Kitabı oku: «Elementos. Libros V-IX»

BIBLIOTECA CLÁSICA GREDOS, 191

Asesor para la sección griega: CARLOS GARCÍA GUAL .

Según las normas de la B. C. G., la traducción de este volumen ha sido revisada por PALOMA ORTIZ .

© EDITORIAL GREDOS, S. A.

Sánchez Pacheco, 85, Madrid, 1994.

www.editorialgredos.com

PRIMERA EDICIÓN , 1994.

REF. GEBO294

ISBN 9788424932237.

NOTA SOBRE LA PRESENTE TRADUCCIÓN

La presente traducción sigue la edición de J. L. Heiberg y H. Mengue, Euclidis Opera omnia , vols. I-IV, Leipzig, 1883-1886. Como en el volumen anterior, pongo entre paréntesis aquellas palabras o frases que no aparecen en el texto griego y que considero necesarias para la comprensión del mismo.

Por otra parte, dada la importancia de la formulación original de la relación de proporción hos… hoútos: «como… es a…, así… es a…», mantendré esta traducción, a pesar de que en castellano su forma más frecuente es: «…es a… como… es a…».

Conste, en fin, mi agradecimiento a Luis Vega por su colaboración en las notas.

LIBRO QUINTO

DEFINICIONES

1.Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor ¹ .

2.Y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor.

3.Una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas ² .

4.Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra ³ .

5.Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón ⁴ con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente ⁵ .

6.Llámense proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón ⁶ .

7.Entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta ⁷ .

8.Una proporción entre tres términos es la menor posible ⁸ .

9.Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la tercera una razón duplicada de la que (guarda) con la segunda.

10.Cuando cuatro magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la cuarta una razón triplicada de la que (guarda) con la segunda, y así siempre, sucesivamente, sea cual fuere la proporción ⁹ .

11.Se llaman magnitudes correspondientes las antecedentes en relación con las antecedentes y las consecuentes con las consecuentes ¹⁰ .

12.Una razón por alternancia consiste en tomar el antecedente en relación con el antecedente y el consecuente en relación con el consecuente ¹¹ .

13.Una razón por inversión consiste en tomar el consecuente como antecedente en relación con el antecedente como consecuente ¹² .

14.La composición de una razón consiste en tomar el antecedente junto con el consecuente como una sola (magnitud) en relación con el propio consecuente ¹³ .

15.La separación de una razón consiste en tomar el exceso por el que el antecedente excede al consecuente en relación con el propio consecuente ¹⁴ .

16.La conversión de una razón consiste en tomar el antecedente en relación con el exceso por el que el antecedente excede al consecuente ¹⁵ .

17.Una razón por igualdad ¹⁶ se da cuando, habiendo varias magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, sucede que como la primera es a la última—entre las primeras magnitudes—, así —entre las segundas magnitudes— la primera es a la última; o, dicho de otro modo, consiste en tomar los extremos sin considerar los medios ¹⁷ .

18.Una proporción perturbada ¹⁸ se da cuando habiendo tres magnitudes y otras iguales a ellas en número, sucede que como el antecedente es al consecuente —entre las primeras magnitudes—, así —entre las segundas magnitudes—el antecedente es al consecuente, y como el consecuente es a alguna otra (magnitud) —entre las primeras magnitudes—, así —entre las segundas magnitudes—alguna otra (magnitud) es al antecedente ¹⁹ .

PROPOSICIÓN 1

Si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras magnitudes iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán todas de todas .

Sean un número cualquiera de magnitudes AB , ΓΔ respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras magnitudes E , Z iguales en número.

Digo que, cuantas veces AB sea múltiplo de E , tantas veces lo serán también AB , ΓΔ de E , Z .

Pues dado que AB es equimúltiplo de E y ΓΔ de Z , entonces, cuantas magnitudes iguales a E hay en AB , tantas hay también en ΓΔ iguales a Z . Divídase AB en las magnitudes AH , HB iguales a E y ΓΔ en las (magnitudes) ΓΘ , ΘΔ iguales a Z ; entonces el número de las (magnitudes) AH , HB será igual al número de las (magnitudes) ΓΘ , ΘΔ . Ahora bien, como AH es igual a E y ΓΘ a Z , entonces AH es igual a E y AH , ΓΘ a E , Z . Por lo mismo, HB es igual a E y HB , ΘΔ a E , Z ; por tanto, cuantas (magnitudes) hay en AB iguales a E , tantas hay también en AB , ΓΔ iguales a E , Z ; luego cuantas veces sea AB múltiplo de E , tantas veces lo serán también AB , ΓΔ de E , Z .

Por consiguiente, si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras magnitudes iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán también todas de todas. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 2

Si una primera (magnitud) es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta .

Pues sea la primera (magnitud), AB , el mismo múltiplo de la segunda, Γ , que la tercera, ΔE , de la cuarta, Z , y sea la quinta, BH , el mismo múltiplo de la segunda, Γ , que la sexta, EΘ , de la cuarta, Z .

Digo que la suma de la primera y la quinta, AH , es el mismo múltiplo de la segunda, Γ , que la (suma de) la tercera y la sexta, ΔΘ , de la cuarta, Z .

Pues, dado que AB es el mismo múltiplo de Γ que ΔE de Z , entonces, cuantas (magnitudes) hay en AB iguales a Γ , tantas hay también en ΔE iguales a Z . Y, por lo mismo, cuantas (magnitudes) hay en BH iguales a Γ , tantas hay también en EΘ iguales a Z ; así pues, cuantas (magnitudes) hay en la (magnitud) entera AH iguales a Γ , tantas hay también en la (magnitud) entera ΔΘ iguales a Z ; por tanto, cuantas veces AH es múltiplo de Γ , tantas veces lo será ΔΘ de Z . Luego la suma de la primera y la quinta, AH , será también el mismo múltiplo de la segunda, Γ , que la (suma de) la tercera y la sexta, ΔΘ , de la cuarta, Z .

Por consiguiente, si una primera (magnitud) es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 3

Si una primera (magnitud) es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y se toman equimúltiplos de la primera y la tercera, también por igualdad ²⁰ cada una de las dos (magnitudes) tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda, y la otra de la cuarta .

Pues sea la primera, A , el mismo múltiplo de la segunda, B , que la tercera, Γ , de la cuarta, Δ , y tómense los equimúltiplos EZ , HΘ de A , Γ .

Digo que EZ es el mismo múltiplo de B que HΘ de Δ .

Pues dado que EZ es el mismo múltiplo de A que EZ de Γ , entonces, cuantas (magnitudes) hay en EZ iguales a A , tantas hay también en HΘ iguales a Γ . Divídase EZ en las magnitudes EK , KZ iguales a A , y HΘ en las (magnitudes) HΛ , ΛΘ iguales a Γ . Entonces el número de las (magnitudes) EK , KZ será igual al número de las (magnitudes) HΛ , ΛΘ . Y puesto que A es el mismo múltiplo de B que Γ de Δ , mientras que EK es igual a A y HΛ a Γ , entonces EK es el mismo múltiplo de B que HΛ de Δ . Por lo mismo KZ es el mismo múltiplo de B que ΛΘ de Δ . Así pues, dado que la primera, EK , es el mismo múltiplo de la segunda, B , que la tercera, HΛ , de la cuarta, Δ , y la quinta, KZ , también es el mismo múltiplo de la segunda, B , que la sexta, ΛΘ , de la cuarta, Δ ; entonces la suma de la primera y la quinta, EZ , es también el mismo múltiplo de la segunda, B , que la (suma de) la tercera y la sexta, HΘ , de la cuarta, Δ [V, 2].

