Kitabı oku: «Mujeres de ciencia»

El premio de la Academia de las Ciencias

La Academia de Ciencias francesa fue creada en 1666, durante el reinado de Luis XIV fruto del impulso del ministro Jean-Baptiste Colbert (1665-1683), quien trató de modernizar diversos aspectos de Francia, dinamizando el comercio, la industria y la innovación. Sin embargo, sus reformas no consiguieron todos sus objetivos, en especial el saneado de las cuentas del Estado, debido a las numerosas guerras en las que se embarcó el monarca y que supusieron una auténtica sangría a las arcas reales. En ese sentido, el propio ministro eligió a un pequeño grupo de sabios, que se congregaron el 22 de diciembre de 1666 en la biblioteca del rey, y allí tuvieron lugar las primeras sesiones de trabajo, que tenían un carácter relativamente informal. La institución fue alcanzando un gran prestigio hasta la llegada de la Revolución francesa, que la disolvió en 1783, para crear, dos años más tarde, el Instituto Nacional de Ciencias y Artes, que reagrupaba a las antiguas academias científicas, literarias y artísticas. Cada una de las secciones fue adquiriendo cada vez más autonomía hasta llegar a una situación similar a la prerrevolucionaria en 1816.

Algo que siempre caracterizó a la Academia desde los tiempos iniciales de Colbert fue la misión de impulsar el desarrollo de la ciencia y ello se canalizó a través de iniciativas de popularización como la llevada a cabo con el Sistema Métrico Decimal, de la que fue una de sus principales impulsoras, o la convocatoria de premios por la resolución de profundos problemas científicos. En esta categoría, uno de los más famosos fue el convocado en 1818 para tratar de explicar las propiedades de la luz y en el cual participó el ingeniero Augustin-Jean Fresnel (1788-1827), que fue uno de los primeros en afirmar que la luz era una onda. Es interesante señalar que Siméon Denis Poisson (1781-1840), que era uno de los miembros del comité de jueces y partidario de la teoría corpuscular, buscó una manera de refutar la afirmación de Fresnel. Poisson pensó que había encontrado un error cuando demostró que la teoría de Fresnel predecía que una mancha brillante en el eje existiría en la sombra de un obstáculo circular, donde debería haber completa oscuridad según la teoría corpuscular. El punto de Poisson no era fácilmente observable en situaciones cotidianas y, como él no lo encontró, lo interpretó como una refutación que desmentía la teoría de Fresnel. Sin embargo, el jefe de la comisión, François Arago (1786-1853), quien llegaría a ser primer ministro de Francia, decidió realizar el experimento con más detalle y, para sorpresa de todos, logró observar el lugar previsto, lo que convenció a la mayoría de los científicos de la naturaleza ondulatoria de la luz. Lo que siguió a continuación llega hasta la física cuántica, pero esto ya es otra historia.

CONCURSO SOBRE LA ELASTICIDAD

En 1808 visitó París un físico aplicado y músico alemán llamado Ernst Chladni (1756-1827), el cual hizo una demostración de su simple e ingenioso método para obtener ciertos patrones sobre superficies que vibran. Para ello, tomaba una placa de vidrio, la cubría con polvo o arena muy fina, la sostenía con dos dedos en los lados opuestos de la placa y pasaba por su borde un arco de violín, lo que causaba que la placa vibrara y emitiera un tono puro. El polvo se agitaba por las vibraciones y se movía hasta llegar a ciertos puntos en los que no había movimiento. Las ondas estacionarias tienen la particularidad de presentar zonas o puntos donde la amplitud de la vibración es máxima y otras donde esta se anula. Cuando la placa vibraba, el polvo fino tendía a desplazarse desde las zonas de máxima vibración a las zonas de vibración nula y por la falta de movimiento de esos puntos ya no se desplazaba y se obtenía como resultado un patrón de líneas o curvas que designaban la forma de la vibración causada por el arco. Las diferentes frecuencias sonoras inducían diferentes modos de vibración, de este modo se podían visualizar distintos patrones sobre la placa que iban cambiando conforme se modificaba la frecuencia del sonido.

CHLADNI, UN PIONERO EN VARIOS CAMPOS

Ernst Florens Friedrich Chladni nació el 30 de noviembre de 1756 en Wittenberg, Sajonia, en el seno de una familia culta y acomodada que provenía de Kremnica, entonces parte de Hungría y en la actualidad perteneciente a Eslovaquia, por lo que tanto Alemania como Hungría y Eslovaquia lo reclaman como suyo. Su obra más importante, por la que a veces es etiquetado como el «padre de la acústica», incluía la investigación sobre placas vibratorias que motivó un premio de la Academia de Ciencias promovido por Napoleón y al que dedicó gran esfuerzo Sophie Germain. Chladni también calculó la velocidad del sonido para diferentes gases. En la misma línea, diseñó y perfeccionó algunos instrumentos musicales. Pero no solo se limitó al estudio de temas relacionados con la acústica, también fue el primero en sugerir que los meteoritos tenían un origen extraterrestre, aunque en principio esta idea fue ridiculizada por sus contemporáneos, que creían en un origen volcánico de los meteoritos. Poco a poco se acumularon evidencias que llevaron a pensar, aún en vida de Chladni, que tenía razón y su libro Sobre el origen del Hierro de Pallas y otros similares, y algunos fenómenos naturales asociados es considerado el primer tratado científico sobre meteoritos.

El sencillo experimento de Chladni probaba que una placa vibra con ciertos patrones, pero la explicación de por qué se producían no se conocía. Es más, variando el número de soportes que sostenían la placa o su posición y modificando el lugar en la que el arco la hacía vibrar, se generaban patrones diferentes. El número de patrones parecía infinito, los dibujos que describían eran únicos para cada circunstancia y los resultados solo podían ser reproducidos si uno duplicaba exactamente las condiciones iniciales que los generaron. Determinar matemáticamente qué hacía que se formaran esos patrones y predecir la forma que iban a adoptar en función de las distintas variables que desempeñaban un papel en su formación suponía un reto magnífico.

Afrontar dicho desafío tenía una doble motivación para Sophie Germain. Por una parte, ella siempre se había movido por el afán de descubrir y de resolver problemas; por otra parte, porque el problema había alcanzado una cierta notoriedad ya que la exhibición de Chladni había causado bastante revuelo en los círculos científicos e intelectuales de París. Tanto es así que el emperador Napoleón Bonaparte (1769-1821) estableció en 1809 un premio extraordinario para el primero que diera una explicación plausible de por qué se producían los patrones de Chladni y cómo se podía predecir su forma.

Puede resultar extraña la involucración de Napoleón en el premio, pero en realidad la participación del emperador era en un grado mayor de la que se puede pensar en primera instancia. Desde el comienzo de su carreraz prestó un gran interés a la ciencia en general y a las matemáticas en particular, tanto es así que al final del siglo XVIII ocupó un puesto en la Academia gracias al apoyo de su amigo Laplace y en el año 1800 la llegó a presidir. Para ocupar este puesto privilegiado se argumentó su condición de líder y organizador de la campaña de Egipto, que tuvo un importante componente científico. Efectivamente, en la expedición al país del Nilo participó un grupo de 167 científicos y especialistas que eran expertos en distintas materias como matemáticas, física, química y biología, así como ingenieros, arqueólogos, geógrafos e historiadores. Entre ellos figuraban el matemático Gaspard Monge —uno de los miembros fundadores de la Escuela Politécnica—, el también matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), el físico Étienne-Louis Malus (1775-1812) , el químico Claude-Louis Berthollet (1748-1822) o el geólogo Déodat de Dolomieu (1750-1801). Bajo la dirección de Vivant Denon (1750-1801), que años más tarde sería director del Museo del Louvre, recorrieron el país haciendo exploraciones arqueológicas, proponiendo mejoras en ingeniería, copiando textos, dibujando edificios antiguos, realizando estudios etnológicos, geológicos, zoológicos y botánicos… Todos estos trabajos quedaron recogidos en la obra Description de l’Égipte (Descripción de Egipto), publicada en veinte tomos entre 1809 y 1822 y que se convirtió en la máxima referencia de la egiptología durante décadas.

Los premios por logros científicos se habían ofrecido en Francia durante gran parte del siglo XVIII y se habían utilizado para incentivar el trabajo en áreas que el gobierno consideraba de importancia nacional. Después de la reorganización de la Academia de Ciencias en 1795 se decidió que cada año se iba a proponer y juzgar un concurso en las ciencias físicas y otro en las ciencias matemáticas. Cada premio simbólicamente equivalía a un kilogramo de oro, que en 1803 se fijó en 3.000 francos.

Normalmente una comisión de cuatro o cinco personalidades destacadas era la encargada de establecer la temática de los premios. Posteriormente, otra comisión de expertos juzgaba los trabajos recibidos, y los premiados, en caso de haberlos, ya que con mucha asiduidad se declaraban desiertos, recibían su galardón en la siguiente sesión de enero. Al margen de estos premios «ordinarios», existían otros que el propio Napoleón había institucionalizado y que estaban dotados con fondos gubernamentales directamente. Uno de ellos pretendía premiar la mejor obra cada año sobre «fluidos galvánicos» o «galvanismo». En el año 1808 este premio no fue concedido porque no hubo experimentos que se consideraran de suficiente calidad. Legendre sugirió que se podía dividir el premio en dos, pero en una reunión general de la Academia de Ciencias, el 13 de febrero de 1809, se llegó a una conclusión totalmente distinta y que afectaría a Sophie Germain. Así, se propuso a Napoleón lo siguiente:

[...] que los 3.000 francos no se destinen este año para descubrimientos en galvanismo y sean empleados en animar un análisis matemático de los experimentos realizados por Ernst Chladni sobre la vibración de placas resonantes.

La respuesta del emperador aprobando lo que se le sugería no se hizo esperar y en una semana la Academia la recibió. Una comisión formada por Laplace, Legendre, el matemático e ingeniero Gaspard de Prony (1755-1839) y el cristalógrofo René Just Haüy (1743-1822) fue elegida para elaborar un programa para el premio. Puesto que las Academias estaban formalmente unificadas en el Instituto Nacional de Ciencias y Artes en ese período aún revolucionario y la reunión ordinaria de la de Ciencias iba a tardar seis meses en tener lugar, le solicitaron a la Academia de Francés y Literatura que les permitiera anunciar el premio en la suya, que tendría lugar en abril.

Así, en la reunión de la Academia de Francés y Literatura celebrada el primer lunes de abril de 1809 se anunció el premio con esta convocatoria:

Su Majestad el Emperador y Rey, que se ha dignado llamar a M. Chladni ante él y a ver sus experimentos, estando impresionado por el impacto que el descubrimiento de una teoría rigurosa que explicara todos los fenómenos rendidos sensibles por estos experimentos tendría sobre el progreso de la física y el análisis, desea que la [Primera] Clase haga de este el tema de un premio que se propondrá a todos los eruditos de Europa. Esta nueva concepción del genio benevolente, que anima las grandes y profundas opiniones de Su Majestad para el progreso y la propagación de la Ilustración, será recibida con reconocimiento por todos los pueblos que honran y cultivan las ciencias.

La [Primera] Clase ha propuesto, así, para el sujeto del premio, el desarrollo de una teoría matemática sobre la vibración de superficies elásticas, y una comparación de dicha teoría con experimentos.

El premio será una medalla de oro, valorada en 3.000 francos.

Se concederá en una sesión pública el primer lunes de enero de 1812.

Las inscripciones serán admitidas hasta el primero de octubre de 1811. Esta fecha final no tiene excepción.

Algunos autores han manifestado su extrañeza sobre algunos de los hechos que rodean a esta convocatoria, como el que se cambiara un premio anual por este extraordinario o la premura en todo el proceso. Parece ser que en gran parte estuvo motivado por el deseo de Laplace de promocionar la carrera de Siméon Denis Poisson. Esta teoría es alimentada por hechos concretos ya que el denominador común de todas las comisiones involucradas en el premio fue Laplace, quien, en contra de la propuesta de Legendre de dividir el premio en galvanismo, propuso transformarlo en uno sobre los patrones de Chladni. Además, también formaba parte de la comisión que propuso el programa para el premio. Asimismo, algunos contemporáneos manifestaron que ese premio había sido urdido por Laplace para elevar la figura de Poisson, al que creía por su formación muy capaz de resolver el problema que se planteaba. Entre los que se manifestaron en dicho sentido, se encontraba François Arago (1786-1853), que fue nada menos que el biógrafo del propio Poisson, el cual dijo que el sentimiento de Laplace hacia Poisson era como el de un padre, lo cual le hizo luchar por conseguir una buena posición para su «ahijado».

