Kitabı oku: «Көмеш дага / Серебряная подкова», sayfa 9
Озак та үтмәде, класста гаҗәпләнгән авазлар яңгырады:
– Минем 181° чыкты! Ник алай?
– Ә минем 179° чыга! Менә сиңа кирәк булса!
– Минеке дә башкача: 180 градус 30 минут…
Коля, акбурын шак-шок бәрә-бәрә, тактага саннарны тезде – бөтен тактаны диярлек сан баганалары белән тутырды.
Ибраһимов аңа таба борылды:
– Йә, Лобачевский, җавап әзерме?
– Юк әле, – диде Коля, тиз-тиз саный-саный. – Хәзер бетерәм. Ничек була инде ул? 178° белән 181° арасында, – дип сөйләнде ул, тәмам аптырап.
– Күренгәнчә бит, – диде укытучы, көлеп. – Нәрсә, күзләрегез төрлечә күрә булып чыгамыни?
Коля бертөрле дә җавап бирә алмады. Башын аска иеп басып торды.
– Утырыгыз, – диде аңа Ибраһимов ягымлы тавыш белән. – Ялгыш нәтиҗәгә сезне, әфәнделәр, күзләрегез түгел, бәлки карандашларыгыз, линейкаларыгыз, транспортирларыгыз китереп чыгарды. Икенче төрле итеп әйткәндә, төзегәндә һәм үлчәгәндә ялгыштыгыз. Ничә генә өчпочмак үлчәмәгез, шул ук хәл кабатланачак. Монда икенче бер нәрсәгә дә игътибар итәргә кирәк. Безгә өчпочмакның эчке почмаклары суммасы ике туры почмакка тигез булуын белү генә җитми, бәлки моның ни өчен шулай икәнлеген дә белергә кирәк. Ә үлчәү яки тәҗрибә юлы белән генә моңа ирешергә мөмкин түгел. Бу юл белән теореманы фәкать якынча гына нигезләргә мөмкин.
– Әллә ни зур ялгыш түгел ич инде, – дип сөйләнеп куйды Коля. Укытучының сөйләгәне фәкать аны – «Математик» ны кимсетер өчен генә эшләнәдер сыман тоелды аңарга.
Ибраһимов, бу сүзләрне ишеткәч, дары кебек кабынып китте.
– Сез шуннан артык берни аңламадыгызмыни? – дигән сорау куйды ул.
Класс ни булыр икән дип көтте. Укучыларның сагаеп калуын күреп, укытучы үзен бик тиз кулга алды. Акрын гына барып, форточканы ачты. Тыштан салкынча саф һава аның кызарган йөзенә килеп бәрелде.
Иптәшләре Коляга үпкәле караш ташладылар. Ул башын аска иеп, беркемгә дә күтәрелеп карарга кыймыйча утыра иде.
Ибраһимов ашыкмыйча гына кафедра янына килде һәм салкын кан белән сөйли башлады:
– Кеше, үзенең сәләтенә бик нык ышанган тәкъдирдә дә, масаюга бирелмәскә тиеш. Масаю бервакытта да рухи көч өстәми, бәлки акылга зыян китерә. Шуның нәтиҗәсендә кеше үзенең кимчелекләрен, ялгыш фикер йөртүен күрми, башкаларның фикеренә, башкаларның карашына хөрмәт белән карый алмый.
Ибраһимов, класс буйлап йөренә-йөренә, сүзен дәвам итте:
– Менә сез, Лобачевский, әллә ни зур ялгыш түгел, дидегез. Ә бит чынлыкта өчпочмакның эчке почмаклары суммасы ике туры почмакка төп-төгәл тигез булмаса, Евклид геометриясе, гомумән, ялгышка чыгар иде. Бу теореманы Насретдин Түси21 параллельлек турындагы аксиомага, ягъни ике параллель сызык турындагы постулатка тиңләгән. Шул теоремага таянып, җир мәйданнарын үлчиләр, менеп булмаслык биеклекләрне һәм ерак араларны исәпләп, планнар һәм географик карталар төзиләр. Әгәр дә әнә шул гаҗәеп почмакларның суммасы кими яки арта торган булса, бу эшләрне дөрес эшләү мөмкин булмас иде.
Класс тып-тын. Ачык форточканың җилдә шыгырдаганы ишетелә. Гимназистлар алларында яткан өчпочмакларны курку катыш хөрмәт белән караштырырга тотындылар, гүя ул серле фигуралар эченә илаһи законнар һәммәсе бергә тупланган иде. Вакыт үткәнен беркем сизмәде: дәрес һичкемне ялыктырмаган иде.
– Бик борынгы заманнарда яшәгән философлар, – дип, сүзен дәвам итте Ибраһимов, кафедрасы янына туктап, – иң гади геометрик фигура булган өчпочмакка аеруча зур игътибар биргәннәр. Өчпочмакны алар барлык җисемнәрнең диярлек башлангычы дип бәяләгәннәр, аның һәммә үзенчәлекләрен өйрәнеп, Галәм законнарын белергә теләгәннәр.
Икенче елга калган Овчинников күршесенә төртеп алды:
– Ниндидер өчпочмак аркасында Николай Мисаилович шулчаклы дулкынланыр икән! Бик исе киткән, күрәсең.
– Синең ише ахмактан юньле сүз чыгамы соң! – диде күршесе усал гына. – Лыгырдама юкны!
