Kitabı oku: «Elementos. Libros X-XIII»

LIBRO DÉCIMO

DEFINICIONES

1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible que haya una medida común.

2. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común ¹ .

3. Dados estos supuestos, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables e inconmensurables, unas sólo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Llámese entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien sólo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella llámense no racionalmente expresables ² .

4. Y el cuadrado de la recta determinada (llámese) racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con éste racionalmente expresables; pero los inconmensurables con él llámense no racionalmente expresables; y las rectas que los producen (llámense) no racionalmente expresablas, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas (rectas) que construyan cuadrados iguales a ellos ³ .

PROPOSICIÓN 1

Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una (magnitud) mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.

Sean AB , Γ dos magnitudes desiguales de las cuales AB es la mayor.

Digo que, si se quita de AB una (magnitud) mayor que su mitad y de la (magnitud) restante, una (magnitud) mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud Γ .

Pues Γ multiplicada será alguna vez mayor que AB [V Def. 4]. Multiplíquese y sea ΔE un múltiplo de Γ mayor que AB ; divídase ΔE en ΔZ , ZH , HE iguales a Γ , y de AB quítese BΘ mayor que su mitad, y de AΘ (quítese) ΘK mayor que su mitad, y así sucesivamente hasta que las divisiones de AB lleguen a ser iguales en número a las divisiones de ΔE .

Sean, pues, AK , KΘ , ΘB divisiones que son iguales en número a las (divisiones) ΔZ , ZH , HE ; ahora bien, dado que ΔE es mayor que AB y que de ΔE se ha quitado la (magnitud) EH menor que su mitad y de AB la (magnitud) BΘ mayor que su mitad, entonces la magnitud restante HΔ es mayor que la (magnitud) restante ΘA . Y dado que HΔ es mayor que ΘA y se ha quitado de HΔ su mitad HZ y de ΘA una (magnitud) ΘK mayor que su mitad, entonces la (magnitud) restante ΔZ es mayor que la (magnitud) restante AK . Pero ΔZ es igual a Γ ; luego es mayor que AK . Por tanto, AK es menor que Γ .

Por consiguiente, de la magnitud AB queda la magnitud AK que es menor que la magnitud dada Γ . Q . E . D . De manera semejante demostraríamos que (esto ocurre) también si se quita la mitad ⁴ .

PROPOSICIÓN 2

Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la restante nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.

Habiendo, pues, dos magnitudes desiguales AB , ΓΔ y (siendo) AB la menor, al restar sucesivamente la menor de la mayor, no mida nunca la (magnitud) restante a la anterior a ella.

Digo que las magnitudes AB , ΓΔ son inconmensurables.

Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud), si es posible, y sea E ; y AB , al medir a ZΔ , deje la magnitud ΓZ menor que ella, y ΓZ , al medir a BH , deje AH menor que ella, y repítase así sucesivamente hasta que quede una magnitud que sea menor que E . Sea así y quede AH menor que E . Así pues, como E mide a AB y AB mide a ΔZ , entonces E también medirá a ZΔ . Pero mide también a la magnitud entera ΓΔ ; luego medirá también a la magnitud restante ΓZ . Ahora bien, ΓZ mide a BH ; entonces E también mide a BH . Pero mide también a la (magnitud) entera AB ; así que medirá también a la (magnitud) restante AH , la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a las magnitudes AB , ΓΔ ; por tanto, las magnitudes AB , ΓΔ son inconmensurables [X Def. 1].

Por consiguiente, si de dos magnitudes desiguales..., etc. ⁵ .

PROPOSICIÓN 3

Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

Sean AB , ΓΔ dos magnitudes dadas conmensurables, de las cuales AB sea la menor.

Así pues, hay que hallar la medida común máxima de AB , ΓΔ .

Pues bien, AB o mide a ΓΔ o no la mide. Si, en efecto, la mide y se mide también a sí misma, entonces AB es una medida común de AB , ΓΔ ; y está claro que también es la mayor. Porque no medirá a AB ninguna magnitud mayor que AB .

Pero ahora no mida AB a ΓΔ y, al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor, la (magnitud) restante medirá alguna vez a la anterior a ella, porque AB , ΓΔ no son inconmensurables [X 2]; y AB , al medir a EΔ , deje la (magnitud) EΓ menor que ella, y EΓ , al medir a ZB , deje la (magnitud) AZ menor que ella y mida AZ a ΓE .

Como, en efecto, AZ mide a ΓE , mientras que ΓE mide a ZB , entonces AZ medirá también a ZB . Pero también se mide a sí misma; luego AZ medirá también a la (magnitud) entera AB . Ahora bien, AB mide a ΔE ; entonces AZ medirá también a EΔ . Pero mide también a ΓE ; luego mide también a la (magnitud) entera ΓΔ ; por tanto, AZ es una medida común de AB , ΓΔ .

Digo ahora que también es la mayor. Pues, si no, habrá una magnitud mayor que AZ que medirá a AB , ΓΔ . Sea H . Así pues, dado que H mide a AB , mientras que AB mide a EΔ , entonces H medirá a EΔ . Pero mide también a la (magnitud) entera ΓΔ ; luego H medirá también a la (magnitud) restante ΓE . Pero ΓE mide a ZB ; luego H medirá también a ZB . Pero también mide a la (magnitud) entera AB y medirá también a la (magnitud) restante AZ , la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud mayor que AZ medirá a AB , ΓΔ ; por tanto AZ es la medida común máxima de AB , ΓΔ .

Por consiguiente, se ha hallado la medida común máxima, AZ , de las dos magnitudes dadas AB , ΓΔ . Q . E . D .

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si una magnitud mide a dos magnitudes, medirá también a su medida común máxima ⁶ .

PROPOSICIÓN 4

Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

Sean A , B , Γ las tres magnitudes conmensurables dadas.

Así pues, hay que hallar la medida común máxima de A , B , Γ .

Tómese, pues, la medida común máxima de A , B y sea Δ [X 3]. Pues bien, o Δ mide a Γ o no la mide. En primer lugar, mídala. Así pues Δ mide a Γ , y mide también a A , B , entonces Δ mide a A , B , Γ ; por tanto Δ es una medida común de A , B , Γ . Y está claro que también la mayor, porque una magnitud mayor que la magnitud Δ no mide a A , B .

No mida ahora Δ a Γ .

Digo en primer lugar que Γ , Δ son conmensurables.

Porque como A , B , Γ son conmensurables, las medirá alguna magnitud que evidentemente medirá también a A , B ; de modo que la medida común máxima de A , B medirá también a Δ . Y mide también a Γ ; de modo que la antedicha magnitud medirá también a Δ , la medida común máxima de A , B [X 3 Por.], luego Γ , Δ son conmensurables.

Pues bien, tómese su medida común máxima y sea E [X 3]. Así pues, dado que E mide a Δ , mientras que Δ mide a A , B , entonces E medirá también a A , B . Pero mide también a Γ . Luego E mide a A , B , Γ ; por tanto E es una medida común de A , B , Γ .

Digo ahora que también la mayor.

Pues, si es posible, sea Z una magnitud mayor que E y mida a A , B , Γ . Ahora bien, puesto que Z mide a A , B , Γ , entonces medirá también a A , B y a la medida común máxima de A , B [X 3 Por.]. Pero la medida común máxima de A , B es Δ ; entonces Z mide a Δ . Pero mide también a Γ ; luego Z mide a Δ . Y mide también a Γ . Por tanto Z mide a Γ , Δ ; entonces Z medirá también a la medida común máxima de Γ , Δ [X 3 Por.]. Pero es E ; luego Z medirá a E , la mayor a la menor; lo cual es imposible. Por tanto, ninguna (magnitud) mayor que la magnitud E mide a A , B , Γ ; luego la medida común máxima de A , B , Γ es E , si Δ no mide a Γ , y si la mide, es la propia (magnitud) Δ .

Por consiguiente, se ha hallado la medida común máxima de las tres magnitudes conmensurables dadas.

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si una magnitud mide a tres magnitudes, medirá también a su medida común máxima.

De manera semejante se hallará la medida común máxima de más magnitudes y se extenderá el porisma. Q . E . D . ⁷ .

PROPOSICIÓN 5

Las magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número guarda con un número.

Sean A , B magnitudes conmensurables.

Digo que A guarda con B la misma razón que un número con un número.

Pues, como A , B son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud y sea Γ . Y cuantas veces Γ mida a A , tantas unidades haya en Δ , y cuantas veces Γ mida a B , tantas unidades haya en E .

Así pues, dado que Γ mide a A según las unidades de Δ y la unidad mide a Δ según sus unidades, entonces la unidad mide al número Δ el mismo número de veces que la magnitud Γ a la (magnitud) A ; luego, como Γ es a A , así la unidad es a Δ [VII Def. 20]; entonces, por inversión, como A es a Γ , así Δ a la unidad [V 7 Por.]. Como Γ mide a su vez a Δ según las unidades de E , mientras que la unidad mide también a E según sus unidades, entonces la unidad mide a E el mismo número de veces que Γ a B . Luego, como Γ es a B , así la unidad es al (número) E . Pero se ha demostrado que también como A es a Γ , Δ es a la unidad. Luego, por igualdad, como A es a B , así el número Δ es al (número) E [V 22].

Por consiguiente, las magnitudes conmensurables A , B guardan entre sí la misma razón que el número Δ con el número E . Q . E . D . ⁸ .

PROPOSICIÓN 6

Si dos magnitudes guardan entre sí la razón que un número (guarda) con un número, las magnitudes serán conmensurables.

Guarden, pues, las dos magnitudes A , B entre sí la razón que el número Δ (guarda) con el número E .

Digo que las magnitudes A , B son conmensurables.

Pues divídase A en tantas (magnitudes) iguales como unidades hay en Δ , y sea Γ igual a una de ellas; y compóngase Z de tantas unidades iguales a Γ como unidades hay en E .

Así pues, dado que, cuantas unidades hay en Δ , tantas magnitudes iguales a Γ hay en A , entonces, la parte que la unidad es de Δ , la misma parte es también Γ de A ; luego, como Γ es a A , así la unidad es a Δ [VII Def. 20]. Pero la unidad mide al número Δ ; entonces también Γ mide a A . Ahora bien, dado que, como Γ es a A , así la unidad es al (número) Δ , entonces, por inversión, como A es a Γ , así el número Δ es a la unidad [V 7 Por.]. Y puesto que, cuantas unidades hay en E , tantas hay a su vez en Z iguales a Γ , entonces como Γ es a Z , así la unidad es al (número) E [VII Def. 20]. Pero se ha demostrado que también como A es a Γ , así Δ a la unidad; entonces, por igualdad, como A es a Z , así Δ a E [V 22]; ahora bien, como Δ es a E , así A a B ; entonces, como A es a B , así también a Z [V 11]. Luego A guarda la misma razón con cada una de las (magnitudes) B , Z ; por tanto, B es igual a Z [V 9]. Pero Γ mide a Z ; luego mide también a B . Pero también a A ; luego Γ mide a A , B . Por tanto, A es conmensurable con B .

Por consiguiente, si dos magnitudes guardan entre sí..., etc.

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si hay dos números, como Δ , E , y una recta, como A , es posible hacer una recta [Z ] que sea a la recta como el número Δ es al número E . Pero, si se toma una media proporcional de A , Z , como B , como A es a Z , así el cuadrado de A será al cuadrado de B , es decir que como la primera es a la tercera, así la (figura) construida sobre la primera es a la figura semejante y construida de manera semejante sobre la segunda [VI 19 Por.]. Pero como A es a Z , así el número Δ es al número E ; entonces como el número Δ es al número E , así también la figura construida sobre la recta A ⁹ a la figura construida sobre la recta B . Q . E . D .

PROPOSICIÓN 7

Las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número.

Sean A , B , magnitudes inconmensurables.

Digo que A no guarda con B la razón que un número guarda con un número.

Pues, si A guarda con B la razón que un número guarda con un número, A será conmensurable con B [X 6]. Pero no lo es; por tanto, A no guarda con B la razón que un número guarda con un número.

Por consiguiente, las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón..., etc.

PROPOSICIÓN 8

Si dos magnitudes no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán inconmensurables.

No guarden, pues, entre sí las dos magnitudes A , B la razón que un número guarda con un número.

Digo que las magnitudes A , B son inconmensurables.

Pues, si son conmensurables, A guardará con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Pero no la guarda. por tanto, las magnitudes A , B son inconmensurables.

Por consiguiente, si dos magnitudes guardan entre sí..., etc.

PROPOSICIÓN 9

Los cuadrados de rectas conmensurables en longitud guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y los cuadrados que guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tendrán también los lados conmensurables en longitud. Pero los cuadrados de las rectas inconmensurables en longitud no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y los cuadrados que no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tampoco tendrán los lados conmensurables en longitud.

Sean, pues, A , B conmensurables en longitud.

Digo que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Pues como A es conmensurable en longitud con B , entonces A guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Γ a Δ . Pues bien, dado que, como A es a B , así Γ a Δ , mientras que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B una razón duplicada de la que A guarda con B , porque las figuras semejantes guardan una razón duplicada de la de sus lados correspondientes [VI 20 Por.]; y dado que el cuadrado de Γ guarda con el cuadrado de Δ una razón duplicada de la que Γ guarda con Δ , porque entre dos números cuadrados hay un número que es media proporcional, y el número cuadrado guarda con el número cuadrado una razón duplicada de la que el lado guarda con el lado [VIII 11]; luego como el cuadrado de A es al cuadrado de B , así el cuadrado de Γ es al cuadrado de Δ .

Pero ahora, como el cuadrado de A es al cuadrado de B , sea así el cuadrado de Γ al cuadrado de Δ .

Digo que A es conmensurable en longitud con B .

Pues, dado que, como el cuadrado de A es al cuadrado de B , así el cuadrado de Γ al de Δ, mientras que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B una razón duplicada de la que A guarda con B , y el cuadrado de Γ guarda con el cuadrado de Δ una razón duplicada de la que Γ guarda con Δ , entonces, como A es a B , así Γ a Δ . Luego A guarda con B la razón que el número Γ guarda con el número Δ . Por tanto A es conmensurable en longitud con B [X 6].

