Kitabı oku: «Matemáticas y Física & Química»

INTRODUCCIÓN

LAS MATEMÁTICAS

A menudo asociamos la palabra matemáticas al estudio de los números y a las operaciones que pueden efectuarse con ellos. Pero nada más lejos de la realidad. Las operaciones aritméticas representan sólo una pequeña isla en el amplio océano matemático. El objeto de las matemáticas es enunciar preguntas sobre los fenómenos que observamos y elaborar modelos teóricos abstractos que la ciencia pueda utilizar para estudiar y transformar el universo que nos rodea. De hecho, la palabra matemáticas deriva del griego mathema, que significa conocer o averiguar.

El mismo concepto de número es un ente abstracto que surge cuando nuestros antepasados, se supone que en la misma época en la que descubrieron el fuego, se dieron cuenta de lo que tenían en común un trío de piedras, de personas o de animales: el número tres.

Las matemáticas están presentes en todas las actividades de la vida.

Las matemáticas alcanzaron ya un gran desarrollo en civilizaciones antiguas como la egipcia, la china, la mesopotámica o la de la Grecia clásica. Los árabes trajeron a Europa la mayor parte del saber matemático de dichas civilizaciones y ya en el viejo continente las matemáticas tomaron un impulso imparable: primero con los algebristas del Renacimiento y después con la gran revolución científica de los siglos XVII y XVIII, preludio de la revolución industrial del siglo XIX.

En nuestros días, las matemáticas son una herramienta imprescindible para el desarrollo de las ciencias experimentales como la física, la química o la biología; se aplican con éxito a diversas ramas tecnológicas como la ingeniería, la informática o la arquitectura; facilitan una ayuda inestimable a las ciencias sociales como la economía, la sociología o la psicología, e incluso se emplean en la creación musical o en las artes plásticas.

Los números, o cifras, son entes abstractos que forman una serie ordenada y que indican la cantidad de elementos de un conjunto.

Los egipcios dominaban de tal forma las matemáticas, que hace más de 4.500 años pudieron levantar colosales pirámides de prodigiosa precisión.

LOS CAMPOS DE LAS MATEMÁTICAS

Parece lógico pensar que, aplicándose a tan variadas ramas científicas, las matemáticas abarquen multitud de campos. Así es, en efecto. Ya hemos mencionado la aritmética, que nace con el descubrimiento del concepto de número natural y que ha ido evolucionando a lo largo de la historia con la introducción de nuevos conjuntos numéricos en un proceso que llega a su máximo nivel con los estudios del matemático alemán Georg Cantor (1845-1918) sobre los números transfinitos.

El elemento más característico del álgebra es el uso de letras para representar cantidades. Así, por ejemplo, la frase “El volumen de un cilindro se calcula multiplicando la superficie de su base por la longitud de su altura” puede escribirse simplificadamente en lenguaje algebraico así: V = B · h. En este caso, las letras son variables en las que podemos sustituir cantidades diferentes, según sean las dimensiones del cilindro en particular. En otras ocasiones las letras son incógnitas o cantidades desconocidas que se pueden obtener empleando procedimientos más o menos ingeniosos.

La palabra álgebra deriva de Al-gabr, título de una obra del matemático árabe al-Hwarizmi (780-850), pero el primer matemático que utilizó letras para designar a cantidades diversas fue el francés François Viète (1540-1603). El álgebra tomó un gran impulso al relacionarse con la geometría gracias a los trabajos de René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665), padres de la llamada geometría analítica.

El estudio de las relaciones existentes entre dos magnitudes, como la velocidad y el tiempo, dio lugar al concepto de función, básico en el análisis matemático. El cálculo diferencial, obra de Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), es la parte del análisis que se ocupa del estudio de la variación de una función. Ensanchado con los trabajos de Euler (1707-1783) y Gauss (1777-1855), el análisis matemático ha sido esencial para el desarrollo de las ciencias experimentales.

El inglés Isaac Newton (1642-1727) destacó en diversas disciplinas (física, matemáticas, astronomía...), en una época en que la ciencia era un todo interrelacionado.

La geometría es la parte de las matemáticas que estudia el espacio y las figuras y los cuerpos que en él se pueden imaginar.

Los matemáticos del antiguo Egipto conocían bien las formas geométricas básicas, lo que les permitió, entre otras cosas, construir sus famosas pirámides. Pero los grandes avances que experimentó la geometría en la antigüedad fueron obra de matemáticos griegos como Tales de Mileto (630-546 a.C.) o Pitágoras (580-497 a.C). Una obra completada por Euclides trescientos años antes de nuestra era. Estos estudios fueron tan profundos, que hubo que esperar muchos siglos para que se produjeran avances importantes en el campo geométrico: la geometría analítica de Descartes y Fermat y la geometría hiperbólica de Lobatxevski (1792-1856) y Bernhard Riemann (1826-1866).