Ул арада Ибраһимов өстәлдән агач планкаларны кадаклар белән тоташтырып ясалган бишпочмакны алды һәм аңлатырга кереште:
– Борынгы акыл ияләрен таңга калдырган өчпочмакның сере нәрсәдә? Күрегез менә. Күппочмакны мин аркылыга тартып карыйм, буйга тартам – аның формасы бик җиңел үзгәрә. Бер планкасын алып ташласак та, шундый ук хәл: дүртпочмак – ромб яки квадрат була. Тагын бер планкасын алсак, өчпочмак кына кала. Менә хәзер өчпочмакның формасын үзгәртеп карагыз сез. Мәгез. Чалшайтыгыз. Булмыймы?
– Булмый икән шул, – дип куйды аптырауга калган Овчинников, өчпочмакны тегеләй дә, болай да тарткалап. – Бик нык икән. Ватып карасак кына…
– Туктагыз, тукта! – диде Ибраһимов, аның кулыннан өчпочмакны алып. – Нык шул менә. Өчпочмакның кыйммәте дә шунда. Техникада һәм төзелештә әнә шул сыйфатка таяналар. Күперләр салганда, өйләр төзегәндә һәм аларга түбәләр эшләгәндә, нык булсын өчен, һәрвакыт өчпочмак формасыннан файдаланалар. Аннан тыш, теләсә нинди күппочмаклы фигураны өчпочмакларга бүлгәләргә мөмкин. Шулай булгач, борынгы галимнәрнең өчпочмакны башка фигуралардан артык күрүенә гаҗәпләнергә урын калмый. Өчпочмакның эчке почмаклар суммасы ике туры почмакка тигез булмаса, Евклид геометриясе үзе дә булмаячак, дигән Аристотель.
Бу фикерне, – гүя укучыларының миенә тирәнрәк сеңдерергә тели иде, – Ибраһимов аеруча тәмләп, аеруча басым ясап әйтте. Аннары йомгаклау рәвешендә болай диде:
– Хәзер инде бу теореманы исбатларга кирәк икәне, математик төгәллек белән исбат итү, гомумән, зарур икәне сезгә дә аңлашылгандыр. Без бу очракта дедуктив алымны, ягъни элек билгеле булган геометрик бәйләнешләрдән фикерләү яки исбатлау юлы белән үзебезгә кирәкле геометрик бәйләнешне китереп чыгару алымын кулланабыз.
Укытучы кыска гына пауза ясады һәм теореманы исбатларга кереште:
– Димәк, без, өчпочмакның эчке почмаклары суммасы 180° ка тигез, дибез. Иң әүвәл Евклидның «Туры сызыктан читтә ятучы бер нокта аша бу турыга ике параллель үткәреп булмый» дигән постулатын искә төшерегез. Аннары, ике параллель сызык һәм аларны кисеп үтүче туры сызык арасында барлыкка килгән почмаклар турындагы теореманы хәтерләгез. Шуннан инде үзебезнең раславыбызны элек кабул ителгән хакыйкатьләр белән бәйлик.
Ибраһимов тактага тиз-тиз генә өчпочмак сызып, аның почмакларын A, В, С дип хәрефләр белән билгеләде, С түбәсе аша АВ нигезенә параллель үткәрде, аны DE дип билгеләп куйды.
– Онытмаган булсагыз, эчке аркылы ятучы почмаклар бер-берсенә тигезләр. Шуннан чыгып, А, В, С почмакларының суммасы 180° ка якын дип әйтү белән генә чикләнмичә, нәкъ ике туры почмакка тигез, дибез.
Ибраһимов класска күз йөртеп чыкты.
– Әфәнделәр, – диде ул, – без бүген математик исбатлауның бик кирәклегенә, аның гаять зур әһәмиятенә һәм кодрәтенә ышандык булса кирәк. Иң әһәмиятлесе – логик төгәллек белән исбатлау нәтиҗәсендә геометрик хакыйкатьләр бергә тупланыла, алар арасындагы эчке бәйләнешләр ачыкланып, билгеле бер фәнни системага салына. Тик шунысын да әйтеп китим: чын-чыннан белемле булу өчен, тәҗрибә юлы белән исбатлый белүнең дә роле бик зур. Бу ике ысул бер-берсенә өстәмә булып торалар. Образлар теленә күчергәндә, болай дияргә мөмкин булыр иде: әйтик, безнең ике баскычыбыз бар. Ләкин араталары сирәк булу сәбәпле, без ул баскычларның берсеннән дә югары менә алмыйбыз. Әгәр шунда икесен бергә китереп капласак, араталары ешаеп һәм якынаеп, без бик ансат өскә менеп китәчәкбез.
Ибраһимов сөйләүдән туктады. Ул кафедрага ике кулы белән дә таянган, аның йөзендә азмы-күпме алҗыганлык сизелә, әмма күмердәй күзләре ут яна иде.
– Сорауларыгыз юкмы?
Якында гына звонок тавышы ишетелде. Ишек ачылып китте, һәм бусагада кулына кыңгырау тоткан сторож күренде.
– Гаеп итмәгез инде, галиҗәнап, – диде ул укытучыга зур хөрмәт белән. – Беренче дәрестән соң тәнәфескә чыкмадыгыз, мин әйтәм, звонокны ишетмәгәнсездер, дим. Хәзер инде икенче дәрес бетте, шуңа сөрән салуым…
Класс шау-гөр килде:
– Ничек сизми калдык икән, ә?
– Менә сиңа геометрия!
