Kitabı oku: «Modelos discretos en epidemiología»

Capítulo 1

Modelo SIR

Una de las contribuciones más importantes en epidemiología matemática es el modelo compartamental propuesto por Kermack y McKendrick formulado en 1927 [1, 2, 3, 4], el cual es un modelo continuo basado en el flujo de individuos entre diferentes clases.

En particular es bien conocido el clásico modelo SIR, en el que la población total es dividida en Susceptibles (personas que no han contraido la enfermedad y podrían ser infectados), Infectados (personas que han adquirido la enfermedad y pueden transmitirla a otros individuos) y Removidos o Recuperados (individuos que estuvieron infectados y ya se recuperaron de la enfermedad). En la Figura 1.1 se muestra el diagrama de flujo de la dinámica de la enfermedad para el modelo continuo SIR. En este diagrama cada compartimento representa una clase de individuos; Susceptibles (S) - Infectados (I) - Recuperados (R), las personas se mueven de un compartimento a otro cuando cambia su estado en la epidemia.

Diagrama modelo continuo SIR

Figura 1.1: Diagrama de flujo compartamental para el modelo SIR. Los individuos se mueven de un compartimento a otro cuando cambia su estado epidemiológico. Un susceptible (S) pasa a ser infectado (I) o un infectado (I) pasa a ser recuperado (R).

El modelo está dado por el sistema de ecuaciones diferenciales:

En este modelo no se tienen en cuenta efectos demográficos; es decir, no hay nacimientos ni muertes, tampoco se considera mortalidad debido a la enfermedad. La transmisión de la enfermedad se da teniendo en cuenta la ley de acción de masas, así pues, el término βSI representa el número de individuos que pasa de la clase S a la clase I.

1.1.Presentación del modelo discreto SIR

En los últimos años se ha incrementado el interés en el uso de modelos discretos para estudiar la dinámica de las enfermedades transmisibles [1, 5, 6, 7, 8], sin embargo no son muchos los estudios en los que se consideran modelos discretos. Aunque matemáticamente son un poco más complejos, los resultados son más fáciles de comparar con los datos experimentales dado que los datos son obtenidos en intervalos discretos de tiempo (días, semanas, meses, entre otros).

Se presenta a continuación la versión discreta del modelo SIR. Para esto se siguen las ideas presentadas en [20, 21], de manera similar a la versión continua presentada, no se tienen en cuenta nacimientos y muertes por causas naturales, ya que se considera un único brote de la enfermedad. En el modelo, el subindice t es utilizado para denotar el número de individuos de cada clase en el tiempo t; es decir, St, It, y Rt, representan el número de susceptibles, infectados y recuperados en el tiempo t, para t en el intervalo [0, n], donde n denota el tiempo final de un brote único de la enfermedad.

La fracción de individuos susceptibles al tiempo t que permanecen susceptibles en el tiempo t + 1 está dado por la función

donde β representa la probabilidad de una nueva infección, por tanto el número de individuos susceptibles en el día t + 1 está dado por la ecuación

Así pues, 1 Gt representa la fracción de individuos que eran suscetibles y son infectados en el tiempo t + 1. No se consideraron muertes debidas a la enfermedad; se asume que la probalilidad de que un individuo se recupere de manera natural está dada por σ (por generación). Por tanto el número de individuos infectados el día t + 1 está dado por los que eran susceptibles el día t y se infectaron, más los que estaban infectados el día t y no se recuperaron, así:

Finalmente el número de individuos recuperados el día t+1 está dado por los que ya estaban recuperados el día t más los que estaban infectados y ya se recuperaron.

Teniendo en cuenta las consideraciones y definiciones dadas, el modelo está dado por el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias:

La Figura 1.2 muestra una representación de la dinámica de la enfermedad.

Diagrama modelo discreto SIR

Figura 1.2: Diagrama de flujo compartamental para el modelo discreto SIR.

A continuación se presenta el Número Reproductivo Básico R₀, el cual se define como el número de casos secundarios que un único individuo infectado puede producir en una población de individuos susceptibles.

