Kitabı oku: «Métodos numéricos»

Capítulo 2
Preliminares

La ingeniería es indispensable en la sociedad. Los resultados de su importancia se evidencian en la historia de la humanidad. Desde los acueductos romanos, el perfeccionamiento de todo tipo de herramientas, las vías de comunicación, hasta los logros actuales en la exploración espacial, las comunicaciones, entre muchos otros. La ingeniería es una de las disciplinas que más ha evolucionado y sobre la cual el hombre fundamenta su desarrollo. El ingeniero, con el uso de las ciencias exactas, los conocimientos tecnológicos y naturales y el reconocimiento del contexto resuelve los problemas que resultan de la interacción del hombre con su entorno; aplica con juicio crítico métodos y estrategias para desarrollar diversas formas de utilizar, de manera económica, las fuerzas y materiales de la naturaleza y del mundo artificial en beneficio de la humanidad. El ingeniero ofrece soluciones a los problemas materiales del bienestar de la sociedad produciendo bienes y servicios.

Los ingenieros, para cumplir con su actividad, desarrollan y utilizan modelos matemáticos cuyas soluciones deben tener sentido y ser acordes con los conocimientos científicos involucrados en la situación que se va a modelar. En algunos casos, para obtener la solución a un problema, es necesario realizar demasiados cálculos, redefinir los modelos para que la solución sea alcanzable, utilizar el computador como herramienta de cálculo, todo ello bajo las condiciones de calidad exigidas por el problema. Una de las herramientas fundamentales para el cumplimiento de estas tareas es el análisis numérico.

Pretendemos que el lector: Disponga de una visión holística del alcance del texto. Reconozca las características del análisis numérico. Establezca una relación entre los conceptos de métodos numéricos y computación científica.

El análisis numérico es el estudio de algoritmos para los problemas de matemáticas continuas (Trefethen, 1993).

Los métodos numéricos permiten resolver problemas matemáticos mediante la utilización de operaciones aritméticas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones). Como consecuencia:

1. Los métodos se definen mediante un conjunto de operaciones que se repiten de forma continua y sistemática.

2. Es posible asociar un algoritmo a cada conjunto de operaciones.

3. Las operaciones involucradas permiten el uso de herramientas de cálculo tales como las calculadoras, computadores, personal digital assistant (PDA) y otros tipos de dispositivos similares que hoy en día son cada vez más sofisticados.

4. Por lo general, la cantidad de cálculos necesarios para obtener la solución a un problema es muy alta, y es inadecuado y a veces imposible realizarlos manualmente.

5. En general, el método que surge como solución al problema define un algoritmo que además permite resolver otros problemas con características similares. Es decir, con el mismo algoritmo se pueden resolver problemas con modelos que matemáticamente se asimilan al método.

6. El computador es el dispositivo por excelencia para la solución de problemas mediante métodos numéricos.

7. Se presentan soluciones discretas y/o truncadas a problemas de matemática continua.

8. Se encuentran soluciones a problemas que por métodos analíticos no se pueden hallar.

Desde finales de la década de los cuarenta del siglo xx, con el crecimiento y disponibilidad de los computadores digitales, se ha generado una explosión en el uso y desarrollo de técnicas numéricas, a pesar de que éstas ya existían y se utilizaban para cálculos numéricos en diferentes campos de aplicación. Con la aparición, el desarrollo vertiginoso y la disponibilidad cada vez mayor de los equipos de cómputo y con la accesibilidad de la información a través de la internet ha aumentado el uso, proliferación y surgimiento de métodos numéricos cada vez más potentes y adecuados.¹

En el proceso de formación de un ingeniero y en su vida profesional, el análisis numérico es de suma importancia. Los métodos numéricos son herramientas poderosas en la solución de problemas, ya que permiten resolver aquellos de gran dimensión y con geometrías más complicadas, y dan soluciones algorítmicas y aproximadas a problemas cuyos modelos matemáticos se basan en la matemática continua. A menudo, la solución se obtiene mediante la discretización y/o truncamiento de la solución analítica. A pesar de que los métodos numéricos brindan solución a problemas que por vías analíticas no tienen solución, desde el punto de vista práctico este hecho no es importante debido a que lo que se pretende desde la formulación del problema es hallar la “solución aproximada”. El ingeniero no se preocupa por estas situaciones; simplemente busca una solución que cumpla adecuadamente con las condiciones del problema.

Para la solución de problemas que involucren modelos matemáticos que puedan resolverse por medio de los métodos numéricos, se requiere del conocimiento de la teoría básica en la que se basan estos métodos y el modelo matemático correspondiente, así dispongamos de un software para ello. El ingeniero debe estar preparado para diseñar y utilizar programas que resuelvan problemas, teniendo en cuenta todos los elementos referentes a la calidad de las soluciones obtenidas.

El conocimiento y utilización del análisis numérico permiten reforzar la formación matemática del estudiante, y el uso de los métodos numéricos es una herramienta para mejorar la comprensión de los problemas en relación con los métodos de solución, los cálculos, los cómputos numéricos y el análisis de la solución obtenida.

Para lograr una mejor comprensión del alcance y el papel del análisis numérico en la solución de problemas, detallamos cada una de las etapas que intervienen en la solución de un problema.

2.1 Una primera mirada al análisis numérico

Al finalizar esta sección, el lector podrá reconocer el alcance del texto y su importancia frente al proceso de formación. Para ello, presentamos una introducción al objeto de estudio del análisis numérico.

Supongamos que pretendemos resolver un problema que se presenta en el mundo cotidiano, cuyas características obligan a que sea un ingeniero quien enfrente su solución. La Figura 1 muestra una estructura global de los pasos que se realizan para la solución de dicho problema. Con ello lograremos identificar de forma general las etapas que intervienen en la solución de un problema y determinar el papel del análisis numérico en este proceso. Es de notar que estas fases no se siguen de forma secuencial y estricta, en el sentido de que para ejecutar una fase se haya agotado la previa. Por el contrario, es común y recomendable que el analista revise continuamente cada fase, observando de forma sistémica el problema y sus fases de solución, de tal manera que se valide cada resultado obtenido y se garantice congruencia y calidad en el proceso y en la solución.

Actividad 1. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Introducción general” del Capítulo 1.

Figura 1. Etapas en la solución de un problema

2.1.1 Problema

Supongamos una situación concreta en un espacio y tiempo específicos. Cada problema lo entenderemos como un sistema, es decir, como un conjunto de objetos que interactúan entre sí, dinámicamente y con un objetivo. En este sentido, el problema en cuestión lo miramos con todos los elementos que lo componen y las respectivas interacciones entre ellos. El problema se mira como un todo con sus partes. El proceso de análisis permite establecer categorías entre cada uno de los elementos que componen el sistema. Cuando se precisa el contexto del problema, se definen los componentes que son más relevantes y cuáles pueden ser eliminados para obtener un sistema más simple que reproduzca completamente las características del problema. Podemos citar ejemplos como:

1. Diseño un sistema de información para manejar la nómina de una empresa. Un ingeniero de sistemas debe reconocer todos los elementos que intervienen en el sistema: número de trabajadores, número de sedes, productos que comercializa, formas de pago, jornadas laborales, filiales, vínculos empresariales. Ya el lector se preguntará: ¿Qué tienen que ver los vínculos que tiene la empresa con un sistema que administre su nómina? Puede que nada, pero si la empresa realiza descuentos por nómina debido a negocios de sus empleados con otras empresas que se relaciona, sí son importantes. En la solución de los problemas hay elementos o componentes que son relevantes y otros que no lo son.

2. Construcción un puente. De forma similar al ejemplo anterior, son muchos los elementos que debemos conocer: características geográficas, tipo de suelo, accesibilidad al lugar, cantidad de tierra que se va a mover, disponibilidad de recursos, etc. Un factor de riesgo es no haber considerado algún elemento que puede convertirse en relevante; por ejemplo, los problemas de seguridad.

3. Caída libre de un paracaidista. Tal como lo expresan Chapra y Canale (2007), los factores que se consideran en este tipo de problemas son: una fuerza ejercida por la gravedad y otra opuesta debido a la resistencia del aire. Sin embargo, existen otros elementos que pueden llegar a ser relevantes en el momento de la caída: vientos, lluvias, tormentas eléctricas, etc.

En el estudio de un problema intervienen muchos elementos (la realidad es compleja), y algunos son desechados porque no son importantes para la solución. Es decir, el estudio del problema incluye procesos de simplificación de la realidad, en el sentido de que se establece lo relevante y se desechan aquellos elementos que –a consideración de quien resuelve el problema– no son de importancia ni afectan la solución del mismo.

Este proceso de análisis y síntesis conduce al ingeniero a la construcción de un modelo del problema en el cual puede centrar la atención en aspectos esenciales del fenómeno según los requerimientos establecidos, e identificar las variables y constantes relevantes, así como las relaciones entre ellas. Para obtener una solución adecuada, se responden algunas preguntas de forma sistémica, por ejemplo: ¿La información producida es razonable? ¿Las hipótesis definidas en el proceso de análisis y síntesis son razonables? ¿Hay factores, elementos o situaciones que no fueron tenidos en cuenta en el proceso de simplificación que afectan los resultados deseados del problema? ¿Disponemos de datos reales que permitan confrontar los resultados del modelo?