Ибраһимовның талчыккан йөзендә елмаю чагылды.
Коридорда звонок тавышы тагын да ныграк яңгырады. Аңа кушылып, балаларның ыгы-зыгысы ишетелде. Ләкин укучылар класстан чыгарга ашыкмадылар, Ибраһимовны сырып алып, сораулар яудыра башладылар.
– Икенче мәртәбә сөйләшербез, – диде Ибраһимов көләч йөз белән. – Бүген минем тагын дәресем бар.
Шуннан ул укучыларга, һич югы, бер таныш теореманы үзләренчә, Осиповский дәреслегендә күрсәтелгән юлдан башкача исбат итеп карарга киңәш бирде. Аннары бөтен класска берьюлы баш иеп алды һәм гадәттәге кызу адымнары белән чыгып китте.
Лобачевский аны баскычтан төшеп барганда куып җитте.
– Николай Мисаилович! – дип, дулкынланып сүз башлады ул: – Гафу итегез! Ничек килеп чыкканын үзем дә сизми калдым… Кәефегезне кырырга теләмәгән идем бит… Тәртибемнән начар куйсагыз куегыз, тик ачуланмагыз гына…
Коля, укытучысына ялварулы караш ташлагач, Ибраһимовның бер дә ачулы булмавын, киресенчә, ягымлы карап торуын күрде.
– Мәзәк малай сез, Лобачевский! Каян килгәндер башыгызга шундый нәрсә? – диде ул, ниһаять, көлемсерәп. – Бүгенге дәрестә бит фәкать сезнең аркада шундый кызыклы сөйләшү килеп чыкты. Сез бөтен класска исбатлауның нәрсә икәнлеген аңлатып бирергә ярдәм иттегез.
– Минме? – дип сорап куйды Коля, үз колагына үзе ышанмыйча. – Мин бит ул исбатлауны танырга теләмәгән идем. Әле хәзер дә бик үк төшенеп җитмим…
– Вакыты белән төшенерсез. Һәммәсен белү, һәммәсен үзләштерү тиз генә мөмкин дә түгел ул. Бигрәк тә геометриядә, – диде Ибраһимов һәм акрын адымнар белән баскычтан төшеп барган шәпкә малайның иңбашына кулын салды. – Әйе, геометрия ул – бөтен фәннәр арасында иң гүзәле. Аңарга тирән үтеп керергә теләгән кеше аның үсеш юлын үз көче белән, тәпи-тәпи атлап үтәргә тиеш. Алдагы төшенчәләрне һәм хакыйкатьләрне, шулай ук алар арасындагы һәр төшенчәнең тууына яки һәр хакыйкатьнең дөреслегенә китергән эчке бәйләнешләрне эзлекле рәвештә үзләштерми торып, геометриянең бер генә төшенчәсен яки хакыйкатен дә аңлап булмый диярлек.
– Димәк, беренче төшенчәләрдән башларга кирәк дигән сүз?
Ибраһимов бу фикерне хуплап баш какты.
– Бик дөрес! Чөнки башта ныклы нигез салмыйча, өй җиткерергә дә, шулай ук фән булдырырга да мөмкин түгел. Менә шуны хәтерегездән чыгармагыз. Ә хәзер классыгызга керегез, – диде Ибраһимов һәм Коляны ягымлы караш белән озатып калды.
2
Тәрәзә янындагы кечкенә генә өстәл янында, иягенә таянып, Коля утыра. Ул Евклидның «Нигезләр» ен укый. Көзге кояш аларның йокы бүлмәләрен саран яктырта. Тышта көчле җил уйный.
Укыган саен, малайның кашлары ныграк җыерыла.
– Бу чаклы булыр икән: берсеннән-берсе чуалчык билгеләмәләр!
Шыгырдап ишек ачылды, һәм Панкратовның ак башы күренде.
– Математик, әйдә минем белән геометрия бүлмәсенә, – диде ул.
Коля, башын күтәрмичә генә, ачулы тавыш белән:
– Нәрсәгә? – дип сорап куйды.
– Теоремалар исбатларбыз… ялгызыма күңелсез анда…
Математик бераз уйлап торгач ризалык бирде, тик үзенең шартын куярга онытмады:
– Беребез исбатласын, икенчебез сораулар биреп торсын. Җавап биргәндә, һәр билгеләмәне аңлатырга, һәр раслауны нигезләп күрсәтергә. Хәтереңдәме Николай Мисаилович сүзләре? – Ул кисәк кенә урындыктан сикереп торды да, Панкратовның борын төбендә кулын болгый-болгый, укытучының әйткәннәрен сүзен-сүзгә кабатлады: – Һәр яңа раслауны, моңа кадәр кабул ителгән хакыйкатьләргә таянып, логик исбатларга кирәк.
– Аңлашылды, – дип, аның сүзен бүлдерде Панкратов. – Бер нәрсәгә дә коры ышану булырга тиеш түгел. Әйдә инде!
Малайлар, китапларын култык асларына кыстырып, баскычтан икенче катка йөгереп менделәр һәм, караңгы тар коридор буйлап барып, геометрия бүлмәсенә керделәр.
– Беркем юк, – диде Панкратов, бүлмәнең буш булуыннан канәгатьләнеп.
Ул, тиз-тиз атлап, такта янына барды һәм кафедрага менеп оялаган Коляга таба борылып, түбәнчелек белән аңа мөрәҗәгать итте:
– Укытучы әфәнде, минем сезгә бер гозерем бар иде…
– Ташла инде! – дип бүлдерде аны Коля. – Тизрәк эшкә тотыныйк.