Por consiguiente, si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y se toman equimúltiplos de la primera y la tercera, también, por igualdad, cada una de las dos (magnitudes) tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda y la otra de la cuarta. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 4

Si una primera (magnitud) guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera guardarán la misma razón con cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente .

Pues guarde la primera (magnitud), A , la misma razón con la segunda, B , que la tercera, Γ , con la cuarta, Δ , y tómense los equimúltiplos E , Z de A , Γ , y otros equimúltiplos tomados al azar ²¹ H , Θ , de B , Δ .

Digo que como E es a H , así Z es a Θ .

Pues tómense los equimúltiplos K , Λ de E , Z , y otros equimúltiplos tomados al azar, M , N de H , Θ .

Dado que E es el mismo múltiplo de A que Z de Γ , y se han tomado los equimúltiplos K , Λ de E , Z , entonces K es el mismo múltiplo de A que Λ de Γ [V, 3]. Por lo mismo M es el mismo múltiplo de B que N de Λ . Ahora bien, puesto que A es a B como Γ a Δ , y se han tomado los equimúltiplos K , Λ de A , Γ y otros equimúltiplos tomados al azar M , N de B , Δ , entonces, si K excede a M , Λ también excede a N , y si es igual, es igual, y si menor, menor [V, Def. 5]. Ahora bien, K , Λ son equimúltiplos de E , Z , y M , N otros equimúltiplos tomados al azar de H , Θ ; por tanto como E es a H , así Z a Θ [V, Def. 5].

Por consiguiente, si una primera (magnitud) guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera guardarán la misma razón con cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 5

Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra que una (magnitud) quitada (a la primera) lo es de otra quitada (a la segunda), la (magnitud) restante (de la primera) será también el mismo múltiplo de la (magnitud) restante (de la segunda) que la (magnitud) entera de la (magnitud) entera .

Pues sea la magnitud AB el mismo múltiplo de la (magnitud) ΓΔ que la (magnitud) quitada AE de la (magnitud) quitada ΓZ .

Digo que la (magnitud) restante EB será también el mismo múltiplo de la (magnitud) restante ZΔ que la (magnitud) entera AB de la (magnitud) entera ΓΔ .

Así pues, cuantas veces sea AE múltiplo de ΓZ , tantas veces lo sea EB de ΓH ²² .

Y dado que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de HΓ , entonces AE es el mismo múltiplo de ΓZ que AB de HZ [V, 1]. Pero se ha asumido ²³ que AE sea el mismo múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ . Por tanto, AB es el mismo múltiplo de cada una de las dos (magnitudes) HZ , ΓΔ ; luego HZ es igual a ΓΔ . Quítese de ambas ΓZ ; entonces la restante HΓ es igual a la restante ZΔ . Y puesto que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de HΓ , y HΓ es igual a ΔZ , entonces AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de ZΔ . Pero se ha supuesto que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ ; por tanto EB es el mismo múltiplo de ZΔ que AB de ΓΔ . Luego la restante (magnitud) EB también será el mismo múltiplo de ZΔ que la (magnitud) entera AB de la (magnitud) entera ΓΔ .

Por consiguiente, si una magnitud es el mismo múltiplo de otra que una (magnitud) quitada (a la primera) lo es de otra quitada (a la segunda), la (magnitud) restante (de la primera) será también el mismo múltiplo de la (magnitud) restante (de la segunda) que la (magnitud) entera de la (magnitud) entera. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 6

Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas (magnitudes) quitadas (de ellas) son equimúltiplos de estas (dos segundas), las restantes también son o iguales a las mismas o equimúltiplos de ellas .

Pues sean dos magnitudes AB , ΓΔ equimúltiplos de dos magnitudes E , Z , y sean las (magnitudes) quitadas AH , ΓΘ equimúltiplos de las mismas E , Z .

Digo que las (magnitudes) restantes HB , ΘΔ también son iguales a E , Z o equimúltiplos de ellas.

Pues sea en primer lugar HB igual a E .

Digo que ΘΔ es también igual a Z .

Así pues, hágase ΓK igual a Z . Dado que AH es el mismo múltiplo de E que ΓΘ de Z , y que HB es igual a E y KΓ a Z , entonces AB es el mismo múltiplo de E que KΘ de Z [V, 2]. Pero se ha supuesto que AB es el mismo múltiplo de E que ΓA de Z ; por tanto KΘ es el mismo múltiplo de Z que ΓΔ de Z . Así pues, dado que cada una de las (magnitudes) KΘ , ΓΔ es el mismo múltiplo de Z , entonces KΘ es igual a ΓΔ . Quítese de ambos ΓΘ ; entonces la (magnitud) restante KΓ es igual a la (magnitud) restante ΘΔ . Pero Z es igual a KΓ ; entonces ΘΔ también es igual a Z . De modo que si HB es igual a E , también ΘΔ será igual a Z .

De manera semejante demostraríamos que, si HB es múltiplo de E , ΘΔ será también el mismo múltiplo de Z ²⁴ .

Por consiguiente, si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes, y ciertas (magnitudes) quitadas (de ellas) son equimúltiplos de estas (dos segundas), las restantes también son o iguales a las mismas o equimúltiplos de ellas. Q . E . D . ²⁵ .

PROPOSICIÓN 7

Las (magnitudes) iguales guardan la misma razón con una misma (magnitud) y la misma (magnitud) guarda la misma razón con las (magnitudes) iguales .

Sean A , B las magnitudes iguales y Γ otra, tomada al azar ²⁶ .

Digo que cada una de las (magnitudes) A , B guarda la misma razón con Γ y Γ con cada una de las (magnitudes) A , B .

Pues tómense los equimúltiplos Δ , E de A , B y otro equimúltiplo al azar, Z de Γ .

Así pues, dado que Δ es el mismo múltiplo de A que E de B , y A es igual a B , entonces Δ es también igual a E . Pero Z es otra (magnitud) tomada al azar. Entonces, si Δ excede a Z , E también excede a Z , y si es igual es igual, y si es menor, menor. Ahora bien, Δ , E son equimúltiplos de A , B , y Z otro equimúltiplo, al azar, de Γ ; entonces, como A es a Γ , así B es a Γ [V, Def. 5].

Digo que Γ guarda también la misma razón con cada una de las (magnitudes) A , B .

Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que Δ es igual a E ; pero Z es alguna otra (magnitud), entonces, si Z excede a Δ , excede también a E , y si es igual, también es igual, y si es menor, menor. Ahora bien, Z es múltiplo de Γ , mientras que Δ , E son otros equimúltiplos, tomados al azar de A , B ; por tanto, como Γ es a A , así Γ es a B [V, Def. 5].

Por consiguiente, las (magnitudes) iguales guardan la misma razón con una misma (magnitud) y la misma (magnitud) (guarda la misma razón) con las (magnitudes) iguales.

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si algunas magnitudes son proporcionales, también son proporcionales por inversión [V, Def. 13]. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 8

De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma (magnitud) una razón mayor que la menor, y la misma (magnitud) guarda con la menor una razón mayor que con la mayor .