La teoría de probabilidades nació como un divertimento matemático en un intercambio de cartas entre Pascal (1623-1662) y Fermat, en el que discutían sobre diversas cuestiones relativas a los juegos de azar. A pesar de las aportaciones de matemáticos de la talla de Laplace (1749-1829) y Gauss, la estadística se tomó como una rama menor de las matemáticas hasta bien entrado el siglo XX. Sin embargo, tras los trabajos del ruso Kolmogorov (1903-1987) y del alemán Fisher (1890-1962) en este campo, hoy se considera que la estadística es una de las ramas matemáticas más importantes, debido a sus múltiples aplicaciones.

Un estudio estadístico consta de tres partes. En la primera se observa un fenómeno, se toman los datos correspondientes, se resumen y se relacionan entre sí. En la segunda se buscan teorías que expliquen coherentemente dichas observaciones. En la tercera se hacen previsiones a la luz de dichas teorías.

Aunque los juegos de azar parecen sometidos al capricho de la suerte, detrás suyo hay toda una teoría matemática de la probabilidad.

EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS

El camino que vamos a seguir aquí nos permitirá visitar los elementos básicos de los campos matemáticos antes presentados. Comenzaremos con la magia de los números, los distintos sistemas de numeración que empleamos y las sucesivas ampliaciones del conjunto numérico que ha sido necesario hacer para que sea posible efectuar todas las operaciones que realizamos en la actualidad.

Una vez acabada esta etapa, intentaremos poner el álgebra a nuestro servicio, aprendiendo a plantear problemas y, seguidamente a resolverlos mediante sistemas de ecuaciones.

A continuación visitaremos el universo de las relaciones entre las cosas que nos rodean y aprenderemos a usar las funciones más empleadas para expresar matemáticamente dichas relaciones. Sólo entonces estaremos en condiciones de abordar la matemática comercial y de estudiar sus aspectos básicos, como el funcionamiento de los créditos y de las hipotecas.

Nuestro siguiente tema será la geometría plana, es decir la que estudia las figuras en dos dimensiones.

Echaremos un vistazo a la trigonometría, que se ocupa de las relaciones existentes entre los ángulos y las distancias, y que resulta fundamental en el campo de las modernas telecomunicaciones. Nos adentraremos entonces en el estudio de los cuerpos geométricos que pueblan el espacio de tres dimensiones.

Nuestra siguiente etapa constituirá una iniciación a la estadística. Ordenaremos datos, dibujaremos gráficos, hallaremos parámetros y aprenderemos a calcular probabilidades.

No nos gustaría acabar este viaje sin acercarnos a descubrir cuál es el presente y el futuro próximo de la matemática y a conocer algunos retos a los que se enfrenta la matemática de nuestros días, tales como el desarrollo de la teoría del caos, de la geometría fractal o de la lógica borrosa.

Las gráficas nos permiten representar datos (cualitativos, de ordenación o cuantitativos) mediante una construcción que facilita evaluarlos visualmente de manera rápida y comprensiva.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Gracias a los hallazgos arqueológicos y al estudio de los pueblos que viven aún de forma primitiva, sabemos que nuestros antepasados empleaban diversos sistemas para contar y ordenar los objetos. Lo hacían con los dedos, agrupando pequeñas piedras o realizando marcas en huesos y troncos de árboles. El resto más antiguo que se ha encontrado es un hueso de lobo con 55 incisiones, hallado en Europa Central y que tiene unos 50.000 años de antigüedad.

EL SISTEMA DECIMAL

Nuestro sistema de numeración tiene tres propiedades:

•Utilizamos diez símbolos diferentes para escribir los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por esta razón se dice que es un sistema decimal o de base diez. Diez unidades se agrupan en una decena; diez decenas, en una centena y así sucesivamente. Todo número, por tanto, se puede expresar en forma de potencias de diez:

4.546 = 4 · 1.000 + 5 · 100 + 4 · 10 + + 6 = 4 · 10³ + 5 · 10² + 4 · 10 + 6.

•El valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa. Por eso decimos que es un sistema posicional. Así, por ejemplo, en el número anterior, el cuatro situado a la izquierda vale cuatro mil mientras que el otro vale cuarenta.

•Es un sistema completo, puesto que emplea el cero.

Los números romanos siguen apareciendo en muchos lugares.

Tanto la civilización azteca como la maya alcanzaron un nivel de conocimientos matemáticos muy elevado. Utilizaban sistemas de numeración posicionales, pero que no eran decimales. En la fotografía, Gran Pirámide de Chichén Itzá (México).

LOS NÚMEROS ROMANOS

Los romanos empleaban siete letras para escribir los números. Sus valores eran: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 y M = 1.000.