– Мин эш турында ич! – диде Гаврило, үпкәләп. – Син миңа авыррак теореманы бир. Җиңелен мин үз сүзләрем белән исбатлый белмим. Әйтик, перпендикуляр авыш сызыктан кыскарак була. Сызымын сызасың, ә сөйләргә сүз дә калмый – болай да аңлашыла. Тагаракта йөзгән кебек. Ә менә авыр теореманы исбатлавы күңелле. Бусагалы, тиз ага торган елга кебек. Йөзүе читен булса да, бөтен сәләтеңне күрсәтергә мөмкин…
– Бөтенләй йөзеп китмәсәң ярый да бит, – дип, Коля аның сүзен бүлде. – Вакыт аз. Акбур ал да яз: «Һәр өчпочмакның тышкы почмагы үзе белән чиктәш булмаган эчке почмакларның һәркайсыннан зуррак». Яздыңмы? Исбатла!
Панкратов көрсенеп куйды һәм, көрәшергә хәзерләнгән батыр кебек, курткасының җиңнәрен сызганып, тактага тырышып-тырышып зур итеп өчпочмак сызды.
– Кара син аны, нинди авыр теорема бирде, – дип сөйләнде ул. – Монда бер ай элек үткәнне дә искә төшерергә туры киләчәк.
– Укучы Панкратов, акыл сатмый гына, – дип бүлдерде Коля, тавышын бик оста итеп Яковкин тавышына охшатып.
Гаврило пырхылдап көлеп җибәрде, ләкин шунда ук үзен кулга алды һәм тактага таба борылды:
– Өчпочмакны ABC дип билгелик. ВС кырын D га кадәр дәвам иттерик. ACD тышкы почмагы ВАС һәм СВА эчке почмакларының һәркайсыннан зуррак, дибез. АС кырын Е ноктасында урталай бүләбез…
– Тукта, тукта! Ашыкма – ашка пешәрсең. Өчпочмакның тышкы һәм эчке почмаклары дигәнеңне ничек аңларга?
– Шуны да белмисеңмени? – диде Панкратов, гаҗәпләнеп.
Коля елмаеп куйды.
– Ә ничек дип вәгъдәләшкән идек? Оныттыңмыни?
– Үзебез кулланган барлык төшенчәләр тулысынча аңлатылырга тиеш. Әйе бит?
– Шул шул менә! – диде Коля, җитди кыяфәттә баш кагып.
– Өчпочмакның нинди дә булса почмагы белән чиктәш почмак шул өчпочмакның тышкы почмагы дип атала. Бу очракта ACD почмагы тышкы почмак була. Тышкы почмаклардан аермалы буларак, өчпочмакның үз почмаклары эчке почмаклар дип атала. Шуның белән вәссәлам!
– Юк, бер дә вәссәлам түгел әле, – диде Коля тыныч кына. – Мин бит синең чиктәш почмак дигәнеңне дә белмим.
– Ә-ә… – дип сузып кына әйтеп куйды Панкратов һәм аңлатырга кереште: – Әгәр ике почмакның берәр яны уртак булып, калган яннары берсе икенчесенең дәвамын тәшкил итсә, андый почмакларга чиктәш диләр.
– Бик дөрес. Дәвам ит!
– Нәрсә дәвам итәргә соң? – дип сорап куйды Гаврило, күңел төшенкелегенә бирелеп.
– Нәрсә булсын?.. Әле бит почмакның нәрсә икәнен дә аңлатып биргәнең булмады. Аннары мин почмакның яннары дигән сүзне дә аңламый утырам…
– Уфф!.. – дип көрсенде Панкратов. – Син бигрәк инде…
– Ачуың килеп шартлый күрмә.
– Син көлмә, Математик… Хәзер мин сиңа һәммәсен аңлатып бирәм. Почмактан башлыйк. Бер ноктадан чыгучы ике нур тарафыннан ясалган фигура почмак дип атала. Ә ян яклар дип… Син нәрсә авыз ерасың әле?.. Берәр төшенчәне онытып калдырды дип уйлыйсың булыр?.. Юк, туган, шаярма! Анысын мин соңыннан әйтәм. Почмак ясаучы ярымтурылар ул почмакның ян-яклары дип атала. Хәзер менә нурга да билгеләмә бирергә мөмкин. Бер генә яктан чикләнгән туры сызык нур яки ярымтуры дип атала. – Гаврило тантаналы кыяфәт белән Коляга карап куйды. – Хәйләмә төшендеңме инде?
– Молодец, бер атуда ике куян баласын үтердең… тик менә куянның үзен качырдың!
– Куянны? – Панкратов уйга калды. – Нинди куянны әйтәсең әле син?
– Ә менә нинди… Почмак турында сөйләгәндә, син Евклидның тәүге төшенчәсен – ноктаны телгә алдың. Ни өчен аңа билгеләмә бирмәдең?
– Ни өчен, ни өчен! – дип үртәнеп сөйләнде Гаврило. – Нәрсә, әллә син миннән ноктаны кисәкчекләре булмаган нәрсә дип яки туры сызыкны туры булган нәрсә дип билгеләтер идеңме?