2.1.2 Modelo

En términos generales, un modelo –de un problema o situación– es una idealización que presenta una abstracción que permite referirse al problema, sus propiedades y componentes. El modelo es visto como una síntesis de la realidad, que habla de ella misma. De acuerdo con las necesidades y condiciones del problema, el modelo puede llegar a ser muy simple, en el sentido de que el problema se explica con pocos elementos y se eliminan muchos de sus componentes por considerarlos poco relevantes. Así, un mismo modelo puede servir de modelo para muchos problemas con características similares. En el caso del desarrollo de software, en general el modelo es más detallado y complejo debido a que las soluciones informáticas exigen contener condiciones más específicas y cercanas al contexto; en consecuencia, el modelo expresa con más detalles las condiciones, características y, en general, los elementos que describen el problema. Por lo tanto, el modelo será más susceptible a los cambios que se sucedan en la realidad.

Según el área del conocimiento o disciplina en la que se enmarca el problema, el modelo posee unas características. En nuestro caso estamos interesados en “modelos científicos” y, más específicamente, en “modelos matemáticos”; en ellos sus componentes se expresan mediante objetos matemáticos que se relacionan con las ciencias aplicadas de la ingeniería. En resumen, el proceso de modelación es una traducción de un problema o situación real (vista como un sistema complejo) que permite utilizar instrumentos y técnicas para representarla matemáticamente. Estamos interesados en los modelos matemáticos que contienen variables de entrada, parámetros, constantes, funciones y variables de salida.

Para ampliar los conocimientos sobre modelos matemáticos y su utilidad, consulte el texto de González (2003).

2.1.3 Formulación matemática

La concreción del proceso de modelado es la formulación matemática. Mediante ésta transformamos el modelo en objetos o expresiones matemáticas. A pesar de que tanto el modelo matemático como su formulación podrían entenderse como lo mismo, vamos a enfatizar –al separar la formulación matemática– que en esta fase el proceso de solución ya tenemos un objeto concreto para procesar o resolver, mientras que el modelo puede ser expresado de múltiples formas: un texto descriptivo, un dibujo, una maqueta, etc. Como resultado de la formulación matemática, podemos tener algunos de los siguientes objetos:

• Una ecuación de una variable

• Un sistema de ecuaciones lineales

• Un sistema de ecuaciones no lineales

• Un problema de interpolación

• Una derivada

• Una integral

• Una ecuación diferencial

El listado anterior no es completo debido a que existen muchas otras posibilidades para expresar la formulación matemática de un modelo. Por razones pedagógicas, mencionamos y agrupamos la lista anterior para mostrar el alcance de un curso introductorio de análisis numérico.

2.1.4 Solución

La solución al problema tiene tres vías. En el artículo de López et al. (2006), se presenta un ejemplo en el que muestra la solución a un problema de calor mediante un método analítico y un método numérico. Además, Chapra y Canale (2007) presentan un capítulo con ejemplos similares.

1. Analítica. Se determina mediante un conjunto de pasos completamente definidos y sustentados por argumentos lógicos y matemáticos. El último paso muestra la solución. Cada paso es explicado por los anteriores o mediante las propiedades matemáticas de los elementos involucrados, generalmente brindadas por la lógica, el álgebra y el cálculo.

Ejemplo 1. El valor de la siguiente integral mediante un método analítico, se calcula como sigue:

2. Numérica. Se obtiene mediante la definición de un conjunto de operaciones aritméticas plasmadas en un algoritmo que puede ser ejecutado en un computador.

Ejemplo 2. Valor aproximado de

El valor de la integral se expresa como el valor del área bajo la curva que define la función f con respecto al eje x, dada por f(x) = 3e^x − x². Miremos dos aproximaciones al valor del área:

1) El área bajo la recta que une los puntos del plano (0, 3) y (2, 18.16). Las abscisas de dichos puntos son los extremos de la integral. Dicha área es el área del trapecio que resulta de unir los puntos (0, 3), (2, 18.16), (0, 0) y (2, 0). El valor de la integral

se aproxima con la expresión

Al realizar las operaciones indicadas se obtiene un valor aproximado de la integral de 21.1671683...

2) El área bajo la parábola que une los puntos (0, 3), (1, 7.15) y (2, 18.16). Las abscisas de los puntos son los extremos de la integral y el punto medio entre ellos. El valor de la integral se aproxima con la expresión

Al realizar las operaciones indicadas se obtiene un valor aproximado de la integral de 16.59551675...

3. Gráfica. Brinda, como su nombre lo dice, una solución gráfica del problema. Por lo general lo que llamamos una solución gráfica, no lo es, en el sentido en que ésta es más bien un apoyo a la solución del problema.

Note que hemos calculado el valor de la integral de una función continua en el intervalo [0, 2] utilizando en el primer caso dos puntos y en el segundo, tres. En la práctica, no se calculan las soluciones analíticas y numéricas para comparar sus resultados. En general, se finaliza el proceso una vez se dispone de la solución del problema. Realizamos este ejemplo con el objetivo de que el lector entienda el significado de los métodos numéricos.

La Tabla 2 muestra algunas características de los tres métodos para solución de problemas presentados.

Tabla 2. Métodos para la solución de un problema

Con los elementos que hemos desarrollado hasta ahora podemos presentar una primera aproximación sobre el objetivo de los métodos numéricos.

Definición 1 (Métodos numéricos). Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal manera que puedan resolverse con aproximaciones usando operaciones aritméticas de manera eficiente.

Clasificación de los métodos numéricos. Los métodos numéricos pueden ser de varios tipos:

1. Métodos directos. Son métodos que brindan una solución tras una secuencia finita de operaciones.

2. Métodos iterativos. Son métodos que calculan una sucesión de soluciones aproximadas, generalmente a partir de una supuesta solución inicial, procurando que dicha sucesión converja a la solución esperada.

3. Métodos basados en la discretización del continuo. Aproximan la solución de problemas continuos presentando una solución discreta.

2.2 La computación científica y el análisis numérico

En esta sección presentamos la relación que existe entre la computación científica y el análisis numérico. Para una mejor comprensión del tema, recomendamos al lector complementar esta presentación con los siguientes textos: Golub y Ortega (1993); Köckler (1994); Heath (1997). Tal como lo plantean Golub y Ortega, “la computación científica es la colección de herramientas, técnicas y teorías requeridas para resolver en un computador problemas relacionados con la ciencia y la ingeniería que son formulados matemáticamente”. En este sentido, la computación científica se vale del análisis numérico y de las ciencias de la computación para producir, o utilizar de la mejor forma, sistemas computacionales que resuelven problemas de la ciencia y la ingeniería. La disciplina de las ciencias de la computación se ocupa de considerar lenguajes de programación, sistemas operativos, administración de datos, corrección de programas, y en general, se ocupa de proveer herramientas de software y hardware que garanticen calidad y eficiencia de la solución dada por el algoritmo elegido o diseñado; mientras que el análisis numérico provee los elementos matemáticos para sustentar, definir o seleccionar un método adecuado y permite determinar las características de la solución de acuerdo con las propiedades del modelo.

Para la solución de problemas mediante la computación científica, presentamos tres elementos o procesos que constituyen la solución:

2.2.1 Modelos matemáticos

Tal como lo hemos planteado, mediante las leyes que gobiernan el fenómeno o problema se establece un modelo que lo reproduce y explica. En el proceso de modelado se producen errores que obligan a realizar pruebas de validación. Un ciclo de revisión comprende cambios en la formulación, una nueva solución numérica, revalidación, modificaciones adicionales, etc. Los modelos matemáticos se presentan o explican en términos de objetos matemáticos.

2.2.2 La solución numérica

Una vez dispongamos de un modelo, comenzamos la tarea de hallar una solución numérica al problema. Para ello, es necesario tener claro el ambiente computacional en términos del hardware y software disponibles, en contraste con los requerimientos de calidad exigidos para la solución del problema. Se elige o diseña un método (algoritmo) para resolver el problema.

Al tratarse de una solución de software, se deben dar garantías de la calidad del software y de la solución que éste provee. Aunque el tema de calidad es muy amplio, vamos a presentar algunas características, corriendo el riesgo de dejar a un lado asuntos de importancia. Invitamos a los estudiantes, tanto de ingeniería de sistemas como de matemática, a ampliar sus conocimientos en este tema, no sin antes aclarar que es un tema amplio y es, más bien, un área de estudio. Al desarrollar un software que brinda una solución específica, es necesario hacerse varias preguntas sobre el software y los resultados que produce. A pesar de que algunas de estas preguntas no están relacionadas con los temas referidos en el presente texto, el lector debe comprender la importancia de ocuparse de la calidad de la solución encontrada:²

¿Los resultados son los que realmente deben ser?

