Kitabı oku: «Meine Herren, dies ist keine Badeanstalt»

Name: Meine Herren, dies ist keine Badeanstalt
Author: Georg von Wallwitz
ISBN: 9783946334286

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Die Hilbert-Kurve ist eine Linie (mit sehr vielen Ecken), die eine zweidimensionale Fläche vollständig ausfüllt – und dadurch sozusagen ihre eigene Dimensionen hinter sich lässt.

Georg von Wallwitz

Meine Herren, dies ist keine Badeanstalt

Wie ein Mathematiker das 20. Jahrhundert veränderte

1. Vorwort

2. Ungehaltener Nekrolog

3. Zwei Vögel, ein Frosch und der Erzengel des Fortschritts

4. Ein geschärfter Geist

5. Hilbert geht nach Göttingen

6. Die 23 Probleme in Paris

7. »Der Beginn der Kultur der Gegenwart«

8. Hilbert lernt Physik

9. Zwei wirkliche Kerle

10. Dies ist keine Badeanstalt

11. Ein endliches Spiel

12. Von Neumann, Bologna

13. Wunderknaben in Göttingen

14. »Ein dämonischer Mangel an Plausibilität«

15. Demonstrationes Catholicae

16. Im Licht der Logik

17. Translatio Imperii

18. Nachwort

Oft bekommt man zu hören: Das ist gut, doch es ist von gestern. Ich aber sage: Das Gestern ist noch nicht geboren. Es war noch nicht wirklich da.

Ossip Mandelstam, Das Wort und die Kultur (1921)

1. Vorwort

Es gibt einen im Grunde liebenswürdigen Menschenschlag, der beim Nachdenken über die Welt bereit ist, über die Intuition hinauszugehen und sich allein von der Form und der inneren Logik der Phänomene leiten zu lassen. Diese Menschen sind phantasievoll und mutig im Angesicht strenger Logik und selbstbewusst genug, um unvermeidliche Niederlagen nach kurzer Trauer einzugestehen – denn die Wahrheit der formalen Überlegung geht ihnen über alles. Sie erlangen selten den Status eines öffentlichen Intellektuellen, sind wenig ruhmsüchtig und meistens mit einem stillen Kämmerchen zufrieden, in welchem sie gleichwohl nichts Geringeres herstellen als den Schmierstoff der modernen Welt. Die Rede ist, natürlich, von den Mathematikern.

Wir alle wissen, wie groß der Einfluss ihrer Arbeit ist. Unter den Begriffen Big Data, Künstliche Intelligenz und Kryptographie haben mathematische Techniken das tägliche Leben einer Menschheit durchdrungen, die sich auch bei noch so guter Schulbildung oft wenig darunter vorstellen kann, was unter moderner Mathematik zu verstehen ist und wer sich so etwas ausdenkt. Der Draht der Mathematiker zu großen Teilen der gebildeten Schichten ist, trotz ihres stark gewachsenen Einflusses, weitgehend verlorengegangen.

Das war nicht immer so. Im 18. Jahrhundert konnte ein Philosoph wie Voltaire ein Buch über Newtons Physik schreiben und große Mathematiker wurden hoch gehandelt in den Salons von Paris, London und Berlin. Dichter wie Novalis machten sich ausgiebig Gedanken über Euklids Axiomatik und die Bedeutung der binomischen Formeln. Niemand wäre auf die Idee gekommen, ein gebildeter Mensch könnte ohne Kenntnisse der neuesten Mathematik auskommen. Dann aber, um 1800, verlor sie ihre Selbstverständlichkeit, denn durch die furchterregend abstrakten Arbeiten von Carl Friedrich Gauss und einigen seiner Zeitgenossen büßte sie ihre Anschaulichkeit ein und wurde zu einem Fach, das unmöglich von Kavalieren nebenher, als amüsanter Zeitvertreib, betrieben werden konnte. Die Dilettanten in der Mathematik starben langsam aus. Heute ist sie nicht mehr Teil der Allgemeinbildung und es gibt sehr kultivierte Menschen, die ohne Furcht vor sozialer Ausgrenzung bekennen können, keinen blassen Schimmer von moderner Mathematik zu haben. Sie nehmen den Anspruch der Mathematik auf Unbedingtheit, Ewigkeit und Schönheit von Ferne interessiert zur Kenntnis, sehen als Zugang aber nur ein Nadelöhr, das Ihnen unpassierbar erscheint. An diese richtet sich das vorliegende Buch.

Der durchschnittliche Mathematiker weiß genau, dass die Allgemeinheit die konkreten Inhalte seiner Wissenschaft weder sucht noch findet. Sosehr er es sich auch wünschen mag, dem nächsten Passanten auf der Straße zu erklären, was es mit Topologie oder algebraischer Geometrie auf sich hat, er wird am Ende bestenfalls graue Erinnerungen an die Schulzeit wecken und keine reichhaltigen Ideen transportieren. Über Inhalte kann daher in diesem Buch nicht geredet werden, es hätte keinen Sinn. Ich kann nur versichern, dass es ein wunderschönes Erlebnis sein kann, logische Zusammenhänge zu begreifen, dass auch in jener Gedankenwelt jenseits der Intuition und der bunten Vorstellungen noch Leben ist. Allerdings lässt sich über die biographische Konstellation reden, über die Denkweise und die Aufgaben, aus der die Mathematik hervorgeht – und dann lässt sich umso besser darüber staunen, wie eine rein geistige Übung so tief in die Realität hineingreifen kann.

Wie tief dieser Eingriff ist, hat am stärksten die um 1900 geborene Generation erfahren. In ihrer Kindheit bezeichneten Glühbirnen und Dampfmaschinen den Stand der Technik. Fünfzig Jahre später gab es Autos, Flugzeuge, Atombomben, Computer, Radar, Radio und Fernsehen und die Welt erkannte sich kaum wieder. Die Physik hatte die Relativitätstheorie und die Quantenmechanik hervorgebracht und es gab völlig neue Wissenschaftszweige wie die Spieltheorie und die Kybernetik. In diesem halben Jahrhundert hat sich die Welt so dramatisch gewandelt wie in fast keiner anderen Periode. Gegen diesen Sturm sind die Veränderungen, welche die westliche Welt heute erlebt, bestenfalls ein leises Ziehen.

Sucht man nach der einen Figur, welche häufiger als alle anderen an den Quellen dieser Umwälzung auftaucht, trifft man schnell auf David Hilbert in Göttingen, den einflussreichsten Mathematiker in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Er war die graue Eminenz hinter den naturwissenschaftlichen Köpfen, die die Welt in dieser Zeit auf ihre Weise erschütterten. Bei niemandem trafen so viele der später entscheidenden Wissenschaftler aufeinander und auf keinem anderen Schreibtisch kreuzten sich so viele Verbindungslinien und Ideen, aus denen schließlich, ungeplant, eine neue Zeit entstand. Er gab der ganzen Entwicklung der Mathematik im 20. Jahrhundert die Richtung vor. Viel von dem, was wir heute davon im täglichen Leben sehen, wie etwa die Entwicklung des Computers, ist in der Auseinandersetzung mit seinen Ideen entstanden. Und es ist auch kein Zufall, dass viele der Physiker, die später die Atombombe bauten, sich in den 1920er Jahren in Hilberts Göttingen kennenlernten.

»Zwei Einflüsse haben meiner Meinung nach vor allen anderen das 20. Jahrhundert geprägt. Der eine ist die Entwicklung der Naturwissenschaften und der Technologie – gewiss die größte Erfolgsgeschichte unserer Zeit […] Der andere besteht zweifellos aus den großen ideologischen Stürmen, welche das Leben fast der gesamten Menschheit verändert haben«,¹ schreibt Isaiah Berlin, einer der besten Zeugen seiner Zeit. Besteht der Mantel der Geschichte des 20. Jahrhunderts nach außen hin aus Krieg, Vernichtung und Vertreibung, aus Ideologien, Rassismus und blindem Eifer, so ist sein Innenfutter aus der phänomenalen Entwicklung der mathematischen Naturwissenschaft gewoben, welche die Gestalt des Jahrhunderts mindestens so sehr geprägt hat. Über die Tyrannen, denen im 20. Jahrhundert niemand aus dem Weg gehen konnte, ist viel geschrieben und gestritten worden – womöglich mehr, als sie es verdient haben. Vielleicht stellt man in 200 Jahren aber fest, dass die Ideen und Methoden, die in dieser Zeit in Mathematik und Physik erdacht wurden, den Gang der Geschichte nachhaltiger verändert haben als die Grausamkeit der Ideologen.

In einer für die Mathematik glorreichen Zeit war Hilbert das überragende Oberhaupt einer Schule, die Naturwissenschaften und Technik die Mittel an die Hand gab, die Welt neu zu begreifen. Diese Schule zog begabte junge Menschen aus der ganzen Welt an, einen sehr bunten und genialen Haufen von Menschen, unkonventionell in jeder Hinsicht. Für seine Schüler setzte er sich bedingungslos ein, wie etwa für Emmy Noether, die er als Dozentin kaum durchsetzen konnte gegen seine dem Frauenbild des Kaiserreichs verpflichteten Kollegen von der Philosophischen Fakultät (und auch das nur unter dem Verweis auf den Unterschied zwischen Fakultät und Badeanstalt). Sein Markenzeichen war die im Sinne des großen Euklid benannte axiomatische Methode, in der sich der Ehrgeiz ausdrückte, des Pudels Kern nicht nur zu verstehen, sondern das Tier auch auf logisch einwandfreie, formale Weise wieder zusammenzusetzen. Sie ist der Versuch, die Dinge von ihrer inneren Logik her zu verstehen. Gedanklich war das eine Revolution, der Bruch mit einer romantischen Tradition, die den Mathematiker nur seiner genialen Intuition verpflichtet sah.

Das mathematische Wissen hat den Aufbau einer Pyramide. Die meisten von uns haben in der Schule eine im Kern dunkle Wissenschaft erlebt, die aus der richtigen Anwendung auswendig gelernter Formeln besteht und erst durch den Einsatz von Taschenrechnern erträglich wird. Diese Schulmathematik ist die breite Basis der Pyramide und objektiv langweilig – diese Ahnung der Amateure kann jeder Profi bestätigen. Mathematik ist aber, wie die Profis im selben Atemzug beteuern, auch interessant und schön. Interessant wird es dort, wo die Mathematik mit der Realität in Berührung kommt und anschaulich wird. Ein sehr großer Teil der Mathematik ist aus der Beschäftigung mit konkreten Problemen entstanden und an dieser Nahtstelle zwischen Geist und Natur wird sie greifbar. Etwa wenn sich die Orientierungsleistung von Tunesischen Wüstenameisen am besten als ein Operieren mit Vektoren begreifen lässt, oder wo das klügste Vorgehen im Glücksspiel Thema der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird. Schön ist die Mathematik an der Spitze der Pyramide, wo sie zu einer ästhetischen Erfahrung werden kann, wenn der mühevolle Aufstieg in Zahlentheorie, Topologie oder Algebra mit einer Ahnung von ewiger Wahrheit und Harmonie belohnt wird. Sie hat dort viel mit Inspiration und einem freien Spiel der Formen zu tun, die von alters her mit der sinnlichen Erfahrung von Schönheit assoziiert werden. Wenn das strenge Gerüst der mathematischen Begriffsbildung erst einmal gemeistert ist, bietet sich ein völlig anderes Bild. Es ist, als rage die Spitze der Pyramide aus einem Wolkenmeer unscharfer und unzusammenhängender Begriffe heraus.

Laien sind in der Mathematik gut beraten, sich nicht durch das Formelgestrüpp zu hauen, welches zwischen ihnen und den guten Gedanken an der Spitze der Pyramide wuchert, sondern zunächst auf den Stil und den Weg achten. Wie liest man also als Laie ein Buch über einen Mathematiker? In jeder Fachsprache finden sich Wendungen, die den Praktikern erst durch lange Übung so vertraut geworden sind wie dem Tänzer seine Schrittfolge. Wenn nun im vorliegenden Buch Begriffe und Passagen vorkommen, die undeutlich bleiben, bitte ich den Leser um die Nachsicht und den Mut, über das Schwierige zunächst hinwegzulesen und sich an die Essenz zu halten. Es geht hier nicht um exakte Definitionen, sondern um eine Reihe großartiger Ideen, die zum Wirkungsmächtigsten gehören, was das vergangene Jahrhundert zu bieten hatte. Das meiste von dem, was über die Schulmathematik hinausgeht, habe ich daher in Fußnoten verbannt, die mit dem Kürzel FfF, Fußnote für Fortgeschrittene, gekennzeichnet sind.

Eine zunächst oberflächliche Lektüre ist unter Mathematikern nicht ehrenrührig. Auch sie springen gerne, wenn sie eine Abhandlung lesen, über schwierig erscheinende Passagen hinweg. Zunächst lesen sie gewöhnlich nur die Sätze, die das Destillat der Überlegungen sind. Sie wissen zwar, dass oft nur die Begründung den Sinn eines Satzes klarmacht. Aber dennoch, erst wenn sie das Gefühl haben, es steckt eine gute Idee darin, vollziehen sie die Beweisketten nach. Nicht jeder Mathematiker ist fleißig und leidenswillig. Ihre Leser müssen es nicht anders halten.

Non omnis moriar

Horaz, Oden 3,30

2. Ungehaltener Nekrolog

David Hilberts Beerdigung muss als verunglückt gelten. Er war schon zum Zeitpunkt seines Todes unstreitig der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit, also für sein Fach das, was Einstein für die Physik darstellte. Aber die Welt hatte, als er am 14. Februar 1943 starb, andere Sorgen. Das friedliche Dahinscheiden eines 81-jährigen Mathematikprofessors in Göttingen war ein entschieden undramatisches Ereignis in einer Zeit, in der ein jedes Leben in Europa und Asien jederzeit gewaltsam enden konnte. Die Trauergemeinde war überschaubar, sie bestand allenfalls aus einem Dutzend Personen, den letzten Relikten eines zehn Jahre zuvor untergegangenen goldenen Zeitalters.

Da Hilbert schon lange keiner Kirche mehr angehört hatte, fand die Zeremonie im Wohnzimmer im Erdgeschoss seines Hauses in der gutbürgerlichen Wilhelm-Weber-Straße statt. Der große Raum blickte in einen winterlichen Garten. Der angestaubten Einrichtung merkte man das Alter der Bewohner und die fortgeschrittene Erblindung der Hausfrau deutlich an.

Arnold Sommerfeld, neben Max Planck der Doyen der in Deutschland verbliebenen Physiker und mit 81 Nominierungen so oft wie kein anderer für den Nobelpreis vorgeschlagen, war aus München gekommen und hielt eine kurze, unbeholfene Ansprache auf den hohen Toten, die sich im Wesentlichen auf eine Aufzählung von dessen akademischen Leistungen beschränkte. Constantin Carathéodory, ein im Osmanischen Reich aufgewachsener Mathematiker, vielleicht der wichtigste von den in Deutschland verbliebenen, ließ sich entschuldigen, schickte aber einen kurzen Nachruf. Sein kurzer Text, ebenfalls kein großer Wurf, wurde unter Tränen verlesen und handelte immerhin am Rande von Hilberts Persönlichkeit.