Sean AB , Γ magnitudes desiguales, y sea la mayor AB , y otra, al azar, Δ .

Digo que AB guarda con Δ una razón mayor que Γ con Δ , y Δ guarda con Γ una razón mayor que con AB .

Pues como AB es mayor que Γ , hágase BE igual a Γ , entonces la menor de las (magnitudes) AE , EB , multiplicada, será alguna vez mayor que Δ [V, Def. 4]. En primer lugar, sea AE menor que EB , y multiplíquese AE , y sea su múltiplo ZH que es mayor que Δ , y, cuantas veces ZH es múltiplo de AE , tantas veces lo sea también HΘ de EB y K de Γ ; tómese Λ doble de Δ y M triple (de Δ ), y así sucesivamente ²⁷ hasta que el múltiplo tomado de Δ sea el primero mayor que K . Tómese y sea N , el cuádruplo de Δ , el primero mayor que K .

Así pues, dado que K es el primero menor que N , entonces K no es menor que M ; y, dado que ZH es el mismo múltiplo de AE que HΘ de EB , entonces ZH es el mismo múltiplo de AE que ZΘ de AB [V, 1]. Ahora bien, ZH es el mismo múltiplo de AE que K de Γ ; luego ZΘ es el mismo múltiplo de AB que K de Γ . Por tanto ZΘ , K son equimúltiplos de AB , Γ . Como HΘ es a su vez el mismo múltiplo de EB que K de Γ , y EB es igual a Γ , entonces HΘ es también igual a K ; pero K no es menor que M ; por tanto HΘ tampoco es menor que M . Pero ZH es mayor que Δ ; así pues, la (magnitud) entera ZΘ es mayor que Δ y M juntas.

Ahora bien, Δ y M juntas son iguales a N , puesto que M es efectivamente el triple de Δ , mientras que M y Δ juntas son el cuádruple de Δ , y N es también el cuádruple de Δ ; por tanto M y Δ juntas son iguales a N . Pero ZΘ es mayor que M , Δ ; luego ZΘ excede a N ; mientras que K no excede a N . Y ZΘ , K son equimúltiplos de AB , Γ , mientras que N es otro (múltiplo), tomado al azar, de Δ ; por consiguiente AB guarda una razón mayor con Δ que Γ con Δ [V, Def. 7].

Digo además que Δ guarda también una razón mayor con Γ que Δ con AB .

Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que N excede a K , mientras que N no excede a ZΘ . Y N es múltiplo de Δ , mientras que ZΘ , K son otros equimúltiplos tomados al azar de AB , Γ ; por consiguíente Δ guarda con Γ una razón mayor que Δ con AB [V, Def. 7].

Sea ahora AE mayor que EB . Entonces la menor EB , multiplicada, será alguna vez mayor que Δ [V, Def. 4]. Multipliqúese y sea HΘ un múltiplo de EB , y mayor que Δ ; y, cuantas veces HΘ es múltiplo de EB , tantas veces sea también ZH múltiplo de AE y K de Γ . De manera semejante demostraríamos que ZΘ , K son equimúltiplos de AB , Γ ; tómese parejamente N como múltiplo de Δ y el primero mayor que ZH ; de modo que de nuevo ZH no es menor que M , y HΘ es mayor que Δ ; entonces la (magnitud) entera ZΘ excede a Δ , M , es decir a N . Pero K no excede a N , puesto que ZH que es mayor que HΘ , es decir que K , tampoco excede a N . Y del mismo modo siguiendo los pasos de arriba completamos la demostración.

Por consiguiente, de las magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma (magnitud) una razón mayor que la menor; y la misma (magnitud) guarda con la menor una razón mayor que con la mayor. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 9

Las (magnitudes) que guardan con una misma (magnitud) la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las que una misma (magnitud) guarda la misma razón, son iguales .

Pues guarde cada una de las (magnitudes) A , B la misma razón con Γ .

Digo que A es igual a B .

Pues, si no, cada una de las (magnitudes) A , B no guardaría la misma razón con Γ [V, 8]; pero la guarda; luego A es igual a B .

Guarde a su vez Γ la misma razón con cada una de las (magnitudes) A , B .

Digo que A es igual a B .

Pues, si no, Γ no guardaría la misma razón con cada una de las (magnitudes) A , B [V, 8]; pero la guarda; luego A es igual a B .

Por consiguiente, las (magnitudes) que guardan con una misma (magnitud) la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las que una misma (magnitud) guarda la misma razón, son iguales. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 10

De las (magnitudes) que guardan razón con una misma (magnitud), la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma (magnitud) guarda una razón mayor, es menor .

Pues guarde A con Γ una razón mayor que B con Γ .

Digo que A es mayor que B .

Pues, si no, o A es igual a B o es menor. Ahora bien, A no es igual a B : pues (entonces) cada una de las (magnitudes) A , B guardaría la misma razón con Γ [V, 7]; pero no la guarda; luego A no es igual a B . Ahora bien, A tampoco es menor que B : pues (entonces) A guardaría con Γ una razón menor que B con Γ [V, 8]; pero no la guarda; luego A no es menor que B . Y se ha demostrado que tampoco es igual. Por tanto A es mayor que B .

Guarde a su vez Γ con B una razón mayor que Γ con A .

Digo que B es menor que A .

Pues, si no, o es igual o es mayor. Ahora bien, B no es igual a A : pues (entonces) Γ guardaría con cada una de las (magnitudes) A , B la misma razón [V, 7]; pero no la guarda; luego A no es igual a B . Ahora bien, tampoco B es mayor que A : pues (entonces) Γ guardaría una razón menor con B que con A [V, 8]; pero no la guarda; luego B no es mayor que A . Y se ha demostrado que tampoco es igual; por tanto B es menor que A .

Por consiguiente, de las (magnitudes) que guardan razón con una misma (magnitud), la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma (magnitud) guarda mayor razón, es menor. Q . E . D . ²⁸ .

PROPOSICIÓN 11

Las razones que son iguales a una misma razón son también iguales entre sí ²⁹ .

Pues, como A es a B sea así Γ a Δ , y, como Γ es a Δ así E a Z .

Digo que como A es a B así E es a Z .

Tómense los equimúltiplos H , Θ , K de A , Γ , E y otros equimúltiplos, tomados al azar, Λ , M , N de B , Δ , Z .

Y puesto que como A es a B , así Γ es a Δ , y se han tomado los equimúltiplos H , Θ de A , Γ , y otros equimúltiplos, tomados al azar, Λ , M de B , Δ , entonces, si H excede a Λ , también Θ excede a M , y si es igual, es igual, y si menor, menor.

Asimismo, puesto que E es a Z como Γ es a Δ , y se han tomado los equimúltiplos Θ , K de Γ , E y otros equimúltiplos, tomados al azar, M , N de Δ , Z , entonces, si Θ excede a M , también K excede a N , y si es igual, es igual, y si menor, menor. Pero si Θ excede a M , también H excede a Λ , y si es igual, es igual, y si menor, menor; de modo que, si H excede a Λ , K excede también a N , y si es igual, es igual, y si menor, menor. Ahora bien, H , K son equimúltiplos de A , E , y Λ , N otros equimúltiplos, tomados al azar, de B , Z ; por tanto, como A es a B , así E a Z .

Por consiguiente, las razones que son iguales a una misma razón, también son iguales entre sí. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 12

Si un número cualquiera de magnitudes fueren proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así serán todas las antecedentes a las consecuentes ³⁰ .