1.2. Número Reproductivo Básico R0

Para calcular el valor del Número Reproductivo Básico R₀, se tiene en cuenta la relación del tamaño final de la epidemia, dado en [1]

De la ecuación (1.2),

De donde

Calculando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad se obtiene

De donde

Pero , entonces

De donde se obtiene que

Ahora, de la ecuación (1.3)

It₊₁ – (1 – σ) It = St – StGt

Pero StGt = St₊₁, por tanto

It₊₁ – (1 – σ) It = St – St₊₁

Sumando desde t = 0 hasta n se obtiene

De donde

Así que

Se tiene que S₀ + I₀ = N, además cuando t → ∞, It₊₁ → 0, entonces

Es decir,

De la ecuación (1.7), se tiene que , entonces

Por lo tanto

De donde se obtiene la relación del tamaño final de la epidemia dada en (1.6)

Obteniendo así el Número Reproductivo Básico R₀

Note que β es la probabilidad de una nueva infección y es el tiempo esperado de una persona en estado infeccioso, lo cual da un sentido biológico al Número Reproductivo Básico obtenido.

A continuación se presentan resultados de algunas simulaciones del modelo realizadas en MatLab.

1.3. Resultados numéricos

En esta sección se presentan resultados de algunas simulaciones para diferentes valores de los parámetros. Sea (probabilidad de que un individuo se recupere de manera natural), así que el tiempo esperado de una persona en estado infeccioso será de siete días. Se toman diferentes valores del parámetro β (probabilidad de una nueva infección), obteniendo así diferentes valores de R₀. Tomamos como valores de β : 0,1, 0,3 y 0,5.

Las figuras 1.3 y 1.4 muestran el comportamiento de los individuos susceptibles, infectados y recuperados para R₀ = 0,7, R₀ = 2,1, y R₀ = 3,5. Note que cuando R₀ < 1 (Figura 1.3) pocas personas son infectadas y la enfermedad desaparece rápidamente. Por el contrario cuando R₀ > 1 (Figura 1.4) la enfermedad se extiende en la población, llegando a infectar a un buen número de individuos, si no se toman las medidas de control necesarias las cuales pueden incluir tratamiento, vacunación, distanciamiento social, entre otras. A mayor valor de R₀, un mayor número de individuos será infectado y la enfermedad se propagará con mayor rapidez. Adicionalmente el pico de la epidemia (valor máximo de la curva de infectados) se alcanza más rápido cuando R₀ es mayor. En este caso se observa que para R₀ = 2,1, el pico se alcanza en el día 63 (ver Figura 1.4, parte superior) mientras que para R₀ = 3,5, se alcanza en el día 33 (Figura 1.4, parte inferior).

A continuación el código de MatLab con el que se obtuvieron las simulaciones presentadas. Note que el código para el modelo discreto es muy simple, lo cual es una de las ventajas de este tipo de modelos.

Comportamiento de los individuos para R₀ = 0,7.

Figura 1.3: Comportamiento de los individuos susceptibles, infectados y recuperados para un valor de R₀ = 0,7. Se observa que la enfermedad rápidamente desaparece. No se da un brote puesto que R₀ < 1.

Finalmente, la Figura 1.5 muestra el número acumulado de individuos infectados para los valores dados de R₀, evidenciando además el tamaño final de la epidemia; es decir, que porcentaje de la población se infectará durante el transcurso de la misma. Se observa que en el primer caso R₀ = 0,7, el número total de infectados tiende a cero, tal como se había indicado para valores de R₀ < 1. En el caso de R₀ = 2,1 el 82 % de la población se infectaría si no se tomara ninguna medida de control. Para R₀ = 3,5 el porcentaje de la población que se podría infectar sería del 96 %.

Comportamiento de los individuos para R₀ = 0,7 y R₀ = 2,1.

Figura 1.4: Las figuras muestran el comportamiento de los individuos susceptibles, infectados y recuperados para R₀ = 2,1 (parte superior) y R₀ = 3,5 (parte inferior). Se observa que el pico de la epidemia depende del valor de R₀. Cuando R₀ = 2,1 el pico se alcanza el día 63, mientras que para R₀ = 3,5 en el día 35.

Tamaño final de la epidemia