Die Grabredner hatten einen verlässlichen Freund vom Schlage eines ostpreußischen Bauern verloren, zugleich aber auch den Mentor der gesamten mathematischen Naturwissenschaften. Über das Wichtigste im Lebenslauf des Toten konnte freilich kaum geredet werden. Das nämlich waren die endlosen Gespräche auf den immer gleichen Wanderungen, die Hilbert mit seinen Studenten, Assistenten und Kollegen unternommen hatte. Dabei war ein einzigartiges Netzwerk entstanden, in welchem Logik, Mathematik, Physik und Philosophie so eng wie nie zuvor miteinander verwoben waren. Die weitaus meisten von Hilberts Weggefährten mussten dabei (wenigstens in der schriftlichen Version der Grabreden) unerwähnt bleiben, denn viele von ihnen waren Juden oder Gegner des Nationalsozialismus und hatten Deutschland verlassen, so lange es noch möglich war. Wie aber sollte man über einen Sokrates reden, für den das Gespräch die wichtigste Quelle der Erkenntnis war, wenn man kein Wort über seine Dialogpartner verlieren durfte? Der Weg zum Grab wurde so zum Geisterzug, der eher aus Abwesenden als Anwesenden bestand. Die Trauernden blieben mit ihrem Gedanken an eine unaussprechliche und unwiederbringliche Vergangenheit allein. Sie waren sich ihrer eigenen Verlorenheit schmerzlich bewusst, und mancher mag etwas neidisch auf den Toten geblickt haben, der diese trostlose Zeit nun hinter sich hatte. Wären doch nur die Grabreden gelungen!²

Die Welt ging unterdessen in Flammen auf. Im Februar 1943 kapitulierten die Deutschen in Stalingrad. Die Engländer hatten im Seekrieg die Oberhand gewonnen, auf geheimnisvolle Weise, die aber durchaus mit der großen Göttinger Leiche zusammenhing, und versenkten nun ein deutsches U-Boot nach dem anderen. In Tunesien rieben sie die letzten italienischen Truppen auf. In Casablanca trafen sich Roosevelt und Churchill und legten die bedingungslose Kapitulation der Achsenmächte als Kriegsziel fest. Währenddessen rief in Deutschland Goebbels unter dem Jubel der Berliner im Sportpalast den Totalen Krieg aus und in München wurden die Geschwister Scholl durch das Fallbeil hingerichtet. Letzteres blieb auf Jahre hin das einzige wichtige Ereignis aus dem Universitätsleben in Deutschland.

Der Göttinger Friedhof lag auf der anderen Seite des Flusses. Für Hilberts letzten Weg passte die Trauergesellschaft in zwei Wagen. Am Grab verabschiedeten sich mit einer Handvoll Erde zuerst seine Witwe Käthe, die die letzte Ruhestätte nur noch schemenhaft, als dunkles Loch in der weißen Schneefläche wahrgenommen haben wird, und dann sein Sohn Franz, dessen gestörter Verstand der zweitgrößte Kummer in David Hilberts Leben gewesen war. Auf dem Grabstein sollten keine Lebensdaten, keine Orte, keine Zeiten stehen, nur sein Name und sein faustisches Lebensmotto: Wir müssen wissen, wir werden wissen.

Albert Einstein wären am Grab sicher ein paar brauchbare Sätze eingefallen. Zu seinem 70. Geburtstag hatte er Hilbert noch freundlich gratuliert, sprach von den »Stunden ungetrübt schönen Erlebens«, die er dem Kollegen verdanke.³ In der spannendsten Phase ihres Lebens waren sie miteinander in einem fast sportlichen Ringen um die Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie verbunden gewesen. Niemand war Einstein damals in Gedanken, aber auch in Taten näher gewesen als Hilbert. Beide hatten sich auf ihre eigene Weise an die alles entscheidenden Feldgleichungen herangetastet, auf dem Weg durch ihre eigenen Gedankenexperimente und Irrtümer. Im Juni 1915 reiste Einstein nach Göttingen, wohnte bei Hilbert, diskutierte mit ihm über Mathematik, Physik und den Weltfrieden und hielt tagsüber Vorlesungen an der Universität. Von dieser bemerkenswerten Konstellation hätte Einstein in seinem Nekrolog berichten können, von der Zusammenarbeit, der Konkurrenz und dem nachhaltigen Respekt, der daraus erwachsen war. Einstein erkannte in Hilbert einen der wenigen Menschen an, die aus demselben Holz geschnitzt waren und sich auf demselben Niveau bewegten wie er. Die Seelenverwandtschaft ging weit über das Fachliche hinaus, als sie 1918 gemeinsam einen Aufruf für den Frieden geplant hatten. Beide waren Pazifisten und verstanden das kriegsbegeisterte Europa nicht mehr. Die Frage einer Grabrede stellte sich nun aber nicht mehr, denn von Hilberts Tod erfuhr Einstein vermutlich erst Monate später. Er lebte seit 1932 in den USA und hegte inzwischen eine tiefe Abneigung gegen (fast) alle Deutschen und eigentlich alles, was mit Deutschland zu tun hatte.

Es gab durchaus Gedenkfeiern für Hilbert, aber meistens außerhalb Deutschlands und erst sehr viel später, als die Nachricht von seinem Tod langsam durch die Front gesickert war. In Princeton etwa, wo einige seiner prominentesten Schüler dem Institute for Advanced Study zu dem Ruhm verhalfen, den es bis heute hat. Dort, wie auch anderswo, war das Innehalten und Gedenken aber nur kurz, denn die meisten von denen, die in Göttingen ihr mathematisches Handwerkszeug in Hilberts Art und anhand seiner Weltsicht gelernt hatten, waren nun mit dem Krieg beschäftigt, mit der Entwicklung von Kommunikationstechnik, Kybernetik, Rechenmaschinen, Radar und der Atombombe. Dieser Krieg war in hohem Maße auch ein Krieg der Wissenschaftler, die einst alle an derselben Quelle gesessen hatten.

Unerwähnt blieb in den in Deutschland verfassten Nekrologen inbesondere – auf Grund seines jüdischen Glaubens – Hilberts bester Freund und Weggefährte, Hermann Minkowski, der einstmals einem staunenden Publikum verkündet hatte, die Welt müsse, als Konsequenz aus der Relativitätstheorie, in Zukunft nicht mehr in drei, sondern in vier Dimensionen begriffen werden. Unerwähnt blieb die brillante Emmy Noether, eine Expertin für besonders abstrakte Zusammenhänge, die aber als Frau und Jüdin mit Sympathien für den Sozialismus an der Göttinger Fakultät sowieso schon nicht leicht vermittelbar gewesen war und ihre Vorlesungen nur halten konnte, weil Hilbert hohen Respekt vor ihrer Arbeit und ein ausgeprägtes Vergnügen an der Beugung scheinbar eherner Regeln hatte.

Von einigen der Erwähnenswerten, soweit sie noch am Leben waren, wusste man ohnehin nicht so genau, wo und wie sie gerade beschäftigt waren. Aus Hilberts Gedankenwelt wurde im Krieg (der, wie man lange weiß, nicht nur zerstört, sondern auch beschleunigt) ein Nährboden für praktisch anwendbare Erfindungen (wie den Computer oder die Atombombe) und Konzepte (wie Kybernetik, Kommunikations- oder die Spieltheorie). Viele Mathematiker und theoretische Physiker begriffen schnell, dass sie den Ausgang dieses Krieges maßgeblich beeinflussen konnten, und so war unter ihnen bald von theoretischer Denkbarkeit keine Rede mehr, sondern eher von technischer Machbarkeit. Werner Heisenberg und Robert Oppenheimer, die in Göttingen in der Mitte der 20er Jahre bei Hilberts Schüler Max Born arbeiteten, lieferten sich ein Rennen, bei dem es nur einen Sieger geben konnte, indem sie das deutsche beziehungsweise amerikanische Atombombenprojekt leiteten. Oppenheimer hatte in Göttingen einige der wichtigsten Theoretiker für das Manhattan-Projekt kennengelernt, etwa Paul Dirac und Johann von Neumann. Neumann war in vieler Hinsicht Hilberts Meisterschüler, der die Mathematik hinter der plötzlich kriegswichtigen Atomphysik verstand wie kaum ein anderer. Er war auf amerikanischer Seite damit betraut, Lösungen für Differenzialgleichungen zu finden zur Berechnung von Schockwellen bei Detonationen und von Flugbahnen für Projektile. Da die Lösung solcher Gleichungen eine mühsame Angelegenheit war, im Kern aber geistlos und immer gleich, beschlossen amerikanische Mathematiker im April 1943, eine Maschine für diese Aufgabe zu bauen, einen Electronic Numerical Integrator and Computer (ENIAC). Neumann machte diese Maschine zu seinem Lieblingsprojekt, als er realisierte, dass sie sich prinzipiell für alle logischen Operationen eignete (womit sie zur Urmutter aller modernen Computer wurde). Bis es so weit war, mussten noch Kurt Gödels und Alan Turings Arbeiten in ihm gären. Diese waren zwar keine Hilbert-Schüler im engeren Sinne, aber sie hatten ihre Studentenzeit damit verbracht, sich an Hilberts Entscheidungsproblem abzuarbeiten und dabei, ohne es zu beabsichtigen, die gedankliche Grundlage des modernen Computers entwickelt. Auch sie hätten wohl einiges auf Hilberts Beerdigung zu sagen gehabt. Aber insbesondere Turing war nun ebenfalls unabkömmlich, denn er hatte den Code der deutschen Verschlüsselungsmaschine Enigma geknackt, was im Frühjahr 1943 zur vorläufigen Einstellung des deutschen U-Boot-Krieges führen sollte. Kurz, indem Hilberts direkte und indirekte Schüler Bomben und Rechenmaschinen erfanden, steckten sie über beide Ohren im Krieg, und so wurde seine Beerdigung zu einer traurigen kleinen Veranstaltung für alte Weggefährten.

Die angewandte Mathematik kann manchmal (und jedenfalls im Zeitalter der Künstlichen Intelligenz) als Sprache der Physik und der Informationstechnologie die öffentliche Anerkennung für sich reklamieren. Aber die abstrakte Konstruktion aus Begriffen, Definitionen und Formeln, welche die reine Mathematik kennzeichnet, wirkt auf den Laien oft wie ein leeres Gefäß, dessen Schönheit und höherer Sinn nur für die Eingeweihten und Geübten offensichtlich ist. Wie die Künstler einer klassischen Periode produzieren reine Mathematiker Muster, die nach ästhetischen Kategorien wie Einfachheit, Symmetrie, Eleganz und Schönheit beurteilt werden wollen. Für sie kann auf die Dauer in dieser Welt kein Platz sein für hässliche Mathematik.⁴ Nun wäre es aber zu kurz gegriffen, die Mathematik nur als ein schönes Spiel zu beschreiben. Das mag sie im Kern wohl sein, aber ihre Schönheit ist immer die der Effizienz, denn eine schöne Formel zeichnet sich dadurch aus, dass sie einen bestimmten Sachverhalt kurz und gut auf den Punkt bringt.

Mathematiker müssen also gleichermaßen einen Sinn für logische Effizienz und einen ästhetischen Blick für Einheit und Struktur mitbringen. Das gibt es nicht häufig, und die mathematische Denkweise bleibt den meisten Menschen ihr Leben lang fremd. So ergibt es sich, dass Mathematiker meistens unter sich bleiben, allenfalls noch mit Physikern Umgang pflegen. Und selbst wenn sie eine breitere Anerkennung finden, so wissen sie doch immer, dass ihr Ruhm nur geborgt ist und auf Erzählungen beruht, nicht auf eigenständigem Verstehen der zeitungslesenden Massen. Ihr Einfluss mag beträchtlich sein, sie mögen Nobelpreisträgern das Handwerkszeug geschaffen oder die Erfindung alltagstauglicher Geräte und Methoden ermöglicht haben, aber dennoch wissen sie, dass am Ende das Wie, Warum und Woher den meisten ihrer Zeitgenossen schleierhaft bleibt. All jene klugen Geister, deren Kunst darin besteht, logische Formen und Beziehungen aus dem eigenen Denken zu schöpfen, können in den seltensten Fällen mit allgemeiner Aufmerksamkeit rechnen. Sie leben getrennt vom Rest einer Gesellschaft, die nicht in Strukturen und Abstraktionen denkt, sondern in Tischen, Stühlen und Bierkrügen.

Ein zurückgezogenes Leben ist den meisten mathematischen Köpfen vorbestimmt und angemessen, auch wenn sie es selbst oft nicht so empfinden. Offensichtlich wird dies bei der Beerdigung, einem gleichermaßen öffentlichen wie intimen Moment, der bei Mathematikern nur sehr selten zum Ereignis wird. Sie werden fast nie unter Fanfarenstößen beerdigt, denn sie waren im Besitz einer Wahrheit, die für die meisten Menschen weder interessant noch zugänglich ist. Physiker, obwohl sie oft mit nichts anderem als Mathematik beschäftigt sind, können die Phantasie anregen durch das Versprechen, den schwarzen Glanz des bestirnten Himmels über uns zu erklären. Mathematiker hingegen sind keine öffentlichen Intellektuellen, sie bedeuten nur ihren eigenen engen Kreisen etwas. Sie sind meist bescheiden und zurückhaltend, ohne dass ihr Selbstbewusstsein darunter leidet. Darin sind sie wie ein idealer Beamter, bei dem Amt und Person sauber voneinander getrennt sind: Der Mensch muss austauschbar sein, sonst dient er nicht der Sache. Mathematiker betrachten ihre geistige Leistung als das Wesentliche und die Person, auch die eigene, spielt nur in Krisenzeiten eine Rolle. Das Werk des Mathematikers muss für sich selbst bestehen können, unabhängig von den historischen Umständen seiner Entstehung. Die Person ist, wie bei einem guten Kunstwerk, zweitrangig. Einstein etwa wusste das und obwohl er ein sehr öffentlicher Mensch war, der Aufmerksamkeit zu erregen und zu nutzen verstand, empfand er seine eigene Beerdigung als eine überflüssige Ablenkung und verfügte, die Asche in einem Wald zu verstreuen und ganz ohne Erinnerungsort zu bleiben. Auch David Hilbert wird, davon können wir ausgehen, das Format seiner Beerdigung herzlich egal gewesen sein. Wie es einer grauen Eminenz gebührte, verschwand er still, unbemerkt, geleitet von einem grauen Zug, in dem die Abwesenden die Wichtigsten waren. Staub zu Staub.

Gib auf das Geschwätz acht, wodurch wir jemand von der Wahrheit eines mathematischen Satzes überzeugen. Es gibt einen Aufschluss über die Funktion dieser Überzeugung. Ich meine das Geschwätz, womit die Intuition geweckt wird.

