Kitabı oku: «Didáctica de la matemática», sayfa 8

Tullio De Mauro, Guida all’uso delle parole.

Los aspectos delineados en el párrafo precedente no son los únicos intereses hoy cultivados por quien practica la investigación en didáctica de la matemática y no son las únicas interpretaciones hoy existentes de la didáctica de la matemática.

Según algunos, la didáctica de la matemática debería tener como objetivo principal el diseño de los currículos y por lo tanto contribuir a la teoría y práctica del curriculum y de la innovación curricular. Por ejemplo, muchos estudios actuales se dedican al estudio de la eficacia del curriculum y de segmentos de él. Para no adentrarnos demasiado en particulares, me limito a aconsejar algunas lecturas inspiradoras en este campo: Fey (1980), Romberg y Carpenter (1986), Rico (1990).

Estos estudios conducen a la arquitectura curricular que es tan compleja que los... arquitectos terminan con poner en juego elecciones de creatividad personales, juicios intuitivos, elaboración de test de prueba informal. La problemática es la de transformar algo intuitivo (Didáctica A) en actividad controlada científicamente; pero disponemos actualmente de muy poca verdadera investigación que explique la dinámica del sistema que podría transformar este complejo de necesidades, intereses y valores en un curriculum científicamente fundado42.

Entendiendo así la didáctica de la matemática, señalo que una teoría que se ha revelado interesante para la sistematización de la investigación didáctica en sentido curricular (segmento por segmento) es la teoría de los niveles de razonamiento de Van Hiele (1986). Según el Autor, el aprendizaje es una sucesiva acumulación, organizada a red, de una cantidad suficiente de experiencias adecuadas alrededor de un cierto argumento; por lo tanto, existe la posibilidad de lograr altos niveles de conocimiento en general, y de razonamiento en particular, fuera de la enseñanza escolar, si se tiene la ocasión de llevar a cabo las experiencias adecuadas. No obstante eso, estas experiencias, por cuanto existan y no deberían despreciarse, generalmente no son suficientes a producir un desarrollo de la capacidad de razonamiento completo y rápido; y por esto la tarea de la educación matemática escolar es hacer que se cumplan experiencias ulteriores con respecto a las escolares estándar, bien organizadas para que sean lo más útiles posibles.

Lo que Van Hiele llama “fases de aprendizaje” son etapas en la graduación y en la organización de las actividades que debe realizar un estudiante para adquirir las experiencias que lo lleven a un nivel superior de razonamiento sobre un bien determinado argumento. A lo largo de estas fases, el maestro debe hacer que sus estudiantes construyan la red mental de relaciones del nivel de razonamiento al cual deben acceder, creando por primera cosa los nodos de la red (los “objetos”) y después las conexiones entre ellos. Dicho de otra manera, es necesario obtener, en primer lugar, que los estudiantes adquieran de manera significativa los conocimientos de base necesarios (nuevos conceptos, propiedades, términos, etcétera) con los que deberán trabajar, de modo que puedan después concentrar su actividad en el aprender a usarlos y a combinarlos entre ellos.

Las fases del aprendizaje propuestas por Van Hiele son cinco:

Fase 1: Información. Se trata de una fase de toma de contacto. El maestro debe informar a sus estudiantes sobre el campo de estudio en el que están por iniciar a trabajar, qué tipos de problemas se pondrán, qué material se utilizará, etcétera. Contemporáneamente, los estudiantes aprenderán a manejar el material y a adquirir una serie de conocimientos básicos que son necesarios para poder iniciar el trabajo matemático propiamente dicho. Esta es una fase de información no sólo para los estudiantes, sino también para el maestro, dado que le permite verificar los conocimientos previos de los estudiantes sobre el tema que se está por iniciar. Como decía líneas arriba, eventuales experiencias extraescolares no deben despreciarse dado que pueden utilizarse como fuente de motivación al nuevo tema. En efecto, es verdad que muchas veces el maestro no afronta un tema del todo nuevo con sus estudiantes; ellos podrían ya haberlo afrontado, por ejemplo, aunque con menor profundidad crítica, en un curso precedente. Por lo tanto, el maestro aprovecha esta primera fase, tanto para conocer el grado de capacidad que los estudiantes tienen sobre el tema, como para ver qué tipo de razonamientos son capaces de hacer en ese ámbito.

