Kitabı oku: «Manual de estadística no paramétrica aplicada a los negocios»

1. CONCEPTO DE ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA

Tal como se ha señalado anteriormente, las pruebas no paramétricas son una alternativa a las pruebas paramétricas cuando no se cumplen los supuestos o las condiciones para realizarlas.

Las pruebas no paramétricas son procedimientos estadísticos relativamente sencillos de aplicar, con los cuales se hacen contrastes de hipótesis para una o varias poblaciones. Estas pruebas no exigen que los datos recopilados tengan una distribución normal o una distribución especifica; sin embargo, estas pruebas presentan algunas desventajas frente a las pruebas paramétricas, porque en muchos casos ignoran cierta porción de información de la población y no tienen la eficiencia que se observa en las pruebas paramétricas.

2. PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Uno de los aportes más importantes de la estadística es el referido a los diversos métodos inferenciales, que tratan fundamentalmente los temas relacionados con la estimación de los parámetros y las pruebas de hipótesis.

Las pruebas o contrastes de hipótesis, llamadas también pruebas o contrastes de significación, son métodos y técnicas estadísticas desarrollados para contrastar la validez de una hipótesis o la afirmación que se hace sobre la naturaleza de una población de acuerdo con la información muestral. Lo que se busca es comprobar si la información obtenida de la muestra concuerda (o es compatible) con los supuestos que se plantean acerca de las características poblacionales en estudio.

La formulación de la hipótesis implica obviamente la elección entre dos opciones, que depende del resultado o el valor de un estadístico, obtenido a partir de una muestra aleatoria.

Por lo general, cualquier modelo utilizado para contrastar hipótesis se basa en el uso de estadísticos calculados a partir de muestras aleatorias. Como los estadísticos tienen una distribución muestral asociada, nuestra decisión será tomada en presencia de cierta variación aleatoria, lo que implica a su vez el empleo de reglas claramente definidas para elegir la opción acertada, es decir, para tomar la decisión correcta.

Sobre el particular, Newbold y Carlson (2008) hacen una analogía muy interesante al compararlo con un juicio con jurado, donde se supone que el acusado es inocente y el jurado decide que una persona es culpable solo si existen pruebas muy contundentes en contra de la presunción de inocencia. El proceso para elegir entre la culpabilidad y la inocencia requiere de:

1. Rigurosos procedimientos para presentar y evaluar la evidencia.

2. Un juez para aplicar las reglas.

3. Un proceso de decisión que supone que el acusado es inocente a menos que exista evidencia que demuestre lo contrario.

Además, Newbold y Carlson (2008) hacen notar que este proceso no condena a algunas personas que, en realidad, son culpables. Pero, si se rechaza la inocencia de una persona y se le encuentra culpable, tenemos la firme convicción de que es culpable.

Queda claro entonces que, para tomar una decisión sobre una hipótesis particular, requerimos contar con un procedimiento que se base en la información obtenida y tenga en cuenta, además, el riesgo que estamos dispuestos a tolerar si acaso nuestro criterio de decisión no es el correcto.

Las pruebas de hipótesis, según el cumplimiento o no de determinados supuestos, pueden clasificarse en dos grandes grupos: pruebas paramétricas y pruebas no paramétricas.

Las pruebas paramétricas se realizan bajo el cumplimiento, entre otras, de ciertas condiciones de normalidad, homocedasticidad e independencia; mientras que las pruebas no paramétricas no están sometidas al cumplimiento de dichas condiciones, por lo que se constituyen en alternativas válidas cuando no se logra el cumplimiento de alguna de las condiciones previstas para las pruebas paramétricas.

Con el fin de simplificar el procedimiento para el desarrollo de una prueba de hipótesis, se plantean los siguientes pasos, que serán tomados en cuenta en el desarrollo de las pruebas que se presentan en este documento:

1. Formulación de las hipótesis

2. Determinación del nivel de significación

3. Elección del estadístico de prueba o de contraste

4. Determinación del valor crítico

5. Regla de decisión

6. Conclusión

2.1 Formulación de las hipótesis

El procedimiento de desarrollo de una prueba o contraste de hipótesis empieza con la formulación de las hipótesis estadísticas correspondientes. Una hipótesis estadística es un supuesto, una conjetura o una afirmación, considerada provisionalmente cierta, que se hace sobre la distribución de una variable aleatoria, es decir, sobre las características de una población.

Se dice que una hipótesis estadística es paramétrica si el supuesto, la conjetura o la afirmación se refiere al valor o a los valores de los parámetros desconocidos de la población. Estas hipótesis pueden ser simples, cuando se establecen valores únicos para los parámetros (μ = 10, σ = 6, π = 0,45, etc.), y compuestas, cuando se formula un rango de valores a dichos parámetros (μ < 10, σ² ≥ 36, π > 0,45, etc.).