Sea ahora A inconmensurable en longitud con B .

Digo que el cuadrado de A no guarda con el de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Pues si el cuadrado de A guarda con el de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, A será conmensurable con B . Pero no lo es; luego el cuadrado de A no guarda con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

No guarde ahora el cuadrado de A con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Digo que A es inconmensurable en longitud con B .

Pues si A es conmensurable con B , el cuadrado de A guardará con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no la guarda; luego A no es conmensurable en longitud con B .

Por consiguiente, los cuadrados de (rectas) conmensurables en longitud, etc. ¹⁰ .

Porisma:

Y a partir de lo demostrado quedará claro que las rectas conmensurables en longitud también lo son siempre en cuadrado, mientras que las conmensurables en cuadrado no lo son siempre en longitud ¹¹ .

LEMA

Se ha demostrado en los libros de aritmética que los números planos semejantes guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado [VIII 26], y que si dos números guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, son números planos semejantes [VIII 26 conversa]. Y es evidente a partir de esto que los números planos no semejantes, es decir los que no tienen los lados proporcionales, no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; pues, si la guardan, serán planos semejantes; lo cual precisamente se ha supuesto que no; luego los números planos no semejantes no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado ¹² .

PROPOSICIÓN 10

Hallar dos rectas inconmensurables, una sólo en longitud, otra también en cuadrado, con una recta determinada.

Sea A la recta determinada.

Así pues, hay que hallar dos rectas inconmensurables, una sólo en longitud, otra también en cuadrado, con la recta determinada A .

Tómense, pues, dos números B , Γ que no guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, es decir que no sean números planos semejantes y hágase de forma que, como B es a Γ , así el cuadrado de A al cuadrado de Δ , pues hemos aprendido (a hacerlo) [X 6 Por.]; entonces, el cuadrado de A es conmensurable con el cuadrado de Δ [X 6]. Ahora bien, dado que B no guarda con Γ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de A tampoco guarda con el cuadrado de Δ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego A es inconmensurable en longitud con Δ [X 9].

Tómese la media proporcional E de A , Δ ; entonces, como A es a Δ , así el cuadrado de A es al cuadrado de E [V Def. 9]. Pero A es inconmensurable en longitud con Δ ; luego el cuadrado de A es también inconmensurable con el cuadrado de E [X 11]; por tanto A es inconmensurable en cuadrado con E .

Por consiguiente, se han hallado dos rectas inconmensurables, Δ , E , una, Δ , sólo en longitud y la otra, E , en cuadrado y también obviamente en longitud, con la recta determinada A ¹³ .

PROPOSICIÓN 11

Si cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es conmensurable con la segunda, también la tercera será conmensurable con la cuarta, y si la primera es inconmensurable con la segunda, la tercera será también inconmensurable con la cuarta.

Sean A , B , Γ , Δ cuatro magnitudes proporcionales, es decir: como A es a B , así Γ a Δ , y sea A conmensurable con B .

Digo que Γ también será conmensurable con Δ .

Pues como A es conmensurable con B , entonces A guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Y como A es a B , así Γ a Δ . Entonces Γ guarda también con Δ la razón que un número guarda con un número; luego Γ es conmensurable con Δ [X 6].

Pero ahora sea A inconmensurable con B .

Digo que Γ también será inconmensurable con Δ.

Pues como A es inconmensurable con B , entonces A no guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 7]. Y A es a B como Γ es a Δ. Entonces Γ tampoco guarda con Δ la razón que un número guarda con un número; luego Γ es inconmensurable con Δ [X 8].

Por consiguiente, si cuatro magnitudes..., etc.

PROPOSICIÓN 12

Las magnitudes conmensurables con una misma magnitud son también conmensurables entre sí.

Sea, pues, conmensurable cada una de las magnitudes A , B con la magnitud Γ .

Digo que A es también conmensurable con B .

Pues como A es conmensurable con Γ , entonces A guarda con Γ la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Δ a E . Puesto que a su vez Γ es conmensurable con B , entonces Γ guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Z a H . Y dadas cuantas razones se quiera, a saber, la de Δ a E y la de Z a H , tómense los números Θ , K , Λ sucesivamente en las razones dadas [VIII 4]; de modo que, como Δ es a E , así Θ a K , y como Z es a H , así K a Λ .

Así pues, dado que, como A es a Γ , así Δ a E , mientras que, como Δ es a E , así Θ a K , entonces como A es a Γ , así también Θ a K [V 11]. Y puesto que, como Γ es a B , así Z es a su vez a H , mientras que, como Z es a H , K es a Λ , entonces, como Γ es a B , así K a Λ [V 11]. Pero, como A es a Γ , así también Θ a K ; entonces, por igualdad, como A es a B , así Θ a Λ [V 22]. Luego A guarda con B la razón que el número Θ guarda con el número Λ ; por tanto A es conmensurable con B [X 6].

Por consiguiente, las (magnitudes) conmensurables con una misma magnitud son conmensurables entre sí. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 13

Si hay dos magnitudes conmensurables y una de ellas es inconmensurable con otra magnitud cualquiera, también la restante será inconmensurable con ella.

Sean A , B dos magnitudes conmensurables y una de ellas, A , sea inconmensurable con otra magnitud cualquiera, Γ .

Digo que la restante, B , es también inconmensurable con Γ .

Pues si B es conmensurable con Γ , y A es también conmensurable con B , entonces A es conmensurable con Γ [X 12]. Pero es también inconmensurable; lo cual es imposible. Por tanto B no es conmensurable con Γ ; luego es inconmensurable (con ella).

Por consiguiente, si dos magnitudes conmensurables..., etc.

LEMA

Dadas dos rectas desiguales hallar en cuánto el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor.

Sean AB , Γ las dos rectas desiguales dadas, de las cuales sea AB la mayor.

Así pues hay que hallar en cuánto es mayor el cuadrado de AB que el de Γ .

Descríbase sobre AB el semicírculo AΔB y adáptese a él la (recta) AΔ igual a Γ [IV 1] y trácese ΔB . Entonces está claro que el ángulo AΔB es recto [III 31] y que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de AΔ , es decir de Γ , en el cuadrado de ΔB [I 47].

De manera semejante, dadas dos rectas, se hallará la recta cuyo cuadrado es igual a los cuadrados de ellas, de la siguiente manera:

Sean AΔ , ΔB las dos rectas dadas y sea lo requerido hallar la recta cuyo cuadrado es igual a los cuadrados de ellas. Pónganse pues de modo que sea recto el ángulo comprendido por AΔ , ΔB, y trácese AB ; está claro de nuevo que AB es la (recta) cuyo cuadrado es igual a los de AΔ , ΔB [I 47]. Q . E . D . ¹⁴ .

PROPOSICIÓN 14

Si cuatro rectas son proporcionales, y el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta conmensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una (recta) conmensurable con la tercera. Y si el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta inconmensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella (la tercera).

Sean A , B , Γ , Δ cuatro rectas proporcionales (tales que) como A es a B , así Γ a Δ , y sea el cuadrado de A mayor que el de B en el cuadrado de E , y el cuadrado de Γ sea mayor que el de Δ en el cuadrado de Z .

Digo que si A es conmensurable con E , Γ será también conmensurable con Z , pero si A es inconmensurable con E , Γ será también inconmensurable con Z .

Pues, dado que, como A es a B , así Γ a Δ , entonces, como el cuadrado de A es al cuadrado de B , así también el cuadrado de Γ al de Δ [VI 22]. Pero los cuadrados de E , B son iguales al cuadrado de A , y los cuadrados de Δ , Z son iguales al cuadrado de Γ . Entonces, como los cuadrados de E , B son al cuadrado de B , así los cuadrados de Δ , Z al cuadrado de Δ ; luego, por separación, como el cuadrado de E es al cuadrado de B , así el cuadrado de Z al cuadrado de Δ [V 17]; por tanto, como E es a B , así Z a Δ [VI 22]; entonces, por inversión, como B es a E , así Δ a Z . Pero como A es a B , así también Γ a Δ ; luego, por igualdad, como A es a E , así Γ a Z [V 22]. Ahora bien, si A es conmensurable con E , Γ es también conmensurable con Z , pero si A es inconmensurable con E , Γ es también inconmensurable con Z [X 11].

Por consiguiente..., etc. ¹⁵ .

PROPOSICIÓN 15

Si se suman dos magnitudes conmensurables, la (magnitud) total también será conmensurable con cada una de ellas; y si la (magnitud) total es conmensurable con cada una de ellas, también las magnitudes iniciales serán conmensurables.

Súmense, pues, las dos magnitudes conmensurables AB , BΓ .

Digo que la (magnitud) total AΓ es también conmensurable con cada una de las (magnitudes) AB , BΓ .

Pues como AB , BΓ son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ . Así pues, dado que Δ mide a AB , BΓ , medirá también a la magnitud total AΓ . Pero mide también a AB , BΓ . Entonces Δ mide a AB , BΓ , AΓ . Luego AΓ es conmensurable con cada una de las magnitudes AB , BΓ [X Def. 1].

Pero ahora sea AΓ conmensurable con AB .

Digo que AB , BΓ son también conmensurables.

Pues como AΓ , AB son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ . Así pues, dado que Δ mide a ΓA , AB, entonces medirá también a la magnitud restante BΓ . Pero también mide a AB ; entonces Δ medirá a AB , BΓ . Luego AB, BΓ son conmensurables [X Def. 1]

Por consiguiente, si dos magnitudes..., etc.

PROPOSICIÓN 16

Si se suman dos magnitudes inconmensurables, la magnitud total también será inconmensurable con cada una de ellas; y si la magnitud total es inconmensurable con una de ellas, las magnitudes iniciales serán también inconmensurables.

Súmense, pues, las dos magnitudes inconmensurables AB , BΓ .

Digo que la (magnitud) total AΓ es inconmensurable con cada una de las (magnitudes) AB , BΓ .

Pues si ΓA , AB no son inconmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud), si es posible, y sea Δ . Así pues, como Δ mide a ΓA , AB , entonces, medirá también a la magnitud restante BΓ . Pero mide también a AB ; entonces Δ mide a AB , BΓ . Luego AB , BΓ son conmensurables; pero se ha supuesto que son inconmensurables; lo cual es imposible. Por tanto, ninguna magnitud medirá a ΓA , AB ; luego ΓA , AB son inconmensurables [X Def. 1]. De manera semejante demostraríamos que AΓ , ΓB son inconmensurables. Por tanto AΓ es inconmensurable con cada una de las magnitudes AB , BΓ .

Pero ahora sea AΓ inconmensurable con una de las (magnitudes) AB , BΓ . Séalo en primer lugar con AB .

Digo que AB , BΓ son también inconmensurables. Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ. Así pues, como Δ mide a AB, BΓ , entonces, medirá también a la (magnitud) total AΓ . Pero mide también a AB ; entonces Δ mide a ΓA , AB . Luego ΓA , AB son conmensurables; pero se ha supuesto que son inconmensurables; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a AB, BΓ ; por tanto AB , BΓ son inconmensurables.

Por consiguiente, si dos magnitudes..., etc.

LEMA

Si se aplica a una recta un paralelogramo deficiente en la figura de un cuadrado, el (paralelogramo) aplicado es igual al (rectángulo) producido por los segmentos de recta que resultan de la aplicación.

Aplíquese, pues, a la recta AB, el paralelogramo AΔ deficiente en la figura de un cuadrado, ΔB.

Digo que AΔ es igual al rectángulo comprendido por AΓ , ΓB .

Y esto queda claro por sí mismo: pues como ΔB es un cuadrado, ΔΓ es igual a ΓB , y AΔ es el (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓΔ , es decir, el (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB.

Por consiguiente, si se aplica una recta... etc. ¹⁶ .

PROPOSICIÓN 17

Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en (partes) conmensurables en longitud, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable con ella (la mayor). Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (la mayor), y se aplica a la mayor un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en (partes) conmensurables en longitud.

Sean A , BΓ dos rectas desiguales, de las cuales BΓ sea la mayor, y aplíquese a BΓ un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del (cuadrado) de la menor, A , es decir, al (cuadrado) de la mitad de A , y deficiente en la figura de un cuadrado. Y sea el (rectángulo comprendido) por BΔ , ΔΓ [Lema]. Y sea BΔ conmensurable en longitud con ΔΓ .

Digo que el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (BΓ ).

Divídase, pues, BΓ en dos partes iguales por el (punto) E , y hágase EZ igual a ΔE . Entonces, la restante ΔΓ es igual a BZ . Y dado que la recta BΓ ha sido dividida en partes iguales por el (punto) E y en partes desiguales por el (punto) Δ , entonces el rectángulo comprendido por BΔ , ΔΓ junto con el cuadrado de EΔ es igual al cuadrado de EΓ [II 5]; y (lo mismo vale) para sus cuádruples; entonces el cuádruple del (rectángulo comprendido) por BΔ , ΔΓ junto con el cuádruple del cuadrado de ΔE es igual al cuádruple del cuadrado de EΓ . Pero el cuadrado de A es igual al cuádruple del rectángulo comprendido por BΔ , ΔΓ , mientras que el cuadrado de ΔZ es igual al cuádruple del cuadrado de ΔE : porque ΔZ es el doble de ΔE . Pero el cuadrado de BΓ es igual al cuádruple del cuadrado de EΓ : porque BΓ es a su vez el doble de ΓE . Luego los cuadrados de las rectas A , ΔZ son iguales al cuadrado de BΓ ; de modo que el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de ΔZ ; luego el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el cuadrado de ΔZ ¹⁷ .

Hay que demostrar que BΓ es además conmensurable con ΔZ . Pues como BΔ es conmensurable en longitud con ΔΓ , entonces BΓ es conmensurable en longitud con ΓΔ [X 15]. Pero ΓΔ es conmensurable en longitud con ΓΔ , BZ : porque ΓΔ es igual a BZ [X 6]. Luego BΓ es conmensurable en longitud con BZ , ΓΔ [X 12]; de modo que BΓ también es conmensurable en longitud con la restante ZΔ [X 15]; luego el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (BΓ ).