Fase 2: Orientación rígida. En esta fase los estudiantes comienzan a explorar el campo de estudio por medio de investigaciones basadas en el material que se les propuso. El objetivo principal de esta fase es el obtener que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan cuales son los principales conceptos, propiedades, figuras, etcétera; en el área del tema que están estudiando. En esta fase se construyen los elementos de base de la red de relaciones del nuevo nivel. Van Hiele afirma, refiriéndose a esta fase, que “las actividades, si se organizan en modo atento, forman la base adecuada del pensamiento del nivel superior”. Objetivamente, los estudiantes, por sí mismos, no podrán realizar un aprendizaje eficaz (con relación a los resultados y al tiempo empleado), por lo que es necesario que las actividades propuestas sean convenientemente dirigidas hacia los conceptos, las propiedades, etcétera que están afrontando. El trabajo por hacer será seleccionado de manera tal que los conceptos y las estructuras características se presenten en modo progresivo.

Fase 3: Explicitación. Una de las finalidades principales de la tercera fase es hacer que los estudiantes intercambien sus propias experiencias, que comenten las regularidades que han observado, que expliquen cómo han afrontado las actividades, todo esto en un contexto de diálogo en el grupo. Es importante que surjan puntos de vista diferentes, dado que el intento de todo estudiante por justificar su propia opinión lo obligará a analizar con atención sus propias ideas (y las de sus compañeros), ordenarlas, expresarlas con claridad. Este diálogo implica que es en el curso de esta fase cuando se forma parcialmente la nueva red de relaciones. Esta misma fase tiene también el objetivo de hacer en modo tal que los estudiantes terminen de aprender el nuevo vocabulario, correspondiente al nuevo nivel de razonamiento que están iniciando a utilizar. En algunos casos, especialmente con estudiantes de la escuela primaria, no es conveniente, desde el punto de vista didáctico, introducir al mismo tiempo nuevos conceptos, nuevo vocabulario y nuevos símbolos. Una técnica utilizada por los maestros para reducir este problema consiste en permitir que, al inicio, los niños usen las nuevas figuras o conceptos o propiedades a su modo, hasta que hayan adquirido un dominio suficiente de las mismas. En esta tercera fase se aceptará que los niños hagan uso de un vocabulario tomado de la lengua común, aunque no del todo correcto. Por lo que la fase 3 no es una fase de aprendizaje de ideas nuevas, sino una revisión del trabajo hecho antes, una puesta a punto de conclusiones, de práctica y de perfeccionamiento en la forma de expresarse.

Fase 4: Orientación libre. Ahora los estudiantes deberán aplicar los conocimientos y el lenguaje que están adquiriendo a otras investigaciones diferentes de las precedentes. El campo de estudio en este punto, es en gran parte conocido por los estudiantes pero estos aún deben perfeccionar los propios conocimientos del mismo. Eso se obtiene, por parte del maestro, poniendo problemas que, preferiblemente, puedan estudiarse en formas diferentes o que puedan conducir a diferentes soluciones. En estos problemas se colocarán índices que muestren el camino a seguir, pero de modo tal que el estudiante pueda combinarlos adecuadamente, aplicando los conocimientos y las formas de razonamiento que ha adquirido en las fases precedentes. Quiero hacer notar que el núcleo de esta fase se haya formado por actividades de utilización de los nuevos conceptos, propiedades y formas nuevas de razonamiento. Los problemas que se proponen en la fase 4 no deben ser ejercicios de aplicación, tantas veces utilizados en clase, ejercicios para cuya resolución basta recordar algún hecho concreto y utilizarlo directamente; al contrario, al menos algún problema de esta fase debe presentar situaciones nuevas, ser abierto, con varios recorridos resolutivos. Este tipo de actividad es la que permitirá completar la construcción de la red de relaciones que se inició a formar en las fases precedentes, haciendo así que se establezcan las relaciones más completas e importantes.