Asimismo, se dice que una hipótesis estadística es no paramétrica si el supuesto, la conjetura o la afirmación se hace sobre alguna característica de la población bajo estudio. Por ejemplo, la ubicación de mujeres y hombres en la cola de atención de un banco es aleatoria; la variable X sigue una distribución binomial; no se observa una tendencia general de los clientes por la preferencia de un producto sobre otro.

En general, lo que se requiere de un procedimiento de prueba de hipótesis es que permita la especificación de dos conjuntos posibles de valores, que constituyan, a la vez, dos hipótesis estadísticas: la hipótesis nula, designada por H₀, y la hipótesis alternativa, designada por H₁.

Actualmente, cuando se utiliza el término “hipótesis nula”, nos referimos a cualquier hipótesis que se ha formulado con el propósito de rechazarla; sin embargo, la mantenemos como cierta a menos que existan suficientes evidencias o pruebas en contra de ella.

En el desarrollo de una prueba de hipótesis, estamos interesados en probar una hipótesis nula contra una hipótesis alternativa, bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera. Si la hipótesis nula es rechazada, entonces aceptaremos la denominada hipótesis alternativa. Sin embargo, si la hipótesis nula no es rechazada, no quiere decir necesariamente que es la correcta, ya que pueden presentarse las dos siguientes situaciones:

1. Efectivamente, la hipótesis nula es la correcta.

2. La hipótesis alternativa es la correcta, pero no tenemos suficientes evidencias muestrales para rechazar la hipótesis nula.

Lo que queremos decir es que una hipótesis nula será rechazada cuando se tengan suficientes evidencias muestrales de que es menos probable que sea cierta; mientras que, si la hipótesis nula no es rechazada, no implica necesariamente que sea cierta, y solo podremos afirmar que no existen evidencias muestrales suficientes para asegurar su rechazo.

No existe una regla general que permita especificar unívocamente a estas dos hipótesis, de modo que tal designación se hace de forma arbitraria. Sin embargo, es común especificar la hipótesis nula de manera exacta, al hacerla corresponder la ausencia o la “nulidad” de efectos de la variable que se investiga; es decir, en la hipótesis nula se acostumbra especificar como una negación lo que se supone verdadero (Ya-Lun, 1988). Por ejemplo: el dado no está cargado, no existen diferencias entre dos grupos al comparar sus preferencias por un producto, no hay diferencias en la aplicación de dos métodos, etc.

La hipótesis alternativa se especifica generalmente con menos precisión, y es común establecerla al afirmar que la variable que se investiga ejerció algún efecto. Se expresa de forma opuesta a la hipótesis nula y es la que se conoce como la hipótesis de investigación. Por ejemplo: el dado está cargado, hay diferencias entre dos grupos al comparar sus preferencias por un producto, existen diferencias en la aplicación de dos métodos, etc.

La formulación de las hipótesis se enuncia de forma operacional y la naturaleza de la hipótesis de la investigación determina cómo debe ser formulada. Existen tres tipos de pruebas que se identifican de acuerdo con la manera en la que las hipótesis nula y alternativa han sido formuladas.

i) Prueba unilateral o de una cola

Cuando la hipótesis de investigación hace referencia a una dirección determinada:

1. De cola izquierda

Forma general: H₀ : θ = θ₀ vs H₁ : θ < θ₀

2. De cola derecha

Forma general: H₀ : θ = θ₀ vs H₁ : θ > θ₀

ii) Prueba bilateral o de dos colas

Cuando la hipótesis de investigación hace referencia a una diferencia:

Forma general: H₀ : θ = θ₀ vs H₁ : θ ≠ θ₀

2.2 Determinación del nivel de significación

Una prueba de hipótesis en la práctica consiste en probar la hipótesis nula contra la hipótesis alternativa de acuerdo con la información muestral. Este contraste, debido al carácter aleatorio del muestreo, nos puede conducir a cometer dos posibles errores.

i) Rechazar la hipótesis nula (H₀)

Esto se decide cuando en realidad H₀ es verdadera; es decir, que ocurre cuando la información obtenida de la muestra no es compatible con H₀, que se conoce como error tipo I y la probabilidad de cometerlo recibe el nombre de nivel de significación, que se representa con la letra griega α.

α = P(error tipo I) = P(rechazar H₀ / H₀ es verdadera)

ii) No rechazar la hipótesis nula (H₀)

Situación que se da cuando en realidad H₀ es falsa, que se conoce como error tipo II y la probabilidad de cometerlo no tiene un nombre conocido, pero es representada por la letra griega β. En realidad no es correcto decir: “Aceptar la hipótesis nula”, y en su lugar se debe decir: “No rechazar la hipótesis nula”, porque:

1. Efectivamente la hipótesis nula es verdadera.

2. La hipótesis nula no es verdadera, pero no tenemos suficientes evidencias estadísticas para rechazarla:

β = P(error tipo II) = P(no rechazar H₀ / H₀ es falsa)

Es claro entonces que, cuando incurrimos en alguno de los errores mencionados, nuestra decisión no será la correcta, de modo que las probabilidades de cometerlos pueden ser consideradas como los riesgos de tomar decisiones incorrectas. La tabla 1.1 proporciona información sobre los posibles errores y su probabilidad de cometerlos.

