Kitabı oku: «Manual de matemáticas financieras»

Interés simple

Contenido

2.1 Introducción

2.2 Monto a interés simple

2.3 Descuento simple

2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos

2.5 Resumen

2.6 Preguntas

2.7 Problemas

2.8 Respuesta a las preguntas

2.9 Resolución de los problemas

2.10 Contenido de la página web de apoyo

Objetivos

• Calcular el monto de un depósito a plazo fijo y el interés de la operación.

• Calcular el valor presente en una operación de descuento.

• Calcular una tasa proporcional.

• Calcular un capital equivalente dando un vencimiento común a documentos que vencen en diferentes fechas.

2.1 Introducción

En el contexto del cálculo financiero, es posible hablar de dos tipos de régimen: simple y compuesto. Entendemos por régimen simple aquel donde los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial de la operación; por lo tanto, los intereses que produce dicho capital son siempre una suma fija.

El régimen simple existe tanto en sentido positivo del tiempo (capitalización) como en sentido negativo del mismo (descuento). En la capitalización vamos desde el presente hacia el futuro cuando depositamos una suma de dinero que gana interés durante un cierto período de tiempo, y en el descuento recorremos el camino inverso cuando calculamos el valor presente de un capital futuro. También veremos que es posible hablar de una tasa de interés vencida y una tasa de descuento o anticipada.

En la vida real, existen numerosas situaciones donde nos encontraremos con el interés simple. ¿Quién no ha realizado alguna vez un depósito a plazo en una institución bancaria? En este caso, los depósitos ganan un interés que se calcula sobre el capital inicial de la operación, por un período de tiempo determinado que puede ser un mes, dos meses, etc. Puesto que no hay capitalización de intereses en el período por el que se realiza el plazo fijo, estos son calculados de acuerdo a las reglas del interés simple. También los intereses de la caja de ahorros dentro del período de capitalización, los préstamos que calculan intereses directos sobre el capital, algunos ajustes de deudas impositivas y algunos casos de sentencias judiciales son ejemplos donde se aplica el interés simple.

En este capítulo veremos las principales operaciones que se realizan mediante el régimen simple, incluyendo el descuento comercial, una operación muy extendida en la práctica. Estableceremos la equivalencia fundamental entre la tasa de interés vencida y la tasa de descuento, y finalmente realizaremos una introducción a la equivalencia de capitales que se encuentran expresados en diferentes momentos de tiempo.

Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de:

• Calcular el monto de un depósito a plazo fijo y el interés de la operación.

• Calcular el valor presente en una operación de descuento.

• Calcular una tasa proporcional.

• Calcular un capital equivalente dando un vencimiento común a documentos que vencen en diferentes fechas.

2.2 Monto a interés simple

Las características principales del monto a interés simple son las siguientes:

1. Los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, de forma que los intereses no generan nuevos intereses, el capital inicial permanece constante hasta la fecha en que haya sido convenido su reembolso.¹

2. Se deduce de 1 que los intereses representan una suma fija, no existe, por lo tanto, capitalización de intereses.

3. Los intereses son proporcionales al capital, al tiempo y a la tasa de interés de la operación.

La mejor forma de apreciar las variables que componen una operación de interés simple y su evolución es observar el cuadro que se desarrolla a continuación:

Evolución del interés simple

Supongamos un capital inicial C₀ = 1 € que se coloca a interés simple y veamos cómo se transforma a lo largo de n períodos para obtener la fórmula «genérica» del monto a interés simple:

Tabla 2.1 Evolución del interés simple

En general, para un período cualquiera que llamaremos p, el interés periódico será I (p – 1,p) = i, y el capital final:

C_p = C₀(1 + pi)

Que se lee como el capital original multiplicado por 1 + «p veces» la tasa de interés. Por lo tanto, el capital final o monto del último período será C_n = C₀(1 + ni).

Note que para obtener esta expresión solo multiplicamos el capital original de la operación por el factor de capitalización (1 + ni) transformando el capital inicial en un capital equivalente final o monto. Por ejemplo, si contáramos con 100 € que se invierten durante 5 meses a una tasa de interés del 2 % mensual, al final del plazo tendremos:

100 (1 + 0,02 × 5) = 110

En la actividad financiera cotidiana, la tasa de interés se expresa en tanto por ciento. Así, 2 % equivale a 2 / 100 = 0,02. Para los cálculos, siempre expresamos la tasa en tanto por uno.

Fórmulas derivadas del monto a interés simple

Las fórmulas que se derivan de la fórmula genérica del monto a interés simple solo requieren simples despejes de términos. Realizaremos algunos comentarios respecto a ellas por que creemos que pueden revestir interés.

Tabla 2.2 Fórmulas del interés simple

Capital inicial	Tasa de interés	Número de períodos	Interés acumulado
			I(0,n) = C0in
o también	o también	o también	o también
			I(0,n) = Cn − C0

a. Fórmula del capital inicial

Simplemente, el capital inicial se obtiene descontando por n períodos el monto o capital final. Por caso, un capital final de 150 €, que fue obtenido con una tasa de interés del 10 % al cabo de 5 períodos, tiene hoy un valor de:

b. Fórmula de la tasa de interés

Esta fórmula es muy intuitiva, ya que se aplica muchas veces de manera automática para obtener porcentajes de rendimiento, aunque no se concozca su naturaleza. Piense por un momento que usted vende un bien a 150 € que adquirió cierto tiempo atrás por 120 €. El tiempo que media representa el período de la operación que para nosotros será igual a 1 (1 mes, 1 bimestre, un período de cierta cantidad de días, no importa realmente cuánto tiempo, para nosotros representa un período en este caso). Ahora supongamos que usted quiere conocer el porcentaje de rendimiento de esa operación. El cálculo intuitivo es tomar los 150, dividirlo por 120 y restar el 1 (uno):

Pues bien, la tasa de interés se calcula de esa forma, ya que representa la fórmula que resulta de obtener la tasa a partir de la fórmula del monto:

Si n = 1 y pasamos restando el 1, tenemos la fórmula que tantas veces se utiliza para calcular rápidamente un porcentaje de rendimiento:

c. Fórmula del número de períodos

Simplemente, observe que el numerador de la fórmula representa el interés acumulado, de forma tal que también puede escribirse:

d. Fórmula del interés acumulado

Para un capital inicial de C₀, el valor de I(0,n) representa el valor absoluto del interés acumulado, y estará dado por la relación: I(0,n) = C₀in, que quiere decir que ganamos «n veces la tasa de interés sobre el capital». Por ejemplo, 100 euros colocados durante 10 períodos al 5 % representan un interés acumulado de 50 €:

I(0,10) = 100 × 0,05 × 10 = 50

La fórmula del interés acumulado también puede razonarse como la diferencia entre el monto y el capital inicial:

I(0,n) = C_n − C₀ = C₀ (1 + in) − C₀ = C₀ + C₀in − C₀ = C₀in

O como la suma de todos los intereses periódicos:

I(0,n) = I(0,1) + I(1,2) + … + I(n − 1,n) = C₀i + C₀i + … C₀i = C₀in

En el régimen simple, las tasas siempre se suman.

e. Fórmula del monto a interés simple cuando cambia la tasa de interés y rigen por períodos irregulares

En la práctica, la tasa de interés no es constante, y también es posible que cada tasa se gane por períodos de tiempo diferentes; en este caso, no podemos utilizar la fórmula genérica del interés simple, puesto que la tasa es posible que se haya modificado mensualmente. En ese caso, desarrollaremos un factor de capitalización sumando las distintas tasas i₁, i₂... i_n, para los diferentes períodos de tiempo, (en el caso de que sean diferentes, los llamaremos p₁, p₂... p_n). La fórmula resultante es:

C_n = C₀ (1 + i₁p₁ + i₂p₂ + ... + i_np_n)

Ejemplo 1: se depositaron 100 € durante 3 meses con las siguientes tasas de interés: primer mes = 2 %; segundo mes = 4 %; tercer mes: 6 %. Se desea saber el monto de la operación:

Cn = 100 (1 + 0,02 + 0,04 + 0,06) = 112

Ejemplo 2: se depositaron 100 € durante 3,5 meses con las siguientes tasas de interés: primer mes = 2 %; segundo mes = 4 %; por los últimos 45 días se obtuvo el 6 % mensual. Se desea saber el monto de la operación:

C_n = 100 (1 + 0,02 + 0,04 + 0,06 × 1,5) = 115

Tasa proporcional en el interés simple

En la práctica, es común que se realicen operaciones de plazo fijo pactando una tasa nominal que llamaremos j(m), pero que los intereses capitalicen en forma subperiódica; en ese caso, debemos proporcionar la tasa nominal en el momento en el que capitalizan los intereses.² La tasa nominal es solo la tasa de pacto de la operación, sirve como referencia para el cálculo de la tasa efectiva de la operación. Así, es posible tener una tasa nominal anual, pero que capitaliza semestralmente, es decir, los interés se capitalizan a los seis meses, antes de llegar al año. Para obtener la tasa proporcional, simplemente dividimos la tasa nominal por el número de subperíodos de capitalización; que denominamos m:

Un punto importante es que la tasa proporcional obtenida a partir del dato de la tasa nominal es, a la vez, una tasa efectiva para el período de capitalización considerado; por ejemplo, una tasa nominal anual del 12 % que capitaliza semestralmente, arroja una tasa semestral del 6 %, que es a la vez una tasa efectiva y proporcional, pues representa el rendimiento que efectivamente se obtuvo al cabo de un semestre:

Resumiendo, la diferencia importante entre la tasa nominal y la tasa proporcional subperiódica es la no coincidencia de la unidad de tiempo en que está expresada la tasa de interés (nominal) con el período de capitalización. Otro detalle por observar es que, en el régimen simple, las tasas son al mismo tiempo proporcionales y equivalentes. Recuerde que en el interés simple las tasas se suman, de forma tal que da lo mismo ganar un 6 % en un semestre que el 12 % en el año. En el próximo capítulo veremos que no es lo mismo en el régimen compuesto, donde las tasas son solamente «equivalentes».

