Kitabı oku: «Ingeniería económica»
INGENIERÍA ECONÓMICA
¿cómo medir la rentabilidad de un proyecto?
Pedro Arroyo • Ruth Vásquez
Colección Textos Universitarios
Ingeniería económica: ¿cómo medir la rentabilidad de un proyecto? Primera edición digital, octubre de 2016
© Pedro Arroyo Gordillo, Ruth Vásquez Rivas Plata
© Universidad de Lima
Fondo Editorial
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Diseño, edición y carátula: Fondo Editorial de la Universidad de Lima
Versión ebook 2017
Digitalizado y distribuido por Saxo.com Peru S.A.C.
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Se prohíbe la reproducción total o parcial de este libro sin permiso expreso del Fondo Editorial.
ISBN versión electrónica: 978-9972-45-355-7
Índice
Introducción
Capítulo 1: La ingeniería económica y su importancia
1.1 La ingeniería económica
1.2 Definiciones
1.3 Tipos de interés
Problemas resueltos
Capítulo 2: Factores de cálculo de la ingeniería económica
2.1 Factores de pago único (F/P y P/F)
2.2 Factores de recuperación y actualización de una serie uniforme (A/P y P/A)
2.3 Factores de amortización y capitalización de una serie uniforme (A/F y F/A)
2.4 Factores de gradiente aritmético (P/G, F/G y A/G)
2.5 Diagrama de flujo de efectivo
2.6 Funciones de Excel utilizadas en matemática financiera
Problemas resueltos
Capítulo 3: Criterios de inversión
3.1 Valor actual neto (VAN)
3.2 La tasa interna de retorno (TIR)
3.3 La relación beneficio/costo
3.4 Periodo de recuperación
Problemas resueltos
Capítulo 4: Alternativas de inversión mutuamente excluyentes y alternativas independientes
4.1 Contradicción en la evaluación de proyectos mutuamente excluyentes
4.2 Evaluación con proyectos de horizonte de vida diferentes
4.3 Reemplazo de activos
Problemas resueltos
Capítulo 5: La depreciación y los métodos de cálculo
5.1 Definiciones
5.2 Tipos de depreciación
5.3 Métodos de depreciación
Problemas resueltos
Capítulo 6: Evaluación económica de proyectos
6.1 Aspectos conceptuales y aplicaciones
Problemas resueltos
Capítulo 7: Financiamiento de proyectos con deuda
7.1 Cuotas constantes
7.2 Cuotas decrecientes
7.3 Cuotas crecientes
7.4 Periodo de gracia
Problemas resueltos
Capítulo 8: Costo promedio ponderado de capital
8.1 El CPPC considerando diversas fuentes de financiamiento
Problemas resueltos
Capítulo 9: Evaluación financiera de proyectos
9.1 Flujo neto financiero a partir del flujo neto económico
9.2 Ganancia o pérdida por venta del activo en el flujo financiero
9.3 ¿Flujo económico o flujo financiero? ¿Qué decisión tomar?
9.4 Análisis de sensibilidad en la evaluación de proyectos
Problemas resueltos
Capítulo 10: Inflación
10.1 Historia de la inflación en el Perú: 1985-2014
10.2 Relación entre la tasa de interés corriente y la tasa de interés real
10.3 Flujos de efectivo ajustados por inflación
10.4 Flujos de efectivo ajustados por inflación anual diferente
10.5 Evaluación de proyectos ajustados por inflación
10.6 Valor actual en proyectos con diferente inflación anual
Problemas resueltos
Bibliografía
Introducción
En la vida diaria, las personas toman diversas decisiones de manera rutinaria para elegir una u otra alternativa, a pesar de que los contextos tecnológicos y sociales en que vivimos cambian de manera continua y rápida. La mayoría de estas decisiones involucran dinero, llamado capital o fondos monetarios, que generalmente son recursos limitados. La decisión de cómo invertir dicho capital está motivada por el objetivo de agregar valor cuando se consigan los resultados futuros que se espera obtener. Los profesionales de la ingeniería y las disciplinas afines desempeñan un papel vital en la toma de decisiones. Debido a su habilidad y experiencia, basan sus decisiones en una combinación de elementos económicos y no económicos.
La ingeniería económica es una de las disciplinas de estudio más prácticas en el ámbito de la ingeniería, así como una especialidad desafiante y en continuo movimiento.
Los objetivos de este libro son:
• Facilitar una amplia comprensión de las bases teóricas y conceptuales que fundamenten el análisis de las inversiones, el financiamiento y los proyectos económico-financieros.
• Incorporar las herramientas fundamentales para la toma de decisiones, y el uso de herramientas informáticas de Excel.
• Satisfacer las necesidades prácticas del estudiante de ingeniería y disciplinas afines, para así tomar decisiones informadas al actuar como miembro de un equipo o como el administrador de un proyecto de ingeniería.
La ingeniería económica se ocupa del estudio de los factores económicos.
Esto implica la evaluación sistemática de los resultados económicos y de las soluciones propuestas a los problemas de la ingeniería. Para que estas sean aceptables en lo económico, las soluciones de los problemas deben arrojar un balance positivo de los beneficios a corto, mediano y largo plazo, en relación con los costos a corto, mediano y largo plazo. (Sullivan, Wick, Luxhoj, 2004. p. 3)
Por lo expuesto, la ingeniería económica es la disciplina encargada de medir en unidades monetarias las decisiones que los ingenieros toman, las cuales se relacionan de manera directa con los distintos tipos de costos y el rendimiento.
El presente texto constituye el material base para el estudio de las finanzas en todos sus ámbitos de aplicación y niveles de complejidad. Por lo mismo, se trata de una obra de lectura obligatoria para las personas que desean especializarse en temas de finanzas corporativas de corto, mediano y largo plazo, diseño y evaluación de proyectos, entre otros.
El libro se organiza principalmente en dos partes, dentro de las cuales se incluyen contenidos tanto teóricos como ejercicios de aplicación, que permiten al lector trasladar lo aprendido en cada capítulo de la teoría a la práctica.
La primera parte del texto está enfocada en los conceptos básicos de la matemática financiera. Estos son: el marco conceptual de los intereses, las tasas de interés y su tipología, así como los factores de cálculo para los flujos de efectivo correspondientes.