Pues bien, sea mayor el cuadrado de BΓ que el cuadrado de A en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (BΓ ) y aplíquese a BΓ un paralelogramo igual a la cuarta parte del (cuadrado) de A y deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por BΔ , ΔΓ .

Hay que demostrar que BΔ es conmensurable en longitud con ΔΓ .

Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el cuadrado de ZΔ . Pero el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (BΓ ). Entonces BΓ es conmensurable en longitud con ZΔ ; de modo que BΓ también es conmensurable en longitud con el resto, a saber, la suma de BZ , ΔΓ [X 15]. Pero la suma de BZ , ΔΓ es conmensurable con ΔΓ [X 6]. De modo que BΓ es también conmensurable en longitud con ΔΓ [X 15].

Por consiguiente, si hay dos rectas desiguales..., etc.

PROPOSICIÓN 18

Si hay dos rectas desiguales y se aplica a la mayor un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en (partes) inconmensurables, el cuadrado de la mayor será mayor que el cuadrado de la menor en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella (la mayor). Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (la mayor) y se aplica a la mayor un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en (partes) inconmensurables.

Sean A , BΓ dos rectas desiguales, de las cuales sea BΓ la mayor, y aplíquese a BΓ un paralelogramo igual a la cuarta parte del (cuadrado) de la menor, A , y deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el (rectángulo) BΔΓ [Cf. lema anterior a X 17], y sea BΔ inconmensurable en longitud con ΔΓ .

Digo que el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una (recta) inconmensurable con ella (BΓ ).

Pues, siguiendo la misma construcción del (teorema) anterior, demostraríamos de manera semejante que el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el (cuadrado) de ZΔ .

Hay que demostrar que BΓ es inconmensurable en longitud con ΔZ . Pues como BΔ es inconmensurable en longitud con ΔΓ , entonces BΓ es también inconmensurable en longitud con ΓΔ [X 16]. Pero ΔΓ es conmensurable con la suma de BZ , ΔΓ [X 6]; entonces BΓ es inconmensurable con la suma de BZ , ΔZ [X 13]. De modo que BΓ es también inconmensurable en longitud con la restante ZΔ [X 16]. Y el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de ZΔ ; luego el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (BΓ ).

Sea a su vez el cuadrado de BΓ mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (BΓ ) y aplíquese a BΓ un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del (cuadrado) de A y deficiente en la figura de un cuadrado y sea el (rectángulo comprendido) por BΔ , ΔΓ .

Hay que demostrar que BΔ es inconmensurable en longitud con ΔΓ .

Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de ZΔ . Pero el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (BΓ ). Luego BΓ es inconmensurable en longitud con ZΔ ; de modo que BΓ es inconmensurable con el resto, es decir, con la suma de BZ , ΔΓ [X 16]. Pero la suma de BZ , ΔΓ es conmensurable en longitud con ΔΓ [X 6]; luego BΓ es inconmensurable en longitud con ΔΓ [X 13]; de modo que, por separación, BΔ es inconmensurable en longitud con ΔΓ [X 16]

Por consiguiente, si hay dos rectas..., etc.

LEMA

Puesto que queda demostrado que las (rectas) conmensurables en longitud lo son siempre también en cuadrado, mientras que las que lo son en cuadrado no lo son siempre también en longitud, sino que pueden ser, en efecto, conmensurables o inconmensurables en longitud, queda claro que, si una recta es conmensurable en longitud con una recta expresable ¹⁸ determinada, se llama expresable y conmensurable con ella no sólo en longitud sino también en cuadrado, porque las (rectas) conmensurables en longitud lo son siempre también en cuadrado. Ahora bien, si una recta es conmensurable en cuadrado con una (recta) expresable determinada, entonces, si lo es también en longitud, se dice que es expresable y conmensurable con ella en longitud y en cuadrado; pero si una recta, siendo a su vez conmensurable en cuadrado con otra recta expresable determinada, es inconmensurable en longitud con ella, en este caso también se llama expresable pero conmensurable sólo en cuadrado ¹⁹ .

PROPOSICIÓN 19

El rectángulo comprendido por rectas expresables conmensurables en longitud , según alguna de las formas antedichas es expresable ²⁰ .

Pues sea comprendido el rectángulo AΓ por las rectas expresables y conmensurables en longitud AB , BΓ .

Digo que AΓ es expresable.

Pues constrúyase sobre AB el cuadrado de AΔ . Entonces AΔ es expresable [X Def. 4]. Y como AB es conmensurable en longitud con BΓ , mientras que AB es igual a BΔ , entonces BΔ es conmensurable en longitud con BΓ . Y como BΔ es a BΓ , así ΔA a AΓ [VI 1]. Luego ΔA es conmensurable con AΓ [X 11]. Pero ΔA es expresable; luego AΓ es también expresable [X Def. 4].

Por consiguiente, el rectángulo comprendido..., etc.

PROPOSICIÓN 20

Si se aplica un (área) expresable a una (recta) expresable, produce como anchura una (recta) expresable y conmensurable en longitud con aquella a la que se ha aplicado.

Aplíquese, pues, el (área) expresable AΓ a la recta AB expresable una vez más según alguna de las formas antedichas, de modo que produzca como anchura BΓ .

Digo que BΓ es expresable y conmensurable en longitud con BA .

Pues constrúyase sobre AB el cuadrado de AΔ ; entonces AΔ es expresable [X Def. 4]. Pero también lo es AΓ ; luego ΔA es conmensurable con AΓ . Ahora bien, como ΔA es a AΓ , así ΔB a BΓ [VI 11]. Por tanto ΔB es conmensurable también con BΓ [X 11]; pero ΔB es igual a BA . Luego AB es conmensurable con BΓ . Ahora bien, AB es expresable; por tanto, BΓ es expresable y conmensurable en longitud con AB .

Por consiguiente, si se aplica un (área) expresable a una recta expresable..., etc.

PROPOSICIÓN 21

El rectángulo comprendido por rectas expresables y conmensurables sólo en cuadrado no es racionalmente expresable ²¹ y el lado del cuadrado igual a él tampoco es racionalmente expresable, llámese (este último) medial.

Sea, pues, comprendido el rectángulo AΓ por las rectas expresables y conmensurables sólo en cuadrado AB , BΓ .

Digo que AΓ no es expresable, y el lado del cuadrado igual a él tampoco es expresable, y llámese medial.

Pues constrúyase sobre AB el cuadrado AΔ ; entonces AΔ es expresable [X Def. 4]. Y como AB es inconmensurable en longitud con BΓ , porque se ha supuesto que es conmensurable sólo en cuadrado, mientras que AB es igual a BΔ , entonces ΔB es inconmensurable en longitud con BΓ . Ahora bien, como ΔB es a BΓ , así AΔ es a AΓ [VI 1]; luego ΔA es inconmensurable con AΓ [X 11]. Pero ΔA es expresable; luego AΓ no es expresable; de modo que el lado del cuadrado igual a AΓ tampoco es expresable, llámese medial. Q . E . D . ²² .

LEMA

Si hay dos rectas, como la primera es a la segunda, así el cuadrado de la primera al rectángulo comprendido por las dos rectas.

Sean ZE , EH dos rectas.

Digo que como ZE es a EH , así el (cuadrado) de ZE al (rectángulo comprendido) por ZE , EH .

Constrúyase, pues, sobre ZE , el cuadrado ΔZ , y complétese el (paralelogramo) HΔ . Así pues, dado que, como ZE es a EH , así ZΔ a ΔH [VI 1], y ZΔ es el (cuadrado) de ZE , mientras que ΔH es el (rectángulo comprendido) por ΔE , EH , es decir por ZE , EH , entonces como ZE es a EH , así el (cuadrado) de ZE al (rectángulo comprendido) por ZE , EH . De manera semejante, como el (rectángulo comprendido) por HE , HZ es al (cuadrado) de EZ , es decir, como HΔ es a ZΔ , así es HE a EZ . Q . E . D . ²³ .

PROPOSICIÓN 22

El (cuadrado) de una (recta) medial, si se aplica a una recta expresable, produce una anchura expresable e inconmensurable en longitud con aquella a la que se aplica.

Sea A la (recta) medial y ΓB la expresable, y aplíquese a BΓ el área rectangular BΔ igual al cuadrado de A , produciendo la anchura ΓΔ .

Digo que ΓΔ es expresable e inconmensurable en longitud con ΓB .

Pues como A es una medial, su cuadrado es igual a un área comprendida por rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado [X 21]. Sea su cuadrado igual a HZ . Pero su cuadrado también es igual a BΔ ; entonces BΔ es igual a HZ . Pero también son equiangulares; y en los paralelogramos iguales y equiangulares, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados [VI 14]. Luego, proporcionalmente, como BΓ es a EH , así EZ a ΓΔ . Entonces, como el (cuadrado) de BΓ es al (cuadrado) de EH , así el (cuadrado) de EZ es al (cuadrado) de ΓΔ [VI 22]. Ahora bien, el (cuadrado) de ΓB es conmensurable con el de EH ; porque cada uno de ellos es expresable; luego el (cuadrado) de EZ es también conmensurable con el (cuadrado) de ΓΔ [X 11]. Pero el (cuadrado) de EZ es expresable; luego el cuadrado de ΓΔ es también expresable [X Def. 4]; por tanto, ΓΔ es expresable. Ahora bien, como EZ es inconmensurable en longitud con EH , porque son conmensurables sólo en cuadrado; y como EZ es a EH , así el (cuadrado) de EZ al (rectángulo comprendido) por ZE , EH [lema], entonces el (cuadrado) de EZ es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por ZE , EH . Pero el (cuadrado) de ΓΔ es conmensurable con el cuadrado de EZ ; porque son expresables en cuadrado; y el (rectángulo comprendido) por ΔΓ , ΓB es conmensurable con el (rectángulo comprendido) por ZE , EH , porque son iguales al (cuadrado) de A ; luego el (cuadrado) de ΓΔ es también inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por ΔΓ , ΓB [X 13]. Pero, como el (cuadrado) de ΓΔ es al (rectángulo comprendido) por ΔΓ , ΓB , así ΔΓ es a ΓB [lema]. Por tanto, ΔΓ es inconmensurable en longitud con ΓB [X 11]. Por consiguiente, ΓΔ es expresable e inconmensurable en longitud con ΓB . Q . E . D .

PROPOSICIÓN 23

La recta conmensurable con una (recta) medial es medial.

Sea A una recta medial, y sea B conmensurable con A .

Digo que B es también medial.

Póngase, pues, la recta expresable ΓΔ , y aplíquese a ΓΔ un área rectangular ΓE igual al cuadrado de A que produzca la anchura EΔ ; entonces EΔ es expresable e inconmensurable en longitud con ΓΔ [X 22]. Pero aplíquese a ΓΔ un área rectangular, ΓZ , igual al (cuadrado) de B que produzca la anchura ΔZ . Entonces, dado que A es conmensurable con B , el (cuadrado) de A es también conmensurable con el (cuadrado) de B . Pero EΓ es igual al (cuadrado) de A , mientras que ΓZ es igual al (cuadrado) de B ; por tanto, EΓ es conmensurable con ΓZ . Ahora bien, como EΓ es a ΓZ , así EΔ a ΔZ [VI 1]; entonces EΔ es conmensurable en longitud con ΔZ [X 11]; pero EΔ es expresable e inconmensurable en longitud con ΔΓ ; entonces ΔΓ es expresable [X Def. 3] e inconmensurable en longitud con ΔΓ [X 13]; luego ΓΔ , ΔZ son expresables y conmensurables sólo en cuadrado. Pero la recta cuyo cuadrado es igual al rectángulo comprendido por rectas expresables y conmensurables sólo en cuadrado es medial [X 21]. Luego la recta cuyo cuadrado es igual al rectángulo comprendido por ΓΔ , ΔZ es medial; y el cuadrado de B es igual al rectángulo comprendido por ΓΔ , ΔZ . Por consiguiente, B es medial.

Porisma:

A partir de esto queda claro que un (área) conmensurable con un área medial es medial.

De acuerdo con lo que se ha dicho acerca de las (rectas) expresablas [Lema siguiente a X 18] se sigue, en lo que se refiere a las mediales, que la recta conmensurable en longitud con una medial se llama medial y es conmensurable con ella no sólo en longitud sino también en cuadrado, porque, en general, las (rectas) conmensurables en longitud lo son siempre también en cuadrado. Pero si una recta es conmensurable en cuadrado con una medial, y si lo es también en longitud, en este caso se llaman también mediales y conmensurables en longitud y en cuadrado, pero si sólo lo son en cuadrado, se llaman mediales conmensurables sólo en cuadrado ²⁴ .

PROPOSICIÓN 24

El rectángulo comprendido por rectas mediales conmensurables en longitud según alguna de las formas antedichas ²⁵ , es medial.

Sea pues comprendido el rectángulo AΓ por las rectas mediales conmensurables en longitud AB , BΓ .

Digo que el (rectángulo) AΓ es medial.

Pues constrúyase sobre AB el cuadrado AΔ ; entonces AΔ es medial. Y puesto que AB es conmensurable en longitud con BΓ , mientras que AB es igual a BΔ , entonces ΔB también es conmensurable en longitud con BΓ ; de modo que ΔA es conmensurable con AΓ [VI 1, X 11]. Pero ΔA es medial. Por consiguiente, AΓ también es medial [X 23 Por.]. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 25

El rectángulo comprendido por rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado o es expresable o es medial.

Sea, pues, comprendido el rectángulo AΓ por las rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado, AB , BΓ .

Digo que AΓ o es expresable o es medial.

Pues constrúyanse sobre AB , BΓ los cuadrados AΔ , BE ; entonces cada uno de los (cuadrados) AΔ , BE son mediales.