Sean A , B , Γ , Δ , E , Z un número cualquiera de magnitudes proporcionales, (de modo que) como A es a B , así son Γ a Δ y E a Z .

Digo que como A es a B , así serán A , Γ , E a B , Δ , Z .

Tómense pues los equimúltiplos H , Θ , K de A , Γ , E y otros equimúltiplos, tomados al azar, Λ , M , N de B , Δ , Z .

Ahora bien, puesto que Γ es a Δ y E a Z como A es a B ; y se han tomado los equimúltiplos H , Θ , K de A , Γ , E ; y otros equimúltiplos, tomados al azar, Λ , M , N de B , Δ , Z ; entonces, si H excede a Λ , también Θ a M y K a N , y si es igual, igual, y si menor, menor. De modo que, si H excede a Λ , también H , Θ , K (exceden) a Λ , M , N , y si es igual, (son) iguales, y si menor, menores. Tanto H como H , Θ , K son equimúltiplos de A y de A , Γ , E , pues, en efecto, si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras magnitudes iguales en número, cuantas veces una de las magnitudes es múltiplo de otra, tantas veces lo serán también todas de todas [V, 1].

Por la misma razón, tanto Λ como Λ , M , N son equimúltiplos de B y de B , Δ , Z; luego, como A es a B , así A , Γ , E a B , Δ , Z [V, Def. 5].

Por consiguiente, si un número cualquiera de magnitudes fueren proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así serán todas las antecedentes a las consecuentes. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 13

Si una primera (magnitud) guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta .

Guarde pues la primera, A , con la segunda, B , la misma razón que la tercera, Γ , con la cuarta, Δ ; y guarde la tercera, Γ , con la cuarta, Δ , una razón mayor que la quinta, E , con la sexta, Z .

Digo que la primera, A , guardará también con la segunda, B , una razón mayor que la quinta, E , con la sexta, Z .

Pues como hay algunos equimúltiplos de Γ , E y otros equimúltiplos, tomados al azar, de Δ , Z , tales que el múltiplo de Γ excede al múltiplo de Δ pero el múltiplo de E no excede al múltiplo de Z [V, Def. 7], tómense y sean H , Θ equimúltiplos de Γ , E ; y K , Λ otros equimúltiplos al azar de Δ , Z , de modo que H exceda a K pero Θ no exceda a Λ ; y cuantas veces H sea múltiplo de Γ , tantas veces lo sea también M de A , y cuantas veces sea múltiplo K de Δ , tantas veces lo sea también N de B .

Y puesto que Γ es a Δ como A es a B , y se han tomado los equimúltiplos M , H de A , Γ y otros equimúltiplos, tomados al azar, N , K de B , Δ , entonces, si M excede a N , también H excede a K , y si es igual, es igual, y si menor, menor [V, Def. 5]. Pero H excede a K ; luego M también excede a N . Ahora bien, Θ no excede a Λ ; y M , Θ son equimúltiplos de A , E , mientras que N , Λ (son) otros equimúltiplos, tomados al azar, de B , Z ; luego A guarda con B una razón mayor que E con Z [V, Def. 7].

Por consiguiente, si una primera (magnitud) guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 14

Si una primera (magnitud) guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta y la primera es mayor que la tercera, la segunda será también mayor que la cuarta, y si es igual, será igual, y si menor, menor .

Guarde pues la primera, A , con la segunda, B , la misma razón que la tercera, Γ , con la cuarta, Δ , y sea A mayor que Γ .

Digo que también B es mayor que Δ .

Pues como A es mayor que Γ y B otra (magnitud), tomada al azar, entonces A guarda una mayor razón con B que Γ con B [V, 8]. Pero como A es a B , así Γ es a Δ ; entonces Γ guarda también con Δ una razón mayor que Γ con B [V, 13]. Ahora bien, aquella con la que una misma magnitud guarda una razón mayor, es menor [V, 10]; así pues, Δ es menor que B ; de modo que B es mayor que Δ .

De manera semejante demostraríamos que si A es igual a Γ , B también será igual a Δ y si A es menor que Γ , B será también menor que Δ .

Por consiguiente, si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y la primera es mayor que la tercera, la segunda será también mayor que la cuarta, y si es igual, igual, y si menor, menor. Q . E . D . ³¹ .

PROPOSICIÓN 15

Las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos ³² , tomados en el orden correspondiente .

Sea pues AB el mismo múltiplo de Γ que ΔE de Z .

Digo que como Γ es a Z , así AB a ΔE .

Pues dado que AB es el mismo múltiplo de Γ que ΔE de Z , entonces, cuantas magnitudes iguales a Γ hay en AB , otras tantas (habrá) iguales a Z en ΔE . Divídase AB en las (magnitudes) AH , HΘ , ΘB iguales a Γ , y ΔE en las (magnitudes) ΔK , KΛ , ΛE iguales a Z ; entonces el número de las (magnitudes) AH , HΘ , ΘB será igual al número de las (magnitudes) ΔK , KΛ , ΛE . Y puesto que AH , HΘ , ΘB son iguales entre sí y ΔK , KΛ , ΛE son también iguales entre sí, entonces, como AH es a ΔK , así HΘ a KΛ , y ΘB a ΛE [V, 7]. Por tanto, como una de las antecedentes es a una de las consecuentes, así todas las antecedentes serán también a todas las consecuentes [V, 12]; entonces, como AH es a ΔK , así AB a ΔE . Ahora bien, AH es igual a Γ , y ΔK a Z ; luego, como Γ es a Z , así AB a ΔE .

Por consiguiente, las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos tomados en el orden correspondiente. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 16

Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales .

Sean A , B , Γ , Δ , cuatro magnitudes proporcionales, (a saber) como A es a B , así Γ a Δ .

Digo que lo serán también por alternancia, (a saber) como A es a Γ así B a Δ .

Tómense los equimúltiplos E , Z de A , B y otros equimúltiplos, tomados al azar, H , Θ de Γ , Δ . Y puesto que E es el mismo múltiplo de A que Z de B , las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos [V, 15]; entonces, como A es a B así E a Z . Pero como A es a B , así Γ a Δ ; luego, como Γ es a Δ , así también E a Z [V, 11]. A su vez, puesto que H , Θ son equimúltiplos de Γ , Δ , entonces, como Γ es a Δ , así H a Θ [V, 15]. Pero como Γ es a Δ así E a Z ; luego como E es a Z , así también H a Θ [V, 11]. Ahora bien, si cuatro magnitudes son proporcionales, y la primera es mayor que la tercera, la segunda será también mayor que la cuarta, y si es igual, igual, y si es menor, menor [V, 14]. Por tanto, si E excede a H , también Z excede a Θ , y si es igual, es igual, y si menor, menor. Ahora bien, E , Z son equimúltiplos de A , B , y H , Θ , otros (equimúltiplos), tomados al azar, de Γ , Δ ; luego, como A es a Γ , así B a Δ [V, Def. 5].

Por consiguiente, si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 17

Si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por separación serán proporcionales ³³ .

Sean AB , BE , ΓΔ , ΔZ magnitudes proporcionales por composición (de modo) que como AB es a BE , así ΓΔ es a ΔZ .

Digo que también por separación serán proporcionales, de modo que, como AE sea a EB , así ΓZ será a ΔZ .