– Нокта… сызык… Их! – дип әйтеп куйды Коля, кинәт кенә маңгаена шапылдатып сугып. – Бу турыда әле үткән елны Корташевскийның беренче дәресендә үк ишеткән идем. Ничек шуңа башым җитмәгәндер инде?! Чынлап та, безнең моңа кадәр кулланган төшенчәләребез ахыр чиктә әнә шул нокта белән туры сызыкка кайтып калды. Әгәр бүтән геометрик төшенчәләр дә шуларга ук таянса, аларның ни өчен…
– Кит инде! – дип, аның сүзен бүлдерде Панкратов. – Алай булмас! Мисал өчен параллель турылар дигән төшенчәне алыйк. Николай Мисаилович сүзләре белән әйткәндә, бу – бер яссылыкта ятучы һәм уртак ноктасы булмаган ике туры сызык. Нокта һәм туры дигән ике төшенчәдән тыш, әле тагын яссылык дигән төшенчә дә килеп катнаша. Ә аңарга нокта һәм сызык төшенчәләре ярдәмендә билгеләмә бирергә мөмкинме икән?
– Кара әле! – дип куйды Лобачевский, дәртләнеп. – Яссылык та бит, нокта яки туры сызык кебек үк, үзбилгеләнешле тәүге төшенчә.
– Шулай икән шул! – диде Гаврило, җанлана төшеп. – Ничек әле? Яссы өслек ул – яссы нәрсәме? Ә бәлки, мондый башлангыч төшенчәләр тагын да табылыр?.. Тикшереп карыйкмы?
– Карасак карыйк! – дип куйды Коля һәм шунда ук нечкә тавыш белән мәзәк итеп җырлап җибәрде:
Яшәгән патша,
Зур йорты булган,
Сарае таштан…
Тотындык баштан.
Җырлап бетергәч, ул дәреслеккә ябышты:
– Берәр нәрсә төшеп калмасын өчен, син «Нигезләр» не кара, мин – Осиповскийны. Беренче биттән алып барлык геометрик төшенчәләрне тикшерик. Тик бер-беребезгә комачауламыйк кына.
Яктыгарак килеп, тәрәзә буена урнаштылар һәм игътибар белән укырга тотындылар.
Тик аларның һәркайсы үзенчә укый: Лобачевскийның кулында – кәгазь-карандаш, алдагы билгеләмәләргә һәм теоремаларга кайта-кайта күз сала, үзенә кирәген кәгазенә төшерә. Панкратовның хәтере искиткеч әйбәт, ул шактый авыр математик исәпләүләрне күңелдән эшләргә күнеккән, хәзер дә ул аеруча кирәкле урыннарга гына кабаттан кайтып күз салгалый.
Ул арада кич якынлашты. Кичке шәфәкъ тәрәзә пыяласында уйнап сүнде. Класс бүлмәсе акрын-акрын караңгыга күмелде.
Панкратов, укудан туктап, Коля янына килде.
– Җитәрдер инде? Берни күреп булмый, күз бозудан ни мәгънә, – диде. – Баягы сүзең дөрескә чыгар, ахры. Укый торгач, параллелограммга кадәр килеп җиттем, төшенчәләр бөтенесе һаман да шул нокта, туры сызык, яссылык ярдәмендә билгеләнә. Димәк, төп төшенчәләр – барлыгы өчәү. – Гаврило кинәт бер адым артка чикте дә бик тәкәллефле итеп баш иде. – Нокта, Туры һәм Яссылык ханымнар, гафу итегез, мин үземнең наданлыгым аркасында сезне кирәкми торган нәрсәләр дип йөргән идем. Чынлыкта исә бер генә геометрик корылманы да, бер генә төпле фикер йөртүне дә сездән башка үтәп булмый икән. Менә, ичмасам, ханымнар!..
Лобачевскийның ачуы килде.
– Нәрсәсенә сөенәсең аның, дивана? – диде ул һәм кулына тоткан китабын тәрәзә төбенә тондырды. – Коточкыч хәл бит бу! Башың булса, уйлап кара бераз. «Нокта – кисәкчекләре булмаган нәрсә» диелә. Шундый томанлы, мәгънәсез төшенчәләргә корылган фәннән нинди ачыклык көтәргә мөмкин? Юк, без нәрсәне дә булса аңлап җиткермибездер…
– Тәмам башым катты инде, – дип, Гаврило көрсенеп куйды. – Әйдә урамга чыгып керик, саф һава сулыйк. Бәлки, бераз җиңелрәк булыр.
Тик урамда йөреп керү дә, кичке аш та аларга җиңеллек китермәде. Дуслар янә геометрия бүлмәсенә кереп утырдылар. Нокта, сызык һәм яссылык төшенчәләренә кагылмаска сүз куештылар.
– Вакытлыча гына, – дип аңлатты Коля. – Юкса теореманы кайчан үзебезчә исбатларбыз?
Һәркайсы аерым-аерым эзләнергә кереште. Ләкин дәреслектән аермалык фәкать фигураларның төзелешендә һәм хәрефләр белән билгеләнүендә генә булып чыкты. Калганында алар тулысынча дәреслекне кабатладылар. Бер сызымны сөртеп, икенчесен сыздылар, анысын да сөртеп ташладылар, яңаны сыздылар, бәхәсләштеләр, елар хәлгә килделәр… Менә бервакыт сукыр лампаның мае бетте, ул бераз пыскып торды да бөтенләй сүнде. Малайлар үзләренчә исбатлау юлын тапмый калдылар.
– Әйдә, йокларга керик, яңача исбатлауны төштә күрмәбезме, – диде Панкратов күңелсез генә.