La segunda parte del texto evalúa los ejes económicos y financieros de los proyectos de inversión. Se consideran todos los elementos que involucran a los mismos, como los tipos de financiamiento que se manejan en los mercados, los costos del dinero adecuadamente negociados, el impacto de la inflación en los rendimientos de cada proyecto, la sensibilidad asociada a las variables que se manejan, entre otros.
Resulta conveniente que el lector realice un avance secuencial y progresivo del material incluido en el texto, ya que contiene capítulos que tienen relación unos con otros. El entendimiento cabal de los mismos dependerá de haber comprendido los capítulos precedentes, tanto en lo conceptual como en su aplicación correspondiente.
El libro se clasifica en diez capítulos. En los capítulos 1 y 2 se formulan y justifican los temas vinculados al valor del dinero en el tiempo, el interés simple y compuesto, las tasas de interés nominal, proporcional, efectivo y real, los diagramas de flujo de caja, los conceptos de equivalencia, el valor presente, futuro, uniforme y la gradiente. En los capítulos 3 y 4 se analizan e interpretan las técnicas de descuento financiero o criterio de inversión, las mismas que permiten tomar decisiones de viabilidad de un proyecto de inversión. Estas técnicas son el valor actual neto (VAN), la tasa interna de retorno (TIR), la relación beneficio/costo (R B/C), el periodo de recuperación de capital (PR) y el costo anual uniforme equivalente (CAUE). Asimismo, se analiza la comparación de alternativas excluyentes de inversión, reemplazo de activos, maquinaria y equipos, teniendo en cuenta los horizontes de vida iguales y diferentes para evaluar proyectos de inversión. En el capítulo 5 se explican los métodos de depreciación, el procedimiento operativo de cálculo y su impacto en el ámbito empresarial. Los capítulos 6, 7, 8 y 9 están referidos a la determinación metodológica de los flujos de fondos netos, tanto económicos como financieros, a las aplicaciones de evaluación económica de proyectos, evaluación financiera incorporando la deuda y la formulación e interpretación del costo promedio ponderado de capital (CPPC). En el capítulo 10 se analizan los efectos de la inflación sobre los costos del dinero, la determinación de los flujos netos corrientes y constantes, y el impacto que originan sobre los rendimientos de las inversiones.
El material contenido en el libro es el producto de la amplia experiencia de sus autores, tanto a nivel empresarial como académico. El propósito es que sea útil para los estudiantes y lectores en general que deseen incursionar en el mundo de las finanzas y sus diferentes ámbitos de aplicación, así como en la gestión efectiva de los negocios del mundo globalizado.
| Capítulo 1 | La ingeniería económica y su importancia |
En este capítulo se tratan los siguientes temas:
• La ingeniería económica
• Definiciones
• Tipos de interés
¿Se imagina usted tener la suerte de obtener hoy mismo el premio mayor de un juego de azar de S/. 200 000? ¿Qué haría con ese dinero? Es muy probable que lo invierta, quizá en activos fijos, tal vez en activos financieros o en un proyecto. Esa inversión generaría rentabilidad en el tiempo: al cabo de un año es muy probable que esos S/. 200 000 valgan más.
Pero ¿qué pasaría si sabe que ese premio se lo darán al finalizar el año? Tendrá que esperar todo ese tiempo para poder usarlo, sin embargo, los tendrá.
Como se ve, el dinero vale más en el tiempo. Esa es la base de la ingeniería económica: el valor del dinero en el tiempo. La importancia de la ingeniería económica radica en entender por qué el dinero cambia en diferentes periodos del tiempo. En un mundo globalizado, donde es importante la toma de decisiones a la brevedad, la ingeniería económica proporciona las herramientas analíticas para evaluar proyectos, lo cual se verá en capítulos subsecuentes.
Objetivos del capítulo:
• Entender el papel de la ingeniería económica en el proceso de la toma de decisiones.
• Comprender las definiciones de la simbología convencional de la ingeniería económica como capital inicial, tasa de interés, interés, número de periodos y valor futuro o valor final.
• Conocer los tipos de interés: interés simple e interés compuesto.
• Calcular el interés nominal y el interés efectivo en uno o más periodos de evaluación.
• Entender la tasa equivalente y las tasas proporcionales.
• Identificar las funciones de Excel que se utilizan en la relación entre tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva.
1.1 LA INGENIERÍA ECONÓMICA
La ingeniería económica es el conjunto de técnicas y herramientas de análisis que, sobre la base de las matemáticas financieras y los resultados cuantitativos respectivos, nos permiten tomar decisiones económicas en busca de la mejor alternativa a nivel empresarial y para nuestra vida personal.
La ingeniería económica se fundamenta en el valor del dinero en el tiempo. Sirve para tomar decisiones sobre inversiones y financiamiento, las cuales se desarrollan en los agentes económicos.
El valor del dinero en el tiempo es la capacidad que se tiene para generar más dinero a lo largo del tiempo. Por ello, el valor de una determinada cantidad hoy, invertida a una tasa de interés y en un periodo de tiempo, tendrá un valor diferente al final de dicho periodo.
Diariamente nos vemos en situaciones de incertidumbre, que conllevan alguna decisión económica que nos afecte a futuro. Por ejemplo:
• La compra hoy en efectivo de un terno, implica no disponer del efectivo para otras compras.
• El pago adelantado (a descuento) de la pensión anual del colegio de nuestros hijos, conlleva que vamos a pagar menos, pero esta decisión resta efectivo en el tiempo actual.
• La obtención de un préstamo hipotecario a 15 años es una decisión con beneficios en el presente, porque dispondremos de una vivienda casi automáticamente. Sin embargo, implica una deuda durante quince años, a pagar en cuotas mensuales. Lo mismo sucede con los préstamos vehiculares, pero en una menor cantidad de tiempo.
• Una persona o empresa formalmente constituida que requiere solicitar un préstamo bancario, buscará la fuente más barata de financiamiento, en aquel banco que le cobre menos. Para este caso, si bien la ingeniería económica considera la tasa efectiva anual (TEA) más barata, en la vida real los bancos cobran comisiones que las personas y las empresas deben considerar al momento de tomar su decisión. En el Perú, la tasa de cobro incluyendo las comisiones que cobra el banco se denomina tasa de costo efectivo anual (TCEA).