Tabla 1.1 Estados de la naturaleza y decisiones sobre la hipótesis nula

Elaboración propia

Según la regla de decisión mostrada en la tabla anterior, podemos establecer lo siguiente:

Primero

La probabilidad de cometer el error tipo I, o de rechazar una hipótesis nula cuando es verdadera, representada por α, es “pequeña”. α es el nivel de significación y, por lo general, su valor se controla cuando decidimos el nivel del riesgo que estamos dispuestos a tolerar al rechazar H₀ verdadera.

Segundo

La probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera es 1 − α, y al expresarla como porcentaje se le conoce como nivel de confianza.

Tercero

La probabilidad de cometer el error tipo II, o de no rechazar una hipótesis nula cuando es falsa, es representada por β, y depende de la diferencia entre los valores hipotéticos y real del parámetro poblacional; de modo que, si esta diferencia es grande, el valor de β será pequeño; en caso contrario, si dicha diferencia es pequeña, la probabilidad de cometer error tipo II, β, será grande.

Cuarto

La probabilidad de rechazar una hipótesis nula cuando es falsa, representada por 1 − β, se conoce como potencia de la prueba.

De acuerdo con estas consideraciones, es ideal que las probabilidades de cometer los dos tipos de error fueran lo más pequeñas posibles, lo cual no necesariamente se cumple. En particular, sobre la base de un tamaño de muestra determinado, la reducción de la probabilidad de cometer un error tipo I provocará un incremento de la probabilidad de cometer un error tipo II y viceversa, dado que tienen una relación inversa.

La relación que existe entre estos dos tipos de errores permite que sea posible realizar una prueba de hipótesis al especificar solamente el valor de α, sin tener que evaluar β de forma explícita; sin embargo, deberían especificarse siempre los riesgos de cometer ambos tipos de errores, y buscar un equilibrio razonable entre las probabilidades de cometerlos. Esta situación se puede lograr al hacer variar el tamaño de la muestra y escoger luego un tamaño de muestra que satisfaga los requerimientos.

En resumen, establecer el nivel de significación α equivale a decidir de antemano la probabilidad máxima que estamos dispuestos a tolerar cuando rechazamos una hipótesis nula que es cierta o verdadera. Este nivel de significación es elegido por el propio investigador; por lo general se puede usar un α = 0,01; 0,05; 0,10.

iii) Potencia de la prueba o contraste

La potencia del contraste es otro concepto que se utiliza en las pruebas de hipótesis para referirnos a la capacidad que tiene la prueba para aceptar la hipótesis alternativa que en realidad es cierta, o, de otra manera, es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula H₀, que en realidad es falsa. Depende del valor de β y se calcula para valores específicos del parámetro que satisfacen la hipótesis nula, lo que genera lo que se conoce como la función potencia.

Potencia = P(rechazar H₀ / H₀ es falsa)

= 1 − P(no rechazar H₀ / H₀ es falsa)

= 1 − P(error tipo II)

= 1 − β

Hay que tener en cuenta que, como la regla de decisión de la prueba depende del nivel de significación α elegido, la potencia no afecta de forma directa la decisión de rechazar o no una hipótesis nula. Sin embargo, cuando calculamos la función potencia, para distintos valores del nivel de significación y valores específicos del parámetro que están contenidos en la hipótesis alternativa, obtendremos información relevante de las propiedades de la regla de decisión, que se refieren a lo siguiente:

1. Para un valor α dado, al aumentar el tamaño de la muestra, disminuye β, por lo que la potencia de la prueba aumenta, lo que significa que será mayor la probabilidad de detectar una hipótesis nula falsa.

2. Para un tamaño de muestra dado, podremos elegir entre dos o más contrastes que tienen el mismo nivel de significación α, a partir precisamente de la prueba que tenga la menor probabilidad de cometer error tipo II, es decir, aquella que tenga la mayor potencia.

2.3 Elección del estadístico de prueba o de contraste

El estadístico de prueba, en el cual deseamos basar nuestra decisión, debe tener una distribución muestral conocida bajo el supuesto de que la hipótesis nula sea verdadera.

Por ejemplo, si H₀ se formula de manera que en un número fijo de n repeticiones independientes de un ensayo, que tiene solo dos resultados posibles (éxito o fracaso) con igual probabilidad de éxito π en cada repetición, el estadístico de prueba que debe elegirse en este caso es la proporción muestral p. Esta elección es adecuada o apropiada, ya que, si los supuestos de H₀ son verdaderos, la distribución muestral de p es la distribución binomial con parámetros n y π.