¿Año de 360 días o año de 365 días?

En algunos contratos de operaciones financieras, dependiendo de la legislación de cada país, se utiliza el año civil de 365 días, por lo que la tasa proporcional que resulta es ligeramente menor que la que obtendríamos con un año de 360 días; por ejemplo, para el caso anterior la tasa de 180 días sería:

En la práctica, el cálculo suele hacerse como 0,12 × 180 / 365, que resulta más rápido cuando se utiliza una calculadora de bolsillo. La consideración de los días contenidos en el año nos lleva al tema del interés exacto.

Interés civil y comercial

Los mercados financieros exhiben algunas discrepancias con respecto a la forma en que se consideran los días que contiene el año. En algunos contratos, se utilizan 360 días en lugar de los 365 días que el año contiene. De esta forma, podemos distinguir:

• Año exacto o civil: cuando se toman 365 días

• Año comercial: cuando se toman 360 días

Ejemplo: calcular el interés que se obtuvo en una operación donde se depositó un capital de 10.000 € durante 180 días, ganando una tasa nominal anual del 12 %. Resolver por año civil y por año comercial.

El interés obtenido utilizando el año comercial resulta un poco mayor que el obtenido utilizando el año civil, debido a que el resultado del cociente es un poco mayor al dividir por 360 en lugar de dividir por 365. Para conocer la relación entre los dos, simplemente dividimos miembro a miembro las relaciones indicadas anteriormente:

Y observamos que el interés exacto es un 98,63 % del interés comercial:

Interés exacto Interés comercial 0,9863

Ejemplos de aplicación del interés simple en la vida real

a. Los depósitos a plazo

Los certificados depósito a plazo fijo son instrumentos que especifican capitales, plazos y tasas de interés. Habitualmente no se negocian, si bien la reforma reciente del Código Civil y Comercial de la Nación lo permite (consulte la normativa vigente en su país), y existen en general plazos mínimos de tiempo por los cuales pueden constituirse, de forma tal que su liquidez es menor que una cuenta de ahorros. Cuando hacemos un plazo fijo inmovilizamos el dinero por el período de contrato (no importa el plazo, siempre es un solo período de 30, 45, 60 o más días, ya que no hay capitalización de intereses); por lo tanto, la operación se realiza dentro de las reglas del interés simple. La capitalización solo se produciría si se renovara la operación, pero entonces habría más de un período.

Ejemplo: se constituye un plazo fijo por 10.000 € con un contrato de una TNA del 10 %, por un plazo de 30 días. Al final del plazo, tenemos un monto de:

Nótese que hemos ganado 82,19 € de interés, que corresponden a un período de 30 días. Trabajamos con un año de 365 días por ser el año civil el que se utiliza en las operaciones de depósitos a plazo en el mercado financiero argentino.

b. Los intereses que devenga la caja de ahorros

La mayor parte de cajas de ahorros permite a su titular efectuar retiros de dinero, de tal forma que este tipo de cuentas resultan útiles para aquellas personas que desean obtener un rendimiento por sus ahorros, pero requieren al mismo tiempo la disponibilidad inmediata de los mismos. Esta característica es la que hace que los bancos en general paguen un interés modesto, pero, a cambio, se tiene la flexibilidad de hacer retiros y depósitos en cualquier momento.

La tabla 2.3 muestra el movimiento en una caja de ahorros donde los intereses se calculan de acuerdo al régimen simple y se acreditan a fin de mes. La tasa nominal anual para el período fue del 3 %.

Tabla 2.3 Intereses de la caja de ahorros

Para el cálculo del devengamiento de intereses con la TNA del 3 %, se calculan los intereses bajo el régimen simple teniendo en cuenta los días hasta fin de mes. Por ejemplo, para el saldo inicial se calculan intereses por los 31 días de julio, para el depósito de 100 € realizado el 01/07/01 deben contarse 30 días hasta el 31/07, y así sucesivamente. Para los retiros, anteponemos el signo menos y seguimos la misma regla, computando también los días que faltan hasta fin de mes.

100 × 0,03 × 31 / 365 + 100 × 0,03 × 30 / 365 − 50 × 0,03 × 16 / 365 + 200 × 0,03 ×

× 11 / 365 − 100 × 0,03 × 6 / 365 = 0,57

Nótese que, si bien los intereses se calculan bajo las reglas del interés simple dentro del mes, se acumulan al capital al final del mismo formando un monto de 250,57 para el mes siguiente. De forma tal que, en el próximo mes, los intereses se calcularán sobre 250,57, generando capitalización de intereses, por lo que a partir del mes siguiente opera el interés compuesto.

c. El ajuste de deudas impositivas

La Dirección de Impuestos suele cobrar intereses compensatorios y resarcitorios aplicando las reglas del interés simple en algunos casos. Suponga que cierta empresa mantiene una deuda fiscal de 15.000 € hace tres meses y ahora desea saldarla. Si la tasa de interés que cobra el fisco es del 3 % mensual, el importe a saldar será:

15.000 × (1 + 0,03 × 3) = 16.350

d. El cálculo de indemnizaciones

En los cálculos de las indemnizaciones laborales, la jurisprudencia establece que en algunos casos, el monto de la sentencia debe ajustarse según las reglas del interés simple, utilizando la tasa de interés activa del Banco Nación. La tasa de interés nominal anual para las operaciones activas fluctuó de la siguiente forma:

Enero: 10 % Febrero: 11 % Marzo: 12 %

Un monto de sentencia de 100 € se ajustaría de la siguiente forma:

Ya hemos visto que en el régimen simple, los intereses siempre se calculan sobre el capital inicial. También aparecía una tasa proporcional, pues muchas operaciones se contratan para un período que no coincide con la tasa nominal. El tema de la tasa nominal de interés y sus correspondientes equivalencias será tratado exhaustivamente en el Capítulo 4, que destinamos a las tasas de interés. Por ahora, diremos que la tasa nominal, que tiene una sola capitalización en el período, es a la vez la tasa efectiva del período. Por ejemplo, si usted colocó dinero en una institución contratando una tasa nominal anual del 10 % y esta tasa al mismo tiempo capitaliza anualmente, su rendimiento efectivo también será del 10 %.

Análisis de las funciones monto e interés acumulado

Para el análisis de las funciones del monto y del interés, asumiremos que el capital inicial (C₀) es igual a 1 €, lo cual facilitará el razonamiento.

La función del monto a interés simple C_n = 1 + in es una función lineal, creciente, de la forma y = ax + b, de forma tal que es una semirrecta de coeficiente angular i > 0 definida para valores positivos de i; precisamente, i representa la pendiente de la función y b es la ordenada al origen, que en nuestro ejemplo está representada por el capital original de 1 €. Por lo tanto, la función corta al eje de las ordenadas en 1, y es creciente con respecto al tiempo, ya que a medida que aumenta el número de períodos, también aumenta el monto a interés simple. Suponiendo entonces que el capital inicial es C₀ = 1 € y la tasa de interés es i = 0,10, en la tabla 2.4 se muestra cómo se acumulan los intereses y el monto, que aparecen en las figuras 2.1 y 2.2:

Tabla 2.4 Interés periódico, interés acumulado y monto en el régimen simple

Figura 2.1 Función interés acumulado.

Figura 2.2 Función monto.

La función interés I(0,n) también es lineal creciente desde cero (ya que no se devengó interés en el momento cero) y la función monto comienza en 1 (uno), que representa el capital original de la operación. La función monto tiene la misma pendiente que la función del interés acumulado, y que está representada por la tasa de interés; la diferencia es que la función monto comienza en el capital original, mientras que la función interés comienza en cero.

Análisis del rendimiento efectivo

Para comparar cuál fue el rendimiento efectivo de un período, tenemos que comparar el interés de ese período contra el capital utilizado para obtenerlo. Suponga un capital inicial igual a 100 € que se coloca a una tasa de interés del 10 % periódico; según se observa en la tabla 2.5.

Tabla 2.5 Interés periódico y rendimiento efectivo en el régimen simple

El rendimiento efectivo es calculado dividiendo el interés periódico por el capital al inicio. Así, para el primer período es el 10 %, (10 / 100) – 1, pero para el segundo se reduce al 9,09 %, pues el interés periódico sigue siendo de 10 €, pero representa un porcentaje menor de un capital de 110 €. Es claro que mientras el interés periódico se mantenga constante, representará un porcentaje menor comparado con el capital inicial. Por lo tanto, el rendimiento efectivo en el régimen simple es decreciente. Por ejemplo, para calcular el rendimiento efectivo del período 4, tendríamos que comparar el interés periódico (que es siempre constante) contra el capital al final del período 3:

Generalizando, para obtener el rendimiento de un período cualquiera hacemos:

De la expresión anterior se deduce que si el numerador es constante y el denominador es creciente (ya que cuando aumenta el número de períodos p también aumenta), el rendimiento periódico es decreciente.