Лобачевский аңа җавап кайтармады, кул гына селтәде.
Икенче көнне класска җыелганда, гимназистларның һәммәсенең кәефе кырылган иде. Үткән дәрестән чыккач ук дәртләнеп эшкә тотынганнар иде, тик ул башваткыч теоремаларга берәү дә яңача исбатлау юлы таба алмады. Укытучыга нәрсә дип җавап бирерләр инде?..
Ләкин ул дәрес алар бөтенләй көтмәгән юнәлеш алды. Ибраһимов, бусаганы атлап керүгә:
– Әфәнделәр! Кояшта җылынырга теләмисезме? – диде. – Без бүгенге дәресне Казанка аръягындагы басуда үткәрербез. Геометриянең бабасы булган җир үлчәү белән шунда танышырбыз. Ризамы сез шуңа?! Киенергә, әзерләнергә биш минут вакыт бирәм!
Гимназистларга гүя тылсымлы көч белән тәэсир иттеләр. Һәркемнең йөзе яктырып китте, этешә-төртешә, уйный-көлә класстан чыгарга ашыктылар.
Ибраһимов инде вестибюльдә озын туры таяклар, җир үлчи торган чылбыр, эккер – кырда эш итү өчен кирәкле бөтен приборларны хәзерләтеп куйган иде. Малайлар күз ачып йомганчы ул инструментларны бүлешеп бетерделәр. Коля чылбырны эләктереп калды. Бу юлы да үзләре бүләк иткән чылбыр туры килде, Серёжа абыйсының чылбыры! Малай аны кадерләп күкрәгенә кысты. Моңа кадәр миен бораулап килгән нокта, сызык һәм яссылык турындагы күңелсез уйлар гүя җилгә очты. Аның йөрәге катырак һәм ешрак тибә башлады…
Сентябрь кояшы гадәттәгедән көчлерәк кыздыра. Күктә болытлар да юк диярлек. Урам тулы халык, һәркемнең йөзендә елмаю.
Ибраһимов малайларны сафка тезмәде, шуңа күрә һәммәсе аның яныннан барырга тырышты, атлап барган көйгә нәрсәдер сөйләде, көлде, шаярды. Һәркем үзен бик бәхетле тойды. Иң кызыгы Казанкага килеп җиткәч башланды.
Ибраһимов, яр буенда туктап, зур тантана белән:
– Әфәнделәр, без менә шушыннан елганы кичәрбез, – дип игълан итте. – Ләкин башта аның киңлеген үлчәргә тәкъдим итәм.
Ике гимназист, үлчәү шнурларын алып, яр янындагы көймәгә йөгерделәр.
– Туктагыз, туктагыз! – дип кычкырды аларга укытучы. – Шнурларыгыз кыска, елганы барыбер иңләмәячәк. Мисал өчен, безнең үлчәү чылбырларыбыз да, көймәбез дә булмады ди. Нәрсә эшләргә кирәк?
Малайлар аптырап калдылар.
– Күз белән чамаларга ярамасмы икән? – дип әйтеп куйды Коля кыюсыз гына. – Монда бер егерме сажин булыр…
– Чамалый беләсез икән, – дип, укытучы Лобачевскийны мактап алды. – Землемер өчен иң кирәкле сыйфат. Чынбарлыкка никадәр якын килгәнегезне хәзер тикшереп белербез. Моның өчен… Менә сез, Панкратов, әйтегез әле, өчпочмаклар тигезлегенең беренче билгесе нидән гыйбарәт?
– Әгәр ике өчпочмакның икешәр ягы һәм алар арасындагы берәр почмагы үзара тигез булса, – дип тезеп китте Гаврило, үзеннән сораганга шатланып, – бу өчпочмаклар тигез булалар.
– Афәрин! – диде Ибраһимов, баш кагып. – Менә шул теореманы истә тотып, елганың киңлеген без хәзер… – укытучы Панкратовка текәлде, – фуражка козырёгы ярдәмендә үлчәрбез. Фуражка бит ул чылбыр түгел, һәрвакыт башыбызда.
Малайларның әле моңа кадәр андый җир үлчәү инструменты турында ишеткәннәре юк иде, үзара карашып алдылар.
– Булдыра алмабыз… – диде кемдер.
– Нәрсә, ышанмыйсызмыни? – дип көлемсерәде Ибраһимов. – Исбатлап карыйк, алай булгач. Панкратов, елгага карап басыгыз әле. Фуражкагызны күзегезгәрәк төшерегез – козырёгын елганың аргы ягы белән бертигез итегез… Менә шулай… Ә хәзер, башыгызны күтәрми генә, сулга борылыгыз һәм бу ярда козырёк астыннан күренгән иң ерак ноктаны билгеләгез… Менә шулай! Хәзер инде ул ноктага чаклы араны адым белән үлчәргә генә кала. Башта алган теорема нигезендә, ул ара нәкъ менә елга киңлегенә тигез булыр. Өчпочмакның үзенчәлегеннән ничек итеп файдалануыбызны аңладыгызмы?
Панкратов әйткән араны үлчәргә һәммәсе бердәм, этешә-төртешә тотындылар. Практик дәрес кызыклы уеннан да күңеллерәк булып китте.
– Күрдегезме, – диде укытучы, – адым – иң кирәкле үлчәү инструменты. Землемер өчен авыр йөк тә түгел.
