedes aplica el rigor de los métodos geométricos a observaciones experimentalmente comprobables pertenecientes al terreno de la estática y la hidrostática, con lo que sienta las bases de la física matemática. El único antecedente para esta clase de orientación en los estudios matemáticos tendríamos que ir a buscarlo a la Mecánica del corpus aristotélico, el texto griego más antiguo en que un fenómeno físico es reducido a expresión matemática, que es donde encontramos, aunque de un modo no del todo preciso, la descripción del «paralelogramo de las fuerzas». El Arenario —que formalmente es una carta a Gelón, hijo de Hierón de Siracusa— aborda, so pretexto de calcular el número de granos de arena necesarios para llenar el universo, el problema de la expresión y notación de cifras elevadas ²⁴ ; por último, el Problema de los bueyes propone averiguar el número de vacas y toros de los rebaños del Sol, dadas ciertas condiciones complejas—resumiendo, un sistema de siete ecuaciones con ocho incógnitas— que hacen que el problema, en términos de la matemática actual, venga a resolverse mediante una ecuación diofántica del tipo Pell-Fermat.

El Método merece tratamiento aparte, y no sólo por ser el único caso en la literatura matemática griega de exposición del sistema heurístico de un autor. Presenta, además, el aliciente especial de que, mencionado por varios escritores de la Antigüedad ²⁵ , el tratado parecía haberse perdido para siempre y fue completamente desconocido para Occidente hasta que en 1906 el filólogo danés Heiberg, que ya había publicado una edición de las obras conocidas de Arquímedes, tuvo noticia ²⁶ de que un palimpsesto hierosolimitano escondía trabajos matemáticos. Se interesó por estudiar el códice, para lo cual tuvo que desplazarse a Constantinopla y fotografiarlo. El códice contenía, entre otros escritos de Arquímedes, el que ahora nos ocupa: la única versión del Método que ha llegado hasta nosotros. El pergamino que servía de soporte escriptorio había sido lavado y reutilizado en el siglo XIII para escribir en él un eucologio, proceso en el cual habían desaparecido varias páginas, otras habían sido borradas tan completamente que era imposible leer nada que no fuera el texto para el que se reutilizó y, además, había desaparecido el orden primitivo de las páginas. La tarea de Heiberg fue, por tanto, muy meritoria. El asunto, en todo caso, es que toda esta peripecia había mantenido la obra alejada de comentaristas y estudiosos durante casi un milenio.

Desde el punto de vista formal, es un ejemplo de correspondencia erudita con una doble finalidad: por un lado, Arquímedes había enviado a Eratóstenes los enunciados de dos teoremas sin la demostración, invitándole a descubrirla por sí mismo. Esos dos teoremas conciernen al volumen de la uña cilíndrica y de la doble bóveda cilíndrica. Ahora —le comunica Arquímedes— le envía las demostraciones, distintas de otras que ya tiene publicadas sobre el volumen de los sólidos conoides y esferoides, pues las demostraciones que le remite en ese momento tienen el interés especial de que por primera vez consigue hallar equivalencias entre figuras comprendidas por superficies planas y figuras comprendidas por superficies curvas y planas. En segundo lugar, quiere también darle a conocer un método nuevo que permite «disponer de recursos para poder estudiar algunos asuntos matemáticos por medio de la mecánica» y para ello le envía el estudio de diversos teoremas sobre áreas y volúmenes según lo había efectuado mediante el método mecánico antes de resolver con el rigor pertinente las demostraciones geométricas.

Aparte de las obras y fragmentos conservados en griego, mediante versiones árabes disponemos de restos del Libro de los lemas , del tratado Sobre el heptágono inscrito en el círculo y de otro tratado Sobre los círculos tangentes . Las versiones árabes le atribuyen, asimismo, libros Sobre las líneas paralelas, Sobre los triángulos, Sobre las propiedades de los triángulos rectángulos, Sobre clepsidras y unos Datos , aunque buena parte de las referencias arquimedeas contenidas en los manuscritos árabes se entremezclan con resultados debidos a otros autores y, en particular, con trabajos de los propios matemáticos árabes que los transmiten, lo que hace especialmente delicada la tarea de discernir qué parte corresponde a quién dentro de cada obra. Los estudiosos de Arquímedes han apreciado de modo especial los fragmentos del Libro de los lemas , cuya versión latina incluye Heiberg en su edición, ciertas partes de los tratados Sobre el heptágono inscrito en el círculo y Sobre los triángulos , de los que Dijksterhuis se ocupa en su clásica exposición de las obras de Arquímedes, y del fragmento del Stomachion conservado sólo en árabe y dado a conocer por Suter, más amplio y de más interés que el conservado en griego ²⁷ .

Además, contamos también con referencias a otras obras, perdidas: el trabajo sobre los poliedros semirregulares aludido por Papo, un De la denominación de los números que dedicó a Zeuxipo, al que el propio Arquímedes hace referencia ²⁸ , una Catóptrica y una o varias obras sobre mecánica que contenían teoremas que no figuran en el Equilibrio de los planos —las referencias del propio Arquímedes y de otros autores de la Antigüedad parecen remitirnos a títulos como Sobre los centros de gravedad, Sobre los equilibrios, Mecánica, Sobre las balanzas o Sobre las palancas —. Las alusiones indicadas a los trabajos sobre mecánica mencionan demostraciones concretas, pero no es posible siquiera saber si se trataba de una sola obra conocida por varios títulos o de varias obras referentes a temas emparentados entre sí y con la mecánica.

Cronología de las obras conservadas

La ordenación seguida a lo largo del último siglo en la presentación de las obras de Arquímedes deriva directamente del orden propuesto en su edición por Heiberg, quien, a su vez, siguió fundamentalmente la ordenación de los manuscritos ²⁹ . Que esa ordenación no se correspondía con la secuencia cronológica de la composición de los tratados era cosa manifiesta ya para Torelli en 1792, y sus observaciones, ampliadas por Heiberg y Heath, han sido utilizadas en los trabajos de Dijskterhuis, Itard, Claggett y Mugler con pocas alteraciones ³⁰ .

El criterio principal en el que se basan las reconstrucciones cronológicas es de orden filológico: ya dijimos más atrás que algunas de las obras de Arquímedes van precedidas de una carta, y dos de esas cartas, las que preceden a los tratados sobre Cuadratura de la parábola y Espirales , son especialmente significativas a este respecto. Por la dedicatoria de Cuadratura de la parábola sabemos que éste fue el primer tratado que Arquímedes envió a Dosíteo, pues allí se lee: «Al oír que había muerto Conón, cuya amistad nunca me faltó, y que tú habías conocido a Conón y que estabas familiarizado con la geometría, me entristecí por el difunto en su calidad de amigo y de hombre que ha llegado a ser admirable en matemáticas, y me propuse enviarte por escrito, igual que solía escribir a Conón, teoremas matemáticos que antes no habían sido estudiados, pero que ahora han sido estudiados por mí» ³¹ . Esta misiva podemos fecharla, según Knorr, en fecha posterior a 246 a. C.

Por otra parte, en la dedicatoria de Espirales y como respuesta a la petición de Dosíteo de que le envíe ciertas demostraciones, Arquímedes enumera las obras que ya le ha enviado y las que le envía en ese momento: en primer lugar cita los principales resultados de los dos libros Sobre la esfera y el cilindro , cuyas demostraciones —dice— le había remitido por medio de Heraclidas; a continuación, los de Conoides y esferoides , cuyas demostraciones aún no le ha enviado; y por último, los problemas sobre las espirales que le remite en ese momento. La secuencia de los escritos enviados a Dosíteo, por tanto, fue: Cuadratura de la parábola, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre las espirales y Sobre los conoides y esferoides , y no parece muy aventurado suponer que fueron compuestos en ese mismo orden.

En tercer lugar, el Arenario 19 (II 230, 3-7) cita de un modo muy preciso el resultado de la proposición 3 de la Medida del círculo : «Sabes que yo demostré que la circunferencia de todo círculo es mayor que el triple del diámetro en menos de la séptima parte», de modo que este pasaje es tenido por testimonio definitivo para la datación relativa de ambas obras, aunque no da pie para relacionar su cronología con la de los tratados remitidos a Dosíteo.

El segundo de los criterios empleados tiene que ver con la relación interna entre los tratados: si en uno de ellos se utilizan como argumento resultados obtenidos en otro, se toma por indicio válido a efectos de ordenación cronológica. Tenemos, por ejemplo, el caso de Cuadratura de la parábola (props. 6, 8, 10) en donde se recogen resultados procedentes de Equilibrio de los planos I (props. 6, 7, 14, 15) ³² , mientras que en Equilibrio de los planos II (prop. 10) se recogen resultados de Cuadratura de la parábola (prop. 3), aunque no se menciona la obra de la que proceden: de ahí que, en general, se restituya la secuencia Equilibrio de los planos I/Cuadratura de la parábola/Equilibrio de los planos II. Del mismo modo, puesto que en Sobre los cuerpos flotantes I (props. 8 y 9) se da por demostrado —sin mencionar literalmente la obra— el contenido de Equilibrio de los planos I 8 y que en Sobre los cuerpos flotantes II (props. 2, 3, 4, 6, 7, 8 et al .) se emplea el resultado de Sobre conoides y esferoides 11 (relativo al volumen del paraboloide de revolución), se propone para los libros Sobre cuerpos flotantes una fecha de redacción posterior a la de Sobre conoides y esferoides .

Al entender de los estudiosos mencionados más arriba, no disponemos de otros datos fehacientes, de manera que, dejando a un lado los scripta minora , queda pendiente la localización del Método y de la Medida del círculo (y, dependiendo de la datación de éste último, la del Arenario) . En lo relativo a la Medida del círculo , Torelli y Heiberg se sirven de un tercer criterio, mucho más arriesgado, consistente en poner en relación los tratados según el tema que desarrollan: dado que en Medida del círculo 1 y en Sobre la esfera y el cilindro Arquímedes asume sin prueba que la secuencia de polígonos inscritos en el círculo puede acercarse tanto como se quiera al área del círculo a medida que duplicamos el número de lados, y a la vista, según Torelli, de que los principales resultados de la Esfera y el cilindro carecen de utilidad práctica si no se ha alcanzado una estimación numérica de π, llegan a la conclusión —no demasiado evidente, a nuestro entender— de que la Medida del círculo es posterior a Sobre la esfera y el cilindro .

Tras el descubrimiento del palimpsesto de Jerusalén, Heiberg, y con él Heath, Dijksterhuis y Claggett, optan por proponer, por un lado, una cronología «tardía» para la Medida del círculo , mientras que para el Método proponen una cronología «temprana» pero posterior a la Cuadratura de la parábola —ya que en la carta que precede a este tratado Arquímedes hace ver que para entonces ya había empezado a emplear su famoso método mecánico ³³ y, a la vez, en el Método afirma haber defendido ese método en escritos anteriores ³⁴ —. Itard, sin embargo, seguido por Mugler, prefiere considerar el Método una especie de testamento científico de Arquímedes y propone para él una cronología tardía.

Pero la insuficiencia de algunos de los argumentos expuestos se hace patente en las dubitaciones de los propios autores de los razonamientos: a pesar de lo indicado más atrás, Heiberg sitúa al final de su lista cronológica y con un interrogante la Medida del círculo , Heath propone cronologías distintas en su traducción de las obras de Arquímedes y en A History of Greek Mathematics y otro tanto hace Itard en la Historia General de las Ciencias y en Mathématiques et Mathématiciens . Ante esa situación, y en la idea de que la cronología de la composición de los tratados podría servir de clave para una comprensión más profunda de la obra de Arquímedes, W. R. Knorr emprendió la tarea de examinar de nuevo esta cuestión. En un extenso artículo ³⁵ revisa las fuentes textuales y las argumentaciones que resumíamos más arriba y analiza los métodos matemáticos de los que Arquímedes se sirve. Utilizando como criterio la mayor o menor intervención de los métodos euclidianos y de los métodos originales del propio Arquímedes, concluye que cabe considerar dos etapas en los trabajos del siracusano: una etapa más antigua, en la que Arquímedes, influido aún por sus años de formación, sigue los métodos —euclidianos— y la línea de investigación —problemas de áreas, fundamentalmente— más clásica en la matemática griega, y un período de madurez en el que desarrolla y emplea cada vez más a fondo el método mecánico y lo aplica a problemas estereométricos. De acuerdo con ello, propone una datación temprana para la Medida del círculo —quizá, según él, la más temprana de las obras de Arquímedes que conservamos— y sitúa el Método en la época de madurez —quizá la última de ellas—.

Los argumentos ofrecidos por Knorr no han sido plenamente aceptados: por ejemplo, según este autor Arquímedes empezó a ocuparse de mecánica al volver de Alejandría a Siracusa, cuando el rey Hierón le puso al frente de los trabajos de fortificación de la ciudad; Krische ³⁶ hace la objeción siguiente: ¿por qué iba el rey a poner al frente de las obras de fortificación de la ciudad a un hombre aún joven, sin experiencia en tales menesteres, recién regresado de una ausencia de años y que hasta entonces sólo se había ocupado de geometría? —dejando a un lado que esta suposición de Knorr contradice lo afirmado por algunas fuentes antiguas, como el texto de Plutarco citado más atrás (pág. 10)—.

Vitrac ³⁷ , por su parte, encuentra que los procedimientos con que Knorr justifica sus asertos son «complejos e incluso, a veces, de carácter sofístico» y reprocha al análisis de Knorr «proceder como si en las matemáticas antiguas se pudiera aislar un aspecto técnico o metodológico correspondiente a nuestros diferentes cálculos (algebraico, diferencial, integral…) 〈…〉. De hecho —dice Vitrac—, las matemáticas antiguas se mantienen en un nivel de abstracción relativamente modesto en lo que concierne a los métodos; es peligroso exagerar su importancia independientemente de los contextos particulares en los que intervienen». A pesar de esto sostiene que «la cronología propuesta por Knorr es verosímil, incluso si los argumentos expuestos para sostenerla no siempre son más convincentes que los que sostenían las cronologías anteriores».

Por nuestra parte, en lo relativo a la datación de la Medida del círculo encontramos algunos puntos débiles en el razonamiento de Knorr ³⁸ . Conviene, además, señalar que el propio Knorr es consciente de que frente a la cronología segura de las que llama «obras de madurez», para la cual contamos con las mutuas referencias técnicas y las indicaciones explícitas de Arquímedes, que nos certifican el orden de su presentación ante la comunidad matemática de Alejandría —aunque no el orden del descubrimiento de los resultados—, el orden que las deducciones de Knorr proponen para las que él llama obras tempranas es «menos cronológico que lógico» ³⁹ .

En lo que concierne al Método coincidimos en la apreciación de que fue probablemente una de las últimas obras de Arquímedes, pero no porque nos parezca convincente la argumentación de Knorr a ese respecto, sino, sobre todo, porque disponemos de evidencias textuales: un pasaje de la carta a Eratóstenes que precede a ese tratado —pasaje que parece haber pasado desapercibido hasta ahora a todos los estudiosos— afirma explícitamente que compuso el tratado después de haber descubierto lo relativo a la medida de los conoides y esferoides:

Ocurre que estos teoremas ⁴⁰ son distintos de los que descubrí primero, pues aquellas figuras, los conoides y los esferoides y sus segmentos, las comparábamos en magnitud con figuras de conos y cilindros y se halló que ninguna de ellas era igual a una figura sólida comprendida por planos, mientras que en estas figuras, comprendidas por dos planos y superficies de cilindro, cada una ha sido hallada igual a una de las figuras sólidas comprendidas por planos.

Knorr sostiene —según necesita para justificar la posición del Método en su cronología relativa— que la correspondencia entre Arquímedes y Eratóstenes es posterior a la que mantuvo con Dosíteo ⁴¹ . En ese punto coincidimos con él, pero nuestro argumento se apoya en el texto del Método que acabamos de citar. En cualquier caso, una vez aceptado que la correspondencia entre Arquímedes y Eratóstenes es posterior al tratado Sobre conoides y esferoides , deberíamos también datar el Problema de los bueyes , remitido a Eratóstenes, dentro del último período de producción del siracusano, ya que parece razonable que las diversas cartas cruzadas con Eratóstenes fueran escritas en un período de tiempo no demasiado dilatado.