Plazo medio

Suponiendo que tres capitales C₁, C₂ y C₃ son colocados durante diferentes plazos t₁, t₂ y t₃, se denomina plazo medio n al tiempo durante el cual debe ser colocada la suma de esos capitales, a la misma tasa, de modo que el interés producido sea igual a la suma de los intereses producidos por cada uno de los capitales C₁, C₂ y C₃:

(C₁ + C₂ + C₃) in = C₁it₁ + C₂it₂ + C₃it₃

Dividiendo ambos miembros por i y despejando el valor de n, obtendremos:

Esta última fórmula nos permite obtener las siguientes conclusiones:

a. El plazo medio es independiente de la tasa de interés común.

b. El plazo medio es la media aritmética ponderada de los plazos.

La conclusión b nos permite establecer una fórmula general para el plazo medio, que es igual a la sumatoria de los plazos ponderados:

La fórmula del plazo medio puede ser establecida para cualquier unidad común de plazos, y el valor de la incógnita n se referirá a una unidad de tiempo común de los plazos t₁, t₂ y t₃. En particular, si C₁ = C₂ = C_3, podemos sacar el factor común en la expresión anterior y nos queda:

Donde N representa la cantidad de capitales (N = 3 en este caso) y observamos que, en este caso, el plazo medio será el promedio simple de los plazos dados.

Ejemplo: tres capitales de 100, 200 y 300 fueron colocados a la misma tasa del 10 % mensual durante 4, 5 y 6 meses, respectivamente. Calculamos ahora durante cuánto tiempo tendría que estar aplicada la suma de esos capitales, a la misma tasa, para que los intereses sean iguales a la suma de los intereses de esos capitales en los plazos dados.

Tasa media

Suponiendo que tres capitales C₁, C₂ y C₃ sean colocados durante n períodos a tasas diferentes i₁, i₂ y i₃, se denomina tasa media de una operación a la que debe ser colocada la suma de esos capitales durante n períodos, para que produzcan un interés que iguale la suma de los intereses que produce cada uno de los capitales C₁, C₂ y C₃:

(C₁ + C₂ + C₃)in = C₁i₁n + C₂i₂n + C₃i₃n

Podemos sacar el factor común n en el segundo término y luego despejamos la tasa media:

De la fórmula se observa que:

a. La tasa media es independiente del plazo común al que fueron colocados los depósitos.

b. La tasa media es la media aritmética ponderada de tasas.

La conclusión b nos permite establecer una fórmula general para la tasa media, que es igual a la sumatoria de las tasas ponderadas:

En particular, si C₁ = C₂ = C₃, se puede sacar el factor común C_j y la fórmula de i se simplifica por la siguiente:

En este último caso particular, la tasa media es el promedio simple de las tasas dadas. N representa la cantidad de capitales (N = 3 en este caso).

Ejemplo: tres capitales de 100, 200 y 300 fueron colocados con tasas de interés mensuales del 10 %, 20 % y 30 %, respectivamente, durante un mes. Calculamos ahora cuál fue la tasa media de la operación:

Preguntas de autoevaluación

1. ¿La fórmula genérica del monto a interés simple puede usarse en cualquier caso?

2. ¿Por qué las tasas se suman en el régimen simple en lugar de multiplicarse?

3. ¿Cuál es la diferencia entre el interés exacto y el interés comercial?

4. ¿Por qué en el régimen simple las tasas son proporcionales y al mismo tiempo equivalentes?

2.3 Descuento simple
Descuento racional y tasa de interés vencida

Cuando definimos el monto de un capital, se estableció una relación directa entre el capital inicial y el valor final del mismo, sujeto a un régimen de capitalización a una tasa de interés i por un número de unidades de tiempo que llamamos n.

Supondremos inicialmente una operación genérica de descuento: queremos disponer hoy de una suma de dinero que tenemos que cobrar dentro de 1 año por 1 €; por su disponibilidad inmediata, nos descontarán los intereses que representan la diferencia entre el capital disponible dentro de un año y su valor presente.

Figura 2.3 Valor presente con descuento racional.

El capital de 0,90 representa el valor presente de la suma de dinero futura, y la diferencia entre el capital futuro de 1 € y los 0,90 que recibimos hoy representa el descuento, que se define como la compensación, o el precio que debe pagarse por la disponibilidad inmediata de un capital antes de su vencimiento dentro de n unidades de tiempo.

El proceso de transformación de los valores futuros en valores presentes se denomina genéricamente «descuento», y a veces «actualización», y representa la contrapartida del proceso de capitalización. En el régimen simple, se distingue entre un descuento racional y un descuento comercial. Sobre la controversia acerca de si corresponde utilizar el término «descuento» o «actualización» será aclarada en una sección posterior. La diferencia entre los mismos radica en la forma en cómo se analiza la operación, siendo en el fondo, exactamente iguales. Comenzaremos describiendo el llamado descuento racional a los fines teóricos, para inmediatamente concentrarnos en las facetas del descuento comercial, por ser esta forma de calcular el descuento la más extendida en la práctica y por ser la forma en que el descuento es percibido por los agentes económicos.

El descuento racional

Es aquel que se calcula sobre el valor presente del documento (que denominaremos V, y que es el análogo del capital inicial en el interés simple, C₀).

En el descuento racional, los intereses se calculan sobre el capital recibido, por n períodos:

D_r = V_rin

El valor recibido es igual al monto del documento menos el descuento:

V_r = C_n − D_r

Y como C_n = V_r + D_r

Entonces C_n = V_r + V_rin

Si llamamos V_r al valor presente con descuento racional, tenemos:

Observe que la fórmula del valor presente con descuento racional es exactamente igual a la fórmula del capital inicial en el interés simple.

Ejemplo 1: calcule el valor presente de un documento de 100 €, que vence dentro de dos meses, utilizando una tasa de interés vencida del 10 % mensual:

Ejemplo 2: calcule el descuento que sufrió el documento del ejemplo anterior.

D_r = 83,33 × 0,10 × 2 = 16,67

Como se observa, en el descuento racional, para calcular el descuento debe calcularse previamente el valor presente del documento.

Evolución del descuento racional

Si observa la siguiente tabla verá cómo la función del descuento periódico es decreciente:

Tabla 2.6 Evolución del descuento racional

Fórmulas derivadas del descuento racional

Las fórmulas son exactamente las mismas que vimos para el monto a interés simple y sus fórmulas derivadas. Recuerde que en el descuento racional los intereses se calculan sobre el capital recibido en préstamo, de ahí el nombre de «racional».

Tabla 2.7 Fórmulas del descuento racional

Valor actual	Tasa de interés	Número de períodos	Descuento acumulado
			D(0,n) = Vrin

El descuento comercial y la tasa «anticipada» o «adelantada»

Cuando los intereses se liquidan o calculan a partir de un monto futuro, las tasas utilizadas se denominan adelantadas o de descuento. A este tipo de operatoria se la denomina «descuento comercial» o «descuento bancario», y es la más utilizada en la práctica de los negocios.

Como el descuento se practica sobre un valor final o monto (el valor final es el valor nominal del documento, sea este un pagaré, un cheque, etc.) y no sobre el capital que realmente se presta en la operación, resulta un beneficio adicional para el prestamista, como veremos a continuación.

Ejemplo: se tiene un documento de 1 € que vence dentro de 1 mes,³ pero se decide descontarlo en una entidad financiera, para disponer de efectivo inmediatamente. El descuento es del 20 % mensual, de forma que se reciben 80 céntimos:

Figura 2.4 Valor presente con descuento comercial.

En el descuento comercial, los intereses se calculan sobre el valor nominal del documento, que es asimilable a un capital futuro o monto (C_n):

D = C_ndn

De forma tal que el valor presente del documento es igual al valor nominal menos el descuento:

V = C_n − C_ndn

V = C_n(1 − dn)

En nuestro ejemplo, el valor presente recibido es:

V = 1 − 0,20 × 1 = 0,80

Observe que el descuento se practica, a diferencia del descuento racional, sobre un valor futuro (el valor nominal del documento, que es el valor que tendrá el documento dentro de un mes), pero se recibe en préstamo una suma menor (0,80). Por lo tanto, el prestamista gana un rendimiento que es igual al descuento (d) sobre la cantidad que efectivamente presta (1-d):

¿Cuál es el rendimiento que obtuvo el prestamista si cobró el 20 % de interés sobre un capital de 1 € y en realidad solo prestó 0,80? Obviamente, es mayor que el 20 %, pues si colocáramos el dinero obtenido en préstamo al 20 % apenas alcanzaríamos 96 céntimos:

0,80 × (1 + 0,20) = 0,96

La tasa de interés implícita o equivalente en la operación anterior puede despejarse fácilmente razonando cuál es la tasa de interés vencida a la que tendríamos que colocar el capital obtenido en préstamo (1 – d), para reconstruir el euro que dio origen a la operación:

(1 − d)(1 + i) = 1

0,80(1 + i) = 1

Donde la tasa de interés vencida i resulta ser del 25 %, resultado al que también llegamos razonando el rendimiento que tuvo el prestamista:

Este tipo de descuento tiene una característica distintiva: la tasa que se utiliza en la operación es una tasa de descuento o adelantada, ya que se calcula sobre el valor que el documento tendrá en el futuro. A esta tasa de descuento le corresponda una tasa equivalente i vencida, que en nuestro ejemplo resulta ser del 25 %. Por lo tanto, el verdadero coste efectivo de la operación de descuento siempre hay que medirlo en términos de tasa de interés vencida.