Curiosamente había dos personas que estaban de alguna forma cualificadas para afrontar el problema propuesto por la Academia: Siméon Denis Poisson y Sophie Germain. La matemática, por un lado, había trabajado en un problema más simple que inició Leonhard Euler y que se podría considerar como el equivalente elástico del problema de las placas. Efectivamente, desde la época pitagórica, se conocían bien las propiedades de una cuerda vibrante por su relación con la música y las matemáticas, y tanto D’Alambert como Lagrange y Euler habían formulado un modelo matemático. Es más, los dos últimos habían generalizado el problema de la cuerda a dimensión dos considerando una membrana vibrante, lo que podría llamarse el «problema del tambor». Lo que Chladni demostró con su exhibición es que, al igual que los modos de una cuerda vibrante o una membrana poseen nodos donde no hay movimiento, una placa plana en vibración también posee curvas o líneas donde tampoco existe movimiento. Así que una aproximación similar al problema parecía factible.

LAPLACE, JUEZ Y PARTE EN EL PREMIO DE LA ACADEMIA

Una de las figuras claves en el mundo científico parisino y mundial de finales del siglo XVIII y comienzos del XIX fue Laplace , quien, junto con Poisson, desempeñaría un papel importante en la vida de Sophie Germain a partir de 1809. Pierre-Simon Laplace nació en una familia acomodada de granjeros de la baja Normandía y aunque los primeros datos de su vida no están muy claros, parece ser que estudió y empezó su carrera en la Universidad de Caen. Fue recomendado a D’Alembert, quien estableció contacto con él y le propuso problemas de gran dificultad que este resolvió con presteza. Así pues, D’Alembert lo recomendó a su vez para un puesto de profesor en la Escuela Militar de París en 1767, en la que tuvo entre sus discípulos a Napoleón Bonaparte, con el que tuvo una buena relación hasta la muerte del corso. En 1785 fue nombrado miembro de la Academia de Ciencias, y en 1795, miembro de la cátedra de Matemáticas del Nuevo Instituto de las Ciencias y las Artes, que llegó a presidir en 1812. Su labor fue importante en matemáticas, física y astronomía. Resumió y amplió el trabajo de sus predecesores en su Traité de mécanique céleste (Tratado de mecánica celeste) de cinco volúmenes entre 1799 y 1825. Este trabajo tradujo el estudio geométrico de la mecánica clásica a uno basado en el cálculo infinitesimal de Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), abriendo una gama más amplia de problemas. En estadística, la interpretación bayesiana de la probabilidad fue desarrollada principalmente por Laplace. Igualmente, formuló la «ecuación de Laplace» y fue pionero en la «transformada de Laplace» que aparece en muchas ramas de la física y de las matemáticas. Además, reformó y desarrolló la hipótesis nebular del origen del sistema solar y fue uno de los primeros científicos en postular la existencia de agujeros negros y la noción de «colapso gravitatorio».

Pierre-Simon Laplace.

Por otro lado, Laplace confiaba en que Poisson pudiera modelar el problema como una densa red de nodos que se atrajeran y repulsaran como si estuvieran unidos por unos muelles que buscaran un equilibrio intermedio entre estar muy estirado o demasiado comprimido. Así que cuando se convocó el premio Laplace estaba convencido de que tan solo Germain y su protegido Poisson iban a participar. Sin embargo, no se conoce el grado de involucración de este último y ni si llegó a completar algún trabajo, puesto que cuando finalizó el plazo dado por la Academia, solo se había presentado una memoria, la firmada por Sophie Germain.

«OÍR» LA FORMA DE UN TAMBOR

¿Qué significa «oír» la forma de un tambor? Para tratar de responder esta cuestión, es necesario saber que el tambor suele estar compuesto de una caja de resonancia y de una membrana que al vibrar produce el sonido, que es amplificado por dicha caja. El objetivo de la pregunta es, en realidad, sobre la forma de la membrana, que es la que produce el sonido, y se trata de determinar si dos membranas con forma distinta pueden llegar a producir el mismo sonido. Más concretamente, en la mayoría de los tambores la membrana es circular, pero se podrían construir tambores con membranas triangulares o con aspectos aún más exóticos. Y el sonido que producen los tambores depende de ciertos números asociados a varias ecuaciones bien conocidas. Esos números se llaman «autovalores» y desempeñan un papel fundamental en muchos problemas y aplicaciones de las matemáticas. Así que reformulando la pregunta quedaría: ¿Pueden dos membranas con formas distintas tener asociados los mismos autovalores y, por tanto, producir el mismo sonido? Esta cuestión fue formulada en 1966 por Mark Kac (1914-1984), aunque recogía aspectos planteados unos veinte años antes por Hermann Weyl (1885-1955). Nada más darse a conocer el artículo de Kac, John Milnor (n. 1931), uno de los matemáticos más brillantes de la segunda mitad del siglo xx, dio una primera respuesta (en realidad había encontrado su ejemplo dos años antes): dijo que existían tambores que suenan exactamente igual, producen el mismo sonido y cuyas membranas tienen forma totalmente distinta, pero en dimensión 16. Para encontrar una respuesta en dimensión dos hubo que esperar 25 años más, hasta que tres matemáticos —Carolyn Gordon, David Webb y Scott Wolpert— construyeron dominios bidimensionales que no son iguales pero que suenan exactamente igual. Bien es verdad que la forma de los tambores también es un tanto «exótica», como puede verse en la siguiente figura:

Dos membranas con estas formas producen exactamente el mismo sonido.

PRIMER INTENTO DE SOPHIE GERMAIN

Para juzgar si el trabajo de Sophie era merecedor del premio, el 21 de octubre de 1811 se formó una comisión integrada por Legendre, Laplace, el matemático Sylvestre François Lacroix (1765-1843) y el también matemático y físico Étienne-Louis Malus (1775-1812). Sophie escribió más tarde estas palabras cuando publicó sus resultados, explicando sus intenciones cuando supo de la convocatoria del premio:

En cuanto, me enteré de los primeros experimentos de M. Chladni, me pareció que el análisis [matemático] podía determinar las leyes que los rigen. Pero aprendí de un gran geómetra [Lagrange], cuyas primeras obras se habían dedicado a la teoría del sonido, que este problema contenía dificultades que ni siquiera sospechaba. Dejé de pensar en ello.

Ver los experimentos de M. Chladni durante su estancia en París despertó de nuevo mi interés. Empecé a estudiar las memorias de Euler sobre el caso lineal, ciertamente no con la intención de competir por el premio extraordinario propuesto por la Academia, sino solo por querer apreciar las dificultades que las condiciones del programa presentaban.

Sin embargo, afrontara o no el problema propuesto con determinación, lo que sí es cierto es que desde el primer momento hubo un flujo constante de correspondencia con Legendre, que ejerció como su valedor, en la misma medida que Laplace apostaba muy firmemente por Poisson. En esas cartas, Sophie le iba mostrando sus progresos, tanto en el estudio de los planteamientos de Euler como en sus avances en el caso de las placas.

Sophie Germain, como se ha dicho, se basó en varios resultados del estudio que hizo Euler sobre el caso de la vibración de una varilla. Euler había definido una ecuación diferencial que reflejaba el comportamiento de cada punto de una varilla unidimensional. Esa ecuación diferencial era de grado cuatro y admitía una gran variedad de soluciones; entre ellas, Euler escogía aquellas en las que cada punto describía una trayectoria ascendente y descendente similar al movimiento de un péndulo, lo que se conoce como «movimiento vibratorio regular». Al margen de ello, era necesario fijar ciertas condiciones en la varilla y el matemático consideró varios casos. Dos de ellos fueron de especial interés para Sophie, puesto que son los que trató de ampliar.

En el primer caso, la varilla está fijada por sus extremos admitiendo rotación, así que esos extremos lo único que fijan es su posición, en contra de la fijación total, que mantiene los extremos no solo fijos sino horizontales. En el segundo caso, la varilla está sujeta a uno de los dos extremos con una fijación total y al otro está sostenida de tal forma que permita girar. Euler se planteó cada uno de estos dos casos, pero de tal forma que también se fijaba la varilla por un tercer punto, así se quedaba sujeta por tres puntos: los dos extremos y uno intermedio. Euler solo estudió el caso en el que dicho punto intermedio es el centro de la varilla y Sophie amplió dicho resultado, intentando estudiar para cualquier fracción racional de la longitud de la varilla. Sin embargo, encontró dificultades en extender los razonamientos de Euler para el segundo de los casos y se puso en contacto con Legendre en enero de 1811, exponiéndole sus avances en el primer caso y sus dificultades en el segundo. Legendre le respondió con prontitud, pero en su carta no solo dudaba de su solución extendiendo el resultado de Euler en el primer caso, sino que criticaba incluso la labor de este. En realidad, Legendre estaba equivocado y tanto la solución parcial de Euler como la de Sophie eran totalmente válidas, aunque es posible que un tanto confusas en sus demostraciones. Pero, de nuevo, apareció el carácter de Sophie Germain y a pesar del gran respeto que le tenía a Legendre, no aceptó sus críticas y mantuvo, con razón, que sus soluciones eran válidas. Tan solo una semana después de la primera carta de Legendre a Sophie, ella ya había respondido a la crítica que se le hacía y Legendre había admitido su error. Ante una nueva carta de la matemática, el miembro de la Academia respondió que ahora había leído con más atención la obra de Euler, señalando algunos errores de Germain, pero que, por otra parte, se sentía cansado en general del problema.

Finalmente, gracias a los consejos de Legendre y ampliando los estudios de Euler, Sophie remitió su obra para que fuera considerada para el gran premio extraordinario de la Academia el 21 de septiembre de 1811, diez días antes de que se acabara el plazo para concursar.

RESOLUCIÓN DE LA PRIMERA CONVOCATORIA DEL PREMIO DE LA ACADEMIA

Aunque la entrada al concurso era anónima, parece muy claro que algunos de los miembros del jurado conocían la identidad de la única participante. En cualquier caso, mostrando cierta ansiedad, Sophie Germain le escribió a Legendre preguntando por noticias. La respuesta de este, el 22 de octubre de 1811, daba toda la información necesaria y posiblemente secreta:

Señorita,

Su memoria no se ha perdido; es la única que hemos recibido sobre el problema de la vibración de las superficies. Ayer designamos a cinco comisionados para examinarla. Tengo el honor de ser uno de ellos. M. Laplace, Lagrange, Lacroix y Malus son los otros cuatro. No he dicho nada; le aconsejo, así, guardar silencio hasta que se haga un juicio definitivo.

Soy, con todos los sentimientos que usted conoce, su devoto siervo.

Legendre

La cantidad de información que contenía esa carta es inmensa a pesar de sus pocas líneas. En primer lugar, Legendre comunica a Sophie que no hay más contendientes y, además, le pide un secretismo que él mismo está lejos de guardar. Más adelante, el 10 de noviembre de ese mismo año, el matemático volvió a romper ese secreto con otra carta muy significativa en la que informa a Germain de la suerte que puede correr un suplemento que esta le había enviado directamente.

Señorita,

Su memoria está circulando. Lacroix la tenía en sus manos el lunes pasado. Mañana averiguaré a quién se la ha pasado y añadiré el suplemento. Los comisionados entonces juzgarán si tomar en cuenta este suplemento o no. Además, me ocuparé de que el señor Lagrange no se demore en leerlo todo.

No hay ninguna dificultad, creo, en el caso particular en que el péndulo tiene la velocidad requerida para subir a la extremidad de su diámetro vertical. El cálculo demuestra que requiere un tiempo infinito para que el péndulo llegue a este punto. Y allí su movimiento desaparecerá.

Mademoiselle, en el respeto de mis sentimientos más distinguidos.

Legendre

Aunque los mensajes originales de Sophie Germain que motivaron estas respuestas no se conservan, parece claro que la primera memoria que entregó no estaba totalmente completa o al menos ella lo consideraba así y se tomaba con gran interés todo lo que tuviera relación con el premio.

Aunque el anuncio de la resolución del jurado debía hacerse público en enero de 1812, un mes antes Sophie Germain ya conocía el resultado, ya que el 4 de diciembre de 1811 Legendre le escribió una carta en la que le informaba que no era portador de buenas noticias y que la ecuación principal que ella había desarrollado para modelar el problema de la vibración no era correcta. También, en la misma carta, Legendre le informa que Lagrange había deducido siguiendo su razonamiento una ecuación que sí parecía correcta, dándole argumentos que justificaban su afirmación de que las noticias no eran buenas. Efectivamente, la ecuación diferencial propuesta por Lagrange es la que hoy en día proporciona la base para el análisis de los casos estáticos y dinámicos del análisis de láminas. Pero cabe aclarar que el propio Lagrange siempre afirmó que llegó a la ecuación correcta a través de los razonamientos de Sophie, así que parte del mérito le correspondía también a ella. Es más, él mismo asumió uno de los puntos de partida fundamentales de la memoria presentada por la matemática y es que las fuerzas que determinan la vibración dependen funcionalmente de la curvatura de la lámina. El problema es que esta enunciación de Sophie no estaba tampoco suficientemente justificada en su memoria. Después de esas noticias, era de esperar que la única aspirante al premio especial de la Academia no obtuviera el galardón. Sin embargo, no todo fueron malas noticias, ya que a la vez que el premio se declaraba desierto, se reconocía que no se había tenido tiempo suficiente para presentar un trabajo de calidad, así que se concedía una prórroga, abierta a nuevos concursantes, y que permitía la entrega de memorias hasta comienzos de octubre de 1812.