Ludwig Wittgenstein⁵

3. Zwei Vögel, ein Frosch und der Erzengel des Fortschritts

Königsberg, wo Hilbert in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts aufwuchs, war ein wohlgeordneter, stolzer und offener Ort, Ostpreußens Hafen zur Welt und Krönungsstadt der zu dieser Zeit modernsten Nation in Europa. Gleichwohl lagen die besten Tage dieser Stadt schon eine Weile zurück. Der Hafen und die Börse waren zwar groß und bedeutend, Königsberg konnte sich rühmen, der weltgrößte Umschlagplatz für Erbsen zu sein und Deutschlands größter Hafen für Getreide und Holz.⁶ Aber diese Güter hatten im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts ihre Stellung verloren. Häfen der Zukunft waren Liverpool und New York, wo die Erbse eine untergeordnete Rolle spielte. Stahl, Kleidung und Maschinen wurden anderswo produziert, Ostpreußen konnte dieser Entwicklung nur zusehen. Das Hinterland von Königsberg war sozial, wirtschaftlich und kulturell zurückgefallen, dominiert von sittenstrengen landbesitzenden Familien, welche die neuen Techniken und die kapitalistische Wirtschaftsweise wie eine bedrohliche Schlechtwetterfront im Westen Deutschlands aufsteigen sahen. So war die Stadt im 19. Jahrhundert bedeutend geblieben, aber in einem Landstrich am Rande des Reichs, der kontinuierlich an wirtschaftlichem und kulturellem Gewicht verlor. Die Festungsanlagen, die gemauerten wie die geistigen, waren groß (was der Nähe zu Russland und dem Stolz der Könige geschuldet war), aber ungepflegt.

Auswärtige Besucher spürten schnell die relative Stagnation. Königsberg (wie auch seine Universität, Albertina genannt) zehrte von den Legenden um Kant, war in seiner Liberalität und Pünktlichkeit realer Ausdruck der Gedankenwelt ihres größten Sohnes geworden, eine »Stadt der reinen Vernunft und der schmutzigen Straßen«.⁷ Insgesamt waren die Königsberger Professoren gut, aber meistens wären sie lieber in Berlin oder noch weiter weg gewesen, am Puls einer sich im Westen immer schneller verändernden Welt. Die Albertina war die viertkleinste von Preußens zwanzig Universitäten und zählte bis in die 1870er Jahre nur etwas mehr als 300 Studenten. In der Figur und im Werk Immanuel Kants besaß sie ein großartiges Erbe, einen über sämtlichen Fächern schwebenden Geist, auf den man sich in jedem Vortrag berufen musste. Aber drei Generationen nach dem Tod des Philosophen wirkte dieser permanente Bezug auf den immer selben geistigen Fixpunkt nicht mehr besonders originell.

Der Zustand des mathematischen Seminars passte in diese vernachlässigte Forschungslandschaft. Es hatte keine eigenen Räumlichkeiten und war im Karzer untergebracht, der universitätseigenen Ausnüchterungszelle. Die Bibliothek bestand im Wesentlichen aus den Bänden der Mathematischen Annalen. Es gab keine großen Tafeln im Vorlesungssaal, auf denen sich längere Formeln oder Beweise hätten aufschreiben lassen – was zu pointierter Kürze einlud, dem Thema aber nicht immer gerecht wurde. Die Belegung des Vorlesungssaals folgte keinem festen Stundenplan, sondern richtete sich nach der Seniorität des Professors, der dort unterrichten wollte, als wäre es jedenfalls interessant, was alte Männer zu sagen haben. In dieser Situation war es fast unausweichlich, dass die eigentliche Mathematik außerhalb der Universität stattfand, bei gutem Wetter an der frischen Luft und wenn es regnete in Wirtshäusern.

Im Sommer 1884 trafen sich drei junge Männer, der Privatdozent Adolf Hurwitz und zwei Doktoranden, Hermann Minkowski und David Hilbert, beinahe täglich um fünf Uhr nachmittags auf dem Paradeplatz vor dem Hauptgebäude der Albertina, um in der Sonne spazieren zu gehen und dabei das mathematischnaturwissenschaftliche Wissen ihrer Zeit zu durchmessen. Für Hurwitz, den jüngsten und in der Hackordnung niedrigsten Privatdozenten am mathematischen Seminar, war die Belegung eines Hörsaals beinahe unmöglich, und so lag es nahe, sich lauffreudige und trinkfeste Studenten zu suchen, für den Unterricht außerhalb des Universitätsgebäudes. Mehr als zwei fand er zunächst nicht, aber bei einer Revolution der Ideen kommt es ohnehin weniger auf die Zahl der Brandstifter an als auf den Erschöpfungszustand des alten Regimes.

Es waren drei magere Gestalten, die gewaltige Schnauzbärte und eng geschnittene Anzüge aus schweren Stoffen trugen, ganz nach der Mode ihrer Zeit. Sie waren tief in ihr Gespräch versunken, und die Konzentration, mit der ein jeder von ihnen dem anderen zuhörte, um auch nicht eine Nuance des Mitgeteilten zu verpassen, wirkte, als liefen sie unter einer unsichtbaren Käseglocke, die sie von der Welt um sie herum weitgehend isolierte. Ihr Weg führte sie durch den Königsgarten zum Schlossteich, wo die Studentenverbindungen und Rudervereine ihre Quartiere hatten. Der Teich war zu jener Zeit etwas über einen Kilometer lang und erstreckte sich von der Stadtmitte bis zu den nördlichen Befestigungsanlagen. Seit einer Weile war es für die jüngeren Damen möglich und sogar üblich, dort in der Nachmittagssonne zu rudern, und in ihren weißen Blusen und weit ausladenden Hüten mochten sie dem einen oder anderen Flaneur einen unverkennbaren optischen Reiz bieten, aber die drei Spaziergänger waren keine gedankenlosen Müßiggänger und hatten, in der intensivsten und wichtigsten Stunde ihres Tages, keinen Blick dafür. Sie gingen, ohne nach rechts oder links zu blicken, durch den »Börsengarten«, vorbei an der gleichnamigen Gastwirtschaft im Stil eines bayerischen Bierausschanks unter freiem Himmel, der als das größte Alltagsvergnügen in dieser protestantisch-pünktlichen Stadt gelten konnte. Die Promenade um den See war von zahlreichen Parkbänken gesäumt, die eine ideale Gelegenheit boten zum Verweilen, zum Dösen, zum Plaudern. Für die drei kam es aber nicht in Frage, wie selbstzufriedene Besitzbürger auf einer Bank zu sitzen, denn die Schritte waren der Takt und die Erdung ihrer Gedanken, die ununterbrochen fortgesponnen und geprüft werden mussten, damit nicht, als hätte sich plötzlich von der Ostsee her eine herbstliche Nebelwand über die Spaziergänger gesenkt, ihre Richtung und ihr Zusammenhalt verlorengingen. Der Gang, die Bewegung, das Ritual waren wesentlicher Teil des Gesprächs, der körperliche Spiegel ihres geistigen Fortschreitens.

Der Spaziergang führte am Seeufer entlang nach Norden, vorbei an den prominenten Häusern der Freimaurerlogen »Drei Kronen«, »Zum Todtenkopf und Phönix« und »Immanuel«, vorbei am Wilhelms-Gymnasium und der Baptisten-Kirche und vorbei schließlich auch am gewaltigen Dohnaturm, der den Punkt markierte, wo die neueren Festungsanlagen zwischen Schlossteich und Obersee hindurchführten. Hier ließen sie die Altstadt hinter sich und gingen durch die Parkanlagen, die an der Stelle der mittelalterlichen Stadtmauern angelegt worden waren, bis sie endlich an einen Apfelbaum gelangten, das Ziel des täglichen Gangs.⁸ Dort war es wohl an der Zeit, innezuhalten und erste Ergebnisse ihres Gesprächs zu fixieren, dessen Inhalt nicht eben leicht verdaulich war. Denn mathematische Gegenstände eignen sich am Ende nur bedingt für Wirtshäuser und Spaziergänge. Man muss sich furchtbar konzentrieren, darf nichts auslassen, hat alles vorsichtig und richtig abzuleiten und zusammenzufügen, darf nichts zittrig im Ungefähren belassen, kann weder mit einem unbegründeten Anfang noch einem offenen Ende leben. Eine Rechnung ist keine Rechnung und ein Beweis kein Beweis, wenn es unerklärte Sprünge oder Hilfsmittel aus dem Nichts gibt. Mathematiker können da schrecklich humorlos und pedantisch sein, weshalb es sich anbietet, irgendwann in geschlossenen und beruhigten Räumen auf einem Blatt Papier zu arbeiten, sodass der Gedankengang nachvollziehbar und in der richtigen Ordnung bleibt. Das Argument langer Rechnungen oder Beweisketten im Kopf präsent zu halten, während gleichzeitig daran weiter gewirkt wird, sprengt ab einem gewissen Punkt den Kopf. Auch die Begabtesten geraten irgendwann unweigerlich an die Grenze des Fassungsvermögens. Spätestens an diesem Punkt wäre der Spaziergang abzubrechen oder die Tafel im Wirtshaus aufzuheben und ein Schreibtisch aufzusuchen, um zu verifizieren, ob die Gedanken wirklich so gut waren, wie sie sich eben noch anfühlten.

Hurwitz, nur wenig älter als die beiden Studenten, hatte störrisch nach oben gesträubte Haare, von der Art und Länge einer Schuhbürste, und einen etwas grimmig nach unten gezogenen Oberlippenbart im Walross-Stil, wie man ihn heute nur noch von Nietzsche-Fotografien kennt. Er machte insgesamt keinen gesunden Eindruck, seit er als Student an der TU München an Typhus erkrankt war. Er litt oft an Migräne, wirkte schmal, feingliedrig und zerbrechlich, hatte dabei aber lebhafte und fröhliche Augen. Seine Erscheinung war unauffällig und »nichts hätte Hurwitz ferner gelegen, als bohemehaft oder exzentrisch zu erscheinen. Er war immer korrekt, reserviert, unauffällig, über die Maßen bescheiden, er zog den Hut noch vor der Dienerschaft der Nachbarn. Ein Fremder hätte nicht vermuten können, dass sich hinter dieser unscheinbaren Fassade etwas anderes als ehrenwerte Bürgerlichkeit verbarg.«⁹ Und nur wer etwas Sinn für Mathematik hatte, konnte in dieser etwas kränklichen und zarten Erscheinung den ihr vorauseilenden Ruf bestätigt finden, ein Wunderkind zu sein. Höchst musikalisch war er übrigens auch.

Der jüngste der drei Spaziergänger, Hermann Minkowski, war noch mehr Wunderkind als Hurwitz. Seine maßlose Begabung ließ ihn mit 15 sein Abitur machen und bereits mit 17 Jahren seinen ersten großen internationalen Auftritt absolvieren, als er 1881 die Preisaufgabe der Pariser Akademie im Wettbewerb um den Grand Prix des Sciences Mathématiques löste (es ging um die Darstellung einer ganzen Zahl als Summe von fünf Quadrat(zahl)en). Amüsant ist diese Episode, weil das Problem bereits 14 Jahre früher von Henry Smith, einem durchschnittlich begabten Professor in Oxford, gelöst worden war, ohne dass man in Paris davon Kenntnis nehmen wollte. (Dass dieses Ergebnis aus Oxford der Pariser Akademie durchrutschte, war nichts Ungewöhnliches, denn die Wissenschaftler dieser Epoche vermieden es, die Publikationen des jeweils anderen Landes ohne Not zur Kenntnis zu nehmen.) Bedeutend wird sie durch das Schlaglicht, welches sie auf den jungen Minkowski warf. Er löste die Aufgabe in einer Brillanz, dass die Akademie ihm gerne den Preis zuerkannte, obwohl national gesinnte Franzosen und Engländer jeweils eigene Einwände formulierten. Aber Charles Hermite und Camille Jordan, die zu dieser Zeit bestimmenden Köpfe ihres Fachs in Paris, wussten den biederen Zugriff Smiths von dem Genialen bei Minkowski wohl zu unterscheiden und hielten an ihrem Urteil fest. Jordan erkannte das Talent in dem jugendlichen Autor wie ein Künstler die Skulptur im Marmorblock und schrieb ihm: »Travaillez, je vous prie, à devenir un géomètre éminent.«¹⁰ Die Bitte ging in Erfüllung.

Die Familie Minkowski war erst wenige Jahre zuvor aus Alexoten (das heute zu Kaunas in Litauen gehört) eingewandert. Sie hatte sich unter der Herrschaft des Zaren nicht mehr wohl gefühlt, seit die Polnisch-Litauischen Gebiete nach dem Aufstand von 1862 unterdrückt, geknebelt und besteuert wurden. Die besseren schulischen Perspektiven und die Größe der polnischen Gemeinde im nahegelegenen Königsberg trugen wohl ein Übriges zur Umsiedlung bei.¹¹ Der älteste Bruder, Maxim, war bereits zuvor nach Insterburg, nahe Königsberg, aufs Gymnasium gegangen.

Hermann Minkowski wird als ein – trotz seiner offensichtlich außerordentlichen Begabung – sehr bescheidener, schüchterner, zum Stottern neigender Mensch beschrieben, als wäre ihm sein Talent unangenehm gewesen. Was fängt man als Junge mit so einem gewaltigen Verstand an, der die Schuljahre zu Monaten eindampft und zum Kinderspiel werden lässt, was den anderen die Krönung jahrelanger müheseliger Arbeit ist? Man muss wohl Bücher über Mathematik und Naturwissenschaften lesen und zur Erholung Shakespeares Othello und Goethes Faust aufführen. Sein Humor, der in seinen späteren Briefen immer wieder aufblitzte, war von der Art, wie man ihn in einer zurückhaltenden Beobachterrolle kultiviert, die Minkowski in Gesellschaft, halb gesucht, halb gezwungen, einnahm. Jedenfalls bedauerte er es später, in seiner Jugend für Übermut und Sorglosigkeit nie Zeit gefunden zu haben.

»Kein Mathematiker sollte je vergessen, dass die Mathematik, mehr als jede andere Wissenschaft, ein Spiel für junge Leute ist.« Sie ist kein Ort, an dem alte Menschen noch etwas bewegen können, und »ich weiß von keinem bedeutenden mathematischen Fortschritt, der von einem Mann über 50 begonnen worden wäre«,¹² schreibt G. H. Hardy, der exzentrischste unter den hervorragenden Mathematikern des 20. Jahrhunderts. Junge Menschen sind noch nicht von den Gewissheiten des Alters verbaut, sind noch nicht erfahrungssatt und eitel, haben keine Verpflichtungen gegenüber Methoden und Schulen, können sich in aller Freiheit irren und auf wenig respektable Abwege begeben. Sie sind naiv genug, um auch das furchtbar Einfache zu probieren, welches manchmal die Lösung ist, wenn die Komplexität einer Aufgabe den Kopf zu sprengen droht. Sie sind mit den Techniken, mit denen ihre Lehrer groß geworden sind, nicht so verwoben wie diese und können unbekümmert etwas Neues probieren. »Es trägt jeder mathematische Soldat den Marschallstab im Tornister, wenn er nicht aus purer Disziplin auf alles Vorhandene schwört«,¹³ bemerkte Minkowski später. Anders als die historischen Wissenschaften, in denen sich meist eine Gelehrsamkeit erdrückend auf die andere legt, ist die Mathematik durch ihren Fortschritt nicht weniger zugänglich geworden. »Obwohl die Mathematik ja heute einen so gewaltigen und ausgedehnten Bau vorstellt, werden die Zugänge immer offener, die Räume immer heller und durchsichtiger, und dringt man, wenn man nur den richtigen Schlüssel zur Pforte sich geschmiedet hat, alsobald in das tiefste Innerste.«¹⁴ Bei diesen Worten hatte Minkowski wohl nicht zuletzt an seine eigenen jugendlichen Heldentaten gedacht.