Hay numerosos casos en la vida real donde aparecen operaciones que tácitamente involucran una tasa de descuento. Por ejemplo, los bienes que se venden con un precio de lista (que puede abonarse con tarjeta de crédito) o con un descuento por pago al contado. Suponga que un bien puede adquirirse según las siguientes condiciones:

Precio lista: 100 Precio al contado: 10 % de descuento

El precio de lista puede abonarse con tarjeta, y tenemos la opción de abonarlo al contado con un descuento. Supongamos que el resumen de la tarjeta habría que pagarlo dentro de 30 días. Pero la pregunta que debemos hacernos es: ¿cuál es el interés mensual que terminamos pagando si no aprovechamos el 10 % de descuento? Podemos despejar el coste de financiar la compra con tarjeta con la fórmula para despejar la tasa vencida a partir de la tasa de descuento:

Si hubiéramos abonado la compra al contado, habríamos desembolsado 90 € (100 menos un diez por ciento). Es fácil ver que de 90 a 100 hay un 11,11 %, teniendo en cuenta que al perder el descuento, terminamos abonando 100 dentro de un mes y esto implica un coste del 11,11 %. Es posible establecer una relación de equivalencias entre tasas de descuento y tasas de interés vencidas, como se observa en la tabla 2.8:

Tabla 2.8 Equivalencia entre tasas vencidas y de descuento

Obsérvese cómo la diferencia entre ambas tasas aumenta a medida que aumenta el valor nominal de la tasa de descuento. Por ejemplo, para un 50 % de descuento habría que colocar el dinero al 100 % para reconstituir el capital que dio origen a la operación.

La operación de descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal

En la práctica, el descuento de documentos se pacta generalmente con una tasa nominal anual de descuento, que llamaremos f(m), y se proporciona para la cantidad de días hasta el vencimiento del documento. De la proporción de la tasa nominal de descuento surge una tasa de descuento efectiva d para el plazo de la operación.

Ejemplo: se descuenta un documento en un banco cuando faltan 35 días para su vencimiento, pactándose una tasa nominal anual de descuento del 90 %. El descuento de la operación es:

Y el valor recibido:

Por supuesto, la tasa nominal de descuento del 90 % implicaba una tasa efectiva de descuento para 35 días de 8,63 %:

En el Capítulo 4, ahondaremos en las relaciones entre las distintas tasas, y veremos cómo es posible obtener una tasa efectiva de interés a partir de una nominal de descuento o una tasa efectiva de descuento a partir de una nominal de interés, y así sucesivamente.⁴

Descuento comercial y racional: dos medidas diferentes de una misma operación

En realidad, el descuento comercial y el descuento racional son dos medidas diferentes de una misma operación. Cuando en el ejemplo anterior se descontaba una suma de 1 € por un período y se recibían 0,80 €; los 20 centavos de diferencia representaban el descuento de la operación.

Si el análisis se efectúa a partir del capital inicial de 80 € que se obtenían en préstamo, el interés abonado es del 25 % y podía considerarse que los intereses eran abonados por período vencido, como supone el descuento racional (es como si analizáramos la operación desde abajo hacia arriba).

Si la operación se analiza «desde arriba», es decir, desde el valor final de 1 € y no desde el valor presente, hay un descuento de 0,20 y representaba un interés cobrado al principio de la operación, resultando una tasa de descuento o adelantada del 20 %:

Matemáticamente, resulta fácil demostrar que el descuento racional y el comercial son lo mismo, si sustituimos en la fórmula del descuento comercial el valor de C_n:

D = C_ndn

Y como V = C_n(1 − dn), entonces

Sustituyendo C_n en la expresión del descuento comercial acumulado, queda:

Observe que esta última expresión es igual a la expresión del descuento racional, ya que d / (1 – dn) = i, entonces quedaría D = V_rin , que es igual a la expresión del descuento total para el descuento racional. También puede observarse la equivalencia si reemplazamos V_r en la fórmula del descuento racional:

Como i / (1 + in) = d, entonces D = C_ndn, que es igual a la expresión del descuento total para el descuento comercial.

Cuadro de evolución del descuento comercial

Prescindiremos ahora de la notación simbólica para mostrar una relación importante. Observe en la tabla 2.9 que el valor presente del documento es igual a cero al final del quinto período:

Tabla 2.9 Evolución del valor presente en el descuento comercial

Como en el régimen simple de descuento, este se calcula siempre sobre el valor final de la operación, el descuento periódico es constante. Las relaciones más importantes se analizan en la siguiente sección, para tratar luego el tiempo que tarda el descuento en anular el valor del documento.

Fórmulas derivadas del descuento comercial

A continuación, se muestran las fórmulas utilizadas en las operaciones de descuento comercial, haciendo la salvedad de que d es una tasa efectiva. En los casos en los que las operaciones se pactan con una tasa nominal de descuento, esta debe ser proporcionada para el período de la operación.

Tabla 2.10 Fórmulas del descuento comercial

Valor actual	Tasa de descuento	Número de períodos	Descuento acumulado
V = Cn(1 − dn)			D(0,n) = Cndn

Análisis del descuento comercial

Como los intereses descontados siempre se calculan sobre el mismo valor nominal (o capital final), los descuentos periódicos practicados son siempre iguales (si es que no se modifica la tasa de descuento utilizada). Por lo tanto, los descuentos acumulados serían:

a. Descuentos acumulados

D(0,n) = D_(0,1) + D_(1,2) + D_(2,3) + ... + D_(n−1,n) = C_ndn

Por lo tanto, D_(0,n) = Cn − V = Cn − (Cn − Cn × d × n) = Cn × d × n

D(0,n) = C_n − V = C_n − (C_n − C_ndn) = C_ndn

De manera que el descuento acumulado es igual a n veces el descuento periódico.

b. Intensidad periódica del descuento o descuento efectivo: el descuento efectivo es creciente, ya que si bien el descuento periódico es constante, la proporción en relación con el valor presente aumenta en cada período:

Al aumentar el número de períodos p, el denominador es menor y, en consecuencia, el resultado es cada vez mayor.

El valor presente en el descuento comercial aparece representado en la figura 2.5. Es una función lineal de la forma y = -ax + b válida en el intervalo comprendido entre n = 0 y n = 1 / d; corta a los ejes en los puntos (0,1) y (1 / d,0) y tiene un coeficiente angular igual a (-d), donde d representa la pendiente de la función, que es decreciente, ya que a medida que descontamos el valor nominal por un período mayor, el valor presente desciende. La función descuento se observa en la figura 2.6 y también es una función lineal, pero creciente desde n = 0 y teniendo por techo el valor nominal cuando n = 1 / d (no puede descontarse más que el capital total que dio origen a la operación).

Figura 2.5 Valor presente con descuento comercial.

Figura 2.6 Descuento acumulado en el descuento comercial.

Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o documento

En teoría, como pudo observarse en el cuadro de evolución, el descuento comercial puede llegar a hacerse igual o superior al valor del capital descontado. En el primer caso, supondría un valor presente nulo y en el segundo se obtendría un absurdo matemático, ya que el valor presente del documento sería negativo.⁵

El tiempo en que un capital se anula es igual a la inversa (recíproco) de la tasa de descuento:⁶ para obtener el número de períodos que anula el valor del documento, simplemente igualamos a 0 (cero) el valor presente:

Si 1 – dn = 0, despejando el número de períodos tenemos

El descuento comercial podría ser tachado de irracional por el caso extremo mencionado, pero si recordamos que en la práctica su uso se limita a plazos cortos, dicha circunstancia no se presenta.

Acerca de la controversia entre «descuento» y «actualización»

La noción del valor presente representa una de las ideas más importantes en finanzas y tiene una multiplicidad de aplicaciones. En algunos textos latinoamericanos al valor presente a veces se lo llama «valor actual». Por otra parte, en finanzas es común hablar de «tasa de descuento» para calcular un valor presente utilizando una tasa de interés vencida en el cálculo. La denominación tasa de descuento es una traducción de la expresión en inglés discount rate y ha generado cierta confusión cuando se habla de tasa de descuento comercial o anticipada o adelantada.

¿Es correcto hablar de descuento o de actualización? Si nos atenemos a la definición del verbo «actualizar» de la Real Academia Española, en su vigésima segunda edición define «actualizar» como:

1. tr. Hacer actual algo, darle actualidad. U. t. c. prnl.

2. tr. Poner al día.

3. tr. Poner en acto, realizar.

4. tr. Ling. Hacer que los elementos lingüísticos abstractos o virtuales se conviertan en concretos e individuales, constituyendo mensajes inteligibles.