Póngase la recta expresable ZH , y aplíquese a la (recta) ZH el paralelogramo rectangular HΘ igual a AΔ de modo que produzca la anchura ZΘ ; aplíquese, por otra parte a ΘM el paralelogramo rectangular MK igual a AΓ de modo que produzca la anchura ΘK , y además aplíquese a KN , de manera semejante, el rectángulo NΛ igual a BE , de modo que produzca la anchura KΛ . Entonces ZΘ , ΘK , KΛ están en línea recta. Así pues, dado que cada uno de los (cuadrados) AΔ , BE es medial, y AΔ es igual a HΘ , y BE a NΛ , entonces, cada uno de los (rectángulos) HΘ , NΛ también es medial. Y se han aplicado a la recta expresable ZH ; luego cada una de las (rectas) ZΘ , KΛ es expresable e inconmensurable en longitud con ZH [X 22]. Y puesto que AΔ es conmensurable con BE , entonces HΘ es conmensurable con NΛ . Y como HΘ es a NΛ , así la (recta) ZΘ a la (recta) KΛ [VI 1]; entonces la (recta) ZΘ es conmensurable en longitud con la (recta) KΛ [X 11]. Luego ZΘ , KΛ son expresables y conmensurables en longitud; por tanto, el (rectángulo comprendido) por ZΘ , KΛ es expresable [X 19]. Y dado que ΔB es igual a BA, y ΞB a BΓ , entonces, como ΔB es a BΓ , así AB a BE y, por tanto, como ΔB es a BΓ , así ΔA a AΓ [VI 1], y como AB es a BΞ , así AΓ a ΓΞ [VI 1]; entonces, como ΔA es a AΓ , así AΓ a ΓΞ . Pero AΔ es igual a HΘ , AΓ a MK , y ΓΞ a NΛ ; entonces, como HΘ es a MK , así MK a NΛ ; luego, como ZΘ es a ΘK , así también ΘK a KΛ [VI 1, V 11]; por tanto, el (rectángulo comprendido) por ZΘ , KΛ es igual al (cuadrado) de ΘK [VI 17]. Ahora bien, el (rectángulo comprendido) por ZΘ , KΛ es expresable; entonces el (cuadrado) de ΘK es también expresable; luego ΘK es expresable. Y si es conmensurable en longitud con ZH , entonces ΘN es expresable; pero si es inconmensurable en longitud con ZH , KΘ , ΘM son expresables y conmensurables sólo en cuadrado, y entonces ΘN es medial [X 21]; por tanto ΘN o es expresable o es medial. Pero ΘN es igual a AΓ ; luego AΓ o es expresable o es medial.

Por consiguiente, si el (rectángulo) comprendido por (rectas) conmensurables sólo en cuadrado..., etc.

PROPOSICIÓN 26

Un (área) medial no excede a otra medial en un (área) expresable.

Pues, si es posible, exceda el (área) AB al (área) medial AΓ en el (área) expresable ΔB , y póngase la recta expresable EZ , y aplíquese a EZ el paralelogramo rectángulo ZΘ igual a AB de modo que produzca la anchura EΘ , y quítese el (rectángulo) ZH igual a AΓ ; entonces el resto BΔ es igual al resto KΘ . Pero ΔB es expresable; por tanto KΘ también es expresable. Así pues, dado que cada uno de los (rectángulos) AB , AΓ es medial, y AB es igual a ZΘ , mientras que AΓ es igual a ZH , entonces cada uno de los (rectángulos) ZΘ , ZH es también medial. Y se han aplicado a la (recta) expresable EZ ; entonces cada una de las (rectas) ΘE , EH es expresable e inconmensurable en longitud con EZ [X 22]. Ahora bien, puesto que ΔB es expresable y es igual a KΘ ; entonces KΘ , es también expresable. Y se ha aplicado a la (recta) expresable EZ ; luego HΘ es también expresable y conmensurable en longitud con EZ [X 20]. Pero EH es también expresable e inconmensurable en longitud con EZ ; entonces EH es inconmensurable en longitud con HΘ [X 13]. Ahora bien, como EH es a HΘ , así el (cuadrado) de EH es al (rectángulo comprendido) por EH , HΘ ; entonces el (cuadrado) de EH es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por EH , HΘ [X 11]. Pero los cuadrados de EH , HΘ son conmensurables con el (cuadrado) de EH , porque ambos son expresables; pero dos veces el (rectángulo comprendido) por EH , HΘ es conmensurable con el (rectángulo comprendido) por EH , HΘ , porque es el doble que él [X 6]; por tanto, los cuadrados de EH , HΘ son inconmensurables con dos veces el (rectángulo) comprendido) por EH , HΘ [X 13]; luego, tanto la suma de los (cuadrados) de EH , HΘ como dos veces el (rectángulo comprendido) por EH , HΘ , que es precisamente el cuadrado de EΘ [II 4], es inconmensurable con los (cuadrados) de EH , HΘ [X 16]. Pero los (cuadrados) de EH , HΘ son expresables; luego el (cuadrado) de EΘ no es expresable [X Def. 4]. Por tanto, EΘ no es expresable. Pero también es expresable; lo cual es imposible.

Por consiguiente, un (área) medial no excede a otra (área) medial en un (área) expresable. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 27

Hallar rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) expresable.

Pónganse dos rectas, A, B , expresables conmensurables sólo en cuadrado, y tómese la media proporcional, Γ , de A , B , y, como A es a B , sea así Γ a Δ [VI 21].

Y puesto que A , B son rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, entonces el (rectángulo comprendido) por A , B , es decir, el cuadrado de Γ [VI 17] es medial [X 21]. Entonces Γ es medial. Y puesto que, como A es a B , Γ es a Δ , y A , B son conmensurables sólo en cuadrado, entonces Γ , Δ son también conmensurables sólo en cuadrado [X 11]. Ahora bien, Γ es medial, luego también Δ es medial. Por tanto, Γ , Δ son mediales y conmensurables sólo en cuadrado.

Digo que también comprenden un rectángulo expresable.

Pues, dado que, como A es a B , así Γ a Δ , entonces, por alternancia, como A es a Γ , B es a Δ [V 16]. Pero como A es a Γ , B es a Δ [V 16]. Pero como A es a Γ , Γ es a B ; entonces, como Γ es a B , así B a Δ ; luego el (rectángulo comprendido) por Γ , Δ es igual al cuadrado de B . Pero el cuadrado de B es expresable; por tanto el (rectángulo comprendido) por Γ , Δ es también expresable.

Por consiguiente, se han hallado rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un (rectángulo) expresable. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 28

Hallar (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) medial.

Pónganse las (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado A , B , Γ y tómese la media proporcional Δ de A , B [VI 13], y como B es a Γ , sea así Δ a E [VI 12].

Puesto que A , B son rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, entonces el (rectángulo comprendido) por A , B , es decir el (cuadrado) de Δ [VI 17] es medial, luego Δ es medial [X 21]. Y puesto que B , Γ son conmensurables sólo en cuadrado, y como B es a Γ , Δ es a E , entonces Δ , E son también conmensurables sólo en cuadrado [X 11]. Pero Δ es medial; entonces E es también medial [X 23]. Luego Δ , E son mediales y conmensurables sólo en cuadrado.

Digo además que también comprenden un rectángulo medial.

Pues, dado que, como B es a Γ , así Δ a E , entonces, por alternancia, como B es a Δ , así Γ a E . Y como B es a Δ , así Δ a A ; entonces, como Δ es a A , así también Γ a E ; luego el (rectángulo comprendido) por A , Γ es igual al (rectángulo comprendido) por Δ , E [VI 16]. Pero el (rectángulo comprendido) por A , Γ es medial [X 21]. Por tanto, el (rectángulo comprendido) por Δ , E es también medial.

Por consiguiente, se han hallado rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo medial. Q . E . D .

LEMA 1

Hallar dos números cuadrados tales que su suma sea también un cuadrado.

Pónganse dos números AB , BΓ y sean pares o impares. Y puesto que, tanto si de un número par se quita un número par, como si de un número impar se quita un número impar, el resto es par [IX 24-26]; entonces el resto AΓ es par. Divídase AΓ en dos partes iguales por Δ . Y sean AB , BΓ o números planos semejantes o números cuadrados, que son también ellos mismos números planos semejantes; entonces, el producto de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓΔ es igual al cuadrado de BΔ . Y el producto de AB , BΓ es también un cuadrado, puesto que precisamente hemos demostrado que, si dos números planos semejantes, al multiplicarse entre sí, hacen algún (número) el producto es un número cuadrado [IX 1]; entonces, se han hallado dos números cuadrados, el producto de AB , BΓ y el cuadrado de ΓΔ que, sumados, hacen el cuadrado de BΔ .

Y queda claro que se han hallado a su vez dos números cuadrados, el (cuadrado) de BΔ y el (cuadrado) de ΓΔ , tales que su diferencia, el producto de AB , BΓ es un número cuadrado, siempre que AB , BΓ sean números planos semejantes. Pero en el caso de que no sean números planos semejantes, se han hallado dos cuadrados, el (cuadrado) de BΔ y el (cuadrado) de ΔΓ , cuya diferencia, el producto de AB , BΓ no es un cuadrado. Q . E . D .

LEMA 2

Hallar dos números cuadrados tales que su suma no sea un cuadrado.

Sea, pues, el producto de AB , BΓ , según dijimos, un cuadrado, y sea ΓA un número par, y divídase en dos partes iguales por Δ . Queda claro que el producto de AB , BΓ junto con el cuadrado de ΓΔ es igual al cuadrado de BΔ [lema 1]. Quítese la unidad ΔE ; entonces el producto de AB , BΓ junto con el cuadrado de ΓE es menor que el cuadrado de BΔ .

Pues bien, digo que el cuadrado producto de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE no será un número cuadrado.

Pues si es cuadrado, o es igual al (cuadrado) de BE o menor que el (cuadrado) de BE , pero no es mayor, para que no se divida la unidad.

En primer lugar, si es posible, sea el (producto) de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE igual al cuadrado de BE , y sea HA el doble de la unidad ΔE . Así pues como el total AΓ es el doble del total ΓΔ y en ellos AH es el doble de ΔE , entonces el resto HΓ es el doble del resto EΓ ; luego HΓ se ha dividido en dos partes iguales por E ; por tanto, el (producto) de HB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE es igual al (cuadrado) de BE [II 6]. Pero se ha supuesto que el (producto) de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE es igual al (cuadrado) de BE ; entonces el (producto) de HB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE es igual al (producto) de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE . Ahora bien, si se quita de ambos el (cuadrado) de ΓE , se sigue que AB es igual a HB ; lo cual es absurdo. Luego el (producto) de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE no es igual al (cuadrado) de BE .

Digo además que tampoco es menor que el (cuadrado) de BE . Pues, si es posible, sea igual al (cuadrado) de BZ , y sea ΘA el doble de ΔZ . Pues bien, se seguirá de nuevo que ΘΓ es el doble de ΓZ ; de modo que ΓΘ ha sido dividida también en dos partes iguales por Z y que, por eso, el (producto) de ΘB , BΓ junto con el (cuadrado) de ZΓ es igual al (cuadrado) de BZ [II 6]. Pero se ha supuesto que el (producto) de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE es igual al (cuadrado) de BZ . De modo que también el (producto) de ΘB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓZ será igual al (producto) de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE ; lo cual es absurdo. Luego el (producto) de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE no es menor que el (cuadrado) de BE . Pero se ha demostrado que tampoco es igual al (cuadrado) de BE . Por consiguiente el (producto) de AB , BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE no es un cuadrado. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 29

Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella (la mayor).

Póngase, pues, una recta expresable AB y los dos números cuadrados ΓΔ , ΔE , de modo que su diferencia ΓE no sea un cuadrado [lema 1], y descríbase sobre AB el semicírculo AZB , y hágase de forma que como ΔΓ es a ΓE , así el cuadrado de BA al cuadrado de AZ [X 6 Por.], y trácese ZB .

Puesto que, como el (cuadrado) de BA es al (cuadrado) de AZ , así ΔΓ a ΓE , entonces el (cuadrado) de BA guarda con el (cuadrado) de AZ la razón que el número ΔΓ guarda con el número ΓE ; luego el (cuadrado) de BA es conmensurable con el (cuadrado) de AZ [X 6]. Pero el (cuadrado) de AB es expresable [X Def. 4]; luego el (cuadrado) de AZ es también expresable [id .]; por tanto AZ es también expresable. Y puesto que ΔΓ no guarda con ΔE la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el (cuadrado) de BA tampoco guarda con el cuadrado de AZ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego AB es inconmensurable en longitud con AZ [X 9]. Por tanto BA , AZ son expresables y conmensurables sólo en cuadrado. Ahora bien, dado que, como ΔΓ es a ΓE , así el (cuadrado) de BA al (cuadrado) de AZ , entonces, por conversión, como ΓΔ es a ΔE , así el (cuadrado) de AB es al (cuadrado) de BZ [V 19 Por.; III 31; I 47]. Pero ΓΔ guarda con ΔE la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces, el cuadrado de AB guarda con el cuadrado de BZ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego AB es conmensurable en longitud con BZ [X 9]. Y el (cuadrado) de AB es igual a los (cuadrados) de AZ , ZB . Luego el cuadrado de AB es mayor que el de AZ en el (cuadrado) de la (recta) BZ conmensurable con ella (AB ).

Por consiguiente, se han hallado dos rectas expresables BA , AZ conmensurables sólo en cuadrado, de modo que el cuadrado de la mayor AB es mayor que el de la menor AZ en el cuadrado de la (recta) BZ conmensurable en longitud con ella (AB ). Q . E . D .

PROPOSICIÓN 30

Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una (recta) inconmensurable en longitud con ella (la mayor).