So gesehen war David Hilbert, der zweite Doktorand, um den sich Hurwitz spazierengehend kümmerte, kein vielversprechendes Talent. Von ihm gab es aus der Schule keinerlei Wunderdinge zu berichten, allenfalls über Probleme mit den alten Sprachen und gute Noten in Rechnen. Das Gymnasium durchlief er ohne besondere Höhen und Tiefen, ohne Enthusiasmus für irgendein Fach, sodass er sich später zu der Entschuldigung genötigt sah, »Ich habe mich auf der Schule nicht besonders mit Mathematik beschäftigt, denn ich wusste ja, dass ich das später tun würde.«¹⁵ Er war, wie man es damals in Ostpreußen lautmalerisch auf den Punkt brachte, »dammelig«.¹⁶ Nun war er 22 (zweieinhalb Jahre älter als Minkowski, der allerdings ein halbes Jahr vor ihm die Abiturprüfung abgelegt hatte) und hatte dennoch schon das Aussehen eines Bilanzbuchhalters, mit schütterem Haar, Tendenz zum Segelohr, einem Zwicker auf der Nase und spitzem Kinn.

Die Familie Hilbert verkörperte den von Kant formulierten steifen, pünktlichen, ehrlichen und dennoch spekulationsfreudigen protestantischen Geist, der damals in Königsberg seinen letzten Abglanz verbreitete. Es war ein wohlgeordnetes Leben, die Woche gehörte der Arbeit, der Sonntag der Kirche und die Sommerfrische verbrachte man an der nahen Ostsee. Der Urgroßvater war ein wanderlustiger Bursche, der sich vom Barbier in Freiberg in Sachsen zum Feldscher im Siebenjährigen Krieg und schließlich zum »Stadtchirurgus, Operateur und Accoucheur«¹⁷ in Königsberg emporarbeitete. Die Söhne der Familie hießen gerne David, das war das äußere Zeichen eines innerlich verblassenden pietistischen Erbes. Ihre Frauen waren Töchter von Schulmeistern, die mehr Erziehung als Bildung mitbrachten und ihren Kindern mehr Pflichtbewusstsein als Kultur mitgaben, um mitzuschwimmen in einer Gesellschaft, deren stetig wachsende Mittelschicht den Zweifel den Philosophen überließ und den Traum von einer besseren Welt den Sozialisten, Kommunisten und Anarchisten. Der Vater des mit Hurwitz und Minkowski spazierengehenden Hilbert war wie schon dessen Vater Amtsrichter, gutbürgerlich, streng, »ein etwas einseitiger Jurist, von so regelmäßigen Gewohnheiten, dass er täglich den gleichen Spaziergang machte, verwachsen mit Königsberg«.¹⁸ Die Mutter war eine respektable Amtsrichtersfrau aus einer Kaufmannsfamilie, die sich in stillen Stunden wohl auch mit Astronomie und dem Ausrechnen von Primzahlen beschäftigte. Sonst gab es über sie nichts von Bedeutung zu berichten, nichts über besondere Interessen, weder an Kunst noch an Musik oder an Politik. Das alles war so gewöhnlich wie bildungsbürgerlich, so wohlgeordnet, so herzhaft grau, dass es einem Wunder gleichkam, dass der jüngste David Hilbert nicht dem Wunsch des Vaters nachkam und ebenfalls preußischer Staatsdiener wurde.

Dies war die Konstellation, die zum Nährboden für einige der besten Ideen des 20. Jahrhunderts wurde. Der wenig bemerkenswerte Hilbert und der früh großartige Minkowski wurden von Hurwitz unter die Fittiche genommen und durch das weite Feld der Mathematik geführt. Und die beiden Wunderkinder erkannten in Hilbert nicht nur einen dammeligen Jungen, sondern eine tiefe, langsam reifende Begabung. »Der Umstand, dass ich es in der Mathematik zu etwas gebracht habe,« meinte Hilbert später, »ist dem Umstand geschuldet, dass ich sie immer so schwierig fand. Wenn ich etwas las oder über etwas hörte, schien es mir immer so schwierig und praktisch unmöglich zu verstehen. Und dann fragte ich mich, ob es nicht auch einfacher ginge – und häufig stellte es sich tatsächlich als einfacher heraus!«¹⁹ Hurwitz und Minkowski erkannten Hilberts Tiefe in seiner Langsamkeit und die Originalität in seiner naiven Herangehensweise. Tatsächlich war er, wie sich bald herausstellte, mit ausreichend Talent gesegnet, um auf den Spaziergängen um fünf Uhr zum Apfelbaum mithalten zu können.

»Manche Mathematiker sind Vögel, andere sind Frösche. Vögel fliegen hoch in der Luft und überschauen weite Teile der Mathematik bis weit hinaus zum Horizont. Sie haben Spaß an Begriffen, die unserem Denken eine Einheit geben und verschiedene Probleme aus unterschiedlichen Gegenden der Landschaft zusammenbringen. Frösche leben im Schlamm und sehen nur die Blumen, die in der Nähe blühen. Sie freuen sich an den Details bestimmter Objekte und haben immer nur ein Problem vor Augen«,²⁰ so teilt Freeman Dyson, ein bekennender Frosch, seine Zunft ein. Legt man diese Charakterisierung zu Grunde, war Hurwitz ein Frosch und Minkowski und Hilbert waren Vögel. Hurwitz war nicht in erster Linie ein Mann für die ganz neuen, revolutionären Ideen, aber er ging den Dingen so lange auf den Grund, bis er sie von allem Beiwerk, allen dunklen Referenzen befreit hatte und zu ihrem schönen Kern vorgedrungen war. Er konnte ganze Felder so verdichten und Lösungen so weit vereinfachen, bis nur noch die Essenz, ein Aphorismus übrigblieb: »Ein Aphorismus ist ein prägnanter, gewichtiger Ausspruch. Der Aphorismus ist kurz, aber sein Urheber mag lange daran gearbeitet haben, um ihn so kurz zu machen. Hurwitz pflegte seine Ideen mit liebevoller Sorgfalt, bis er zum einfachsten möglichen Ausdruck gelangte, frei von überflüssiger Dekoration oder Ballast und vollkommen klar […] Er beherrschte die ganze Breite des mathematischen Wissens seiner Zeit, soweit dies möglich war zu Beginn des 20. Jahrhunderts.«²¹

Er war ein idealer Lehrer für die beiden Vögel, die er Thema für Thema und Problem für Problem ganz auf die Höhe ihrer Zeit brachte. Von dort aus konnten Hilbert und Minkowski dann, alles überblickend, Geometrie und Physik, Algebra und Zahlentheorie und was ihnen sonst noch in den Sinn kam, im Kopf zusammenbringen.

Acht Jahre dauerte das Ritual des Spaziergangs, mit gewissen berufsbedingten Unterbrechungen und Absenzen. Aber wann immer sich die Möglichkeit bot, gingen die drei den Schlossteich entlang zur Stadt hinaus und durchleuchteten dabei »wohl alle Winkel mathematischen Wissens«.²²

Die, denen es an Geist fehlt, an Vorstellungskraft, an Eindringlichkeit und Tiefe, brauchen Emotionen, Leidenschaften, Erhabenes und Katastrophen. Von der Scheingröße der Phänomene, ihrer Intensität lassen sie sich packen und messen ihnen Bedeutung bei in Funktion der Intensität.

Es gibt eine Sucht nach Heftigkeit, nach Gram und Jammer, nach Gemütsaufwallung und sogar nach Wirrsal.

Und doch ist diese Unordnung unendlich weniger reich, weniger bedeutsam, weniger groß als die Phänomene, die unsere Klarheit erhalten und uns instand setzen, den Schein vom Sein zu unterscheiden und die Ordnungsbereiche in uns selbst gesondert zu wahren.

Paul Valéry, Cahiers²³

4. Ein geschärfter Geist

Der Siegeszug der wissenschaftlichen Methoden war auch im Königsberger Alltagsleben unübersehbar. Mediziner, Botaniker, Physiker und Chemiker hatten im 19. Jahrhundert weithin sichtbar an Ansehen gewonnen, etwa im selben Maß, wie das der Theologen gesunken war. Die wirtschaftlichen und politischen Revolutionen um 1800 hatten den Glauben an ein statisches Weltbild erschüttert und die Wissenschaft war das Vehikel, mit dem die Zukunft erschlossen werden sollte. Sie war der »Erzengel des Fortschritts«, durch den die Welt immer besser und lebenswerter zu werden versprach, und ihr hatten sich die drei Spaziergänger verschrieben. Auch sie waren »ehrlich überzeugt, auf dem geraden und unfehlbaren Weg zur ›besten aller Welten‹ zu sein. Mit Verachtung blickte man auf die früheren Epochen mit ihren Kriegen, Hungersnöten und Revolten […]. Jetzt aber war es doch nur eine Angelegenheit von Jahrzehnten, bis das letzte Böse und Gewalttätige endgültig überwunden sein würde, und dieser Glaube an den ununterbrochenen, unaufhaltsamen ›Fortschritt‹ hatte für jenes Zeitalter wahrhaftig die Kraft einer Religion; […] und sein Evangelium schien unumstößlich bewiesen durch die täglich neuen Wunder der Wissenschaft und der Technik.«²⁴

Held des technikverliebten Bildungsbürgertums war Goethes Faust, der für sein hemmungsloses Wissenwollen am Ende nicht einmal büßen musste. Minkowski konnte lange Passagen auswendig.

Die Technik, die den Fortschritt trug, brauchte die Physik, die wiederum von der Entwicklung der Mathematik abhängig war. Nichts anderes als ein Reigen von Anwendungen dessen, was die Mathematik sich in den vergangenen 200 Jahren erarbeitet hatte, war die ganze Industrielle Revolution: »Dieses ganze Dasein, das um uns läuft, rennt, steht, ist nicht nur für seine Einsehbarkeit von der Mathematik abhängig, sondern ist effektiv durch sie entstanden, ruht in seiner so und so bestimmten Existenz auf ihr. Denn die Pioniere der Mathematik hatten sich von gewissen Grundlagen brauchbare Vorstellungen gemacht, aus denen sich Schlüsse, Rechnungsarten, Resultate ergaben, deren bemächtigten sich die Physiker, um neue Ergebnisse zu erhalten, und endlich kamen die Techniker, nahmen oft bloß die Resultate, setzten neue Rechnungen darauf und es entstanden die Maschinen.«²⁵

Die Mathematiker konnten sich guten Gewissens als Teil der gewaltigen Entwicklung sehen, welche die Welt vor ihren Augen zum Besseren verwandelte. Auf die Jüngeren machte all dies den größten Eindruck, und bei Hilbert noch mehr als bei Hurwitz und Minkowski vermengte sich der Glaube an den Fortschritt mit dem Willen, den theoretischen Vorsätzen später auch Taten folgen zu lassen.

Dem unbeschwerten Geist des Fortschritts stand in der Mathematik allerdings ein anderer, strengerer Geist entgegen, der eine Reaktion war auf den lässigen Umgang der Barockzeit mit dieser exaktesten aller Wissenschaften. Die Mathematik war im 17. und 18. Jahrhundert häufiger im Ungefähren verblieben, als es ihr guttat. Sie war und blieb lange eine Hilfswissenschaft der Geographen, Astronomen und Bankiers, die kein Interesse hatten an dem, was wir heute »reine« Mathematik nennen. Sie wurde danach beurteilt, ob sie brauchbar war, geschmeidig im Umgang. Die Mathematiker schmückten sich in dieser Zeit lieber mit Anwendungen und Resultaten als mit der Erklärung der dahinterstehenden Techniken und Überlegungen.

Strenge Begründungen waren nicht wichtig, solange Mathematik und Physik noch eng zusammenhingen und sich die Richtigkeit von Rechnungen in der Natur, der größten Rechen- und Beweismaschine von allen, verifizieren ließ. Wenn eine vorhergesagte Wahrscheinlichkeit am Spieltisch keinen Erfolg brachte, wenn die Berechnung einer Umlaufbahn nicht mit der Beobachtung übereinstimmte, wenn eine Schwingung sich anders ausbreitete als vom Modell vorhergesagt, dann musste, wenn es sich nicht um einen bloßen Rechenfehler handelte, die Mathematik an die Realität angepasst werden und nicht umgekehrt. Sie diente als ein Handwerkszeug, das immer weiter verbessert wurde, wie ein Mechanismus, der immer effizienter lief.

Seit dem Ende des 18. Jahrhunderts stiegen die Ansprüche spürbar und das fröhliche Ausschreiten nach vorn hatte ein Ende. Nun wurden konkrete Definitionen verlangt für all die Begriffe, die in den vergangenen 150 Jahren gewissermaßen noch für bare Münze gegolten hatten. Ein Geist allgemeiner Nüchternheit begann sich auszubreiten und der Typ des praxisorientierten Machers wich dem Professor und Denker von Beruf. Strenge war nicht mehr ein Hindernis bei der Erreichung neuer (meist physikalischer) Ergebnisse, sondern das Ziel. Konnte man in der Zeit der Aufklärung Mathematik (wie auch die Philosophie) noch in Salons wie ein Kavalier betreiben und mit Anschauung, Intuition und Ästhetik argumentieren, so galt nun nur noch als seriös, was genau formuliert und begründet war, ohne Rücksicht auf den praktischen Nutzen. Es setzte sich ein misstrauischer Geist durch, der die metaphysisch inspirierten Gewissheiten der großen Vergangenheit nicht mehr akzeptierte. Die Mathematik borgte sich ihre Fragen nicht mehr von der Theologie oder der Naturwissenschaft, sondern stellte sie sich mutig selbst. Die großen Namen der Vergangenheit waren keine Garantie mehr für Richtigkeit.²⁶ In gewisser Weise vollzog sich in der Mathematik derselbe Prozess, wie ihn Kant für die Philosophie auf die aufklärerische Spitze getrieben hatte. Was bislang als gesicherter Bestand des Wissens gegolten hatte, musste zunächst durch das Säurebad der Kritik gezogen werden, um dann, von allem Aberglauben und undeutlichen Gedanken gereinigt, eine tragfähige Geschäftsgrundlage zu bieten.