SEGUNDA CONVOCATORIA DEL PREMIO

Así, para su segundo intento para ganar del premio de la Academia, Sophie Germain tenía que superar fundamentalmente dos dificultades. En primer lugar, justificar que las fuerzas involucradas tenían una relación con la curvatura de la placa y, por otra parte, resolver los errores que había cometido para pasar del caso uno dimensional al dos dimensional. En realidad, los pasos necesarios para generalizar desde el punto de vista técnico las ecuaciones de Euler y aumentar en uno la dimensión habían sido publicados en el libro de Lagrange Mécanique analytique (Mecánica analítica), así que la segunda de las tareas era relativamente simple, solo era cuestión de estudiar detenidamente dicho libro y comprender los métodos en él expuestos. Pero determinar la forma en que la fuerza elástica dependía de las curvaturas principales era un problema mucho más difícil. Lagrange no había tenido éxito en esto, si es que lo había intentado, y tanto Poisson como el matemático e ingeniero Claude-Louis Navier (1785-1836) se enfrentaron a este punto. Pero existía un tercer problema: la resolución de la propia ecuación diferencial de Lagrange que Legendre había proporcionado a Sophie, quien se encontraba con la dificultad de que su formación autodidacta, que había estado conducida principalmente hacia la teoría de números, no tenía la profundidad suficiente para afrontar con éxito ese tercer reto.

Evidentemente, dos de las tres dificultades que afrontaba Sophie Germain eran meramente técnicas y solo consistían en adquirir la pericia suficiente en cuestiones en las que otros matemáticos de su época podían desenvolverse, como le había demostrado Lagrange, aunque ello le llevaría a obtener resultados inéditos. Sin embargo, el tercero de los obstáculos —ligar las fuerzas involucradas con la curvatura— iba más allá y era la principal tarea que tenía que afrontar si quería triunfar en esta segunda convocatoria.

La solución de Euler del problema de la varilla vibrante pasaba por relacionar las fuerzas con la curvatura de la varilla. Si se aproxima una varilla por una curva C, se puede definir la curvatura de forma intuitiva. Basta con aproximar cada punto P de la curva a la circunferencia que mejor se ajuste a la curva alrededor de dicho punto (lo que se consigue derivando dos veces) y se define la curvatura como el inverso del radio, r, de dicha circunferencia (figura 1). De este modo, si se está en una recta, la circunferencia que la aproxima tiene radio infinito y la curvatura se define como 0.

La circunferencia de radio r es la que mejor se aproxima a la curva en el punto P, y con r se determina la curvatura de la curva en P.

En el caso de las superficies, el problema es más complejo y hay distintos modos de medir el grado en el que una superficie «se curva» en un punto dado. Uno de los métodos es considerar las curvaturas de las curvas que se obtienen al cortar la superficie por los distintos planos perpendiculares a ella que contengan al punto. Si se supone que la superficie se puede derivar, en cada punto se tiene un plano tangente a la superficie y, por tanto, un vector perpendicular a dicho plano, lo que se conoce como el «vector normal». Así pues, si se consideran todos los planos que contienen a la recta que definen el punto y el vector normal, cada plano cortará a la superficie en una curva que contiene al punto en cuestión, si se dan las curvaturas de cada una de dichas curvas. De este modo, se está definiendo de alguna forma la curvatura de la superficie en cada punto. Naturalmente, esto entraña la dificultad de que para cada plano se obtiene una curva con curvatura distinta. Por ejemplo, en el caso del cilindro, si se corta en un punto de tal forma que se obtenga una circunferencia, se consigue la máxima de las curvaturas, y si se corta perpendicularmente, se obtiene una recta que tiene curvatura 0. Sophie definió la que actualmente se conoce como «curvatura media», que es exactamente la media entre la mayor y la menor de las curvaturas siempre dadas por planos perpendiculares (figura 2) y con ella elaboró su memoria.

Cada uno de los planos principales, al cortarlos con la superficie, da lugar a sendas curvas. Las curvaturas principales de la superficie son las curvaturas de esas dos curvas.

Parece ser que, en contra de lo que ocurrió con la primera convocatoria del premio, en su segundo intento Sophie estuvo trabajando de forma muy privada y poco a poco fue ganando una gran confianza en sí misma, porque comprobaba que sus ecuaciones predecían los patrones de Chladni con mucha precisión. Esa confianza consigo misma contrastataba con un incremento de la desconfianza con respecto a los jueces. Por una parte Lagrange, que era uno de los que más podía llegar a apreciar su labor, había muerto en abril de 1813, y por otra, parece evidente que se había producido un distanciamiento entre ella y Legendre.

La nueva memoria, de más de cien páginas, se recibió el 21 de septiembre de 1813 y de nuevo fue la única presentada. En este sentido, es sabido que Poisson estaba trabajando en el problema pero, al haber conseguido una plaza en la Academia, ya no le urgía ganar el premio para su promoción, así que pasó a formar parte del jurado que decidiría sobre el trabajo de Sophie, junto a Laplace, Lacroix, Legendre y el matemático Lazare Carnot.

La primera parte de la memoria estaba dedicada a justificar que la ecuación diferencial correcta era la que ya dedujo Lagrange a partir de su primera memoria, aunque no daba argumentos convincentes y estaba llena de errores y de suposiciones cuanto menos atrevidas y poco fundamentadas. Una vez aceptada la ecuación, se trataba de encontrar soluciones y en este campo, que en la primera memoria presentaba también ciertas carencias, se observa que todo estaba mucho más fundamentado. Así, presentó cuatro formas de soluciones.

POMPAS DE JABÓN

Si se introduce un bastidor de alambre en una disolución de agua con jabón, al sacar el bastidor se obtiene una lámina de jabón. Se puede demostrar que esa lámina toma la forma de una superficie que, entre todas las que cubren el hueco del bastidor, es la que tiene un área mínima. Pero, además, se da una característica sorprendente: dicha superficie tiene curvatura media, como la que definió Sophie Germain, igual a 0. Esto es debido a que se puede demostrar que las superficies que minimizan el área son aquellas con curvatura media nula. Sin embargo, si se hace una pompa de jabón, no es esa la propiedad que tiene la superficie de la pompa, pero sí algo muy similar: las pompas de jabón describen superficies de curvatura media constante. Aunque pueda parecer solo y exclusivamente un divertimento, las superficies que tienen curvatura media 0, denominadas «superficies minimales», tienen mucha importancia en relación con otras disciplinas. Así, para demostrar diversos resultados de superficies minimales se puede recurrir a simulaciones del movimiento browniano en ellas. También existe una relación con los agujeros negros y su horizonte de sucesos, más concretamente con el llamado «horizonte aparente», y en ingeniería molecular y ciencia de los materiales, ya que por sus propiedades desempeñan un papel importante en objetos autoensamblantes. También, en arquitectura ha habido mucho interés en las estructuras de tensión o arquitectura textil, que están estrechamente relacionadas con superficies mínimas. Un ejemplo famoso es la cubierta del Estadio Olímpico de Múnich, de Frei Otto (1925-2015), inspirado en superficies de jabón.

Estadio Olímpico de Múnich.

Una ecuación diferencial es una ecuación que liga mediante operaciones algebraicas a una función con algunas de sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales constituyen un campo fundamental dentro de las matemáticas y sus aplicaciones, ya que multitud de fenómenos en física, química, ingeniería y otras ciencias pueden modelarse con ecuaciones diferenciales. Cada una de las soluciones de una ecuación diferencial representa una curva (si es una ecuación en una única variable) que se puede representar en el plano. De este modo, una ecuación diferencial da lugar a toda una colección de curvas o trayectorias. Para fijar cuál de entre todas las soluciones que da una ecuación diferencial es la que se desea, es necesario dar unas condiciones iniciales. Por ejemplo, si un conejo corriera a lo largo del eje Y y soltáramos un galgo en un punto del plano, este describiría una curva de persecución del conejo que dependería de las posiciones iniciales de cada uno y de las velocidades relativas. Justamente estas posiciones y velocidades son las llamadas «condiciones iniciales» que determinan qué solución particular es la que interesa. Por otra parte, en ciertos problemas físicos, como el problema de la cuerda vibrante, además de las condiciones iniciales puede ser necesario introducir otro tipo de condiciones llamadas «de contorno». Por ejemplo, en el caso de las vibraciones de la membrana de un tambor las condiciones iniciales serían la posición inicial y la velocidad inicial de cada punto de la membrana, mientras que la condición de contorno vendría dada por la imposición de que esta esté fijada al bastidor a lo largo de su borde, en todo momento.

Por lo tanto, el primer paso de la memoria de Sophie Germain era encontrar la ecuación diferencial, el segundo integrarla y describir sus soluciones y el tercero establecer unas adecuadas condiciones de contorno. Para ello, de nuevo se basó en los estudios de Euler y dio razones para su paso a dimensión dos. Pero, otra vez, las razones que argumentaba tampoco parecían de gran peso desde un punto de vista matemático.

Una vez que tuvo las soluciones y las condiciones de contorno, la siguiente tarea fue comparar sus soluciones con los patrones proporcionados por Chladni. Sin lugar a dudas, la gran similitud entre sus predicciones y los resultados experimentales fue lo que más favorablemente consideraron los jueces. Parecía claro que las soluciones aportadas por Germain eran bastante ajustadas a la realidad, pero el fallo de su memoria era que no había conseguido justificar razonablemente y con el uso de una matemática rigurosa cómo llegar a las soluciones que proponía.

La propia Sophie tenía que ser consciente de que algunos de los argumentos que aportaba carecían de peso y trató de enviar algún añadido a su memoria y una vez más a través de Legendre. Pero era evidente que la relación con este se había enfriado y su respuesta, en diciembre de 1813, fue muy distinta de las que la matemática autodidacta recibió con ocasión de la primera convocatoria del premio. En cualquier caso, la carta en sí permite vislumbrar bien los fallos de la memoria presentada y trata de dar un avance honesto de lo que puede ocurrir con respecto a la resolución del jurado:

Señorita,

No entiendo en absoluto el análisis que me envía. Hay ciertamente un error en la escritura o en el razonamiento, y me hace creer que no se tiene una idea muy clara de las operaciones de las integrales dobles en el cálculo de las variaciones. Su explicación de los cuatro puntos no me satisface. Lagrange tenía razón al considerar dos elementos consecutivos en la curva elástica y medir la elasticidad por el ángulo de estos dos elementos. No hay elementos análogos en las superficies, o por lo menos aquellos que hemos considerado no son una analogía. Un elemento de la superficie tiene una proyección dxdy. El elemento tiene una proyección de (dx + ddy) (dy + ddy). Estas dos proyecciones son dos cuadrados diferentes. Además, la naturaleza de los planos no se ajusta a estas proyecciones, ya que un plano no pasa por cuatro puntos. Hay una gran falta de claridad en todo esto.

No intentaré señalarle todas las dificultades en una materia que no he estudiado especialmente y que no me atrae. Por lo tanto es inútil ofrecerme a reunirme con usted y discutirlas. Además, el asunto ha terminado. No hay nada más que cambiar en la memoria y, a pesar de toda mi buena voluntad, no puedo hacer nada.

Sin embargo, parece ser que su ecuación es verdaderamente la de la superficie vibrante. Dejando a un lado el análisis, el resto, en cuanto a la explicación de los fenómenos, puede ser válido.

Si la comisión de la Academia fuera de esta opinión, podría, por lo menos, recibir una mención honorable. Pero espero que el análisis incorrecto no perjudique el resto de la memoria y las partes de la misma que son correctas.

En cualquier caso existe la posibilidad de publicar su investigación, restablecer el análisis correcto o minimizarlo, y su trabajo le dará honor. Esto sería quizá lo que se debió haber hecho en primer lugar. Pero le prometo siempre el secreto más profundo, y, si no ha cometido alguna otra indiscreción, será como si la cosa fuera nula y sin valor.

Le ruego acepte mi respeto y completa devoción.

Legendre

Tal y como vaticinó Legendre, la comisión decidió darle una mención honorífica a Sophie Germain y declarar el premio desierto, pero, además, se convocó una nueva edición del premio con un plazo de dos años, fijando la fecha final para recibir propuestas el 1 de octubre de 1815.

TERCERA CONVOCATORIA DEL PREMIO

Por lo tanto, en agosto de 1814 se estaba a medio camino de la finalización del plazo otorgado para la tercera convocatoria del premio extraordinario. Sin embargo, en dicha fecha, durante la sesión de la «Primera Clase», nombre oficial por esa época de la Academia de Ciencias, Poisson comenzó a leer una memoria de su autoría en la que afirmaba que había dado con la solución. Esta llegaba a través de considerar una aproximación molecular en la que la lámina está compuesta por múltiples partículas unidas por una especie de muelles que hacen que busquen una posición de equilibrio ni muy cercanas, ni muy alejadas, tal y como ya había propuesto Laplace en su día.