Póngase, pues, la recta expresable AB y los dos números cuadrados ΓE , EΔ tales que su suma, ΓΔ no sea un número cuadrado [lema 2]. Y descríbase sobre AB el semicírculo AZB, y hágase de forma que como ΔΓ es a ΓE , así el cuadrado de BA al cuadrado de AZ [X 6 Por.], y trácese ZB . De manera semejante a la (proposición) anterior demostraríamos que BA, AZ son expresables y conmensurables sólo en cuadrado. Ahora bien, dado que, como ΔΓ es a ΓE , así el (cuadrado) de BA al (cuadrado) de AZ , entonces, por conversión, como ΓΔ es a ΔE , así el (cuadrado) de AB al (cuadrado) de BZ [V 19 por.; III 31, I 47]. Pero ΓA no guarda con ΔE la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Entonces el (cuadrado) de AB tampoco guarda con el (cuadrado) de BZ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego AB es inconmensurable en longitud con BZ [X 9]. Y el cuadrado de AB es mayor que el de AZ en el (cuadrado) de la (recta) ZB inconmensurable con ella (AB ).

Por consiguiente, AB , AZ son expresables y conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de AZ en el cuadrado de la recta ZB , inconmensurable en longitud con ella (AB ). Q . E . D .

PROPOSICIÓN 31

Hallar dos (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) expresable, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una (recta) conmensurable en longitud con ella (la mayor).

Pónganse las dos rectas expresables A , B conmensurables sólo en cuadrado, de modo que el cuadrado de A que es la mayor sea mayor que el cuadrado de la menor, B , en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable en longitud con ella (A ) [X 29]. Y sea el (cuadrado) de Γ igual al (rectángulo comprendido) por A , B . Pero el (rectángulo comprendido) por A , B es medial [X 21]; entonces el (cuadrado) de Γ también es medial, luego Γ es también medial [X 21]. Sea el rectángulo comprendido por ΓΔ igual al (cuadrado) de B ; pero el cuadrado de B es expresable; luego el (rectángulo comprendido) por ΓΔ es también expresable. Ahora bien, dado que como A es a B , así el (rectángulo comprendido) por A , B es al (cuadrado) de B , mientras que el (cuadrado) de Γ es igual al (rectángulo comprendido) por A , B , y el (rectángulo comprendido) por Γ , Δ es igual al (cuadrado) de B , entonces, como A es a B , así el (cuadrado) de Γ al (rectángulo comprendido) por Γ , Δ . Pero, como el (cuadrado) de Γ es al (rectángulo comprendido) por Γ , Δ , así Γ es a Δ ; entonces, como A es a B , así Γ a Δ . Pero A es conmensurable con B sólo en cuadrado; luego Γ es también conmensurable con Δ sólo en cuadrado [X 11]. Y es medial; por tanto Δ también es medial [X 23]. Ahora bien, dado que, como A es a B , Γ es a Δ , y el (cuadrado) de A es mayor que el de B en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (A ), entonces el cuadrado de Γ es también mayor que el de Δ en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (Γ ) [X 14].

Por consiguiente, se han hallado dos rectas mediales Γ , Δ conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un (rectángulo) expresable, y el cuadrado de Γ es mayor que el de Δ en el cuadrado de una (recta) conmensurable en longitud con ella (Γ ).

De manera semejante se demostraría que (el cuadrado de Γ es mayor que el cuadrado de Δ ) en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable en longitud con ella (Γ ), siempre que el cuadrado de A sea mayor que el de B en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (A ) [X 30] ²⁶ .

PROPOSICIÓN 32

Hallar dos (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (la mayor).

Pónganse tres rectas expresables A , B , Γ conmensurables sólo en cuadrado, de modo que el cuadrado de A sea mayor que el de Γ en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (A ) [X 29]; y sea el (cuadrado) de Δ igual al (rectángulo comprendido) por A , B . Entonces el (cuadrado) de Δ es medial; luego Δ es medial [X 21]. Pero sea el (rectángulo comprendido) por Δ , E igual al (rectángulo comprendido) por B , Γ . Y dado que, como el (rectángulo comprendido) por A , B es al (rectángulo comprendido) por B , Γ , así A es a Γ ; mientras que el (cuadrado) de Δ es igual al (rectángulo comprendido) por A , B y el (rectángulo comprendido) por Δ , E es igual al (rectángulo comprendido) por B , Γ ; entonces, como A es a Γ , así el cuadrado de Δ es al (rectángulo comprendido) por Δ , E . Pero como el (cuadrado) de Δ es al (rectángulo comprendido) por Δ , E , así Δ a E ; luego como A es a Γ , así Δ a E . Pero A es conmensurable con Δ sólo en cuadrado. Entonces Δ es conmensurable con E sólo en cuadrado [X 11]. Pero Δ es medial. Luego E es también medial [X 23]. Ahora bien, dado que, como A es a Γ , Δ es a E , mientras que el cuadrado de A es mayor que el de Γ en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (A ), entonces el cuadrado de Δ será también mayor que el de E en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (Δ ) [X 14].

Digo además que el (rectángulo comprendido) por Δ , E es también medial. Pues como el (rectángulo comprendido) por B , Γ es igual al (rectángulo comprendido) por Δ , E y el (rectángulo comprendido) por B , Γ es medial [X 21], entonces el (rectángulo comprendido) por Δ , E es también medial.

Por consiguiente, se han hallado dos (rectas) mediales Δ , E conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un (rectángulo) medial, de modo que el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (la mayor).

De manera semejante se demostraría también que (el cuadrado de Δ es mayor que el de E ) a su vez en el cuadrado de una (recta) inconmensurable con ella (Δ ), siempre que el cuadrado de A sea mayor que el de Γ en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (A ) ²⁷ .

LEMA

Sea ABΓ un triángulo rectángulo que tenga recto el ángulo correspondiente a A y trácese la perpendicular AΔ .

Digo que el (rectángulo comprendido) por ΓB , BΔ es igual al cuadrado de BA , mientras que el (rectángulo comprendido) por BΓ , ΓΔ es igual al cuadrado de ΓA , y el (rectángulo comprendido) por BΔ , ΔΓ es igual al cuadrado de AΔ y además el (rectángulo comprendido) por BΓ , AΔ es igual al (rectángulo comprendido) por BA , AΓ .

En primer lugar (digo) que el (rectángulo comprendido) por ΓB , BΔ es igual al cuadrado de BA .

Pues como, en un triángulo rectángulo, se ha trazado la perpendicular AΔ desde el ángulo recto hasta la base, entonces los triángulos ABΔ , AΔΓ son semejantes al triángulo entero ABΓ y entre sí [VI 8]. Y puesto que el triángulo ABΓ es semejante al triángulo ABΔ , entonces, como ΓB es a BA , así BA a BΔ [VI 4]; luego el (rectángulo comprendido) por ΓB , BΔ es igual al (cuadrado) de AB [VI 17].

Por lo mismo entonces, el (rectángulo comprendido) por BΓ , ΓΔ es igual también al cuadrado de AΓ .

Ahora bien, dado que, si en un triángulo rectángulo se traza una perpendicular desde el ángulo recto hasta la base, la recta trazada es la media proporcional de los segmentos de la base [VI 8 Por.], entonces, como BΔ es a ΔA , así AΔ a ΔΓ ; luego el (rectángulo comprendido) por BΔ , ΔΓ es igual al cuadrado de ΔA [VI 17].

Digo que el (rectángulo comprendido) por BΓ , AΔ es igual también al (rectángulo comprendido) por BA , AΓ . Pues como, según hemos dicho, el triángulo ABΓ es semejante al (triángulo) ABΔ , entonces, como BΓ es a ΓA , así BA a AΔ [VI 4]. Por consiguiente, el (rectángulo comprendido) por BΓ , AΔ es igual al (rectángulo comprendido) por BA , AΓ [VI 16] Q. E. D.

PROPOSICIÓN 33

Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados expresable pero el (rectángulo comprendido) por ellas, medial .

Pónganse dos rectas expresables AB , BΓ conmensurables sólo en cuadrado, de modo que el cuadrado de la mayor, AB , sea mayor que el cuadrado de la menor, BΓ , en el cuadrado de una (recta) inconmensurable con ella (AB ) [X 30], y divídase BΓ en dos partes iguales por el (punto) Δ , y aplíquese a AB un paralelogramo igual al cuadrado de cada una de las (rectas) BΔ , ΔΓ y deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el (rectángulo comprendido) por AE , EB [VI 28]. Descríbase sobre AB el semicírculo AZB y trácese EZ formando ángulos rectos con AB y trácense AZ , ZB .

Y como AB , BΓ son dos rectas desiguales y el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de BΓ en el cuadrado de una (recta) inconmensurable con ella (AB ), mientras que se ha aplicado a AB un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de BΓ , es decir, al cuadrado de su mitad, y deficiente en la figura de un cuadrado, produciendo el (rectángulo comprendido) por AE , EB , entonces AE es inconmensurable con EB [X 18]. Ahora bien, como AE es a EB , así el (rectángulo comprendido) por BA , AE al (rectángulo comprendido) por AB , BE , mientras que el (rectángulo comprendido) por BA , AE es igual al cuadrado de AZ , y el (rectángulo comprendido) por AB , BE al cuadrado de BZ ; entonces el cuadrado de AZ es inconmensurable con el cuadrado de ZB ; luego AZ , ZB son inconmensurables en cuadrado. Y como AB es expresable, entonces el cuadrado de AB es también expresable. De modo que la suma de los cuadrados de AZ , ZB es también expresable [I 47]. Y puesto que a su vez el (rectángulo comprendido) por AE , EB es igual al cuadrado de EZ y se ha supuesto que el (rectángulo comprendido) por AE , EB es igual también al cuadrado de BΔ , entonces ZE es igual a BΔ ; luego BΓ es el doble de ZE ; de modo que el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es también conmensurable con el (rectángulo comprendido) por AB , EZ . Pero el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es medial [X 21]; luego el (rectángulo comprendido) por AB , EZ es también medial [X 23 Por.]. Pero el (rectángulo comprendido) por AB , EZ es igual al (rectángulo comprendido) por AZ , ZB [lema]: por tanto, el (rectángulo comprendido) por AZ , ZB es también medial. Y se ha demostrado que la suma de sus cuadrados es también expresable.

Por consiguiente, se han hallado las dos rectas AZ , ZB inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados expresable pero el (rectángulo comprendido) por ellas, medial. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 34

Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial, pero el rectángulo comprendido por ellas expresable.

Pónganse dos rectas mediales, AB , BΓ , conmensurables sólo en cuadrado, que comprendan un rectángulo expresable, de modo que el cuadrado de AB sea mayor que el de BΓ en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (AB ) [X 31 ad finem ] y descríbase sobre AB el semicírculo AΔB , y divídase AΓ en dos partes iguales por el (punto) E , y aplíquese a la recta AB un paralelogramo igual al (cuadrado) de BE deficiente en la figura de un cuadrado, es decir, el (rectángulo comprendido) por AZ , ZB [VI 28]. Entonces AZ es inconmensurable en longitud con ZB [X 18]. Trácese ZΔ , desde Z , formando ángulos rectos con AB , y trácense AΔ , ΔB .

Como AZ es inconmensurable con ZB , entonces el (rectángulo comprendido) por BA , AZ es inconmensurable también con el (rectángulo comprendido) por AB , BZ [X 11]. Pero el (rectángulo comprendido) por BA , AZ es igual al (cuadrado) de AΔ , y el (rectángulo comprendido) por AB , BZ (es igual) al (cuadrado) de ΔB ; entonces el (cuadrado) de AΔ es también inconmensurable con el (cuadrado) de ΔB . Y como el (cuadrado) de AB es medial, entonces la suma de los (cuadrados) de AΔ , ΔB es también medial [III 31; I 47]. Y como BΓ es el doble de ΔZ , entonces el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es también el doble del (rectángulo comprendido) por AB , ZΔ . Pero el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es expresable; luego el (rectángulo comprendido) por AB , ZΔ es también expresable [X 6]. Pero el (rectángulo comprendido) por AB , ZΔ es igual al (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB [lema]; de modo que el (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB es también expresable.

Por consiguiente, se han hallado las dos rectas AΔ , ΔB inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial, pero el rectángulo comprendido por ellas expresable.

PROPOSICIÓN 35

Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el (rectángulo comprendido) por ellas medial y además inconmensurable con la suma de sus cuadrados.

Pónganse dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado AB , BΓ que comprendan un (rectángulo) medial, de modo que el cuadrado de AB sea mayor que el cuadrado de BΓ en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (AB ) [X 32]. Y descríbase sobre AB el semicírculo AΔB , y sea semejante a la anterior el resto (de la construcción).

Ahora bien, como AZ es inconmensurable en longitud con ZB [X 18], AΔ es también inconmensurable en cuadrado con ΔB [X 11]. Y como el (cuadrado) de AB es medial, entonces la suma de los (cuadrados) de AΔ , ΔB es también medial [III 31; I 47]. Ahora bien, como el (rectángulo comprendido) por AZ , ZB es igual al (cuadrado) de cada una de las (rectas) BE , ΔZ , entonces BE es igual a ΔZ ; luego BΓ es el doble de ZΔ ; de modo que el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es el doble del (rectángulo comprendido) por AB , ZΔ ; por tanto, el (rectángulo comprendido por AB , BΓ es medial; entonces el.(rectángulo comprendido) por AB , ZΔ es también medial [X 32 Por.]. Y también es igual al (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB [Lema siguiente a X 32]; luego el (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB es también medial. Ahora bien, como AB es inconmensurable en longitud con BΓ , mientras que ΓB es conmensurable con BE , entonces AB es inconmensurable en longitud con BE [X 13]; de modo que el (cuadrado) de AB es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por AB , BE [X 11]. Pero los (cuadrados) de AΔ , ΔB son iguales al (cuadrado) de AB [I 47], mientras que el (rectángulo comprendido) por AB , ZΔ , es decir, el (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB es igual al (rectángulo comprendido) por AB , BE ; por tanto, la suma de los (cuadrados) AΔ , ΔB es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB .

Por consiguiente, se han hallado las dos rectas AΔ , ΔB inconmensurables en cuadrado, que hacen la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas medial y además inconmensurable con la suma de sus cuadrados. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 36

Si se suman dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, la (recta) entera no es expresable; llámesela binomial.

Súmense, pues, las dos (rectas) expresables AB , BΓ conmensurables sólo en cuadrado.

Digo que el total AΓ no es expresable.