¿El problema se abordó con métodos y técnicas que brindan la ingeniería y las matemáticas?

¿Los procesos para la obtención de resultados son eficientes en el tiempo y uso de recursos?

¿El software es fácil de utilizar?

¿El software está protegido frente al uso inadecuado del mismo?

¿Puedo corregir los resultados fácilmente, cambiarlos y probarlos?

¿Puedo usar los resultados en otras máquinas e interactuar con éstas?

¿Puedo llevar los resultados a otros programas?

¿Los datos se manejan de forma adecuada?

Por tratarse de un software orientado a la computación científica, es necesario mencionar algunos elementos adicionales que pueden llegar a incidir en la calidad de la solución. En el desarrollo del texto ampliaremos y profundizaremos en estos aspectos.

Errores de redondeo y propagación. Tal como lo mostraremos en la Sección 2.3, el computador utiliza un espacio finito para almacenar sus datos. Este tipo de error se evidencia en el ingreso de los datos, en la realización de operaciones y en la conversión a código binario. En consecuencia, la solución puede ser afectada por la acumulación de estos errores, a pesar de que estadísticamente es probable que los errores se compensen unos con otros.

Tal como veremos más adelante, los algoritmos pueden llegar a ser muy sensibles a los cambios que producen los errores de redondeo y propagación, a pesar de que sean correctos desde el punto de vista lógico.

Error de discretización o truncamiento. Se deben a la necesidad de remplazar un problema continuo por uno discreto. En los Ejemplos 1 y 2 se presentan la solución analítica y la solución numérica de Con ellos se ilustra un caso de discretización y se puede observar la diferencia entre la solución analítica y la solución numérica de un problema dado.

Algunos métodos numéricos se sustentan en la idea de calcular una sucesión de valores, o aproximaciones, que se espera que converjan a la solución esperada. Esta idea supone el uso del concepto de límite de una sucesión de infinitos valores, y desde el punto de vista computacional esto no es probable; todo cálculo debe ser realizado un número finito de veces. El error que se genera en este proceso es conocido como error de truncamiento. Más adelante desarrollamos este tema.

2.2.3 El ambiente computacional

El conocimiento del ambiente computacional es una de las tareas que se deben realizar como parte de la solución al problema, y se configura según las condiciones de calidad, especificaciones y condiciones del problema.

El hardware. En la actualidad existe una variedad de herramientas de cálculo que pueden ser utilizadas para resolver un problema numérico. En el mercado hay disponibles computadores que permiten gran potencia de cálculo, mejor capacidad de almacenamiento y mayor velocidad de procesamiento, entre otras.³ Existe la posibilidad de utilizar varios computadores y recursos para realizar procesamiento, ya sea paralelo, distribuido o Grid Computing.⁴ Tal como lo discutiremos más adelante, uno de los factores para lograr la calidad de la solución es el tipo máquina elegida.

El entorno de programación. El sistema operativo y el lenguaje de programación influyen en la calidad de los cálculos. Por ejemplo, son notorias las diferencias en la calidad de los resultados obtenidos en problemas resueltos con Matlab y con Visual Basic. Sin embargo, es necesario anotar que en los últimos años la brecha –en este sentido– entre los diferentes entornos de programación ha disminuido, debido a que éste es uno de los factores de competitividad de los productos.

Existen otros problemas ligados al alcance de la computación científica que recomendamos ampliar: manejo de grandes cantidades de datos o estructuras, visualización de resultados acordes con los requerimientos del problema, computación simbólica, manejo de estructuras de datos y paradigmas computacionales, entre otros.

Los métodos numéricos son recursos cada vez más útiles, adecuados y mejores para la solución de problemas de la ciencia y la ingeniería. Una de las herramientas fundamentales en la vida de un ingeniero es la computación científica y, a su lado, el computador. Pero un computador, por más potente que sea, sin el conocimiento para su uso adecuado, no es útil.

A continuación presentamos en detalle algunos conceptos mencionados previamente, con el objetivo de disponer de un lenguaje apropiado para el desarrollo del curso. En algunos casos ampliamos o detallamos algunos temas que están dirigidos a estudiantes de ingeniería de sistemas o de matemática (o carreras afines).

2.3 Fuentes de error

La perfección es la meta que todo ingeniero debe tener para la solución de los problemas que aborda, pero esta meta más que real se comporta como un ideal por alcanzar. Puesto que, según las condiciones que la misma realidad del problema impone, el error es parte intrínseca tanto en la definición como en el uso efectivo de los métodos numéricos. Los errores se pueden presentar, de manera natural, en las diferentes etapas del proceso de solución de un problema.

Actividad 2. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Error relativo y error absoluto” del Capítulo 1.

El esquema que presenta la Figura 2 muestra algunas de las fuentes de error en la solución de un problema.

• El método empleado. La forma como se estructuran los cálculos. Establece el orden y secuencia de las operaciones.

Figura 2. Fuentes de error

• Los datos. Conjunto de datos o insumos que intervienen en la solución de un problema. De acuerdo con las condiciones, recursos y exigencias del problema, estos errores poseen unas características.

• La máquina usada. Comprende el ambiente computacional (hardware y software) elegido para la solución y aparatos de medición y monitoreo.

Los ejemplos o situaciones que mencionamos a continuación se supone que se resuelven con el uso de una máquina de cálculo y en las condiciones reales que enfrentaría un ingeniero. A continuación, presentamos algunas situaciones mediante las cuales se muestra que el error surge de manera natural en la solución de problemas.

Pretendemos que el lector: Identifique las diferentes fuentes de error. Reconozca que el error es parte intrínseca en el uso y entendimiento de los métodos numéricos. Detecte la presencia de errores cuando se utilizan máquinas de cálculo como apoyo a la solución.

2.3.1 Modelo

Para obtener el modelo, se realizan procesos de análisis, síntesis, simplificación y abstracción. En ellos se eliminan elementos que –a juicio del ingeniero– no son relevantes para la solución del problema. Esta eliminación puede conducir a errores en la solución. Por ejemplo, consideremos el movimiento descrito por una flecha que se lanza con una velocidad que forma un ángulo con el eje horizontal –ésta describe una trayectoria parabólica–. El movimiento de la flecha puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente variado debido a la gravedad. En este ejemplo no hemos considerado elementos que pueden llegar a ser importantes y pueden cambiar la trayectoria de la flecha, tales como la resistencia del aire, los vientos laterales, la temperatura, la humedad y la altura, entre otros. El modelo simple que considera la caída libre de un cuerpo supone dos fuerzas opuestas: una relacionada con la gravedad y otra con la fricción. Pero, en el caso del lanzamiento de un paracaidista, elementos como la humedad, los vientos y la lluvia, entre otros, pueden llegar a ser relevantes.

2.3.2 Método empleado

El método escogido para realizar los cálculos influye en la forma y cantidad de error generado en el proceso.

1. Utilicemos diferentes herramientas para calcular la siguiente expresión: 1∗3.⁵ El resultado lo dividimos por 3 y el resultado es 1. Pero si calculamos 1/3 y luego lo multiplicamos por 3, no siempre se obtiene como resultado 1. En conclusión, no siempre la siguiente igualdad es cierta.

Esta situación se presenta porque el aparato tiene una capacidad finita para almacenar sus datos. Al realizar la división entre 1 y 3, el resultado es un número racional periódico infinito. Este cálculo se realizó en una calculadora HP 48G.

2. Del mismo modo que en el caso previo, comprobemos con Excel la siguiente ecuación.

El lado derecho de la igualdad no se puede calcular debido a que desborda la capacidad de almacenamiento de la máquina (overflow)⁶ y se suspende el proceso.

3. Calculemos en Excel 10³⁰⁹/(25 ∗ 10⁵)

Una vez que aparece el error por desbordamiento, las operaciones no se realizan de forma adecuada o se detiene el cómputo. Para evidenciar este hecho en una determinada máquina, es necesario conocer el mayor valor numérico que pueda almacenar el equipo. Si en los cálculos obtenemos el mayor valor posible, en general, toda operación de este valor con otro número produce resultados inadecuados.

Actividad 3. Con una calculadora o herramienta de cálculo que tenga a su alcance, elabore ejemplos similares que permitan verificar las conclusiones previas. Aporte otros ejemplos o casos que muestren otro tipo de errores.

2.3.3 Máquina usada

Tal como se deduce de los ejemplos anteriores, algunos de ellos funcionan correctamente dependiendo de la máquina de cálculo utilizada.

La Figura 3 muestra algunos relojes para medir el tiempo. Es claro que la calidad de la medida es diferente según el tipo de reloj utilizado.

Figura 3. Algunos relojes usados para medir el tiempo

En conclusión, la calidad de las cantidades que manejamos depende de los aparatos usados para medir y calcular. Por ejemplo, no es lo mismo utilizar un computador de 32 bits que uno de 64. ¿Por qué?

Actividad 4. Presente otros ejemplos en donde se manifieste este problema.