Fase 5: Integración. A lo largo de las fases precedentes, los estudiantes han adquirido nuevos conocimientos y habilidades, sin embargo deben aún alcanzar una visión general de los contenidos y métodos que tienen a su propia disposición, con relación a los nuevos conocimientos en otros campos que han estudiado en precedencia; se trata de condensar en un todo único el dominio de conocimientos explorado en las cuatro fases de la 1 a la 4, haciéndolo coincidir con los conocimientos ya adquiridos. En esta fase el maestro puede favorecer este trabajo requiriendo o sugiriendo comprensiones globales, pero es importante que estas comprensiones no tengan ya conceptos o propiedades nuevas para el estudiante: en esta fase se debe tratar sólo de acumulación, comparación y combinación de cosas que ya conoce. Completada esta fase, los estudiantes tendrán a su disposición una nueva red de relaciones mentales, más amplia de la precedente y que la sustituirá, y habrán adquirido un nuevo nivel de razonamiento.

Como se ve, se trata más de una organización didáctica que de una teoría del aprendizaje verdadera y propia; y quizás por esto las ideas de Van Hiele han tenido tanta fortuna con los maestros. Existen muchas pruebas de aplicación a varios conceptos, sobre todo en Geometría, en los diferentes niveles escolares: he visto usarla para estudiar los cuadriláteros; para introducir las traslaciones y, más en general, las isometrías en el plano; para estudiar una clasificación de los polígonos respecto a las amplitudes angulares.

En muchos Países es bien conocida y seguida; un buen ejemplo de aplicación al estudio de los ángulos en la escuela secundaria se haya en Afonso Martín, Camacho Machin, Socas Robayna (1999).

Un párrafo como este corre el riesgo de no acabarse jamás. El hecho es que los Autores por citar y de los cuales reportar ideas y teorías son ahora muchos. Y sin embargo la naturaleza de este libro requiere una elección drástica. Pero no puedo cerrar el párrafo sin dar al menos noticia bibliográfica sobre la fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas, para lo cual remito directamente al trabajo de Hans Freudenthal (1983; 1991).

2.5. Ulteriores posiciones actuales en la investigación en didáctica de la matemática

No hay duda que podemos estudiar los fenómenos y los objetos que nos circundan o considerando la composición y estructura, o los procesos y cambios a los que se someten, o el modo en el que han tenido origen. Al mismo tiempo es claro y evidente, sin necesidad de demostración alguna, que se puede hablar del origen de un fenómeno cualquiera sólo después que este mismo fenómeno haya sido descrito.

Vladimir Jakovlevich Propp [1895-1970],

Morfologia della fiaba.

La educación matemática ha visto tomar a los didactas posiciones que van de un extremo a otro, a veces incluso en modo conflictivo.

Hay quien afirma que la didáctica de la matemática no llegará jamás a ser un campo con fundamentos científicos; entre éstos, muchos confirman que enseñar es un arte (la cosa se haya mucho más difundida de lo que podría parecer en modo explícito, especialmente entre aquellos que profesan la investigación no en didáctica de la matemática, sino más bien en matemática; es por esto que regreso al argumento).

Hay quien afirma que la didáctica de la matemática se reduce a problemas de elección de contenidos, currículos, métodos de enseñanza, desarrollo de habilidades, particulares interacciones en el aula, etcétera; no mucho más que didáctica A.

Pero, antes de clasificar con ligereza, se requiere poner mucha atención: no basta mirar las afirmaciones o las palabras, sino que es necesario analizar también las intenciones.