Pues, dado que AB es inconmensurable en longitud con BΓ , porque son conmensurables sólo en cuadrado, mientras que, como AB es a BΓ , así el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ al (cuadrado) de BΓ , entonces, el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es inconmensurable con el (cuadrado) de BΓ [X 11]. Pero el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es conmensurable con el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ [X 6], mientras que los (cuadrados) de AB , BΓ son conmensurables con el (cuadrado) de BΓ , porque AB , BΓ son expresables conmensurables sólo en cuadrado [X 15], luego el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es inconmensurable con los (cuadrados) de AB , BΓ . Y, por composición, el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ junto con los (cuadrados) de AB , BΓ , es decir, el (cuadrado) de AΓ [II 4], es inconmensurable con la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ [X 16]: pero la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ es expresable; entonces el cuadrado de AΓ no es expresable; de modo que AΓ tampoco es expresable; llámesela binomial. Q . E . D . ²⁸ .

PROPOSICIÓN 37

Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) expresable, la (recta) entera no es expresable; llámesela primera bimedial.

Súmense, pues, las dos rectas mediales AB , BΓ conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) expresable.

Digo que el total AΓ no es expresable.

Pues como AB es inconmensurable en longitud con BΓ , entonces los (cuadrados) de AB , BΓ son inconmensurables con el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ [X 36; II 9-20]. Ahora bien, por composición, los (cuadrados) de AB , BΓ junto con el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ , que es precisamente el (cuadrado) de AΓ [II 4], es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ ; y el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es expresable; porque se ha supuesto que AB , BΓ comprenden un (rectángulo) expresable. Por tanto, el cuadrado de AΓ no es expresable [X Def. 4]; llámesela primera bimedial ²⁹ .

PROPOSICIÓN 38

Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) medial, la (recta) entera no es expresable; llámesela segunda bimedial.

Súmense, pues, las dos (rectas) mediales AB , BΓ conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) medial.

Digo que AΓ no es expresable.

Póngase, pues, la (recta) expresable ΔE y aplíquese a ΔE el rectángulo ΔZ igual al (cuadrado) de AΓ , de modo que produzca la anchura ΔH [I 44]. Y como el (cuadrado) de AΓ es igual a los (cuadrados) de AB , BΓ y el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ [II 4], aplíquese ahora a ΔE el (rectángulo) EΘ igual a los (cuadrados) de AB , BΓ ; entonces el (rectángulo) restante ΘZ es igual al doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ . Y como cada una de las (rectas) AB , BΓ es medial, entonces los (cuadrados) de AB , BΓ son también mediales. Pero se ha supuesto que el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es también medial. Y EΘ es igual a los (cuadrados) de AB , BΓ , mientras que ZΘ es igual al doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ ; entonces cada uno de los (rectángulos) EΘ , ΘZ es medial. Y se han aplicado a la (recta) expresable ΔE ; luego cada una de las (rectas) ΔΘ , ΘH es expresable e inconmensurable en longitud con ΔE [X 22]. Así pues, dado que AB es inconmensurable en longitud con BΓ , y que, como AB es a BΓ , así el (cuadrado) de AB al (rectángulo comprendido) por AB , BΓ ; entonces el (cuadrado) de AB es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ [X 11]. Pero la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ es conmensurable con el (cuadrado) de AB [X 15], y el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es conmensurable con el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ [X 6]. Por tanto, la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ es inconmensurable con el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ [X 13]. Pero EΘ es igual a los (cuadrados) de AB , BΓ , y ΘZ es igual al doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ . Luego EΘ es inconmensurable con ΘZ ; de modo que ΔΘ es también inconmensurable en longitud con ΘH [VI 1]. Entonces ΔΘ , ΘH son expresables conmensurables sólo en cuadrado. De modo que ΔH no es expresable [X 36]. Pero ΔE es expresable; y el rectángulo comprendido por una (recta) no expresable y una expresable no es expresable [X 20]; entonces el área ΔZ no es expresable, y el lado del cuadrado igual a ella no es expresable [X Def. 4]. Pero AΓ es el lado del cuadrado igual a ΔZ ; por consiguiente AΓ no es expresable; llámesela segunda bimedial. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 39

Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados expresable y el (rectángulo comprendido) por ellas medial; la (recta) entera no es expresable; llámesela «mayor».

Súmense pues las dos rectas AB , BΓ inconmensurables en cuadrado que cumplan las condiciones propuestas [X 33].

Digo que AΓ no es expresable.

Pues como el (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es medial, el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es medial [X 6 y 23 Por.]. Pero la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ es expresable; entonces el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es inconmensurable con la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ ; de modo que los (cuadrados) de AB , BΓ junto con el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ , que es precisamente el cuadrado de AΓ también es inconmensurable con la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ [X 16]. Por consiguiente, el (cuadrado) de AΓ no es expresable; de modo que AΓ tampoco es expresable [X Def. 4]; llámesela «mayor». Q . E . D . ³⁰ .

PROPOSICIÓN 40

Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el (rectángulo comprendido) por ellas expresable, la (recta) entera no es expresable; llámesela lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial.

Súmense, pues, las dos rectas AB , BΓ inconmensurables en cuadrado que cumplan las condiciones propuestas [X 34].

Digo que AΓ no es expresable.

Pues como la suma de los cuadrados de AB , BΓ es medial, el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es expresable, entonces la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ es inconmensurable con el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ [X 16]. De modo que también el (cuadrado) de AΓ es inconmensurable con el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ . Pero el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ es expresable; luego el cuadrado de AΓ no es expresable. Por tanto, AΓ no es expresable; llámesela lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial. Q . E . D . ³¹ .

PROPOSICIÓN 41

Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el (rectángulo comprendido) por ellas también medial e inconmensurable además con la suma de sus cuadrados, entonces la (recta) entera no es expresable; llámesela lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

Súmense, pues, las dos rectas AB , BΓ inconmensurables en cuadrado que cumplan las condiciones propuestas [X 35].

Digo que AΓ no es expresable.

Póngase la recta expresable ΔE y aplíquese a ΔE el (rectángulo) ΔZ igual a los (cuadrados) de AB , BΓ y el (rectángulo) HΘ igual al doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ ; entonces el (rectángulo) entero ΔΘ es igual al (cuadrado) de AΓ [II 4] y como la suma de los (cuadrados) de AB , BΓ es medial y es igual a ΔZ , entonces ΔZ es medial. Y se ha aplicado a la (recta) expresable ΔE ; luego ΔH es también expresable e inconmensurable en longitud con ΔE [X 22]. Por lo mismo, HK es también expresable e inconmensurable en longitud con HZ , es decir, con ΔE . Y como los (cuadrados) de AB , BΓ son inconmensurables con el doble del (rectángulo comprendido) por AB , BΓ , ΔZ es inconmensurable con HΘ ; de manera que ΔH también es inconmensurable con HK [VI 1, X 11]. Y son expresables; entonces ΔH , HK son conmensurables sólo en cuadrado; luego ΔK , la llamada binomial, no es expresable [X 36]. Pero ΔE es expresable; entonces el (rectángulo) ΔΘ no es expresable, y el lado del cuadrado igual a él no es expresable [X Def. 4]. Pero AΓ es el lado del cuadrado igual a ΘΔ . Por tanto, AΓ no es expresable; llámesela lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales. Q . E . D . ³² .

LEMA

Y que las antedichas rectas no expresables se dividen de una sola manera en las rectas de las que se componen dando lugar a los tipos propuestos lo demostraremos enseguida, después de adelantar el siguiente lema.

Póngase una recta AB y córtese la (recta) entera en partes desiguales por cada uno de los puntos Γ , Δ ; y supóngase que AΓ es mayor que ΔB .

Digo que los cuadrados de AΓ , ΓB son mayores que los cuadrados de AΔ , ΔB .

Divídase, pues, AB en dos partes iguales por el (punto) E . Y como AΓ es mayor que ΔB , quítese de ambos ΔΓ ; entonces la (recta) restante AΔ es mayor que la (recta) restante ΓB . Pero AE es igual a EB ; entonces ΔE es menor que EΓ ; luego los (puntos) Γ , Δ no están a igual distancia del punto de bisección. Y como el (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB junto con el (cuadrado) de EΓ es igual al (cuadrado) de EB [II 5], mientras que el (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB junto con el (cuadrado) de ΔE es igual al (cuadrado) de EB [id.], entonces el (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB junto con el (cuadrado) de EΓ es igual al (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB junto con el (cuadrado) de ΔE ; de los cuales el (cuadrado) de ΔE es menor que el (cuadrado) de EΓ ; luego el (rectángulo) restante (comprendido) por AΓ , ΓB es menor que el (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB . De modo que el doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB es también menor que el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB .

Por consiguiente, el resto, la suma de los (cuadrados) de AΓ , ΓB es mayor que la suma de los (cuadrados) de AΔ , ΔB . Q . E . D . ³³ .

PROPOSICIÓN 42

La recta binomial se divide en sus términos por un sólo punto.

Sea dividida en sus términos la (recta) binomial AB por el (punto) Γ ; entonces AΓ , ΓB son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado [X 36].

Digo que AB no se divide por otro punto en dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado.

Pues, si es posible, divídase también por el (punto) Δ , de modo que AΔ , ΔB sean (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado. Entonces queda claro que AΓ no es la misma que ΔB . Pues, si es posible, séalo. Entonces AΔ será también la misma que ΓB ; y como AΓ es a ΓB , así será BΔ a ΔA , AB resultará dividida también por el punto Δ de la misma manera que por el punto Γ ; lo cual precisamente se ha supuesto que no. Luego AΓ no es la misma que ΔB . Por eso los puntos Γ , Δ tampoco están a igual distancia del punto de bisección. Luego en aquello en lo que los (cuadrados) de AΓ, ΓB difieren de los (cuadrados) de AΔ , ΔB , en eso difieren también el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB del doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB , porque, tanto los (cuadrados) de AΓ , ΓB junto con el doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB , como los (cuadrados) de AΔ , ΔB junto con el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB son iguales al (cuadrado) de AB [II 4]. Pero los (cuadrados) de AΓ , ΓB difieren de los (cuadrados) de AΔ , ΔB en un área expresable; pues ambos son expresables; luego el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB también difiere del doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB en un área expresable, aún siendo medial [X 21]; lo cual es absurdo; porque un (área) medial no excede a otra (área) medial en un (área) expresable [X 26].

Por consiguiente, la recta binomial no se divide por diferentes puntos; luego se divide por uno sólo. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 43

La recta primera bimedial se divide por un sólo punto.

Sea dividida la recta primera bimedial AB por el (punto) Γ , de modo que AΓ , ΓB sean (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) expresable [X 37].

Digo que AB no se divide por otro punto.

Pues, si es posible, divídase también por el (punto) Δ , de modo que las rectas AΔ , ΔB sean (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado que contengan un (rectángulo) expresable. Pues como en aquello en que difiere el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB , del doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB , en eso difieren los (cuadrados) de AΓ , ΓB de los (cuadrados) de AΔ , ΔB , mientras que el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB difiere del doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB en un (área) expresable, porque ambas son expresables, entonces los (cuadrados) de AΓ , ΓB difieren también de los (cuadrados) de AΔ , ΔB en un (área) expresable, aun siendo mediales; lo cual es absurdo [X 26].

Por consiguiente, la (recta) primera bimedial no se divide en sus términos por diferentes puntos; luego se divide por uno sólo. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 44

La recta segunda bimedial se divide por un sólo punto.

Sea dividida la (recta) segunda bimedial AB por el punto Γ , de modo que AΓ , ΓB sean (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial [X 38]; entonces queda claro que Γ no es el punto de bisección, porque los segmentos no son conmensurables en longitud.

Digo que AB no se divide por otro punto.

Pues, si es posible, divídase por el (punto) Δ , de modo que AΓ no sea la misma que ΔB , sino que AΓ sea por hipótesis mayor; entonces es evidente que los (cuadrados) de AΔ , ΔB , según hemos demostrado más arriba [Lema] también son menores que los (cuadrados) de AΓ , ΓB ; supóngase que AΔ , ΔB son (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) medial. Y póngase la (recta) expresable EZ , y aplíquese a EZ un paralelogramo rectángulo, EK , igual al (cuadrado) de AB ; quítese, por otra parte, EH igual a los (cuadrados) de AΓ , ΓB ; entonces el resto ΘK es igual al doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB [II 4]. Quítese, a su vez, EΛ igual a los (cuadrados) de AΓ , ΓB que precisamente se ha demostrado que son menores que los de AΓ , ΓB [Lema]; entonces el (rectángulo) restante MK es también igual al doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB . Y como los (cuadrados) de AΓ , ΓB son mediales, entonces EH es medial. Y se ha aplicado a la (recta) expresable EZ , luego EΘ es expresable e inconmensurable en longitud con EZ [X 22]. Por lo mismo, entonces, ΘN es también expresable e inconmensurable en longitud con EZ . Y puesto que AΓ , ΓB son mediales y conmensurables sólo en cuadrado, entonces AΓ es inconmensurable en longitud con ΓB . Pero, como AΓ es a ΓB , así el (cuadrado) de AΓ es al (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB ; entonces el (cuadrado) de AΓ es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB [X 11]: pero los (cuadrados) de AΓ , ΓB son conmensurables con el (cuadrado) de AΓ ; porque AΓ , ΓB son conmensurables en cuadrado [X 15]. Ahora bien, el doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB es conmensurable con el (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB [X 6]. Entonces los (cuadrados) de AΓ , ΓB son también inconmensurables con el doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB [X 13]. Pero EH es igual a los (cuadrados) de AΓ , ΓB , mientras que ΘK es igual al doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB ; luego EH es inconmensurable con ΘK ; de modo que EΘ es también inconmensurable en longitud con ΘN [VI 1; X 11]. Y son expresables; entonces EΘ , ΘN son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado. Pero si se suman dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, la recta entera, la llamada binomial, no es expresable; entonces EN es una (recta) binomial dividida por el (punto) Θ . Siguiendo el mismo procedimiento se demostraría que EM , MN son expresables y conmensurables sólo en cuadrado; y EN será una (recta) binomial dividida por los puntos diferentes Θ , M ; ahora bien, EΘ no es la misma que MN , porque los (cuadrados) de AΓ , ΓB son mayores que los (cuadrados) de AΔ , ΔB . Pero los cuadrados de AΔ , ΔB son mayores que el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB ; luego los (cuadrados) de AΓ , ΓB , es decir EH , son mucho mayores que el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB , es decir, MK ; de modo que EΘ es también mayor que MN .