2.3.4 Los datos

En muchos problemas se utilizan datos iniciales, o de entrada, que presentan problemas al momento de iniciar el proceso de cómputo. Como ejemplo se presentan los siguientes casos:

1. Números irracionales. El modelo involucra datos que son números irracionales, como por ejemplo etc. Es decir, hay datos que son números decimales no periódicos e infinitos y que no se pueden introducir como tal en el computador, salvo con lenguajes de programación diseñados para ello, en computación simbólica o programación orientada a objetos.

2. Racionales infinitos. El modelo involucra datos como que son decimales periódicos infinitos. Como consecuencia, no se pueden escribir como datos en un computador esas expresiones decimales, salvo en computación simbólica, en programación orientada a objetos o ambientes computacionales donde se puedan definir como tal.

3. Valores experimentales. Es muy común que utilicemos valores que son el resultado de un proceso experimental, como la gravedad, o valores que son producto de la experiencia, como es el caso de presupuestos de obras civiles en el que el resultado es afectado por un valor adicional para atender imprevistos y que varía dependiendo de muchos factores.

4. Imprecisión en las medidas. La calidad de los datos que son el resultado de una medición depende del aparato utilizado para medir. Por ejemplo, el dato obtenido en el peso de un objeto es diferente en una báscula que en una pesa electrónica.

5. Representación binaria. Existen valores numéricos cuya representación binaria es infinita a pesar de que su representación decimal es finita, como es el caso

En conclusión, el error surge de manera natural en los procesos que se realizan para obtener la solución de problemas que involucran modelos matemáticos. Los errores son inherentes a los valores –datos y resultados de operaciones– que están involucrados en los diferentes procesos de la solución; el uso de un computador como herramienta de cálculo puede aumentarlos. En el transcurso de este capítulo mostraremos otras situaciones que corroboran esta afirmación.

Actividad 5. Encuentre ejemplos similares relacionados con su profesión.

Los métodos numéricos por una parte estudian, construyen y comparan las maneras de solución, y por otra parte analizan la aparición y propagación de los errores y su efecto en la respuesta.

2.4 Error absoluto y error relativo

La palabra “error” tiene múltiples acepciones, dependiendo del contexto en el que se utilice. En nuestro caso el sentido es matemático, y se diferencia en su significado de expresiones como equivocación, falta, falla, entre otras. En el desarrollo de las discusiones previas hemos planteado diferentes argumentos para mostrar que al utilizar un computador en la solución de un problema real, en general la solución obtenida es una aproximación al valor deseado. En efecto, en el proceso de solución de un problema real, son múltiples las fuentes y circunstancias para que los resultados parciales que se van obteniendo se desvíen de los valores que deberían dar. La discrepancia entre los valores calculados y los que deseamos calcular, nos permite definir el concepto de error.

Actividad 6. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Error absoluto y error relativo” del Capítulo 1.

Por ejemplo, en el estudio de algunas propiedades de la materia, por lo general se busca asociar los datos cuantitativos a las magnitudes físicas que las caracterizan. La medición de una propiedad física es el resultado de comparar dicha propiedad con un patrón conocido de la misma, para obtener su magnitud o valor numérico. Cuando se mide una propiedad física, ya sea de forma directa o indirecta, el resultado obtenido no es necesariamente el valor exacto de tal medida, debido a que el resultado de la comparación depende de la calidad del patrón escogido para medir. Por ejemplo, si vamos a medir el ancho de un objeto, no es lo mismo si utilizamos una cinta, un micrómetro o un distanciómetro.

Pretendemos que el lector: Comprenda los conceptos de error absoluto y error relativo. Disponga de criterios para justificar la utilización del error absoluto y el error relativo. Reconozca criterios para la estimación del error absoluto y error relativo, en caso de no disponer de ellos.

Entendemos por error el resultado de comparar el valor aproximado con el valor verdadero o deseado. Esta comparación tiene dos sentidos.

2.4.1 Error absoluto E

Establece la diferencia que existe entre el valor verdadero x y el valor aproximado Es decir, Por consiguiente, si E = 0, entonces el valor verdadero x coincide con el valor aproximado en cuyo caso decimos que no hay error.⁷ Buscamos que el error sea lo más próximo posible a 0. Si E > 0, el valor aproximado es inferior al valor verdadero, y decimos que se subaproxima a x con un error E. Similarmente, si E < 0, el valor aproximado es mayor que el valor verdadero, y decimos que se sobreaproxima a x con un error E. Algunos autores utilizan Δx en lugar de E, ya que el símbolo Δ manifiesta el significado que hemos planteado del error absoluto.

El error absoluto posee las mismas unidades que el valor aproximado. Por ejemplo, si estamos midiendo el ancho de una mesa y su valor verdadero es x = 2.56 metros (m) y su valor aproximado es entonces E = −0.01 m. Con el ejemplo podemos realizar varias consideraciones:

• Desde el punto de vista práctico, no tiene sentido que si conocemos el valor verdadero estemos realizando operaciones con el valor aproximado. La dificultad radica en que el valor que se desconoce comúnmente es el verdadero.

• El error absoluto por sí mismo no expresa mucho. Un error absoluto de 0, 5 m no dice nada si se desconoce la magnitud de la distancia que se mide. Este error es inconcebible al medir el ancho de una mesa, pero puede ser normal al medir la distancia de la parte más ancha del río Amazonas y es increíble si estamos hablando del recorrido del río Amazonas desde su nacimiento hasta su desembocadura.

• Para expresar en un sentido práctico el uso del error absoluto, el valor verdadero se expresa como un elemento del intervalo definido por la expresión Es decir, Es importante aclarar que en algunos textos la expresión anterior se presenta como que no es una ecuación, y su significado es el que hemos planteado. En la expresión es el valor aproximado que se obtiene en el proceso, y el error E –en este contexto positivo– expresa la cercanía de con el valor verdadero x. El tamaño del intervalo está dado por E; esto significa que mientras E sea más pequeño, mejor es la aproximación definida por el valor El valor verdadero x se expresa como elemento del intervalo cuyo centro es y el radio es E. De este modo, el valor de E expresa la calidad de la aproximación Como consecuencia, la operación que indica la expresión se realiza para obtener los extremos del intervalo. Por ejemplo, una medida dada por 353.25 ± 0.04 m expresa que la medida exacta es algún valor entre 353.21 m y 353.29 m, es decir, x ∈ [353.21, 353.29].

• Debido a que E define la longitud del intervalo en el que se encuentra el valor de x, el valor E comúnmente se representa en notación de punto flotante,⁸ con una mantisa con una o dos cifras decimales, de la forma 0.d₁d₂ ∗ 10^−d. Esta notación permite destacar el valor del exponente d que expresa la magnitud del error. En este sentido, el error E se entiende como una cota máxima del error absoluto.

• En algunos contextos, E se entiende como el máximo error absoluto posible que resulta de aproximar a x con Si sólo interesa la magnitud de E, se define el error absoluto como

• El valor de E en algunos casos se puede estimar previamente. Para el caso de mediciones, su valor está dado en las especificaciones técnicas o estudios de laboratorio del aparato de medición. En la aplicación de los métodos numéricos definiremos criterios para aproximar el valor E.

2.4.2 Error relativo

El error relativo expresa la cantidad de error que se sucede con respecto al valor verdadero, es decir

Desde el punto de vista práctico, la expresión anterior es poco útil debido a que por lo general no se conoce el valor verdadero x. Comúnmente el error relativo se aproxima mediante la siguiente expresión, que nos permite usar el valor aproximado en lugar del verdadero y el valor del error absoluto E:

A continuación vamos a demostrar que por lo general es una buena aproximación de Para hacerlo, determinamos la diferencia (discrepancia) entre ambas expresiones.

Vemos que el error relativo aproximado es una buena aproximación del error relativo cuando la expresión tiende a 0. Esta situación se presenta cuando el numerador E² tiende a 0 –es decir, cuando E tiende a 0– y su denominador no se aproxima a 0. Adicionalmente, mientras más se separen de 0 los valores de x y de más adecuado es el valor de Intuitivamente, esta situación se explica, por ejemplo, porque si utilizamos un patrón de medida muy pequeño con respecto a la cantidad que vamos a medir, el resultado de la medida es mejor. Un aparato que mida el peso de un objeto en gramos es más preciso que otro que entregue su medida en kilogramos.

Es de notar que el error relativo no posee unidades. Por ello, es común que se presente su valor en términos de porcentaje.

Ejemplo 3. El error absoluto y relativo en cada caso se calcula del siguiente modo:

1. Sea x = 0.24 y entonces

2. Sea x = 8529 y entonces

Se observa a partir de los ejemplos que en el primer caso el error relativo es peor que en el segundo, aunque parezca lo contrario si solamente se tiene en cuenta el error absoluto.

El error relativo brinda de forma más adecuada la información sobre la cantidad de error que se sucede, debido a que expresa la cantidad de error con respecto a la magnitud de la cantidad involucrada.

Es importante observar que, dado que se conocen tanto el valor verdadero como el valor aproximado, hemos utilizado las definiciones básicas tanto para el error relativo como para el error absoluto.