Als es etwa darum ging, den unsauberen Flirt mit dem Unendlichen zu klären, den Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) und Isaac Newton (1643–1727), die Schöpfer der Differenzial- und Integralrechnung, bei deren Formulierung eingegangen waren, wurde ein erheblicher Aufwand getrieben, die unendlich kleinen Wesenheiten, die das Herzstück dieser Technik bilden, mit einer Definition wieder einzufangen, die durch und durch endlich und damit greifbar war. Die wesentliche Idee war, sich gar nicht erst auf den Umgang mit unendlich kleinen Größen einzulassen, sondern sich mit beliebig kleinen unteren Schranken zufriedenzugeben, von denen man zeigen konnte, dass sie dennoch größer waren als die »Differenziale«, wie man die verschwindend kleinen Einheiten in der Kurvendiskussion nannte. Begriffe wie Stetigkeit (Kontinuität) und Differenzierbarkeit wurden voneinander abgegrenzt und festgelegt. »Grenzwert« und »Konvergenz« verloren ihre Schwammigkeit. Um den Unterschied zu früher deutlich zu machen, benannte man das Fach in Analysis um, und alles schien sauber und ordentlich, jedenfalls für eine Weile.

Aus dem Bestreben um die Sicherung der Grundlagen mit Hilfe von Konstruktionen entstand eine ebenso starke Tendenz zur Abstraktion. Zwei früh gestorbene junge Leute, Niels Henrik Abel (1802–1829) und Évariste Galois (1811–1832), schufen die Grundlage für die moderne Algebra, indem sie bei der Lösung des sehr alten Problems, wie man ein regelmäßiges Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruierte, weniger auf die Form des Ergebnisses als auf die Struktur und Symmetrie des Problems blickten (und damit noch zwei andere, ebenso alte Probleme lösten: die Verdopplung des Würfels und die Dreiteilung des Winkels). Die Antwort, warum diese Konstruktion unmöglich war, gab Galois, kurz bevor er sich in einem Duell erschießen ließ, aber sie war derart kompliziert, dass es noch viele Jahre dauerte, bis sie überhaupt zur Kenntnis genommen wurde. Allerdings war sie so originell, dass sich die heute so genannte Gruppentheorie daraus entwickelte, einer jener ebenso wichtigen wie abstrakten Theoriebausteine, die für die moderne Mathematik (nicht nur die Algebra) unverzichtbar geworden sind (und deren Sinn und Stellung im Folgenden noch erklärt wird). Damit verfestigte sich in der Mathematik die Tendenz, Probleme weniger durch konkrete Konstruktionen als durch die logische Analyse abstrakter Strukturen zu lösen – und so für den Laien, dem das Abstrakte trocken und unfruchtbar erscheint, ungenießbar zu werden. Abstraktionen sind eigentlich Vereinfachungen, aber sie fühlen sich bei der ersten Begegnung oft nicht an wie eine Hilfe. Ihr Ziel ist es, große Klassen von Problemen auf ihren Wesenskern zu reduzieren. Durch die Einführung neuer Begriffe und Definitionen lässt sich ein höherer Standpunkt einnehmen, der tiefer blicken lässt und dadurch größere Zusammenhänge offenbart, die sich der bisherigen, naiveren Sichtweise entzogen.

Ein Feld, welches stark vom Streben nach Reinheit und Abstraktion im 19. Jahrhundert profitierte, war die Zahlentheorie. Hier können einfach klingende Fragen (nach den Eigenschaften der ganzen Zahlen) extrem unangenehme Antworten nach sich ziehen. So fällt etwa die Goldbachsche Vermutung unter die Zahlentheorie, wonach jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, die Summe zweier Primzahlen ist (z. B. 8 = 5 + 3 oder 18 = 7 + 11 = 5 + 13). Diese These ist richtig für alle Zahlen bis 4 × 10¹⁸ (so weit haben es Computer heute geschafft, das Problem nachzurechnen), aber ein Beweis ist das nicht. Die Zahlentheoretiker tüfteln seit 1742 an einer Antwort.

Oder etwa der Große Satz von Fermat, wonach die Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ für positive ganze Zahlen a, b, c, n, die größer als 2 sind, keine Lösung besitzt. Was also etwa für 3² + 4² = 5² geht, funktioniert nicht für höhere Exponenten. Warum? Pierre de Fermat (1607–1665), ein Jurist und Zahlentheoretiker, schrieb an den Rand eines Lehrbuches, er habe einen »wahrhaft wunderbaren Beweis« gefunden (demonstrationem mirabilem sane detexi), warum es keine Lösung geben könne, dieses Prachtstück könne er aber in der Kürze der Marginalie nicht ausführen. Damit gab er ein Rätsel auf, das erst 1994 gelöst werden konnte. Fermats Behauptung ist also richtig, aber der (heutige) Beweis ist erschütternd kompliziert – zu kompliziert für Fermats Möglichkeiten. Mit Fragen dieser Art beschäftigte man sich gerne im 19. Jahrhundert, und wer dies tat, hatte tatsächlich nur reine Mathematik im Kopf, denn Anwendungen waren hier nicht zu erwarten. Die Zahlentheorie ist das Gebiet der Mathematik, wo sie ganz bei sich ist und keine Rücksicht auf Planetenbewegungen oder sonstige praktische Dinge nehmen muss. Und wenn ihre Erkenntnisse doch einmal einen Anwender finden (wie heute in der Verschlüsselungstechnik), dann seufzen die Zahlentheoretiker und betonen, damit hätten sie nichts zu tun.

Die drei Königsberger Spaziergänger waren von genau diesem Aspekt besonders angezogen. Sie entwickelten eine gemeinsame Leidenschaft für die abstraktesten Teile ihrer Wissenschaft, neben der Zahlentheorie begeisterten sie sich auch noch für die Algebra (welche die Eigenschaften von Rechenoperationen untersucht). Sie waren fasziniert von den Möglichkeiten, die sich durch das Operieren in einer abstrakten Allgemeinheit ergaben, insbesondere von der Verbindung der verschiedenen Zweige der Mathematik durch die kreative Anwendung von Methoden in Bereichen, für die sie ursprünglich nicht bestimmt waren.

Methoden haben in der Mathematik etwa denselben Stellenwert wie die Fragen in der Philosophie: Sie sind das Ursprüngliche. Neue Methoden werden zum Zentrum neuer Zweige der Wissenschaft und treiben den Fortschritt voran. Sie geben den Begriffen erst ihren natürlichen Sinn und Ort, sie sind die eigentliche Idee. In einer immer abstrakter werdenden Gedankenkonstruktion werden die Methoden zum Wesentlichen, überwölben alle Anwendungsaspekte, die einst am Beginn der Überlegung gestanden haben mochten. Sie sind in der Mathematik das eigentliche Wagnis, wichtiger als die Sätze und Ergebnisse, die von ihnen nur abhängen. Neue Methoden sind aber anfangs immer umstritten, und der Weg vom kühnen »Ich darf das!« bis zur allgemeinen Akzeptanz und Anerkennung ist oft lang und steinig. An den alten Gewissheiten und den dazugehörigen Methoden zu rütteln ist jedenfalls ein Geschäft für junge Leute.

Die aufregendste methodische Neuerung zur Zeit der Königsberger Spaziergänge stammte zweifellos von Georg Cantor (1845–1918), dessen Name an vielen Ecken dieser Geschichte auftaucht, weil sein Thema die Unendlichkeit ist. Er bereicherte die Mathematik um einen ganz neuartigen Umgang mit dem Grenzenlosen und hinterließ dabei der Mengenlehre einen Sack voll Flöhe. Cantor war ein manisch-depressiver Professor aus Halle, dessen zweites Lebensthema (neben der Erforschung des Unendlichen) die Aufdeckung von Shakespeares wahrer Identität war. Beides waren Aufgaben, die leicht in den Wahnsinn führen konnten. Cantor kam mit Shakespeare nicht entscheidend weiter, aber für den Umgang mit dem Unendlichen schuf er Definitionen und Beweistechniken und errichtete damit ein Werk von bleibendem Einfluss und unbezweifelbarer Größe. Das Unendliche mit unseren irdischen Gehirnen zu umfassen, war (neben der Überwindung der »klassischen« Euklidischen Geometrie) das wohl ambitionierteste Projekt in der Mathematik des 19. Jahrhunderts, und es überrascht nicht, dass die daraus entstandene neue Mengenlehre in einen großen Streit über die Grundlagen der Mathematik insgesamt mündete.

Cantor führte verschiedene Grade der Unendlichkeit ein, eine Idee, die seine Lehrer an der Berliner Universität (insbesondere Leopold Kronecker (1823–1891)) erschauern ließ. Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, … ist eine Selbstverständlichkeit, denn es lässt sich keine größte natürliche Zahl benennen. Cantor zeigte nun, dass etwa die rationalen Zahlen (die sich als Brüche ausdrücken lassen, z. B. ½, ⅔, ¾, , ) so aufgeschrieben werden können, dass sich jede von ihnen einer natürlichen Zahl zuordnen lässt. Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen entspricht damit der Unendlichkeit der rationalen Zahlen, obwohl es von den letzteren offensichtlich mehr gibt. Dies ist ein Resultat von Cantors Aufschreibtechnik, an der es nichts zu deuteln gibt. Die rationalen Zahlen sind also gleichermaßen abzählbar unendlich wie die natürlichen. Cantor zeigte nun, dass es sich mit den reellen Zahlen (die, grob gesprochen, neben den rationalen Zahlen auch solche enthalten, die sich nicht als Bruch schreiben lassen, also etwa die Kreiszahl – also alles, was sich irgendwie als Kommazahl ausdrücken lässt) anders verhält. Ihre Unendlichkeit hat eine andere Kragenweite – oder wie es richtig heißt: Sie ist von anderer Mächtigkeit (ihre Elemente lassen sich nicht in eine eineindeutige Beziehung bringen).²⁷

Es lohnt sich an dieser Stelle den ebenso einfachen wie genialen Gedankengang Cantors nachzuskizzieren. Der Beweis beruht auf dem so genannten Diagonalverfahren. Dazu nimmt man an, die Unendlichkeit der reellen Zahlen sei von gleicher Mächtigkeit wie die der natürlichen (oder rationalen) Zahlen. Wenn das so ist, dann müssen sich die reellen Zahlen in einer durchnummerierbaren Liste aufschreiben lassen. Beispielsweise müssten sich alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in willkürlicher Reihenfolge etwa so aufschreiben lassen:

0,50000000…

0,33333333…

0,25000000…

0,66666666…

0,20000000…

0,16666666…

0,40404000…

0,75000000…

Man betrachte nun die fett markierte Diagonalzahl: 0,53060600… und ändere sie an jeder Stelle, etwa indem man 1 hinzuzählt. Dann erhält man eine Zahl 0,64171711…, die gewiss nicht in dieser Liste ist, denn sie unterscheidet sich von jeder in der Liste enthaltenen Zahl an mindestens einer Stelle. Die Annahme, die reellen Zahlen ließen sich in einer abzählbaren Liste aufschreiben, führt zu einem Widerspruch, denn aus dieser Liste lässt sich eine Zahl konstruieren, die nicht in ihr enthalten ist. Also können sich die reellen Zahlen nicht in eine Liste bringen und abzählen lassen. Die reellen Zahlen haben damit eine andere Mächtigkeit als die natürlichen Zahlen. Sie sind überabzählbar unendlich.

Der Spaß fängt an, ernsthaft kompliziert zu werden, wenn man sich überlegt, ob es eine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der abzählbaren und der überabzählbaren liegt. Cantor vermutete, dass dies nicht der Fall war, aber er konnte es nicht beweisen, und so reichte er diese Vermutung als die »Kontinuumshypothese« an die kommenden Generationen weiter. Eine andere, ebenso schräge Frage war, wie die Menge aller unendlichen Mengen aussehen mag, in welcher also Mengen von allen Arten von Unendlichkeit vereint sind? Oder was war die Mächtigkeit einer Menge, die aus den Teilmengen einer unendlichen Menge bestand?

Das Establishment in Berlin, repräsentiert durch Kronecker, hielt allein schon den Gedanken, im Unendlichen nach Strukturen zu suchen, mit denen sich am Ende vielleicht sogar rechnen ließ, für surreal.²⁸ Wohin sollte ein so lockerer Umgang mit dem Unendlichen führen? Hatte man nicht eben viel Mühe darauf verwandt, die Mathematik in den endlichen Bereich zu zwingen und das unordentliche Erbe der Differenzialrechnung aufzuräumen?

Der Umgang mit dem Unendlichen war immer unheimlich geblieben, auch wenn die Methoden und Definitionen immer besser und genauer wurden. Das Unendliche zu denken bedeutet, etwas in den Kopf zu bekommen, wofür es kein Bild, keine Vorstellung gibt. Das Unendliche existiert nicht in der Natur. Im Kleinsten besteht sie aus Quanten und auch im Größten lässt sich nicht ohne weiteres behaupten, unser Universum sei in Zeit und Raum unendlich ausgedehnt. Es kommt in unserer Erfahrung nicht vor, es ist nicht real, sondern reine Abstraktion. Die Endlosigkeit dennoch erfassen und durchdenken zu wollen bedeutet immer, im wörtlichen Sinne, an die Grenzen des Verstandes zu gehen. Wer es sich trotz allem zutraut, findet sich sehr schnell sehr allein.

Für seinen Mut, über die Grenzen des Endlichen zu gehen (und das Establishment zu verachten), bewunderte die mathematische Jugend und speziell das Trio vom Königsberger Schlossteich Cantor grenzenlos. Sie »verehrte in Cantor den originellsten zeitgenössischen Mathematiker zu einer Zeit, als in damals maßgebenden mathematischen Kreisen der Name Cantor geradezu verpönt war und man in Cantors transfiniten Zahlen lediglich schädliche Hirngespinste erblickte.«²⁹ Cantor war aber nicht zum Helden geboren und für eine solche Auseinandersetzung mit Kronecker zu sensibel (wie es vielleicht bei einem Kopf, der das Unendliche umfassen konnte, nicht verwunderlich war) und endete, halb verhungert, 1918 in einem Sanatorium.

Hierauf beruht mithin diese ganze Kunst zu überzeugen. Sie ist in zwei Grundsätzen enthalten: alle Beziehungen, die man verwendet, zu definieren; und alles zu beweisen, indem man im Geist die definierten Ausdrücke durch die Definitionen ersetzt.