Һәр гимназист үз фуражкасының козырёгын шундый тылсымлы эштә сынап карамый торып, дәресне дәвам итәргә мөмкинлек тумады.
Басуда җир үлчәү малайларга бик мавыктыргыч булып тоелды. Алар, бау сузып, туры сызык сыздылар, почмакларны үлчәделәр, эккер ярдәмендә параллель туры сызыклар үткәрделәр, җир участокларының планын төшерделәр. Геометрик фигураларның төп үзенчәлекләре турындагы мәгълүматны борынгы геометрлар да нәкъ әнә шундый юл белән – җир үлчәп алганнар…
Кайтканда да күңелле кайттылар. Дәрестә рухланып киткән Гаврило Панкратов үзе туган шәһәрнең планын төзегәндә шагыйрь Державинның көлкегә калуын искә төшерде.
Бу вакыйга һәркем өчен кызык тоелды, тыңларга дип, алар яшел чирәм өстенә утырдылар.
– Кайчан булган вакыйга ул? Сөйләгез әйдә, – диде Ибраһимов.
– 1760 елда булган хәл. Минем үземә бабай сөйләгән иде. Ул чакны әле безнең гимназия директоры Верёвкинны командир дип йөрткәннәр. Бервакыт моңа Чебоксарның планын төзергә кушып, Сенаттан фәрман килә. Геометрия укытучысы капитан Морозовның яңарак кына үлгән чагы була. Верёвкин нәрсә эшләргә дә белми аптырап кала. Шуннан бу эшне Державин җилкәсенә аудара. Ә Державин шул елны гына гимназияне бетергән икән. Верёвкин аңарга ярдәмгә берничә укучы да бирә. Болар һәммәсе дә – геометрияне исбатлаусыз гына өйрәнгән халык, тәҗрибәләре булмый. Нишләсеннәр? Китәләр болар Верёвкин янына. Ничек үлчәргә икәнен өйрәт, диләр. – Үзен тыңлап утыруларына канәгатьләнеп, Панкратов сүздән туктап, бераз кыстатып торды.
– Шуннан нәрсә эшлиләр?
– Нәрсә эшләсеннәр, шуннан Верёвкин өйрәтә тегеләрне урам үлчәргә, – дип, Гаврило хикәясен дәвам итте: – Иңе сигез сажин, озынлыгы уналты сажин рам эшләттерә, аны калай белән тышлаттыра. Аннан инде шул рамны чылбырлар белән тартып, урам буйлап сөйрәп китәләр. Рам сыйса – йорт урынында кала, рам эләксә – моның капкасына акбур белән «ватарга» дип язалар.
– Шулай ук язганнармы? – дип куйды Ибраһимов, тыела алмыйча көлеп. Гимназистлар яшел чирәмдә тәгәрәп-тәгәрәп көлделәр. Ибраһимов тизрәк хикәянең азагын тыңларга теләде һәм: – Аннары нишләгәннәр? – дип, сөйләүченең исенә төшерде.
– Державин бер өйгә дә сыймаслык зур итеп план төзегән. Чормага менеп сыза торган иде, ди бабай. Ләкин ул планны, эшләнеп тә бетмәгән көе, Казанга алып киткәннәр. Ә йортлар җимерелми калган…
– Кызык нәрсә! – диде Ибраһимов. – Шундый нәрсә сөйләгәнегез өчен рәхмәт, Панкратов. Күңелебезне ачтыгыз, рәхмәт! Ә хәзер, әфәнделәр, гимназиягә ашыгыйк. Соңга калуыбыз ихтимал…
Бүген Лобачевский көн буена башкалар белән бергә укыды, уйнады, шаярды. Төн җитеп, йокы бүлмәләрендә утлар сүндерелде. Дежур надзиратель яткан алгы бүлмәдән дә гырлаган аваз ишетелә башлады. Ә менә Коляны йокы алмый, ул бер ягыннан икенче ягына әйләнгәләп ята. Менә ул, одеялын читкә этеп, урыныннан сикереп торды, киенде һәм грифелен, аспид тактасын, көндез яшереп куйган шәм кисәген алды. Тәрәзә янындагы өстәл өстенә шәмен яндырып куйды һәм ут яктысын китабы белән ышыклады.
Коля бүлмәнең салкынлыгын да сизмәде, чөнки уйларына бик нык бирелгән иде. Бүген Казанка буенда үткәрелгән дәрес вакытында ул кабат яңа исбатлау эзләргә карар бирде. Ибраһимовның дәрестә әйткән сүзләре һич исеннән чыкмый: «Әгәр өчпочмакның эчке почмаклары суммасы ике туры почмактан бер генә почмак минутына аерылса да, Евклид геометриясе булмаячак!» Табарга иде яңа исбатлауны. Ничек тә табарга иде!
Ул «Нигезләр» не алды һәм, кирәкле битен ачып, укый башлады:
«32 нче раслау. Һәрбер өчпочмакта аның бер ягын дәвам иттергәндә барлыкка килгән тышкы почмак каршы якта ятучы ике эчке почмакка тигез, һәм өчпочмакның өч эчке почмагы ике туры почмакка тигез».