Anteriormente, Poisson ya había presentado una memoria a la Primera Clase sobre un tema que era objeto de una competencia pública. Eso fue en 1812, antes de su elección como miembro de la Primera Clase, cuando su memoria sobre la distribución de la carga eléctrica en los objetos había ocasionado la retirada de un premio. Ahora, sin embargo, las circunstancias eran diferentes. Poisson se había convertido en un miembro de la Academia y en 1813 había sido uno de los jueces de la competencia para el premio extraordinario. No era costumbre que los miembros de la Primera Clase compitieran por premios que ellos habían establecido. Seguramente la lectura de las memorias de Poisson sobre el análisis de las superficies elásticas vibrantes podría considerarse como una conducta inapropiada y así se lo hizo saber Legendre, que lo interrumpió en su lectura. Después de alguna discusión, Poisson pudo continuar con la exposición de su trabajo, en el que llegaba, según sus palabras, de forma rigurosa a la ecuación de Lagrange, en clara alusión al trabajo de Sophie Germain.

En realidad, hoy en día, no se considera correcto deducir la ecuación de Lagrange mediante métodos moleculares, tal y como hizo Poisson, al margen del poco ético uso que hizo de la información previa de la que disponía. Es aceptable tratar de llegar a una ecuación conociendo de antemano el resultado al que se quiere llegar, pero el mérito de probar que al integrar dicha ecuación, con las debidas condiciones de contorno, se iban a obtener funciones que predecían bien el experimento de Chladni era, evidentemente, de Sophie Germain. Sin embargo, Poisson en su memoria solo decía que la fórmula que él llegaba a deducir aparecía en una entrada anónima al premio extraordinario que había recibido una mención honorífica.

Realmente, puesto que el premio fue impulsado por Laplace para lanzar la carrera de Poisson, entonces incipiente, y ya que este, por una parte, había alcanzado los honores que para él se pretendían y, por la otra, parecía que había resuelto totalmente el problema, después de la publicación de sus trabajos (el único que podía haber probado que su método molecular no tenía mucho sentido era Lagrange, pero había muerto hacía poco), Poisson pretendió que se suspendiera la convocatoria del premio extraordinario.

Se ha de suponer que Sophie quedó muy afectada por el anuncio de Poisson, ya que es sabido que paró en sus esfuerzos por terminar su tercera memoria. Al margen de la validez o no de la aproximación molecular, era evidente que Poisson iba a estar entre los jueces que dictaminaran sobre su memoria en esa tercera convocatoria, y también estaba claro que iba a ejercer una fuerte presión para que no le otorgaran a ella el premio y, con él, la gloria de haber resuelto un problema que Poisson proclamaba de su autoría.

SIMÉON DENIS POISSON

Poisson realizó importantes aportaciones en física y matemáticas, y en esta última destacaron sus trabajos en geometría diferencial y teoría de las probabilidades. Aunque empezó a formarse como cirujano de la mano de un tío suyo, pronto se vio que en la disciplina en la que destacaba notablemente eran las matemáticas. En 1798 ingresó en la Escuela Politécnica de París y dos años más tarde ya tenía publicado el primero de sus muchos trabajos científicos. Grandes matemáticos de su época, como Lagrange, remarcaron su capacidad para las matemáticas y Laplace lo consideró casi como un hijo. Desempeñó numerosos puestos docentes en las instituciones más prestigiosas del país. También obtuvo muchas distinciones y, en algún caso, ejerció su poder para degradar a sus enemigos personales. A pesar de sus muchos deberes oficiales, encontró tiempo para publicar más de trescientas obras, varias de ellas extensos tratados, siendo considerado uno de los matemáticos más prolijos de la historia. La «distribución de Poisson» es una de las principales distribuciones de probabilidad discretas y la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo o espacio, si esos eventos ocurren con un probabilidad conocida. Por ejemplo, en el problema: «En un taller el promedio de coches reparados es de 4 coches a la hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 minutos se reparen menos de 3 coches?», la fórmula de Poisson es:

donde λ es la probabilidad en el intervalo k y e es el número de Euler = 2,718281… Así, en este caso λ = 2 y, por lo tanto, hay que calcular la probabilidad de que no se repare ningún coche, más que se repare 1, más que se reparen 2:

Sin embargo, el premio siguió adelante, ya que es de suponer que los argumentos dados por Poisson no convencieron a todos, empezando por Legendre, que consiguió que se convocara una comisión que estudiara la situación del premio. Aunque dicha comisión nunca hizo públicos sus resultados, la convocatoria siguió adelante. En cualquier caso, parece ser que se llegó a un acuerdo interno que Legendre comunicó a Sophie: el premio iría a parar a ella si era capaz de producir una memoria sin los fallos anteriores.

El tercer trabajo presentado por Sophie tenía la mitad de la longitud y contenía algunas diferencias significativas. En primer lugar no se limitó al estudio de placas planas, sino que admitió superficies más generales y en ese momento le dio mayor protagonismo a la curvatura media. Es de suponer que hizo esa ampliación para tratar de diferenciarse de los resultados anunciados por Poisson y que se limitaban al caso plano. Además incluyó una última sección en la que describía algunos intentos de experimentos con placas cilíndricas, en las cuales no obtuvo resultados muy concluyentes. Aunque en esta tercera memoria no se corregían las lagunas presentadas en las dos anteriores, es posible que este intento de generalizar los experimentos le diera a la comisión argumentos suficientes para concederle, por fin, el premio extraordinario, y así, la comisión compuesta por Poisson, Laplace, Legendre, el físico y matemático Louis Poinsot (1777-1859) y el físico, astrónomo y matemático Jean-Baptiste Biot (1774-1862) anunció:

La [Primera] Clase ha recibido solamente una memoria, una secuela a la que obtuvo una mención honorable en 1814 y a la cual el autor ha agregado nuevos progresos. La ecuación diferencial dada por el autor es correcta aunque no se ha deducido de una demostración.

Sin embargo, la manera en que se han discutido las integrales particulares que la satisfacen, la comparación con los resultados observados por M. Chladni y, finalmente, los nuevos experimentos intentados en superficies planas y curvas para probar las indicaciones del análisis, la hacen merecedora del premio… La autora es Mademoiselle Sophie Germain, de París.

La ceremonia oficial de proclamación del premio extraordinario fue el 8 de enero de 1816 y a ella no pudo asistir la galardonada, ya que a las sesiones de la Academia las únicas mujeres admitidas eran las esposas de los académicos. Esto cambiaría de forma excepcional para la propia Sophie Germain a raíz de su amistad con Joseph Fourier, al cual conoció ese mismo año y que le consiguió entradas especiales que le permitieron asistir a las sesiones, pero para ello todavía tendrían que pasar siete años más.

Aunque no fue el motivo principal de su trabajo a partir de finales de 1815, Sophie Germain siguió puliendo su memoria en el problema de la vibración y publicó su ensayo premiado a sus propias expensas en 1821, sobre todo porque quería presentar su obra en oposición a la de Poisson. Añadió algún comentario sobre los posibles fallos que su propio método pudiera tener. En 1826 presentó una versión revisada de su ensayo de 1821 a la Academia. La revisión incluía intentos de aclarar su trabajo introduciendo ciertas hipótesis simplificadoras. Esto puso a la Academia en una posición incómoda, ya que sentían que el documento era «inadecuado y trivial». Pero el matemático Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que había sido nombrado para revisar su trabajo, recomendó que lo publicara y ella siguió su consejo. Todavía apareció una publicación más de Germain sobre el tema después de su muerte, pero en dicha última obra se centra mucho más en los aspectos geométricos de las superficies.

Vuelta a la teoría de números

Era evidente que para Sophie Germain el tema de la elasticidad, la deducción de ecuaciones diferenciales que regían fenómenos físicos y todo lo concerniente a sus trabajos matemáticos desde 1809 hasta finales de 1815 no eran el terreno en el que se sentía más confortable, aunque más tarde volvió a trabajar en ello, con vistas sobre todo a reflejar sus estudios en publicaciones. El principal afán de Sophie había sido demostrarle a la sociedad científica que era una matemática de valía y que necesitaba dejar de ser considerada como una curiosidad al margen de la élite matemática de la época. Posiblemente, después de obtener el premio extraordinario, el paso más lógico hubiera sido pelear por conseguir que su trabajo se viera publicado, ya que, en contra de toda lógica, la Academia de Ciencias no llevó a la imprenta la obra ganadora. Puede que ello estuviera determinado por la actitud de Poisson, y la propia Germain sentía que, a pesar de todos sus esfuerzos, seguía sin ser considerada miembro de pleno derecho de la comunidad científica.

Sin embargo, dos hechos vinieron a rescatarla del posible callejón sin salida que hubiera supuesto enfrentarse a Poisson abiertamente y, con él, a la Academia. El primero, su nueva amistad con Fourier, que sucedió a un cierto enfriamiento en su relación con Legendre y, sorprendentemente, en segundo lugar, un nuevo premio de la Academia de Ciencias francesa.

La misma sesión de la Academia que proclamó a Sophie Germain ganadora del premio extraordinario hizo público un nuevo concurso en matemáticas. Nada más y nada menos se galardonaría a aquel que fuera capaz de dar una demostración del último teorema de Fermat.

Y DE NUEVO, GAUSS

Como se ha comentado en el capítulo anterior, Fermat en su copia de la Arithmetica de Diofanto anotó (aunque con otro lenguaje) que la ecuación no xⁿ + yⁿ = zⁿ tenía soluciones enteras positivas en x, y, z para n mayor o igual a 3. En el caso n = 2 existían infinitas soluciones de este tipo, conocidas como «ternas pitagóricas». El propio Fermat había dado una demostración del resultado cuando n = 4 y Euler había manifestado lo propio para n = 3, y aunque su demostración inicial era incorrecta, otros resultados del propio Euler permitieron resolver el caso. Hay que aclarar que si el último teorema de Fermat es cierto para un determinado número mayor que 2, entonces también lo es para todos sus múltiplos, por lo tanto, basta con demostrar el teorema para n = 4 y todos los primos.

Pero, aunque en ochenta años no se había avanzado nada en el problema, en 1816 no se pensaba que una solución fuera incalcanzable. Así que el premio tenía sentido y a Sophie le permitió volver a su amada teoría de números, por tanto tiempo arrinconada. No solo eso, sus avances en el último teorema de Fermat fueron los más destacados hasta el momento y habrían de pasar unos cien años más para ver aportaciones similares.

COLOREANDO TERNAS PITAGÓRICAS

Una terna pitagórica es un trío de números naturales a, b y c que verifican la igualdad a² + b² = c². Es el caso de los números 3, 4 y 5, ya que, 3² + 4² = 5². Aunque se llamen ternas pitagóricas son muy anteriores al matemático griego Pitágoras (569-475 a.C.). Unas cuantas aparecen en la tablilla Plimpton 322, por ejemplo, 4.601, 4.800 y 6.649, que es una terna bastante espectacular. Asimismo, Euclides recogió en el libro los Elementos, escrito hacia el año 300 a.C., buena parte de lo que los pitagóricos habían descubierto sobre ellas. En los años ochenta del siglo pasado, el matemático Ronald Graham (n. 1935) ofreció 100 dólares al que supiera responder a la pregunta: «¿Se pueden colorear los números naturales {1,2,3,…} con dos colores de forma que no haya tres números del mismo color y que formen una terna pitagórica?» Así el 3, el 4 y el 5 no pueden tener los tres el mismo color y lo mismo con todas las demás ternas pitagóricas. En mayo de 2016 apareció un artículo de los científicos Marijn J. H. Heule, Oliver Kullmann y Victor W. Marek en el que demostraban que todos los números hasta 7.824 se podían pintar con dos colores de tal forma que toda terna pitagórica menor que dicho número no es monocromática, pero que eso no era posible para todos los números a partir de 7.825. La demostración de estos autores era asistida por ordenador, pero implicaba también unas reducciones que permitieron que los cálculos fueran factibles, ya que realizar todas las posibles asignaciones de colores es impracticable incluso para todos los ordenadores de la Tierra trabajando simultáneamente puesto que existen 2^7.825 combinaciones posibles y dicho número es muchísimo mayor que el número de átomos en el universo, que es del orden de 2²⁵⁰.

La tablilla Plimpton 322, desenterrada en Larsa, cerca de Babilonia, y a la que se calculan unos 3.800 años de antigüedad.