Pascal, Esprit géométrique

5. Hilbert geht nach Göttingen

Die Karrieren der drei Spaziergänger nahmen ihren normalen Lauf. Hermann Minkowski trat 1887 eine Lehrstelle an der Universität Bonn an und die gemeinsamen Ausflüge zum Apfelbaum fanden nur noch in seinen Ferien statt. In Preußens äußerstem Westen entwickelte er eine heimliche Leidenschaft für die Physik, seit er zunächst aus Langeweile (mathematisch war in Bonn nicht viel geboten) und später mit immer größerem Interesse bei Heinrich Hertz Vorlesungen hörte und sogar Experimente machte. An Hilbert berichtete er eher beiläufig davon. Er sei gelegentlich sogar im blauen Laborkittel anzutreffen, nannte sich einen »Praktikus, wie Sie ihn sich schändlicher gar nicht vorstellen können«,³⁰ und schlug vor, sich vor seinen Besuchen im reinvernünftigen Königsberg mindestens zehn Tage von aller Praxis zu entgiften, um so wieder Anschluss zu finden an die dortige Gedankenwelt. Bei Hertz hatte er dessen Unbehagen an Maxwells Elektrodynamik und Newtons Mechanik mitbekommen, ebenso wie eine Begeisterung für die Gleichungen der Physik. Aus dieser Zeit hatte er sich ein Verständnis für experimentelles Vorgehen auch in der Mathematik bewahrt und betonte auch später immer wieder seine Erwartung, eines Tages werde die Zahlentheorie in der Physik Anwendungen finden.³¹

In Königsberg wurde Hilbert, der den eigentlich üblichen einjährigen Wehrdienst irgendwie vermieden hatte, 1886 mit 24 Jahren Privatdozent. Er verhielt sich aber nach wie vor eher wie ein Student als wie eine akademische Respektsperson, denn er hatte irgendwann, als die mathematischen Spaziergänge weniger wurden, wohl doch den Reiz der Tanzcafés am Königsberger Schlossteich entdeckt. Er tanzte gern und legte sich dabei nur selten auf eine bestimmte Partnerin fest, wie es damals die Sitte verlangt hätte. Er stellte fest, dass er bei den jungen Frauen recht gut ankam, und entwickelte daraus eine Überzeugung, die er bis ins hohe Alter beibehielt.

Zur Ausbildung eines Jung-Akademikers gehörten auch Reisen an die Hotspots des Faches. Also machte er sich 1885/86 zu den Größen des Fachs auf, nach Leipzig, wo zu dieser Zeit Felix Klein eine größere Gruppe von vielversprechenden oder bereits arrivierten Köpfen um sich versammelt hatte. Hilbert machte dort offensichtlich Eindruck und wurde weitergereicht nach Paris, wo der geniale Henri Poincaré lehrte. Viel gab es nicht zu berichten über das Treffen mit dem schüchternen und oft nervösen Franzosen (der einige Jahre unter preußischer Besatzung gelebt hatte und daher gut Deutsch sprach). Hilbert musste das nicht persönlich nehmen, denn Poincaré hatte zeitlebens nur wenige Schüler. Charles Hermite, der Minkowskis jugendliche Glanztat vor der Akademie verteidigt hatte, war hingegen sehr viel offener und freundlicher. Aber er war alt und allzu viel Neues war ihm in letzter Zeit nicht mehr eingefallen. Hilbert sammelte immerhin Eindrücke und Anregungen, schnupperte in den verschiedensten Ecken seines Fachs und konnte nach einem knappen Jahr zufrieden nach Königsberg zurückkehren.

Zu seinem Herzensthema in dieser Zeit entwickelte sich die Invariantentheorie. Invarianten tauchen an den verschiedensten Stellen auf in der Mathematik, etwa in der Projektiven Geometrie, ein Fach, das von den Malern der Renaissance angestoßen worden war. Diese wollten Bilder von dreidimensionalen Figuren auf gekrümmte Flächen projizieren, in die sie eigentlich nicht gehörten. Malt man eine menschliche Figur in die Kuppel einer Kirche, wie müssen dann die Proportionen im Gemälde sein, damit es aus der Perspektive des Gläubigen in der Kirchenbank einigermaßen realistisch aussieht? Welche Maßverhältnisse ändern sich, und welche bleiben invariant? Ein ähnliches Problem trat bei der Projektion des Globus auf eine ebene Landkarte auf: Wo wird das Bild verzerrt und wo bleibt es invariant? Oder: Winkel sind invariant gegenüber Skalierung, Drehung oder Spiegelung. Die Frage nach dem Gleichbleibenden taucht immer und immer wieder auf.

Diese praktischen Fragen führten zu einer Vielzahl von komplexen Fragestellungen. Dabei hatte sich als ein zentrales Problem die Frage nach der Endlichkeit der Basis eines Invariantensystems herauskristallisiert. Was das genau ist, muss hier nicht interessieren. An der Lösung dieses Problems arbeiteten die Mathematiker mit der größten Ausdauer, denn sie schien seitenlange Rechnungen zu erfordern. Der größte Ruhm warte auf den, der sich am seltensten verrechnete. Hilbert hatte sich mit dem Problem in seiner Habilitationsschrift beschäftigt und konnte ebenfalls als Experte gelten. Da er aber, wie er von sich selbst immer wieder sagte, nicht der Fleißigste war, kam er irgendwann auf die Idee, nach einem einfacheren Weg zu suchen, als nur Papier mit Gleichungssystemen zu füllen. Und diese Idee war sein Durchbruch. Anstatt Gleichungssysteme zu bearbeiten, fragte Hilbert sich, welches die Konsequenzen wären, wenn es keine endliche Basis gäbe, und fand heraus, dass dies zu einem Widerspruch führen würde. Damit konnte er zwar nicht sagen, wie eine konkrete Basis aussah, aber er wusste, dass es sie gab.³²

Damit geriet Hilbert in einen Proteststurm aus der Richtung all der Mathematiker, die gerne Gleichungen lösten und Freunde konkreter Konstruktionen waren. Ihnen schien es ein logischer Taschenspielertrick zu sein, was Hilbert sich da erlaubte. Paul Gordan, bis zu Hilberts Auftritt der »König der Invarianten«, nannte Hilberts Vorgehen »Theologie«³³ (wo Existenzbeweise in der Tat gerne geführt werden), es habe nichts mit Mathematik zu tun. Und Leopold Kronecker schimpfte sowieso über alles, was nicht nach einem Algorithmus konstruiert wurde. Er war der unbarmherzige alte Mann der deutschen Mathematik, dem Strenge und einfaches Konstruieren in endlichen Schritten über alles ging. Nach dem Muster der Schulmathematik sollte ein Beweis geführt werden, so wie man mit Zirkel und Lineal ein gleichseitiges Dreieck in immer der gleichen Weise konstruieren kann. Die Folge der fest vorgegebenen Schritte, nach welchen auch die Schüler mit den einfachsten Möglichkeiten eine Zeichnung oder Rechnung ausführen konnten, nannte man Algorithmus (jede konkrete schrittweise Handlungsanweisung nach dem Muster eines Kochrezeptes kann ein Algorithmus sein, benannt nach dem Mathematiker al-Chwarizmi, der um 800 in Bagdad wirkte). In der konkreten Einfachheit und Sicherheit der Algorithmen lag für viele Mathematiker ihr Charme. Alles, was ein »unpräzises, logisch-philosophisches Fundament« hatte, war eine intellektuelle Spielerei ohne Boden. Die Mathematik hielt Kronecker für eine Naturwissenschaft, die nicht mit Definitionen beginnen konnte,³⁴ sondern nur mit den gottgegebenen natürlichen Zahlen und der Beobachtung der Natur. Definitionen in der Mathematik mussten »nicht bloß in sich widerspruchsfrei sein […], sondern auch der Erfahrung entnommen«.³⁵ Greifbar und anschaulich sollte die Mathematik sein, kein logisches Formelspiel ohne Grund in der Realität. Er konnte nichts mit Existenzbeweisen anfangen, bei denen aus der Annahme der Nichtexistenz ein Widerspruch entstand. Was war ein Beweis wert, der im Dunkeln ließ, wie die Lösung konkret aussah?

Kroneckers ablehnende Haltung war ein echtes Problem für Hilbert, denn der Beweis, das Herzstück jedes Satzes, ist gerade in der höheren Mathematik abhängig von der Anerkennung durch die Kollegen. Ein Beweis wird praktisch nie vollkommen ausgeführt, mit jedem Zwischenschritt und in jedem Detail. In jeder Argumentationskette wird ein Vorwissen über bereits bewiesene Sätze und ein Konsens über erlaubte Schlusstechniken verlangt. Die höhere Mathematik wird nicht durch eine besondere ästhetische oder metaphysische Qualität zu etwas Höherem, sondern durch ihren freien Umgang mit der niederen Mathematik, deren Ergebnisse sie unkommentiert voraussetzt. Je höher die Mathematik, desto skizzenhafter werden ihre Argumente, damit sie sich nicht über hunderte von Seiten ziehen müssen. Der Beweis wird hier zu einer sehr losen Kette, die ihre Gültigkeit von außen, von der Akzeptanz der anderen Mathematiker erhält.³⁶ So kann es passieren, dass mathematische Ergebnisse und Sätze über längere Zeit akzeptiert und verwendet werden, obwohl sich später herausstellt, dass sie falsch sind. Und umgekehrt kann es vorkommen, dass Beweise, die nur von einem oder wenigen Mathematikern verstanden und akzeptiert werden, sich nicht allgemein durchsetzen.³⁷

Der Streit wurde in aller Öffentlichkeit ausgetragen, mit einer Reihe von Notizen in den Mathematischen Annalen. Am Ende setzte Hilbert sich durch, aber die Auseinandersetzung hinterließ Narben. Von nun an spürte er den Geist Kroneckers bei jeder mathematischen Arbeit über seine Schulter schauen, und insbesondere in seinen späteren Arbeiten zur Logik versuchte er stets den Bezug zur endlichen Konstruktion herzustellen. Aber immerhin war er nun in Mathematikerkreisen berühmt, sogar noch mehr als seine genialischen Jugendfreunde. Nichts fördert die Bekanntheit mehr als ein öffentlich ausgetragener Streit.

Als Hurwitz 1892 eine Stelle als ordentlicher Professor in Zürich antrat, wurde es in Königsberg dennoch erst einmal einsam um Hilbert. Ihm blieben zwar einige begabte Studenten (u. a. Arnold Sommerfeld), aber unter den Professoren fehlten nun die Schwergewichte, mit denen er seine Ambitionen verwirklichen konnte. In eben diese Zeit mangelnder mathematischer Ansprache fiel sein Entschluss, Käthe Jerosch zu heiraten, um deren Gunst er sich schon eine Weile bemüht hatte. Er hatte zwar noch keine gute Stellung, aber hervorragende Aussichten, und es war nur eine Frage der Zeit, bis er an eine bedeutende Universität berufen würde. Ein gutes Jahr später, 1893, kam ein Kind zur Welt, Franz, drei Jahre später folgte der Ruf als ordentlicher Professor nach Göttingen. Dort hatten die Schwergewichte Gauss, Dirichlet und Riemann gelehrt, die der Stadt und ihrer Universität auf dem Feld der Mathematik im 19. Jahrhundert eine in alle Welt ausstrahlende Aura verliehen hatten. In Göttingen bauten sich die Hilberts bald ein schönes Haus und das Leben war nun wohlgeordnet wie die natürlichen Zahlen. Hilbert hatte eine Frau, ein Kind, ein Haus, für die Vollendung des Idylls fehlte nur noch ein Hund. Mitte 30 war er jetzt, im kreativsten Mathematiker-Alter, er hatte Karriere gemacht und war auf dem besten Wege, ein bedeutender Mann zu werden.

Den Ruf nach Göttingen hatte Hilbert 1895 auf Betreiben von Felix Klein erhalten, der dort seit 1886 Ordinarius für reine Mathematik war. Klein war ein hervorragender, aber vielleicht allzu selbstbewusster Mathematiker, der bereits im Alter von 23 Jahren als Professor berufen worden war und in seiner Antrittsrede die Zunft mit seinem Erlanger Programm verblüfft hatte. Das war nicht nur eine starke Geste, sondern auch tiefgreifende Mathematik. Klein war mit einer Enkelin des Philosophen Hegel verheiratet, was in ihm die Überzeugung befestigt haben mochte, auf der richtigen Seite der Geschichte zu stehen. Jedenfalls war er ein erstklassiger Mathematiker, der jeden Winkel seiner Wissenschaft durchforschen und zu einem einheitlichen Gebäude zusammenfügen wollte.

Der Fanfarenstoß, mit dem Klein in Erlangen den Beginn seiner Karriere eingeleitet hatte, sollte die Welt auf den Zusammenhang zwischen Geometrie und Gruppentheorie aufmerksam machen, ein damals noch neues Thema. Gruppen haben anschaulich viel mit Symmetrie zu tun. Entdeckt wurden sie von dem bereits erwähnten Évariste Galois, als dieser sich an Permutationen von Lösungen algebraischer Gleichungen abarbeitete. Permutationen sind in gewisser Weise symmetrisch, weil man dabei in einer gegebenen Ordnung ein Element so lange an den Ort des anderen schickt, bis alle wieder einen Platz haben im System (wie beispielsweise beim Mischen von Spielkarten oder bei Anagrammen). Portraits von Dürer oder Leonardo da Vinci sind in ihrer Anlage meist symmetrisch, in Form von Spiegelungen der einen Gesichtshälfte auf die andere (Achsensymmetrie). Spielkarten sind symmetrisch in dem Sinn, dass sie sich um 180° drehen lassen und wieder dasselbe Bild ergeben (Rotationssymmetrie). Ebenso verhält es sich mit einem fünfzackigen Stern, einem Drudenfuß, den man um ein Fünftel oder zwei Fünftel oder gerne auch fünf Fünftel dreht und der anschließend wieder genauso aussieht wie vorher. Solcherart symmetrische Transformationen bilden eine Gruppe.³⁸

Diese Gruppen also brachte Klein in seinem jugendlichen Überschwang mit der Geometrie zusammen, indem er behauptete, dass eine Geometrie von nichts anderem bestimmt werde als von ihrer dazugehörigen Transformationsgruppe. Auf eine solche Idee konnte er nur kommen, weil im 19. Jahrhundert die Auffassung ins Wanken geriet, was eine Geometrie im Kern eigentlich war. 2000 Jahre lang hatte als ausgemacht gegolten, dass Euklids Darstellung der Geometrie, wie sie bis heute in den Schulen unterrichtet wird, die einzig richtige sei. Falsch!, so stellte es sich in den Jahren nach der Französischen Revolution heraus. Es gab, bei genauer Betrachtung des Verhaltens von Parallelen im Unendlichen, auch noch andere Geometrien, in welchen sich Maße, Winkel und Verhältnisse ganz anders verhielten, als es die Schulbücher wahrhaben wollten.³⁹

Der Schlussstein von Kleins Programm sollte die Theorie der automorphen Funktionen sein, welche er zunächst in der ruhigen Selbstgewissheit seiner eigenen Genialität verfolgte – bis er plötzlich realisieren musste, dass der damals noch völlig unbekannte, abseits in der französischen Provinz arbeitende Henri Poincaré, noch jünger, noch genialer, dasselbe Ziel wie er verfolgte. Zwischen den beiden entstand eine Korrespondenz, die eigentlich ein Wettlauf um die Krone ihrer Wissenschaft war, bei dem Klein sich nur knapp zu einem Unentschieden retten konnte. Bei diesem Wettstreit hatte er viel Energie gelassen und die Erkenntnis gewonnen, dass er in Poincaré seinen Meister gefunden hatte. Das führte zu einem Zusammenbruch, wie ihn sehr viele Mathematiker irgendwann in ihrem Leben einmal haben. Äußerlich erholte Klein sich zwar, aber er fand nie wieder zur alten Höhe seiner Schaffenskraft zurück. Nach seiner Krise blieb er ein hervorragender Mathematiker, aber angesichts seiner nunmehr selbst erkannten Grenzen versuchte er seine Ziele künftig in Zusammenarbeit mit anderen zu erreichen. So wurde er zu einem Wissenschaftsorganisator, also einem Mann, der viel Zeit damit zubringt, bei Ministern und privaten Geldgebern um zusätzliche Mittel zu bitten, nach geeignetem Personal zur Verstärkung Ausschau zu halten und auf Fakultätssitzungen die feindlichen Kollegen gegeneinander auszuspielen. Er brachte nicht nur den fachlichen Überblick, sondern auch die charakterliche Kompetenz mit, zur grauen Eminenz seines Faches in Deutschland zu werden, und die Universität Göttingen war seine Burg. Klein wurde 1897 erstmals Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vertrat die Universität ab 1908 im preußischen Herrenhaus, sein Ruhm verbreitete sich aber auch international. In den USA wurde er 1904 zum Mitglied der American Academy of Arts and Sciences gewählt.