Pues tómense los equimúltiplos HΘ , ΘK , ΛM , MN de AE , EB , ΓZ , ZΔ y otros equimúltiplos, tomados al azar, KΞ , NΠ de EB , ZΔ .

Y dado que HΘ es el mismo múltiplo de AE que ΘK de EB , entonces HΘ es el mismo múltiplo de AE que HK de AB [V, 1]. Pero HΘ es el mismo múltiplo de AE que ΛM de ΓZ ; entonces HK es el mismo múltiplo de AB que ΛM de ΓZ . Como ΛM es a su vez el mismo múltiplo de ΓZ que MN de ZΔ , entonces ΛM es el mismo múltiplo de ΓZ que ΛN de ΓΔ [V, 1]. Pero ΛM era el mismo múltiplo de ΓZ que HK de AB ; así pues HK es el mismo múltiplo de AB que ΛN de ΓΔ . Por tanto HK , ΛN son equimúltiplos de AB , ΓΔ . Como ΘK es a su vez el mismo múltiplo de EB que MN de ZΔ , y KΞ es también el mismo múltiplo de EB que NΠ de ZΔ , la suma ΘΞ es también el mismo múltiplo de EB que MΠ de ZΔ [V, 2]. Ahora bien, dado que, como AB es a BE , así ΓΔ es a ΔZ , y se han tomado los equimúltiplos HK , ΛN de AB , ΓΔ y los equimúltiplos ΘΞ , MΠ de EB , ZΔ , entonces, si HK excede a ΘΞ , ΛN excede también a MΠ , y si es igual, es igual, y si menor, menor. Exceda HK a ΘΞ ; entonces, si se quita la (magnitud) común, ΘK , también HΘ excede a KΞ . Pero si HK excedía a ΘΞ , ΛN también excedía a MΠ ; luego ΛN excede también a MΠ , y si se quita la (magnitud) común MN , ΛM también excede a NΠ ; de modo que, si HΘ excede a KΞ , ΛM excede también a NΠ . De manera semejante demostraríamos que si HΘ es igual a KΞ , ΛM también será igual a NΠ , y si es menor, será menor. Ahora bien, HΘ , ΛM son equimúltiplos de AE , ΓZ , pero KΞ , NΠ son otros equimúltiplos tomados al azar de EB , ZΔ ; por tanto, como AE es a EB , así ΓZ a ZΔ .

Por consiguiente, si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por separación serán proporcionales. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 18

Si unas magnitudes son proporcionales por separación, también por composición serán proporcionales .

Sean AE , EB , ΓZ , ZΔ magnitudes proporcionales por separación, (de modo que) como AE es a EB , así ΓZ es a ZΔ .

Digo que también por composición serán proporcionales, (de modo que) como AB (es) a BE , así ΓΔ (será) a ΔZ .

Porque si ΓΔ no es a ΔZ como AB a BE , entonces, como AB es a BE , así ΓΔ será a una (magnitud) menor que ΔZ o a una mayor.

Sea en primer lugar proporcional a la menor ΔH . Dado que como AB es a BE , así ΓΔ es a ΔH , son magnitudes proporcionales por composición; así pues también serán proporcionales por separación [V, 17]. Por tanto, como AE es a EB , así ΓH a HΔ . Pero también se ha supuesto que como AE es a EB , así ΓZ a ZΔ . Luego, como ΓH es a HΔ , así ΓZ a ZΔ [V, 11]. Pero la primera ΓH es mayor que la tercera ΓZ ; entonces la segunda HΔ también es mayor que la cuarta ZΔ [V, 14]. Pero también menor; lo cual es imposible; por tanto no es el caso de que ΓΔ sea a una (magnitud) menor que ZΔ , como AB a BE . De manera semejante demostraríamos que tampoco es proporcional a una mayor; así pues será proporcional a la propia (ZΔ ).

Por consiguiente, si unas magnitudes son proporcionales por separación, también por composición serán proporcionales. Q . E . D . ³⁴ .

PROPOSICIÓN 19

Si como un todo es a otro todo, así es una (parte) quitada (de uno) a una (parte) quitada (de otro), la (parte) restante será también a la (parte) restante como el todo esal todo .

Pues como el todo AB es al todo ΓΔ , así sea la (parte) quitada AE a la (parte) quitada ΓZ .

Digo que la (parte) restante EB será también a la (parte) restante ZΔ como el todo AB es al todo ΓΔ .

Pues, dado que como AB es a ΓΔ , así AE es a ΓZ , también, por alternancia, como BA es a AE , así ΔΓ a ΓZ [V, 16]. Y puesto que son magnitudes proporcionales por composición, también por separación serán proporcionales [V, 17] (es decir) como BE es a EA , así ΔZ a ΓZ ; y, por alternancia, como BE es a ΔZ , así EA a ZΓ [V, 16]. Pero, como AE es a ΓZ , así se ha supuesto que el todo AB es al todo ΓΔ . Luego la (parte) restante EB será a la (parte) restante ZΔ como el todo AB es al todo ΓΔ [V, 11].

Por consiguiente, si como un todo es a otro todo, así es una (parte) quitada (de uno) a una (parte) quitada (del otro), la (parte) restante será también a la (parte) restante como el todo es al todo. Q . E . D .

[Y puesto que se ha demostrado que como AB es a ΓΔ , así EB a ZΔ , también por alternancia, como AB es a BE , así ΓΔ a ZΔ , luego son magnitudes proporcionales por composición; pero se ha demostrado que como BA es a AE , así ΔΓ es a ΓZ ; y esto es por conversión] ³⁵ .

Porisma:

A partir de esto queda claro que si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por conversión serán proporcionales. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 20

Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si , por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual, y si es menor, menor .

Sean A , B , Γ tres magnitudes y Δ , E , Z otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, (es decir que) como A es a B , así Δ es a E y como B es a Γ , así E a Z , y, por igualdad, sea mayor A que Γ .

Digo que Δ será también mayor que Z , y si es igual, igual, y si es menor, menor.

Pues dado que A es mayor que Γ y B es otra (magnitud) cualquiera, la mayor guarda con una misma (magnitud) una razón mayor que la menor [V, 8], entonces A guarda con B una razón mayor que Γ con B . Pero como A es a B , así Δ es a E , y por inversión, como Γ es a B , así Z es a E ; luego Δ también guarda con E una razón mayor que Z con E [V, 13]. Ahora bien, de las magnitudes que guardan razón con una misma (magnitud), la que guarda una razón mayor es mayor [V, 10]. Así pues Δ es mayor que Z . De manera semejante demostraríamos que, si A es igual a Γ , también Δ será igual a Z , y si es menor, menor.

Por consiguiente, si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual, y si es menor, menor. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 21

Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor .

Sean A , B , Γ tres magnitudes y Δ , Z , E otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, y sea su proporción perturbada (es decir que) como A es a B , así E a Z , y como B es a Γ , así Δ a E , y, por igualdad, sea A mayor que Γ .

Digo que Δ también será mayor que Z , y si es igual, igual, y si es menor, menor.

Pues como A es mayor que Γ , y B otra magnitud, entonces A guarda una razón mayor con B que Γ con B [V, 8]. Pero como A es a B , así E a Z , y por inversión, como Γ es a B , así E es a Δ . Por tanto E guarda una razón mayor con Z que E con Δ [V, 13]. Pero aquello con lo que una misma (magnitud) guarda una razón mayor es menor [V, 10], luego Z es menor que Δ , por tanto Δ es mayor que Z . De manera semejante demostraríamos que si A es igual a Γ , Δ será también igual a Z , y si menor, menor.