Por lo tanto, si tenemos en cuenta lo que dice la RAE en el punto 2, es más apropiado hablar de valor presente, pues en realidad actualizar significa «poner al día», que es un proceso que remite del pasado al presente, y no del futuro al presente como es el caso que tratamos.

Preguntas de autoevaluación

1. ¿Por qué la operación de descuento comercial involucra una tasa de interés implícita?

2. ¿Por qué decimos que en el régimen simple las tasas de interés son siempre nominales?

3. ¿Cuánto tiempo tarda el descuento en anular el valor de un documento?

2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos

Se dice que dos capitales son equivalentes en una fecha dada cuando a la misma tasa, tienen igual valor presente. Este es un principio matemático de amplio uso en las finanzas y dicha equivalencia puede ser calculada tanto con el descuento comercial como con el racional.

Vamos ahora a extender este principio para el caso del reemplazo de pagos. Cuando por alguna circunstancia un deudor no puede cumplir con una serie de pagos que estaban destinados a cancelar una deuda, es posible la refinanciación de la misma a través del vencimiento común o el vencimiento medio.

Vencimiento común

Se habla de vencimiento común cuando se reemplaza un conjunto de documentos por uno nuevo (cuyo valor es diferente a la suma de los documentos anteriores) y se establece un nuevo plazo de vencimiento (este plazo de vencimiento, es «común» para todos los documentos reemplazados). Entonces, se trata de reemplazar a varios capitales C₁, C₂... C_n, por un solo capital C_t con vencimiento en un período determinado t.

Recordemos que para que el nuevo pago que va a reemplazar a los anteriores sea equivalente desde el punto de vista financiero, el valor presente del nuevo pago (V) siempre debe ser igual al valor presente de los anteriores pagos. Suponiendo que el documento nuevo quiere reemplazar a otros dos cuyos vencimientos operaban dentro de uno y diez meses respectivamente, la expresión del valor presente del nuevo documento según el descuento racional sería:

En el vencimiento común, las incógnitas pueden ser dos: si predefinimos el plazo de vencimiento, la incógnita es el valor del nuevo documento; si predefinimos este último, la incógnita es el plazo de vencimiento.

Una vez obtenido el valor presente del nuevo pago (V), se calcula el valor nominal del nuevo documento (o capital final) utilizando simplemente la fórmula del interés simple. Si el nuevo documento se firmara con un vencimiento de dentro de 12 meses, su valor sería:

C_t = V (1 + i × 12)

Ejemplo: se ha documentado una deuda en 2 pagos a los 6 y 8 meses de plazo, por importes de 1.000 € y de 10.000 € respectivamente. De común acuerdo, deudor y acreedor deciden reemplazar esos dos pagos por uno solo, para hacer efectivo dentro de 10 meses. ¿Cómo determinar el valor de ese nuevo pago dentro de 10 meses, sabiendo que el valor de la tasa de interés vencida es del 2 % mensual? Resolveremos analizando por descuento comercial y racional, de acuerdo con las equivalencias que fueron tratadas anteriormente.

a. Por descuento racional

El primer paso es calcular el valor presente de los dos documentos, para obtener el valor presente del nuevo documento, que se firmará con un vencimiento a diez meses:

Luego se calcula el valor nominal del nuevo documento mediante la fórmula del monto a interés simple, para diez períodos:

C₁₀ = 9.513,55 (1 + 0,02 × 10) = 11.416,25

El nuevo documento, firmado con vencimiento dentro de diez meses por un valor de 11.416,25 €, es equivalente a los dos documentos por 1.000 y 10.000 euros, que vencían dentro de 6 y 8 meses, respectivamente.

Un punto muy importante que debe remarcarse es que en el régimen simple siempre debe calcularse primero el valor presente del documento, para después calcular su equivalente en otra fecha futura. Por ejemplo, el documento de 1.000 € que vencía a los 6 meses tiene un valor presente de 892,85; la diferencia de 107,15 son los intereses entre el momento 0 y el mes 6; si capitalizáramos el valor nominal del documento (1.000) para llevarlo directamente a la fecha futura donde vencerá el nuevo documento, esto sería incorrecto, puesto que se estaría capitalizando los intereses y se transformaría la operación en una de interés compuesto.

b. Por descuento comercial

Si la tasa de interés vencida es del 2 % mensual, la tasa de descuento equivalente es influida por el número de períodos, según vimos antes en este mismo capítulo, donde la obteníamos a partir de la siguiente expresión:

Para el primer documento, la d equivalente para 6 meses es

Y para el segundo documento la d equivalente para 8 meses es

Luego, resolvemos el valor presente de ambos documentos:

V = V₁ + V₂

V = 1.000 (1 – 0,01785 × 6) + 10.000 (1 – 0,01724 × 8) = 9.513,55

Que es el mismo valor obtenido a través de la fórmula del valor presente con descuento racional que vimos anteriormente. El valor nominal del nuevo documento también se calcula igual que antes, mediante la fórmula del monto a interés simple, para diez períodos:

C₁₀ = 9.513,55 (1 + 0,02 × 10) = 11.416,25

Vencimiento medio

Se habla de vencimiento medio cuando solo se modifica el plazo de vencimiento (es decir, que no se le cambia el valor a los pagos, ya que en este caso los capitales se reemplazan por un capital C_t que es igual a la suma de los capitales originales. Siguiendo con el ejemplo anterior, donde el valor presente de los dos documentos por reemplazar era de 9.513,55 €, debemos resolver el momento en que ese valor iguala a la suma de los dos documentos (C₁ + C₂).

Para obtener el plazo de vencimiento, se recurre a la fórmula que obtiene el número de períodos y que habíamos deducido de la fórmula del monto a interés simple:

La parte fraccionaria de la respuesta (0,81 meses), debe interpretarse como el 81 % de un mes de 30 días, lo que significaría que el plazo sería igual a 7 meses y 24 días.

A diferencia del vencimiento común, cuando tenemos un problema de vencimiento medio la incógnita puede ser una sola: el número de períodos, ya que el valor nominal del nuevo documento es predefinido como la suma de los valores nominales de los documentos que reemplaza y, por lo tanto, no es una incógnita.

Observe que el valor del número de períodos se ubica entre los dos vencimientos, como no podía ser de otra manera. Si lo analizamos desde los límites, el vencimiento común nunca podría haber caído en el período 6 o en el 8. En el primer caso, porque el valor presente de 10.000 € haría que la suma de los dos documentos sea menor que 11.000 €; y en el segundo porque en el período ocho 1.000 € capitalizados haría que la suma sea mayor que 11.000 €. Por lo tanto, necesariamente el vencimiento común debe ubicarse en el medio de los vencimientos. ¿Más cerca de 6 o de 8? La fecha del vencimiento común dependerá de dos cosas: a) el valor nominal de los documentos y b) la tasa de interés. El lector puede comprobar por su cuenta que:

• Si el orden de los vencimientos se hubiera invertido, con 10.000 venciendo en el mes 6 y 1.000 venciendo en el mes 8, el vencimiento común sería 6,17.

• Si la tasa de interés hubiera sido del veinte en lugar del dos por ciento, el vencimiento común caería en 7,79.

Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el descuento comercial

a. En el descuento racional

El último punto de la sección anterior ilustraba una relación muy importante: aun para grandes cambios en la tasa de interés vencida, el vencimiento medio —en el descuento racional— se modifica muy poco. ¿A qué se debe? Cuando la tasa de interés aumenta, hay dos fuerzas que juegan en sentido contrario: por un lado crece el monto del documento cuya fecha de vencimiento es anterior a la del vencimiento medio y, por otro, se reduce el valor presente del documento cuyo vencimiento es posterior a la fecha del vencimiento medio.

En general, el vencimiento medio se mueve hacia la fecha de vencimiento del documento de mayor valor, pero un aumento en la tasa de interés produce el siguiente cambio: si el vencimiento del documento con mayor valor es el más lejano, el vencimiento medio se reduce; si por el contrario, el vencimiento es anterior al del documento con menor valor, el aumento de la tasa lo acerca a su fecha de vencimiento. Lo contrario se cumple para reducciones en la tasa de interés. Estos efectos son todavía más importantes en el régimen compuesto, y conocer esta relación tiene particular importancia en situaciones de la vida real, por ejemplo, en el diseño de carteras «inmunizadas» de títulos de renta fija.

b. En el descuento comercial

El caso del vencimiento medio en el descuento comercial plantea un caso interesante, ya que puede calcularse independientemente de la tasa de contrato de la operación. El principio de equivalencia nos dice que el valor presente del nuevo documento es igual a la suma de los valores presentes de los documentos que reemplaza:

C (1 − dt) = C₁ (1 − dt₁) + C₂ (1 − dt₂)

Distribuyendo y luego sacando el factor común queda:

C − Cdt = C₁ − C₁dt₁ + C₂ − C₂dt₂

Como en el vencimiento medio, en el nuevo documento C = C₁ + C₂ podemos simplificar la ecuación y queda:

Cdt = d (C₁t₁ + C₂t₂)

Finalmente, podemos despejar t:

Para el ejemplo anterior, resulta:

Y si se invirtieran los vencimientos, como fue mencionado anteriormente, el período t hubiera sido de nuevo 6,17:

En el caso particular de que C₁ = C₂ la fórmula quedaría:

Donde N representa el número de documentos. Observe que en estas expresiones no aparece la tasa de descuento de la operación. El resultado hubiera sido el mismo aunque la tasa de descuento hubiera sido del 2 % o del 200 %. Sin embargo, vimos que cuando aplicábamos el descuento racional, un cambio en la tasa de interés vencida tenía influencia, aunque muy poca, en el vencimiento medio de la operación. ¿Por qué en el descuento comercial el cambio en la tasa de descuento no influye sobre el resultado? Ya vimos que para que el descuento comercial y el racional arrojen exactamente el mismo resultado, tendríamos que utilizar para cada documento la tasa equivalente para cada período, según el vencimiento de cada documento. Así, tendríamos que calcular la d equivalente a la i en cada período, ya que la relación se ve alterada por el número de períodos, como fue demostrado anteriormente. En cambio, si utilizamos el descuento comercial y se predefine una tasa de contrato d, si bien es cierto que, cuanto mayor sea esta, menor será el valor presente de los documentos, inmediatamente aparece implícita una tasa vencida de arbitraje que iguala el valor presente con la suma de los documentos (11.000) siempre en idéntico plazo. Por ejemplo, si hacemos el cálculo con tasas de descuento de d = 2 % y d = 10 % mensual, el valor presente de los documentos en cada caso sería:

V_(d=2%) = 1.000 (1 – 0,02 × 6) + 10.000 (1 – 0,02 × 8) = 9.280

V_(d=10%) = 1.000 (1 – 0,10 × 6) + 10.000 (1 – 0,10 × 8) = 2.400

Luego el vencimiento medio en ambos casos sería:

Siempre hay implícita una tasa de interés vencida que hace que la colocación de 9.280 o de 2.400 (2,37 % mensual y 45,83 % mensual) alcance en 7,8181 períodos el monto de 11.000 €:

9.280 (1 + 0,0237 × 7,8181) = 11.000

2.400 (1 + 0,4583 × 7,8181) = 11.000

Por lo tanto, la tasa de descuento no influye en el vencimiento medio, ya que si esta aumenta, y con ello disminuye el valor presente de los documentos, luego surge una tasa de interés vencida mayor que vuelve a igualar el valor presente con la suma de los documentos siempre en el mismo plazo.⁷

Preguntas de autoevaluación

1. ¿Por qué en el cálculo del vencimiento común o el vencimiento medio debemos siempre calcular primero el valor presente?

2. ¿Por qué la tasa no influye en el vencimiento medio en el descuento comercial?

2.5 Resumen

Entendemos por régimen de interés simple aquel donde los intereses se calculan sobre el capital inicial. En la vida real, tenemos ejemplos de cálculo de los intereses bajo el régimen simple como los depósitos a plazo fijo, los intereses de la caja de ahorros en el interior del período de capitalización, los ajustes de deudas impositivas, indemnizaciones y otros.

En las operaciones de descuento, este se practica siempre sobre el valor nominal del documento, dando lugar a la conocida tasa «adelantada», «anticipada» o de descuento comercial, que involucra una tasa de interés vencida «implícita». Esta última es la que debe considerarse a la hora de establecer el verdadero coste financiero de una operación de descuento.

Por último, el principio de equivalencia de capitales nos dice que dos capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor presente. Esto es relevante en el caso de reemplazo de pagos para el vencimiento común y el vencimiento medio.

2.6 Preguntas

1. Marque la respuesta correcta en la siguiente afirmación: «En el régimen simple, si las tasas de interés cambian período a período, para calcular el monto dentro de n períodos, estas deben»:

a. Sumarse en la expresión (1 + i₁ + i₂ + … i_n)

b. Multiplicarse en los siguientes factores (1 + i₁) (1 + i₂) … (1 + i_n)

2. Marque cuáles de los siguientes atributos tiene una tasa nominal:

a. Representa la tasa contractual de la operación.

b. Es una tasa vencida, a interés simple.

c. Si contratamos un plazo fijo al 6 % anual por 30 días, y lo renovamos cada 30 días, el rendimiento efectivo anual siempre será igual a la tasa nominal anual del 6 %.

d. Es un coeficiente de comparación, sirve para comparar entre tasas nominales.

e. Si el período de capitalización es igual a 1 (uno), coincide con la tasa efectiva de la operación.

6. Marque la respuesta correspondiente en las siguientes expresiones:

a. En el régimen simple de intereses, el interés periódico es: (constante / creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódicas son (constantes / crecientes / decrecientes).

b. En el descuento comercial, el descuento periódico es: (constante / creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódicas de descuento son (constantes / crecientes / decrecientes).

c. El valor (máximo / mínimo) que puede tomar la tasa utilizada en una operación realizada por el descuento comercial en un régimen simple (varia proporcionalmente con la tasa de interés utilizada en la operación / depende del valor que adquiere el importe por descontar / es igual al inverso del número de períodos que tiene la operación).

4. Para poder utilizar la fórmula del monto a interés simple C_n = C₀ (1 + in), la condición es:

a. Que la tasa de interés se mantenga período a período.

b. Que la tasa de interés se mantenga período a período y además los períodos tengan la misma duración.

5. En el régimen simple de interés, la expresión d / (1 – d) = i permite obtener la tasa de interés vencida equivalente a la aplicada en una operación de descuento comercial. Señale cuál es la tasa de descuento efectiva de la operación cuando n ≠ 1, si en ese caso d es una tasa nominal o efectiva y a qué se debe. Por último, explique en la relación inversa d = i / (1 + i.n), con respecto a i, cuál es la tasa efectiva y la nominal. Además, mencione en qué caso tanto d como i pueden ser tasas nominales y efectivas de una operación al mismo tiempo.

6. Un individuo retira todos los meses el interés que le produce una cuenta de ahorros y utiliza ese dinero para vivir. Por la forma en que se realiza la operación, se asemeja al régimen simple. ¿Por qué? ¿Qué tendría que ocurrir para que dicha operación se transforme en régimen compuesto?

7. El descuento racional y el comercial son dos medidas diferentes de una misma operación. ¿En qué se diferencian?

8. ¿Por qué en el vencimiento medio siempre el plazo de vencimiento cae entre los documentos que se reemplazan? ¿Por qué nunca puede caer en un extremo? ¿Cuáles son las dos variables que lo acercan más al vencimiento de alguno de los documentos que se reemplazan?

9. Responda cuál de las siguientes equivalencias son correctas:

a. Un aumento de 14 veces = 1.300 % más

b. Una disminución de 2 veces = -100 %

c. Un aumento de 10 veces = 1.000 %

10. Si el peso colombiano cotiza a 1.810 $ por dólar el 18/2/2013 y el 19/2/2013 cotiza a 1.830 $ por dólar, tuvo un aumento diario de:

a. 1 %

b. 1,10 %

2.7 Problemas

La mayoría de los problemas, cuando existe una tasa nominal como dato, han sido resueltos suponiendo un año civil de 365 días, con excepción de los problemas 11, 15 y 16. No obstante, la utilización de un año comercial o civil es una cuestión de la legislación que rige para cada contrato financiero según cada país. Utilizar un año de 360 o 365 días para las resoluciones conduce a respuestas ligeramente diferentes.

1. Se depositan 100.000 € en un banco ganando una tasa de interés efectiva mensual del 0,5 %, durante un período de 30 días. Se desea saber el monto de la operación.

Respuesta: 100.500

2. Compruebe, para la operación anterior, que el interés producido fue de 500 €, pero utilizando la fórmula del interés acumulado.

Respuesta: 500

3. Se depositaron 20.000 € durante un lapso de 45 días, pudiendo negociar una tasa nominal anual del 10 %. Calcular el monto resolviendo el ejercicio para un año de 365 días.

Respuesta: 20.246,57

4. Al cabo de 30 días se obtuvo un interés de 1.000 € por un depósito a plazo fijo realizado a una tasa del 20 % nominal anual. Se desea calcular el importe de la inversión inicial.

Respuesta: 60.833,33

5. El 1/6/2001 un popular juego infantil podía adquirirse por 400 USD. En aquel momento, el dólar cotizaba 1 $ = 1 USD, de manera que su precio también era de 400 $. El 1/1/2004 su precio en dólares había bajado a 310 USD, pero el dólar cotizaba en esa fecha a 2,95 $ por dólar. Se desea saber cuál fue el incremento porcentual en pesos y el descenso porcentual en dólares.

Respuesta: 128,6 % y −22,5 % respectivamente

6. Sabiendo que el monto de una aplicación financiera es igual a 300.000 € y que se obtuvo una tasa de interés mensual del 1 % durante un período de 12 meses, calcular el capital inicial de la operación.

Respuesta: 267.857,14

7. El interés producido por una inversión realizada hace 30 días es de 10.000 €. Calcular el capital inicial que se ha invertido sabiendo que la tasa de interés pactada fue del 22 % nominal anual.

Respuesta: 553.030,30

8. Al cabo de 45 días se obtuvo un interés de 1.000 € por un depósito a plazo fijo realizado a una tasa del 5 % nominal anual. Se desea saber el importe del depósito inicial.

Respuesta: 162.222,22

9. Se depositaron 10.000 € durante un lapso de 30 días, pudiendo negociar una tasa nominal anual del 8 %. Calcular el monto de la operación.