Pero la ingeniería económica no solo se refiere a necesidades de financiamiento, también plantea necesidades de inversión. Por ejemplo:
• El ahorrista que deposita su dinero en el banco espera el pago de un interés mayor. Lo lógico es que busque aquel banco que le ofrece una mayor tasa de interés efectiva, luego de calcular comisiones cobradas por el banco. Similar al caso anterior, la rentabilidad que ofrece el banco descontando las comisiones se denomina tasa de rendimiento efectivo anual (TREA).
• El inversionista que coloca de la mejor forma sus fondos, debe decidir por la alternativa más rentable.
• El financista de una empresa debe decidir en qué proyecto invertir, sobre todo porque muchas empresas cuentan con capital limitado, por lo que a veces solo se puede invertir en un único proyecto.
En los diferentes casos hay beneficios cualitativos que se deben tomar en cuenta para cualquier decisión.
1.2 DEFINICIONES
Tasa de interés: i %
Es una medida del valor del dinero en el tiempo. Se trata de la retribución dada al prestamista (quien presta) por dejar de utilizar el dinero para prestarlo o el pago que realiza el prestatario (quien recibe el préstamo) por el uso del dinero. A menos que se establezca lo contrario, la unidad de tiempo convenida es un año.
Interés: I
Es la cuantificación del dinero en el tiempo. Corresponde a la cantidad generada u obtenida por el uso del dinero en un préstamo o inversión en una determinada cantidad de tiempo. Es decir, es el resultado de aplicar una tasa de interés a un capital.
Simbología convencional
Para realizar los cálculos matemáticos en ingeniería económica, vamos a utilizar la simbología convencional.
| P | = | capital inicial prestado o invertido |
| I | = | interés obtenido al final del periodo |
| i % | = | tasa de interés (o también llamado i pero se expresa en porcentaje) |
| n | = | número de periodos que dura la inversión o préstamo |
| F | = | valor futuro o valor total al finalizar los “n” periodos. Este valor contempla el capital inicial prestado o invertido (P) más el interés obtenido. Es decir: F = P + I |
| A | = | valor constante de una cuota o pago uniforme. Los flujos son ininterrumpidos e iguales en todos los periodos. |
Cálculo del año base
En matemática financiera, el año base suele considerarse como un año ordinario de 360 días, con la finalidad de simplificar cálculos. Sin embargo, si tenemos las fechas exactas para determinar el interés exacto, se puede utilizar un año base de 365 días (o 366 en los años bisiestos).
1.3 TIPOS DE INTERÉS
Para la descripción de ambos tipos de interés (simple y compuesto) utilizaremos el interés a tasa vencida, es decir, cuando se paga al vencimiento.
Existe también interés pagado adelantado, tema perteneciente a las finanzas, que no se analizará en el presente acápite.
1.3.1 Interés simple e interés compuesto
Interés simple
Es el interés que se calcula sobre el capital original.
El monto de interés simple está dado por la siguiente fórmula:
I = C × i × n
Ejemplo 1.1
Determinar el interés anual de un préstamo de US$ 1000 a una tasa simple de 10 % anual.
Solución
Se realiza de la siguiente manera:
I = 1000 × 10 % × 1 = 100.
Ejemplo 1.2
Determinar el interés anual de un préstamo de US$ 1000 a una tasa simple de 5 % semestral.
Solución
De esta forma:
I = 1000 × 5 % × 2 = 100
Como se puede apreciar, el interés generado es únicamente sobre el importe original del préstamo.
Ejemplo 1.3
Determinar el interés anual de un préstamo de US$ 1000 a una tasa simple de 2,5 % durante 45 días.
Solución
En este caso, 
porque en un año de 360 días hay ocho periodos de 45 días.
Aplicando la fórmula:
I = 1000 × 2,5 % × 8 = 200
En los tres ejercicios anteriores hemos calculado solo el importe del interés (I), pero ¿qué pasa si queremos determinar el valor final o valor futuro (F)? Para conseguirlo, utilizamos esta fórmula.
F = P × (1 + i × n)
Aplicando las fórmulas en los ejemplos 1.1, 1.2 y 1.3, tenemos:
• Valor final del ejemplo 1: F = 1000 × (1 + 10 % × 1) = 1100
• Valor final del ejemplo 2: F = 1000 × (1 + 5 % × 2) = 1100
• Valor final del ejemplo 3: F = 1000 × (1 + 2,5 % × 8) = 1200
Interés compuesto
Es aquel interés que se capitaliza, pasa a ser parte del capital principal y es base de cálculo para futuros intereses.
El valor futuro de un interés compuesto está dado por la siguiente fórmula:
F = P × (1 + i)n
Si queremos hallar únicamente el importe del interés, le descontamos el importe inicial.
I = F – P
Es decir, si queremos hallar únicamente el interés compuesto, se tiene:
I = P × (1 + i)n – P
I = P × [(1 + i)n – 1]
Ejemplo 1.4
Determinar el interés de un préstamo de US$ 100 a una tasa compuesta de 10 % anual durante 3 años.
Solución
De esta forma:
• Paso 1: hallar el importe final. Se aplica la fórmula.
F = 100 × (1 + 10 %)3 = 133,1
• Paso 2: restamos el importe inicial.
Interés = 133,1 – 100 = 33,1
Es decir, en 3 años se paga US$ 33,1 por concepto de interés.
¿Cómo funciona el interés compuesto?
Tomando como base dicho ejemplo, se observa que inicialmente el préstamo es de US$ 100. Al finalizar el primer año y debido al interés, ya no se debe US$ 100, sino US$ 110 (US$ 100 × 10 %).
Como se puede ver, al finalizar el primer año se debe US$ 110, por lo que el interés acumulado al segundo año se calcula sobre US$ 110 y no sobre US$ 100, como en el interés simple. De esta manera, al cabo del segundo año el interés corresponde al 10 % de US$ 110, lo que nos da un total de US$ 121.
Para calcular el interés acumulado al finalizar el tercer año, calculamos el 10 % de US$ 121 (que es el saldo de lo que se debe al finalizar el segundo año), lo que nos da un total de US$ 133,1. Este es el importe total de la deuda al finalizar el tercer año.
Ejemplo 1.5
El señor Ortiz deposita un importe de $ 5000 en el banco, el cual le paga una tasa compuesta de 2 % anual. ¿Cuánto tendrá el Sr. Ortiz al finalizar el segundo año?
Solución
Aplicando la fórmula:
F = 5000 × (1 + 2 %)2= US$ 5202
1.3.2 Interés nominal e interés efectivo
Interés nominal
La tasa de interés nominal es una tasa expresada en un solo periodo de tiempo y no considera la capitalización. Se basa en la tasa de interés simple.