No existen evidencias de que Sophie Germain pretendiera competir por el premio y, desde luego, no presentó ninguna memoria antes de la finalización del plazo establecido por la Academia. Se había fijado en la primera convocatoria que los trabajos tenían que ser enviados antes del 1 de octubre de 1818; puesto que no se recibió ningún trabajo, se amplió el plazo hasta el 1 de octubre de 1820 y al no recibirse nada por dicha fecha, se decidió cancelar el premio. A pesar de no querer participar, parece evidente que la convocatoria animó a Sophie a trabajar de nuevo sobre el tema, incluso reanudó su correspondencia con Gauss diez años después de haberse interrumpido la comunicación entre ellos. En dicha carta, en mayo de 1819, Germain le comunicó al sabio alemán que estaba trabajando en el último teorema de Fermat y, aunque no se dan todos los detalles, parece ser que iba en la búsqueda de una demostración general para todos los casos, en contra de lo que se había avanzado hasta el momento, que era para un par de casos particulares. No consta que Gauss respondiera nunca a esta carta.

LA LEYENDA DE WOLFSKEHL

El premio de la Academia no fue el único asociado al último teorema de Fermat. Existe otro, el premio Wolfskehl que el matemático británico Sir Andrew John Wiles (n. 1953) consiguió en 1995. Este premio está rodeado de una leyenda que muchos aseguran que es totalmente verídica, aunque hay pocos testimonios de ello. Paul Wolfskehl (1856-1906) fue un médico de familia de banqueros que, debido a una esclerosis múltiple, tuvo que cambiar su profesión a la de matemático, a raíz de lo cual quedó atrapado por el último teorema de Fermat, sin conseguir una demostración que tanto anhelaba. Por otra parte, al parecer Wolfskehl se enamoró de una mujer que no le correspondía. Así que su enfermedad, la frustración por no poder demostrar el último teorema de Fermat y el desengaño amoroso le llevaron a planear un suicidio. Pero no de cualquier manera, sino en un día concreto y a una hora determinada, ambos autoimpuestos por él mismo. Según parece, Paul era tremendamente ordenado. Llegado el día, estaba Wolfskehl redactando su testamento y cuando terminó vio que faltaban todavía unas horas para que llegara el momento de suicidarse. Así que decidió pasar ese rato echando un vistazo a un trabajo de Ernst Kummer sobre el último teorema de Fermat. Al darle una vuelta encontró lo que él creía que era un error, por lo que intentó subsanarlo. La cuestión es que se metió tanto en el tema que cuando se dio cuenta se le había pasado la hora del suicidio. La leyenda cuenta que esto hizo recapacitar a Wolfskehl, que rompió el testamento y olvidó a la mujer, y que el hecho de evitar su prematura muerte le llevó a instaurar un premio de 100.000 marcos a quien demostrara que el último teorema de Fermat era cierto, siempre que lo hiciera antes del 13 de septiembre de 2007. Aunque no está clara la razón por la que eligió esa fecha, el plazo lo cumplió de sobra Wiles, por lo que en 1997 cobró el premio.

Paul Wolfskehl.

Sin embargo, Legendre prestó suma atención a los esfuerzos de Germain por avanzar en el último teorema de Fermat, así que la fue guiando en sus demostraciones, señalando las posibles lagunas, ya que Sophie carecía a veces del rigor que ya se exigía a las matemáticas a principios del siglo XIX, y además, ejerció un papel fundamental cuando abordó casos particulares más que una demostración del teorema general. Sin duda, esta fue la primera ocasión en la que Sophie Germain trabajó con un colega en una colaboración entre iguales, ya que en el caso de las placas Legendre actuó más bien como un guía.

Se puede reconstruir la aportación sobre el tema de Sophie Germain en una memoria publicada por el propio Legendre, Recherches sur quelques objets d’analyse indéterminée et particulièrement sur le thèoréme de Fermat (Investigaciones sobre algunos objetos de análisis indeterminado y en particular sobre el teorema de Fermat), en la que se la menciona en una nota a pie de página.

Lo más importante del plan de Germain para probar el último teorema de Fermat es que fue la primera persona que desarrolló un método que pretendía ser válido para una cantidad infinita de primos, aunque todavía quedarían infinitos primos, en principio, para los que no se conocería la validez del teorema. A la postre, su método era válido, al menos, para todos los primos menores que 100, aunque Legendre consiguió extenderlo para todos aquellos menores que 197.

EL TEOREMA DE SOPHIE GERMAIN

Hasta principios del siglo XIX solo se conocía la validez del último teorema de Fermat para dos valores fundamentales, el 3 y el 4. Se denominan «fundamentales» porque todo múltiplo de un número que verifique el teorema también lo verifica. Esto es fácil de comprobar con el siguiente argumento: si un cierto número p corrobora el teorema significa que x^p + y^p = z^p no tiene soluciones enteras. Si se considera cualquier q múltiplo de p, este será de la forma q = k · p, y de existir tres enteros que confirmen la ecuación de Fermat para q, se deduciría que existen otros tres enteros que la constatan para p. Efectivamente, si a, b y c son esos tres enteros que hacen válida la ecuación de Fermat para q, significa que a^k, b^k y c^k serían otros tres enteros que verificarían la ecuación de Fermat para p, ya que:

(a^k)^p + (b^k)^p = a^kp + b^kp + a^q + b^q = c^q = c^kp = (c^k)^p.

Naturalmente, esto era un comentario trivial del que fue muy consciente Fermat desde el primer momento, así que solo había que demostrar el teorema para los números primos y, de ellos, solo se tenía la demostración del 3. Lo grandioso del resultado de Sophie Germain es que daba un método que era aplicable a toda una colección de primos que verificaran cierta propiedad y demostró que todos los primos menores que 100 verificaban esa propiedad. Todo ello forma parte de lo que es conocido como «el gran plan de Sophie Germain para demostrar el último teorema de Fermat». Y se puede afirmar que la matemática parisina fue la primera persona que desarrolló una estrategia general para demostrar dicho teorema, cosa que, hasta entonces, no habían hecho ni Euler, ni Gauss, ni los otros matemáticos que solo se centraron en casos particulares. Para ver ese resultado y la propiedad mencionada hay que conocer algunos conceptos previos, principalmente el de «primos auxiliares», introducidos por Germain.

LOS PRIMOS AUXILIARES

La idea de «primos auxiliares» fue expuesta en la primera de las dos cartas que Sophie Germain escribió a Gauss. Se trata de construir, para cada primo, un conjunto de primos auxiliares. Estos números se basan en la aritmética modular sobre la cual trataba buena parte de la correspondencia original entre Germain y Gauss. Para ella, dado un primo p, un auxiliar suyo tiene que ser otro primo de la forma 2np + 1, siendo n otro entero cualquiera, tal que si se divide x^p (para todos los valores de x entre 1 y 2np) por 2np + 1 no se obtienen dos restos consecutivos. Por ejemplo, para comprobar que 11 es un primo auxiliar de 5, el primer paso es calcular x⁵ para todos los enteros entre 1 y 10:

{1⁵, 2⁵, 3⁵, 4⁵, 6⁵, 7⁵, 8⁵, 9⁵, 10⁵} =

= {1, 32, 243, 1.024, 3,125, 7.776, 16.807, 32.768, 59.049, 100.000}

El siguiente paso es dividir todos esos números por 11 y considerar tan solo los restos. Estos son:

{1,10,1,1,1,10,10,10,1,10} = {1,10}

y como 1 y 10 no son consecutivos, 11 es primo auxiliar de 5.

Para p = 5 el valor de 11 se obtiene en 2np + 1 haciendo n = 1; si se identifican n = 2 se obtiene 21, que no es primo. Para n = 3 se obtiene 31, que sí es primo, pero resulta que si se calculan todas las potencias de x⁵ para los números comprendidos entre 1 y 30, se dividen dichas potencias por 31, y se consideran los restos, se obtiene {1, 5, 6, 25, 26, 30}; 25 y 26 son consecutivos, por lo tanto, 31 no es primo auxiliar de 5. Se puede comprobar que para 5 los números 11, 41, 71 y 101 son primos auxiliares, entre muchos otros.

LOS DOS CASOS DEL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Precisamente, a raíz de los trabajos de Sophie Germain se vio la conveniencia de dividir el último teorema de Fermat en dos casos para tratar de demostrar cada uno de ellos por separado. Estos dos casos son:

• Caso 1: x^p + y^p = z^p no tiene solución en enteros positivos y tal que ni x, ni y, ni z son divisibles por p.

• Caso 2: x^p + y^p = z^p no tiene solución en enteros positivos y tal que exactamente uno y solo uno entre x, y o z es divisible por p.

Obsérvese que si dos de los valores x, y o z que satisfacen la ecuación de Fermat son divisibles por p, entonces el tercero también lo es y, por lo tanto, se puede reducir, tal y como se ha dicho anteriormente, el problema a potencias que no tengan dicho factor común.

EL GRAN PLAN

El primer resultado importante en el gran plan de Sophie Germain fue la siguiente proposición:

Si p es un primo impar y existe una solución entera de la ecuación de Fermat a^p + b^p = c^p entonces cualquier primo auxiliar de p divide a a, b o c.

Este resultado es cierto y no es difícil de probar y constituyó la primera piedra del gran plan de Sophie. La segunda era tratar de probar que para cada primo existían infinitos primos auxiliares. Efectivamente, si se demuestra que cada primo tiene infinitos auxiliares, entonces se deduce el último teorema de Fermat. La razón es la siguiente: si se supone, por reducción al absurdo, que el último teorema de Fermat es falso, eso significa que existe un primo p para el que existe una solución entera de la forma a^p + b^p = c^p entonces, por la proposición anterior, cualquier primo auxiliar de p divide a a, b o c. Pero si existen infinitos primos auxiliares de p, entonces a, b o c tienen que tener infinitos divisores, pero el número de divisores de cualquier número es finito.

El problema del gran plan de Sophie Germain fue que ella misma se dio cuenta de que no existían infinitos primos auxiliares para cualquier primo. Así, en una carta a Legendre, manifiestó que para n = 3, los únicos primos auxiliares eran 7 y 13. Así que su estrategia no era válida, al menos no para todos los primos.

REDUCTIO AD ABSURDUM

La demostración por reductio ad absurdum (reducción al absurdo) es una técnica de comprobación de resultados muy empleada en matemáticas. Consiste en evidenciar que una proposición matemática es verdadera probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción. Un ejemplo típico de reducción al absurdo es el usado por Euclides para demostrar que existen infinitos primos. El matemático griego formuló dicho resultado en la proposición 20 del libro IX de su obra Elementos. Su argumentación seguía el siguiente esquema:

Si el conjunto de los números primos es finito, sean p₁, p₂ ···, p_n todos los números primos. Se considera el producto de todos ellos más uno, q = p₁ · p₂ · ... · p_n +1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos de la lista; además, ninguno de la lista divide a q. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo se tiene un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor primo p que divida a q(q = pn+1), pero ese p no puede estar en la lista, ya que se ha dicho que ninguno de la lista divide a q. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es el de todos los números primos, porque existen números primos que no pertenecen a él y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Fragmento de los Elementos de Euclides escrito en papiro y hallado en el yacimiento de Oxirrinco, Egipto.

ENUNCIADO DEL TEOREMA DE SOPHIE GERMAIN

Sin embargo, los primos auxiliares sí que son útiles para demostrar un resultado válido relacionado con el último teorema de Fermat y es el conocido como «teorema de Sophie Germain». Lo importante para dicho teorema es que solo es necesaria la existencia de un primo auxiliar, y su enunciado dice:

Si para un primo p existe un primo auxilar q tal que ninguna potencia de p al dividirla por q da p, entonces en cualquier solución entera de la ecuación de Fermat, a^p + b^p = c^p , p² divide a a, b o c.

Aunque este teorema no sirve para deducir el último teorema de Fermat, como sí ocurriría con el «gran plan» de haber sido válido, sí que vale para encontrar primos específicos para los cuales se verifique el primer caso del teorema de Fermat. Para ello, dado un primo completo, basta con encontrar un primo auxiliar q, tal que ninguna potencia de p al dividirla por q dé el propio p. Naturalmente, los primeros primos que Sophie intentó son aquellos que son de la forma 2p + 1 donde p es primo. Estos son los conocidos como «primos de Sophie Germain». La razón por lo que son tan importantes en su razonamiento es que si 2p + 1 es primo, entonces, forzosamente ha de ser un primo auxiliar de p y, además, se verifica la condición del teorema de Sophie Germain; esto es: ninguna potencia de p al dividirla por 2p + 1, si 2p + 1 es primo, da de resto p. Los primeros primos de este tipo son: 2, 3, 5, 11 y 23 y el mayor conocido hasta principios de 2017 era 2618163402417 x 2^1290.000 -1, que tiene 388.342 dígitos. Se conjetura que existen infinitos primos de Sophie Germain, pero es un problema que permanece abierto. Estos primos se utilizan en criptografía para sistemas de clave pública que se basen en el uso de par de primos de gran tamaño o en la generación de sucesiones pseudoaleatorias.

