Kitabı oku: «Electrónica de potencia», sayfa 7

2.5. Series de Fourier. Transformada de Fourier
2.5.1. Series de Fourier

Sea f(t) una función periódica de período T1 (frecuencia f₁=1/T₁ y pulsación ω1 = 2πf₁, no sinusoidal. Se denomina transformación integral de Fourier

A partir de (2.85) se deriva que la función periódica f(t) se puede descomponer en una suma de infinitos términos sinusoidales de frecuencias múltiplos de f₁ y de amplitudes dadas por el módulo de F₁ = jω_n de acuerdo con la siguiente expresión (expansión en serie de Fourier de ft)):

expresión que de acuerdo con las identidades de Euler

se puede desarrollar como

con ω₁ = 2πT₁ ysiendo a0, an y bn los llamados coeficientes de Fourier que se calculan de la siguiente forma:

Dado que los senos y cosenos de la misma frecuencial se pueden combinar en una misma sinusoide, la serie de Fourier se puede poner en la forma:

También se puede poner en la forma:

Como se aprecia, el parámetro a0/2 es una constante cuyo valor es el valor medio de la función f(t). El parámetro c1 es la amplitud del término sinusoidal de igual pulsación ω1 que f(t), es el denominado termino fundamental o primer armónico. Los parámetros c2, c3... son las amplitudes de los distintos armónicos de frecuencias 2ω₁, 3ω₁ …, respectivamente.

El valor eficaz de f(t) se puede calcular a partir de la serie de Fourier, resultando:

Determinadas simetrías de la función f(t) dan lugar a una reducción considerable del número de términos de la serie de Fourier. En la tabla 2.5 se indican los coeficientes resultantes para cada simetría así como las funciones que aparecen en la serie.

Tabla 2.5. Coeficientes de Fourier en ondas simétricas.

a. Simetría par

Una función se dice con simetría par si su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, la función f(t) es de simetría par si f(t) = f(–t).

Figura 2.43. Onda con simetría par.

b. Simetría impar

Una función se dice que es con simetría impar si su gráfica es simétrica respecto origen, es decir, la función f(t) es de simetría impar si –f(t) = f(—t).

Figura 2.44. Onda con simetría impar.

c. Simetría de media onda

Una función f(t) periódica, de período T₁, se dice que es de simetría de media onda si: es decir, si en su gráfica la parte positiva es un reflejo de la negativa pero desplazada medio período.

Figura 2.45. Onda con simetría de media onda.

d. Simetría de cuarto de onda par

Una función se dice que es de simetría de cuarto de onda par si tiene simetría de media onda y además es una función con simetría par.

Figura 2.46. Onda con simetría de cuarto de onda par.

e. Simetría de cuarto de onda impar

Una función se dice de simetría de cuarto de onda impar si tiene simetría de media onda y además es una función con simetría impar.

Figura 2.47. Onda con simetría par de cuarto de onda impar.

En la tabla 2.6 se indican las series de Fourier de algunas funciones de uso habitual.

Tabla 2.6. Series de Fourier de ondas habituales.

Tabla 2.6 Continuación.

2.5.2. Dominio del tiempo y dominio de la frecuencia

Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes Cn. Es por ello que los coeficientes Cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

A la gráfica de la magnitud de los coeficientes Cn, en función de la frecuencia ω del término correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).

A la gráfica del ángulo de fase θn, en función de la frecuencia ω del término correspondiente se le llama el espectro de fase de f(t).

Nótese que ambas gráficas son funciones discretas, definidas únicamente para valores de frecuencias múltiplos de la frecuencia ω1 del término fundamental.

En resumen, que si f(t) es una función periódica de tiempo continuo, su expansión en serie de Fourier, tanto el módulo como la fase, son funciones aperiódicas y discretas:

Ejercicio E2.7

Dada la función u(t) = 100sign[sin (100πt)], representarla en el dominio temporal y en el dominio frecuencial.

Solución

La función indicada es una onda cuadrada de amplitud 100 y frecuencia 50 Hz y está representada en la figura E2.7.1.

Figura E2.7.1

Por la simetría de la onda (de cuarto de onda impar) la serie de Fourier sólo contiene senos impares, según se indica en la expresión:

En la figura 2.7.2 se han representado, en el dominio temporal, los cuatro primeros armónicos de frecuencias 50, 150, 250 y 350, así como la suma de todos ellos. Se observa como esta suma ya es una primera aproximación de la función u(t). A ella se aproximará cada vez más a medida que añadan más armónicos.

Figura E2.7.2

Las amplitudes de los sucesivos armónicos representados en función de la frecuencia, da el espectro de frecuencias de amplitud de la figura E2.7.3 (simulación PSIM). Nótese que ésta es una función aperiódica y discreta.

Figura E2.7.3

2.5.3. Transformada de Fourier

La serie de Fourier permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t). Cabe preguntarse si es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener la representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas.