Respuesta: 10.065,75

10. El día 1/1/2004 se depositaron en una institución bancaria 10.000 € y se retiró el dinero el día 20/2/2004, negociando una tasa nominal anual del 8 %. Calcular el valor final de la inversión en el momento en que se la retira.

Respuesta: 10.109,59

11. En un régimen simple de interés, se depositó un capital de 10.000 € al 5 % para 30 días por un lapso de 6 meses. Se desea saber el valor final o monto de la operación total y también qué monto habría obtenido el inversor si a los 120 días hubiera retirado la suma de 500 €.

Respuesta: 13.000 y 12.450

12. Se depositaron 15.000 € durante un lapso de 45 días, y se pudo negociar una tasa nominal anual del 24 %. Calcular el valor final de la inversión en el momento en que se retira.

Respuesta: 15.443,83

13. Si ha efectuado un depósito a plazo fijo por 50 días al 24 % nominal anual de interés, y 20 días más tarde se efectuó otro con igual fecha de vencimiento, pero pactado al 22 % nominal anual. La suma de los capitales invertidos fue de 35.000 €. Se desea calcular el importe de cada uno de los depósitos, sabiendo que en el vencimiento se retiraron 35.854,80 €.

Respuesta: C₁ = 15.000 y C₂ = 20.000

14. Un capital de 50.000 € fue distribuido en dos inversiones efectuadas a 60 y 30 días, ya que la segunda fue efectuada 30 días más tarde. La tasa de interés nominal anual pactada fue del 6 % y el interés total que se obtuvo ascendió a la suma de 394,52 €. Se solicita determinar el importe de cada inversión.

Respuesta: 30.000 y 20.000

15. Suponga que usted tiene en su tarjeta de crédito un saldo deudor de 1.000 €. El décimo día abona 500 € y el decimosexto compra bienes por 250 € abonando siempre con la tarjeta. La tasa de interés para financiar saldos deudores es del 36 % nominal anual. ¿Cuál es el saldo de la tarjeta al cabo de 30 días y cuál es el total de intereses devengados? Haga los cálculos para un año de 360 días y tenga en cuenta que el gasto de 250 € no genera intereses en el mes en curso (que es abril del año 2012).

Respuesta: intereses devengados: 20, capital adeudado: 770

16. Con respecto al ejercicio anterior, suponiendo que el propietario de la tarjeta solamente abonó la mitad del saldo deudor a fecha de 30/04/2012, ¿cuáles serían los intereses devengados al cierre del siguiente mes, el 31/05/2012?

Respuesta: 11,93

Ejercicios de descuento simple

17. Calcule el valor presente de un documento de 100 €, que es descontado un mes antes de su vencimiento, pactando una tasa nominal de descuento del 15 % anual, en la modalidad del descuento comercial. Determine el coste financiero efectivo de la operación y luego vuelva a realizar el cálculo, pero descontando el documento por un período de 2 (dos) meses.

Respuesta: i₃₀: 1,248 % i₆₀: 2,52 %

18. Un título de valor nominal de 20.000 € sufrió un descuento bancario con la tasa del 8 % anual a 60 días antes de su vencimiento, y se cobró una comisión de 1,8 % sobre el valor nominal. Calcular:

a. El valor efectivo recibido por el poseedor del título, neto de la comisión.

b. El coste efectivo de la operación.

Respuesta: a) 19.376,98 b) 3,21%

19. Se descuenta un documento de 2000 € en un banco cuando faltan 35 días para su vencimiento, y se ha pactado una tasa nominal anual de descuento del 20 %. Se desea saber el valor presente del documento y el descuento que se sufre en dicha operación.

Respuesta: 1.961,64 y 38,36

20. Es común que muchos bienes y servicios se ofrezcan con un precio de lista (normalmente se puede abonar el mismo con tarjeta de crédito) y un descuento por el pago al contado. Calcule el coste financiero implícito incluido en la siguiente lista de precios, suponiendo que la liquidación de la tarjeta de crédito debería abonarla 30 días después de la compra:

Respuesta: 33,33 %

21. Determinar el coste efectivo de una operación de descuento de un pagaré de 100.000 € con vencimiento a los 30 días, si se recibió después de descontarlo de la suma de 80.000 €.

Respuesta: 25 %

22. Calcular el vencimiento medio de tres documentos por 6.000, 10.000 y 8.000 € con vencimiento en 9, 5 y 8 meses, siendo la tasa de interés la misma en todos los casos.

Respuesta: 7 meses

23. Una persona debe afrontar los vencimientos de los siguientes documentos (descuento comercial):

6.000 € a 30 días de plazo

4.000 € a 60 días de plazo

8.000 € a 92 días de plazo

10.000 € a 72 días de plazo

Si desea cancelar esas deudas con un único pago de 28.000 €, ¿cuál deberá ser el plazo para ese documento?

Respuesta: 67 días

24. Una deuda de 500.000 € se cancela mediante tres pagos iguales a los dos, cuatro y seis meses. Determinar el importe de cada pago, sabiendo que la tasa de valuación es del 2 % mensual de interés simple.

Respuesta: 179.835,31

25. Una compañía adquiere materias primas pagando el precio bajo la modalidad «90 días neto», que significa abonar el precio de lista a los 90 días sin ningún descuento. El proveedor ofrece una alternativa que consiste en abonar a los 30 días con una TNA de descuento del 20 %. Para aprovecharla, se estudia la conveniencia de abonarle al proveedor a los 30 días, de acuerdo con las siguientes condiciones:

a. Descuento de documentos de terceros a 60 días. Tasa nominal anual de descuento: 20 %. La entidad financiera exige mantener un saldo de apoyo en cuenta corriente equivalente al 2 % (tasa efectiva para 60 días) del valor nominal descontado.

b. Venta de documentos a una compañía financiera al 18 % nominal anual de descuento a 60 días; además, se cobra sobre el valor nominal una comisión del 3 %, gastos administrativos del 2 % y sellado del 1 %. Todos los gastos, comisiones e impuestos se abonan por adelantado.

c. Utilización de adelanto en cuenta corriente renovable cada 15 días; la tasa nominal anual de interés es del 25 %.

Se solicita determinar cuál es la alternativa más conveniente para la compañía.

Respuesta: alternativa c, con un coste financiero del 4,11 %

2.8 Respuesta a las preguntas

1. a

2. a, b, d y e

3. a. constante/decrecientes

b. constante/crecientes

c. máximo/es igual al inverso del número de períodos que tiene la operación

4. b

5. En la expresión i = d / (1-d.n) la tasa efectiva de descuento es d.n, donde d es la tasa nominal de la operación, pues el descuento se realiza por n períodos. A la inversa, en la expresión d = i / (1+i.n), la tasa efectiva de interés es i.n, pues habría que colocar el valor presente recibido durante n períodos a la tasa i para reconstruir el capital de la operación. En ese caso, i es una tasa nominal. Cuando n = 1, entonces tanto d como i son tasas efectivas en las fórmulas de equivalencia.

6. Al retirar su dinero periódicamente, no permite que se capitalicen los intereses.

7. El descuento comercial analiza el descuento asumiendo que este se practica sobre el capital que debe devolverse; el descuento racional asume que el descuento se practica sobre el valor recibido en préstamo.

8. El vencimiento medio siempre cae entre los vencimientos de los documentos que reemplaza, pues: a) nunca puede caer en el extremo inferior de vencimientos pues el valor presente de los documentos que se reemplazan sería menor que la suma de los documentos, y b) nunca podría caer en el extremos superior de vencimientos pues los valores capitalizados serían mayores a la suma de los valores nominales de los documentos. Se inclinará el vencimiento medio más a un vencimiento u otro, dependiendo de a) los valores nominales de los documentos, y b) la tasa de interés.

9. a

10. b

2.9 Resolución de los problemas

1. Es un ejercicio sencillo de interés simple, donde se deposita un capital a una tasa de interés efectiva mensual. En los mercados financieros, se sobreentiende siempre que una tasa mensual siempre se refiere a un mes de 30 días. Aplicando la fórmula del monto a interés simple, tenemos:

Co(1 + in) = 100.000 (1 + 0,005 × 1) = 100.500

Observe que el número de períodos de la operación es igual a uno, ya que se supone que estamos realizando un depósito por «un período», que en este caso es un mes. Cuando el período de la operación es «1», la tasa nominal y la efectiva son exactamente iguales. También se observa que la tasa de interés aparece expresada en «tanto por uno» (0,5 / 100 = 0,005), que es lo que se hace siempre en las operaciones de matemática financiera.

2. I(0,n) = C₀in = 100.000 × 0,005 × 1 = 500

3.

4. En este caso, como el dato disponible es el interés acumulado, despejamos el capital inicial de la fórmula para I(0,n):

5. Para saber el porcentaje de descenso en dólares, dividimos el precio nuevo por el precio viejo, siempre en dólares, y restamos el 1:

Note que el cociente entre 310 y 400 nos dice qué porcentaje representa 310 de 400 (77,5 %); al restar el 1, nos da el porcentaje en que debe descender 400 para transformarse en 310. Otra forma de razonar esto es asimilar el descenso del precio a una tasa de descuento:

La fórmula anterior resulta de despejar la tasa de descuento de la fórmula del valor presente con descuento comercial C₀ = C_n (1 – dn), ya que el porcentaje de descenso puede asimilarse a un descuento. Ahora bien, como aumentó la cotización del dólar, el juego cuesta en pesos 310 × 2,95 = 914,50. Para saber el incremento porcentual en pesos, dividimos el nuevo precio en pesos por el viejo precio en pesos:

6.