LA DEMOSTRACIÓN DEL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Después del trabajo de Sophie Germain y durante el siglo XIX se realizaron diversos progresos en la demostración del último teorema de Fermat. El primero de los intentos de dar una demostración general proviene del matemático francés Gabriel Lamé (1795-1870) y trataba de factorizar la ecuación de Fermat usando números complejos. Como pronto se vio, dicha idea fallaba porque los números complejos no se descomponen de forma única como producto de potencias de primos. Pero usando ese plan, Ernst Kummer sí que dio el primer gran salto adelante a mediados del siglo XIX, probando que el teorema era cierto para todos los números que él llamó «primos regulares», de los cuales aún no se ha demostrado que existan infinitos. Pero quedaban todos los irregulares, que sí se saben que son infinitos. En cualquier caso, las técnicas introducidas por Kummer relacionan el teorema de Fermat con estructuras algebraicas como son los ideales. Los siguientes pasos fueron parciales, aunque gracias a ciertas técnicas y al uso de ordenadores, a principios de los años noventa del pasado siglo se sabía que la conjetura era cierta para exponentes menores que cuatro millones.

La gloria y todos los honores que conlleva el haber demostrado el último teorema de Fermat le corresponden a sir Andrew Wiles, quien desde muy niño estaba obsesionado con el teorema. Sin embargo, al estudiar matemáticas se especializó en curvas algebraicas, o sea, en el estudio de propiedades geométricas de espacios que vienen definidos por ecuaciones. Entonces, a mediados de los ochenta del siglo XX, el matemático alemán Gerhard Frey (n. 1944) esbozó una conexión entre cierta propiedad deseable de las curvas algebraicas, la llamada «conjetura de Taniyama-Shimura», y el último teorema de Fermat y que fue demostrada en 1985 por Kenneth A. Ribet (n. 1948). Fue entonces, cuando Wiles sintió que el anhelo desde su infancia había sido puesto en su área de especialización y desde ese momento se dedicó en cuerpo y alma a intentar demostrar el caso particular de la conjetura de Taniyama-Shimura, que era necesario para obtener el último teorema de Fermat. En 1993 creyó que había conseguido su objetivo, pero se descubrió un fallo en su demostración, que tardó dos años en solucionar con la ayuda de su exalumno de doctorado Richard Taylor (n. 1962).

Andrew Wiles.

Como p = 3, 5, 11 y 23 son primos de Sophie Germain, de su teorema se deduce que el caso 1 del último teorema de Fermat es válido para estos valores. En otras palabras, si existe una solución entera de la ecuación de Fermat para alguno de ellos, a^p + b^p = c^p, entonces p ha de dividir a a, b o c.

Sophie Germain nunca publicó el teorema que lleva su nombre, pero Legendre sí lo hizo. Al parecer, ella originalmente solo enunció que p, y no p², dividiría a uno de los tres números solución de la ecuación de Fermat y fue a través de su correspondencia con Legendre como llegó al enunciado antes mostrado.

Es de suponer que estos resultados sobre un teorema al que tantos se habían enfrentado, y seguirían enfrentándose, infructuosamente, le proporcionaría a Sophie más satisfacciones que el propio premio de la Academia. Al fin y al cabo, con el tema del premio ella no sentía estar trabajando en uno de sus temas de mayor interés y muchas de las herramientas necesarias no las había adquirido en su labor de autoformación. Además, aunque había conseguido el premio, este no dejaba de estar acompañado por algunas reservas y Germain era consciente de las carencias de su memoria final.

AMISTAD CON FOURIER

La primera evidencia de la amistad entre Sophie Germain y Joseph Fourier procede de una carta enviada por el matemático en 1816 y, desde entonces, son numerosos los testimonios que atestiguan que su relación fue muy sincera. Los dos compartían un carácter similar —dócil externamente, pero de fuertes convicciones internamente—, y ambos, al contrario de lo que ocurría con el resto de sus colegas, estaban solteros. Ello no les llevó a ningún tipo de aventura amorosa y parece claro que su relación se limitó al terreno de la amistad en todo momento.

JOSEPH FOURIER

Jean-Baptiste Joseph Fourier nació en 1768 fruto del segundo matrimonio de su padre, un humilde sastre, con Edmée Germaine Lebègue. Su niñez estuvo marcada por las dificultades económicas y la pérdida de seis de sus hermanos, quedando huérfano a los diez años, para ser adoptado por Joseph Pallais, organista del templo de Auxerre, quien le procuró mejorar su formación. Estudió en la Escuela Normal Superior de París, donde tuvo entre sus profesores a Lagrange, y Laplace y posteriormente ocupó una cátedra como docente en la prestigiosa Escuela Politécnica. Adicionalmente, Fourier participó en la importante expedición de Napoleón Bonaparte a Egipto en 1798 y muchos años después fue quien introdujo más seriamente a Jean-François Champollion en el tema de la egiptología. En 1817, entró en la Academia de Ciencias francesa y al cabo de cinco años se convirtió en el secretario perpetuo de las secciones de Matemáticas y Física. Hacia 1820, Fourier calculó que un objeto del tamaño de la Tierra y con su distancia del Sol debería ser considerablemente más frío de lo que es realmente la Tierra, y aunque sugirió que la radiación interestelar podría ser responsable de gran parte del calor adicional, también consideró la posibilidad de que la atmósfera actuara como aislante, y es reconocido como la primera persona que propuso lo que a día de hoy se conoce como «efecto invernadero». Murió en París el 16 de mayo de 1830. Una de sus aportaciones matemáticas sigue estando de plena actualidad y se usa en multitud de aplicaciones. Efectivamente, su resolución de la ecuación del calor lo llevó a introducir las llamadas «series de Fourier», que permiten expresar funciones periódicas como combinaciones de senos y cosenos. Los coeficientes que acompañan a dichos senos y cosenos están relacionados con la conocida «transformada de Fourier» y son muchos los usos de ambas herramientas en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, o la propagación de ondas, entre otras.

Pero había otra cuestión que unía a Fourier y a Germain: ambos habían sido blanco de los ataques de Poisson. Poisson había presentado una memoria poco ética sobre la temática del premio por el que estaba luchando Sophie Germain, pero muchos años antes también había actuado de forma poco amistosa con Fourier. Los dos matemáticos se conocían al menos desde 1802, cuando Poisson fue nombrado profesor adjunto de Fourier en la Escuela Politécnica. Es de suponer que desde esa época, Poisson, que siempre había sido el número uno en sus estudios, desarrolló algún tipo de animadversión hacia Fourier.

El enfrentamiento más claro entre ellos surgió en 1808. Posiblemente la aportación más importante de Fourier fue su Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos), que había presentado ante la Academia en 1807, aunque la presentaría corregida de los errores que tenía años después, en 1822. En ella desarrollaba algunas herramientas fundamentales que aún hoy en día se siguen utilizando en campos muy diversos, como la transformada de Fourier o las series de Fourier. Pero, por otra parte, dicha memoria tenía algunos puntos flacos en la solidez de sus argumentos y así lo observó la comisión encargada de examinarla. Lo curioso del caso es que dicha comisión la componían Lagrange, Laplace, Monge y Lacroix, pero el que elaboró el informe, en 1808, fue Poisson —que ni siquiera era miembro de la Academia— y se centró principalmente en los aspectos negativos de la memoria, posiblemente por algún resquemor de cuando Fourier era su superior y porque lo consideraba un rival para entrar en la Academia. Finalmente, Poisson entró en la Academia en 1811, mientras que Fourier no lo hizo hasta 1817.

La rivalidad, aunque no directa, entre Fourier y Poisson continuó cuando el primero decidió presentarse al puesto de secretario permanente de la Academia, a finales de 1822. Aunque Poisson no compitió por el puesto, sí lo hizo uno de sus protegidos, Jean-Baptiste Biot. Por alguna carta del propio Fourier a Sophie Germain, se sabe que esta hizo campaña bastante activa por su amigo. Finalmente Fourier consiguió imponerse al protegido de Poisson y, poco después, en uno de sus primeros actos como Secretario permanente, le escribió otra carta a Germain comunicándole que cada vez que deseara asistir a una de las sesiones de la Academia podría hacerlo y que para ello ponía a su disposición «uno de los asientos reservados en el centro de la sala». Curiosamente, poco antes de la elección de Fourier, su antecesor en el cargo le había escrito a la propia Sophie Germain haciéndole ver la imposibilidad de conseguir uno de los asientos que ahora se le brindaban, ya que estaban reservados para los dignatarios y las esposas de los académicos.

En esta misma época, a principios de los años veinte del siglo XIX, fue cuando Sophie preparó sus manuscritos sobre el trabajo ganador del premio de la Academia de Ciencias para su publicación, ya que la Academia no había hecho en su momento. Por la numerosa correspondencia entre ellos, es evidente que era Fourier el que la animaba y ayudaba y no Legendre. Fourier trataba de conseguir que la deducción de la ecuación, que era uno de los puntos débiles del trabajo de Germain, tuviera más base que en la memoria original. Pero es evidente que este no era el campo en el que Sophie se sentía más confortable y esas lagunas permanecieron en la forma final. A lo largo de todo el preámbulo del trabajo de la matemática se hace referencia a Poisson sin citarlo, en la misma medida que él había ignorado a Germain.

En general, la memoria de Sophie obtuvo un buen recibimiento, se valoraba su capacidad de predecir los patrones y, en algún caso, se criticaba ligeramente la forma de justificar las ecuaciones. Pero matemáticos muy destacados, tales como Cauchy, Navier, Legendre o el matemático y astrónomo Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749-1822), hablaron positivamente sobre ella. Aunque todos ellos hicieron ver, de una u otra forma, las carencias de la obra.

Es muy posible que estas críticas, pese a venir acompañadas de elogios, hicieran mella en Sophie, ya que, dada su condición, que le impedía participar en los debates científicos de igual a igual, no pudo rebatirlas, al margen de que contenían una gran parte de verdad. A todo ello, por esas fechas fueron apareciendo unos cuantos trabajos que solucionaban de forma mucho más satisfactoria el problema de la vibración de placas, viniendo a echar sal sobre las heridas de Sophie y, desde entonces, su interés en producir nuevas matemáticas decreció notablemente.

Curiosamente, el primero de dichos trabajos es del propio Fourier y, en realidad, no contradice en absoluto las aportaciones de Sophie, sino que proporciona otras herramientas. Efectivamente, ya desde 1818, en una serie de aportaciones, Fourier demostró que el movimiento de la placa podía ser puesto como una suma de senos y cosenos, en el tipo de suma infinita conocidas como «series de Fourier». En realidad lo que aportaba este trabajo era una aplicación más de su técnica, que ya había usado en la ecuación del calor y que fue usada en multitud de casos más hasta nuestros días.

Sin embargo, quien sí dio una interpretación mucho más completa, y que es la considerada actualmente como satisfactoria, fue Claude-Louis Navier. El matemático también tuvo sus problemas con la Academia, puesto que la evaluación de su memoria se dilató sobremanera en el tiempo y, mientras tanto, uno de los evaluadores, Cauchy, presentó un trabajo muy similar que trató de imponer dado su prestigio. Cabe destacar que el propio Navier en su memoria, que finalmente tuvo que publicar al margen de la Academia, agradecía el trabajo de Sophie Germain como una precursora y motivadora del suyo.

En cualquier caso, a pesar de estos trabajos y de sus lagunas en la materia, Sophie, posiblemente movida por el orgullo, todavía mandó una memoria más a la Academia sobre el tema, tratando de estudiar casos más generales como considerar distintos grosores de la placa, con lo cual se aproximaba más a los casos reales. Pero su nuevo trabajo seguía presentando las lagunas de los anteriores y, además, Poisson se aseguró de ser uno de los evaluadores, así que el resultado no tardó demasiado en llegar y fue negativo, como era de esperar. Este sería el último esfuerzo de Sophie en realizar una aportación original en el campo de las matemáticas.

Filosofía y psicología

Sophie Germain fue una hija de la Enciclopedia, que, si bien nació a mediados del siglo XVIII, durante los borbones, fue el impulso que llevó a muchos intelectuales a oponerse a la monarquía y supuso el germen de la Revolución. La actividad cultural que empezó a despertar su curiosidad era fruto del ambiente que se vivía en su hogar, con un padre que, aunque nunca en primera línea, fue partícipe y tenía amistades entre los protagonistas de la Revolución.