Por consiguiente, si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número, que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada; y si, por igualdad la primera es mayor que la tercera, la cuarta será también mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 22

Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón .

Sean A , B , Γ un número cualquiera de magnitudes y Δ , E , Z otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón (es decir que) como A es a B , así Δ es a E , y como B es a Γ , así E es a Z .

Digo que por igualdad guardarán también la misma razón (i. e . que como A es a Γ , así Δ es a Z ).

Pues tómense los equimúltiplos H , Θ de A , Δ y otros equimúltiplos tomados al azar K , Λ de B , E , y además otros equimúltiplos al azar M , N de Γ , Z .

Y dado que como A es a B , así Δ es a E , y se han tomado los equimúltiplos H , Θ de A , Δ y otros equimúltiplos tomados al azar K , Λ de B , E , entonces como H es a K así Θ a Λ [V, 4]. Por lo mismo, como K es a M , así Λ es a N . Así pues, dado que H , K , M son tres magnitudes y Θ , Λ , N otras magnitudes iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, entonces, por igualdad, si H excede a M , Θ también excede a N ; y si es igual, es igual; y si es menor, menor [V, 20]. Ahora bien, H , Θ son equimúltiplos de A , Δ , y M , N otros equimúltiplos tomados al azar de Γ , Z . Entonces como A es a Γ , así Δ es a Z [V, Def. 5].

Por consiguiente, si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 23

Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, por igualdad guardarán también la misma razón .

Pues sean A , B , Γ tres magnitudes y Δ , E , Z otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón y sea su proporción perturbada, (es decir que) como A es a B , así E a Z y como B es a Γ , así Δ a E .

Digo que como A es a Γ , así Δ es a Z .

Pues tómense los equimúltiplos H , Θ , K de A , B , Δ y otros equimúltiplos tomados al azar Λ , M , N de Γ , E , Z .

Y dado que H , Θ son equimúltiplos de A , B y las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos [V, 15] ³⁶ , entonces como A es a B , así H es a Θ . Por lo mismo, como E es a Z , así también M a N ; ahora bien, como A es a B , así E a Z ; entonces como H es a Θ , así M a N [V, 11]. Y dado que, como B es a Γ , así Δ a E , también, por alternancia, como B es a Δ , así Γ a E [V, 16]. Y puesto que Θ , K son equimúltiplos de B , Δ , y las partes guardan la misma razón que sus equimúltiplos, entonces como B es a Δ , así Θ a K [V, 15]. Ahora bien, como B es a Δ , así Γ a E ; luego también como Θ es a K , así Γ a E [V, 11]. A su vez, dado que Λ , M son equimúltiplos de Γ , E , entonces, como Γ es a E , así Λ a M [V, 15]. Ahora bien, como Γ es a E , así Θ a K ; luego también como Θ es a K , así Λ a M [V, 11]; y, por alternancia, como Θ es a Λ , así K es a M [V, 16]. Pero se ha demostrado también que como H es a Θ , así M a N .

Así pues, dado que H , Θ , Λ son tres magnitudes y K , M , N otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, entonces, por igualdad, si H excede a Λ , K también excede a N ; y si es igual, es igual; y si menor, menor [V, 21]. Pero H , K son equimúltiplos de A , Δ , y Λ , N de Γ , Z . Por tanto, como A es a Γ , así Δ es a Z .

Por consiguiente, si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, por igualdad guardarán también la misma razón. Q . E . D . ³⁷ .

PROPOSICIÓN 24

Si una primera (magnitud) guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntas, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta .

Pues guarde una primera (magnitud) AB con una segunda Γ la misma razón que una tercera ΔE con una cuarta Z ; y guarde una quinta BH con la segunda, Γ , la misma razón que la sexta, EΘ , con la cuarta Z .

Digo que, tomadas juntas, la primera y la quinta, AH , guardarán la misma razón con la segunda, Γ , que la tercera y la sexta, ΔΘ , con la cuarta Z .

Dado que BH es a Γ como EΘ a Z , entonces, por inversión, como Γ es a BH , así Z a EΘ . Puesto que AB es a Γ como ΔE a Z , y, como Γ es a BH , así Z a EΘ , entonces, por igualdad, como AB es a BH , así ΔE a EΘ [V, 22]. Ahora bien, puesto que las magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición [V, 18]; luego, como AH es a HB , así ΔΘ es a ΘE . Pero, como BH es a Γ , así EΘ a Z ; luego, por igualdad, como AH es a Γ , así ΔΘ es a Z [V, 22].

Por consiguiente, si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que una sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntas, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 25

Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor (juntas) son mayores que las dos restantes .

Sean AB , ΓΔ , E , Z cuatro magnitudes proporcionales, (es decir que) como AB es a ΓΔ , así E a Z ; y sea la mayor de ellas AB y la menor Z .

Digo que AB , Z son mayores que ΓΔ , E .

Pues hágase AH igual a E y ΓΘ igual a Z .

Dado que, como AB es a ΓΔ , así E es a Z , y E es igual a AH , mientras que Z (es igual) a ΓΘ , entonces como AB es a ΓΔ , así AH es a ΓΘ . Ahora bien, ya que el todo AB es al todo ΓΔ como la (parte) quitada AH es a la (parte) quitada ΓΘ , entonces la (parte) restante HB será a la (parte) restante ΘΔ como el todo AB es al todo ΓΔ [V, 19]. Pero AB es mayor que ΓΔ ; luego HB también (será) mayor que ΘΔ . Y dado que AH es igual a E y ΓΘ a Z , entonces AH , Z son iguales a ΓΘ , E . Y si, no siendo iguales HB , ΘΔ , y siendo mayor HB , se añaden AH , Z a HB y se añaden ΓΘ , E a ΘΔ , se sigue que AB , Z son mayores que ΓΔ , E .

Por consiguiente, si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor de ellas y la menor (juntas) son mayores que las dos restantes. Q . E . D .

¹ Méros «parte» se utiliza en los Elementos en dos sentidos: a) el más general de la noción común 5: «El todo es mayor que la parte»; b) como aquí, con el significado más restringido de lo que hoy llamaríamos «submúltiplo» o «parte alícuota». En este mismo sentido se utiliza en VII, Def. 3, cuya única diferencia con esta definición es el uso de «número» en lugar de «magnitud».

Aristóteles, Metafísica 1023b12, hace la siguiente precisión: «Se llama parte en un sentido aquello en que puede ser dividida una cantidad (pues siempre lo que se quita de una cantidad en cuanto cantidad se llama parte de ella: por ejemplo se dice que dos es en cierto sentido parte de tres) y en otro sentido (se llama parte) sólo a aquellas de entre ellas que miden al todo».

La noción de medida y la relación de medir a (y ser medido por) quedan indefinidas.

² Schḗsis katà pēlikótēta «relación con respecto a su tamaño». El sentido más común de pēlíkos es «cuán grande» referido con frecuencia a la edad. Nicómaco distingue entre pēlíkos referido a magnitud y posós referido a cantidad. Jámblico, a su vez, establece la diferencia entre pēlícon , que es continuo, como objeto de la geometría, y posón , que es discreto, como objeto de la aritmética. Tolemeo habla del «tamaño» de las cuerdas de un círculo. Simson traduce por «magnitud»; De Morgan prefiere una interpretación como «cuantuplicidad». «Tamaño» me parece la más acorde con el uso griego.