Hemos de decir, por último, que el Stomachion y el Libro de los lemas se ocupan de cuestiones que no guardan relación con los tratados de los que hasta ahora nos hemos ocupado y ese hecho, unido al estado fragmentario en que se nos han transmitido y a la ausencia de prefacios o dedicatorias, impide todo intento racional de aproximación cronológica.

El cuadro que adjuntamos recoge de modo esquemático los pareceres de los autores que hemos venido citando.

Tradición y originalidad

Se ha afirmado que la historia de la matemática griega es un relato que se abre in medias res : sus orígenes nos son prehistóricos en el sentido de que carecemos prácticamente por completo de testimonios fiables respecto a ellos; su desarrollo pertenecería a la protohistoria, ya que la mayor parte de los datos proceden de fuentes muy posteriores en el tiempo, y el periodo histórico se abre, salvando los tratados de Autólico de Pitane, con los Elementos de Euclides, en los que encontramos ya una organización formal clara y firmemente establecida. En ese sentido, poco o nada difieren las obras de Arquímedes de las de sus predecesores: al igual que las de Euclides y Autólico, comienzan con las definiciones y los postulados de los que el autor hará uso a lo largo de las demostraciones y a continuación figuran las proposiciones, ordenadas según las exigencias del método deductivo.

También la forma de las demostraciones estaba ya fijada, y cuando Proclo, en el siglo v, enumera las seis partes de que se compone una demostración geométrica (Commentarium in I Euclidis , pág. 203, ed. Friedlein), su descripción se ajusta por igual a la forma euclidiana, setecientos años anterior a la época de Proclo, y a la de Eutocio, cien años posterior al mismo Proclo: el enunciado (prótasis ), que nos indica en qué consisten los datos y qué es lo que se investiga; la exposición (ékthesis ), en la que se ofrecen los datos concretos que se han de usar; el diorismo (diorismós ), que, en ciertos casos, ha de precisar las condiciones en las que el problema es resoluble; la construcción (kataskeuḗ ), en la que se presentan los datos de modo práctico; la demostración (apódeixis ), en la que se expone el razonamiento que conduce a la resolución y, por último, la conclusión (sympérasma), que vuelve de nuevo al enunciado afirmando que lo demostrado concuerda con el punto propuesto a la investigación.

Lo mismo ocurre con los métodos: el de análisis y síntesis, el de reducción al absurdo, derivado del anterior, el de reducción y el llamado «de exhausción», equivalente geométrico —mutatis mutandis — del cálculo infinitesimal, fueron las armas racionales de que se sirvieron los matemáticos griegos.

Para el análisis y la síntesis contamos como fuente con Papo (Synagogḗ VII págs. 634-36, ed. Hultsch), que explica así en qué consisten estos recursos metodológicos:

El análisis es un camino que parte de tomar lo que se investiga como cosa aceptada mediante sus consecuencias hasta llegar a la síntesis. En el análisis, suponiendo que lo investigado ya se ha producido, observamos por qué sucede y vamos de nuevo a lo que lo precedió hasta que, haciendo el camino hacia atrás de esta manera, damos con algo de lo ya aceptado o que pertenezca a la clase de los principios. Y a este método lo llamamos análisis porque es una solución camino atrás. Por la otra parte, en la síntesis, partiendo de la marcha atrás, dando por sentado el elemento último captado en el análisis, colocando ahora lo que allí precedía en su orden natural como consecuencias y componiéndolas entre sí llegamos por último a la construcción de lo investigado. Y a eso lo llamamos síntesis.

Hay dos clases de análisis: el que investiga la verdad, al que llamamos ‘teorético’, y el que pretende llegar a hacer lo propuesto, llamado ‘de problemas’. En el tipo teorético, suponiendo que lo investigado existe y es verdad, avanzamos después hacia algo aceptado mediante las consecuencias que se siguen de ello como verdaderas y existentes por hipótesis; y si lo aceptado era verdadero, será verdadero también lo investigado, pero si nos topamos con que hemos dado por aceptado algo falso, lo investigado también será falso.

En el análisis de problemas suponemos que el problema planteado es conocido y luego, tomando por verdaderas las consecuencias de ello, avanzamos hacia algo aceptado, y si lo aceptado es posible y alcanzable, lo que los matemáticos llaman un dato, el problema propuesto será resoluble y de nuevo la demostración será una marcha atrás del análisis; pero si nos topamos con que hemos aceptado algo imposible, el problema también será irresoluble.

Derivado de los recursos de análisis y síntesis utilizaron los griegos, y con mucha frecuencia Arquímedes, la reducción al absurdo: tomando como base del análisis que lo que se intenta demostrar es falso, se avanza por las consecuencias de ese aserto y se llega a un punto en el que se niega bien un principio probado, bien uno de los datos admitidos como hipótesis, de lo que se deduce que lo que se intenta probar ha de ser verdadero.

En tercer lugar, el método de reducción, del que Proclo (In I Euclidis Commentarium , págs. 212-13, ed. Friedlein) nos informa en los siguientes términos:

La reducción es la traslación de un problema o teorema a otro, conocido o resuelto el cual también el planteado resultará manifiesto, como cuando se buscaba la duplicación del cubo y trasladaron la investigación a otra cuestión de la que ésta se sigue, la de hallar dos medias proporcionales, y en adelante buscaron cómo, dadas dos rectas, se hallarían dos medias proporcionales entre ellas. Dicen que el primero que aplicó la reducción a las construcciones difíciles fue Hipócrates de Quíos, que también cuadró la lúnula y descubrió otras muchas cosas en el terreno de la geometría….

La atribución del descubrimiento de este método a Hipócrates puede ser o no ser cierta, pero parece razonable pensar, puesto que este Hipócrates es un matemático histórico sin lugar a dudas, que si no fue el inventor, debió ser uno de los primeros en aplicarlo a problemas de especial dificultad o interés.

El método de exhausción ⁴² , aunque no fue exclusivo de Arquímedes ni invención suya, sí recibió del siracusano aportaciones fundamentales. Para valorarlas adecuadamente, recordemos que el primero en sugerir el método de aproximaciones sucesivas indefinidas, según las fuentes antiguas, había sido Antifonte, sofista contemporáneo de Sócrates, al que debemos el más antiguo intento de cuadratura del círculo. Tal y como Antifonte concebía la solución al problema, una vez inscrito un triángulo o un cuadrado ⁴³ en el círculo, resultan unos segmentos circulares formados por cada lado del polígono inscrito y el arco correspondiente; si en cada segmento se inscribe un triángulo isósceles que tiene por base el lado del polígono inscrito primeramente, se obtiene un polígono inscrito de número de lados duplicado; podemos actuar así de modo sucesivo, y Antifonte pensó que «en algún momento se agotaría el círculo, inscribiendo de ese modo un polígono cuyos lados, por su pequeñez, coincidirían con la circunferencia del círculo. Y dado que podemos cuadrar cualquier polígono, estaríamos en posición de construir un cuadrado igual a un círculo ⁴⁴ ». Que el método ideado por Antifonte carecía del rigor necesario era cosa sabida en la Antigüedad, pues Aristóteles lo critica en Física I 2, 185a14-17: «Pero no procede rechazar todos los argumentos, sino sólo los que a partir de los principios se demuestra que son falsos, y los que no, no; por ejemplo, es cosa del geómetra rechazar la cuadratura mediante segmentos, pero la de Antifonte no es cosa del geómetra» ⁴⁵ . Otra crítica antigua, más precisa, es la que nos transmite Simplicio, citando la perdida obra de Eudemo sobre la Historia de la matemática : «y es que cortando sucesivamente el plano entre la recta y el arco de círculo no lo agotará, ni alcanzará nunca el arco de círculo, si es que el plano es divisible indefinidamente. Y si lo alcanza, no se respeta el principio geométrico que dice que las magnitudes son divisibles indefinidamente. También Eudemo afirma que Antifonte no respeta ese principio» ⁴⁶ .

Posteriormente Eudoxo —junto con Arquímedes, el más notable de los matemáticos griegos— tomaría estas aproximaciones sucesivas indefinidas como fundamento para establecer, ahora sí con rigor matemático, el método de exhausción. Las obras de Eudoxo no se nos han conservado, pero Euclides nos ofrece ya una formulación rigurosa de este recurso en Elementos X 1, en donde se demuestra que «Si se ponen dos magnitudes desiguales y de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad, y de la restante se quita una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada».

Arquímedes hace referencia a este método en dos ocasiones: una, en el libro I de la Esfera y el cilindro , en cuyo postulado 5 dice: «Y además, en las líneas desiguales y las superficies desiguales y los sólidos desiguales el mayor excede al menor en una magnitud tal que, añadida a sí misma, es capaz de exceder cualquier magnitud propuesta de las que llamamos comparables». La otra, en la carta que precede a Cuadratura de la parábola (II 264, 5-26), en donde, tras formularlo prácticamente en los mismos términos, afirma:

También los geómetras anteriores utilizaron este lema, y demostraron que los círculos guardan entre sí una razón que es el cuadrado de la de sus diámetros y que las esferas guardan entre sí una razón que es el cubo de la de sus diámetros, y también que toda pirámide es la tercera parte del prisma que tiene la misma base que la pirámide e igual altura. Y que todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que el cilindro e igual altura lo demostraron admitiendo un lema semejante al mencionado 〈scil ., el principio de la exhausción〉. Y ocurre que se da crédito a cada uno de los teoremas antedichos no menos que a los que se demuestran sin este lema. Basta, pues, con que los que publico sean llevados a un grado de credibilidad semejante».

Las demostraciones de los cuatro teoremas mencionados por Arquímedes en ese pasaje se nos han conservado en los Elementos de Euclides —respectivamente en XII 2, XII 18, Porisma de XII 7 y XII 10—, pero sólo XII 2 y XII 10 recurren al método de exhausción. Por otro lado, la formulación que hace Arquímedes del lema que lleva su nombre está emparentada con la definición de «magnitudes que guardan razón» que figura en Elementos V 4: «Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que al multiplicarse pueden exceder una a otra», definición que suele atribuirse a Eudoxo, junto con el resto de la teoría de razones y proporciones del libro V de los Elementos . Si a ello unimos que Arquímedes en la carta que precede al Método (II 430, 2-6) atribuye expresamente a Eudoxo las demostraciones de que el cono y la pirámide son la tercera parte, respectivamente, del cilindro y el prisma que tienen su misma base y altura y dado que ésas son, precisamente las proposiciones en las que Euclides lleva a cabo la demostración sin recurrir a la exhausción, cabe concluir que el uso de este lema por Arquímedes tiene su origen en los trabajos de Eudoxo.

La originalidad de Arquímedes al emplear el método de exhausción consiste en que además de inscribir un polígono e ir duplicando el número de sus lados, también circunscribe otro cuyo número de lados también duplica, aproximándose así doblemente a la figura curvilínea de la que se ocupa hasta conseguir que el exceso en que la figura circunscrita excede a la inscrita sea menor que cualquier magnitud dada, es decir, transformando la «exhausción» en «compresión». Aun así, las expresiones empleadas por Arquímedes («se da crédito a cada uno de los teoremas antedichos no menos que a los que se demuestran sin este lema. Basta, pues, con que los que publico sean llevados a un grado de credibilidad semejante») nos hacen ver que el valor probatorio de este método seguía pareciendo insuficiente a los matemáticos griegos; Heath observa, en apoyo de esta observación filológica, que las aproximaciones conseguidas mediante la exhausción van siempre seguidas de la demostración por reducción al absurdo, pero esta opinión no es compartida por todos los expertos.

Arquímedes emplea la exhausción en Cuadratura de la parábola 18-24 (propiedades de las rectas trazadas en la parábola y área del segmento parabólico) y el método de compresión en la Medida del círculo 1 (medida del círculo), Conoides y esferoides 22, 26, 28 y 30 (volumen de los segmentos de paraboloide, hiperboloide y de determinados segmentos de elipsoide), Espirales 24 y 25 (áreas comprendidas, respectivamente, por la primera revolución de la espiral y la primera recta origen de la revolución —24— y por la segunda revolución de la espiral y la segunda recta origen de la revolución —25—), Cuadratura de la parábola 16 (área del segmento parabólico), Método 15 (volumen de la uña cilíndrica), Sobre la esfera y el cilindro , I 13, 14, 33, 34, 42 y 44 (superficie lateral del cilindro, superficie lateral del cono, superficie de la esfera, volumen de la esfera en relación con el cono inscrito en el hemisferio, superficie del casquete esférico, volumen del sector esférico).

Otro método más que emplearon los matemáticos griegos son las construcciones de neûsis , término que se podría traducir por «inclinación» o «tendencia» ⁴⁷ , y que consiste en trazar entre dos líneas un segmento de longitud dada —en general no de modo absoluto, sino en proporción con otro segmento conocido— de modo que pase por un punto dado. La construcción puede resolverse mediante una «cuenta de la vieja» geométrica marcando en una regla la longitud requerida y desplazando la regla hasta que los extremos del segmento marcado coincidan con las líneas previamente designadas. El recurso indicado debió de utilizarse con relativa frecuencia —desde luego, entre las soluciones que Eutocio nos transmite para el problema de la duplicación del cubo, casi la mitad se basan en estas construcciones—, y sabemos que entre las obras de Apolonio de Perga se contaba precisamente una con el título Neúseis , dedicada a las construcciones de ese tipo que pueden resolverse como problemas planos; aunque otras han de resolverse como problemas sólidos o lineales ⁴⁸ .

Arquímedes hace uso de las neúseis en diversos pasajes, especialmente en el tratado Sobre las líneas espirales (Prop. 5, 6, 7, 8 y 9 ⁴⁹ ). Concretamente en Espirales 5, es posible la construcción del segmento requerido mediante regla y compás, y el hecho de que Arquímedes emplee sin empacho este recurso metodológico ha llevado a pensar a algunos, entre los cuales se cuenta Dijksterhuis ⁵⁰ , que no es admisible el punto de vista de que la neûsis no era más que un sustituto para llevar a cabo la construcción en problemas en los que la solución mediante regla y compás no era posible.

En cuanto al estilo de Arquímedes, no cabe comentario literario de ninguna especie: quienes ya se hayan acercado a los textos euclídeos hallarán aquí reproducidos los rasgos de simplicidad, claridad, rigor y concisión que se encuentran allí. Estos rasgos son característicos de todos los textos griegos matemáticos de relevancia y, por tanto, no pueden ser considerados personales si comparamos los escritos de Arquímedes con los de Euclides o Apolonio, pero los hallamos en grado elevadísimo si los comparamos con el estilo de Eutocio, con los Problemas aristotélicos de carácter matemático o, simplemente, con la falta de brillantez y la abundancia de repeticiones y menudencias innecesarias de muchos de los pasajes secluidos por Heiberg.

Cuestiones terminológicas

El hecho de que la terminología matemática griega fuera fundamentalmente geométrica, mientras que la actual está impregnada de nociones algebraicas, supone cierta dificultad para quienes se acercan a cualquier texto de la matemática griega antigua. Tan evidente es el hecho, que la mayor parte de los traductores y tratadistas incluyen en sus introducciones un apartado destinado, en parte, a clarificar los nombres de los objetos matemáticos pero también, en parte, a facilitar al lector un medio de familiarizarse con las operaciones más frecuentes a lo largo de las demostraciones.

