Kitabı oku: «Modelos discretos en epidemiología»
González Parra, Paula Andrea
Modelos discretos en epidemiología, Influenza AH1N1 y COVID-19 pandemias del Siglo XXI / Paula Andrea González Parra, Carlos Castillo-Chávez.-- Primera edición.-- Cali: Programa Editorial Universidad Autónoma de Occidente, 2021. 70 páginas, ilustraciones.
Contiene referencias bibliográficas.
Epub: 978-958-619-094-7
PDF: 978-958-619-095-4
1. Epidemiología - Modelos matemáticos. 2. COVID-19 (Enfermedad) – Modelos matemáticos. 3.Influenza H1N1. I. Castillo-Chávez, Carlos. II. Universidad Autónoma de Occidente.
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Modelos discretos en epidemiología. Influenza AH1N1 y COVID-19 pandemias del siglo XXI
© Universidad Autónoma de Occidente
© Carlos Castillo Chávez
Paula Andrea González Parra
ISBN PDF: 978-958-619-095-4
ISBN Epub: 978-958-619-094-7
Primera Edición, 2021
© Universidad Autónoma de Occidente
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Gestión Editorial
Vicerrector de Investigaciones, Innovación y Emprendimiento
Jesús David Cardona Quiroz
Jefe Programa Editorial
José Julián Serrano Quimbaya
Coordinación editorial
Jorge Ivan Escobar Castro
Diseño epub:
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Índice general
Introducción
1Modelo SIR
1.1Presentación del modelo discreto SIR
1.2Número Reproductivo Básico R0
1.3Resultados numéricos
2Control óptimo en epidemiología
2.1Principio del Máximo de Pontryagin
2.2Método de Puntos Interiores
3Control óptimo aplicado a un modelo de influenza
3.1Formulación del problema de control óptimo
3.2Solución aplicando el algoritmo de Avance-Retroceso
3.3Solución aplicando el Método de Puntos Interiores
3.4Resultados Numéricos
3.4.1Comparación entre los dos métodos
3.4.2Efectos de las estrategias implementadas
4Cuando los recursos son limitados
4.1Formulación del problema
4.2Resultados numéricos
5Cuando algunos grupos son más vulnerables
5.1Modelo con estructura de grupos
5.2Población divivida en dos grupos
5.3Población dividida en tres grupos
6Modelo de propagación del COVID-19
6.1Presentación del modelo
6.2Número Reproductivo Básico
6.3Distanciamiento social
6.4Resultados numéricos
Conclusiones
Bibliografía
Introducción
Con la aparición del COVID-19, ha crecido en la población general el interés en los modelos matemáticos de las enfermedades infecciosas. Es común escuchar sobre el número reproductivo básico R0, el pico de la epidemia, las políticas de mitigación de la enfermedad, entre otras. Una de las contribuciones más importantes en epidemiología matemática es el modelo compartamental propuesto por Kermack y McKendrick formulado en 1927 [1, 2, 3, 4]. El modelo propuesto es un modelo continuo basado en el flujo de individuos entre diferentes clases, las cuales están relacionadas con el estatus del individuo frente a la enfermedad, es decir, si es por ejemplo, suscetible, infeccioso, asintomático, recuperado, entre otros.
El propósito de este libro es presentar modelos de tipo discreto. En los últimos años se ha incrementado el interés en este tipo de modelos [1, 5, 6, 7, 8], puesto que en ellos los resultados obtenidos son más fáciles de comparar con los datos reales ya que los datos también son obtenidos en intervalos de tiempo discretos (días, semanas, meses, etc). Adicionalmente, desde el punto de vista computacional, los modelos continuos deben ser discretizados para poder realizar simulaciones, mientras que estos modelos ya son formulados de manera discreta, lo cual se convierte en otra ventaja.
Presentamos algunas ideas generales sobre modelación y control óptimo, en los Capítulos 1 y 2. En los últimos capítulos nos concentramos en las pandemias que han afectado al mundo en los últimos años; la influenza AH1N1, que estuvo presente en el año 2009 y el COVID-19 que apareció a finales del año 2019 y se ha propagado a lo largo del mundo en el año 2020.