Actividad 7 (Error absoluto y error relativo).

1. Calcule el valor de E y de en cada caso. Observe que en este caso se conoce el valor verdadero y el valor aproximado

1)

2)

3)

4)

2. Dado x = 312.257 ± 0.5 ∗ 10⁻³, determine el valor de E y de

3. Dado x = 312.257 ± 0.5 ∗ 10⁻¹, explique por qué la expresión está incorrectamente escrita.

4. Investigue qué significa redondeo de un número.

5. En su profesión, ¿cuáles serían las posibles aplicaciones de este aprendizaje? ¿Tiene algún ejemplo?

2.5 Decimales correctos y cifras significativas

Tal como lo hemos planteado en el desarrollo de la sección previa, el error aparece de forma natural en las diferentes etapas de solución de un problema. De este modo, el error impacta –por lo general– en cada uno de los resultados (valores) que se utilizan y obtienen en el proceso. Sin embargo, hacer un seguimiento del error en el proceso de solución es una tarea ardua, en la mayoría de los casos innecesaria, y no hace parte de los alcances de este texto. Pero, al utilizar los métodos numéricos, es necesario disponer de criterios que nos permitan determinar la calidad de la solución calculada. Como parte de ello, utilizamos los conceptos de decimales correctos y de cifras significativas para referirnos al grado de confiabilidad o certidumbre que se tiene en las cantidades numéricas que se utilizan y resultan de las operaciones realizadas.

Actividad 8. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Decimales correctos y cifras significativas” del Capítulo 1.

Pretendemos que el lector: Desarrolle los conceptos de decimales correctos y cifras significativas. Disponga de un criterio para referirse a valores numéricos con un grado de confiabilidad específico. Establezca relaciones con los conceptos asociados al error absoluto y al error relativo.

2.5.1 Notación numérica

Un valor numérico se puede expresar de múltiples formas.⁹ Primero se elige una base, que expresa la cantidad de dígitos que se van a utilizar para representarlo. Por ejemplo, un número escrito en código binario se expresa con los dígitos 0 y 1, y un número escrito en base decimal utiliza los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Segundo, al presentar el número con sus dígitos, con una parte entera y una decimal, el número queda expresado en forma polinómica en términos de su base. En general, si k es la cantidad de cifras enteras y m la de cifras decimales expresadas en una base β, tenemos

Para cada i, −m ≤ i ≤ k, se cumple que d_i < β. La expresión polinómica que representa al número anterior es

d_k ∗ β^k + ... + d₂ ∗ β² + d₁ ∗ β¹ + d₀ ∗ β⁰ + d₋₁ ∗ β⁻¹ + d₋₂ ∗ β⁻² + ... + d_−m ∗ β^−m

Para enfatizar la notación, hemos olvidado que β¹ = β y que β⁰ = 1. Note que los índices utilizados (esto es, k, ..., 2, 1, 0, −1, ..., −m) para diferenciar las cifras, marcan una posición y establecen un orden en la cifras. Las cifras de la izquierda son mayores que las cifras de la derecha. Por consiguiente, la cifra d_i es mayor que la cifra d_j si i > j, ya que d_i ∗ βⁱ > d_j ∗ β^j.

Por ejemplo, dados los números 2 305.13₁₀ y el numero 2 305.13₈ escritos en base 10 y 8 respectivamente, el polinomio resultante es

2 305.13₁₀ = 2 ∗ 10³ + 3 ∗ 10² + 0 ∗ 10 + 5 + 1 ∗ 10⁻¹ + 3 ∗ 10⁻² 2 305.13₈ = 2 ∗ 8³ + 3 ∗ 8² + 0 ∗ 8 + 5 + 1 ∗ 8⁻¹ + 3 ∗ 8⁻²

Con esta breve introducción esperamos que el lector amplíe la información para que: Reconozca las diferentes tipos de notación numérica. Establezca relaciones entre las diferentes notaciones. Defina criterios para eliminar la ambigüedad. Utilice diferentes criterios para el manejo adecuado de los métodos de redondeo en cada una de las bases. Relacione los conceptos de error con los métodos de redondeo en cada base.

Actividad 9. Realice un reconocimiento sobre algunas propiedades y operaciones de la notación numérica. Para guiar esta búsqueda presentamos algunas preguntas o situaciones.

1. Dado un número en una base β expresado en forma polinómica, ¿qué características tiene el número resultante al resolver las operaciones indicadas en el polinomio? Suponga un número entero en primer lugar.

2. Todo polinomio referido a un número entero se puede expresar en forma de multiplicaciones anidadas. Con base en el ejemplo, responda las preguntas y generalice. ¿Cuántas operaciones, sumas y multiplicaciones realiza? Compare este resultado con las operaciones que se realizan de forma directa.

3. Dado un número en base 10 ¿cómo trasladarlo a una base β? Piénselo como un proceso inverso al anterior.

4. ¿Cómo extender estos resultados cuando un número posee parte decimal?

Con el objetivo de disponer de un lenguaje más preciso y adecuado, en la siguiente sección presentamos la notación de punto flotante.

2.5.2 Notación de punto flotante

Un valor numérico posee infinitas formas de representación, que dependen de la ubicación del punto decimal y de la base en la que se represente. Por ejemplo, el siguiente conjunto de números representa el mismo valor escrito en base 10: 241.45, 24.145∗10¹, 0.24145∗10³, 0.024145∗10⁴, 2 414.5∗10⁻¹, 24 145∗10⁻², ...

Para evitar ambigüedad en la representación numérica, presentamos una notación numérica estandarizada para los números reales.

Actividad 10. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Punto flotante” del Capítulo 1.

Definición 2. Decimos que un número en base 10 está escrito en notación de punto flotante normalizada si el número es de la forma

±0.d₁d₂d₃...d_k... ∗ 10^±n

en donde para cada i, 1 ≤ i, se cumple que 0 ≤ d_i < 10 y d₁ ≠ 0.

En la Definición 2, la mantisa del número escrito de punto flotante normalizada puede ser escrita como d₁.d₂d₃...d_k..., en lugar de 0.d₁d₂d₃...d_k... Para efectos de nuestras discusiones, lo importante es elegir una única notación. Es fácil ver que podemos extender esta notación a otra base β; basta cambiar 10 por la nueva base y utilizar los dígitos correspondientes según la base elegida.

Cuando usamos un número finito de cifras para representar las cantidades numéricas, en algunos casos utilizamos métodos que permiten ajustar los valores a las condiciones del contexto o reducir los efectos que se suceden al eliminar las cifras restantes del número. Dichos métodos se conocen con el nombre de técnicas de redondeo. Estas técnicas realizan ajustes a la cifra de menor significado con base en el valor de las cifras eliminadas; las más comunes son: redondeo por corte, por exceso, simétrico basado en la estadística y simétrico basado en la distancia. Se recomienda disponer de argumentos sólidos para su elección, debido a los errores que se pueden presentar cuando utilizamos los valores resultantes del redondeo para realizar operaciones posteriores.¹⁰ A continuación presentamos algunas de ellas.

2.5.3 Clases de redondeo

Redondeo por corte o por defecto. Consiste en eliminar las cifras a la derecha de un dígito elegido. Es decir, elegimos como aproximación al número menor más próximo expresado con las cifras elegidas para su representación. Por ejemplo, el número 23.458973 expresado con dos decimales utilizando redondeo por corte es 23.45

Simbólicamente, si x es un número escrito en base β, entonces x se puede escribir como

x = ±0.d₁d₂d₃...d_kd_k+1d_k+2... ∗ β^±n

Entonces, el número que representa a x con k cifras al realizar redondeo por corte es

Gráficamente, la aproximación de x = 0.d₁d₂...d_k... ∗ βⁿ –con k cifras– define un intervalo cuyo extremo inferior es y el extremo superior Entonces, representa a x con k cifras al realizar redondeo por corte (ajuste por defecto).

El valor de x está en alguna parte del intervalo y _s representa a todo valor que pertenezca a dicho intervalo.

Actividad 11. Defina un algoritmo que realice el redondeo por corte al utilizar k cifras de un valor numérico dado. El método depende de la forma como se presente el dato; elegimos dos:

1. Si los números se escriben como una parte entera y una decimal, suponga que deseamos manejar un número finito de decimales.

2. Si los números se escriben en punto flotante normalizado, suponga que deseamos manejar un número finito de cifras en la mantisa.

Redondeo por exceso. Consiste en eliminar las cifras a la derecha de un dígito elegido y aumentar una unidad al dígito de menor significado del número resultante si la parte eliminada es diferente de 0. Es decir, elegimos como aproximación al número mayor más próximo con las cifras elegidas para su representación. Por ejemplo, el número 23.458973 aproximado con dos decimales al utilizar redondeo por corte es 23.46

Simbólicamente, dado

Si 0.d_k+1d_k+2... ≠ 0, entonces el número que representa a x –con k cifras– al utilizar redondeo por corte es

Gráficamente, la aproximación de x = 0.d₁d₂...d_k... ∗ βⁿ –con k cifras– define un intervalo cuyo extremo inferior es y el extremo superior Entonces, representa a x –con k cifras al realizar redondeo por exceso.