En la conversión de la tasa nominal de un periodo a otro, dado que no consideramos capitalización, la conversión se hará mediante una multiplicación simple.
Tasa nominal2 = tasa nominal1 × n
Ejemplo 1.6
Si la tasa nominal semestral es 8 %, ¿cuánto será la tasa nominal anual?
Solución
Para pasarlo a anual, debemos calcular n. Si queremos pasar de semestral a anual, entonces sabemos que un año tiene dos semestres, por lo que el número de periodos sería 2. De esta manera, utilizamos la fórmula antes mencionada.
Tasa nominal anual = tasa nominal semestral × 2
Tasa nominal anual = 8 % × 2 = 16 %
Para calcular n se debe tener en cuenta los n periodos que presenta el periodo solicitado. Es decir:
• Si se quiere obtener la tasa anual y tenemos la tasa semestral, n sería 2.
• Si se busca la tasa anual y tenemos la tasa trimestral, n sería 4.
• Si se quiere calcular la tasa trimestral y tenemos la mensual, n sería 3.
• Si se quiere obtener la tasa trimestral y tenemos la tasa anual, n sería 
• Si se busca la tasa diaria y tenemos la tasa anual, n sería 
Ejemplo 1.7
Si la tasa nominal anual es 16 %, ¿cuánto será la tasa nominal trimestral?
Solución
Tasa nominal trimestral = tasa nominal anual × 
Esto debido a que un año tiene cuatro trimestres.
Por tanto, la tasa nominal trimestral = 4 %.
Interés efectivo
La tasa de interés efectiva es la tasa aplicable a cierto periodo de tiempo, pero considera la capitalización. Se basa en la tasa de interés compuesta. Debido a que consideramos la capitalización, la conversión se hará mediante la siguiente fórmula:
tasa efectiva2 = (1 + tasa efectiva1)n – 1
Ejemplo 1.8
Si la tasa efectiva semestral es 8 %, ¿cuánto será la tasa efectiva anual?
Solución
En este caso n = 2, y aplicamos la fórmula.
Tasa efectiva2 = (1 + tasa efectiva1)n – 1
Tasa efectiva anual = (1 + tasa efectiva semestral)2 – 1
Tasa efectiva anual = (1 + 8 %)2 – 1 = 16,64 %
Ejemplo 1.9
Si la tasa efectiva anual es 16 %, ¿cuál será la tasa efectiva trimestral?
Solución
Tasa efectiva trimestral = (1 + 16 %)1/4 – 1 = 3,78 %
Ejemplo 1.10
Un cliente ahorrista requiere que usted le ayude a calcular la tasa de interés efectiva anual, asumiendo que la tasa de interés que paga el Banco Mi Perú es 1,2 % efectiva mensual.
Solución
1.3.3 Relación entre la tasa nominal y la efectiva
La tasa nominal no se utiliza en las fórmulas de matemática financiera, pero es una forma de expresar la tasa efectiva.
Se sabe que:
| i % nominal por n periodos | = | (i % nominal por periodo) (n periodos) |
| i % efectiva por n periodos | = | ( (1 + i % efectiva por periodo de capitalización)^n) – 1 |
Donde ^ es el símbolo de potencia.
1.3.3.1 Método para pasar de una tasa nominal a una efectiva
Para hallar una tasa efectiva a partir de una tasa nominal, debemos dividir la tasa nominal entre el número de periodos de capitalización respectivo.
De esta forma:
El método también se puede desarrollar a través de Excel. En este caso se presenta la función INT.EFECTIVO; si se conoce la tasa nominal y los periodos de capitalización, se devuelve la tasa efectiva:
INT.EFECTIVO(tasa_nominal;num_per_año).
Esta función permite obtener la tasa de interés efectiva en el “mismo periodo” de la tasa de interés nominal. Es decir, si se utiliza la función INT.EFECTIVO y se ingresa como dato la tasa nominal anual, el resultado será la tasa de interés efectiva anual. En este caso los periodos de capitalización serán los considerados en 1 año.
Si se ingresa como dato la tasa nominal semestral, el resultado será la tasa de interés efectiva semestral. En este caso los periodos de capitalización serán los considerados en un semestre.
Ejemplo 1.11
Convertir una tasa de 12 % nominal anual capitalizable mensualmente a una tasa efectiva.
Solución
Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo anual si se ingresa la tasa de interés nominal anual.
| =INT.EFECTIVO(12%;12) | |
| =12,68% | tasa de interés efectiva anual |
Ejemplo 1.12
Convertir una tasa de 8 % nominal semestral, capitalizable trimestralmente a tasa efectiva.
Solución
i % = 8,00 % nominal semestral, capitalizable trimestralmente
1 semestre tiene: 2 trimestres
i % efectiva trimestral = 4,00 % = 
Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo semestral si se ingresa la tasa de interés nominal semestral.
| =INT.EFECTIVO(8%;2) | |
| =8,16% | Tasa de interés efectiva semestral |
Ejemplo 1.13
Convertir una tasa de 8 % nominal semestral, capitalizable quin cenalmente a tasa efectiva.
Solución
i % = 8,00 % nominal semestral, capitalizable quincenalmente
1 semestre tiene: 12 quincenas =
i % efectiva quincenal = 0,67 %
Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo semestral si se ingresa la tasa de interés nominal semestral y el periodo de capitalización quincenal.
| =INT.EFECTIVO(8%;12) | |
| = 8,30% | Tasa de interés efectiva semestral |
1.3.3.2 ¿Cómo pasar de una tasa efectiva a una nominal?
El Excel facilita el cálculo de la tasa nominal considerando la tasa efectiva y el número de periodos de capitalización. Lo permite mediante la función:
=TASA.NOMINAL (tasa_efect; num_per_año).
Esta función permite obtener la tasa de interés nominal en el “mismo periodo” de la tasa de interés efectiva. Es decir, si se utiliza la función TASA.NOMINAL y se ingresa como dato la tasa efectiva anual, el resultado será la tasa de interés nominal anual. En este caso, los periodos de capitalización serán los considerados en 1 año.
Si se ingresa como dato la tasa efectiva semestral, el resultado será la tasa de interés nominal semestral. En este caso, los periodos de capitalización serán los considerados en un semestre.