Ahora bien, si los conceptos se han hecho clásicos y las deducciones se basan en axiomas, postulados y teoremas que Euclides —en traducciones, adaptaciones, resúmenes y antologías— ha dado a conocer a toda Europa a lo largo de siglos, el razonamiento, que se atiene a la misma lógica, es, sin embargo, un razonamiento geométrico , no algebraico. Algunos traductores ya clásicos de Arquímedes, como Heath y Dijksterhuis, tomaron directamente el camino de verter no sólo el texto griego a sus propias lenguas, sino también transformar los cuadrados en potencias y los rectángulos en productos y dejar innominadas las operaciones realizadas con proporciones, reflejándolas mediante la simbología propia de nuestro tiempo; algo semejante hizo Heiberg en su traducción latina. Otros, sin embargo, como Ver Eecke o Mugler y, más recientemente, Netz, han preferido respetar también en ese aspecto los originales y han procurado reflejar en lo posible el mundo mental geométrico característico de la matemática griega. También nosotros hemos optado por esta segunda posibilidad con lo que tenga de ventajoso o de su contrario. En cualquier caso, una obra del carácter de la presente no requiere una exposición exhaustiva de la terminología ni un análisis sistemático de los métodos heurísticos o probatorios, pero sí una presentación. Para desarrollos más amplios, el lector interesado puede recurrir a consultar los trabajos de Heath (The Works of Archimedes), I. Thomas (Greek Mathematical Works), los apartados correspondientes de la obra de Dijksterhuis (Archimedes) o, para cuestiones concretas, recurrir al Dictionnaire de la terminologie géométrique des grecs de Mugler. Los casos más sencillos pueden elucidarse mediante los bien conocidos diccionarios de Bailly o de Liddell-Scott-Jones. En español se puede recurrir a los volúmenes publicados (α-ἐκπελεκάω) del Diccionario Griego-Español de Francisco R. Adrados y a la traducción de los Elementos de Euclides realizada por M.^a L. Puertas para esta misma colección (B. C. G. 155, 191 y 228).

El punto (sēmeîon) se designa mediante una letra: «el punto Δ»; la línea (grammḗ) que a veces designa también a la recta (eutheîa) en pasajes en los que el contexto evita la ambigüedad, suele designarse mencionando los dos puntos que tiene como extremos: «la recta AΘ» o simplemente, «AΘ» en contextos suficientemente claros; a veces, para una recta dada en la construcción, se nombra la recta con una sola letra. Las rectas pueden trazarse (ágomai, keîmai) prolongarse (ekbállō) o trazarse uniendo dos puntos ya determinados (epizeúgnymi) . Para expresar que una recta corta a otra se usan los verbos symbállō o témnō , pero no existe un adjetivo o sustantivo que signifique «secante» (tampoco para la secante de un círculo), sino que se emplea el participio sustantivado de témnō .

Para designar de modo preciso un plano (epípedon) concreto suele hacerse referencia a una recta o un círculo por los que pasa y otra recta a la que es perpendicular o paralelo: «el plano que pasa por KΛ , perpendicular a AB ». Éstos, y la mayor parte de los que mencionaremos a continuación, son elementos geométricos que tienen sus nombres bien testimoniados con valor terminológico desde los tratados más antiguos que se nos han conservado. Como el ángulo (gōnía) , que se precisa bien dando a conocer su vértice («el ángulo en K ») cuando los lados de dicho ángulo son inequívocos, bien mediante tres letras que designan los extremos de las dos rectas que lo componen («el ángulo correspondiente a BAГ »; la letra central designa el vértice). Una particularidad digna de mención es que la recta no es nunca un objeto geométrico infinito ni ilimitado, sino que tiene puntos determinados como extremos; es decir, que su uso coincide más bien con el que actualmente damos al término «segmento»; no obstante lo dicho, hemos conservado el término «recta» primero, porque ése es exactamente el concepto de «recta» en la matemática griega desde Euclides y, segundo, porque también hay segmentos circulares, esféricos, parabólicos y de otros tipos de los que Arquímedes se ocupa abundantemente, y el uso de «segmento» para designar todos esos elementos geométricos en la traducción de esas partes del texto hubiera conducido bien a una verbosidad agotadora, bien a una indeseada ausencia de claridad.

También tienen nombre la figura (schêma) , el polígono (polýgōnos) , su lado (pleurá) , el área (chōríon) , la figura sólida (stereón) . El nombre de la superficie (epipháneia) , sin embargo, se utiliza para referirse a la superficie de un sólido, pero no puede ser nunca, como en español, sinónimo de «área». El cuadrado (tetrágōnon) se designa haciendo referencia al lado («el cuadrado de lado KΔ ») y el rectángulo (orthogṓnion) —designado mediante un adjetivo, como en español— puede ser precisado bien refiriéndose a su diagonal —de manera que «el rectángulo AΔ » se refiere al «rectángulo de diagonal AΔ »—, bien mencionando dos de sus lados mediante tres o cuatro letras: «el rectángulo AΔE », «el rectángulo AΔ , ΔE »; en general, se omiten los nombres y se emplean expresiones preposicionales sustantivadas del tipo tò apò KΔ para el cuadrado, tò hypò AΔE para el rectángulo, que traducimos como acabamos de indicar. Los cuadrados (igual que los rectángulos, segmentos de recta, los círculos o sus segmentos, etc.) pueden sumarse —como tales figuras en sí, reuniéndolas cuando no se solapan, aunque no numéricamente—, pero no hay una palabra que designe la suma, sino que se emplea una expresión adverbializada, hē synamphóteros , refiriéndose a rectas, tò synamphóteron , para referirse a la suma de espacios planos, o tà synamphótera , para referirse a la suma de magnitudes, seguida de los nombres de las rectas, figuras o magnitudes en general que han de ser tomadas en conjunto como una sola; así, hē synamphóteros EA , AZ (abreviado a veces en EAZ ) significa «la suma de las rectas EA , AZ »; más simplemente, la suma puede indicarse utilizando la preposición sýn («con») para unir los nombres de los dos planos o sólidos que han de tomarse unidos o con el indefinido pántes («todos») o, llegando al extremo, mediante la enumeración de los elementos que han de tomarse sumados.

El círculo (kýklos) se designa mediante las dos letras correspondientes a los extremos de su diámetro («el círculo BΔ »); la circunferencia (periphéreia toû kýklou) y el arco de circunferencia (periphéreia) reciben un nombre único que en general, se distingue mediante el contexto. El radio, aunque no tiene nombre en sentido estricto, se designa casi siempre como hē apò toû kéntrou . Para la tangente se emplean los participios sustantivados hē haptoménē, hē epipsáuousa .

Las secciones cónicas recibieron los nombres de élleipsis, parabolḗ, hyperbolḗ , de los que derivan los términos actuales, a partir de los trabajos de Apolonio de Perga, pero en Arquímedes se designan aún como «he oxygōníou (orthogōníou, amblygōníou) kṓnou tomḗ »: «la sección de un cono acutángulo (rectángulo, obtusángulo)» o, para los tratados que se nos han conservado en el dialecto dórico de Arquímedes «ha … tomá» . No creo que represente ninguna traición al texto de Arquímedes el verter estas expresiones —las más habituales en su tiempo— por los términos elipse, parábola, hipérbola —los más habituales en el nuestro—, y sí pienso que evitan numerosas perífrasis que sólo podrían redundar en una mayor oscuridad de los textos. El eje focal de la parábola carece de nombre y no se utiliza el concepto, en el sentido de que no hace referencia expresa a su carácter de eje de simetría: lo más próximo es el concepto de diámetro «diámetros» , que se define —bien es verdad que en lugar anómalo, una proposición, en lugar de figurar al principio del tratado— en Con. Esf . 3, 246, 16-18: «Llamo diámetro en todo segmento 〈scil ., de sección cónica〉 a la recta que corta por la mitad todas las rectas trazadas paralelas a su base»; por extensión, como decimos, puede usarse también para referirse al diámetro concreto que actúa como eje de simetría. Tampoco tiene nombre la directriz ni se usa ese concepto; en cuanto al parámetro de la parábola, lo menciona siempre con la perífrasis descriptiva par’hàn dýnantai hai apò tâs tomâs («〈la recta〉 a la que aplicando las trazadas desde la sección 〈cónica〉 equivalen al cuadrado»), pero el manejo que hace de esa expresión deja claro que el concepto le es bien conocido, probablemente gracias a los perdidos para nosotros Elementos de las Cónicas de Euclides o a los también perdidos trabajos de Menecmo sobre el mismo tema. Lo mismo sucede con la ecuación fundamental de la parábola, que le es bien conocida a juzgar por la frecuencia con que la emplea en sus razonamientos; para la hipérbola no considera más que una rama, en la que reconoce la existencia de diámetros —en el mismo sentido que en el caso de la parábola—; las asíntotas reciben el nombre de hai éngista eutheîai («las rectas 〈que llegan〉 cerquísima»).

En cuanto a los sólidos originados en las secciones cónicas, Arquímedes les dedica el tratado Sobre conoides y esferoides , y explica su terminología en la carta dedicatoria, en lo que podemos resumir diciendo que llama (sphairoeidés) al sólido generado por la elipse —dentro de los elipsoides distingue entre el «alargado» (paramâkes) y el «achatado» (epiplatés) , dependiendo de la posición vertical u horizontal del eje mayor— y conoides (kōnoeidés) a los generados por la parábola y la hipérbola. Distingue entre éstos últimos llamando orthogṓnion kōnoeidés al paraboloide de revolución y amblygṓnion kōnoeidés al hiperboloide de revolución. También para estos sólidos optamos por usar los nombres actuales por las razones ya expuestas. Sólo en el título de la obra, por respeto a la tradición, y en algún caso inequívoco en que Arquímedes usa «conoides» para designar simultáneamente al paraboloide y al hiperboloide de revolución hemos mantenido esos vocablos, aun sabiendo que el significado que atribuye el DRAE a ambos términos difiere del sentido dado por Arquímedes. El diámetro de la parábola, la hipérbola o la elipse sobre el que gira la curva para generar los sólidos de revolución recibe el nombre de áxōn , eje ⁵¹ . En el caso del hiperboloide se considera también el cono comprendido por las asíntotas, al que se da el nombre de «el que contiene al hiperboloide», «ho periéchōn tò kōnoeidés », y en ese cono, la recta que va del vértice de la hipérbola generadora del hiperboloide hasta el punto de corte de sus asíntotas ⁵² recibe el nombre de hē potéousa tôi áxoni («la añadida al eje»).

El cilindro, el cono, la esfera (kýlindros, kônos, sphaîra) pueden designarse de modos diversos: mediante una sola letra («el cono A»), pero también haciendo referencia a su base (básis) «el cono con base en BΔ», o añadiendo el dato de su altura (áxōn) para distinguirlo de otra figura del mismo tipo y con la misma base. Los nombres del sector —circular o esférico— (tomeús) y del segmento —circular o esférico— (tmêma) en el sentido, este último, de parte de una figura cortada por rectas o por superficies pertenecen a la terminología usual y no presentan especiales particularidades, salvo, quizá, que el castellano prefiere «casquete» para referirse al segmento esférico.

En cuanto a los numerales, la inexistencia en Grecia de signos de valor unívoco para designar los números se solventó utilizando a tal fin las letras bajo un trazo horizontal y ésa es la forma bajo la cual los encontramos en los manuscritos de Arquímedes. Como es sabido, no había signo para el cero ni concepto de decimales; en su lugar se empleaban las fracciones, preferentemente bajo la forma 1/x, que se representaban mediante la letra correspondiente al denominador seguida de tilde en el ángulo superior derecho ⁵³ . La notación era sólo parcialmente posicional y las operaciones aritméticas eran tan engorrosas como uno puede imaginar: los ejemplos pueden verse en el Comentario de Eutocio a la prop. 3 de la Medida del círculo . El cálculo aritmético, en todo caso, estaba vetado en los desarrollos geométricos —suele subrayarse este punto recordando que en los Elementos de Euclides no hay más números que los que indican el orden de las proposiciones— y Arquímedes actúa del mismo modo. Sólo se hace un uso amplio de los números propiamente dichos en las Proposiciones 2 y 3 de la Medida del círculo , al efecto de calcular la aproximación al valor de π, y en el Arenario . Hemos vertido los numerales por los guarismos correspondientes, y los interesados en la cuestión pueden recurrir a una buena gramática para lo fundamental o, para tratamientos más en detalle, a las exposiciones de Heath o Loria o al Oxford Classical Dictionary (art. «numbers», con bibliografía).

La teoría de proporciones

Pero si no usaban los números y no había un método algebraico, ¿cómo comparaban las áreas o volúmenes que estudiaban? La respuesta a esta dificultad viene dada por el uso de las proporciones. La teoría de proporciones que encontramos expuesta en el Libro V de los Elementos ⁵⁴ y cuya creación suele atribuirse a Eudoxo fue un arma potentísima para el desarrollo de la geometría griega. Arquímedes hace uso de ella casi constantemente y con tal flexibilidad que no escasa parte del Comentario de Eutocio está dedicado a detallar los pasos de las operaciones realizadas con las proporciones, de manera que también en esto es necesario hacer una presentación previa, y ninguna mejor que las referencias precisas que se nos ofrecen en el Libro V de los Elementos de Euclides. Allí, tras definir la razón (lógos) como «cierta relación en cuanto al tamaño de magnitudes homogéneas» (Elem . V, def. 3) y la proporción afirmando que «Se dice que están en proporción (análogon) las magnitudes que tomadas de dos en dos guardan la misma razón» (Elem . V, def. 5), se demuestra cuáles son las principales propiedades de las proporciones, que enumeramos a continuación.

Decimos que una proporción se toma en alternancia (enalláx) cuando tomamos la razón del antecedente al antecedente y del consecuente al consecuente (Def. 12). La propiedad fundamental de esta operación consiste en que la proporcionalidad se mantiene (Prop. 16). Es decir, que si a:b :: c:d , tomando la proporción en alternancia tendremos que a:c :: b:d .

Una razón se invierte o se toma invertida (anápalin) cuando tomamos el antecedente como consecuente y el consecuente como antecedente (Def. 13); y las magnitudes que son proporcionales conservan la proporcionalidad cuando se toma la proporción invertida (Prop. 7, corol.). Si tenemos a:b :: c:d , por inversión b:a :: d:c .

La composición (sýnthesis) de una razón consiste en tomar la suma del antecedente más el consecuente como una sola magnitud respecto al consecuente (Def. 14) y la descomposición (diaíresis) consiste en tomar la diferencia del antecedente menos el consecuente en relación con el consecuente (Def. 15). Es decir, que si tenemos una razón a:b , la composición de la misma sería a+b:b , y la descomposición de esa misma razón sería a-b:b . Cuando determinadas magnitudes son proporcionales en composición, lo son también al descomponerlas (Prop. 17) y, viceversa, si determinadas magnitudes son proporcionales descompuestas, también lo serán por composición (Prop. 18): si a+b:b :: c+d:d , entonces a:b :: c:d y viceversa.

La conversión (anastrophḗ) de una razón consiste en tomar el antecedente en relación a la diferencia del antecedente menos el consecuente; y si determinadas magnitudes son proporcionales en composición, también tras la conversión serán proporcionales (Prop. 19, corol.): si a:b , la conversión de esa razón nos daría otra razón a:a-b . Y si a+b:b :: c+d:d , por conversión tendremos que a+b:a :: c+d:c .

La razón ex aequali (di’ísou) la define Euclides (Def. 17) diciendo que si hay una serie de magnitudes y otra serie en igual número que las primeras, tomadas de dos en dos y en la misma razón, se produce una proporción ex aequali cuando en la primera serie la primera es a la última como en la segunda serie la primera a la última. Dicho de otra manera, también recogida por Euclides, consiste en tomar los extremos con omisión de los medios. Es decir, que si teniendo dos series de magnitudes, ambas con igual número de elementos a, b, c, d, e, f… j, k y A, B, C, D, E, F… J, K , y se cumple que a:b :: A:B, b:c :: B:C, c:d :: C:D… j:k :: J:K , entonces, a:k :: A:K . Esta definición, que se aplica en las proposiciones 20 y 21 referida a la proporción alterada —de la que hablaremos a continuación— es al mismo tiempo el enunciado de una propiedad que, necesariamente, hay que demostrar (Prop. 22).

La proporción alterada (tetaragménē ⁵⁵ ) se produce cuando entre tres magnitudes y otras tantas en el mismo número que ellas se da que el antecedente es al consecuente entre las primeras como el consecuente al antecedente en las segundas, y que el antecedente es a otra magnitud en las primeras como otra magnitud al consecuente en las últimas (Def. 18). Si tenemos a, b, c y A, B, C , y se da que a:b :: B:C y b:c :: A:B , las dos series de magnitudes están en proporción alterada.