En cuánto a la influenza AH1N1, se notificaron al Sistema Nacional de Vigilancia en Salud Pública (Sivigila) en Colombia, un total de 163 628 casos desde el inicio de la pandemia en el 2009, en la semana 14, hasta la semana 35 del mismo año. El primer caso en Colombia se registró el 3 de mayo de 2009, convirtiendo a Colombia en el primer pais con casos confirmados en suramerica. [9]. El virus que circuló en ese momento afectó principalmente a los jóvenes, se asume que las personas mayores de 65 años tenían cierta inmunidad debido a una exposición previa a cierto tipo de virus AH1N1. A nivel mundial se estimó que el 80 % de las muertes relacionadas con este virus se presentaron en personas menores de 65 años, lo cual difiere de una epidemia típica de influenza estacional en la cual la población más afectada son los mayores de 65 años (70 a 90 % de las muertes) [10].
El COVID-19, es un nuevo virus que fue reportado por primera vez en la provincia de Wuhan, China [11, 12]. Este virus se propagó rápidamente a otras regiones del mundo; en marzo del 2020, 213 regiones al rededor del mundo estaban afectadas y más de 5 millones de casos habían sido confirmados. El 11 de marzo, la Organización Mundial de la Salud confirmó que se trataba de una pandemia [13]. El primer caso en Colombia se reportó la primera semana de marzo, al 30 de julio se tenían ya 276 050 casos confirmados y 9 454 fallecidos debido a la enfermedad [14].
En el Capítulo 1 se presentan las ideas generales de un modelo discreto SIR, se calcula el número reproductivo básico, R0, el cual se define como el número de casos secundarios que un único individuo infectado puede producir en una población de individuos susceptibles y algunas simulaciones considerando diferentes valores de R0. Todos los resultados numéricos presentados en el libro son resultados de simulaciones realizadas con el programa Matlab.
En el Capítulo 2 se formula un modelo de control en epidemiología y se presentan dos maneras de resolverlo: La versión discreta del Principio del Máximo de Pontryagin [15, 16, 17] y el método de Puntos Interiores [18]. Este último permite la incorporación de restricciones de manera más natural en el problema.
En el Capítulo 3 se formula un problema de control óptimo para un modelo de influenza en el que se consideran el distanciamiento social y el tratamiento antiviral como políticas de control. Se estudian diferentes escenarios, proponiendo diferentes estrategias que consideran la aplicación de los controles de manera individual o colectiva para diferentes valores de R0. El problema se resuelve aplicando los dos métodos mencionados y se hace una comparación entre ellos. En estas simulaciones, se hace referencia a un escenario ideal en el que los recursos son ilimitados. En el Capítulo 4 se plantea un escenario más realista en el que los recursos son limitados; es decir, se considera que se tiene un número de dosis de tratamiento disponible. El problema se resuelve formulando una restricción isoperimétrica, la cual se puede introducir de manera más natural aplicando el método de Puntos Interiores.
Teniendo en cuenta que muchas enfermedades afectan de manera diferente a algunos grupos de la población, a veces de acuerdo a la edad de los individuos, otras como el caso del COVID-19 presentan manifestaciones más severas en poblaciones con enfermedades de base; ciertos grupos pueden ser más vulnerables, por tanto se introduce en el Capítulo 5 un modelo en el que la población es dividida en grupos, los cuales pueden definirse de acuerdo a la edad, grado de susceptibilidad, etc. En nuestras simulaciones, consideramos el caso de dos y tres grupos para diferentes escenarios. En particular, cuando la población es dividida en tres grupos, se compara cómo deben ser aplicadas las estrategias en el caso de la influenza estacional en contraste con la pandemia de influenza AH1N1, para esto se dividió la población colombiana por edades, teniendo en cuenta datos del Departamento Nacional de Estadistica (DANE) [19].
Finalmente en el Capítulo 6 se formula un modelo de propagación del COVID-19, en el cual se considera la presencia de individuos asintomáticos o con síntomas leves, ya que esto puede explicar la alta propagación de esta enfermedad. Se comparan resultados del modelo con datos estadísticos de la ciudad de Santiago de Cali [14]. En el modelo se incorpora una función que representa distanciamiento social teniendo en cuenta la cuarentena obligatoria decretada por el Gobierno en el mes de marzo de 2020, esta función es modificada teniendo en cuenta la apertura paulatina de ciertos sectores de la economía. Se muestra cómo estas políticas han ayudado a mitigar un poco el impacto de la enfermedad.