Felix Klein war ein schwieriger Charakter mit ausgeprägtem Ehrgeiz und Machtinstinkt, dem man aber zugutehalten musste, dass er eine Schwäche für andere schwierige Charaktere hatte und eine hohe Streitkultur pflegte. Max Born, Doktorand bei Klein und später Mitschöpfer der Quantenmechanik, nannte seinen Lehrer ganz ohne Augenzwinkern den »Großen Felix«.⁴⁰ Seine Neugierde auf Menschen und seine Offenheit für frische Bekanntschaften war für das Fach so ungewöhnlich groß, dass man ihn bei den strengen, pünktlichen und nicht mehr jungen Kollegen in Berlin für unseriös hielt. Ein »Faiseur« sei er, hieß es in den Protokollen zur Frage der Berufung Kleins in die Hauptstadt, ein »Blender«, der zwar gut vortrug (obwohl »im Feuilletonstil«), aber doch nur »naschte« und seine »Versprechungen nicht halte«, ohne rechte Substanz, ein Mann mit dem ein »Zusammenarbeiten hier unmöglich sei«.⁴¹

Der Tradition seit Gauss entsprach es, die Mathematik mit den mathematischen Wissenschaften (ihren praktischen Anwendungsgebieten) zu verschränken, und Klein hatte ein Auge darauf, dass in Göttingen auch bei den Physikern und Astronomen das passende Personal gefunden wurde. So entstand eine ganze Tafelrunde von mathematischen Köpfen der verschiedensten Orientierung, die rasch auf ganz Deutschland ausstrahlte und dem verknöcherten Berlin die Talente abspenstig machte. Dort war um 1890 zwar die größte Ansammlung an großen Namen zu finden (Kronecker, Kummer und Weierstraß), aber es handelte sich dabei um alt gewordene Männer, die ihre schwindende Energie in die Veranstaltung ihrer Werkausgaben investierten. Göttingen hatte dagegen, obwohl die Universität relativ jung war, eine große mathematische Tradition und, wichtiger, die Köpfe der Zukunft vorzuweisen.

Nach und nach gelang es dem »mathematischen Diktator von Göttingen« – auch dies ein Diktum Max Borns –, die größten Talente Deutschlands (und der USA) in seinem Imperium zu versammeln. Und so hatte er auch Hilberts Begabung und seine methodische wie fachliche Breite früh erkannt, sich zu dessen Mentor gemacht und ihn, sobald er gereift war, von Königsberg nach Göttingen gelockt. Und in Kleins Imperium entwickelte sich Hilberts Karriere weiterhin sehr erfreulich.

Hilbert schrieb zunächst mit Minkowski einen Bericht (eigentlich ein Buch) über algebraische Zahlentheorie,⁴² ein für Laien unzugängliches Thema, welches unter Kennern als besonders abstrakt und tief gilt und Hilbert endgültig in die erste Reihe der deutschen Mathematiker brachte. Für seinen Ruhm und seine Stellung in der Community war der »Zahlbericht« wichtig. Folgenreicher war aber ein kurz danach veröffentlichter Festschriftbeitrag über die Grundlagen der Geometrie,⁴³ der eigentlich ein Reformprogramm für die ganze Mathematik war.

Beinahe jeder Mathematiker findet irgendwann seine Methoden und Themen, zu denen er immer wieder zurückkehrt, das scheint in der menschlichen Natur zu liegen. Manche Historiker verlieren sich in der Alltagsgeschichte und sehen in ihr den Schlüssel zu allem. Es gibt Fußballer, die einen bestimmten Laufweg die Strafraumkante entlang entwickeln, der kaum zu verteidigen ist. Und es gibt Geschäftsleute, die auf jedes Problem mit neuen Schulden reagieren. Die meisten Menschen gehen mit den unterschiedlichsten Problemen auf die immer gleiche Weise um – man kann von Lebenswerkzeugen sprechen, so wie man in anderem Zusammenhang von Lebensthemen sprechen kann.

Auch Hilbert hat einen solchen archimedischen Punkt und er lässt sich erstmals in seinen Grundlagen der Geometrie greifen. Es handelt sich um die axiomatische Methode, die er hier zum ersten Mal deutlich ausbuchstabiert und die von nun an zu einer Art Leitmotiv für seine ganze Arbeit wird. Sie ist die auf den Begriff gebrachte Essenz von Hilberts Lebenswerk.

Im Grunde entdeckt er lediglich eine 2000 Jahre alte Einsicht des berühmten Euklid von Syrakus wieder, die als mathematische Selbstverständlichkeit durchgehen kann: Euklid stellt bestimmte oberste Grundsätze auf, Axiome genannt, deren Wahrheit offensichtlich ist und die damit eigentlich ziemlich langweilig sind. So legt er etwa fest, dass »jede Linie in beide Richtungen unendlich verlängert werden kann« oder dass es »zu jedem gegebenen Punkt und Radius genau einen Kreis gibt«. Dazu kommen noch eine Handvoll Definitionen, was etwa Kongruenz ist oder ein Punkt oder eine Linie. Aus diesen Axiomen und Definitionen lässt sich alles weitere ableiten, all jene Sätze der Euklidischen Geometrie, die wir in der Schule in der 7. Klasse lernen.

Seit der Antike stand dieses Gebäude strahlend und unangetastet als ein Ideal von einfacher Klarheit. Die Methode wollte Hilbert beibehalten, bei der sich aus genau definierten Grundprinzipien die ganze Theorie (in diesem Fall: die Geometrie) systematisch, in endlichen, und auch für einen Kronecker nachvollziehbaren, Schritten entwickeln ließ, als endliches Spiel im unendlichen Universum der Mathematik. Inhaltlich musste sich allerdings einiges ändern. Schon Gauss und einige seiner Zeitgenossen fanden das System zu eng. Und als Hilbert es sich ansah, stellte er fest, dass es nicht nur eng war, sondern auch lückenhaft und anfällig für Widersprüche. Sein Anliegen in der Festschrift war es, an dieser Stelle aufzuräumen und ein System zu finden, in welchem sich die ganze Geometrie lückenlos und widerspruchsfrei ableiten ließ. Im Stil und Geist Euklids sollte am Ende die ganze Mathematik⁴⁴ auf »ein einfaches und vollständiges System voneinander unabhängiger Axiome« zurückgeführt werden, um die »Tragweite der aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden Folgerungen möglichst klar zu Tage« treten zu lassen.⁴⁵

Also zerlegte er die Geometrie, wie einst schon Euklid, nur gewissenhafter, in ihre grundlegenden Bestandteile. Die Anfangsgründe goss er in saubere Definitionen – und ließ den Rest sich logisch entwickeln. Das war die axiomatische Methode, die zum Dreh- und Angelpunkt von Hilberts Denken wurde, zum Ausgangspunkt eines Denkens in Systemen und Strukturen, das sich keinen Theologievorwurf gefallen lassen musste.

Waren die Anfangsgründe erst einmal genannt, so müsste sich aus ihnen die Wissenschaft wie das Gehäuse einer Schnecke spiralförmig aus einem innersten Punkt konstruieren lassen, in immer größeren (aber endlichen) Windungen, zu einem vollständigen und abgeschlossenen Ganzen. Das Geschäft der Ableitung der mathematischen Sätze war somit wenig mehr als eine automatische Prozedur und könnte, wie später die Pioniere des Computerzeitalters folgerten, auch von einem Rechenapparat durchgeführt werden. Hilberts Traum einer lückenlos geführten Beweiskette für die Mathematik trug als Samen die Idee einer logischen Maschine in sich.

Die mathematische Welt war ernsthaft geschockt, als Hilbert wissen ließ, sie arbeite seit der Antike auf einer ungeklärten Grundlage. Sie hatte sich auf Euklids großen Namen verlassen und sich nie die Mühe gemacht, seine Arbeit im Detail zu durchleuchten. Entsprechend groß war die Aufmerksamkeit, die Hilbert für seinen Versuch erntete, die Geometrie (und damit weite Teile der Mathematik überhaupt) in ein logisch sauberes System zu bringen. Damit war er nun ein in Mathematikerkreisen berühmter Mann.

Hermann Minkowski wurde zur Jahrhundertwende wie Hurwitz Professor, und zwar am Polytechnikum (heute: Eidgenössische Technische Hochschule) in Zürich. Er hatte das frühe Versprechen seiner Genialität eingelöst und sich in der abstraktesten Ecke der Mathematik niedergelassen, dort, wo sich Zahlentheorie und Geometrie trafen.

Die Briefe, die Minkowski in den 1890er Jahren aus Zürich an Hilbert schrieb, handelten von der Mathematik, die beide bewegte, vom Glück, das er in seiner jungen Familie gefunden hatte, und von den frustrierenden Versuchen, seinen begriffsstutzigen Studenten etwas beizubringen. Das wäre nicht weiter bemerkenswert, wäre seine Hörerschaft in der Vorlesung über Analytische Mechanik nicht ein besonders bunter Haufen gewesen, bestehend unter anderem aus Albert Einstein und dessen Freundin Mileva Marić, dem mit beiden befreundeten Physiker und Sozialisten Friedrich Adler (der 1916 den österreichischen Ministerpräsidenten Karl Stürgkh erschoss) sowie (vermutlich) Marcel Grossmann, der später wesentliche Teile der Mathematik für die Relativitätstheorie zulieferte. Minkowski sah aber keine Begabungen vor sich: »Die Leute, und auch die tüchtigsten unter ihnen, sind gewohnt […] dass man ihnen alles um den Mund schmiert. Zu jeder ihrer sonstigen Vorlesungen gehören stets Repetitorien und Übungen. Solche soll ich nicht abhalten, da die Leute schon sehr überhäuft sind, und da ich doch nicht immer bloß an der Oberfläche des zu behandelnden Stoffes bleiben kann, ist die Folge, dass ich nur noch ein Drittel feste Zuhörer habe, während die anderen bloß sporadisch auftauchen […] Ich werde in der Popularisierung des Stoffs bis an die äußerst mögliche Grenze gehen müssen; denn auch diejenigen, die mich vielleicht um wissenschaftlicher Leistungen wegen genommen haben, wollen schließlich für ihr Geld auch etwas haben […] Auch die eigentlichen Mathematiker, deren Zahl aber sehr gering ist, sind durch alle Kollegien, die sie sonst hören müssen, so in Anspruch genommen, dass sie nur genießen können, was ihnen zerschnitten und zerlegt nach gewaltsamer Öffnung des Mundes eingetrichtert wird.«⁴⁶

Die Analytische Mechanik aus dem Munde Minkowskis war die erste und letzte Vorlesung über mathematische Physik, die Einstein als Student in Zürich hörte. Diese schüchtern und oft stotternd gehaltenen Vorträge waren nichts für ihn, auch nicht in der abgespeckten Variante, und so ließ er die feingliedrige mathematische Ausbildung, die Hurwitz und Minkowski in Zürich anboten, liegen wie ein Kind, das auf den Apfel zu Gunsten der Schokolade verzichtet. Sein Interesse galt allein der Physik, den Sachen selbst, nicht ihrer Formulierung – und er meinte in dieser Zeit noch, das eine ließe sich vom anderen trennen. Er ging davon aus, wie er sich kurz vor seinem Tod erinnerte, »dass es für den Physiker genüge, die elementaren mathematischen Begriffe klar erfasst und für die Anwendungen bereit zu haben, und dass der Rest in für den Physiker unfruchtbaren Subtilitäten bestehe – ein Irrtum, den ich erst später mit Bedauern einsah. Die mathematische Begabung war offenbar nicht hinreichend, um mich in den Stand zu setzen, dass Zentrale und Fundamentale vom Peripheren, nicht prinzipiell Wichtigen zu unterscheiden.«⁴⁷

Es passiert gelegentlich, dass die besten Köpfe einer Generation nicht miteinander reagieren, obwohl sie miteinander über dasselbe Thema reden und dasselbe Interesse haben. Geniale Köpfe sind oft eitel und selbstbezogen und müssen sich immer ganz auf ihr Ding konzentrieren, um nicht die Richtung zu verlieren. Das macht sie manchmal zu schlechten Zuhörern. So war es auch bei Einstein, der viel bei Minkowski hätte lernen können, und bei Minkowski, der nicht realisierte, dass der eigenbrötlerische Einstein über Zusammenhänge brütete, für die er selbst sich auch interessierte. Die beiden sollten freilich noch voneinander hören.

Wenn ein paar große Formeln glücken, so muss das alles Eins werden, alles aus Einem entspringen und zu Einem zurückkehren.

Goethe⁴⁸

6. Die 23 Probleme in Paris

Niemand ist freiwillig im August in Paris. Es ist heiß, die Stadt voll von Touristen, die guten Restaurants haben geschlossen und die Elite, die Künstler, die Politiker, die Patrons und ihr Anhang begeben sich, je nach Vermögen, auf ihre Landsitze oder an die Strände. Sie lassen eine stickige Hülle zurück, deren Glanz dann bloß noch architektonisch und, man wird das Gefühl nicht los, etwas geistlos ist. Das ist heute nicht anders als zur Zeit der zweiten Republik.