En uno de sus trabajos de 1989, Brousseau (1989a) mismo identificaba una primera acepción de la didáctica de la matemática como arte de enseñar, conjunto de medios y procedimientos que tienden a hacer conocer la matemática. Él distingue dos concepciones de carácter científico: una concepción multidisciplinaria aplicada y una concepción autónoma (dicha también fundamental o matemática). A modo de cierre entre las dos se inserta una concepción tecnicista para la cual la didáctica coincide con las técnicas de enseñanza: “invención, descripción, estudio, producción y control de medios nuevos para la enseñanza: curriculum, objetivos, medios de evaluación, materiales, manuales, programas, obras sobre la formación etc.”.

La concepción multidisciplinaria constituye para la didáctica de la matemática sólo una cómoda etiqueta para indicar las enseñanzas necesarias para la formación técnica y profesional de los maestros. La didáctica como área de conocimiento científica sería “el campo de investigación llevado a término sobre la enseñanza en el cuadro de disciplinas científicas, clásicas” (se entiende: psicología, semiótica, lingüística, epistemología, lógica, neurofisiología, pedagogía, psicoanálisis, etcétera). Si se acepta esta línea, la naturaleza del conocimiento didáctico se convertiría en una verdadera y propia tecnología fundada sobre otras disciplinas. Pero no siempre las otras disciplinas referenciales son “consistentes”; por lo que aquí se halla despejada otra vía para la aspiración de muchos investigadores, por ejemplo de Escuela francesa: construir un área de estudio propio, independiente de los otros campos.

Se ve entonces la discrepancia entre esta posición y la pluridisciplinaria de Steiner (1985), el cual no admite esta insistencia en el buscar teorías internas (él las llama home-theories); él ve en esta actitud el peligro de inadecuadas restricciones. Según Steiner la naturaleza misma de este tema y las problemáticas causadas necesitan de procedimientos pluridisciplinarios: es inútil insistir en el buscar razones, conocimientos y metodologías que otras disciplinas han ya sabido construirse. Por lo que desde su punto de vista no existirían límites entre las disciplinas nombradas antes y la didáctica.

Cierto, frente a estas posiciones más bien generales, se pone un problema... aplicativo.

A condición que la investigación en didáctica de la matemática deba tener una recaída concreta en los procesos de enseñanza-aprendizaje43, ¿qué puede obtener el maestro en su acción en el aula, cotidianamente? No debemos esperar (sería ingenuo, inútil y dañino) la producción de didácticas-modelo que el maestro debe imitar, “pero es razonable pensar que el desarrollo de la investigación propondrá algún conocimiento que volverá capaces a los maestros para enfrentar el difícil problema didáctico de conducir la vida de esta sociedad cognitiva original: el grupo [durante las clases] de matemáticas” (Balacheff, 1990b).

2.6. Educación matemática y didáctica de la matemática: recientes desarrollos interpretativos

Si proseguirá como deseamos, la investigación no se desarrollará por lo tanto sobre un eje lineal, sino en espiral: regresando regularmente sobre resultados ya conseguidos, y dirigiéndose a nuevos objetos sólo en la medida en la que su conocimiento permitirá profundizar aquello de lo que antes habíamos adquirido sólo los rudimentos.

Claude Lévi-Strauss, Il crudo e il cotto.

No obstante sus evidentes éxitos como teoría en sí misma, la didáctica de la matemática aún se puede reconducir, para algunos, a teorías más consolidadas y generales, como la psicología, la pedagogía, la sociología, la epistemología, la didáctica o a sus concepciones pluridisciplinarias.

Pero, de hecho, la historia muestra cómo las teorías psicopedagógicas o las teorías nacidas en tales disciplinas, cómo el conductismo, las varias teorías del desarrollo, el constructivismo, etcétera, por sí mismas, aplicadas a la enseñanza de contenidos específicos, simplemente resultan insuficientes e ineficaces. Es lo que afirman, con justa razón y vigor, Brousseau (1989a), Chevallard (1992) y otros.

También Freudenthal (1991) asumió una posición crítica frente aquellas teorías psicológicas o pedagógicas que intentaban modelos institucionales generales para los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática.