Capítulo 1
Modelo SIR
Una de las contribuciones más importantes en epidemiología matemática es el modelo compartamental propuesto por Kermack y McKendrick formulado en 1927 [1, 2, 3, 4], el cual es un modelo continuo basado en el flujo de individuos entre diferentes clases.
En particular es bien conocido el clásico modelo SIR, en el que la población total es dividida en Susceptibles (personas que no han contraido la enfermedad y podrían ser infectados), Infectados (personas que han adquirido la enfermedad y pueden transmitirla a otros individuos) y Removidos o Recuperados (individuos que estuvieron infectados y ya se recuperaron de la enfermedad). En la Figura 1.1 se muestra el diagrama de flujo de la dinámica de la enfermedad para el modelo continuo SIR. En este diagrama cada compartimento representa una clase de individuos; Susceptibles (S) - Infectados (I) - Recuperados (R), las personas se mueven de un compartimento a otro cuando cambia su estado en la epidemia.
Diagrama modelo continuo SIR
Figura 1.1: Diagrama de flujo compartamental para el modelo SIR. Los individuos se mueven de un compartimento a otro cuando cambia su estado epidemiológico. Un susceptible (S) pasa a ser infectado (I) o un infectado (I) pasa a ser recuperado (R).
El modelo está dado por el sistema de ecuaciones diferenciales:
En este modelo no se tienen en cuenta efectos demográficos; es decir, no hay nacimientos ni muertes, tampoco se considera mortalidad debido a la enfermedad. La transmisión de la enfermedad se da teniendo en cuenta la ley de acción de masas, así pues, el término βSI representa el número de individuos que pasa de la clase S a la clase I.
1.1.Presentación del modelo discreto SIR
En los últimos años se ha incrementado el interés en el uso de modelos discretos para estudiar la dinámica de las enfermedades transmisibles [1, 5, 6, 7, 8], sin embargo no son muchos los estudios en los que se consideran modelos discretos. Aunque matemáticamente son un poco más complejos, los resultados son más fáciles de comparar con los datos experimentales dado que los datos son obtenidos en intervalos discretos de tiempo (días, semanas, meses, entre otros).
Se presenta a continuación la versión discreta del modelo SIR. Para esto se siguen las ideas presentadas en [20, 21], de manera similar a la versión continua presentada, no se tienen en cuenta nacimientos y muertes por causas naturales, ya que se considera un único brote de la enfermedad. En el modelo, el subindice t es utilizado para denotar el número de individuos de cada clase en el tiempo t; es decir, St, It, y Rt, representan el número de susceptibles, infectados y recuperados en el tiempo t, para t en el intervalo [0, n], donde n denota el tiempo final de un brote único de la enfermedad.
La fracción de individuos susceptibles al tiempo t que permanecen susceptibles en el tiempo t + 1 está dado por la función
donde β representa la probabilidad de una nueva infección, por tanto el número de individuos susceptibles en el día t + 1 está dado por la ecuación
Así pues, 1 Gt representa la fracción de individuos que eran suscetibles y son infectados en el tiempo t + 1. No se consideraron muertes debidas a la enfermedad; se asume que la probalilidad de que un individuo se recupere de manera natural está dada por σ (por generación). Por tanto el número de individuos infectados el día t + 1 está dado por los que eran susceptibles el día t y se infectaron, más los que estaban infectados el día t y no se recuperaron, así:
Finalmente el número de individuos recuperados el día t+1 está dado por los que ya estaban recuperados el día t más los que estaban infectados y ya se recuperaron.
Teniendo en cuenta las consideraciones y definiciones dadas, el modelo está dado por el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias:
La Figura 1.2 muestra una representación de la dinámica de la enfermedad.
Diagrama modelo discreto SIR
Figura 1.2: Diagrama de flujo compartamental para el modelo discreto SIR.
A continuación se presenta el Número Reproductivo Básico R0, el cual se define como el número de casos secundarios que un único individuo infectado puede producir en una población de individuos susceptibles.