Ejemplo 1.14
Calcular la tasa nominal anual capitalizable mensualmente para una tasa efectiva anual de 18 %.
Solución
Según lo anterior, los periodos de capitalización en un año son 12, dado que 1 año tiene 12 meses
Ejemplo 1.15
Calcular la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente para una tasa efectiva anual de 18 %.
Solución
Dado que los datos deben tener la misma periodicidad del resultado, la tasa efectiva anual debe convertirse a efectiva semestral para utilizar la función Tasa.nominal.
Tasa efectiva semestral = (1 + 18 %)(1/2) –1 = 8,63 %
La tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente se calculará:
=Tasa.nominal(8,63%;2) = 8,45%.
Tome en cuenta que el 8,63 % incluye sus respectivos decimales.
1.3.4 Tasas equivalentes y proporcionales
1.3.4.1 Tasas equivalentes
Se dice que dos tasas son equivalentes cuando operan en condiciones diferentes y dan el mismo resultado efectivo. Es decir, se trata de tasas que con diferente periodicidad, producen el mismo interés efectivo anual; normalmente se considera un año, pero puede compararse en otro periodo.
Ejemplo 1.16
Calcular las tasas equivalentes a la TEA de 24 %.
Solución
| Tasa efectiva mensual: 12 meses | ||
| Tasa mensual = (1 + 24 %)^(1/12) – 1 | = | 1,81 % |
| Tasa efectiva trimestral: 4 trimestres | ||
| Tasa trimestral = (1 + 24 %)^(1/4) – 1 | = | 5,53 % |
| Tasa efectiva semestral: 2 semestres | ||
| Tasa semestral = (1 + 24 %)^(1/2) – 1 | = | 11,36 % |
| Tasa efectiva diaria: 360 días | ||
| Tasa diaria = (1 + 24 %)^(1/360) – 1 | = | 0,06 % |
Una tasa efectiva de 1,81 % mensual es equivalente a una tasa de 5,53 % efectiva trimestral, porque si se anualiza ambas tasas, dan idéntico resultado: 24 %. Lo mismo sucede con las otras tasas calculadas para el ejemplo 1.16. Es decir, una tasa de 0,06 % diaria es equivalente a una tasa de 11,36 % efectiva semestral o a una tasa de 1,81 % efectiva mensual.
1.3.4.2 Tasas proporcionales
Se dice que dos tasas son proporcionales si la tasa nominal subperiódica es igual a la tasa nominal dividida entre el número de periodos.
Ejemplo 1.17
Calcular las tasas proporcionales a la tasa nominal semestral de 12 %.
Solución
| Tasa nominal mensual: Un semestre tiene 6 meses | ||
| Tasa mensual = 12 % / 6 | = | 2,00 % |
| Tasa nominal trimestral: Un semestre tiene 2 trimestres | ||
| Tasa trimestral = 12 % / 2 | = | 6,00 % |
| Tasa nominal diaria: Un semestre tiene 180 días | ||
| Tasa diaria = 12 % / 180 | = | 0,0667 % |
Es decir, una tasa nominal de 2 % mensual es proporcional a una tasa nominal trimestral de 6 % y proporcional a una tasa nominal semestral de 12 %.
1.3.5 Tasa real
Tasa de interés que considera el índice inflacionario. Esto significa que toma en cuenta la pérdida de valor del dinero a causa de la inflación.
La relación entre la tasa corriente y real se obtiene de la siguiente fórmula, que se verá con detalle en el capítulo 10.
Ejemplo 1.18
Calcular la tasa real sabiendo que un banco ofrece una tasa corriente de 12 % al año y el índice inflacionario anual se estima en 5 %.
Solución
Reemplazando:
PROBLEMAS RESUELTOS
1. ¿En cuánto tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5 % de tasa de interés simple?
Solución
Llamemos a una cantidad de dinero: P.
Tasa de interés: 5 %
Periodos: n
Se utiliza la fórmula F = P + I y la fórmula de interés simple.
I = P × i % × n.
P + I = 2P
P + (P × i % × n) = 2P
P (1 + i % × n) = 2P
(1 + i % × n) = 2
Despejando P:
P = 20 periodos.
2. ¿En cuánto tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5 % de tasa de interés compuesto?
Solución
Llamemos a una cantidad de dinero: P.
Tasa de interés: 5 %
Periodos: n
Utilizando la fórmula F = P + I y la fórmula de interés compuesto.
I = P × [(1 + i)n– 1]
P + P × [(1 + i)n– 1] = 2P
P × (1 + i)n= 2P
(1 + i)n= 2
1,05n= 2
Despejamos utilizando logaritmo de 2 en base 1,05. Nos da:
n = 14,2 periodos.
También se puede utilizar la función log en Excel.
Para el presente ejemplo: log(2;1,05) = 14,2 periodos
3. Asumiendo que la tasa de interés efectiva anual es 13 % capitalizable cada año, ¿cuál es la cantidad mínima de dinero que tendría que invertir por un periodo de tres años para ganar S/. 750 de interés?
Solución
Llamemos a una cantidad de dinero: P.
Tasa de interés efectiva: 13 % anual
I = S/. 750
n: 3 años
Utilizando la fórmula de I.
I = P × [ (1 + i)n– 1 ]
I = P × [(1 + 13 %)3– 1] = S/. 750
Despejando P = S/. 1693,4.
Se requiere invertir S/. 1693,4 para obtener S/. 750 de interés luego de un año.
4. Usted quiere obtener S/. 51 000 de utilidad, con una rentabilidad de 2,5 % efectiva mensual. Si se considera que los años tienen 360 días, ¿cuánto tiempo deberá invertir?
a) 2 años
b) 9 trimestres
c) 148 días
Solución
Llamemos P a una cantidad de dinero.
Tasa de interés efectiva: 2,5 % mensual
I = S/. 51 000
Utilizando la siguiente fórmula de I = P × [ (1 + i)n – 1 ].
a) Periodo: 2 años
Como la tasa es mensual, n debe representar los 2 años, es decir,
n = 24 meses.
Utilizando la fórmula de I.
I = P × [(1 + i)n- 1]
I = P × [(1 + 2,5 %)24 – 1] = S/. 51 000
P = S/. 63 062,15
b) Periodo: 9 trimestres
Como la tasa es mensual, n debe representar los 9 trimestres. Esto significa que: n = 27 meses.