El saber puesto en juego, por lo tanto, se convierte en central para muchos estudiosos, en el intento de construir teorías de carácter fundamental que expliquen el funcionamiento del sistema enseñanza-aprendizaje.

El debate se ha desarrollado fuertemente, como lo demuestran las intervenciones sobre el tema en ocasión del ICME 8 (Malara, 1998). Precisamente partiendo de estas reflexiones, buscaré delinear en pocas líneas cuáles son algunos puntos de vista actuales.

Se puede partir ciertamente del trabajo de Steiner (1985), según el cual la complejidad del sistema global de la enseñanza de la matemática se puede descomponer en Teoría, Desarrollo y Práctica, para notar cómo la educación matemática sea un sistema social heterogéneo y complejo, en el que se distinguen tres ámbitos (Godino, Batanero, 1998):

• “La acción práctica reflexiva sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática;

• la tecnología didáctica, que se propone poner a punto materiales para mejorar la eficacia de la instrucción matemática, usando los conocimientos científicos disponibles;

• la investigación científica, que se ocupa de comprender el funcionamiento de la enseñanza de la matemática, en su conjunto, así como el de los sistemas didácticos especiales (maestro, estudiantes y saber)”.

Ahora, si es verdad que estos ámbitos se refieren a un mismo objeto, es decir al funcionamiento del sistema didáctico, teniendo como fin último común el de mejorar el resultado de la educación matemática, es también verdad que cada uno de ellos se distingue por tiempos, objetivos, recursos, reglas, restricciones, condicionamientos, etcétera.

En particular:

• el primero se refiere principalmente al maestro y a su necesidad de aquellas informaciones que tengan el efecto de mejorar la eficacia didáctica de la enseñanza;

• el segundo se refiere a aquellos que se interesan a los currículos, a quien escribe manuales didácticos, a quien crea materiales didácticos;

• el tercero se refiere sobre todo a la investigación que, normalmente, se desarrolla en ambientes universitarios (aunque, en varios Países, Italia comprendida, se asiste a un proliferar de grupos de investigación formados tanto por maestros universitarios como por no universitarios).

Según Godino y Batanero (1998) las primeras dos componentes pueden pensarse en conjunto como “investigación para la acción”, mientras la tercera sería equivalente a la “investigación para el conocimiento”, retomando una distinción de Bartolini Bussi (1994).

Es obvio que tales especificidades se hallan presentes y, en un cierto sentido, son necesarias, porque cada una ofrece contribuciones específicas. Por ejemplo, la necesidad práctica de soluciones inmediatas a problemas específicos no puede ser satisfecha por la investigación científica la cual aún no se halla en grado de elaborar a partir de los resultados de sus propias investigaciones aparatos resolutivos de todos los problemas (más o menos como sucede en la economía o en la medicina).

Por lo tanto resulta que, aunque existiendo relevantes y numerosos casos estudiados por la investigación, aún la tecnología didáctica se debe servir de bases tales como la evidencia, la experiencia, la intuición, el buen sentido, etcétera.

Este tipo de reflexiones está llevando a distinguir cada vez más las dicciones “educación matemática” y “didáctica de la matemática” que, hasta ahora, había propuesto como sinónimos.

La didáctica de la matemática sería la disciplina científica, la ligada a la tercera de las tres componentes precedentes. A ella haría referencia también el estudio de los intentos de “adaptar y articular las contribuciones de las otras disciplinas interesadas a la enseñanza y al aprendizaje de la matemática” (Godino, Batanero, 1998).

La educación matemática estaría interesada en cambio a las primeras dos componentes: teoría, desarrollo y práctica.

Del último artículo citado tomo prestada una gráfica y dos definiciones que ilustran bien la situación hasta ahora descrita y que parecen ser precursores de desarrollos futuros y de no fáciles discusiones.

“Didáctica de la matemática: es la disciplina científica y el campo de investigación cuyo objetivo es identificar, caracterizar y comprender los fenómenos y los procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.