El valor de x está en alguna parte del intervalo y que representa a x con k cifras bx_s representa a todo valor que pertenezca a dicho intervalo.

Un ejemplo simple de aplicación de esta técnica se presenta cuando se desea contratar un grupo de taxis para desplazar un grupo de 31 personas. Supongamos que en cada taxi se desplazan cuatro 4 personas, el número de taxis para contratar es 8 y no 7.75.

Actividad 12. Defina un algoritmo que realice el redondeo por exceso al utilizar k cifras de un valor numérico dado. El método depende de la forma como se presente el dato; elegimos dos:

1. Si los números se escriben como una parte entera y una decimal, suponga que deseamos manejar un número finito de decimales.

2. Si los números se escriben en punto flotante normalizado, suponga que deseamos manejar un número finito de cifras en la mantisa.

Redondeo simétrico basado en la estadística. Consiste en eliminar las cifras a la derecha de un dígito elegido teniendo en cuenta el valor del dígito de mayor posición de los que se van a eliminar, del siguiente modo:

• Si el dígito es 5, 6, 7, 8, 9, aumente una unidad al dígito de la derecha (de menor posición) del número resultante.

• Si el dígito es 0, 1, 2, 3, 4, el número resultante se obtiene al suprimir las cifras que se desean eliminar.

Por ejemplo, el número 23.458973 aproximado con dos decimales al utilizar redondeo simétrico es 23.46, porque el siguiente dígito del 5 es 8.

Simbólicamente, dado un número en código decimal

x = 0.d₁d₂d₃...d_kd_k+1d_k+2... ∗ 10ⁿ

de acuerdo con el valor de d_k+1, el redondeo simétrico con k cifras se calcula de la siguiente forma:

• Si d_k+1 < 5, entonces

• Si d_k+1 ≥ 5, entonces

Note que el criterio que sustenta el método de redondeo simétrico es estadístico, porque la probabilidad de que d_k+1 < 5 es la misma que d_k+1 ≥ 5. En este sentido, el método se puede redefinir como sigue:

• Si d_k+1 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}, entonces

• Si d_k+1 ∈ {1, 3, 5, 7, 9}, entonces

Actividad 13. El redondeo simétrico depende del código utilizado para escribir los números.

1. ¿Qué dependencia existe entre la base en la que están escritos los números y la técnica de redondeo simétrico?

• Defina el redondeo simétrico para números escritos en código hexadecimal.

• Defina el redondeo simétrico para números escritos en código octal.

• Defina el redondeo simétrico para números escritos en código binario.

2. Defina un algoritmo que realice el redondeo simétrico al utilizar k cifras de un valor numérico dado. El método depende de la forma como se presente el dato; para este caso elegimos dos:

• Si los números se escriben como una parte entera y una decimal, suponga que deseamos manejar un número finito de decimales.

• Si los números se escriben en punto flotante normalizado, suponga que deseamos manejar un número finito de cifras en la mantisa.

Redondeo simétrico basado en distancia. Consiste en eliminar las cifras a la derecha de un determinado dígito; con este valor y su consecutivo, elegimos como representante el valor más cercano al número dado. Para hacerlo, tenemos en cuenta el primer dígito a la derecha del dígito elegido, del siguiente modo:

• Si el dígito es 6, 7, 8, 9, se aumenta una unidad al dígito de la derecha (de menor posición) del número resultante.

• Si el dígito es 5, entonces observamos el siguiente dígito ubicado a la derecha del 5 y:

• Si es impar, se aumenta una unidad al dígito de la derecha (de menor posición) del número resultante.

• Si es par, el número resultante se obtiene al suprimir las cifras que se desean eliminar.

• Si el dígito es 0, 1, 2, 3, 4, el número resultante se obtiene al suprimir las cifras que se desean eliminar.

Simbólicamente, dado

x = 0.d₁d₂d₃...d_kd_k+1d_k+2... ∗ 10ⁿ

de acuerdo con el valor de d_k+1 se efectúa el redondeo de la siguiente forma:

• Si d_k+1 < 5, entonces

• Si d_k+1 = 5, entonces:

• Si d_k+2 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}, entonces

• Si d_k+2 ∈ {1, 3, 5, 7, 9}, entonces

• Si d_k+1 > 5, entonces

Actividad 14. El redondeo simétrico basado en la distancia depende del código utilizado para escribir los números y de un criterio estadístico.

1. ¿El ajuste que se realiza cuando d_k+1 = 5, puede realizarse de otro modo?

2. ¿Qué dependencia existe entre la base en la que están escritos los números y la técnica de redondeo simétrico basado en la distancia?

• Defina el redondeo simétrico basado en la distancia para números escritos en código hexadecimal.

• Defina el redondeo simétrico basado en la distancia para números escritos en código octal.

• Defina el redondeo simétrico basado en la distancia para números escritos en código binario.

3. Defina un algoritmo que realice el redondeo simétrico basado en la distancia al utilizar k cifras de un valor numérico dado. El método depende de la forma como se presente el dato; para este caso elegimos dos:

• Si los números se escriben como una parte entera y una decimal, suponga que deseamos manejar un número finito de decimales.

• Si los números se escriben en punto flotante normalizado, suponga que deseamos manejar un número finito de cifras en la mantisa.

2.5.4 Decimales correctos

Tal como lo hemos planteado, al utilizar un computador como herramienta de cómputo, tanto un dato numérico que se ingresa como el que es el resultado de operaciones en la solución de un problema puede contener errores. Estos errores se pueden originar de diferentes formas; por ejemplo, en un computador, los valores se almacenan con un número finito de cifras. A continuación presentamos un criterio que nos permite asociar a un valor numérico específico un factor de calidad asociado con aquellas cifras en las que se puede confiar. En primer lugar, definimos un criterio asociado con los decimales de confianza llamado decimales correctos y luego presentamos un criterio que extiende el grado de confianza a todas las cifras del número llamado cifras significativas.

Definición 3 (Decimales correctos). A un número en notación decimal x se le determina como correcto hasta d decimales si x cumple que¹¹

Ejemplo 4. Sea e ≈ 2, 7182818284590452354... la base de los logaritmos neperianos. Deseamos utilizar cuatro cifras decimales correctas de e:

Entonces, el valor aproximado es 2.7183. Con ello estamos afirmando que el valor verdadero del número e cumple la siguiente propiedad, a pesar de que no conocemos su valor exacto:

2.7183 − 0.5 ∗ 10⁻⁴ ≤ e < 2.7183 + 0.5 ∗ 10⁻⁴ 2.71825 ≤ e < 2.71835

En el ejemplo, el valor aproximado de e lo representamos con un número de cuatro cifras decimales. Dicha representación implícitamente expresa un intervalo en donde, con certeza, está el valor exacto de e. En general, el tamaño del intervalo lo define el número de cifras decimales que se elijan para representar el valor de e.

Hasta ahora sabemos que podemos expresar un número con una determinada cantidad de cifras decimales. Pero en la práctica es importante establecer el número de decimales correctos que tiene una cantidad dada. Si observamos el intervalo que resulta de manera natural al hablar de decimales correctos, obtenemos la respuesta a este interrogante. En efecto, tal como se concluyó al realizar el análisis del error absoluto, el valor absoluto E define el tamaño de un intervalo cuyo centro es el valor aproximado x_a y contiene al valor verdadero x_v. Esto significa que el valor verdadero se encuentra entre los valores de x_a − E y x_a + E. Es decir

x_a − E ≤ x_v ≤ x_a + E

Se observa la similitud entre los conceptos de decimales correctos y error absoluto. Ambos plantean un intervalo cuya amplitud se define según la cantidad de decimales correctos y el valor del error absoluto respectivamente. Más precisamente:

Supongamos que Decimos que un número tiene d decimales correctos si se cumple que E ≤ 0, 5 ∗ 10−d

2.5.5 Cifras significativas

Hemos relacionado el concepto de decimales correctos con el de error absoluto. De tal manera que, dado un valor aproximado y el error absoluto E, podemos determinar la cantidad de decimales correctos que posee Y viceversa: si conocemos la cantidad de decimales correctos podemos determinar un valor máximo posible del error absoluto.

El concepto de decimales correctos establece un criterio que se aplica sobre un número expresado con una parte entera y una parte decimal. Supongamos, por ejemplo, que el peso de un objeto es de 23.45 kilogramos con dos decimales correctos; luego, E < 0.5 ∗ 10⁻². Si expresamos la medida en gramos, 23, 450, aparentemente se pierde la noción de decimal correcto.¹² Para evitar esta ambigüedad, presentamos un concepto que nos permite determinar la calidad de todas las cifras, enteras y decimales, de un valor numérico dado.

Definición 4 (Cifras significativas). Sea d el número de decimales correctos. La cantidad de cifras significativas que tiene un número se obtiene contando hacia la derecha, a partir de la cifra de mayor posición diferente de 0, todas aquellas cifras que ocupen posiciones mayores o iguales que 10^−d.