Utilizando la fórmula de I.
I = P × [(1 + i)n– 1]
I = P × [(1 + 2,5 %)27 – 1] = S/. 51 000
P = S/. 53 808,82
c) Periodo: 148 días
Como la tasa es mensual, n debe representar los 148 días, es decir, debe responder a la pregunta: ¿cuántos meses hay en 148 días?
Utilizando la fórmula de I.
I = P × [(1 + i)n– 1]
I = P × [(1 + 2,5 %)(148/30) – 1] = S/. 51 000
P = S/. 393 678,75
5. ¿Cuál es la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente si la tasa efectiva bimestral es 2 %?
Solución
Se pasa la tasa efectiva bimestral a tasa efectiva trimestral.
Tasa de interés efectiva trimestral = (1 + 2 %)(3/2) – 1 = 3,01 %
Para hallar la tasa nominal trimestral se utilizará la función tasa.nominal.
=TASA.NOMINAL(3,01%;3) = 2,99%
Son tres periodos de capitalización, dado que en un trimestre hay tres meses.
6. Hallar la tasa efectiva anual sabiendo que la tasa nominal es 7 % semestral capitalizable quincenalmente.
Solución
Utilizando la función Int.efectivo e ingresando como dato la tasa nominal semestral, se hallará la tasa efectiva semestral.
=INT.EFECTIVO(7%;12) = 7,23%
Se calcula la TEA:
TEA = (1 + 7,23 %)2 – 1 = 14,98 %
| Capítulo 2 | Factores de cálculo de la ingeniería económica |
En este capítulo se tratan los siguientes temas:
• Factores de pago único (F/P y P/F)
• Factores de recuperación y actualización de una serie uniforme (A/P y P/A)
• Factores de amortización y capitalización de una serie uniforme (A/F y F/A)
• Factores de gradiente aritmético (P/G, F/G y A/G)
• Diagrama de flujo de efectivo
• Funciones de Excel utillizadas en matemática financiera
En el capítulo 1 se definió la tasa de interés, la misma que es necesaria para entender cómo esta, sumada al tiempo, afecta al dinero. Este capítulo explica el factor de pago único, base de los diversos factores de cálculo, que muestra que un valor hoy es diferente a un valor futuro luego de n periodos, debido al interés generado.
Detrás de este factor único se tienen diversos factores de cálculo, considerados factores claves de la ingeniería económica, ya que incluyen una serie de flujos constantes denominada serie uniforme.
Este capítulo se basa en la matemática financiera, es decir, en cálculos financieros en diferentes momentos del tiempo, trabajando con tasa capitalizada, que es una tasa de interés compuesta.
La matemática financiera se basa en fórmulas financieras. Con la finalidad de trabajar de manera más rápida estas fórmulas, las funciones de la hoja de cálculo son de suma importancia en el desarrollo de este tipo de casos.
Objetivos del capítulo:
• Entender el valor del dinero en el tiempo.
• Comprender los diversos factores de cálculo de la ingeniería económica.
• Utilizar los factores de pago único.
• Comprender el significado de una serie uniforme.
• Emplear los factores de recuperación y actualización de una serie uniforme.
• Emplear los factores de amortización y capitalización de una serie uniforme.
• Entender el significado de un gradiente aritmético y emplear sus factores.
• Utilizar los diagramas de flujo en problemas que incluyan factores de cálculo.
• Emplear las funciones de Excel como herramientas para resolver problemas que incluyan los factores de cálculo, resolver problemas de cálculo de variables como tasa de interés y número de periodos.
Los factores de cálculo son aquellas fórmulas con función específica que permiten determinar el valor presente, el valor futuro, el pago constante o el gradiente respectivo, con la finalidad de evaluar casos de inversión o financiamiento.
Los factores de equivalencia financiera se presentan a continuación.
1. Factor P y factor F
El factor P se refiere a un valor considerado en el tiempo presente y el factor F a un valor considerado en algún tiempo futuro dentro del diagrama de flujo de efectivo.
2. Factor A
El factor A se refiere a un valor constante que se repite n periodos de tiempo dentro del diagrama de flujo de efectivo.
El factor A cuando n es infinito se trata como perpetuidad, donde P = A/i %.
3. Factor G
El gradiente aritmético corresponde al flujo constante de incremento o disminución de cierta cantidad de dinero.
2.1 FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F)
2.1.1 Futuro dado un presente (F/P)
Es el factor de cálculo fundamental más importante de la ingeniería económica. Determina la cantidad futura de un valor presente P a una tasa de interés efectiva i % en n periodos. En consecuencia, determina el valor futuro de un valor presente (factor de capitalización).
La fórmula a utilizar tiene estas características.
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
| F = P(1 + i)n | = P(F/P, i %, n) | Futuro dado un presente |
Ejemplo 2.1
Carlos invierte en una cuenta de ahorros bancario el monto de US$ 3000 durante medio año. Si la tasa de interés efectiva anual es del orden del 19,72 %, ¿cuánto recibirá Carlos después de medio año? (Asumir 360 días/año.)
Solución
Se tiene los siguientes datos:
P = 3000;
n = 0,5 años;
i % = 19,72 %.
Utilizando la fórmula, podemos calcular que el importe F será:
F = 3000 × (1 + 19,72 %)½ = US$ 3282,5.
Sin embargo, este resultado se puede obtener también con la función –VF, la cual devuelve el valor futuro de una inversión.
En el presente ejemplo:
Tasa = 19,72 %
Nper = 0,5 periodos
Pago = 0. (Este dato se utiliza si existen cuotas iguales.)
Va = 3000
Reemplazando en Excel
2.1.2 Presente dado un futuro (P/F)
Es traer un valor futuro al presente. También se le llama factor de actualización.
La fórmula a utilizar es la siguiente.
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
 | = F(P/F, i %, n) | Presente dado un futuro |
Ejemplo 2.2
El señor Carlos Tumé decide ahorrar en el banco cierta cantidad de dólares, con la finalidad de que al finalizar el quinto año tenga US$ 3000. Sabiendo que el banco paga un interés mensual de 0,5 %, se solicita calcular la cantidad que tiene que depositar.
Solución
Para este ejemplo se debe tener en cuenta que si el banco paga una tasa mensual, los periodos de pago deben ser mensuales: n = 60 meses.
Reemplazando en la fórmula, se tiene:
P = US$ 2224,12.
Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel –VA, la que devuelve al presente el valor futuro de una inversión.
En el presente ejemplo tenemos:
Tasa = 0,5 % mensual;
Nper = 60 meses;
Pago = 0. (Este dato se utiliza si existen cuotas iguales.)
Vf = 3000
Reemplazando en Excel, se tiene:
Ejemplo 2.3.
Se requiere saber cuánto debe depositar el señor Flores en una cuenta que paga una tasa de interés anual de 8 %, con la finalidad de obtener US$ 10 700 dentro de tres años.
Solución
Utilizando la fórmula en Excel, debe depositar US$ 8494.
2.2 FACTORES DE RECUPERACIÓN Y ACTUALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME (A/P y P/A)
Se define una serie uniforme como un flujo ininterrumpido de cuotas, cada cuota debe tener el mismo valor en todos los periodos. La cuota está compuesta por capital amortizado y el interés respectivo.
Los flujos de una serie uniforme, llamada también anualidad –aunque en realidad depende del periodo diario, mensual o trimestral–, se muestran a continuación.
2.2.1 Recuperación del capital de una serie uniforme (A/P)
Permite obtener el valor cuota A o la serie uniforme de un valor presente. Cada cuota A está compuesta de amortización del capital (pago de alguna parte de la deuda) y del interés respectivo.
La fórmula a utilizar es esta:
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
 | = P(A/P, i %, n) | Pago uniforme dado un presente |
Ejemplo 2.4
Un auto valorizado en US$ 9000 se vende 35 % al contado y el saldo pagadero en cuotas iguales mensuales durante dos años. ¿Cuál es la cuota mensual si la tasa de interés es del 15 % efectiva anual?
Solución
| Valor del auto: | US$ 9000 |
| Pago al contado: | 35 % × US$ 9000 = US$ 3150 |
| Saldo de deuda: | US$ 9000 – US$ 3150 = US$ 5850 |
| TEA = 15 % anual |
Convirtiendo a tasa mensual, dado que se pagan cuotas mensuales.
Tasa efectiva mensual = (1 + 15 %)1/12 – 1 = 1,17 % mensual
n = 24 meses (dado que las cuotas son mensuales, se pagará en dos años).
Aplicando la fórmula, se tiene:
Es decir, se pagarán 24 cuotas de US$ 281,04 (24 mensualidades de US$ 281,04). Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel: –pago, el cual da como resultado la cuota a pagar.
En el presente ejemplo:
Tasa = 1,17 % mensual
Nper = 24 meses
Va = 5850
Reemplazando en Excel.
Los US$ 281,04 corresponden al valor de la cuota o pago uniforme A, el mismo que contempla amortización de capital e intereses. En la medida que se paguen más cuotas, el interés va disminuyendo y el pago de la deuda se incrementa, lo que lleva a que el saldo de la deuda sea menor en cada cuota.
Con los datos anteriores podemos expresar el cronograma de pagos respectivo. La presentación de cronogramas de pago se estudiará con minuciosidad en el capítulo 7.
Pasos para realizar el cronograma:
• Definir el número de cuotas.
• Calcular el valor de la cuota.
• Indicar la deuda inicial del periodo y calcular el interés por cada cuota.
El interés se calcula multiplicando la tasa de interés por el saldo inicial de dicho periodo.
Para esta primera cuota el interés es de US$ 68,53.
• Calcular el importe de la amortización de la deuda.
La amortización de la deuda se calcula por diferencia, sabiendo que el valor de la cuota es igual a:
valor de cuota = amortización de deuda + interés.
• Calcular el saldo de la deuda por periodo.
El saldo de la deuda es la diferencia de lo que se debía al inicio del periodo menos la amortización pagada en dicho periodo.
Para el presente ejemplo: luego de pagar la primera cuota, se debe:
US$ 5850 – US$ 212,5 = US$ 5637,5.
• El procedimiento se repite sabiendo que la deuda inicial del siguiente periodo es el saldo final del periodo previo.
Para el presente ejemplo, la deuda inicial del periodo 2 es US$ 5637,5.
El Excel permite copiar las fórmulas hasta el último periodo de pago. No olvidar que en algunos casos se deben fijar (inmovilizar) las celdas, para que el valor quede fijo en la fórmula; esto se hace con la función F4, que muestra la celda con el símbolo del dólar.
Con una simple operación de copiar/pegar, podemos tener el cronograma de pagos. Para asegurar que nuestro cronograma se realice correctamente, el saldo final de la última cuota debe ser 0.
Asimismo, el total de lo amortizado en los n periodos debe ser el valor de la deuda total.
2.2.2 Actualización de un capital de una serie uniforme (P/A)
Permite obtener el valor actual P de un pago uniforme (al periodo anterior). Es decir, si se trae a valor presente los flujos del año 1 al año 10, se traslada al momento 0. Sin embargo, si se actualizan los flujos del año 4 al año 10, se traen al año 3. Esto sucede para la actualización de un pago uniforme y la actualización del gradiente.
La fórmula a utilizar es la siguiente.
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
 | = A(P/A, i %, n) | Presente dado un pago uniforme |
Ejemplo 2.5
Una persona desea solicitar un préstamo para comprarse un auto nuevo, a pagar en cuotas mensuales de US$ 500 durante 3 años. Sabiendo que el banco cobra una TEA de 12 %, ¿cuál es el importe máximo que el banco le podría prestar para cumplir con la cuota indicada?
Solución
Valor del préstamo = ?
A = US$ 500 mensual
| n = 36 meses | (dado que las cuotas son mensuales). |
| TEA: 12,00 % | (Tasa efectiva anual) |
Pero las cuotas son mensuales, se debe considerar una tasa mensual:
| i % mensual: | 0,95 %. |
Aplicando la fórmula, se tiene:
Es decir, el banco puede prestar hoy la cantidad de US$ 15 187,38, para que la persona pague como máximo durante 3 años cuotas mensuales de US$ 500. Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel: –VA, que actualiza el importe de los pagos uniformes.
Para este ejemplo:
Tasa = 0,95 % mensual
Nper = 36 meses
A = 500
Reemplazando en Excel, se tiene:
La diferencia entre la función –VA de actualización de un valor futuro y la actualización de un pago uniforme es la forma como se ingresan los datos en Excel.
Por ejemplo: traer a valor presente un valor futuro de 1000, considerando una tasa de 10 % anual y un periodo de 4 años.