1.2. Número Reproductivo Básico R0
Para calcular el valor del Número Reproductivo Básico R0, se tiene en cuenta la relación del tamaño final de la epidemia, dado en [1]
De la ecuación (1.2),
De donde
Calculando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad se obtiene
De donde
Pero 
, entonces
De donde se obtiene que
Ahora, de la ecuación (1.3)
It+1 – (1 – σ) It = St – StGt
Pero StGt = St+1, por tanto
It+1 – (1 – σ) It = St – St+1
Sumando desde t = 0 hasta n se obtiene
De donde
Así que
Se tiene que S0 + I0 = N, además cuando t → ∞, It+1 → 0, entonces
Es decir,
De la ecuación (1.7), se tiene que 
, entonces
Por lo tanto
De donde se obtiene la relación del tamaño final de la epidemia dada en (1.6)
Obteniendo así el Número Reproductivo Básico R0
Note que β es la probabilidad de una nueva infección y 
es el tiempo esperado de una persona en estado infeccioso, lo cual da un sentido biológico al Número Reproductivo Básico obtenido.
A continuación se presentan resultados de algunas simulaciones del modelo realizadas en MatLab.
1.3. Resultados numéricos
En esta sección se presentan resultados de algunas simulaciones para diferentes valores de los parámetros. Sea 
(probabilidad de que un individuo se recupere de manera natural), así que el tiempo esperado de una persona en estado infeccioso será de siete días. Se toman diferentes valores del parámetro β (probabilidad de una nueva infección), obteniendo así diferentes valores de R0. Tomamos como valores de β : 0,1, 0,3 y 0,5.
Las figuras 1.3 y 1.4 muestran el comportamiento de los individuos susceptibles, infectados y recuperados para R0 = 0,7, R0 = 2,1, y R0 = 3,5. Note que cuando R0 < 1 (Figura 1.3) pocas personas son infectadas y la enfermedad desaparece rápidamente. Por el contrario cuando R0 > 1 (Figura 1.4) la enfermedad se extiende en la población, llegando a infectar a un buen número de individuos, si no se toman las medidas de control necesarias las cuales pueden incluir tratamiento, vacunación, distanciamiento social, entre otras. A mayor valor de R0, un mayor número de individuos será infectado y la enfermedad se propagará con mayor rapidez. Adicionalmente el pico de la epidemia (valor máximo de la curva de infectados) se alcanza más rápido cuando R0 es mayor. En este caso se observa que para R0 = 2,1, el pico se alcanza en el día 63 (ver Figura 1.4, parte superior) mientras que para R0 = 3,5, se alcanza en el día 33 (Figura 1.4, parte inferior).
A continuación el código de MatLab con el que se obtuvieron las simulaciones presentadas. Note que el código para el modelo discreto es muy simple, lo cual es una de las ventajas de este tipo de modelos.
Comportamiento de los individuos para R0 = 0,7.
Figura 1.3: Comportamiento de los individuos susceptibles, infectados y recuperados para un valor de R0 = 0,7. Se observa que la enfermedad rápidamente desaparece. No se da un brote puesto que R0 < 1.
Finalmente, la Figura 1.5 muestra el número acumulado de individuos infectados para los valores dados de R0, evidenciando además el tamaño final de la epidemia; es decir, que porcentaje de la población se infectará durante el transcurso de la misma. Se observa que en el primer caso R0 = 0,7, el número total de infectados tiende a cero, tal como se había indicado para valores de R0 < 1. En el caso de R0 = 2,1 el 82 % de la población se infectaría si no se tomara ninguna medida de control. Para R0 = 3,5 el porcentaje de la población que se podría infectar sería del 96 %.
Comportamiento de los individuos para R0 = 0,7 y R0 = 2,1.
Figura 1.4: Las figuras muestran el comportamiento de los individuos susceptibles, infectados y recuperados para R0 = 2,1 (parte superior) y R0 = 3,5 (parte inferior). Se observa que el pico de la epidemia depende del valor de R0. Cuando R0 = 2,1 el pico se alcanza el día 63, mientras que para R0 = 3,5 en el día 35.
Tamaño final de la epidemia
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