Por otro lado, Hankel y Simson, siguiendo a Barrow (Lectiones Cantabrigienses , Londres, 1684, Lect. III de 1666), piensan que esta definición es demasiado general y vaga, tiene un aire de noción más filosófica que matemática y apenas desempeña ningún papel en la teoría euclídea de la proporción. Hankel la considera además sospechosa por el uso de katà pēlikóteta , ya que esta expresión sólo aparece otra vez en VI, Def. 5 (pēlikótētes ). Simson sugiere la posibilidad de que sea una interpolación debida a un editor «menos inteligente que Euclides» (Simson, Los seis primeros libros y el undécimo y duodécimo de los Elementos de Euclides , págs. 308-309. Por lo demás, aparece en todos los manuscritos y no hay suficientes razones para no considerarla genuina.

Lógos , por otra parte, se aplicaba en principio a «razón» únicamente entre conmensurables frente a álogos «inconmensurable». En el libro V de los Elementos adquiere un sentido más amplio que abarca la razón de magnitudes tanto conmensurables como inconmensurables, pues ambas tienen la posibilidad de exceder una a otra cuando se multiplican.

Entre las definiciones 3 y 4, dos mss. y Campano insertan las siguientes palabras: analogía dè hē tòn lógōn tautótēs , «proporción es la igualdad de razones». Se trata de una interpolación posterior a Teón sacada de las obras de aritmética. Aristóteles habla de proporción como «igualdad de razones» en Ética Nicomáquea V 6, 1131a31, pero está claro que se refiere a números.

³ Los intérpretes de la teoría euclídea de la proporción han tomado esta definición en diversos sentidos. Hay quienes la han visto como una generalización de la relación de razón entre magnitudes homogéneas (V, Def. 3), capaz de cubrir tanto magnitudes conmensurables como magnitudes inconmensurables; pero ésta es una distinción no pertinente en el presente contexto. Más justo sería entender que la def. 4 excluye la mediación de dicha relación entre una magnitud finita y otra infinita del mismo género. Hay quienes amplían esta exclusión a las magnitudes infinitamente grandes e infinitamente pequeñas. Es cierto que el ámbito al que se refiere la teoría carece de una magnitud máxima, por esta def. 4, y de una magnitud mínima, por la proposición X 1. También cabe pensar que la matemática griega «clásica» viene a soslayar así ciertos usos del infinito en un sentido semejante al declarado por Aristóteles: los matemáticos no necesitan servirse de la idea de infinito (actual); les basta considerar objetos de la magnitud que quieran (Física 207b30 ss.), habida cuenta de la posibilidad de ir más allá de una magnitud finita dada, bien mediante adiciones sucesivas (en la línea de la def. 4) o bien mediante sustracciones sucesivas (en la línea de la prop. X 1).

En este punto parece obligado recordar un lema implícito en ciertas pruebas atribuidas a Eudoxo, que Arquímedes formulará como una asunción [lambanómenon ] expresa: dadas dos magnitudes geométricas desiguales (líneas, superficies, sólidos), la mayor excede a la menor en una magnitud tal que, añadida sucesivamente a sí misma, puede exceder a su vez a cualquier magnitud del mismo género que las relacionadas (Sobre la esfera y el cilindro I, lamb. 5; en Sobre espirales , la suposición se restringe a líneas y áreas; en Sobre la cuadratura de la parábola , a áreas). Así pues, cabe considerar que esta asunción de Arquímedes no se identifica con la def. 4, sino que en cierto modo la complementa. Euclides define una relación de razón entre magnitudes homogéneas en general por referencia a la multiplicación; Arquímedes postula, en cambio, una condición precisa para ciertas clases de magnitudes homogéneas (líneas, superficies, sólidos) y se remite a la adición de diferencias (una referencia similar hará Euclides luego, en la prop. X 1). Pero así mismo cabe sospechar que el proceder de Euclides es una reelaboración más alejada de las primicias eudoxianas que la vía de explicitación directa y específica seguida por Arquímedes.

⁴ Por regla general, adoptaré la expresión «guardar la misma razón» como traducción común de las diversas formulaciones de esta relación de proporción que aparecen en el texto: e.g. «estar en la misma razón [en t i aut i lógōi eînai ]», en esta def. 5; o «tener la misma razón [tòn autòn lógon échein ]», en la def. 6. Por lo demás, la fórmula más corriente en las proposiciones será: «como … (es) a …, así … (es) a … [hōs … pròs …, hoútōs … pròs …» —una variante: hoîos … potì …, kaì … potì …, que podría ser anterior, aparece en Arquitas B 2.

⁵ Suele considerarse que esta def. V, 5, constituye la piedra angular de la teoría de la proporción. Desde luego, suministra un criterio necesario y suficiente de proporcionalidad. Por otro lado, además de su importancia sistemática, ha adquirido relieve en una perspectiva histórica. No sólo podría ser una clave para determinar las relaciones entre el legado de Eudoxo y la reelaboración de Euclides; también reviste importancia a la hora de apreciar la suerte conocida por las versiones posteriores de la teoría euclídea misma. Por último, no estará de más advertir cierta diferencia entre la forma lógica de esta definición y la forma lógica de su aplicación habitual en las proposiciones demostradas por su mediación. La forma lógica de la def. 5 viene a ser la de una disyunción de conjunciones: siendo a , b , c , d unas magnitudes del dominio de la teoría, y m, n unos números naturales cualesquiera, se da una proporción a : b :: c : d si y sólo si: o ((m.a > n.b ) y (m.c > n.d )) o ((m.a = n.b ) y (m.c = n.d )) o ((m.a < n.b ) y (m.c < n.d )). Sin embargo, la forma lógica de su aplicación en la proposición V 11, por ejemplo, corresponde más bien a una conjunción de condiciones: (si m.a > n.b , entonces m.c > n.d ) y (si m.a = n.b , entonces m.c = m.d ) y (si m.a < n.b , entonces m.c < n.d ). Estas dos formas, de suyo, no son lógicamente equivalentes ni, por cierto, la primera implica la segunda. Pero en el contexto de la teoría, devienen efectivamente equivalentes gracias a la suposición implícita de que las magnitudes consideradas constituyen un sistema de objetos totalmente ordenado.

⁶ Más literalmente: «llámense en proporción» (análogon kaleísthō ). El uso de kaleísthō parece indicar que se trata de una estipulación del propio Euclides. Análogon es una expresión adverbial con un uso marcadamente especializado en matemáticas. Su sentido se corresponde con el de la expresión formularia anà lógon , empleada antes de Euclides: aparece, por ejemplo, en el fragmento B 2 de Arquitas sobre las proporciones musicales, en Platón (e.g. Fedón , 110d), o en Aristóteles (e.g. Meteor . 367a30 ss.). A. SZABÓ : Anfänge der griechischen Mathematik , Budapest, 1969, II §§ 13-16, propone algunas conjeturas filológicas e históricas de interés sobre el significado matemático de ambas expresiones. Euclides, por su parte, se sirve de análogon con cierta libertad, por ejemplo: para referirse a las magnitudes proporcionales en su conjunto —como en esta def. 6 o en la def. 9—, o para referirse a un término proporcional (a «una proporcional») —como en las props. VI 12, 16—. Por lo demás, esta especialización relativamente técnica de análogon no es compartida por otros términos relacionados como el sustantivo analogía o el adjetivo análogos , que enmarcan su posible significación matemática en una gama de usos más amplios, dentro de un sentido general de paralelismo, correspondencia o semejanza.