Por consiguiente, EΘ no es la misma que MN . Q . E . D .

PROPOSICIÓN 45

La recta «mayor» se divide por uno y el mismo punto.

Sea dividida la recta «mayor» AB por el (punto) Γ de modo que AΓ , ΓB sean (rectas) inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de los cuadrados de AΓ , ΓB expresable, pero el (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB medial [X 39].

Digo que AB no se divide por otro punto.

Pues, si es posible, divídase también por el (punto) Δ de modo que AΔ , ΔB sean (rectas) inconmensurables en cuadrado que hagan la suma se los cuadrados de AΔ , ΔB expresable, pero el (rectángulo comprendido) por ellas medial. Y como en aquello en que los (cuadrados) de AΓ , ΓB difieren de los (cuadrados) de AΔ , ΔB , en eso difiere también el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB del doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB , mientras que los (cuadrados) de AΓ , ΓB exceden a los (cuadrados) de AΔ , ΔB en un (área) expresable, porque ambos son expresables; entonces el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB también excede del doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB en un (área) expresable, aun siendo mediales; lo cual es imposible [X 26]. Luego la (recta) «mayor» no se divide por diferentes puntos. Por consiguiente, se divide sólo por uno y el mismo punto. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 46

El lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial se divide sólo por un punto.

Sea dividido el lado del cuadrado equivalente a un (área) expresable más un área medial AB por el punto Γ , de modo que AΓ , ΓB sean (rectas) inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de los (cuadrados) de AΓ , ΓB medial, y el doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΔB expresable [X 40].

Digo que AB no se divide por otro punto.

Pues, si es posible, divídase también por el (punto) Δ , de modo que AΔ , ΔB sean (rectas) inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de los (cuadrados) de AΔ , ΔB medial y el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB expresable. Pues como en aquello en que difiere el doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB del doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB , en eso difieren también los (cuadrados) de AΔ , ΔB de los (cuadrados) de AΓ , ΓB y el doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB excede del doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB en un (área) expresable, entonces los (cuadrados) de AΔ , ΔB también exceden a los (cuadrados) de AΓ , ΓB en un (área) expresable, aún siendo mediales; lo cual es imposible [X 26]. Luego el lado del cuadrado equivalente a un (área) expresable más un (área) medial no se divide por diferentes puntos.

Por consiguiente, se divide por un solo punto. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 47

El lado del cuadrado equivalente a la suma de dos (áreas) mediales se divide por un sólo punto.

Sea dividida AB por el punto Γ , de modo que AΓ , ΓB sean (rectas) inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de los cuadrados de AΓ , ΓB medial y el (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB medial también e inconmensurable con la suma de sus cuadrados.

Digo que AB no se divide por otro punto cumpliendo las condiciones propuestas.

Pues, si es posible, divídase por el (punto) Δ de modo que sea evidente que AΓ no es la misma que ΔB , sino mayor que AΓ por hipótesis.

Y póngase la (recta) expresable EZ , y aplíquese a EZ el (rectángulo) EH igual a los (cuadrados) de AΓ , ΓB , y el rectángulo ΘK igual al doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB ; entonces el (rectángulo) entero EK es igual al cuadrado de AB [II 4]. Aplíquese, a su vez, a EZ el (rectángulo) EΛ igual a los (cuadrados) de AΔ , ΔB ; entonces, el resto, el doble del (rectángulo comprendido) por AΔ , ΔB es igual al resto MK . Y como se ha supuesto que la suma de los (cuadrados) de AΓ , ΓB es medial, entonces EH también es medial. Y se ha aplicado a la (recta expresable) EZ . Luego ΘE es expresable e inconmensurable en longitud con EZ [X 22]. Por lo mismo, entonces, ΘN es una recta expresable inconmensurable en longitud con EZ . Y como la suma de los (cuadrados) de AΓ , ΓB es inconmensurable con el doble del (rectángulo comprendido) por AΓ , ΓB , entonces EH es inconmensurable con HN ; de modo que EΘ es inconmensurable con ΘN [VI 1; X 11]. Y son expresables; entonces EΘ , ΘN son expresables conmensurables sólo en cuadrado; luego EN es una (recta) binomial dividida por el (punto) Θ [X 36]. De manera semejante demostraríamos que también se divide por el (punto) M . Ahora bien, EΘ no es la misma que MN ; entonces una (recta) binomial se ha dividido por dos puntos diferentes; lo cual es absurdo [X 42]. Luego el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos (áreas) mediales no se divide por dos puntos diferentes.

Por consiguiente, se divide por uno sólo.

SEGUNDAS DEFINICIONES ³⁴

1. Dada una recta expresable y otra binomial dividida en sus términos, de forma que el cuadrado del término mayor sea mayor que el cuadrado del (término) menor en el (cuadrado) de una recta conmensurable en longitud con él (el mayor); si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, llámese (la recta entera) primera binomial.

2. Y si el término menor es conmensurable en longitud con la (recta) expresable, llámese (la recta entera) segunda binomial.

3. Pero si ninguno de los términos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, llámese (la recta entera) tercera binomial.

4. Si el cuadrado del término mayor es, a su vez, mayor (que el del menor) en el cuadrado de una (recta) inconmensurable en longitud con el mayor, entonces, si el término mayor es conmensurable en longitud con la (recta) expresable dada, llámese (la recta entera) cuarta binomial.

5. Pero si (lo es) el menor, quinta.

6. Y si ninguno de los dos, sexta.

PROPOSICIÓN 48

Hallar una recta primera binomial

Pónganse dos números AΓ , ΓB de modo que su suma AB guarde con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no guarde con ΓA la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado [Lema 1 después de X 28]. Y póngase una recta expresable Δ , y sea la recta EZ conmensurable en longitud con Δ . Entonces EZ es también expresable. Y como el número BA es al número AΓ , sea así el cuadrado de EZ al cuadrado de ZH [X 6 Por.]. Pero AB guarda con AΓ la razón que un número guarda con un número; entonces el cuadrado de EZ guarda también con el cuadrado de ZH la razón que un número guarda con un número; de modo que el (cuadrado) de EZ es conmensurable con el (cuadrado) de ZH [X 6]. Y EZ es expresable, luego ZH es también expresable. Ahora bien, dado que BA no guarda con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de EZ tampoco guarda con el cuadrado de ZH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego EZ es inconmensurable en longitud con ZH [X 9]. Entonces EZ , ZH son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado. Luego EH es binomial [X 36].

Digo que también es primera.

Pues, dado que como el número BA es al (número) AΓ , así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de ZH , y que BA es mayor que AΓ , entonces, el (cuadrado) de EZ es también mayor que el (cuadrado) de ZH . Sean, pues, los (cuadrados) de ZH , Θ iguales al (cuadrado) de EZ . Y dado que, como BA es a AΓ , así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de ZH , entonces, por conversión, como AB es a BΓ , así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de Θ [V 19 Por.]. Pero AB guarda con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el (cuadrado) de EZ guarda con el (cuadrado) de Θ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego EZ es conmensurable en longitud con Θ [X 9]; por tanto, el cuadrado de EZ es mayor que el (cuadrado) de ZH en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (EZ ). Y EZ , ZH son (rectas) expresables, y EZ es conmensurable en longitud con Δ .

Por consiguiente EH es una primera binomial. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 49

Hallar una (recta) segunda binomial.

Pónganse dos números AΓ , ΓB de modo que su suma AB guarde con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no guarde con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y póngase la recta expresable Δ , y sea la recta EZ conmensurable en longitud con Δ ; entonces EZ es expresable. Y hágase de forma que, como el número ΓA es al número AB , sea así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de ZH [X 6 Por.]; entonces el (cuadrado) de EZ es conmensurable con el cuadrado de ZH [X 6]. Luego ZH es expresable. Ahora bien, dado que el número ΓA no guarda con el (número) AB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, ni el cuadrado de EZ guarda con el (cuadrado) de ZH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces EZ es inconmensurable en longitud con ZH [X 9]; luego EZ , ZH son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, EH es binomial.

Hay que demostrar ahora que también es segunda.

Pues, dado que, por inversión, como el número BA es al (número) AΓ , así el (cuadrado) de HZ al (cuadrado) de ZE , mientras que BA es mayor que AΓ ; entonces el cuadrado de HZ es mayor que el (cuadrado) de ZE .

Sean los (cuadrados) de EZ , Θ iguales al (cuadrado) de HZ ; entonces, por conversión, como AB es a BΓ , así el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de Θ [V 19 Por.]. Pero AB guarda con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego el (cuadrado) de ZH guarda también con el (cuadrado) de Θ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Por tanto, ZH es conmensurable en longitud con Θ [X 9]; de modo que el cuadrado de ZH es mayor que el cuadrado de ZE en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (ZH ). Ahora bien, ZH , ZE son (rectas) racionales conmensurables sólo en cuadrado, y el término menor EZ es conmensurable en longitud con la (recta) expresable dada Δ .

Por consiguiente, EH es una segunda binomial. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 50

Hallar una (recta) tercera binomial.

Pónganse dos números AΓ , ΓB de modo que su suma AB guarde con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no guarde con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Póngase otro número cualquiera Δ , que no sea cuadrado y que no guarde con ninguno de los números BA , AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; póngase una recta expresable E y hágase de forma que, como Δ es a AB , sea así el (cuadrado) de E al cuadrado de la (recta) ZH [X 6 Por.]. Entonces, el cuadrado de E es conmensurable con el (cuadrado) de ZH [X 6]. Ahora bien, E es una (recta) expresable; luego ZH es también expresable. Y dado que Δ no guarda con AB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, ni el cuadrado de E guarda con el (cuadrado) de ZH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces E es inconmensurable en longitud con ZH [X 9]. Hágase de forma que, como el número BA es al (número) AΓ , sea así, a su vez, el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de HΘ [X 6 Por.]; entonces el (cuadrado) de ZH es conmensurable con el (cuadrado) de HΘ [X 6]. Pero ZH es una (recta) expresable; entonces HΘ es también expresable. Y dado que BA no guarda con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, el (cuadrado) de ZH tampoco guarda con el (cuadrado) de ΘH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Entonces ZH es inconmensurable en longitud con ΘH [X 9]. Luego ZH , HΘ son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, ZΘ es binomial [X 36].

Digo que también es tercera.

Así pues, dado que como Δ es a AB , así el (cuadrado) de E es al (cuadrado) de ZH , mientras que, como BA es a AΓ , así el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de HΘ , entonces, por igualdad, como Δ es a AΓ , así el (cuadrado) de E al (cuadrado) de HΘ [V 22]. Pero Δ no guarda con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el (cuadrado) de E tampoco guarda con el cuadrado de HΘ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego E es inconmensurable en longitud con HΘ [X 9]. Ahora bien, dado que, como BA es a AΓ , así el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de HΘ , entonces el (cuadrado) de ZH es mayor que el (cuadrado) de HΘ . Pues bien, sean los (cuadrados) de HΘ , K iguales al (cuadrado) de ZH ; entonces, por conversión, como AB es a BΓ , así el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de K [V 19 Por.]. Pero AB guarda con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el (cuadrado) de ZH guarda con el (cuadrado) de K la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego ZH es conmensurable en longitud con K [X 9]. Por tanto, el cuadrado de ZH es mayor que el cuadrado de HΘ en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (ZH ). Y ZH , HΘ son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado, y ninguna de ellas es conmensurable en longitud con E .

Por consiguiente, ZΘ es una tercera binomial. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 51

Hallar una (recta) cuarta binomial.

Pónganse dos números AΓ , ΓB de modo que AB no guarde ni con BΓ , ni con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Póngase la recta expresable Δ y sea la (recta) EZ conmensurable en longitud con Δ ; entonces EZ es expresable. Y hágase de forma que, como el número BA es al (número) AΓ , sea así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de ZH [X 6 Por.]. Entonces el (cuadrado) de EZ es conmensurable con el (cuadrado) de ZH [X 6]. Luego ZH es también expresable. Y dado que BA no guarda con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, ni el (cuadrado) de EZ guarda con el (cuadrado) de ZH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces EZ es inconmensurable en longitud con ZH [X 9]. Luego EZ , ZH son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado; de modo que EH es binomial.

Digo ahora que también es cuarta.

Pues, dado que como BA es a AΓ , así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de ZH , entonces el (cuadrado) de EZ es mayor que el (cuadrado) de ZH . Pues bien, sean los (cuadrados) de ZH , Θ iguales al (cuadrado) de EZ ; entonces, por conversión, como el número AB es al (número) BΓ , así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de Θ [V 19 Por.]. Pero AB no guarda con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el (cuadrado) de EZ tampoco guarda con el (cuadrado) de Θ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego EZ es inconmensurable en longitud con Θ [X 9]. Por tanto, el cuadrado de EZ es mayor que el de HZ en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (EZ ). Ahora bien, EZ , ZH son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado, y EZ es conmensurable en longitud con Δ .

Por consiguiente, EH es una cuarta binomial. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 52

Hallar una (recta) quinta binomial.

Pónganse dos números AΓ , ΓB de modo que AB no guarde con ninguno de ellos la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; póngase una (recta) expresable cualquiera Δ , y sea la (recta) EZ conmensurable con Δ ; entonces EZ es expresable. Hágase de forma que como ΓA es a AB , sea así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de ZH [X 6 Por.]. Pero ΓA no guarda con AB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el (cuadrado) de EZ tampoco guarda con el (cuadrado) de ZH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego EZ , ZH son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado [X 9]. Por tanto, EH es binomial [X 36].

Digo ahora que también quinta.