Naturalmente, la deriva del período del Terror supuso un freno para todo, pero duró relativamente poco, desde septiembre de 1793 hasta la primavera de 1794, y cogió a Sophie siendo aún una adolescente. Su época más activa se sitúa entre 1798 y 1820, y buena parte de esos años transcurren bajo el mandato de Napoleón Bonaparte, que gobernó desde 1804 hasta 1814 y, después, durante un período de cerca de cien días en 1815. A pesar de dejar sin efecto algunos de los avances democráticos conseguidos durante la Revolución, hecho que ya había ocurrido de forma muy acusada durante el Terror, Napoleón siempre quiso la supremacía de Francia en todos los campos, y en el científico muy especialmente. Ello motivó que no solo franceses llegados de cualquier punto del país se concentraran en la capital, sino que el ambiente científico parisino se viera enriquecido con extranjeros como Alexander von Humboldt (1769-1859), quien entre 1804 y 1827 se estableció en París, a pesar de que su país, Prusia, del que recibía un salario como consejero del rey, estuvo en guerra con Francia durante parte de ese período. No consta que Humboldt estableciera relación con Sophie a pesar de que el prusiano, en su frenética actividad, tuviera por costumbre frecuentar a todo tipo de gente interesada en las distintas disciplinas científicas. Sí que se se sabe que en sus viajes visitó Inglaterra y, en repetidas ocasiones, a Mary Sommerville (1780-1872), una matemática autodidacta al igual que Sophie.

Naturalmente, ese ambiente propició que las mentes curiosas como la de Sophie Germain se interesaran no solo por una disciplina, sino por toda la ciencia en general. Además, durante un cierto período, la Academia de Ciencias estuvo fundida con el resto de las instituciones similares, como la de Francés y Literatura, así que la corriente favorecía la multidisciplinariedad. Por ello, no debe de extrañar que Sophie no estuviera interesada únicamente en las matemáticas, y que sus lecturas e intereses abarcaran horizontes mucho más amplios.

MALOS TIEMPOS PARA LA CIENCIA

Si bien está claro que en esos años el ambiente era sumamente propicio al intercambio de ideas y a la incentivación de nuevos descubrimientos, aunque las lecturas y los estudios de Germain fueran amplios, lo que trascendía al exterior se centraba en las matemáticas. Pero, durante un corto período en 1814 y después de los «Cien días» de Napoleón, se impuso la Restauración borbónica en Francia y los borbones volvieron a reinar. Aunque los gobiernos de Luis XVIII (entre 1814 y 1824) y Carlos X (entre 1824 y 1830) tuvieron que aceptar algunas de las realidades surgidas con la Revolución francesa que estaban muy consolidadas en la sociedad, como la monarquía constitucional o el parlamentarismo, este período se caracterizó por una profunda transformación de la vida política y social en Francia. Así, esos años estuvieron marcados por una aguda reacción conservadora y por el restablecimiento de la Iglesia católica como poder en Francia, no solo político, sino también dictador de moral y opuesto a muchos avances científicos. Ello motivó que el ambiente científico de intercambio de ideas y, sobre todo, la incentivación de la exploración de nuevos campos se vieran si no interrumpidos, muy frenados. Algunos de los sabios europeos que se habían establecido en Francia durante muchos años, como Humboldt, acabaron marchándose ante el cambio de ambiente que se percibía en la capital del reino.

Todo esto viene a significar que en buena parte de los años veinte del siglo XIX se dieron las circunstancias adecuadas tales como cierto cansancio o madurez de Germain (según se quiera ver desde un punto de vista más negativo o positivo) o un ambiente general menos propicio hacia el intercambio de ideas en las ciencias, para que Sophie abandonara su afán por obtener nuevos resultados matemáticos y tratara de ampliar sus horizontes. Para ello, también es muy posible que influyera un acontecimiento más positivo, como era que desde que Fourier fue nombrado secretario permanente de la Academia, Sophie podía asistir sin problemas a las reuniones que tenían lugar en su sede central.

Desde esa madurez, Sophie Germain elaboró una teoría más o menos unificadora del proceso de creación tanto en las ciencias como en las artes y trataba de encontrar los puntos en común que podían existir entre dichas disciplinas, a veces tan dispares.

Sus escritos filosóficos no aparecieron publicados hasta después de su muerte y no está claro en qué medida Sophie deseaba su publicación. Los manuscritos fueron encontrados por su familia, y su sobrino Armand Lherbette (1791-1864) les dio forma y los publicó.

Estos escritos fueron agrupados en dos obras, una de ellas más ambiciosa, Considérations générales sur l’état des Sciences y des Lettres (Consideraciones generales sobre el estado de las ciencias y las letras), y la otra, Pensées diverses (Pensamientos diversos), que es más, tal y como su nombre indica, una recopilación de diversas reflexiones sin un hilo conductor entre ellas.

ENTORNO FILOSÓFICO DE SOPHIE GERMAIN

La corriente filosófica dominante en Francia en el tiempo en que se supone que Sophie Germain escribió sus Considérations era el positivismo. Dicha escuela se basaba en no admitir como válidos científicamente otros conocimientos, sino los que proceden de la experiencia, rechazando, por tanto, toda noción a priori y todo concepto universal y absoluto. Es evidente que las matemáticas más abstractas ejercieron una influencia determinante sobre dicha línea de pensamiento y así el hecho es la única realidad científica, y la experiencia y la inducción, los métodos exclusivos de la ciencia.

El término «positivismo» fue utilizado por primera vez por el filósofo y matemático francés del siglo XIX Auguste Comte (1798-1857), pero algunos de los conceptos positivistas se remontan al británico David Hume (1711-1776), el francés Saint-Simon (1760-1825) y el alemán Immanuel Kant (1724-1804), aunque buena parte de los adscritos al positivismo dedicaron varias obras a refutar a este último.

Comte eligió la palabra positivismo sobre la base de que señalaba la realidad y la tendencia constructiva que él reclamó para el aspecto teórico de la doctrina. En general, se interesó por la reorganización de la vida social para el bien de la humanidad a través del conocimiento científico, y por esta vía, del control de las fuerzas naturales. Los dos componentes principales del positivismo, la Filosofía y el Gobierno (o programa de conducta individual y social), fueron más tarde unificados por Comte en un todo bajo la concepción de una religión, en la cual la humanidad era el objeto de culto. Numerosos discípulos de Comte rechazaron, no obstante, aceptar este desarrollo religioso de su pensamiento porque parecía contradecir la filosofía positivista original. Muchas de las doctrinas de Comte fueron más tarde adaptadas y desarrolladas por los filósofos sociales británicos John Stuart Mill (1806-1873) y Herbert Spencer (1820-1903), así como por el filósofo y físico austríaco Ernst Mach (1838-1916), y se puede considerar el positivismo como la corriente precursora de la sociología.

ARMAND LHERBETTE

El hijo de Marie-Madelaine Germain, hermana mayor de Sophie, y el notario Charles Lherbette fue político y jurista. Nació el 16 de septiembre de 1791 en París y murió el 28 de de mayo de 1864, también en la capital francesa. Tuvo una carrera relativamente brillante como abogado y en la que destacó por sus ideas liberales. Apoyó inicialmente la Monarquía de Julio, una monarquía constitucional liberal en Francia bajo el reinado de Luis Felipe I, que comenzó con la Revolución de Julio de 1830 y terminó con la Revolución de 1848, lo cual le llevó a ser nombrado por el rey fiscal en Bernay a finales de 1830, pero renunció rápidamente, convirtiéndose en un oponente de la monarquía a la que consideraba insuficientemente democrática. Fue diputado por el departamento de Aisne (en la región de la Picardía) desde 1831 hasta 1850, primero como opositor de izquierda a la monarquía y, a partir de 1848, con la Segunda República, entre los bancos de la derecha.

La pintura La Libertad guiando al pueblo de Eugène Delacroix (1798-1863) , homenaje a los insurrectos en París el 28 de julio de 1830.

Los primeros escritos de Comte aparecieron en los años veinte del siglo XIX, justamente en el período en el que Sophie Germain dejó de producir obra original en matemáticas. Pero Comte no era el único filósofo que marcaba las tendencias en los círculos parisinos, sino también alguien tan influyente como el filósofo alemán Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831), quien, entre 1819 y 1827, viajó a Weimar, Bruselas, los Países Bajos, Leipzig, Viena a través de Praga y París, donde fue recibido con veneración por los círculos filosóficos.

CONSIDERACIONES SOBRE EL ESTADO DE LAS CIENCIAS Y LAS LETRAS

Aunque se enmarcaba dentro de la corriente del positivismo, la obra principal fuera de las matemáticas de Sophie Germain, Considérations générales sur l’état des Sciences y des Lettres (Consideraciones sobre el estado de las ciencias y de las letras), es mucho más introspectiva y algunos autores la han clasificado como un trabajo precursor de la psicología. La obra, tal y como fue publicada, consta de dos capítulos. El primero es una mera introducción y viene a ocupar un diez por ciento del total, y en ella presenta la tesis que desarrolla y justifica a lo largo de todo el escrito. El conjunto de la exposición está recogido en el segundo capítulo, que abarca el resto del trabajo.

La tesis general que desarrolla Germain a través de Considérations es que aunque parezca que las ciencias y las letras están muy alejadas, en realidad los procesos mentales que llevan a una obra de ciencias o a una artística son muy similares. Para ello, trata de mostrar que algunas de las virtudes que se reconocen al buen artista, sobre todo partiendo del ejemplo de la literatura y, más concretamente, de la poesía, también están presentes en la labor del científico. Naturalmente, esto no es una idea totalmente original por su parte, ya que algunos escritores anteriores ya habían suscrito dicha teoría, como Nicolas de Condorcet (1743-1794), quien en su obra Esquisse d’un tableau historique des progrès de l’esprit humain (Bosquejo de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano) escribió: «Ignoran que Arquímedes y Euler han puesto en sus obras tanto como Homero y Ariosto mostraron en sus poemas». Es evidente que Sophie Germain conocía dicha obra y de ella tomó algunas ideas.

AUGUSTE COMTE: FILÓSOFO, SOCIÓLOGO Y ALTRUISTA

Comte nació en Montpellier el 19 de enero de 1798. Desde muy temprana edad rechazó el catolicismo tradicional y también las doctrinas monárquicas. Ingresó en la Escuela Politécnica de París en 1814 pero fue expulsado dos años después por haber participado en una revuelta estudiantil. Durante algunos años fue secretario particular del teórico socialista Claude-Henri de Rouvroy, conde de Saint-Simon, cuya influencia quedaría reflejada en algunas de sus obras. Creó la palabra «altruismo» y se puede decir que dicha invención determinó parte de su vida ya que, por ejemplo, dio clases gratuitas de astronomía y escribió una enciclopedia de varios tomos, todo para mejorar un mundo avaro en el que él solo se empobreció. Sus ideas tuvieron tal influencia que la fundación de algunos países, como Brasil, estuvo basada en su ideario. En la bandera y el escudo de dicho país se lee «Orden y Progreso», parte de la tríada filosófica de Comte: «Altruismo, Orden, Progreso». La idea básica de Comte era que todas las ciencias formaban una jerarquía, de manera que cada estadio dependía del anterior de acuerdo con la complejidad de los fenómenos estudiados. En la base estaban las matemáticas, seguidas de la mecánica, la física, la química, la biología y, por último, encabezando la pirámide de las ciencias, se encontraba la ciencia de la sociedad, o sea, la sociología. Comte vio en esta ciencia las respuestas a los problemas del hombre y la sociedad en contraposición a algunas de las ideas que generaron la Revolución francesa, como las de Voltaire y Rousseau, a los que acusaba de generar utopías metafísicas irresponsables e incapaces de otorgar un orden social y moral a la humanidad. Los últimos años del pensador francés quedaron marcados por la alienación mental y las crisis de locura en las que se sumía durante prolongados intervalos de tiempo. Poco antes de su muerte, su obra desembocó en una «religión de la humanidad» y Comte se erigió en el sumo sacerdote. Finalmente, el 5 de septiembre de 1857 falleció en París.

Aunque ese era el pensamiento general que repitió en diversas ocasiones, la verdad es que cuando se refería a ciencias se centraba en las matemáticas casi exclusivamente. Pero debe tenerse en cuenta que Sophie Germain aceptaba la estructura de la ciencia que propuso el positivismo y en ella la matemática constituía la base de todas las ciencias y, por lo tanto, lo que se decía en cuanto a característica necesaria para la creatividad en matemáticas se aplicaba, en alguna medida, al resto de las ciencias. Igualmente, cuando hablaba de artes, se solía limitar a la literatura, y en ambos casos se apoyaba en hechos que entendía que todos aceptan más que en citas o ejemplos concretos. Para justificar su tesis, Sophie Germain realizó un recorrido por la historia de la invención humana, tanto científica como artística. En dicha exposición trató de mostrar que siempre se ha caminado hacia ideas más abstractas partiendo, en los primeros pasos, de cosas concretas, cercanas, tangibles. Así, los primeros relatos no eran más que reproducciones de hechos acontecidos realmente y las manifestaciones iniciales de la ciencia no eran más que constatación de fenómenos cercanos. Naturalmente, este proceso hacia la abstracción no era una idea enteramente original de Sophie Germain y ya había sido manifestada en alguna ocasión por otros autores como el pensador alemán Goethe (1749-1832).