Supongamos que tiene d decimales correctos. Entonces, tiene la forma

si la cifra d_k ≠ 0, según la Definición 4, el número dado tiene k + 1 + d cifras significativas.

Observe la relación directa que existe entre los conceptos de cifras significativas y decimales correctos. Dado el número de decimales correctos, obtenemos las cifras significativas y viceversa.

Ejemplo 5. En cada caso determinamos la cantidad de decimales correctos y de cifras significativas que se utilizan para expresar el valor de .

1. Sea x = 25.3 ± 0.6 ∗ 10⁻⁵. Entonces, y E = 0.6 ∗ 10⁻⁵. Como 0.6 ∗ 10⁻⁵ no es menor que 0.5 ∗ 10⁻⁵, es decir entonces para que la desigualdad sea cierta debemos reescribir el valor del error

E = 0.6 ∗ 10⁻⁵ = 0.06 ∗ 10⁻⁴

Entonces, con los cambios realizados, se cumple que

0.06 ∗ 10⁻⁴ < 0.5 ∗ 10⁻⁴

y concluimos que tiene cuatro decimales correctos. Según el resultado, debemos escribir para destacar de forma explícita la cantidad de decimales correctos. En este sentido los valores 25.3 y 25.3000 son diferentes: el primero manifiesta que posee un decimal correcto, mientras que el segundo tiene cuatro.

En este caso, la cantidad de cifras significativas está dada por el número de cifras enteras unidas a la cantidad de cifras decimales. El número de cifras significativas es seis, como lo muestra el siguiente esquema:

2. Sea Con los datos obtenemos que Concluimos que 0.34 ∗ 10⁻⁵ < 0.5 ∗ 10⁻⁵, y por lo tanto posee cinco decimales correctos. Por consiguiente, tiene cuatro cifras significativas.

3. Sea x = 100 y Dado que se deduce que 0.4∗10⁻³ < 0.5∗10⁻³, y por lo tanto posee tres decimales correctos. En conclusión, tiene cinco cifras significativas.

Note que a pesar de que no tiene cifras en común con x, posee cinco cifras significativas.

Actividad 15. Determine el número de decimales correctos y la cantidad de cifras significativas de los ejemplos resueltos en los numerales 1 y 2 de la Actividad 7.

2.5.6 Calidad en las cifras y el error

Los conceptos de decimales correctos y cifras significativas nos permiten desarrollar criterios para la manipulación de valores numéricos con un grado de precisión sobre la cantidad de cifras que posee cada dato. Con ello eliminamos la ambigüedad para la manipulación de datos.

Si un valor posee una determinada cantidad de cifras significativas, éstas no se pierden al presentar el número de una forma u otra, pues con ello hemos definido una característica adicional asociada al número. En este sentido, la cantidad de cifras significativas no varía con el formato utilizado para su representación.

Dado que el concepto de cifras significativas se aplica a la totalidad de las cifras que posee el número, es muy común expresar –en notación de punto flotante– exactamente el número de cifras significativas que posee el dato. Así que, los números 0.56 ∗ 10⁵, 0.5600 ∗ 10⁵ y 0.5600000 ∗ 10⁵ son diferentes porque poseen 2, 4 y 7 cifras significativas respectivamente.

Actividad 16 (Cifras significativas y decimales correctos). Responda a cada uno de los interrogantes o situaciones desde el lugar de la profesión en la que usted se está formando.

1. ¿Cuál sería la utilidad de los conceptos de cifras significativas y decimales correctos en su vida profesional?

2. Presente un ejemplo en donde los conceptos de cifras significativas y decimales correctos puedan ser útiles

3. ¿Qué implicaciones tienen los conceptos de cifras significativas y decimales correctos en el diseño y uso de documentación?

4. ¿Por qué es importante el uso de la notación normalizada en punto flotante?

5. ¿Por qué un valor aproximado define un intervalo?

El siguiente ejemplo nos permite relacionar los conceptos de cifras significativas y el error relativo, del mismo modo como se estableció la relación entre decimales correctos y error absoluto.

Ejemplo 6 (Máximo error relativo). Determine el valor máximo –en valor absoluto– del error relativo entre un número y su representación normalizada en punto flotante con k cifras significativas ajustadas con redondeo simétrico.

Solución. Para efectuar el análisis presentamos algunos ejemplos numéricos. En el Ejemplo 7 realizamos un análisis más general.

Para cada uno de los siguientes casos determine el error absoluto y el error relativo, ambos en valor absoluto. Suponga redondeo simétrico.

1. Si y el valor aproximado x_a posee cuatro cifras significativas.

Solución. Dado que x_a tiene cuatro cifras significativas y el redondeo es simétrico, entonces x_a = 2.667.

El valor del error absoluto es

E = |x_v – x_a| = 0.3 * 10⁻³

El valor del error relativo está dado por

2. Si x_v = e = 2.718281828 y el valor aproximado x_a posee cinco cifras significativas.

Solución. Dado que x_a tiene cinco cifras significativas y el redondeo es simétrico, entonces x_a = 2.7183.

El valor del error absoluto es

E = |x_v − x_a| = 0.1 ∗ 10⁻⁴

El valor del error relativo está dado por

3. Si x_v = 0.0129 y el valor aproximado x_a posee dos cifras significativas.

Solución. Dado que x_a tiene dos cifras significativas y el redondeo es simétrico, entonces x_a = 0.013.

El valor del error absoluto es

E = |x_v − x_a| = 0.1 ∗ 10⁻³

El valor del error relativo está dado por

4. El valor de x_v se representa como 453.32 con cinco cifras significativas.

Solución. Según el enunciado, el valor aproximado es x_a = 453.32. Como x_a tiene cinco cifras significativas, entonces x_a tiene dos decimales correctos y por lo tanto el máximo error absoluto es

E = 0.5 ∗ 10⁻²

El valor del error relativo está dado por

Para nuestro análisis suponemos que el error relativo tiene el formato d₁.d₂ ∗ 10^−k, con d₁ ≠ 0. Observamos que el valor máximo de error relativo –en valor absoluto–, al igual que en el caso del error absoluto, depende de dos parámetros: el exponente y el primer dígito de la izquierda diferente de 0. Si observamos los resultados obtenidos en los cuatro casos, el número de cifras significativas coincide con el exponente, siempre que la mantisa sea menor que 5. Es decir, si el error está escrito en punto flotante y la mantisa es menor que 5, entonces el valor del exponente coincide con la cantidad de cifras significativas. Es de notar que si un número tiene tres cifras significativas, también tiene dos cifras significativas y una cifra significativa. Por ejemplo, si 4.2∗10⁻³ < 5∗10⁻³ es cierto, también 0.42∗10⁻² < 5∗10⁻² es cierto y también es cierto 0.042 ∗ 10⁻¹ < 5 ∗ 10⁻¹.

El valor máximo del error relativo en valor absoluto depende del número de cifras significativas y del tipo de redondeo. En el Ejemplo 7 demostramos que el valor máximo, en valor absoluto, del error relativo entre un número escrito en base 10 y su representación en punto flotante normalizada con k cifras significativas es¹³

El siguiente ejemplo lo recomendamos para los estudiantes de ingeniería de sistemas y de ingeniería matemática.

Ejemplo 7 (Máximo error relativo). Determine el valor máximo, en valor absoluto, del error relativo entre un número y su representación normalizada en punto flotante con k cifras significativas.

Solución. Hemos establecido que el valor del error depende de la base numérica y del tipo de redondeo. Suponemos que los datos están expresados en base 10 y con dos técnicas de redondeo: corte y simétrico.

Si x es un número en notación de punto flotante normalizada, entonces es de la forma

x = 0.d₁d₂d₃...d_kd_k+1d_k+2... ∗ 10ⁿ

donde d₁ ≠ 0, y para todo i > 1 se cumple que 0 ≤ d_i ≤ 9. El valor de escrito con k cifras depende del tipo de redondeo que se utilice al eliminar las cifras en exceso del número. Con determinamos el valor del error relativo como

1. Redondeo simétrico. Para obtener observamos la cifra d_k+1. Dos casos:

1) Si d_k+1 < 5, entonces

La cota de la expresión se obtiene al calcular el valor mayor posible de la fracción |0.d_k+1d_k+2... ∗ 10^−k/0.d₁d₂d₃...d_k|. Para ello aplicamos el siguiente criterio: si al comparar varias fracciones encontramos una que posee mayor numerador y menor denominador, podemos afirmar que ésta es la mayor. Primero, el mayor valor posible del numerador, 0.d_k+1d_k+2... ∗ 10^−k, es de la forma 0.49999999... ∗ 10^−k. Para no utilizar una expresión infinita, seleccionamos como mayor valor posible 0.5 ∗ 10^−k y por ello el símbolo < sin el símbolo =. Segundo, el menor valor posible del denominador –0.d₁d₂d₃...d_k...– es 0.1, ya que x está en notación normalizada de punto flotante.