Cuando tres magnitudes están en proporción continua (synechḗs analogía) , es decir, que a:b :: b:c , se dice que la segunda magnitud es media proporcional de las otras dos; la propiedad fundamental de esta clase de proporciones consiste en que la primera magnitud guarda con la tercera una razón que es la del cuadrado de la primera con el cuadrado de la segunda (diplasíōn lógos) (Def. 9); es decir, que si a:b :: b:c , entonces a:c :: a² :b2 . Asimismo, cuando cuatro magnitudes están en proporción continua, a:b :: b:c :: c:d , la primera guarda con la cuarta una razón que igual a la del cubo de la primera con la del cubo de la segunda, es decir, que a:d :: a³ :b3 (triplasíōn lógos) .

Una operación más que Arquímedes emplea frecuentemente en sus razonamientos es la composición de razones (synkeímenos lógos); su equivalente algebraico es el producto de razones.

La tradición manuscrita: el texto y las ilustraciones

La historia de la transmisión de los textos griegos está plagada de pérdidas, desapariciones, reapariciones y reconocimientos, y tiene un punto de peripecia que recuerda la trama de las novelas helenísticas. El caso de Arquímedes no es excepción. El grueso de la investigación sobre este tema fue llevado a cabo por Heiberg ⁵⁶ , y su trabajo ha sido la principal fuente de datos para los tratadistas posteriores como lo es en buena medida para nosotros, ya que nadie más ha emprendido hasta ahora un estudio tan profundo y riguroso de la tradición manuscrita de las obras de Arquímedes con la salvedad, en todo caso, de los estudios de M. Clagett sobre el Arquímedes latino ⁵⁷ y la nueva edición —en preparación— del palimpsesto de Jerusalén.

Los hechos acontecidos durante el período oscuro de la transmisión —desde el momento en que Arquímedes compuso y publicó los tratados hasta la fecha del Comentario de Eutocio, a principios del siglo VI — podemos reconstruirlos sólo mediante hipótesis y vendrían a indicamos, en resumen, que las obras debieron de difundirse separadamente —es decir, sin formar un corpus— y con diversa fortuna según el interés que cada una suscitó: fue probablemente en este período cuando se produjo la pérdida del escrito sobre los poliedros semirregulares mencionado por Papo y, también probablemente, la de la selección de las proposiciones que se nos conservan del tratado de la Medida del círculo , tratado que Eutocio conoció en la misma forma incompleta que nosotros.

Las copias de los trabajos de Arquímedes no debían de ser moneda corriente, según nos lo indican varios datos: uno, que Diocles, al que se data en tomo a 190-180 a. C., ya no llega a encontrar la prueba que Arquímedes afirma haber redactado en un lema a Sobre la esfera y el cilindro II 4, y por ello lleva a cabo su propio intento de demostración; el segundo, que cuando Eutocio, en el siglo VI d. C., se propone elaborar su Comentario ya no pudo encontrar ejemplares ni siquiera de todas las obras significativas: la Cuadratura de la parábola la conoce nada más de título, las Espirales sólo por una referencia imprecisa, y para encontrar el lema que acabamos de mencionar a Sobre la esfera y el cilindro II 4 tiene que andar rebuscando entre libros antiguos medio borrosos; además, los árabes, que conocieron y utilizaron ampliamente las obras de Arquímedes, no llegaron nunca a disponer de ningún manuscrito tan completo como los que nos han llegado por la tradición griega.

En la época de Eutocio y tal vez por obra del mismo círculo en que éste se movía pudo ser cuando los tratados de más éxito —Sobre la esfera y el cilindro , la Medida del círculo y el Equilibrio de las figuras planas — se virtieron de su dialecto dorio original a la koinḗ diálektos , el «dialecto común» utilizado habitualmente en la expresión literaria. Así lo suponen expertos como Heath y Bulmer-Thomas ⁵⁸ , y el hecho de que los tratados «traducidos» sean precisamente los que Eutocio comentó obra como argumento a favor de esta suposición. Las indicaciones de copista, que figuran respectivamente al final del Comentario de Eutocio al libro I de la Esfera y el cilindro , al final de su Comentario al libro II de la misma obra y al final del Comentario a la Medida del círculo aseguran que la edición de esos trabajos fue revisada por Isidoro de Mileto, lo que algunos han tomado por indicio de que Isidoro de Mileto debió de ser el impulsor, si no el autor, de una recopilación de las más antiguas —si no la primera— de las obras de Arquímedes; bien pudo ser así, como empuja a pensarlo el hecho de que se sumen las evidencias de interés por las obras de Arquímedes, pero la verdad es que no hay pruebas suficiente para afirmarlo sin lugar a dudas. En todo caso, si tal edición se llevó a cabo, hemos de pensar que era menos completa que la que nos ha llegado, y que en esa edición debían de faltar, al menos, los tratados sobre Espirales y Cuadratura de la parábola que Eutocio hace ver que no conoció.

Aunque la evidencia sea insuficiente para admitir la confección de una recopilación de las obras de Arquímedes, si reunimos los datos dispersos con que contamos para ese período —la primera mitad del siglo VI — sí parece que por entonces un grupo de matemáticos e ingenieros, próximos a los arquitectos de Santa Sofía de Constantinopla, se interesaron de modo muy especial en las obras de Arquímedes. El interés por ellas se pone de manifiesto por la propia redacción del Comentario de Eutocio y por el hecho de que Antemio de Trales incluyera el estudio sobre los espejos ustorios en su obra Perì paradóxōn mēchanēmátōn (= Sobre artilugios extraordinarios) . Las relaciones entre estos personajes se deducen del hecho de que Eutocio hiciera a Antemio receptor de la dedicatoria de su Comentario a las Cónicas de Apolonio, y de que se atribuya a Isidoro de Mileto la edición de los Comentarios de Eutocio a los libros Sobre la esfera y el cilindro y a la Medida del círculo . Las mismas glosas que atribuyen a Isidoro de Mileto esa edición indican que la copia del manuscrito la llevó a cabo un discípulo de Isidoro, al que llama «nuestro maestro».

El «período oscuro» llegaría a su fin en el siglo IX . Es la época de Focio y de la transliteración, los tiempos en que los antiguos manuscritos en forma de volumen y escritos en uncial —la letra mayúscula utilizada desde el siglo IV a. C. tanto en epígrafes como sobre papiro o pergamino— fueron copiados de nuevo, pero ahora en cursiva minúscula y en forma de libro. En el año 863 el emperador Bardas refundó la escuela imperial de Constantinopla y encargó la dirección de la misma a León el Filósofo ⁵⁹ . Una dedicatoria de manuscrito en un colofón de copista al final de la Cuadratura de la parábola ⁶⁰ hace pensar en algún género de participación de este personaje en la elaboración del mismo: «Feliz seas, León Geómetra: que vivas muchos años, muy amado de las Musas»; de ahí que se le atribuya la preparación o, al menos, el impulso de la «edición» modelo de las obras de Arquímedes. Los manuscritos así confeccionados debían de ser más completos que los conocidos y preparados en el siglo VI , como se deduce del hecho de que el mencionado colofón se encuentre al final de la Cuadratura de la parábola , que Eutocio no conocía.

Aunque los manuscritos que resultaron de esos trabajos filológicos no han llegado, en sentido estricto, hasta nuestro tiempo, son el origen de la tradición manuscrita en que se basan las ediciones actuales. Circularon al menos tres modelos diferentes de esas supuestas ediciones, tres tipos de manuscritos, de los cuales el primero y más famoso es sin duda el palimpsesto de Jerusalén dado a conocer por Heiberg en 1906 ⁶¹ . El manuscrito, que aparentemente conservaba textos religiosos —en concreto un eucologio—, presentaba muestras de haber contenido en fecha más antigua otro texto, de carácter matemático, que había sido borrado para reutilizar el pergamino que servía como soporte escriptorio. Heiberg comprobó que la escritura primera (minúscula del siglo X ) correspondía a obras de Arquímedes. Allí, junto con obras conocidas por otros manuscritos —Equilibrio de las figuras planas II, Sobre las espirales, Sobre la esfera y el cilindro, Medida del círculo —, estaban los dos libros Sobre los cuerpos flotantes , el Método y un fragmento del Stomachion , para cuyo texto griego es fuente única.

El manuscrito, tras desaparecer en la Primera Guerra Mundial, reapareció en una colección privada francesa. Los nuevos propietarios intentaron venderlo a la Bibliothèque Nationale de París y a la British Library londinense sin llegar finalmente a ningún acuerdo, tras lo cual, en 1998, salió a subasta en Nueva York en la casa Christie’s al atractivo precio de dos millones de dólares. Adquirido entonces por un comprador anónimo, se cuenta actualmente entre los fondos del Walters Art Museum de Baltimore. N. G. Wilson, el famoso experto en historia y crítica de los textos, encargado por la casa Christie’s de redactar lo relativo al palimpsesto para el catálogo de la subasta, ha publicado recientemente un artículo ⁶² en el que amplía las noticias ofrecidas por Heiberg. Aparte de una serie de precisiones de carácter paleográfico y codicológico, nos informa del deterioro sufrido por el manuscrito en el siglo escaso transcurrido desde que Heiberg lo dio a conocer: muchas hojas se han visto afectadas por hongos, que han dejado marcas en el pergamino, por lo cual partes del texto que Heiberg pudo leer a simple vista con ayuda de la lupa hoy son difícilmente legibles sin ayuda de la moderna tecnología —para algunas bastaría con la lámpara ultravioleta, pero ciertos pasajes, afectados por las manchas de hongos, sólo son recuperables con las técnicas digitales—. Además, cuatro hojas en las que Heiberg pudo leer texto de Arquímedes presentan hoy ilustraciones con retratos a toda página que pueden pretender representar a los cuatro evangelistas: los colores empleados resultan sumamente modernos; ni Papadopoulos-Kerameus, el primero en catalogar el manuscrito, ni Heiberg, primero en publicar su contenido, hacen referencia a esas cuatro hojas iluminadas. Wilson deduce que las iluminaciones son «el resultado de un intento desastrosamente equivocado de embellecer el manuscrito, presumiblemente para aumentar su valor a los ojos de un posible comprador», acción que califica de «vandalismo para el que no es fácil encontrar paralelos». Por cierto que otros vandalismos semejantes se habían producido ya a mediados del siglo XIX y por obra de una persona de cuya formación uno hubiera esperado más respeto a libros y bibliotecas: fue el erudito alemán Tischendorf quien mencionó por primera vez el palimpsesto en un libro de viajes ⁶³ , al relatar que en Constantinopla había visitado la biblioteca del Patriarcado sin hallar nada de interés «aparte de un palimpsesto que trata de matemáticas». Parece que, además de verlo, lo mutiló llevándose consigo una hoja al salir de la Biblioteca, puesto que en 1876 sus albaceas vendieron dicha hoja a la Biblioteca de la Universidad de Cambridge, donde se conserva hoy como Ms. Add. 1879.23 ⁶⁴ .

Los otros dos manuscritos desaparecidos en que se funda la tradición son los que Heiberg sigla, respectivamente, A y , dos códices llegados a Occidente a través de Sicilia. El primero de ellos era un códice que perteneció a Giorgio Valla ⁶⁵ y que contenía Sobre la esfera y el cilindro, Medida del círculo, Sobre los conoides y esferoides, Sobre las espirales, Sobre el equilibrio de las figuras planas, Arenario, Cuadratura de la parábola , los Comentarios de Eutocio y el tratado Sobre las medidas de Herón ⁶⁶ . El manuscrito fue comprado a la muerte de Valla en 1499 por Alberto Pio, príncipe de Carpi y de él lo heredó su sobrino, Rodolfo Pio, en 1550. El inventario de la biblioteca de éste último, realizado a su muerte en 1564, no recoge la existencia de ningún libro de Arquímedes, y ahí se pierde la pista. Pero antes de desaparecer, el manuscrito había servido de modelo directo para, al menos, cuatro copias, una conservada en Florencia, en la Biblioteca Laurenciana, dos que guarda hoy la Bibliothèque Nationale de París, y la cuarta en la Biblioteca Marciana de Venecia ⁶⁷ . Esos manuscritos son los testimonios más fidedignos de la tradición manuscrita en griego, en opinión de Heiberg, hasta que vino a unírseles el palimpsesto de Jerusalén. Si el Laurenciano es el códice más respetuoso, pues conserva errores que se detectan también en las lecturas de Valla, el Parisino 2360 (G) es el que nos ofrece los datos más completos sobre el manuscrito desaparecido, pues en uno de sus márgenes (fol. 120) podemos leer: «Esta copia se realizó a partir del modelo aquel antiquísimo que fue primero propiedad de Giorgio Valla y que perteneció después al distinguidísimo príncipe Alberto Pio de Carpi. El cual modelo —antiquísimo, como hemos dicho— tenía grandísima e inmensa falta de claridad por causa de los fallos, de modo que en innúmeros lugares no cabía en modo alguno leer con certeza. En cuanto a las ilustraciones, habiendo muchos y variados errores, las confusiones eran muy abundantes; quiero decir: unas letras por otras, χ en vez de κ y al revés; α en vez de λ y al revés; ζ, en vez de ξ y al revés ⁶⁸ . Había además en el modelo ciertos signos particulares de abreviatura…». Los cuatro manuscritos que evidencian ser copia directa del de Giorgio Valla son los que han servido de modelo para el resto de las copias existentes, cuyo catálogo puede consultarse en los Prolegomena de Heiberg.

Antes de toda esta peripecia humanística, en 1269 y en la corte papal de Viterbo, este mismo códice A había servido de original para la traducción latina que llevó a cabo el dominico Guillermo de Moerbeke ⁶⁹ , cuyo original se conserva en la Biblioteca Vaticana ⁷⁰ . La traducción de Moerbeke es sumamente valiosa porque, además de haber sido realizada sobre texto griego, es cuidada y comprensible, a pesar de la dificultad añadida que suponía ocuparse de temas como las espirales o los conoides y esferoides para los que no había ninguna tradición latina previa. Heiberg dice de ella: «Guillermo, según su costumbre, sigue tan de cerca los vocablos griegos uno a uno, que su versión puede ser tratada al comparar 〈scil ., «los manuscritos»〉 como si fuera un códice griego». De acuerdo con eso, Heiberg lo emplea abundantemente a la hora de fijar su edición; pero el interés de esta versión latina no sólo radica en ello, sino también en que ofrece el texto del tratado Sobre los cuerpos flotantes , que no aparece en A. De ahí que se restituya la existencia, en Viterbo y en 1269, del otro manuscrito griego perdido al que hacíamos referencia, el que Heiberg sigla , del cual no tenemos ninguna otra noticia directa ni indirecta más que la contaminación reseñada en la versión de Guillermo de Moerbeke.

Y es que las versiones latinas —y no sólo la de Moerbeke— han desempeñado un papel nada despreciable en la transmisión y difusión de las obras de Arquímedes. Nuestro conocimiento sobre ese punto depende en buena medida de los estudios de Clagett sobre Arquímedes en la Edad Media. Según este autor, la Medida del círculo fue vertida al menos dos veces al latín en el siglo XII: si la primera de esas versiones —que él atribuye a Platón de Tívoli— no es de gran calidad ni aporta datos de especial relevancia, la segunda, sin embargo, mucho más cuidadosa, realizada en Toledo por Gerardo de Cremona ⁷¹ (1144-1187) a partir de una versión árabe, presenta el interés de que conserva un corolario sobre el área del sector circular en función de la longitud del arco del sector y el radio, demostración que Herón atribuye específicamente a Arquímedes. Este dato, además de corroborar la tesis de que la versión que poseemos de la Medida del círculo es incompleta, nos hace ver que junto a los tres tipos de manuscritos griegos reseñados —obras escriptorias de importancia, como corresponde a la calidad del autor y al interés y dificultad de los textos— corrieron también seguramente copias de menor calidad y menos pretensiones, probablemente para uso de docentes y discentes, que contenían sólo una o algunas de las obras más solicitadas.