⁷ Esta definición depara un criterio de no proporcionalidad y completa, tras las defs. 4 y 5, el núcleo básico de la teoría euclídea. Sin embargo, también convendría declarar un supuesto adicional: la existencia de un cuarto término proporcional —obra tácitamente por ejemplo en la prueba de la prop. V 18, y sólo más adelante, en VI 12, Euclides se detiene a demostrar un caso particular: dadas tres rectas, hallar una cuarta proporcional—. Si a esta suposición se añade una condición de tricotomía congruente con el sistema ordenado de magnitudes al que se refiere la teoría, Euclides puede disponer de un recurso suplementario para probar una proposición (i.e. que a es a b como c es a d ), a saber: la reducción al absurdo de las alternativas de no proporción (i.e. que la razón de a a b sea mayor, o sea menor, que la razón de c a d ). Por otra parte, al margen de la deuda que la def. 5 tuviera contraída con algún criterio de proporcionalidad avanzado por Eudoxo, esta definición 7 parece, según todos los visos, original de Euclides.

⁸ Hankel cree que la presente definición ha sido interpolada, pues es superflua y utiliza, contra la costumbre de Euclides, la palabra hóros para el término de una proporción. Pero ya Aristóteles utiliza hóros en este sentido (Ética Nicomáquea , 113la31 ss.): «La proporción es una igualdad de razones y requiere, por lo menos, cuatro términos. Claramente, la proporción discreta requiere cuatro términos; pero también la continua, porque se sirve de uno de ellos como dos y lo menciona dos veces».

La distinción entre discreta y continua parece remontarse a los pitagóricos (cf. NICÓMACO , II 21, 5; 23, 2, 3) donde se utiliza synēmméne en lugar de synechḗs . Euclides no emplea los términos dierēmménē y synechḗs en esta correlación.

Por otra parte, las primeras palabras de la Def. 9, «cuando tres magnitudes son proporcionales», que parecen referirse a la def. 8, apoyan la idea de que esta última es genuina.

⁹ Está claro que «razón duplicada, triplicada… etc.» son meros casos particulares de la razón compuesta, siendo, de hecho, razones compuestas de dos, tres, etc. razones iguales.

Los geómetras griegos llamaban razón duplicada y triplicada a las que son iguales, respectivamente, al cuadrado y al cubo de una razón. Euclides utiliza los términos diplasíōn y triplasíōn y no diplásios y triplásios porque estos últimos se usaban frecuentemente en el sentido de razones de 2 a 1, 3 a 1, etc. En este caso, su esfuerzo por introducir rigor en la terminología tuvo un éxito sólo parcial, pues encontramos varios ejemplos de uso indiscriminado de estos términos en Arquímedes, Nicómaco y Papo.

Las cuatro magnitudes de la Def. V, 10, deben estar, por supuesto, en proporción continua aunque el texto griego no lo haga constar.

¹⁰ Utilizo «correspondientes» para verter homóloga , en vez del cultismo «homólogas» empleado en otras versiones al español. Euclides parece estipular aquí cierto sentido técnico para un término de uso común, y a esta actitud quiere aproximarse la versión presente. El sentido inicialmente previsto por Euclides se generalizó más tarde y, a partir de Arquímedes, homólogos llegó a significar unos elementos geométricos (segmentos, lados, diámetros) que ocupan parejo lugar en dos figuras que se comparan. Quizás en los Elementos VI 19, 20, ya se den algunos pasos hacia esta generalización.

¹¹ A partir de aquí nos encontramos con una serie de términos que se refieren a diversas transformaciones de razones o proporciones. En lás definiciones 12-17, Euclides los aplica a razones cuando describirían mejor proporciones, tal vez porque, al referirlas a proporciones, parecería que asume algo que todavía no se ha probado (cf. V 16, 7 por., 18, 17, 19 por.).

Enalláx «por alternancia», término general que no se usa exclusivamente en matemáticas, lo encontramos ya en Aristóteles (Analíticos Segundos I 5, 74al8: kaì tò análogon hoti enalláx ) «y que una proporción es por alternancia». En términos matemáticos se podría expresar de la siguiente forma: a : b :: c : d → a : c :: b : d .

¹² Anápalin «por inversión», término general que no se usa sólo en matemáticas, lo encontramos ya en Aristóteles aplicado a las proporciones (Del cielo I 6, 273b32). En términos matemáticos: a : b :: c : d → b : a :: c : d .

¹³ Sýnthesis lógou «composición de una razón» no es lo mismo que synkeímenos lógos «razón compuesta». Sin embargo, la distinción entre ambas no está clara en Euclides, que, por ejemplo, en V 17, utiliza synkeímenos refiriéndose a la composición de una razón. Los geómetras posteriores a Euclides utilizan synthénti o katà sýnthesin (Arquímedes) para referirse a la composición de una razón en un intento de deshacer la ambigüedad de los términos que todavía aparece en Euclides. Por otra parte los verbos syntíthēmi y synkeimai se utilizan también como «sumar» en otros contextos.

Sýnthesis lógou en expresión matemática:

¹⁴ Diaíresis lógou se refiere a la transformación:

Así como la «composición de una razón» se obtenía sumando el antecedente con el consecuente, la «separación de una razón» se obtiene restando el consecuente del antecedente. Sin embargo, la palabra griega diaíresis hace referencia a la «división» de una razón, lo mismo que dielónti por oposición a synthénti . Por otra parte, los términos griegos synthénti y dielónti dan lugar al uso de los latinos componendo y separando desde la Edad Media hasta nuestros días. Por todo ello, «separación de una razón» me parece la versión más adecuada.

¹⁵ Anastrophḗ «por conversión»:

La traducción al latín convertendo del participio anastrépsanti , paralelo a synthénti y dielónti , ha sido utilizada también desde la Edad Media.

¹⁶ Di’ísou lógos parece referirse a «igual distancia o intervalo», es decir, después de un número igual de términos intermedios. Una vez más la definición se aplicaría mejor a proporciones que a razones, pero no se prueba hasta V 22. Por tanto, la definición sirve sólo para dar nombre a cierta inferencia que es de constante aplicación en matemáticas:

La expresión di’ísou no aparece con frecuencia en contextos no geométricos (cf. empero Platón, República 617b); e incluso en estos contextos suele emplearse a través de la invocación o aplicación de proposicio nes euclídeas como V 22-23. Por otro lado, no deja de llamar la atención la composición un tanto explicativa de esta definición: «o, dicho de otro modo, …» En ella —justamente en la primera parte de esta definición nominal de proporción por igualdad, la que precede a la versión alternativa en términos congruentes con las defs. anteriores— se ha visto uno de los posibles casos de contaminación del texto euclídeo mediante la interpolación de ciertos teoremas en las definiciones mismas; vid . G. Aujac, «Les définitions du livre V d’Euclide dans la collection Héronienne et dans les Institutions de Cassiodore», Llull 11/20 (1988), 5-18.