Теореманы акрын гына яңадан укып чыккач, китабын читкә куйды, сызым сызды да фикер йөртергә кереште:
– Теләсә нинди өчпочмак бирелгән. Шуның теләсә кайсы тышкы почмагының бу тышкы почмакка чиктәш булмаган ике эчке почмагы суммасына тигез булуын һәм эчке почмаклар суммасының ике туры почмакка яки 180° ка тигез булуын исбат итәргә кирәк. Әлбәттә, моны бирелгәннән чыгып, ягъни өчпочмакның үзенең почмакларыннан чыгып исбатларга да мөмкин. Әйтик, почмакларны кисеп аласың да өчесен бергә китереп кушасың, шуннан эчке почмаклар суммасына тигез җәенке почмак хасил була. Тик мин инде бу юл белән дәрестә исбатлап караган идем – оятка гына калдым.
Малай бераз вакыт уйланып торды. Кинәт аның башына ап-ачык булып бер фикер килде: «Әгәр мин кире баштан фикер йөртергә тотынсам? Әйтик, эчке почмаклар суммасы ике туры почмакка тигез булсын, диик. Нәрсә соң ул ике туры почмак? Нинди почмаклар ике туры почмакка тигез була?»
Коля өчен бу иң бәхетле көн булды, ахры. Әллә озак вакыт аерылып торганнан соң туйганчы җир үлчәү килештеме, әллә җәйге каникул бетеп, уку башлангач беренче мәртәбә кәефе ачылдымы – аның башына фикерләр бер-бер артлы килеп кенә тордылар. Үтелгәннәрне хәтеренә төшереп, ул үзенең дәфтәренә тиз-тиз язып куйды:
«Беренчедән, җәенке почмак ике туры почмакка тигез.
Икенчедән, ике чиктәш почмакның суммасы 180° ка тигез.
Өченчедән, бер туры почмак янына тагын берне китереп куйгач, ике туры почмак килеп чыга».
Язганны игътибар белән күздән кичерде һәм уйга калды: «Менә хәзер башым эшли башлады шикелле… Әгәр өчпочмакның эчке почмаклары өчесе бергә җәенке почмак хасил иткәнне, яки ике чиктәш почмак, яки туры почмак плюс туры почмак барлыкка китергәнне исбатласам…» Үз фикеренә үзе сокланып:
– Шулай ич инде! – дип сөйләнеп куйды.
Кычкырыбрак әйтте булса кирәк – якын-тирәдәге кроватьлар шыгырдап алдылар. Бер малай хәтта башын күтәрде, йокы аралаш нәрсәдер әйтеп куйды, тик инде ахыр чиктә йокысы барыбер җиңде: одеялы астына чумды.
Ләкин Коля боларның берсен дә күрмәде, ишетмәде. Ул сөйләнә-сөйләнә, ашыгып-ашыгып сызым сыза иде.
– Беренче раслаудан файдаланып карыйк… Өчпочмакның кайсы да булса бер түбәсе аша, әйтик, С түбәсе аша, теләсә нинди туры сызык, әйтик, DE турысы, үткәрик. Моннан җәенке почмак барлыкка килә. Боларның берсе – өчпочмакның үзенең эчке С почмагы. Кара син, нәрсә килеп чыга бит! Хәзер инде калган ике почмак – DCA һәм ЕСВның икесе бергә А һәм В эчке почмаклары суммасына тигез булуын исбатларга гына кала… Тик менә ирекле рәвештә уздырган DE турысы андый нәтиҗә ясарга ирек бирмәс, ахры… Ә ул туры сызыкны тикшерелә торган почмаклар арасында нинди дә булса геометрик бәйләнеш сизелеп торырлык итеп үткәрергә мөмкин түгелме? Ике параллель һәм кисүче ярдәмендә ясалган почмаклар турындагы теореманы алыйк. Моның өчен фәкать DEны АВга параллель итәргә генә кирәк. Шуннан инде DCA почмагының А почмагына һәм ЕСВ почмагының В почмагына тигез икәнлеге ачык күренә, чөнки алар параллель турыларны өченче туры белән кисештергәндә ясала, ә андый почмаклар тигез була. Әгәр шулай икән, өчпочмакның эчке почмаклары, чыннан да, җәенке почмак хасил итәләр. Димәк, аларның суммасы ике туры почмакка тигез була һәм алынган теорема исбат ителә.
Тукта, Коля ни өчен бер дә шатланмый соң әле? Болай исбат итү күңеленә ошамыймы әллә? Ошавын ошый да бит, барыбер яңабаштан тотынырга туры киләчәк… Мондый исбатлауны Ибраһимов дәрестә күрсәткән иде… Хәер, син үзеңчәрәк килдең дә бит, башкалар белгәч, аны инде яңа дип булмый.
Коля, кәефе кырылып, шактый вакыт бер ноктага карап утырды. Аннары аспид тактаны якынрак китерде дә:
– Барыбер китереп чыгарам! Барыбер үземчә исбатлыйм! – дип пышылдап әйтеп куйды.
Бу юлы Коля, нигез итеп, ике чиктәш почмакның суммасы ике туры почмакка тигез дигән раслауны алды.
– Әгәр ABC өчпочмагының бер ягын, әйтик, АВ ягын, D га кадәр дәвам иттерсәк, CBD тышкы почмагы хасил була. Аның эчке В почмагы белән чиктәш булуын һәм чиктәш почмакларның суммасы турындагы раслауны искә төшерсәк, аларның суммасы ике туры почмакка тигез икәнне белербез. Шуннан безгә ул тышкы CBD почмагының калган ике, ягъни аның белән чиктәш булмаган эчке А һәм С почмаклары суммасына тигез икәнен генә расларга кала. Әгәр шуны раслый алсам, теорема тулысынча исбат ителгән була. Тик моны ничек эшләргә?