Volviendo a los manuscritos en los que se basa la tradición que ha llegado a cristalizar en la imprenta, una segunda traducción latina de A digna de referencia es la llevada a cabo por Jacobo de Cremona en 1450 por orden del papa Nicolás V, de cuyo interés haremos mención más adelante, al ocuparnos de las obras impresas.

En cuanto a las ilustraciones, hemos de decir en primer lugar que los filólogos, en general, han mostrado muy escaso interés por ellas hasta ahora. No es raro que se editen en lenguas modernas versiones de los clásicos amputadas de las ilustraciones que sí figuran en todos los manuscritos, ni es excepcional que tal caso se produzca en ediciones del texto griego. Las introducciones no suelen señalar la procedencia precisa de las figuras, porque frecuentemente las ilustraciones que salen de la imprenta no son sino refecciones más o menos precisas, inspiradas en alguno de los manuscritos o en el conjunto de ellos.

Que los antiguos matemáticos griegos utilizaban diagramas lo evidencia, sin ir más lejos, la anécdota plutarquiana que relata la muerte de Arquímedes y, remontándonos aún más atrás, contamos con testimonios que señalan a Hipócrates de Quíos como el autor de la convención de servirse de letras para designar los puntos oportunos en los dibujos. Sin duda esa tradición ha contribuido a que la mayor parte de los manuscritos de tema matemático conserven sus ilustraciones —como regla general podemos decir que sólo faltan las ilustraciones en los manuscritos inacabados, pues, en general, los copistas iban por delante escribiendo el texto y dejando espacio para las figuras, que se añadían una vez concluida la copia—. En lo que se refiere a Arquímedes, R. Netz ha elaborado lo que pretende ser la primera edición crítica de las figuras: el resultado de sus estudios hace ver que los manuscritos derivados de A (el códice desaparecido que perteneció a G. Valla) coinciden en la forma y disposición de las ilustraciones —incluso en lo que se refiere al lugar que ocupan dentro del teorema, siempre siguiendo inmediatamente a la descripción de la construcción—, lo que permite suponer que copian fielmente el modelo común. A la vez, ciertas figuras conservadas en C (el palimpsesto) —las correspondientes a Sobre la esfera y el cilindro I 32 a II 6— coinciden con las que se pueden reconstruir para A de modo tan próximo que parece evidente un origen común para ambos manuscritos bizantinos, aunque no podemos dar razón de la fecha de origen del prototipo. El manuscrito B, que contiene la traducción latina de Moerbeke, no es de utilidad para esta reconstrucción, pues Moerbeke cambió de lugar las figuras transfiriéndolas a los márgenes, y ésa debió ser la razón de que las ilustraciones de su manuscrito presenten proporciones diferentes de las de A y C; además, a mediados del siglo XV el humanista Coner estudió el manuscrito y se permitió raspar algunas de las ilustraciones y sustituirlas por otras que, a su entender, eran más correctas. Con su edición crítica de las ilustraciones —ése es el nombre que él da a su trabajo— Netz pretende «reconstruir a partir de la evidencia de los manuscritos la forma más antigua recuperable de los diagramas», con lo cual su juicio respecto a la ‘corrección’ se ajusta a los criterios antiguos, que a su entender pretenden «ofrecer una representación esquemática del modelo de configuración contenido en el caso geométrico estudiado»; esa representación esquemática «se usa como parte de la lógica del argumento» y «es independiente de los valores métricos» —en el sentido de que dos rectas o dos círculos que en la construcción se describen como iguales pueden ser en la ilustración uno mayor que otro o viceversa, o que elementos descritos en la construcción como desiguales pueden aparecer como iguales en el diagrama—, o de que lo que en la construcción se describe como una «cuerda» puede aparecer en el dibujo como un diámetro, sin que eso deba afectar a la lógica de la demostración. En el caso de errores manifiestos de los escribas, concretamente en la asignación de letras en la figura, Netz lleva a cabo la corrección y la hace notar en el aparato crítico que adjunta a cada ilustración.

La comparación entre los diagramas recogidos por Netz y Heiberg permite ver que éste último, respetando en lo fundamental el número y clase de figuras y la disposición general de las mismas, corrigió tamaños, sustituyó curvas del original por rectas, añadió y quitó letras y rectas, y, en general, alteró las figuras en el sentido que le pareció más oportuno tendiendo a ofrecer lo que a los ojos del lector de su tiempo podía ser más «correcto» de acuerdo con los usos generales de las ilustraciones matemáticas de su época.

Principales ediciones y traducciones

La primera edición de conjunto del texto griego de las obras de Arquímedes fue publicada en Basilea en 1544 por Johann Gechauff Venatorius, impresa por Hervagius, y contenía todas las obras conocidas por entonces del gran matemático ⁷² . Iba acompañada de una versión latina, basada en la ya mencionada de Jacobo de Cremona, pues Regiomontano ⁷³ había copiado de su propia mano este manuscrito, lo contrastó con el texto griego de E, fuente de las correcciones y anotaciones marginales que presenta, y llevó su copia a Alemania en 1468 (el original del trabajo de Regiomontano se conserva hoy en Nuremberg ⁷⁴ ).

Las ediciones que aparecieron posteriormente no sólo fijaron el texto, sino que además lo fueron corrigiendo poco a poco mediante la colación de manuscritos no tenidos en cuenta previamente, y a ello colaboraron también los traductores de Arquímedes a las lenguas modernas, detectando errores y proponiendo conjeturas que venían a aclarar pasajes corruptos. Continuaba, entretanto, la labor erudita de investigación textual, y el siglo XVIII vio el descubrimiento de un texto de Arquímedes dado por desaparecido: el Problema de los bueyes , recuperado y dado a conocer por Lessing en 1773 ⁷⁵ .

Se consideran trabajos clásicos la traducción latina de Comandino (Venecia 1548) ⁷⁶ ; la edición de Rivault (París 1615) —con los enunciados de las proposiciones en griego y las demostraciones en latín algo retocadas, realizada sobre la edición de Basilea y que sirvió de base a la primera traducción a una lengua moderna, la alemana de Sturm (Nuremberg, 1670)—; la bilingüe grecolatina de Torelli (Oxford 1792), así como la traducción alemana de Nizze (Stralsund, 1824) y la francesa de Peyrard (París, 1807).

Todas esas ediciones y traducciones se vieron ampliamente superadas por la de Heiberg, quien, tras colacionar más de una docena de manuscritos griegos, las principales traducciones latinas antiguas y las traducciones más significativas, e incorporar el texto griego del Problema de los bueyes y la versión latina del Libro de los Lemas ⁷⁷ , publicó el texto junto con su traducción latina (Leipzig, 1881), texto que amplió y corrigió a la luz del hallazgo del palimpsesto aparecido en Constantinopla. Esta segunda versión de las obras de Arquímedes se imprimió entre 1910 y 1915, y contenía ya el Método , el texto griego del tratado Sobre los cuerpos flotantes , desconocidos hasta entonces, e incorporaba también los fragmentos griegos del Stomachion; en 1972 fue reimpresa —ya en Stuttgart, nueva sede de la colección Teubner— con correcciones añadidas por E. Stamatis. Por esos mismos años, entre 1970 y 1972, la colección Les Belles Lettres publicó el texto griego —el de Heiberg, en lo fundamental, con algunas correcciones procedentes del Parisinus Graecus 2359 (F)— acompañado de la traducción francesa de Ch. Mugler.

Entre las traducciones a las lenguas modernas ⁷⁸ publicadas a lo largo del último siglo, la versión inglesa de Heath es un clásico para el estudio de Arquímedes, así como la obra —en holandés primero, vertida después al inglés— de Dijksterhuis ⁷⁹ , ambas fáciles de encontrar en librerías gracias a las repetidas reimpresiones que dan fe de su éxito, basado en la excelente calidad de ambos trabajos. Hay que dejar claro que ninguna de las dos es, propiamente hablando, una traducción, sino que ambas pretenden poner al alcance del matemático del siglo XX los principales resultados de las investigaciones de Arquímedes. Heath, en particular, no ha renunciado a ampliar las explicaciones donde la concisión del original arquimedeo hacía difícil la comprensión o a aclarar pasajes de difícil interpretación y emplea sistemáticamente la terminología y métodos de la matemática actual; Dijksterhuis, por su parte, da traducción rigurosa sólo de los enunciados, mientras que las pruebas propiamente dichas las expone mediante una notación simbólica creada por él con el propósito específico de facilitar la comprensión de la matemática griega antigua; además, separa y recoge en un solo capítulo cierto número de proposiciones que, en su opinión, no forman parte del núcleo de teoremas fundamentales de cada obra, sino que actúan como lemas o «elementos» (en el mismo sentido en que son elementales los Elementos euclidianos), pretendiendo con ello conseguir que los puntos fundamentales de cada obra puedan ser tratados y resumidos mucho más rápidamente, toda vez que las cuestiones accesorias han sido contempladas previamente. Con lo dicho queda de manifiesto que los trabajos de Heath y Dijksterhuis, en tanto que explicaciones pensadas para sus contemporáneos, están en realidad más emparentados con los Comentarios de Eutocio que con la traducción antigua de Moerbeke o con las más recientes de Ver Eecke, Mugler o Netz.

En francés se destacan las traducciones del ingeniero belga Paul Ver Eecke y la de Charles Mugler, a la que ya aludimos antes, ambas de gran calidad; también hay que reseñar la versión alemana de Czwalina, la italiana de Frajese y la traducción al griego moderno de Stamatis. En español contamos sólo con una versión casi completa —no aparecen el Stomachion ni los Lemas —, editada en el segundo volumen de las obras de los Científicos griegos (1970); en ella no se menciona el traductor ⁸⁰ ni el texto sobre el que ha sido elaborada. Entre nosotros la obra que ha despertado más interés ha sido el Método , el cual, desde que fue descubierto hace aproximadamente un siglo, ha visto aparecer varias versiones: la de Babini (Buenos Aires 1966) es poco fiable al no haber sido realizada a partir del texto griego, y algo semejante ocurre con la que aparece en el ya citado volumen II de los Científicos griegos; más dignas de mención son la de L. Vega, con traducción de M.^a Luisa Puertas, acompañada de introducción y algunas notas (Madrid, 1986) y la más reciente de González Orbaneja y Vaqué Jordi (Barcelona, 1993), que antes de ser libro fue seminario universitario; con amplia introducción (56 págs.) y abundantes notas (con aclaraciones textuales, históricas y matemáticas), incluye reproducción fotomecánica de la edición de Heiberg y nuevas figuras realizadas por González Orbaneja. También disponemos de traducción al español del tratado Sobre los círculos tangentes , realizada por J. Vernet y A. Catalá ⁸¹ .

La Cambridge University Press acaba de publicar —mayo de 2004— una nueva traducción inglesa —la primera a la que de verdad corresponde tal nombre—, obra de Reviel Netz. En esta obra, cada proposición de Arquímedes va seguida de un comentario textual relativo al texto ofrecido por Heiberg —que Netz no reproduce— y unos comentarios generales centrados en cuestiones de carácter epistemológico o lingüístico, y presenta como novedad principal la ya comentada edición científica de los diagramas. Incluye también la primera traducción al inglés del Comentario de Eutocio a los libros Sobre la esfera y el cilindro .

EUTOCIO

Ya dijimos que frente a la intención claramente didáctica de los Elementos de Euclides, que nos presentan una introducción elemental a todas las ramas de la matemática de la época, los escritos de Arquímedes están más próximos al ensayo científico: no son obras pensadas para un público amplio, ni siquiera de estudiantes, sino que se ocupan de cuestiones concretas, están dirigidas a otros matemáticos — y no cualesquiera, sino a personas que gozan de la buena opinión de Arquímedes— y no se proponen divulgar conocimientos, sino someter los trabajos del estudioso a un juicio ajeno cualificado. Por esa razón, Arquímedes muchas veces da por sobreentendidos en las proposiciones ciertos pasos del razonamiento que probablemente le parecían obvios. Cuando estas obras dejaron de pertenecer al género del ensayo científico para transformarse en clásicos y fueron considerados dignos de estudio, los principiantes debieron de encontrar no pocas dificultades para seguir el razonamiento del maestro. Eso fue lo que, a principios del siglo VI , movió a Eutocio, matemático nacido en Ascalón y educado en Constantinopla, a emprender su Comentario: «Habiendo hallado que ninguno de mis predecesores había compuesto un ensayo sobre los libros de la Esfera y el cilindro de Arquímedes y considerando que no lo habían dado de lado por la sencillez de los teoremas —pues, como sabéis, requieren una atención minuciosa y una imaginación inteligente—, me apeteció, en la medida de mis fuerzas, poner en claro lo que en ellos hay de difícil comprensión».

Con estas premisas redactó el Comentario a los libros sobre la Esfera y el cilindro . Los manuscritos nos han transmitido también Comentarios a la Medida del círculo , al Equilibrio de las figuras planas y a los cuatro primeros libros de las Cónicas de Apolonio de Perga. Los escritos van precedidos de pequeñas introducciones, que incluyen dedicatorias: a Amonio le dedica el Comentario a los dos libros Sobre la esfera y el cilindro , a Antemio de Trales los de los cuatro libros de las Cónicas de Apolonio y a un desconocido Pedro el del Equilibrio de las figuras planas . Además de estos trabajos, de autoría bien documentada en la tradición manuscrita, Mogenet ⁸² le atribuyó también la redacción del escrito que hoy conocemos bajo el título de Introducción al Almagesto de Ptolomeo . Este texto, que venía considerándose anónimo, está formado por una serie de escolios al Almagesto que acabaron tomando forma de obra independiente. La atribución de Mogenet se basa en ciertos pasajes del comentario a la Medida del círculo , pero Bulmer-Thomas considera que esos textos no son apoyo suficiente para sostener la hipótesis propuesta. Frente a esos dos autores, Wilson opina que Eutocio sí escribió sobre ese tema, pero que no se han conservado restos de tal trabajo.

Las dedicatorias que preceden a los Comentarios son, prácticamente, las únicas fuentes de que disponemos sobre la vida de Eutocio ⁸³ . Amonio, comentador de Aristóteles y maestro de profesión, entre cuyos discípulos se contaron personajes como Juan Filópono, Damascio o Simplicio, probablemente fue también maestro de Eutocio, pues éste le llama «destacadísimo filósofo» ⁸⁴ y dice dirigiéndose a él: «si por causa de mi juventud doy la nota desafinada, tú lo corregirás gracias a tu saber en toda clase de conocimientos y especialmente en matemáticas» ⁸⁵ . En cuanto a Antemio de Trales, conocido sobre todo por haberse ocupado de las obras de Santa Sofía de Constantinopla junto con Isidoro de Mileto, debió de ser compañero de Eutocio, pues éste le trata de «querido compañero» (phíle hetaîre) y «queridísimo mío» (phíltaté moi) ⁸⁶ . Las dataciones de estos personajes, que conocemos sólo de modo aproximado ⁸⁷ , son las que han llevado a los estudiosos a proponer la acmḗ ⁸⁸ de Eutocio en torno a 520 y su nacimiento, por tanto, en torno a 480 ⁸⁹ .

En los textos de Eutocio figura también ⁹⁰ , aunque no como receptor de las dedicatorias, un «Isidoro de Mileto el Mecánico» a quien se trata repetidamente de «nuestro maestro» las frases han sido interpretadas, en general, como colofones de copista, el cual podría haber sido un discípulo de ese Isidoro encargado por éste de «poner en limpio» el trabajo. Los mencionados colofones atribuyen a Isidoro, además de la edición de los Comentarios de Eutocio a los dos libros Sobre la esfera y el cilindro y a la Medida del círculo , la invención de un compás para trazar parábolas. No hay unanimidad respecto a la identificación del personaje: algunos especialistas, como Heath, piensan que este Isidoro de Mileto es el arquitecto de Santa Sofía y que quizá fuera maestro de Eutocio. La segunda parte del aserto es difícilmente aceptable: para la muerte de Amonio tenemos como terminus ante quem la fecha de 517; en cuanto a Isidoro de Mileto suponemos que murió entre 537, fecha de la finalización de Santa Sofía, y 554, fecha en que su sobrino, Isidoro el Joven, llevó a cabo la restauración de la cúpula de ese mismo edificio. Teniendo en cuenta que los jóvenes comenzaban sus estudios con un maestro avanzado en torno a los 18 o 20 años y que el tiempo de estudio junto a un maestro rara vez sobrepasaba los tres o cuatro años es verdaderamente difícil que Eutocio haya podido ser discípulo de ambos personajes; Bulmer-Thomas ⁹¹ también da por fiable la identificación de este Isidoro con el famoso arquitecto, pero sostiene que debemos interpretar la noticia como un testimonio de que revisó la edición, no el contenido de la obra. Tannery, por su parte, pensaba más bien que no se trata del famoso arquitecto, sino de otro personaje, tal vez el mencionado Isidoro el Joven.