LA PARADOJA DE CONDORCET

Nicolas de Condorcet (1743-1794) fue un filósofo, científico, matemático, político y politólogo francés en cuya obra se puede ver un antecedente de las Considérations de Sophie Germain. En el campo de las matemáticas, al margen de ciertos estudios sobre cálculo infinitesimal, es conocido hoy en día por la llamada «paradoja de Condorcet», que se aplica en economía y en matemáticas electorales. Siendo en este último campo el primero de muchos resultados matemáticos que prueban que es imposible desarrollar un sistema electoral completamente justo. En su variante más simple, la paradoja de Condorcet prueba que si tres personas manifiestan su orden de preferencia por tres productos (o tres candidatos o partidos), ello no permite deducir un orden entre los tres productos. Por ejemplo, si los individuos 1, 2 y 3 manifiestan los siguientes órdenes en las preferencias sobre tres productos:

Individuo 1: A, B, C,

Individuo 2. B, C, A,

Individuo 3: C, A, B,

no se puede escoger un producto ganador. Ya que el producto A es superado por el C en dos ocasiones, este lo es por el B en otras dos. Mientras que el B es peor que el A para dos de los individuos.

Nicolas de Condorcet.

Después, Sophie Germain se centró en el lenguaje, como base de la comunicación y, sobre todo, para fijar ideas. En la misma línea, sostuvo que las lenguas fueron creadas para comunicar conceptos sencillos y concretos para, posteriormente, transformarse en el mismo proceso de abstracción. Ello conlleva que el idioma contenga ciertas contradicciones o una base no del todo rigurosa que pueden llevar a confusiones. El único lenguaje libre de dichas confusiones es el matemático que nació de la geometría hasta llegar al álgebra o al cálculo infinitesimal. No todas las ciencias han conseguido librarse de las contradicciones propias de lenguaje, ya que las ciencias naturales, la religión o la política se basan (o basaban) solo y exclusivamente en los idiomas propios de quienes se dedican a sus estudios. Sin embargo, gracias a Descartes y a Newton, la física se unió con la matemática, lo cual podía abrir la posibilidad de que las ciencias de la naturaleza acabaran adoptando un lenguaje unificado con las matemáticas. Esta idea de la «infalibilidad del lenguaje matemático» estaba totalmente aceptada a principios del siglo XIX y deberían transcurrir unos cien años para que el trabajo de algunos matemáticos como Georg Cantor (1845-1918), Bertrand Russell (1872-1970), Kurt Gödel (1906-1978) o Hilbert vinieran a desmontarla.

Por último, Sophie Germain volvió a su idea inicial, sosteniendo que las ciencias y las artes parecen muy dispares pero que los procesos que llevan a la invención en unas y en otras son los mismos. A lo largo de su obra, Germain no dio citas ni mencionó autores para apoyar su tesis. De hecho, solo introdujo una cita de D’Alembert en el prefacio de la Enciclopedia y mencionó a otros tres autores, todos científicos, Descartes, Newton y Arquímedes.

No se sabe el formato final que le hubiera dado Sophie Germain a sus Consideraciones si se hubiera encargado del proceso de publicación, que fue dos años posterior a su muerte y llevado a cabo por su sobrino. Pero puede suponerse que habría incluido unas conclusiones a modo de resumen de su tesis y puede que algunos textos que apoyaran sus argumentos. En algún sentido, parte de los escritos que podrían aparecer se pueden deducir a partir de su otra obra no matemática, publicada también por Armand Lherbette, Pensamientos diversos.

PENSAMIENTOS DIVERSOS

Si en Consideraciones se observa que no es una obra totalmente terminada, sus Pensamientos diversos no son más que una colección de frases e ideas sin un hilo conductor común que seguro que Sophie iba anotando en diversos cuadernos y que su sobrino agrupó para su publicación. Buena parte de ellos constituyen un buen complemento de la obra Consideraciones y cabe pensar que fueron notas que iba tomando durante la redacción de esta última. Por ejemplo, cuando dice: «Las fábulas nacen a través de la tradición, por lo tanto, debemos hallar aquello que se ha confiado a la tradición y todo lo que ha arrastrado de este río engrosado con tantas fuentes diferentes» es evidente que está pensando en algunas de las ideas que desarrolló con mayor profundidad en las Consideraciones.

Hay también una cierta cantidad de esos pensamientos en los que trata de reflexionar sobre las matemáticas en sí, como unidad, entre los cuales pueden destacarse: «El álgebra no es más que geometría escrita y la geometría no es más que álgebra con dibujos», «El método completo del cálculo integral será una revolución en geometría, similar a la de la aplicación del álgebra, y la de la invención del cálculo diferencial» o «Toda ecuación es una igualdad. ¿Qué son las propiedades de una curva? Una igualdad entre productos o la combinación de ciertas rectas encerradas y delimitadas por esa curva».

A lo largo de esta biografía, buena parte de esos Pensamientos diversos adornan los distintos capítulos y pueden ser consultados, pero hay un par de ellos, un tanto más largos, que suponen una incursión en terrenos de la física que llevan a reflexiones interesantes. Puesto que nunca se han considerado de especial relevancia sus estudios en física, si bien sus trabajos sobre elasticidad pueden enmarcarse dentro de dicha disciplina, tan difícil de distinguir de las matemáticas, se ve en ellos que sí dedicó sus pensamientos a una cuestión que suscitó el debate entre la comunidad de los físicos durante más de doscientos años y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros días. Esos textos dicen:

Laplace propuso dos cuestiones nuevas e interesantes. La primera es saber si la acción de la gravedad es instantánea independientemente de la distancia. Para responderla, Laplace remarca que todo lo que se transmite a través del espacio puede verse en cada uno de sus puntos. Según nuestra percepción, la idea de tiempo está ligada (inseparablemente) a la del espacio: la noción de velocidad nace de esta idea. Una velocidad mayor corresponde a un tiempo menor, y si pensamos en una velocidad infinitamente grande, le asociamos siempre un tiempo infinitamente pequeño.

No podemos eliminar el tiempo de nuestro razonamiento. Quizás esta concepción se deba solamente al hábito de nuestras observaciones. Si en la naturaleza existe una acción instantánea, para nosotros es nula porque no la podemos comparar. Todo hecho único será siempre inconcebible. Por lo tanto, es muy posible que, al no poder analizar la materia, al no poder ver sus elementos desnudos, ni comprender el mecanismo de acción mutua entre ellos, no podamos percibir cómo la fuerza de la gravedad actúa instantáneamente a gran distancia. Pero esta dificultad para concebir un efecto no es una razón para creer en su existencia, como muy bien dice el señor Laplace, aunque todas las observaciones nos dan razones para pensar que la acción de esta fuerza es instantánea, no debemos concluir que es realmente así; de hecho, existe una importante diferencia entre una acción insensible y una acción nula.

Sea como fuere, las circunstancias hacen superflua esta consideración; cualquiera que sea el tiempo que la atracción emplee para alcanzar los límites de su esfera, no produce ningún cambio en el orden de los fenómenos. Toda la diferencia está en el primer instante. Se ha necesitado un tiempo para que la fuerza y la energía sean transmitidas al cuerpo que se va a mover pero, una vez que han llegado, las fuerzas se suceden inmediatamente y dicho cuerpo se mueve como si la acción hubiese sido instantánea. Parece que, forzados por el hecho de admitir una facultad atractiva en cada uno de los puntos, no hay razón para pensar en el tiempo necesario para dicha acción; ¿qué tipos de objetos lo retrasará? ¿Cómo podríamos concebir la fuerza atractiva atravesando el espacio y separándose de los cuerpos en los que creemos que reside? ¿Qué es, pues, esta potencia tan aislada sino un ente abstracto que no puede existir en la naturaleza?

Si nos hemos habituado a considerar siempre el tiempo como un elemento necesario para la comunicación de las fuerzas motrices, es porque hemos visto los efectos del impulso que, actuando por la transmisión de movimiento entre las moléculas contiguas, necesita más tiempo para alcanzar el cuerpo sometido a su acción puesto que los puntos extremos son más lejanos. Pero nada de esto sucede en la atracción [de la gravedad], creo que es instantánea.

El señor Laplace plantea una segunda cuestión que deriva naturalmente de la primera; se pregunta si la atracción [de la gravedad] actúa de la misma forma sobre cuerpos en reposo que sobre cuerpos en movimiento. Si suponemos un tiempo necesario para la trasmisión de la gravedad, podríamos pensar que el cuerpo en reposo no puede escapar de su acción, sino que se queda esperándola, mientras que el cuerpo en movimiento podría huir de ella. Por pequeño que sea el tiempo de transmisión, la velocidad del cuerpo podría ser tan grande que pudiese escapar, al menos parcialmente. El resultado sería simplemente un cambio en el movimiento. Laplace eligió la velocidad de la luz para realizar la comparación, y vio que era necesario suponer a la propagación de la gravedad una velocidad ocho millones de veces mayor. Tal sería, pues, el poder de la naturaleza para transportar los efectos de las causas en sus vastos dominios. ¡Con qué variedad y asombrosa diferencia ha dado a los diferentes seres la facultad de moverse!

Este es un ejemplo de un enconado debate acerca de la naturaleza de la gravedad y de sus características más íntimas, que tuvo lugar desde la mismísima formulación de la ley de la gravitación universal de Newton en 1687. Esta teoría fue, y sigue siendo, una maravillosa construcción de la mente humana que permitió desentrañar muchos de los misterios del universo. Con la teoría newtoniana de la gravedad se pudo entender el movimiento de los astros y determinar que su física era exactamente la misma que la que explicaba la caída de los cuerpos hacia el suelo según dictaba la experiencia.

Una de las características inherentes a la gravitación universal de Newton, entendida como la correcta explicación de la gravedad, es que la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos solo depende proporcionalmente del producto de masas de los mismos e inversamente del cuadrado de la distancia que separa sus centros. Es decir, la atracción gravitatoria es instantánea, según Newton. Cambiar la masa de uno de los cuerpos o variar la distancia entre cuerpos distintos acarrea una instantánea variación de la fuerza de atracción entre los mismos.

Sin embargo, la teoría de la gravedad de Newton no estaba carente de problemas. Entre los más problemáticos destacaba la sorprendente dificultad con la que esta teoría se encontraba a la hora de explicar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. A partir de 1693, el astrónomo inglés Edmond Halley estudió los resultados sobre eclipses solares de los que se disponía en esas fechas y encontró que el mes lunar, lo que tarda la Luna en orbitar la Tierra medido en días terrestres, se estaba acortando lentamente. Esto lo pudo hacer observando que el tiempo de entrada y salida de la Luna en el disco solar en los eclipses se estaba volviendo más corto. Por lo tanto, Halley concluyó que la Luna estaba aumentando su velocidad orbital respecto a la Tierra. El caso es que por esas fechas ya se conocía que un producto de la velocidad orbital por la distancia de separación entre los cuerpos que se orbitaban mutuamente —lo que se conoce como «momento angular»— había de ser constante. Dicho de otro modo, el momento angular es una cantidad conservada. Por lo tanto, si la Luna estaba aumentando la velocidad angular eso tendría que tener como consecuencia que el radio de la órbita respecto a la Tierra se estaba acortando. La Luna se debería estar acercando a la Tierra. Como última consecuencia la Luna acabaría precipitándose contra nuestro planeta.

Esta predicción, la de la aceleración del movimiento orbital de la Luna, produjo un incesante debate entre los expertos de la época, y figuras como el propio Newton, Euler, Lagrange y otros propusieron explicaciones que distaban mucho de ser satisfactorias.

Todo esto cambió en 1776 cuando Laplace afrontó el problema con una mentalidad más abierta y estableció que existían cuatro formas de modificar la teoría de la gravedad de Newton para poder explicar el movimiento de la Luna. El primer cambio sería modificar la forma de la fuerza de la gravedad para que en determinadas situaciones no dependiera inversamente del cuadrado de la distancia entre los cuerpos involucrados sino que la dependencia fuera con otras potencias de dicha distancia. Esta fue pronto descartada porque los experimentos mostraban que la fórmula de Newton, con la dependencia inversa respecto al cuadrado de la distancia, era correcta dentro de los límites experimentales y observacionales. La segunda modificación propuesta sería que distintos cuerpos con distintas composiciones responderían de forma diferente a la gravedad. Por supuesto, ningún experimento pudo corroborar esta suposición. La tercera establecía que se debería de poner en entredicho la propagación instantánea de la gravedad, es decir, la gravedad se transmitiría de un cuerpo a otro con una elevada velocidad pero finita al fin y al cabo. Por último, la cuarta modificación sería asumir que la atracción gravitatoria entre dos cuerpos no sería igual si estos estuvieran en reposo o en movimiento. Cabe recordar que por las fechas en las que se dio este debate el concepto de «reposo absoluto» tenía perfecto sentido. Las dos últimas modificaciones propuestas están relacionadas entre sí ya que si un cuerpo siente una gravedad diferente si está en reposo o si está en movimiento, ello solo puede ser posible si la gravedad tiene una velocidad de propagación finita. Si este es el caso, un cuerpo que escape de otro a una velocidad mayor que la velocidad de propagación de la gravedad no será afectado por esta.