Educación matemática: es el sistema social complejo y heterogéneo que incluye teoría, desarrollo y práctica relativa a la enseñanza y al aprendizaje de la matemática. Incluye la didáctica de la matemática como subsistema”.

Las precedentes reflexiones logran apenas dar una idea de la complejidad de la didáctica de la matemática, si se comienzan a llamar en causa aquellos sectores disciplinarios limítrofes a los que muchos Autores han hecho referencia a partir de los primeros síntomas de la necesidad de una disciplina en sí misma (Lunkenbein, 1979) y que ha constituido siempre una de sus características. Escribe Sitia (1984, p. 135): “Las principales dificultades de esta investigación [dar un fundamento a la didáctica de la matemática] dependen del hecho que la Didáctica de la Matemática es un campo cuyos dominios de referencia y cuyas actividades se caracterizan por una extrema complejidad”.

El aparato de investigación que informa y construye la didáctica de la matemática parece tener como objetivo principal la descripción, la explicación y la predicción de los sistemas didácticos; mientras que el objetivo de la educación matemática parece más ligado a resolver problemas en situaciones y contextos dados.

Así que, la didáctica de la matemática recae en las epistemologías de todas las investigaciones: se guía por la teoría, entiende desarrollar teoría, cumple cuidadosos análisis bibliográficos, propone afirmaciones que se deben integrar en un cuerpo de conocimientos en continuo crecimiento, se sujeta a reivindicaciones de rigor, debe ofrecer aparatos de investigación reproducibles, debe ser conforme a los pedidos de validez, de coherencia, de objetividad, etcétera. Se puede también requerir que las investigaciones producidas sean originales y relevantes.

En cambio, en lo que respecta a las actividades internas de la educación matemática, los criterios serían diferentes: las características más deseables son la utilidad, la facilidad de alcanzar el resultado, el bajo costo (en todos los sentidos), la rapidez, la eficacia, el rendimiento, etcétera. Y sin embargo es obvio que los dos sectores se hallan mutuamente ligados, tanto más si se mezclan las instituciones en las cuales se conducen las investigaciones.

He deseado dar alguna idea sobre este desarrollo reciente, aunque no se comparta del todo y se preste aún hoy a discusiones encendidas. Pero precisamente este hecho debe considerarse como ejemplo de vitalidad.

31 Sobre la especificidad de la investigación en didáctica de la matemática, sugiero una vez más a Brun y Conne (1990) y a Boero (1992a).

32 Véase, por ejemplo, Bishop (1989) y Vinner (1992). Para iniciar en modo crítico este estudio, aconsejo Kaldrimidou (1987) que contiene una vasta bibliografía. También sugiero Kaldrimidou (1995) y Bagni (1997a), en los que se da una particular interpretación del concepto de visualización que me parece útil para las aplicaciones didácticas.

33 El estudio pionero sobre este argumento es el de Efraim Fischbein iniciado desde los años 60, pero el punto de partida para el que quiera enfrentar el argumento se halla en un artículo mucho más reciente del mismo Fischbein (1993); en este sector han contribuido mucho los trabajos de Maria Alessandra Mariotti; señalo: Mariotti (1993a,b,c,d) y Mariotti y Fischbein (1997). También sugiero: Mariotti (1992a,b, 1994, 1995a,b). Sobre este tema regresaré brevemente en la sección 5.10.

34 Considero que sobre este tema se debe tomar en cuenta el hoy fundamental estudio de los trabajos de Raymond Duval y en particular de su libro: Duval (1995a; 1999), un libro muy arduo cuyos contenidos van más allá de la problemática mencionada. Siempre de Duval, sugiero además: (1991, 1992-93, 1995b). En fin sugiero Duval (1996) que se da como referencia tanto para los temas aquí aludidos, como para cuestiones mucho más generales. Señalo además los siguientes trabajos: Barbin (sin fecha, 1994), Härtig (1993), Antibi (1993). Las investigaciones sobre este argumento se hallan muy cultivadas; la bibliografía es vasta, y por lo tanto para limitar las dificultades de investigación me limito a señalar sólo a Grugnetti, Iaderosa y Reggiani (1996): en realidad la importancia de esta selección supera netamente el ámbito de la escuela secundaria y la bibliografía es demasiado vasta; sugiero también la lectura de las reseñas de Arsac (1988) y Daconto (1996). Sobre este tema regresaré brevemente en el curso del capítulo 11.