En cuanto a la cronología de los trabajos de Eutocio, para el Comentario al Equilibrio de las figuras planas no hallamos referencias que permitan datarlo, pero el Comentario a los dos libros Sobre la esfera y el cilindro tiene que ser anterior al de la Medida del círculo , puesto que Eutocio menciona la primera de estas obras en el proemio de la segunda. Posterior a esos dos trabajos sería el Comentario a las Cónicas , según parecen apuntar algunos indicios. Uno, que de las expresiones empleadas para referirse a Amonio que citábamos más atrás cabe deducir que cuando redactó ese trabajo Eutocio debía de ser un hombre relativamente joven y de posición académica y social aún poco relevante; por eso, como obra de primerizo y dada la dificultad de la materia, necesita aún de la mirada supervisora del maestro Amonio, mientras que cuando comenta las Cónicas de Apolonio es un Eutocio de más edad quien se enfrenta a la tarea, un hombre con la suficiente seguridad en sus capacidades como para no necesitar de supervisores y que puede dedicar su obra al «compañero» de éxito probado que era el arquitecto Antemio de Trales —quien, además, había dado pruebas de su interés por los matemáticos antiguos al ocuparse de los espejos ustorios ⁹² —. El segundo indicio que, a nuestro entender, abona esta hipótesis son dos pasajes del Comentario a las Cónicas : uno procede del proemio al Comentario al Libro I, en donde afirma: «Salta a la vista en muchos pasajes que Arquímedes se refiere a unos elementos de las cónicas muy anticuados» el otro, del proemio al del Libro IV: «Todo lo que hay en él 〈scil., en el Libro IV〉 se demuestra mediante reducción al absurdo, igual que demostró Euclides lo relativo a las secciones y tangencias del círculo. Este recurso es útil y necesario, según les parece tanto a Aristóteles como a los geómetras, y especialmente a Arquímedes». De ambos pasajes parece desprenderse que por entonces Eutocio ya estaba bien familiarizado con las obras de Arquímedes ⁹³ y el comentario de éstas habría sido redactado con anterioridad.

Ya hemos dicho que Eutocio no tuvo oportunidad de leer toda la obra de Arquímedes: la Medida del círculo , que no se nos ha conservado completo, es comentada por Eutocio en una versión que coincide exactamente con la que nosotros conocemos. Precisamente en ese Comentario (III 228, 20-26), Eutocio afirma que según la biografía (para nosotros perdida) de Arquímedes por Heraclides ⁹⁴ , Arquímedes «había descubierto una recta igual a la circunferencia dada de un círculo gracias a ciertas espirales», y de ello deducimos que no conoció el tratado Sobre las espirales . Además, en Equil. Plan . II 1, Arquímedes requiere aplicar a una recta dada dos superficies limitadas por una recta y una parábola, y Eutocio, en el Comentario a ese pasaje (III 278, 4-13) dice: «Pero no es posible encontrarlo entre lo que demuestra allí ahora bien, puesto que demostró [«Arquímedes», scil .] según él mismo afirma en el tratado Sobre la esfera y el cilindro , que tal figura es cuatro tercios del triángulo que tiene igual base e igual altura…», de modo que tampoco conoció la Cuadratura de la parábola .

Estos hechos parecen apuntar a la escasa circulación de los manuscritos de Arquímedes, incluso entre los especialistas —pues no de otra manera podemos considerar a personajes como Eutocio, Antemio o Amonio—. No disponemos de datos que precisen los motivos de tal situación, pero es muy posible que entre ellos se cuenten la dificultad del texto de Arquímedes, por una parte, y el hecho de que los originales de sus obras estuvieran escritos en el antiguo dialecto dorio de Siracusa. Para Heath, los Comentarios de Eutocio suponen, precisamente, un testimonio del renacer de los estudios sobre Arquímedes, renacer manifestado además en el traslado de la antigua forma de los tratados del siracusano en dialecto dorio a la koinḕ diálektos ⁹⁵ , aunque también esta cuestión es peliaguda, pues unas veces Eutocio cita a Arquímedes en koinḗ y otras comienza su cita en koinḗ y a la mitad de la misma vuelve de nuevo al original dorio, lo que puede ser interpretado de diversas maneras: tal vez las obras de Arquímedes ya habían perdido en algunas ediciones su dialecto original; tal vez fue el propio Eutocio quien, al comentarlas, aprovechó para pasarlas de uno a otro dialecto; tal vez los manuscritos de que disponía estaban en dorio pero, al copiar la cita, Eutocio pasa de uno a otro dialecto sin prestar demasiada atención a ese asunto. Hasta el momento presente no se han aportado datos o criterios que permitan dilucidar la cuestión.

En cualquier caso, no debemos olvidar que la existencia del comentario sirvió de apoyo a la transmisión de las obras comentadas pues, en efecto, todas las obras comentadas por Eutocio han llegado hasta nosotros, tanto las de Apolonio ⁹⁶ como las de Arquímedes; en general se supone que los comentarios —probablemente usados por Eutocio en sus clases— debieron de servir de acicate a la lectura de esos textos y, por tanto, a la renovación y multiplicación de copias de los originales.

Los Comentarios tienden a completar las proposiciones de Arquímedes llevando a cabo demostraciones, resolviendo la construcción de las figuras o recorriendo en detalle los pasos de determinadas manipulaciones de proporciones —en cuyo manejo Arquímedes era tan hábil como parco en palabras al explicarlo—. Las aclaraciones son a veces una estupenda ayuda para el lector; otras, pecan de exceso por entrar a detallar lo que cualquier principiante podía conocer sobradamente; en alguna ocasión Eutocio se confunde —por ejemplo, afirmando que son semejantes dos segmentos parabólicos que no lo son (Equilibrio de las figuras planas 8, Heiberg III 290, 22-24)— o reconoce que no es capaz en su comentario de ir más allá de la perífrasis (Equilibrio de las figuras planas 9). Esas deficiencias, sin embargo, no pueden utilizarse para despreciar la obra ni para hacer de menos al tratadista ⁹⁷ ni para ocultar el hecho de que Eutocio era un buen conocedor de los textos que comentaba, aunque no hallemos en él rasgos ni pretensiones propias de una mentalidad creativa… salvo la iniciativa de emprender esta tarea. Es, además, un erudito que recurre sin pereza a los libros antiguos para recopilar las soluciones al problema de Delos, para buscar el casi perdido lema de Arquímedes a Esf. cil . II 4, y que para preparar los Comentarios a las Cónicas de Apolonio no tiene empacho en reunir las diversas ediciones que circulaban (Apol., II 176, 16 y ss., ed. Heiberg) y leer y seleccionar los escolios, sin contar sus referencias a Euclides, Ptolomeo, o Gémino. Las menciones de Platón y Aristóteles son testimonio de lecturas ajenas a la matemática, que resultan más bien parcas.

Pero independientemente de la recreación del personaje y su circunstancia vital, lo que en realidad más ha contribuido a que Eutocio goce del reconocimiento de los matemáticos del último siglo y medio es que este estudioso recogió una información única y de valor excepcional en relación con tres asuntos sobre los que, sin su obra, estaríamos poco documentados. El peso de estas cuestiones en el Comentario es tal que el espacio que se les dedica sobrepasa con creces la mitad del mismo. En primer lugar está la aportación de Eutocio a nuestro conocimiento del sistema de cálculo empleado por los matemáticos griegos: en la Medida del círculo Arquímedes calcula la relación entre la circunferencia y el diámetro de la misma hasta determinarla entre 3 1/7 y 3 10/71, pero nos ofrece sólo los resultados de sus operaciones, y no el desarrollo de las mismas. Con el argumento de que la manera de obtener raíces cuadradas ya había sido explicada por Herón, Papo, Teón y otros comentadores de la Megálē Sýntaxis de Ptolomeo, Eutocio no reproduce los cálculos, sino que lleva a cabo las multiplicaciones que sirven de prueba a las operaciones realizadas por Arquímedes. El nivel puede parecer sorprendentemente bajo, pero se han señalado datos reveladores sobre lo elemental de las habilidades medias de cálculo en la Antigüedad. Por ejemplo, en el siglo IV d. C. el funcionario Hermesión copiaba una tabla de multiplicar en el mismo cuaderno en que redactaba los horóscopos y llevaba las cuentas administrativas; en otro caso, del siglo VII , el texto recoge ejercicios aritméticos de nivel apenas por encima del muy elemental (tablas de números fraccionarios —como 1/2 o 1/3— de la serie de los números enteros; multiplicaciones del tipo 19x55 o 78x76): y la escritura es la de un adulto, no la de un niño ⁹⁸ . Estas referencias, procedentes de papiros, han de usarse con la debida precaución, dada la falta de contexto en tal clase de documentos, pero han de ser tenidas en cuenta como posibles indicios del nivel de conocimientos de los destinatarios del comentario de Eutocio. Los cálculos han sido vertidos de la notación numérica griega —reconstruida previamente, a su vez— con la ayuda de textos hindúes, a la notación arábiga primero por Heiberg, para su versión latina de la obra de Eutocio, y después por Mugler en su edición bilingüe griego-francés, donde el interesado en el detalle de esta cuestión puede consultar los oríginales ⁹⁹ . La segunda cuestión relevante aparece en el Comentario a Esf. cil . II 1, donde se recogen las diversas soluciones dadas en la Antigüedad al problema de hallar dos medias proporcionales entre dos rectas dadas, cuestión en relación directa con la duplicación del cubo, uno de los tres problemas clásicos de la matemática griega ¹⁰⁰ , también llamado «problema délico» o «problema de Delos». El tercer asunto de especial interés procede del Comentario a Esf cil . II 4: en el transcurso de la demostración de ese teorema surge la necesidad de una construcción que requiere la resolución del equivalente geométrico de cierto tipo de ecuación cúbica. Arquímedes promete en su texto resolver ese punto al final, pero no aparece el lema correspondiente. Eutocio, tras haber buscado insistentemente la solución de ese punto concreto, la recupera tomándola de un manuscrito antiguo que, en su opinión, puede ser la propia solución prometida por Arquímedes, ya que el texto está en el dialecto dórico de Arquímedes, no obstante lo cual aporta también soluciones propuestas por otros matemáticos.

Las soluciones a los dos últimos problemas que Eutocio recoge proceden de obras que, en su mayor parte, no se nos han conservado, lo que les confiere gran interés para la historia de la matemática griega: ésa es la razón que nos ha movido a incluir esos textos como acompañamiento a la presente traducción de la obra de Arquímedes.

El problema délico

La cuestión de hallar dos medias proporcionales entre dos rectas dadas se remonta muy atrás en el tiempo; incluso, según relata una carta atribuida a Eratóstenes, a la época homérica —antes de que los griegos hubieran pensado en rectas, curvas ni números de ninguna clase—, cuando Minos, el mítico rey de Creta, al ver el túmulo levantado en honor de su hijo Glauco, lo encontró demasiado pequeño y encargó al arquitecto que lo duplicara. El arquitecto duplicó el lado y, lógicamente, la superficie resultó el cuádruple y el volumen ocho veces más. Minos entonces llamó a los geómetras para que hallaran la forma de resolver el problema y éstos intentaron resolverlo tomando como figura base la de un cubo; por eso al problema empezó a llamársele «duplicación del cubo», pero la verdad es que no es que los geómetras no supieran resolverlo: es que no sabían ni cómo plantearlo. Hipócrates de Quíos fue el primero al que se le ocurrió la reducción ¹⁰¹ del problema que daría a éste su forma clásica: si se hallaba el medio de tomar dos medias proporcionales en proporción continua entre dos líneas rectas, de las cuales la mayor fuera el doble que la menor, se podría hallar, dada la arista de un cubo, la arista de otro cubo doble del primero; es decir, que si se hallaban dos medias proporcionales, del tipo a : x = x : y = y : 2a , la arista del cubo doble del propuesto sería x . Esta reducción fue adoptada por todos los matemáticos posteriores que se dedicaron a este problema, que ni siquiera así era sencillo. Más adelante —sigue contando el relato— los delios fueron a consultar el oráculo de Apolo para librarse de una peste que les aquejaba y recibieron de éste la orden de duplicar el altar: de ahí el otro nombre de «problema delio» o «problema de Delos» con que se le conoce. Pero a los delios les pasó lo que al arquitecto de Minos y pensaron que, si mandaban traer a los geómetras de la Academia de Platón, éstos darían con la respuesta; otra versión de la carta de Eratóstenes ¹⁰² dice que Platón les respondió que el oráculo quería decir no que el dios deseara un altar el doble de grande, sino que quería avergonzar a los griegos por su desprecio de las matemáticas.

El relato, sumamente ameno, no contiene más noticias fidedignas que la reducción efectuada por Hipócrates y la noticia de que los geómetras de la Academia se ocuparon de la cuestión. Pero el caso es, en último término, que Arquímedes, cuando se le presenta el problema, lo resuelve con un «Hágase», sin ofrecer lemas ni remitir a demostraciones posteriores: porque para Arquímedes y sus contemporáneos la solución debía de ser conocida suficientemente. Sin embargo, en el tiempo que medió entre la redacción de las obras de Arquímedes y su lectura por Eutocio, se había olvidado la cuestión hasta tal punto que Eutocio recoge doce soluciones debidas a once matemáticos (a Menecmo se le atribuyen dos), pero no cierra el asunto presentando como canónica ninguna de ellas, a pesar de las notables diferencias de enfoque y calidad matemática existentes entre las mismas.

Los autores de esas soluciones son, en el orden que Eutocio nos presenta sus trabajos, los siguientes: Platón, Herón, Filón de Bizancio, Apolonio, Diocles, Papo, Esporo, Menecmo, Arquitas, Eratóstenes y Nicomedes. Eutocio afirma haber leído también una solución atribuida a Eudoxo, pero cuenta que la rechazó porque «en el proemio afirma haberlo descubierto mediante líneas curvas, mientras que en la demostración no sólo no ha usado las líneas curvas sino que, además, tras hallar una proporción discreta, la usa como si fuera continua, cosa que no era de sospechar no digo ya en Eudoxo, sino en cualquiera de los medianamente versados en geometría».

De las soluciones recogidas por Eutocio, algunas son idénticas, como ocurre con las de Herón, Filón y Apolonio ¹⁰³ . A veces están doblemente testimoniadas: tal es el caso de la atribuida a Herón ¹⁰⁴ , y la de Nicomedes ¹⁰⁵ . Las soluciones que nos transmite Eutocio como de Esporo y Papo son, en realidad, la misma que la de Diocles, con la única diferencia de que Esporo y Papo recurren a una construcción de neûsis mientras que Diocles había recurrido a una curva inventada por él, la cisoide ¹⁰⁶ . Para el resto de las soluciones, Eutocio es testimonio único. Entre ellas, las de Platón y Eratóstenes son soluciones instrumentales, más emparentadas con las tareas manuales —con la ingeniería, habría que decir en el caso de Eratóstenes, a la vista de sus pretensiones— que con las matemáticas, puesto que están enfocadas directamente a la construcción de mecanismos que resuelvan el problema. Precisamente por esa aplicación menestral difícilmente podemos admitir como auténtica la que se atribuye a Platón, de quien sabemos por el testimonio de Plutarco que rechazaba toda asimilación de los entes matemáticos abstractos con la realidad tangible ¹⁰⁷ y que se quejaba de Eudoxo y Arquitas porque éstos, al haber usado recursos materiales para este problema, habían vuelto la geometría de lo inteligible a lo sensible.