2) Si d_k+1 ≥ 5, entonces Es decir, sumamos 1 a la cifra d_k.

El valor de la cota se obtiene al calcular el valor mayor posible de la fracción

Para ello se calcula el mayor valor posible del numerador |(0.d_k+1d_k+2... − 1) ∗ 10^−k| y el menor valor posible del denominador |0.d₁d₂d₃...d_k...|. Primero, en el numerador, por las propiedades de valor absoluto, se tiene que |0.d_k+1d_k+2... − 1| = |1 − 0.d_k+1d_k+2...|. Por lo tanto, el mayor valor del numerador se obtiene cuando 0.d_k+1d_k+2... sea lo menor posible, y por las condiciones de la cifra d_k+1, este valor es 0.5. Como consecuencia, |0.d_k+1d_k+2... − 1| ≤ 0.5. Segundo, el menor valor posible de 0.d₁d₂d₃...d_k... es 0.1. Aunque debemos tener en cuenta un detalle: la cifra d_k+1 no puede ser menor que 5; por ello, utilizamos < en lugar de ≤.

2. Redondeo por corte. Para obtener eliminamos todas las cifras a partir de d_k+1; entonces

El valor de la cota se obtiene al calcular el valor mayor posible de la fracción

Entonces calculamos el mayor valor posible de |0.d_k+1d_k+2... ∗ 10^−k| y el menor valor posible del denominador |0.d₁d₂d₃...d_k...|. Primero, en el caso del numerador 0.d_k+1d_k+2... ∗ 10^−k, el mayor valor posible es 0.99999999... ∗ 10^−k que está acotado superiormente por 1.0 ∗ 10^−k. Segundo, el menor valor posible de 0.d₁d₂d₃...d_k... es 0.1.

En conclusión, el valor máximo del error relativo en valor absoluto es 5∗10^−k, en el caso del redondeo simétrico. Si es redondeo por corte, es 10∗10^−k. Observe que un valor es el doble del otro y que en ambos casos las cantidades dependen del número de cifras k utilizadas.

Para efectos prácticos, por lo general, no diferenciamos en el tipo de redondeo usado y asumimos una única cota para el error relativo. Sin embargo, con las conclusiones previas, esperamos que el lector disponga de criterios para realizar análisis adecuados cuando los requiera.

Dado el valor de para un número, podemos determinar la cantidad de cifras significativas k que posee utilizando el siguiente criterio:

Hemos logrado establecer un relación entre las cifras significativas y el error relativo, en el sentido en que, si conocemos la cantidad de cifras significativas, podemos determinar el máximo error relativo. Al contrario, si conocemos el valor del error relativo, podemos determinar el número de cifras significativas.

Estamos en condiciones de relacionar los conceptos principales hasta ahora desarrollados. En principio establecimos que el error absoluto y el error relativo tienen una relación directa, en el sentido en que el conocimiento del uno implica el conocimiento del otro. Del mismo modo y en los dos sentidos, con el error absoluto determinamos los decimales correctos, y con el error relativo determinamos las cifras significativas. Y finalmente, por definición, establecimos una relación estrecha entre decimales correctos y cifras significativas. El diagrama de la Figura 4 muestra estas relaciones.

Figura 4. Relación entre el error y la calidad de las cifras en un valor numérico

Actividad 17. Con la realización de las siguientes actividades pretendemos reforzar y ampliar los aprendizajes.

1. Si cambiamos de base, por ejemplo base octal, binaria o hexadecimal, ¿cómo se definen las estrategias de redondeo y cuáles serían las correspondientes cotas para el error?

2. Generalice la respuesta anterior para cualquier base

3. ¿Que dependencia tienen los valores de las cotas del error con respecto al tipo de redondeo que utilizamos para el ajuste de cifras?

4. ¿Cuál es la utilidad de la relación establecida entre el error relativo y las cifras significativas?

5. ¿Qué importancia tiene el diagrama de la Figura 4?

La siguiente sección la recomendamos para los estudiantes de ingeniería de sistemas y de ingeniería matemática o a quien esté interesado en entender la forma de almacenamiento de los números en el computador y sus efectos en los cálculos.

2.6 Los números en el computador

Cada vez más y con mayor frecuencia utilizamos como herramienta de apoyo el computador para realizar los cálculos necesarios en la solución de problemas. Comúnmente en nuestros cálculos utilizamos números escritos en base decimal, que al introducirlos en un computador son convertidos a código binario.¹⁴ Además, el espacio reservado para el almacenamiento de dichos datos es finito.

Actividad 18. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Los números en el computador” del Capítulo 1.

Pretendemos que el lector: Reconozca las diferentes formas de almacenar un dato numérico en el computador. Determine las consecuencias de las formas de almacenamiento de los datos numéricos. Determine cada una de las partes que componen la notación de punto flotante en relación con la forma de almacenamiento del dato en el computador.

Si x₍₂₎ es un número real escrito en código binario, su representación en notación de punto flotante normalizada es

x₍₂₎ = ±0.d₁d₂d₃...d_kd_k+1d_k+2... ∗ 2^±n

en donde se cumple que d₁ ≠ 0 y para todo i > 1 se cumple que d_i = 0 o d_i = 1. Dado que d₁ ≠ 0, el 0 no se puede representar en notación de punto flotante.

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que una variable real (float) se almacena en un computador utilizando 32 bits (4 bytes). Recordemos que un bit se representa por 0 o 1. En nuestro supuesto computador, la distribución de los 32 bits se realiza del siguiente modo,¹⁵ (Figura 5):

• 1 bit para el signo de la mantisa.

• 1 bit para el signo del exponente.

• 7 bits para el exponente.

• 24 bits para la mantisa. El primer bit siempre es 1 y no se almacena físicamente (es un bit lógico). Los restantes 23 se almacenan.

Llamaremos a los números reales que se almacenan en un computador números máquina, para dar a entender que tienen una estructura similar a ésta.

Figura 5. Esquema de almacenamiento de un número real

Es importante aclarar que no necesariamente el método de almacenamiento que hemos planteado es la forma que utilizan los computadores actuales; lo que presentamos es más bien un estructura general y simple de la misma, es decir, un esquema conceptual básico para representar el almacenamiento de un número real en un computador. A pesar de que existen diferentes técnicas y posibilidades, todas ellas poseen unas características comunes: el exponente y la mantisa se almacenan con una cantidad finita de dígitos. Ésta es la estructura que suponemos para nuestros análisis y conclusiones. Para conocer los valores exactos de estos límites y características, recomendamos consultar el manual del lenguaje de programación o herramienta de cálculo que utilicemos. Veamos algunas consecuencias de la estructura elegida.

2.6.1 Números máquina máximos y mínimos

Existe una capacidad limitada para almacenar los números reales. Al ocuparla completamente se obtienen los números máximos y mínimos –tanto en sentido positivo como negativo– que pueden ser almacenados en el computador. Supongamos que positivo se representa como 1 y negativo como 0. El siguiente número representa el valor máximo positivo que puede almacenar un computador de 32 bits:

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el mayor valor del número almacenado se relaciona únicamente con el mayor valor del exponente: 1111111₍₂₎ = 2¹²⁷ ≈ 10³⁸. Es decir, en nuestro computador virtual, el mayor valor almacenado es del orden 10³⁸. Tal como se observa en la Figura 6, hay una cantidad infinita de números reales que no pueden ser almacenados en el computador. Existe un número máximo, 10³⁸, a partir del cual cualquier otro número mayor que él no se puede almacenar en la máquina. Del mismo modo, todos los números menores que −10³⁸ no se pueden almacenar. El número −10³⁸ es el menor valor que puede almacenar nuestro computador de 32 bits. Todos los números que estén por fuera del intervalo definido por estos dos números no pueden ser almacenados, y aparece un error de desbordamiento¹⁶ llamado overflow. Por otro lado, todos los números positivos menores que 10⁻³⁸ y todos los números negativos mayores que −10⁻³⁸ tampoco se almacenan en nuestro computador, y en la mayoría de los casos son aproximados a 0 por el computador. Este problema de desbordamiento se conoce como el underflow.

Figura 6. Límites de almacenamiento en la recta real

2.6.2 Densidad de los números reales

Al disponer de una cantidad finita de dígitos para almacenar los datos, un número máquina tiene un consecutivo. Entre dos números reales consecutivos no existen números reales. Pero la propiedad de la densidad de los números reales establece que entre dos números reales siempre existen números reales. Si x = 0.d₁d₂...d₂₄ ∗ 2ⁿ, entonces existe un número en nuestro computador de 32 bits que es el siguiente a él, x_s = 0.d₁d₂...(d₂₄ + 1) ∗ 2ⁿ, que cumple la propiedad de que

x_s − x = 2ⁿ⁻²⁴

y que todos los números reales que pertenecen al intervalo [x, x_s], son representados por x o x_s según la forma de redondeo. El número máquina escogido por el método es el que representa a los números reales infinitos que pertenecen al intervalo [x, x_s].