Es un sistema de numeración no posicional, que todavía se utiliza para escribir los siglos. También podemos encontrar números romanos en los monumentos conmemorativos y en las esferas de algunos relojes. Para leerlos, tenemos que seguir las reglas siguientes:

•Si encontramos una letra situada a la derecha de otra de mayor valor, las sumaremos:

MDL = 1.000 + 500 + 50 = 1.550

•Cuando una letra está situada a la izquierda de otra de mayor o igual valor, tendremos que restarlas:

XC = 100 – 10 = 90

•En el caso de que un grupo de letras esté situado debajo de una raya, multiplicaremos su valor por mil:

Equivalencia del sistema binario y del sistema decimal.

El sistema binario se utiliza en informática y telecomunicaciones.

EL SISTEMA BINARIO

En este sistema se emplean sólo dos símbolos: el cero y el uno. Para traducir un número binario emplearemos las potencias de dos:

1.101 = 1 · 2³ + 1 · 2² + + 0 · 2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Para escribir un número en forma binaria tenemos que dividirlo sucesivamente por dos:

EL SISTEMA SEXAGESIMAL

Para medir el tiempo y los ángulos, usamos un sistema de base sesenta heredado de los babilonios. Sesenta segundos forman un minuto y sesenta minutos una hora o un grado.

Las cifras o números que utilizamos actualmente se suelen conocer como cifras árabes, pues fueron los árabes quienes las introdujeron en Europa en el siglo X a través de la España musulmana. Al parecer, los árabes tomaron este sistema de numeración de la India.

La esfera de un reloj está dividida en 12 partes. Cada una de éstas se subdivide a su vez en 5 partes, de forma que 12 · 5 = 60.

NÚMEROS NATURALES

Si preguntamos a un niño de dos años cuántos años tiene, posiblemente nos contestará extendiendo dos dedos. Los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, ...) son los primeros que aprendemos e, históricamente, fueron los primeros en aparecer. Estudiaremos las operaciones matemáticas que se efectúan con ellos y descubriremos que son absolutamente insuficientes, puesto que en muchos casos dichas operaciones no podrán realizarse.

Con los números naturales podemos confeccionar códigos identificativos, como los códigos de barras.

Si los utilizamos para ordenar los elementos de un conjunto, se llaman primero, segundo, tercero, cuarto, etc.

Los números naturales se emplean para contar.

SUMA DE NÚMEROS NATURALES

Cuando sumamos dos números naturales siempre obtenemos como resultado otro número natural. El conjunto de los números naturales comienza en el uno, pero no tiene fin, ya que, por muy grande que sea un número, si le sumamos otro, obtendremos siempre un número mayor. Por eso decimos que es infinito.

Intenta colocar los números que faltan en los círculos, de forma que todas las líneas de esta estrella mágica sumen la misma cantidad.

En muchas ocasiones de la vida cotidiana debemos recurrir a la suma. Marta, por ejemplo, ha sumado el número de discos que posee con el número de discos de su hermano Miguel Ángel. Así, ha calculado la cantidad de discos que tienen entre los dos.

RESTA

Cuando trabajamos únicamente con números naturales, la resta sólo se puede realizar si el primer número, llamado minuendo, es mayor que el segundo, que recibe el nombre de sustraendo. De este modo, por ejemplo, podremos restar 6 – 2 = 4, pero no podremos restar 7 – 9.

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación de dos números naturales siempre da como resultado un número natural y equivale a una suma repetida: 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.

Los dos números que se multiplican se llaman factores y el resultado recibe el nombre de producto.

Para calcular el número de localidades de un auditorio podemos multiplicar la cantidad de asientos que hay en cada fila por el número de filas.

DIVISIÓN

La división consiste en repartir una cantidad, llamada dividendo, en un número de partes iguales, denominado divisor. El resultado recibe el nombre de cociente.

Cuando trabajamos únicamente con números naturales, la división no siempre puede realizarse. Con seis libros podemos formar tres grupos de dos. En este caso, decimos que la división es exacta. En cambio, con cinco podremos formar dos grupos y sobrará un libro. En este caso, la división se llama entera y al número que sobra se le denomina resto.

POTENCIACIÓN

Una potencia es una operación que consiste en multiplicar un número, llamado base, por sí mismo tantas veces como indica otro número, denominado exponente: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

El resultado de una potencia de base y exponente naturales siempre es un número natural.

UNA OPERACIÓN INVERSA

La división es la operación inversa de la multiplicación: al dividir 8 entre 4, tenemos que buscar un número que multiplicado por 4 dé como resultado 8.

RADICACIÓN

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en buscar un número que elevado al índice dé como resultado el radicando: ya que 2³ = 8.

Existen muchos números naturales que no tienen raíz exacta. En estos casos, sobrará un resto.

Para representar los números naturales dibujamos una recta (en este caso hemos utilizado una regla). En un punto cualquiera colocamos el origen O. Elegimos una medida cualquiera y la vamos llevando hacia la derecha a partir del origen. De esta manera determinaremos la posición de cada número natural.