Es fácil observar que los textos que recoge Eutocio proceden de todos los períodos de la historia de la matemática griega, desde los de Arquitas y Platón, de principios del siglo IV a. C., hasta los de Esporo y Papo, del siglo IV d. C. Cuesta trabajo discernir el criterio seguido para la presentación, pero quizá el orden en que nos los ofrece tenga que ver con la antigua clasificación de los problemas en «planos», «sólidos» y «lineales». Problemas planos son los que pueden resolverse mediante regla y compás, y en esa clase habría incluido Eutocio seis de las siete primeras soluciones ¹⁰⁸ , que se desarrollan en el plano y resuelven la cuestión «con regla y compás», recurriendo a las construcciones de neûsis . Para nosotros ese método es a todas luces insuficiente, pero los matemáticos griegos parecen haberlo aceptado sin grandes remordimientos. Problemas sólidos son los que se sirven de las secciones cónicas para su resolución, y a este tipo pertenecen las soluciones de Menecmo, que se desarrollan mediante intersecciones de cónicas y que, para los matemáticos actuales, son las únicas que cumplen los requisitos de rigor y precisión exigibles. A éstas siguen las soluciones que tratan el problema como lineal, es decir, del tipo de los que requieren curvas más complejas que las cónicas para su resolución: la de Arquitas, a la vez complicada y original, que lleva a cabo la intersección de un semicilindro, un cono y un toro para hallar la recta requerida, la de Eratóstenes, que trata el problema desde los puntos de vista de la resolución práctica que exige la ingeniería y de la teoría matemática, y la de Nicomedes, que pretende resolver el problema mediante la concoide, curva inventada por él y que es una de las pocas curvas trascendentes de la matemática griega.

La ecuación de tercer grado

En la demostración correspondiente a Esf cil . II 4, cortar una esfera de manera que los segmentos resultantes guarden entre sí una proporción dada, es preciso, llegado determinado momento, resolver el siguiente problema: dado un segmento AB, otro segmento C y un área D, cortar AB por un punto X de tal modo que XB : C = D : AX² ; ahora bien, para llevar a cabo esa construcción es menester servirse de una ecuación cúbica ¹⁰⁹ ; Arquímedes promete resolver ese punto al final, pero al final no figura lo prometido; Eutocio se interesó, en tanto que matemático, por la resolución del lema y, en tanto que aficionado a los libros, por el propio texto arquimedeo del lema, y anduvo investigando hasta que halló en un libro antiguo «unos teoremas escritos con no poca falta de claridad por causa de las incorrecciones y con muy variados errores en las figuras, pero que contenían el fundamento de lo que se investigaba y que, por otro lado, conservaban en parte el dialecto dorio habitual en Arquímedes, y estaban escritos con la terminología usual de la antigüedad, llamando a la parábola ‘sección de un cono rectángulo’ y a la hipérbola ‘sección de un cono obtusángulo’»; por ello creyó que podría ser el lema prometido por Arquímedes. Le pareció difícil seguir el texto en el estado en que lo encontró, y por eso decidió escribirlo «en un lenguaje más corriente y más claro en la medida de lo posible». A título exegético, ofrece también las soluciones que dieron al problema otros dos matemáticos, Dionisodoro y Diocles.

Dionisodoro, al no encontrar modo de resolver el lema cuya demostración faltaba en los manuscritos de Arquímedes, optó por enfrentarse no al lema, sino al conjunto del problema de cortar una esfera dada de manera que los segmentos resultantes guarden entre sí la razón dada, tratándolo como problema sólido y recurriendo a la intersección de una parábola y una hipérbola.

Diocles se aplica al lema perdido y lo resuelve, también él, como problema sólido, mediante la intersección de una elipse y una hipérbola.

Principales ediciones y traducciones

El texto, que no figura en el palimpsesto, está recogido en los códices DEGH, derivados de A, y en la versión latina de Moerbeke; disponemos, además, de un excelente manuscrito del siglo X (Vat. Graec . 204, siglado W). Es innegable en el texto de Eutocio la presencia de interpolaciones —probablemente introducidas en el siglo IX , en la época de León el Matemático—, pero en general se nos ha conservado en buen estado.

Habitualmente se ha editado y traducido junto con las obras de Arquímedes, aunque no todas las versiones de Arquímedes incluyan los Comentarios . La edición más importante es, igual que para Arquímedes, la de Heiberg. Contamos con traducciones al francés (Ver Eecke, Mugler) y al inglés (Netz). La selección de pasajes que ahora presentamos será, aunque parcial, la primera traducción de Eutocio al castellano. Hay que reseñar, en cualquier caso, que tanto Eutocio como sus obras han recibido relativamente poca atención. Ya vemos que las traducciones son escasas; no hay ningún estudio de conjunto sobre sus Comentarios —lo más parecido es el artículo de Clagett en el Dictionary of Scientific Biography —… Por no tener, no tenemos ni un índice completo de los nombres propios que figuran en su obra —los volúmenes de Heiberg que contienen la obra de Apolonio y el correspondiente Comentario de Eutocio no incluyen índices— y rara vez aparece su epígrafe en las bibliografías anuales de L’ Année Philologique . Es de esperar que los trabajos de Netz y este primer intento en español de aproximación a su obra susciten el interés de otros estudiosos y veamos completarse nuestro conocimiento sobre este personaje, tenido habitualmente por segundón, pero cuya importancia en la recepción de las obras de Arquímedes y Apolonio es innegable.

NOTA TEXTUAL

Para la presente traducción hemos seguido tanto el texto como las ilustraciones de Heiberg sin otras alteraciones que alguna corrección de errata material que hemos hecho constar en nota al pasaje correspondiente. Siguiendo a Heiberg también en esto, hemos incluido entre corchetes cuadrados en el cuerpo del texto las referencias a demostraciones que justifican los asertos de Arquímedes, considerando que para el matemático esas referencias pueden ser de gran utilidad y para el filólogo son una muestra del cuidado minucioso empleado por el editor.

Por otro lado, una forma de corrupción de los textos que se da con relativa frecuencia es la inclusión de escolios o glosas en el cuerpo del mismo. Tal fenómeno es especialmente frecuente y abundante en los textos matemáticos: el lector atento de un manuscrito incluye a veces en los márgenes, para sí o para sus discípulos, breves indicaciones que aclaran un pasaje de difícil comprensión, o remite a otra demostración u otra obra en la que se prueba determinado aserto utilizado en una demostración concreta, o repite una referencia a los elementos del diagrama empleado; sus glosas marginales se unen a las del estudioso que ha empleado más de un manuscrito y ha corregido el uno sirviéndose del otro. Sin entrar en labor de crítica, copia todo lo que encuentra, y así se llega a un texto alterado en el que distinguir el original de las glosas es aún más difícil que en el preexistente. Los modos de edición tradicionales suelen marcar la seclusión de lo que se sospecha que puedan ser glosas de ese tipo poniendo esa parte del texto entre corchetes cuadrados, y así actúa también Heiberg, manteniendo entre corchetes cuadrados en el cuerpo del texto los pasajes que considera espurios. Esta labor crítica, aunque discutible puntualmente, representa un intento de aproximación al texto original que resulta especialmente fiable dada la experiencia de su autor, editor no sólo de Arquímedes, sino también de Euclides y Apolonio, y la calidad de su trabajo en materia de paleografía y crítica de los textos.

El resultado de ese trabajo de depuración del texto ha producido diversos resultados en las traducciones a las lenguas modernas: Heiberg omite esos pasajes en su traducción latina; Mugler, que suele coincidir con Heiberg en los pasajes secluidos, los incluye en la traducción sin marcarlos; Netz opta también por incluirlos en su traducción, pero conservando los corchetes y discutiendo en el comentario los pasajes en cuya valoración difiere. Echando también nosotros nuestro cuarto a espadas, y con la intención de ofrecer las demostraciones de Arquímedes en la forma más pura que hasta ahora se ha podido reconstruir —a falta de mejor edición griega—, hemos preferido omitir esos pasajes en el cuerpo del texto, pero los ofrecemos en cursiva en notas a pie de página en la idea de que el lector podrá así aproximarse mejor al estado original del texto en los manuscritos. A la vez, hemos renunciado a todo debate de carácter textual, que queda fuera de las pretensiones de esta colección y que encuentra su lugar más bien en las versiones comentadas, los artículos eruditos o la confección de una nueva edición.

En cuanto a la cuestión de la literalidad de la presente traducción, hemos hecho ya exposición de nuestra postura en los apartados relativos a la terminología y a la teoría de proporciones. Se trata de una cuestión repetidamente discutida en relación con los textos matemáticos griegos, como lo prueba la presencia constante de apartados dedicados a tal materia en las introducciones a las versiones en lenguas modernas: a nuestro entender, el texto griego no está lleno de «sobreentendidos» que deban ser incluidos entre corchetes ¹¹⁰ , como ofreciendo excusas por su presencia; lo que ocurre más bien es que la lengua griega disponía de unas armas gramaticales que favorecían la expresión abreviada de la terminología matemática mediante la sustantivación del epíteto o del sintagma preposicional —igual que en el lenguaje corriente disponía de desinencias para la expresión de las personas gramaticales que excusaban la repetición del sujeto de la oración—. El español no dispone ni de tres géneros gramaticales ni de tanta facilidad para la sustantivación, por lo que la terminología matemática no es tan concisa: así son las cosas. Y nos parece que lo más razonable, en esa situación, es procurar conservar las formas de expresión habitual mediante otras lo más próximas posible, a sabiendas de que el razonamiento matemático griego se basa en lo geométrico y no en lo algebraico, y que al lector le costará una docena de teoremas habituarse a esas formas de expresión y razonamiento.

Por último, aclaremos que las citas del texto de Arquímedes se refieren siempre a la edición de Heiberg-Stamatis: volumen (en romanos), página y línea (en arábigos).

El profesor Mariano Martínez, de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense, ha tenido la amabilidad de leer el volumen; sus sugerencias han contribuido a pulir este trabajo, y por ello deseo expresarle mi más profundo agradecimiento.

BIBLIOGRAFÍA

Repertorios bibliográficos

J. L. BERGGREN , «History of Greek Mathematics: A Survey of Recent Research», Historia Mathematica 11 (1984), 394-410.

F. J. DUARTE , Bibliografía: Euclides Arquímedes Newton , Caracas, Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales, 1967.

W. R. KNORR ., «Archimedes after Dijksterhuis. A guide to recent studies» [En apéndice a DIJKSTERHUIS (1987)].

J. NEU , «One hundred and ninth bibliography of the history of science and its cultural influence», Isis 75, 5 (1984), 1-206.

A. PROCISSI , «Bibliografia della matematica greca antica», Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche 1 (1981), 7-149.

También I. SCHNEIDER (1979, págs. 177-196) ofrece un amplio apartado bibliográfico y la revista Isis publica habitualmente artículos de novedades bibliográficas sobre la historia de la ciencia y su influencia cultural.

Ediciones

J. GECHAUFF , Archimedis… Opera quae quidem exstant omnia…; nuncque primum et Graece et Latine edita. Adiecta quoque sunt Eutocii Ascalonitae in eosdem Archimedis libros Commentaria item Graece et Latine, numquam antea excusa , Basilea, 1544.

F. COMMANDINO , Archimedis Opera non nulla a — nuper in latino conversa, et commentariis illustrata , Venecia, 1558.

F. MAUROLICO , Admirandi Archimedis Syracusani Monumenta omnia mathematica quae exstant …, Palermo, 1685.

D. RIVAULT , Archimedis opera quae exstant novis demonstrationibus commentariisque illustrata , París, 1615.

J. TORELLI , Archimedis quae supersunt omnia cum Eutocii Ascalonitae Commentariis ex rec . — cum nova versione Latina Oxford, 1792.

J. L. HEIBERG , Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii , Leipzig, Teubner, 1913 (3 vols.).

J. L. HEIBERG , E. STAMATIS , Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii , Stuttgart, Teubner, 1972 (3 vols.).

CH . MUGLER , Archimède , París, Les Belles Lettres, 1971 (4 vols.; incluye los Comentarios de Eutocio).

E. STAMATIS , Archimédous hápanta , 4 vols. Texto antiguo con traducción al griego moderno y comentario, Atenas, 1970-1974.

Traducciones

A. CZWALINA , Archimedes . Werke , con traducción y notas a cargo de —, con dos apéndices: Kreismessung , traducido por F. Rudio, y Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen , traducido por J. L. Heiberg y comentado por H. G. Zeuthen, Stuttgart, 1972³ .

E. J. DIJKSTERHUIS , Archimedes. With a new bibliographical essay by W. R. Knorr , Princeton, Princeton University Press, 1987.

A. FRAJESE , Archimede, Opere , Turín, 1974.

TH . HEATH , The Works of Archimedes y The Method of Archimedes , Nueva York, Dover, 2002 (rp. de la ed. de 1912).

R. NETZ , The Works of Archimedes , translation and commentary. Vol. I: The two Books On the Sphere and the Cylinder , Cambridge, Cambridge University Press, 2004 (contiene también la traducción del Comentario de Eutocio a los dos libros Sobre la esfera y el cilindro) .

P. VER EECKE , Les æuvres complètes d’Archimède , París, Blanchard, 1921 (sin Eutocio); la segunda edición (Lieja 1960), con los Comentarios de Eutocio.

Estudios

J. BABINI , Arquímedes , Buenos Aires, Espasa Calpe, 1948.

J. L. BERGGREN , «A lacuna in Book I Archimedes’ Sphere and Cylinder», Historia Mathematica 4 (1977), 1-5.

C. B. BOYER , A history of Mathematics = Historia de la matemática , trad. M. Martínez Pérez, Madrid, Alianza, 1999.

M. CLAGETT , «The Impact of Archimedes on Medieval Science», Isis 50 (1959), 419-429.

—, Science of Mechanics in the Middle Ages , Madison, University of Wisconsin Press, 1959.

—, Archimedes in the Middle Ages , 5 vols. Madison 1964, Filadelfia, 1976, 1978, 1980, 1984.

—, art. «Archimedes», en CH . C. GILLISPIE , Dictionnary of Scientific Biography , Nueva York, Charles Scribner’s Sons, 1981.

M. DECORPS -FOULQUIER , Recherches sur les Coniques d’Apollonios de Pergé et leurs commentateurs grecs , París, Klincksieck, 2000.

A. G. DRACHMANN , The Mechanical Technology of Greek and Roman Antiquity , Copenhague, Munksgaard, 1963.

—, «Fragments from Archimedes in Heron’s Mechanics», Centauras 8 (1963), 91-146.

A. FAVARO , Archimede , Roma, 1923.

A. FRAJESE , «Archimedea» Cultura e Scuola 55 (1975), 190-196.

J.-L. GARDIES , Le raisonnement par l’absurde , París, Presses Universitaires de France, 1991.

CH . C. GILLISPIE (ed.), Dictionary of scientific biography , Nueva York, Charles Scribher’s Sons, 1981, 10 vols.

TH . HEATH , A Histoiy of Greek Mathematics , Nueva York, Dover, 1981 (reimpresión de la ed. de Oxford 1921), dos vols.

I. L. HEIBERG , Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften im Altertum , Múnich, 1925.

—, «Eine neue Archimedesschrift» Hermes 42 (1907), 235 y ss.

A. JONES , art. «Greek Applied Mathematics» en I. GRATTAN -GUINNESS (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , Baltimore, John Hopkins University, vol. I, págs. 58-63.

A. P. KAZHDAN , The Oxford Dictionary of Byzantium , Oxford, Oxford University Press, 1991 (3 vols.).

W. R. KNORR , «Construction as Existence Proof in Ancient Geometry», Ancient Philosophy (1983), 125-148.

—, The Ancient Tradition of Geometric Problems , Nueva York, Dover, 1993 (rp. de la ed. de Boston, 1986).

—, «Archimedes and the elements. Proposal for a revised chronological ordering of the Archimedean Corpus» Archiv for History of Exact Sciences 19 (1978), 211-290.

—, Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry , Boston, Birkhäuser, 1989.