La solución a esta cuestión se resuelve mediante la denominada transformada de Fourier, una función de variable compleja, generalización de (2.85) para cualquier tipo de funciones en tiempo continuo, f(t), y definida por

La función F(ω) es una función compleja de la frecuencia (o pulsación) w, y se puede representar por

donde . Las representaciones gráficas de F(ω) y de f(ω) se denominan, respectivamente, espectro de amplitud y espectro de fase de f(t), y resultan ser funciones continuas y aperiódicas de la pulsación ω.

La transformada de Fourier se utiliza profusamente para el estudio frecuencial de sistemas. No obstante, en los procesos de medida o en cálculo apoyado en ordenador, las funciones temporales no lo son en tiempo continuo sino que son funciones de tiempo discreto, ya que únicamente existen en aquellos instantes de tiempo en los que el sistema reconoce su valor.

De hecho, no es posible, físicamente, observar magnitudes periódicas, dado que únicamente se dispone de un intervalo temporal finito como período de observación. Por ello, es práctica habitual considerar que las magnitudes físicas, observadas durante un intervalo temporal TO, aunque puedan presentar repetibilidad periódica, T₁, en dicho intervalo, son aperiódicas y discretas (numéricas) como consecuencia del proceso de observación y medida o cálculo. En estas condiciones no es aplicable (2.94) sino que dicha expresión debe remplazarse por la denominada transformada discreta de Fourier, una función discreta, periódica y de simetría par, aproximada por la expresión

expresión que permite determinar el n-ésimo componente frecuencial de la función temporal f(t) definida por K valores discretos f(tk) en el intervalo de observación TO.

El cálculo de la transformada discreta de Fourier implica un número grande de operaciones, por lo que habitualmente se determina mediante el algoritmo en mariposa desarrollado [11] en 1965 por Cooley y Tukey denominado transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform) basado en utilizar un número de K puntos en potencias de 2, y descomponer (2.96) en diversas transformadas elementales. Los programas de simulación como PSIM, utilizan este procedimiento para la representación frecuencial de las magnitudes, acotando su respuesta para frecuencias positivas y eliminado la periodicidad teórica de la transformada calculada.

2.6. Potencias en un régimen periódico
2.6.1. Potencias en un régimen sinusoidal permanente

• Circuito con carga resistiva pura

Considérese el circuito indicado en la figura 2.48, donde , es decir, es una tensión sinusoidal de valor eficaz e_ef y pulsación ω₁.

Figura 2.48. Circuito óhmico.

En estas condiciones, la corriente que circulará por el resistor R vendrá dada por:

es decir, es una corriente sinusoidal de pulsación ω₁ y valor eficaz

Así pues, la potencia instantánea disipada por el resistor vendrá dada por:

siendo su aspecto el indicado en la figura 2.49.

Figura 2.49. Formas de onda en el caso de resistencia óhmica.

El valor medio de esta potencia es:

Se llama potencia activa, P, al valor medio de la potencia instantánea, coincidiendo, en caso de carga resistiva pura, con el producto de los valores eficaces de tensión y corriente.

En este caso la interpretación física es que la fuente ha de suministrar una potencia que en valor medio vale EefIef, potencia que es absorbida por la carga y disipada totalmente en forma de calor. Se trata, por tanto, de una potencia útil.

• Circuito con carga inductiva pura

Considérese seguidamente el circuito indicado a la figura 2.50, con la misma excitación de tensión definida por Eefsinω₁t y carga inductiva pura L.

Figura 2.50. Circuito inductivo puro.

En este caso, la corriente que circulará por la inductancia vendrá dada por:

suponiendo la inductancia descargada en el instante inicial (I(0) = 0), siendo el valor eficaz de la corriente.

En este caso, la potencia instantánea vendrá dada por:

y está representada en la figura 2.51, en la que se aprecian las formas de onda temporales y la representación fasorial⁴ de la tensión y de la corriente. Se puede apreciar que, en este caso, el valor medio de la potencia es nulo. En efecto, la inductancia es un elemento no disipativo (reactivo), y en el caso ideal planteado se trata de un proceso energético en el que en un cuarto de período la fuente recupera la energía entregada a la inductancia en el cuarto de período precedente.

Figura 2.51. Formas de onda en el caso inductivo puro.

• Circuito con carga capacitiva pura

Si ahora se considera el circuito indicado a la figura 2.52, donde de nuevo e(t) = 2 Eef, sinωt₁,

Figura 2.52. Circuito capacitivo puro.

la corriente que circulará será:

siendo I_ef = ω₁CEef el valor eficaz de la corriente. En esta ocasión, la expresión de la potencia instantánea es:

donde, al igual que en el caso de inductancia pura, se obtiene un valor medio nulo, de forma que el proceso energético que tiene lugar (elemento reactivo) indica que en un cuarto de período la fuente recupera la energía entregada al condensador en el cuarto de período precedente.

La figura 2.53 muestra el aspecto de las formas de onda implicadas en este proceso así como el diagrama fasorial de las magnitudes primarias.

Figura 2.53. Formas de onda en el caso capacitivo puro.