35 Pero, sobre este argumento quiero citar al menos algunos brillantes trabajos producidos en Italia: Arzarello, Bazzini y Chiappini (1994), Bazzini (1997), Malara (1994, 1997), Malara y Gherpelli (1996), sólo para citar algunos ejemplos.

36 A este propósito juzgo fundamental el estudio de Perrin-Glorian (1994) que, en las páginas 98-107 y 116-118, trata precisamente una síntesis histórica en este sentido, obviamente referida a la situación francesa.

37 Es obvio que no podré dar aquí, de pasada, más que una mención a esta vasta problemática, ¡entre las más discutidas en el mundo en absoluto! Invito al lector a consultar otros textos, más específicos, sobre el argumento. Entre los tantos, por ejemplo, Pontecorvo y Pontecorvo (1985), Bruner (1961a, b), Bruner et al. (1966), Gagné (1965-1985). En D’Amore (1993a) intenté acercamientos rápidos y precisos sobre este difícil tema. De cualquier modo regresaré dentro de poco sobre este argumento.

38 Sobre este tipo de cuestiones, véase D’Amore (1998a).

39 Naturalmente, debería clarificarse qué es y cómo se debe entender este “cognitivo” tantas veces usado hoy en la investigación en didáctica. A este propósito, sugiero la lectura de Schubauer-Leoni (1997a).

40 Brousseau introduce en este punto la idea de asimilar la resolución al proceso de toma de decisiones de cómo resolver un juego de estrategia. Para este punto, remito directamente a Brousseau (1986).

41 Aunque si aquí estoy trazando ideas por así decirlo “francesas”, es obvio que, una vez nacidas, fueron acogidas por la comunidad científica y hechas propias en otros contextos de investigación nacionales. Por ejemplo, la dialéctica instrumento-objeto tiene en Sfard (1991) un tratamiento ejemplar.

42 Cuando, entre 1971 y 1986, elaboré junto con algún colega y con algunos maestros de primaria el curriculum que se llamó Ma.S.E. (Matemática Escuela Elemental), utilicé largamente las así llamadas “escalas de Guttman” [en sus versiones más modernas de Lord y Novick, de Resnick y de White. Se puede ver Gattullo y Giovanini (1989) y Resnick y Ford (1981)]. Aunque si las escalas de Guttman tuvieron grandes éxitos en la investigación en didáctica de la matemática, por ejemplo porque por medio de ellas se demostró por primera vez en 1971 que las habilidades de contar son independientes de la capacidad de poner en correspondencia biunívoca, su valor me parece ser más bien heurístico e inestable; ciertamente, siempre mejor que basarse en el más o menos y en la intuición, pero sería necesaria una verdadera y propia investigación en términos modernos. El proyecto Ma.S.E. comprende hoy 12 volúmenes para los maestros, publicados entre 1986 y 1996 (Proyecto Ma.S.E., 1986-1996). El hecho que, para algunos de estos volúmenes se haya llegado (mientras escribo) a la séptima edición, refleja el éxito tenido con los maestros. Existe también una serie de 5 volúmenes - cuadernos escritos por algunos maestros de primaria directamente para los niños; en ella se proporciona una interpretación concreta del Proyecto, muchas veces probada en el aula.

43 Lo que, en honor de la verdad, se ha puesto a discusión, a veces, por quien considera que la investigación pueda también resolverse en sí misma, sin necesidad de verificaciones o de aplicaciones prácticas.