A. KOYRÉ , «Galileo and Plato», en Metaphysics and Measurement. Essays in Scientific Revolution , Suiza (et al .), Gordon and Breach, 1968² .

T. KRISCHE , «Die Rolle der Magna Graecia in der Geschichte der Mechanik», Antike und Abendland 41 (1995), 60-71.

W. R. LAIRD , «Archimedes among the humanists» Isis 82 (1991). 629-638.

G. LORIA , Le scienze esatte nella antica Grecia . Milán 1914.

J. MOGENET , Introduction à l’Almageste , Bruselas, 1956.

CH . MUGLER , Dictionnaire historique de la terminologie géométrique des grecs , París, Klincksieck, 1958-59.

R. NETZ , The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: a Study in Cognitive History , Cambridge, Cambridge University Press, 2000.

O. NEUGEBAUER , A history of ancient mathematical astronomy , Nueva York, 1975.

PAPO DE ALEJANDRÍA . Collectionis quae supersunt , ed. F. HULTSCH , Amsterdam 1965.

J. REY PASTOR y J. BABINI , Historia de la Matemática (vol. 1: De la Antigüedad a la Baja Edad Media) . Barcelona, Gedisa, 1985.

P. L. ROSE , The italian renaissance of mathematics: studies on humanists and mathematicians from Petrarch to Galileo , Ginebra, 1975.

I. SCHNEIDER , Archimedes: Ingenieur, Naturwissenchaftler und Mathematiker , Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1979.

E. S. STAMATIS , «Aρχιμηδεια» I, Πλάιων 19 (1967).

—, «Tà kavstikà kátoptra tou Archimédous, avec une bibliographie des æuvres de l’auteur». Atenas, Paraschou 3 (1982), 39 págs.

P. TANNERY , Mémoires scientifiques , (J. L. Heiberg y H. C. Zeuthen, eds.), París 1912.

P. THUILLIER , De Arquímedes a Einstein. Las caras ocultas de la invención cientítica , 2 vols., Madrid, Alianza, 1990.

B. VITRAC , «À propos de la chronologie des æuvres d’Archimède», en GUILLAUMIN , J.-Y. (ed.): Mathématiques dans l’Antiquité , Mémoires du centre Jean Paleme num. 11, Saint-Étienne, Publications de l’Université de Saint-Étienne, 1992.

N. G. WILSON , Scholars of Byzantium , Londres, Duckworth, 1983.

—, «Archimedes: the Palimpsest and the Tradition» Byzantinische Zeitschrift 92, 1 (1999), 89-101.

¹ Arenario 9 (II 220, 21-22).

² Biblioteca histórica V 37: «…extraen los flujos de las aguas con los llamados kochlías egipcios que descubrió Arquímedes de Siracusa cuando estuvo en Egipto… Verdaderamente bien puede uno quedar admirado de la imaginación del artífice no sólo en esto sino también en otros muchos grandes inventos famosos en todo el mundo habitado sobre cuyas particularidades halaremos más en detalle cuando nos refiramos a la época de Arquímedes…». Lamentablemente, las explicaciones que Diodoro promete figuraban en la parte de su obra que no ha llegado hasta nosotros.

³ Aunque no fue ese el orden de remisión; para mayor detalle sobre ese punto, véase más adelante el apartado relativo a la cronología de las obras de Arquímedes (págs. 25 y ss.).

⁴ PLUTARCO , Vida de Marcelo 14, 12.

⁵ PLUTARCO , Vida de Marcelo 14, 13.

⁶ VITRUVIO , Sobre la arquitectura I 3. Aunque esta anécdota suele relacionarse en general con el principio de hidrostática llamado «de Arquímedes», el relato de Vitruvio no tiene, como vemos, gran cosa que ver con él, sino que más bien parece estar relacionado con la intuición de la noción de peso específico. El principio de Arquímedes aparece estudiado en el tratado Sobre los cuerpos flotantes .

⁷ Los pasajes a que hacemos referencia se encuentran en POLIBIO , Historias VIII 3-7; LIVIO , XXIV 34 y XXV 31; PLUTARCO , Vida de Marcelo 14-19.

⁸ Ingenio bélico que describe Polibio, consistente en unas escaleras protegidas que eran izadas mediante poleas sujetas a los mástiles hasta apoyarlas en la muralla, desde donde los atacantes podían pasar a los muros y adentrarse en la ciudad; el nombre de «arpas» lo reciben de la forma que tomaba el artilugio al quedar apoyado en el muro, forma muy semejante a la de cierta clase de arpa que los griegos llamaban sambýkē; para actuar del modo indicado, las naves romanas tenían que aproximarse mucho a la muralla, momento que aprovechaba Arquímedes para poner en funcionamiento sus «manos de hierro».

⁹ En la proposición 2 de Perì paradóxōn mēchanēmátōn (= Sobre artilugios extraordinarios , editado por HEIBERG en Mathematici graeci minores , Copenhague, 1927, págs. 81-2), plantea el problema en los siguientes términos: «Cómo en un lugar dado, a una distancia no menor de un tiro de flecha, construiremos 〈un artilugio〉 que produzca un incendio mediante los rayos solares». Y a continuación explica: «Según los que han expuesto la construcción de los indicados espejos ustorios, parece que lo propuesto es de todo punto imposible; pues vemos que los espejos ustorios siempre miran al sol cuando producen el incendio mientras que, si el lugar indicado no está en línea recta con los rayos solares, sino inclinado a otra parte o hacia el lado contrario, de ese modo no es posible que resulte lo propuesto mediante los espejos ustorios indicados. Además, por causa de la amplia distancia hasta el incendio y el gran tamaño del espejo ustorio, según las explicaciones de los antiguos, resulta forzosamente imposible que 〈tal cosa〉 se produzca. Pero no cabe dejar a un lado la fama, relatada unánimemente por todos los historiadores, de que Arquímedes incendió las naves de los enemigos mediante los rayos solares, y por ese motivo es de necesidad, razonablemente, que sea posible la resolució del problema, y yo, tras darle crédito y estudiarlo, voy a exponer la construcción de un artilugio de esa especie explicando antes brevemente ciertas cosas necesarias para lo propuesto».

¹⁰ El escepticismo sobre la veracidad de la noticia es antiguo, como lo evidencia el pasaje de Antemio que acabamos de citar. En cuanto a la literatura moderna sobre ese punto, pueden consultarse DIJKSTERHUIS , Archimedes , Princeton, 1987, págs. 28-29, quien, en resumen, se muestra convencido de la imposibilidad de la existencia de los espejos ustorios, y P. THUILLIER , De Arquímedes a Einstein. Las caras ocultas de la investigación científica , Madrid, 1990, vol. I, págs. 45-78, quien, por el contrario, pretende demostrar, contra las opiniones de la mayoría, que la noticia de Antemio de Trales puede sí ser cierta. También STAMATIS ha reproducido informes y noticias periodísticas en griego, inglés y ruso sobre los espejos ustorios en un opúsculo publicado en Atenas en 1982 (no he podido consultarlo; tomo la referencia del ensayo bibliográfico añadido por KNORR a la traducción inglesa del Arquímedes de DIJKSTERHUIS ).

¹¹ LUCIANO , Hipias o El baño (ed. MAC LEOD , I 3, 2).

¹² POLIBIO , Historias VIII 6, 6.

¹³ PLUTARCO , Vida de Marcelo XVII 4.

¹⁴ Este relato de la muerte de Arquímedes es el que aparece en LIVIO , XXV 9-10. Plutarco ofrece otras dos versiones, variantes enriquecidas de la transmitida por Tito Livio. Un mosaico de Herculano reproduce la escena con la particularidad de que no representa a Arquímedes agachado mirando al suelo, sino trabajando en una mesita con sus papiros extendidos sobre ella. El deseo de Arquímedes en cuanto a su epitafio lo mencionan PLUTARCO , Vida de Marcelo 17, 12, y CICERÓN , Tusculanas V 64-66. El estudio de la relación entre el cilindro y la esfera inscrita en él aparece en Sobre la esfera y el cilindro I 34, porisma; la génesis mecánica del teorema se encuentra en Método 2.

¹⁵ Recuérdese cómo los antiguos fechaban a los poetas trágicos poniéndolos en relación con la batalla de Salamina: Esquilo luchó en ella como soldado, Sófocles formó parte del coro de jóvenes que celebraron la victoria, Eurípides nació en la isla de Salamina cuando los atenienses se refugiaron allí; la anécdota viene a indicarnos que la diferencia de edad entre ellos era, aproximadamente, de media generación. O cómo ciertas fuentes relatan que la tumba de Eurípides y su cenotafio en Atenas fueron destruidos por el rayo: nos recuerdan así el ateísmo de Eurípides y su castigo imperecedero. Otro ejemplo puede ser el que describe el rigor del matemático Euclides ante Alejandro Magno: «No hay camino real para la matemática»; la anécdota viene a poner de relieve que fueron parcialmente contemporáneos.

¹⁶ Tusculanas I 25.

¹⁷ También es CICERÓN (República I 14) la fuente que nos informa de la presencia en Roma de dos planetarios obra de Arquímedes, uno de ellos «único botín con el que el antepasado de Marcelo quiso adornar su casa tras la toma de Siracusa», trabajo del que Cicerón había oído hablar como la obra maestra de Arquímedes, pero que «a primera vista no me pareció cosa extraordinaria»; respecto al otro ejemplar cuenta que «Marcelo había depositado en el templo de la Virtud otra esfera de Arquímedes, más conocida por la gente y mucho más aparente».

¹⁸ Geografía XVII.

¹⁹ Vida de Marcelo XIV y XVII.

²⁰ Cf. más adelante, págs. 37-41.

²¹ A juzgar por el contenido de la obra, el juego tenía cierta semejanza con nuestros puzzles . Los diccionarios recogen el término con la única acepción de «título de una obra de Arquímedes».

²² En la carta-dedicatoria que precede al Libro I de Sobre la esfera y el cilindro Arquímedes afirma que, en el terreno al que aludimos, se deben a Eudoxo demostraciones «que parecen tan sobresalientes: la de que toda pirámide es un tercio del prisma que tiene la misma base que la pirámide e igual altura, y que todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que el cono e igual altura», y en la carta-dedicatoria que precede al Método repite esa misma información añadiendo que antes que Eudoxo ya Demócrito había sido el primero en manifestar «sin demostración» dichos asertos.

²³ Aunque no se nos han conservado esas obras, probablemente porque perdieron buena parte de su interés al ser superadas por los trabajos de Apolonio sobre ese mismo tema.

²⁴ Hay que recordar aquí que el proceso de abstracción que exige la tarea de contar va unido necesariamente al desarrollo científico: los pueblos primitivos resuelven sus necesidades a ese respecto sin necesidad de ir muy lejos. En las lenguas indoeuropeas es fácil reconstruir un origen común para los numerales hasta el «cien» (gr. hekatón ; lat. centum) ; en el nombre del «mil» se detectan ya etimologías procedentes de raíces diversas (gr. chílioi ; lat. mille) . En Homero el numeral mýrioi significa «muchísimos, en número infinito» (sentido heredado, por cierto, por nuestro «miríada»), y el término pasa a significar «diez mil» sólo tardíamente. En nuestro tiempo hablamos de «millones» y «billones», pero para cifras verdaderamente elevadas… recurrimos a las potencias de diez.

²⁵ Herón y la Suda lo mencionan, aparte de la referencia explícita a la mecánica del propio Arquímedes en la Cuadratura de la parábola II 266, 1; esta última referencia, que resulta manifiesta ahora que conocemos el Método , no podía sin embargo servir de indicio a los estudiosos más antiguos dado que no aparece la palabra clave méthodos (ni tampoco éphodos , que es la que figura en el título griego de la obra arquimedea).

²⁶ Gracias al catálogo de las bibliotecas pertenecientes al Patriarcado de Jerusalén publicado en 1899 por el estudioso griego A. I. Papadopoulos-Kerameus (cuyo papel en el hallazgo del palimpsesto, por cierto, suele quedar postergado). El relato del descubrimiento del manuscrito y la descripción del mismo fueron dados a conocer por HEIBERG en «Eine neue Archimedesschrift» Hermes 42 (1907), 235 y ss.

²⁷ SUTER , H.: «Der Loculus Archimedius oder das Syntemachion des Archimedes, arabisch und deutsch», Zeitschrift für Mathematik und Physik, historische-litterarische Abteilung (44 Supp. Heft) 491, 1899 (Cantorfestschrift).

²⁸ En Arenario II 216, 17-19, y 236, 17-22.

²⁹ Para ser exactos, presentó las obras en el orden en que figuran en los manuscritos derivados de A, que representan la tradición textual más extendida, y añadió después las obras que sólo conocemos por el palimpsesto de Jerusalén.

³⁰ Ver Eecke renuncia al debate sobre la cuestión cronológica al admitir el orden propuesto por Heiberg como «el más racional posible».

³¹ Ignoramos las fechas precisas de la vida de Conón, pero una mezcla de leyenda e historia nos permite construir una aproximación temporal: según la leyenda poética forjada en Alejandría, cuando Ptolomeo III Evérgetes partió a la guerra contra Seleuco (Tercera Guerra Siria, 246-241 a. C.), la reina ofrendó a la diosa Afrodita su cabellera por la salud de su esposo, pero la cabellera desapareció del templo. Se atribuye a Conón la finura cortesana de haberla reconocido en el cielo transformada en una nueva constelación: la «Cabellera de Berenice» y, dado que la correspondencia entre Arquímedes y Dosíteo hubo de ser posterior, queda la fecha de 246 a. C. como terminus post quem para el comienzo de esa relación epistolar. CALÍMACO incluyó en sus Catasterismos el poema que compuso sobre los hechos citados, poema que, a su vez, fue traducido por CATULO en su poema 66.

³² Que aquí recibe el nombre de Mecánica (dédeiktai gàr toûto en toîs Mēchanikoîs); a este respecto, cf. más atrás, pág. 25.

³³ «Tras redactar las demostraciones de esto 〈scil ., «las relativas al área del segmento parabólico»〉 te las envío primero como fueron resueltas por el método mecánico, y después también como se demuestran por el método geométrico» (II 264, 26-266, 2).

³⁴ «…al escribir el método he pretendido sacarlo a la luz a la vez porque previamente lo había defendido —no fuera que les pareciera a algunos que había estado diciendo palabras vanas— y al mismo tiempo porque estaba convencido de que arrojaría no pequeña utilidad en la matemática… Así, escribo en primer lugar lo que también lo primero se me hizo patente mediante la mecánica, que todo segmento de la sección de un cono rectángulo son cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base e igual altura, y después de ello, cada uno de los teoremas obtenidos mediante el mismo método» (II 430, 11-24).

³⁵ Los resultados fueron publicados en «Archimedes and the Elements: Proposal for a Revised Chronological Ordering of the Archimedean Corpus», Archiv for History of Exact Sciences 19 (1979), 211-290.

³⁶ «Die Rolle der Magna Graecia in der Geschichte der Mechanik», Antike und Abendland , 1995.

³⁷ Las críticas que citamos figuran en «À propos de la chronologie des æuvres d’Archimède» (Mathématiques dans l’Antiquité , ed. J. Y. GUILLAUMIN , Saint-Étienne, 1992, págs. 87-88), pero Vitrac formula otras muchas reservas a lo largo de todo el artículo.

³⁸ Los elementos para ese debate son extensos, y esta introducción no es el lugar adecuado para su exposición, pero hemos de decir que el recurso frecuente al argumento ex silentio , el hecho de que no utilice todos los pasajes de la obra de Arquímedes relativos a la cuestión, el análisis abusivo de ciertos pasajes —por ejemplo, de Método 2 (447, 4-15)— y la frecuencia con que admite como prueba lo que no son sino conclusiones de series de hipótesis debilitan el conjunto de la argumentación de Knorr.

³⁹ KNORR , art. cit., pág. 270.

⁴⁰ Se refiere a los dos teoremas cuyos enunciados había remitido previamente a Eratóstenes, sobre el volumen de la uña cilíndrica y de la doble bóveda cilíndrica, respectivamente.