• Circuito generalizado con carga R-L-C

Según los resultados precedentes se puede afirmar que si los fasores tensión, E, y corriente, I, están en fase, el valor medio de la potencia es EefIef (el producto de sus valores eficaces), mientras que si están en cuadratura el valor medio de la potencia es cero.

Considérese, a continuación, un circuito como el indicado en la figura 2.54,

Figura 2.54. Circuito genérico RLC.

En este caso se tendrá:

En este caso, la expresión de la potencia instantánea será:

donde se aprecia que, en este caso, el valor medio de la potencia (potencia activa) es:

La figura 2.55 muestra la forma de onda de potencia y el diagrama fasorial de las magnitudes prinicipales, donde la corriente se ha descompuesto en dos components: una sobre el eje real, en fase con la tensión, y otra sobre el eje imaginario, en cuadratura con la tensión.

Figura 2.55. Formas de onda en el caso RLC genérico.

Dado que el producto de valores eficaces,e_efI_ef, sigue teniendo significado en CA (por ejemplo para el dimensionado de máquinas eléctricas), se efectúan las siguientes definiciones:

Potencia aparente: S = EefIef

Potencia activa: P = Pmed = EefIef cos φ

Potencia reactiva: Q = EefIef sin φ

de forma que se cumple:

y donde se puede considerar que la potencia reactiva, Q, es un término adicional introducido, únicamente, para cuadrar la relación entre P y S. Sin embargo, definida de esta forma, se ve, a continuación, que tiene un significado físico.

A partir de estas definiciones es posible representar la potencia instantánea, después de algunas transformaciones trigonométricas elementales, como:

expresión que indica, claramente, que la forma de onda de la potencia instantánea tiene dos componentes:

 una activa, P(1 + cos2ω1t), debida a componentes resistivos, y de valor medio P (potencia activa, capaz de producir trabajo), y

 otra reactiva, Q sin2ω1t, de valor medio nulo y valor máximo Q, que es el término fluctuante de intercambio entre la fuente y los elementos reactivos del circuito.

La figura 2.56 representa la descomposición de la forma de onda de potencia en estos dos términos.

Figura 2.56. Descomposición de la potencia en sus componentes activa y reactiva.

2.6.2. Potencias en un régimen no sinusoidal permanente

Considérese un sistema electrónico (como es el caso típico de un convertidor de alterna a continua) en que la tensión de excitación, e(t), es sinusoidal, pero la corriente entregada por la fuente, en régimen permanente, y como consecuencia de la propia carga, i(t), es una función periódica desarrollable en serie de Fourier. En este caso, se tendrá:

donde se ha indicado, para la corriente, su componente fundamental y la serie de armónicos de orden superior al primero.

En este caso, la potencia instantánea será:

de donde se desprende que la potencia activa, es decir, el valor medio de la potencia instantánea es:

en el caso de excitación e(t) no sinusoidal pero periódica, el término correspondiente a la potencia activa vendría dado por:

donde en,ef es el valor eficaz del armónico n-ésimo del desarrollo en serie de Fourier de la tensión de entrada, In_,ef, es el valor eficaz del armónico n-ésimo de la corriente, y φ_n es el desfase entre tensión y corriente del n-ésimo término de sus respectivas series de Fourier.

Así, se puede concluir que la potencia activa entregada por la fuente de un circuito en régimen no sinusoidal permanente, es igual a la suma de las potencias activas correspondientes a la componente fundamental y a la de sus armónicos.

Nótese como a esta potencia activa se le añaden dos términos fluctuantes:

 Un término de pulsación 2ω1, y

 Términos de pulsaciones , los cuales, en el caso general de tensión periódica no sinusoidal, serán de pulsaciones

En este caso, la potencia aparente se define como el producto de los valores eficaces de la tensión y de la corriente, es decir.

definiéndose el factor de potencia como:

en el caso de tensión sinusoidal, y

en el caso general.

La potencia reactiva vendrá definida por:

siendo en el caso particular de tensión sinusoidal .

¿Qué relación existe entre S, P y Q? Teniendo en cuenta (2.113) se puede poner:

en el caso de tensión de excitación sinusoidal. Entonces, y teniendo en cuenta (2.112) y (2.116), se puede desarrollar la anterior expresión e identificar términos, resultando:

de forma que es factible poner:

siendo el nuevo término el denominado potencia de distorsión o potencia de deformación, término expresado por D y definido según:

Obsérvese como, a partir de (2.118) si e(t) e i(t) están en fase, φ1 = 0 y entonces S = P² + D².

Se dice que un circuito no distorsiona si En,ef / In,ef = Constante y φn = 0 para todos los armónicos. Es el caso, por ejemplo, de una tensión periódica no sinusoidal que alimenta una red resistiva. En este caso no se consume potencia de distorsión (D = 0). En cambio, en un circuito inductivo en / In aumenta con el orden del armónico, mientras que en un circuito capacitivo en / In disminuye con el orden del armónico, siendo estos dos casos claros ejemplos de circuitos distorsionantes.