Por ejemplo: traer a valor presente cuatro pagos uniformes de 1000, considerando una tasa de 10 % anual y un periodo de 4 años.
2.3 FACTORES DE AMORTIZACIÓN Y CAPITALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME (A/F y F/A)
2.3.1 Amortización de un capital de una serie uniforme (A/F)
Permite obtener el valor uniforme (A) de un valor futuro (F).
La fórmula a utilizar se muestra en el recuadro.
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
 | = F(A/F, i %, n) | Pago uniforme dado un futuro |
Ejemplo 2.6
El señor Suárez desea tener dentro de 5 años la cantidad de S/. 30 000 para el pago de los estudios universitarios de su hija. Para tal efecto, desea ahorrar mensualmente una cantidad constante en un banco que le paga por sus ahorros una tasa efectiva mensual de 2 %. El Sr. Suárez desea saber cuál debe ser el importe mensual que debe ahorrar para obtener la cantidad necesaria.
Solución
Valor final necesario: S/. 30 000
Plazo = 5 años
Tasa efectiva mensual = 2 % mensual
Dado que los ahorros son mensuales, n debe ser mensual. Es decir, n = 60 meses.
No se puede convertir la tasa efectiva mensual a anual y considerar n = 5 años, debido a que no es lo mismo pagar 12 cuotas en un año (1 cada mes) que una sola cuota al final del año. Esto debido al “valor del dinero en el tiempo”.
n = 60 meses (dado que las cuotas son mensuales).
Aplicando la fórmula, se tiene:
Es decir, ahorrará durante 60 meses la cantidad mensual de S/. 263,04. Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel: –pago, considerando el valor futuro y no el valor actual como se vio en el punto 2.2.1.
En el presente ejemplo:
Tasa = 2 % mensual
Nper = 60 meses
Vf = 30 000
Reemplazando en Excel
2.3.2 Capitalización de una serie uniforme (F/A)
Permite obtener el valor futuro (F) dado un pago uniforme (A). Es decir, si se lleva a valor futuro los flujos del año 1 al año 10, se llevan al año 10, pero si se capitalizan los flujos del año 2 al año 6, se está capitalizando al año 6, con n = 5 años. Esto sucede para la capitalización de un pago uniforme y la capitalización de un gradiente.
La fórmula a utilizar es la siguiente:
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
 | = A(F/A, i %, n) | Futuro dado un pago uniforme |
Ejemplo 2.7
Una persona deposita S/. 1000 mensuales durante 8 años, comenzando el próximo año. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 8 años, al 14 % anual?
Solución
Valor anual ahorrado: S/. 1000
Plazo = 8 años
Tasa efectiva anual = 14 %
Dado que los ahorros son anuales, n debe ser anual, y la tasa, anual.
Aplicando la fórmula, se tiene:
Es decir, al ahorrar durante 8 años la cantidad de S/. 1000, tendrá S/. 13 232,76 al final del año 8. Sin embargo, este resultado se puede obtener utilizando la función en Excel: – vf.
En el presente ejemplo:
Tasa = 14 % anual
Nper = 8 años
A = S/. 1000
Reemplazando en Excel.
2.4 FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G, F/G y A/G)
Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. El gradiente puede ser positivo o negativo.
2.4.1 Valor presente de una gradiente (P/G)
Se basa en el traslado a valor actual de un flujo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Por ejemplo, si se trae a valor presente el gradiente cuyos flujos empiezan en el año 1 hasta el año 10, los flujos se están actualizando al momento 0 con n = 10 años. Sin embargo, si se actualizan los flujos del gradiente que empiezan en el año 4 hasta el año 10, se actualizan al año 3, considerando n = 7 años. Esto se aplica para actualizar un pago uniforme y un gradiente.
La fórmula a utilizar es la siguiente:
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
 | = G(P/G, i %, n) | Presente dado un gradiente |
Ejemplo 2.8
Usted necesita ahorrar en un banco que le ofrece una tasa de 3 % anual, con la finalidad de pagar durante los siguientes tres años el costo de mantenimiento de su vehículo. Se sabe que el primer año el mantenimiento le costará S/. 1000 y que tendrá un incremento anual de S/. 300. ¿Cuánto deberá depositar hoy para cubrir el costo de dicho mantenimiento?
Solución
En el presente ejemplo:
Tasa = 3 % anual
n = 3 años
G = 300
Para graficar el siguiente ejemplo.
Lo que se pide es traer a valor presente el gradiente.
Usando la fórmula, se tiene:
P = S/. 831,86
Sin embargo, falta traer a valor presente la anualidad de 1000, dado que lo único que se ha traído a valor presente es el gradiente.
Valor presente de una anualidad de 1000, para un interés de 3 % durante 3 años. Según la fórmula del capítulo 2.2.2, se tiene: P = 2828,61.
La respuesta es la suma del valor presente del pago uniforme más el valor presente de la gradiente.
De esta forma, valor presente = S/. 3660,48.
2.4.2 Valor futuro dado un gradiente (F/G)
Es llevar a valor futuro un flujo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. La fórmula a utilizar es la siguiente.
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
 | = G(F/G, i %, n) | Futuro dado un gradiente |
2.4.3 Pago uniforme dado un gradiente (A/G)
Es llevar a un valor uniforme un flujo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. La fórmula a utilizar es la siguiente.
| Fórmula original | Notación simplificada | Nombre del factor |
 | = G(A/G, i %, n) | Pago uniforme dado un gradiente |
2.5 DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO
El flujo de efectivo muestra las entradas y salidas de dinero que se dan en un intervalo de tiempo.
Pueden ser:
• Flujo de efectivo positivo: entrada de dinero;
• Flujo de efectivo negativo: salida de dinero;
• Flujo de efectivo neto: entradas menos salidas de dinero.
El diagrama de flujo de efectivo corresponde a la representación gráfica de los flujos de efectivo que ocurren en una escala de tiempo.
Con la finalidad de una mejor visualización del dinero en el tiempo, se recomienda trazar el diagrama de los flujos de efectivo como se mostrará en ejercicios posteriores.
Se debe tener en cuenta que estas fórmulas son a tasa vencida, por lo que cualquier flujo de efectivo a inicios del año n se puede considerar flujo de fin de año (n – 1). En el ejemplo anterior, un flujo de efectivo de inicio del año 2 representa un flujo de efectivo de fines del año 1.
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