Pues, dado que, como ΓA es a AB , así el (cuadrado) de EZ al (cuadrado) de ZH , entonces, por inversión, como BA es a AΓ , así el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de ZE . Luego el (cuadrado) de HZ es mayor que el (cuadrado) de ZE . Pues bien, sean los (cuadrados) de EZ , Θ iguales al (cuadrado) de HZ ; entonces, por conversión, como el número AB es al (número) BΓ , así el (cuadrado) de HZ al (cuadrado) de Θ [V 19 Por.]. Pero AB no guarda con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el (cuadrado) de ZH tampoco guarda con el (cuadrado) de Θ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego ZH es inconmensurable en longitud con Θ [X 9]; de modo que el (cuadrado) de ZH es mayor que el (cuadrado) de ZE en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (ZH ). Y HZ , ZE son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado, y el término menor EZ es conmensurable en longitud con la recta expresable dada Δ .

Por consiguiente, EH es una quinta binomial. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 53

Hallar una (recta) sexta binomial.

Pónganse dos números AΓ , ΓB , de modo que AB no guarde con ninguno de ellos la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y haya también otro número Δ que no sea cuadrado y no guarde con ninguno de los (números) BA , AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; póngase una (recta) expresable E , y hágase de forma que, como Δ es a AB , sea así también el (cuadrado) de E al (cuadrado) de ZH [X 6 Por.]; entonces el (cuadrado) de E es conmensurable con el (cuadrado) de ZH [X 6]. Ahora bien, E es expresable; luego ZH es también expresable. Y como Δ no guarda con AB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el (cuadrado) de E tampoco guarda con el (cuadrado) de ZH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego E es inconmensurable en longitud con ZH [X 9]. Además hágase de forma que, como BA es a AΓ , así, a su vez, el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de HΘ [X 6 Por.]; entonces el (cuadrado) de ZH es conmensurable con el (cuadrado) de ΘH ; luego el (cuadrado) de ΘH es expresable; por tanto, ΘH es expresable. Y puesto que BA no guarda con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, ni el (cuadrado) de ZH guarda con el (cuadrado) de HΘ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces ZH es inconmensurable en longitud con HΘ [X 9]. Luego ZH , HΘ son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado. Por tanto, ZΘ es binomial [X 36].

Hay que demostrar ahora que también es sexta.

Pues bien, dado que como Δ es a AB , así el (cuadrado) de E al (cuadrado) de ZH , pero también, como BA es a AΓ , así el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de HΘ , entonces, por igualdad, como Δ es a AΓ , así el (cuadrado) de E al (cuadrado) de HΘ [V 22]. Pero Δ no guarda con AΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el (cuadrado) de E no guarda con el (cuadrado) de HΘ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego E es inconmensurable en longitud con HΘ [X 9]. Pero se ha demostrado que es también inconmensurable con ZH ; entonces cada una de las (rectas) ZH , HΘ es inconmensurable en longitud con E . Y dado que, como BA es a AΓ , así el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de HΘ , entonces el (cuadrado) de ZH es mayor que el (cuadrado) de HΘ . Sean, pues, los cuadrados de HΘ , K iguales al (cuadrado) de ZH ; entonces, por conversión, como AB es a BΓ , así el (cuadrado) de ZH al (cuadrado) de K [V 19 Por.]. Pero AB no guarda con BΓ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; de modo que el (cuadrado) de ZH tampoco guarda con el (cuadrado) de K la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego ZH es inconmensurable en longitud con K [X 9]; entonces el cuadrado de ZH es mayor que el de HΘ en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (ZH ). Ahora bien, ZH , HΘ son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado, y ninguna de ellas es conmensurable en longitud con la recta expresable dada E .

Por consiguiente, ZΘ es una sexta binomial. Q . E . D .

LEMA

Sean AB , BΓ dos cuadrados y pónganse de modo que ΔB esté en línea recta con BE ; entonces ZB está también en línea recta con BH . Complétese el paralelogramo AΓ .

Digo que AΓ es un cuadrado y que ΔH es media proporcional de AB , BΓ y además ΔΓ es media proporcional de AΓ , ΓB .

Pues como ΔB es igual a BZ , y BE a BH , entonces la (recta) entera ΔE es igual a la (recta) entera ZH . Pero ΔE es igual a cada una de las (rectas) AΘ , KΓ , mientras que ZH es igual a cada una de las (rectas) AK , ΘΓ [I 34]. Entonces, las (rectas) AΘ , KΓ son iguales respectivamente a las (rectas) AK , ΘΓ . Luego el paralelogramo AΓ es equilátero. Pero también es rectangular; entonces AΓ es un cuadrado.

Y dado que, como ZB es a BH , así ΔB a BE , mientras que, como ZB es a BH , así AB a ΔH , y como ΔB es a BE , así ΔH a BΓ [VI 1], entonces también, como AB es a ΔH , así ΔH a BΓ [V 11]; luego ΔH es media proporcional de AB , BΓ .

Digo ahora que ΔΓ es también media proporcional de AΓ , ΓB .

Pues, dado que, como AΔ es a ΔK , así KH a HΓ , porque son iguales respectivamente, y, por composición, como AK es a KΔ , así KΓ es a ΓH [V 18], mientras que, como AK es a KΔ , así AΓ a ΓΔ , y como KΓ es a ΓH , así ΔΓ a ΓB [VI 1], entonces, como AΓ es a ΔΓ , así también ΔΓ a BΓ [V 11].

Por consiguiente, ΔΓ es media proporcional de AΓ , ΓB . (Que es) lo que se ha propuesto demostrar ³⁵ .

PROPOSICIÓN 54

Si un área está comprendida por una (recta) expresable y una primera binomial, el lado del cuadrado equivalente al (área) es la (recta) no expresable llamada binomial.

Esté comprendida, pues, el área AΓ por la (recta) expresable AB y la primera binomial AΓ .

Digo que el lado del cuadrado equivalente al (área) AΓ es la (recta) no expresable llamada binomial.

Pues como AΔ es una (recta) primera binomial, divídase en sus términos por el (punto) E , y sea AE el término mayor. Queda claro, entonces, que AE , EΔ son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de AE es mayor que el de EΔ en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (AE ), y AE es conmensurable en longitud con la (recta) expresable dada AB [X Segundas definiciones 1]. Divídase, pues, EΔ en dos partes iguales por el punto Z . Y como el cuadrado de AE es mayor que el de EΔ en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (AE ), entonces, si se aplica a la (recta) mayor AE un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor, es decir, al cuadrado de EZ y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en (partes) conmensurables [X 17]. Aplíquese, pues, a AE el (rectángulo comprendido) por AH , HE igual al cuadrado de EZ ; entonces AH es conmensurable en longitud con EH . Trácense, a partir de los (puntos) H , E , Θ , las rectas HΘ , EK , ZΛ paralelas a cada una de las (rectas) AB , ΓΔ ; y constrúyase el cuadrado ΣN igual al paralelogramo AΘ , y el (cuadrado) NΠ igual al (paralelogramo) HK [II 14], y hágase de forma que MN esté en línea recta con NΞ ; entonces PN está en línea recta con NO . Y complétese el paralelogramo ΣΠ ; entonces ΣΠ es un cuadrado [Lema]. Y como el (rectángulo comprendido) por AH , HE es igual al (cuadrado) de EZ , entonces, como AH es a EZ , así ZE a EH [VI 17]; luego como AΘ es a EΛ , EΛ es a KH [VI 1]; por tanto, EΛ es media proporcional de AΘ , HK . Pero AΘ es igual a ΣN , y HK es igual a NΠ ; luego EΛ es media proporcional de ΣN , NΠ . Pero MP es media proporcional de los mismos ΣN , NΠ [Lema]; luego EΛ es igual a MP ; de modo que también es igual a OΞ : pero AΘ , HK son iguales a ΣN , NΠ ; entonces el (paralelogramo) entero AΓ es igual al (paralelogramo) entero ΣΠ , es decir, al cuadrado de MΞ ; entonces MΞ es el lado del cuadrado equivalente a AΓ .

Digo que MΞ es binomial.

Pues como AH es conmensurable con HE , AE es también conmensurable con cada una de las (rectas) AH , HE [X 15]. Pero se ha supuesto que AE es también conmensurable con AB ; luego AH , HE son conmensurables con AB [X 12]; y AB es expresable, luego cada una de las (rectas) AH , HE es también expresable; por tanto, cada uno de los (rectángulos) AΘ , HK es expresable [X 19], y AΘ es conmensurable con HK . Pero AΘ es igual a ΣN y HK a NΠ ; entonces ΣN , NΠ , es decir, los cuadrados de MN , NΞ son expresables y conmensurables. Ahora bien, dado que AE es inconmensurable en longitud con EΔ , mientras que AE es conmensurable con AH , y ΔE es conmensurable con EZ , entonces AH es inconmensurable con EZ [X 13]; de modo que AΘ es inconmensurable con EΛ [V 1; X 11]. Pero AΘ es igual a ΣN , y EΛ a MP ; entonces ΣN es inconmensurable con MP . Pero como ΣN es a MP , ON es a NP [VI 1]; luego ON es inconmensurable con NP [X 11]. Pero ON es igual a MN , y NP a NΞ . Luego MN es inconmensurable con NΞ . Y el cuadrado de MN es conmensurable con el (cuadrado) de NΞ , y cada uno de ellos es expresable; por tanto MN , NΞ son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado.

Por consiguiente, MΞ es binomial y el lado del cuadrado equivalente a AΓ . Q . E . D .

PROPOSICIÓN 55

Si un área está comprendida por una (recta) expresable y una segunda binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada primera bimedial.

Esté, pues, comprendida el área ABΓΔ por la (recta) expresable AB y la segunda binomial AΔ .

Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AΓ es una (recta) primera bimedial.

Pues como AΔ es una (recta) segunda binomial, divídase en sus términos por el (punto) E , de modo que AE sea el término mayor; entonces AE , EΔ son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de AE es mayor que el de EΔ en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (AE ), y el término menor EΔ es conmensurable en longitud con AB [X, segundas definiciones, 2]. Divídase EΔ en dos partes iguales por el (punto) Z , y aplíquese a AE el rectángulo AHE igual al cuadrado de EZ y deficiente en la figura de un cuadrado. Entonces AH es conmensurable en longitud con HE [X 17]. Y trácense por los (puntos) H , E , Z las (rectas) HΘ , EK , ZΛ paralelas a AB , ΓΔ , y constrúyase el cuadrado ΣN , igual al paralelogramo AΘ , y el cuadrado NΠ igual al (paralelogramo) HK , y hágase de modo que MN , NΞ estén en línea recta. Entonces PN está también en línea recta con NO . Complétese el cuadrado ΣΠ ; queda claro, entonces, a partir de lo demostrado anteriormente, que MP es media proporcional de ΣN , NΠ y es igual a EΛ y que MΞ es el lado del cuadrado equivalente al área AΓ . Hay que demostrar ahora que MΞ es una (recta) primera bimedial. Puesto que AE es inconmensurable en longitud con EΔ , mientras que EΔ es conmensurable con AB , entonces AE es inconmensurable con AB [X 13]. Ahora bien, puesto que AH es conmensurable con EH , AE es conmensurable también con cada una de las (rectas) AH , HE [X 15]. Pero AE es inconmensurable en longitud con AB ; luego AH , HE son inconmensurables también con AB [X 13]. Por tanto BA , AH , HE (es decir: BA , AH y BA , HE ) son (pares de) rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado ³⁶ ; de modo que cada uno de los (rectángulos) AΘ , HK es medial [X 21]. De manera que cada uno de los (rectángulos) AΘ , HK es medial [X 21]. De manera que cada uno de los (cuadrados) ΣN , NΠ es también medial. Entonces las (rectas) MN , NΞ son también mediales. Y dado que AH es conmensurable en longitud con HE , el (rectángulo) AΘ es conmensurable también con el (rectángulo) HK [VI 1; X 11], es decir el (cuadrado) de ΣN con el (cuadrado) de NΠ , es decir el (cuadrado) de MN con el (cuadrado) de NΞ . Ahora bien, como AE es inconmensurable en longitud con EΔ , mientras que AE es conmensurable con AH , y EΔ es conmensurable con EZ , entonces AH es inconmensurable con EZ [X 13]; de modo que el (rectángulo) AΘ es inconmensurable con el (rectángulo) EΛ , es decir el (cuadrado) ΣN con el (cuadrado) MP , esto es la (recta) ON con la (recta) NP [VI 1; X 11]. Es decir, MN es inconmensurable en longitud con NΞ . Pero se ha demostrado que MN , NΞ son tanto mediales como conmensurables en cuadrado; entonces MN , NΞ son (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado.

Digo además que comprenden un (rectángulo) expresable.

Pues como se ha supuesto que ΔE es conmensurable con cada una de las (rectas) AB , EZ , entonces EZ lo es también con EK . Y cada una de ellas es expresable. Por tanto, EΛ , es decir MP es expresable [X 19]; pero MP es el rectángulo MNΞ . Ahora bien, si se suman dos (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable, la (recta) entera no es expresable y se llama primera bimedial [X 37].

Por consiguiente, MΞ es una primera bimedial. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 56

Si un área está comprendida por una (recta) expresable y una tercera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la (recta) no expresable llamada segunda bimedial.

Sea, pues, comprendida el área ABΓΔ por la (recta) expresable AB y la tercera binomial AΔ dividida por el (punto) E en sus términos, de los cuales el mayor es AE .

Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AΓ es la (recta) no expresable llamada segunda bimedial.

Sígase, pues, la misma construcción de la proposición anterior. Y como AΔ es una tercera binomial, entonces AE , EΔ son (rectas) expresables conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de AE es mayor que el de EΔ en el (cuadrado) de una recta conmensurable con ella (AE ), y ninguno de los (términos) AE , EΔ es conmensurable en longitud con AB [X Segundas Definiciones 3].

De manera semejante a los (teoremas) anteriores demostraríamos que MΞ es el lado del cuadrado equivalente al área AΓ , y MN , NΞ son (rectas) mediales conmensurables sólo en cuadrado; de modo que MΞ es bimedial.