Der Sommer des Jahres 1900 aber war eine Ausnahme, Paris ächzte unter der größten Weltausstellung, die es bis dahin je gegeben hatte. Die Exposition universelle zählte am Ende etwa 50 Millionen Besucher (Frankreich hatte zu dieser Zeit 40 Millionen Einwohner), die den ganzen Sommer hindurch staunend Phonographen, Filmtheater, die Métro, den neuen Gare d’Orsay, das Petit und das Grand Palais oder einen mit Erdnussöl angetriebenen Motor bewunderten, die ihren Spaß hatten auf der »Straße der Zukunft«, deren Bürgersteig mit einem Laufband (Plate-forme roulante) ausgestattet war, oder gaben sich dem Zauber der neuen, mit Dampf oder Elektrizität getriebenen Erfindungen hin, die aus allen Winkeln der westlichen Welt herbeigeschafft worden waren. Paris war so geputzt und geschmückt, wie man es sich für den Beginn und die Begrüßung des neuen Jahrhunderts nur wünschen konnte, auf über 200 Hektar Fläche, die mühsam in der Stadt und in Vincennes freigeräumt wurden, präsentierten 83.047 Aussteller aus aller Herren Länder ihre zukunftsträchtigsten technischen Erfindungen und die neuesten Errungenschaften für die Arbeiterwohlfahrt. Um den Eiffelturm gab es eine Budenstadt mit allerlei Attraktionen, wie etwa einem Biergarten, den dort die Spaten-Brauerei errichtet hatte, mitsamt einer »oberbayerischen Kapelle, die ununterbrochen Wagner spielte«.⁴⁹ Es gab einen palais de l’électricité im Rokoko-Stil aus Eisen und Glas, mit vorgelagertem Wasserschloss, umgeben von den raffiniertesten Brunnen, Fontänen und Wasserfällen, die bei Nacht bunt erleuchtet und so zu einer Machtdemonstration der neuen Energieform wurden. Diese Weltausstellung war eine eigentümliche Mischung aus Vergnügungspark und technischer Leistungsschau, die beim Publikum ausgesprochen gut ankam.

Motto der Ausstellung war: »Bilanz eines Jahrhunderts«. Darunter durfte jeder das seine verstehen, und so wurde sie zu einer vollkommen ungeordneten Enzyklopädie von allem, was Zukunft hatte, eine Demonstration des Fleißes der Menschen und der Macht der Nationen. Der offizielle Katalog umfasste am Ende 36 Bände und wurde ein Zeugnis für eine zerfallende, unordentliche und kaum noch verständliche Welt. Der Blick zurück war stolz angesichts des Erreichten, aber auch ein wenig ratlos, denn es fehlte ihm die Perspektive in die Zukunft. Wie sollte es besser werden als in diesem friedlichen, fortschrittlichen und immer wohlhabenderen Jahrhundert? Kein Wunder, dass die Zeit sich in das Gewand des Historismus kleidete und in eine melancholische Fin-de-siècle-Stimmung verfiel.

Zwei Veranstaltungen, die in der eitlen Hoffnung auf Anerkennung parallel zur Weltausstellung in Paris abgehalten wurden, mussten in diesem Fest der Moderne weitgehend ohne öffentliches Interesse auskommen: Die Olympischen Spiele und der Internationale Mathematiker-Kongress. Von beiden findet sich im zeitgenössischen Schrifttum zur Exposition universelle kaum eine Erwähnung. Was war die Muskelkraft eines Dauerläufers schon gegen den neuen Dampfdynamo der Siemens & Halske AG? Wer tat sich mathematische Vorträge an, wenn nebenan die neuartigen Streichhölzer aus Schweden oder ein Schmerzmittel namens Aspirin der staunenden Öffentlichkeit vorgeführt wurden?

Zu dem Mathematiker-Kongress hatten sich ursprünglich immerhin 1000 Teilnehmer angesagt, es waren aber nur 250 erschienen. »Der Besuch war nicht sehr stark, weder in quantitativer noch in qualitativer Hinsicht«,⁵⁰ tröstete Hilbert, der die Reise auf sich genommen hatte, den in Zürich gebliebenen Hurwitz. Darüber hinaus erfüllten sich Minkowskis geringe Erwartungen an das Publikum: »Man wird zum größten Teile […] französische Schullehrer und exotische Mathematiker, Spanier, Griechen etc. sehen, denen es im August in Paris noch kühl gegen ihre Heimat vorkommt.«⁵¹ Mancher Teilnehmer hatte dann auch bald genug, wie etwa die Amerikanerin Charlotte Scott, die über den »schockierend schlechten« Vortragsstil auf dem Kongress berichtete. »Anstatt zum Publikum zu sprechen, lesen die Vortragenden ihr Skript sich selber in einer monotonen Stimme vor, die manchmal gehetzt, manchmal zögerlich und oft gelangweilt ist.«⁵²

Zugpferd der Veranstaltung war Henri Poincaré. Er hatte seit seiner Korrespondenz mit Felix Klein noch Erstaunliches in Mathematik und Physik geleistet, insbesondere hatte er unter großer Anteilnahme des Publikums das Mehrkörperproblem angegangen (das Problem der Beschreibung eines Systems von miteinander wechselwirkenden Teilchen oder Körpern, wie etwa unser Sonnensystem). Selbstverständlich war er Präsident des Kongresses und hatte den Eröffnungsvortrag gehalten. Das Gegenstück dazu, die Abschlussrede, sollte der kommende Mann der Mathematik halten, und es war mittlerweile Konsens, dass dies kein anderer sein konnte als Hilbert. Beide hatten den größten Respekt für die Arbeit des jeweils anderen, aber in einer entscheidenden Nuance, die sich im Lauf des 20. Jahrhunderts von einer Frage des Geschmacks zu einem Grundsatzproblem entwickeln sollte, unterschieden sie sich doch stärker, als es ihnen im Jahr 1900 vielleicht bewusst war. Wenn es je eines Beweises bedurfte, dass die letzte Instanz in allen menschlichen Angelegenheiten der Geschmack – oder dessen Abwesenheit – ist, so erbrachten ihn die beiden prominentesten Mathematiker des Epochenwechsels zum 20. Jahrhundert, indem sie sich in allen sachlichen Fragen einig sein konnten (und es um der Freundschaft willen auch sein wollten), in der Benennung der Anfangsgründe ihrer Wissenschaft (also den Prinzipien, welche vor jedem mathematischen Inhalt und Ergebnis lagen) aber grundsätzlich verschiedener Auffassung waren. Und eine unterschiedliche Auffassung über die Natur der mathematischen Entdeckung führte Hilbert und Poincaré zu einer am Ende weithin sichtbaren Differenz in der Ansicht, was in der Mathematik als salonfähig gelten konnte und was nicht.

Poincaré war ein in Mathematikerkreisen seltener Schöngeist und Stilist. Kongresse langweilten ihn,⁵³ aber er war sich nicht zu schade, allgemeinverständliche Bücher zu schreiben oder Tiefgang in philosophischen Themen zu entwickeln. Die Mathematik hielt er für eine Kunst, deren Sätze von kreativen Köpfen ersonnen, durch logische Schlüsse verifiziert und anschließend in gut lesbare Form gebracht wurden. Ihre Wahrheit war für einen poetischen Kopf wie den seinen nicht allein durch Logik zu erkennen. »Die Logik lehrt uns, dass wir auf diesem oder jenem Wege sicher keinen Hindernissen begegnen werden, sie sagt uns nicht, welcher Weg zum Ziele führt. Um dahin zu gelangen, muss man das Ziel von weitem sehen, und die Intuition ist eben die Fähigkeit, welche uns das Sehen lehrt. Ohne sie würde es dem Mathematiker ergehen wie einem Schriftsteller, der in der Grammatik vollkommen bewandert ist, aber keine Ideen hat.«⁵⁴

Mathematische Erfindungen gelangen ihm durch »Intuition, dieses Gefühl für mathematische Ordnung, welches uns verborgene Relationen und Harmonien erraten lässt.«⁵⁵ Poincaré dachte in Analogien, mehr assoziativ als konstruktiv, oft ohne sich über deren Anwendbarkeit im Voraus viele Gedanken zu machen. Details interessierten ihn im Grunde nicht (was sich nur wenige Mathematiker leisten können). Einen Beweis in seine kleinsten logischen Schritte zu zergliedern, bedeutete für ihn, am Wesentlichen vorbeizudenken, an der Ordnung, am Sinn, am Zusammenhang des Ganzen. Damit wollte er nicht den Wert und Rang des logischen Schließens herabsetzen – immerhin war er Mathematiker –, aber er wollte sein Fach nicht auf die äußerlich sichtbaren Bausteine reduziert sehen. »Kann ein Naturforscher, der den Elefanten immer nur unter dem Mikroskope studiert, dieses Tier jemals vollkommen kennen lernen? Ebenso verhält es sich mit der Mathematik. Wenn der Logiker jeden Beweis in eine Menge von elementaren Operationen, die alle korrekt sind, zerlegt hat, so beherrscht er deshalb noch nicht die ganze Wirklichkeit des zu beweisenden Lehrsatzes; jenes gewisse Etwas, das die Einheit des Beweises ausmacht, wird ihm völlig entgehen.«⁵⁶ Logik hielt Poincaré für ein fruchtloses Geschäft ohne den Dünger der Intuition – und so formulierte er es auch in seinem Eröffnungsvortrag in Paris.

Hilbert hingegen hatte inzwischen ganz andere Vorstellungen in dieser Geschmacksfrage entwickelt. Er sah im Formalismus der axiomatischen Methode den Boden, den Dünger und die Frucht der Mathematik. Poincaré dachte wie ein Künstler, Hilbert wie ein Jurist. Von göttlicher Eingebung, »Hellsehertum«,⁵⁷ hielt er nicht viel, sondern bevorzugte in einer unverkennbar königsbergischen Tradition die Strenge und Pünktlichkeit der Deduktion aus obersten Prinzipien. Allenfalls um diese Axiome zu finden, bedurfte es der Intuition. Waren sie aber einmal festgelegt, so spielten sie keine andere Rolle als die des unscheinbaren Hakens, an dem ein Kronleuchter hing und an den man nicht mehr denken musste, wenn das Licht erst zu funkeln begann.

Gemäß dem Motto der Weltausstellung Le bilan d’un siècle erwarteten sich die Kongressteilnehmer von Hilberts Abschlussvortrag einen öden Rückblick auf die Errungenschaften der Mathematik. Das traf aber nicht dessen Geschmack, der weder sich noch sein Publikum langweilen mochte. Er folgte vielmehr dem Rat Minkowskis, nicht zu philosophisch zu werden (das sei eher etwas für »deutsches Publikum«), sondern den »Versuch eines Vorblicks auf die Zukunft« zu wagen, »also eine Bezeichnung der Probleme, an welche sich die künftigen Mathematiker machen sollten.« Hier war das Feld noch nicht so abgegrast durch vergangene Festvorträge und Hilbert könnte, nach Minkowskis Einschätzung, »unter Umständen erreichen, dass man von Deiner Rede noch nach Jahrzehnten spricht«.⁵⁸

Hilbert hielt seinen Vortrag mit unverkennbar ostpreußischem Akzent um die Mittagszeit des 8. August, einem sonnigen Mittwoch, unter der grünen Kuppel der Sorbonne. Er war im besten Mathematiker-Alter (38), eine schmale, bärtige Gestalt, mit unverkennbar großem Selbstbewusstsein. Das Auditorium war nicht gut besucht. Poincaré mied den Kongress, wann immer er konnte, manche Teilnehmer verstanden kein Deutsch, und viele zogen die Attraktionen der Weltausstellung vor. So verpassten sie, was der Höhepunkt ihres beruflichen Lebens hätte werden können, ein Ereignis, von dem sie noch ihren (mathematischen) Enkeln hätten erzählen können. Hilbert legte, wie von Minkowski empfohlen, eine Liste von 23 Problemen vor. Diese verhallte aber nicht, wie man es hätte annehmen können, vor einem mäßig interessierten Publikum, sondern verbreitete sich in kürzester Zeit in Europa, Nordamerika und Japan und entwickelte sich gewissermaßen über Nacht zum Gründungsdokument der Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Listen haben eine ganz eigene Anziehungskraft, über die sich Hilbert wahrscheinlich selbst nicht ganz klar war. Sie sind eine Herausforderung an eine bestimmte Weltsicht oder Geschichtsauffassung (Die zehn besten Filme aller Zeiten, die drei größten Gefahren für die Weltwirtschaft, the five sexiest men alive) und sind jedenfalls, weil sie so konkret sind, Geschmacksache und damit ein herrlicher Zeitvertreib. Diese Liste hatte den Vorteil, von einem Profi gemacht zu sein, von jemandem, der wirklich etwas davon verstand. Sie enthielt Probleme, die sich nicht nur dadurch auszeichneten, schon lange ungelöst oder mit einer hohen Belohnung verbunden zu sein,⁵⁹ sondern die auch tatsächlich zukunftsweisend waren – deren Lösung Spaß machte, wie dem Kolonialoffizier das Schießen einer Trophäe. Auf diese Probleme (von denen er aus Zeitgründen nur sechs tatsächlich vortrug und den Rest in der schriftlichen Version veröffentlichte) musste die Mathematik, so Hilbert, eine Antwort finden, wenn sie sich in die richtige Richtung entwickeln wolle.

Wie sahen ideale Probleme aus? Sie mussten, so führte Hilbert in seinem Vortrag aus, von solcher »Klarheit und leichte(n) Fasslichkeit« sein, »dass du sie dem ersten Manne erklären könntest, den du auf der Straße triffst.« Ein gutes Problem musste ferner »schwierig« sein, »damit es uns reizt, und dennoch nicht völlig unzugänglich, damit es unserer Anstrengung nicht spotte«. Es sollte einen gewissen Bezug zur Erfahrung haben. Und es musste aus einer endlichen Anzahl von Voraussetzungen durch eine endliche Anzahl von Schlüssen, also durch formale Deduktion lösbar sein. Die Intuition, die wesentlicher Bestandteil des Werkzeugkastens von Köpfen wie Newton, Leibniz und Poincaré war, hatte nach Hilberts Auffassung nur einen nachgeordneten Platz in der Mathematik.

Diese Problemliste entfaltete eine überraschende Eigendynamik. Eine der Aufgaben zu lösen, war wie ein Ritterschlag versprach anhaltende Bewunderung. Es hatte wohl auch etwas mit Hilberts wachsender Aura zu tun, der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit zu sein. Eines seiner Probleme zu lösen bedeutete, ihm eine Lösung zu präsentieren, auf die er selbst nicht gekommen war. Auf diese Weise überflügelte man den Meister, oder stand doch mindestens auf einer Stufe mit ihm. Darum beschäftigte sich bald tatsächlich fast die ganze Zunft mit der Behandlung von Hilberts Problemliste. Und je größer der Ruhm derer wurde, die ein Problem lösten, desto stärker wurden die Bemühungen um die verbleibenden.

Die meisten der Probleme sind heute irgendwie gelöst oder erledigt. Die Liste war nicht systematisch angelegt: Manche Probleme waren recht einfach (das dritte Problem wurde noch 1900 von einem Doktoranden Hilberts gelöst), manche offensichtliche Kandidaten (wie der große Satz von Fermat oder die Goldbach’sche Vermutung) ließ sie aus, und konkrete physikalische Probleme spielten keine Rolle. Manche Probleme waren so unpräzise gestellt, dass sie eher als Aufforderung zu verstehen waren, in eine bestimmte Richtung zu forschen. Die ganze Liste war ein Zeugnis von Hilberts persönlicher Vorliebe für reine Mathematik – eine Richtung in die sich die Mathematik tatsächlich in den folgenden 100 Jahren entwickelte.

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