Note que en el interés simple las tasas se suman; en esta operación puede verse que se ganó 12 veces el 1 % mensual si realizamos la operación inversa partiendo del capital inicial hasta llegar al monto:

C₀(1 + in) = 267.857,14 (1 + 0,01 × 12) = 300.000

7. Como tenemos como dato disponible el interés obtenido, simplemente despejamos el capital de la fórmula. En este caso, la tasa de interés es una tasa nominal, por lo que debemos proporcionarla para el período de la operación:

Observe que se partió de la fórmula del interés I(0,n) = C₀in y se despejó el capital inicial, quedando C₀ = I(0,n) / in; lo que ocurre es que al tratar con una tasa nominal debimos proporcionarla previamente. Una vez expresada la tasa en 30 días, el número de períodos de la operación n = 1.

8.

9. Observe que cuando proporcionamos la tasa del 8 % anual a los 30 días obtenemos una tasa efectiva mensual del 0,6575 %.

10. En los mercados financieros, generalmente se conviene que el día de la aplicación (1/1/2004) gana intereses, no así el día del retiro (20/02/2004). Por lo tanto, contamos 31 días para enero y 19 para febrero, en total 50 días.

11. Capital al final de los 6 meses: 10 000(1+0,05×6) = 13 000

Retirando 500 € al final de los 120 días (cuatro meses):

10.000(1+0,05×6) − 500(1+0,05×2) = 12 450

También puede resolverse haciendo explícita la operación, calculando el monto al final de los 120 días, luego restar el retiro de 500 €, y finalmente sumar los intereses calculados bajo el régimen simple:

Note que los intereses de los últimos dos meses se calcularon sobre 9.500, ya que se supone que los 500 se retiran del capital inicial, siguiendo estrictamente las reglas del interés simple.

12.

13. Como C₁ + C₂ = 35.000, podemos reexpresar C₁ en función de C₂

(35.000 × 1,032876 − C₂1,032876 + C₂1,018082 = 35.854,80

C₂(−0,014794) = −295,86

Como C₂ = 20.000, reemplazando en (C₁ + C₂) = 35.000, resulta C₁ = 15.000.

14. Como C₁ + C₂ = 50.000, podemos expresar C₁ en función de C₂ y luego igualar la suma de los intereses ganados en cada inversión al interés total obtenido:

493,15 − C₂0,009863 + C₂0,0049315 = 394,52

−C₂0,0049315 = −98,63

Finalmente C₂ = 20.000 y, por lo tanto, C₁ = 30.000.

15. Los intereses se calculan sobre saldo deudor que se arrastra desde el mes anterior; sobre el gasto de 250 € del mes en curso, no se calculan intereses por corresponder al período que financia la tarjeta.

Saldo al 30-4-2012 = 500 + 20 + 250 = 770

16. Intereses al

17. El valor presente del documento es

El verdadero coste efectivo de la operación debemos medirlo en tasa de interés vencida, por lo que después de calcular la tasa de descuento calculamos su correspondiente equivalente vencida:

Luego, el cálculo para 2 meses:

La tasa de descuento para 60 días resulta ser el doble de la tasa de 30 días, pero aquí debemos alertar acerca del coste efectivo de la operación. En el régimen simple, cuando calculamos la tasa de interés vencida a partir de la tasa de descuento, la cantidad de períodos influye en la relación de equivalencia (cosa que no ocurre en el interés compuesto), y esta es calculada con la fórmula:

i₆₀ = 0,0126 × 2 = 0,0252 = 2,52%

Ya que, si colocamos 97,53 € al 1,26 % mensual durante 2 meses, obtendremos 100 €; en régimen simple, para una operación de dos meses, el 1,26 % es una tasa nominal, ya que la tasa efectiva de la operación de dos meses es el 2,52 % (1,26 % × 2). En otras palabras, un capital de 97,53 colocado al 1,26 % mensual durante dos meses reproduce los 100 € que era el valor nominal del documento:

97,53 (1+0,0126×2) = 100

18. El valor presente del documento es:

La comisión se cobra sobre el valor nominal: Comisión (20.000 0,018) 360

El valor efectivo recibido es 19.736,98 − 360 = 19.376,98.

Luego, a través del cociente entre el valor nominal y el valor efectivamente recibido podemos calcular el coste efectivo de la operación en términos de tasa de interés vencida:

19. El valor presente recibido es:

y el descuento comercial:

20. En el precio de contado, como resulta obvio, hay un descuento implícito del 25 %, que también podemos determinar mediante la fórmula de la tasa de descuento en el descuento comercial. Si hay una tasa de descuento, hay siempre una tasa de interés vencida equivalente:

También podemos calcular la tasa de interés vencida (que en el caso del pago con tarjeta funciona como un recargo sobre el precio de contado) realizando el cociente entre el monto y el valor presente y restarle 1 (uno):

21. Usted puede calcular el coste efectivo haciendo un análisis un poco largo, calculando primero la tasa efectiva de descuento y finalmente su equivalente vencida. Si recordamos que Co = Cn (1 – dn), siendo n = 1, tenemos que la tasa de descuento d es igual a:

Observe que siempre en las fórmulas donde se despeja la tasa de descuento a partir de los datos capital inicial y monto, siempre aparece el número 1 primero y luego se resta el cociente Co/Cn, ya que si a la unidad le restamos la proporción que representa el capital inicial o valor descontado sobre el valor nominal, nos da la tasa de descuento. Luego podemos calcular la tasa de interés vencida equivalente con la conocida fórmula de equivalencia:

Pero podríamos haber hecho el cálculo de una forma más rápida, igualando factores de capitalización. Para transformar un factor de descuento en uno de capitalización, debemos expresarlo con el exponente −1. Luego podemos establecer la equivalencia:

Y simplemente despejar la tasa de interés vencida i a partir de los datos capital inicial y monto, sin necesidad de pasar por la tasa de descuento (que, por otra parte, no era solicitada en el ejercicio).

22.

23. Aplicando la fórmula del «atajo» para el vencimiento medio:

Tendremos:

24. Expresando la igualdad para una corriente de tres pagos iguales, solo debemos despejar la incógnita X:

Primero, sacamos factor común X:

Finalmente, resolvemos para X:

25. En primer lugar, el coste financiero de pagar al proveedor a 30 días y no a 90 involucra un descuento del 3,29 % efectivo por 60 días, que es equivalente a una tasa vencida para el mismo plazo del 3,40 % [0,0329/(1-0,0329)], de modo que el coste de oportunidad del período de 60 días, es del 3,40 %. Para saber cuál es la mejor alternativa de financiamiento, debemos comparar el coste financiero de cada alternativa para un período de 60 días.

a. En este caso, la tasa de descuento nominal para 60 días equivale a una tasa de descuento efectiva d = (0,20 × 60 / 365) = 3,29 %. Pero como además se exige inmovilizar el 2 % del valor descontado, el total recibido por cada 100 € es 100 – 3,29 – 2 = 94,71 €. El coste financiero para 60 días resulta ser entonces: 100 / 94,71 – 1 = 5,58 %.

b. La tasa de descuento nominal para 60 días equivale a una tasa de descuento efectiva d = (0,18 × 60 / 365) = 2,96 %. Pero como además deben abonarse al contado comisiones (3 %), gastos administrativos (2 %) y un sellado (1 %), el total recibido por cada 100 € es 100 – 2,96 – 3 – 2 – 1 = 91,04 €. El coste financiero para 60 días resulta ser entonces 100 / 91,04 – 1 = 9,84 %.

c. En este caso, el coste efectivo para 60 días es 0,25 × 60 / 365 = 4,11 %.

No conviene pagar por adelantado al proveedor, ya que el descuento que ofrece es muy bajo, incluso comparado con la alternativa más barata de financiamiento analizada, cuál es el adelanto en cuenta corriente bancaria.

2.10 Contenido de la página web de apoyo

El material marcado con asterisco (*) solo está disponible para docentes.

Mapa conceptual

Autoevaluación

Presentaciones*

____________

¹ La función del monto a interés simple, en una visión estrictamente matemática, no supone que se retiren los intereses del capital (si así fuera, cabe pensar que podrían esos intereses depositarse en otra institución, con lo cual se generarían nuevos intereses, transformándose en una operación de interés compuesto). Sin embargo, el contraargumento es que en la práctica es posible encontrar casos donde se retiran los intereses del capital; en ese caso, los intereses no producen nuevos intereses (por ejemplo, cuando alguien retira la renta que genera algún activo para consumirla).

² Se entiende por «capitalización de intereses» al momento en que estos se convierten en capital, que es el momento en el cual se acreditan.

³ En este ejemplo, se ha trabajado con una tasa efectiva de descuento que llamamos d (cuando el período de la operación es uno solo, la tasa nominal de descuento y la efectiva de descuento son iguales).

⁴ Cuando la capitalización es continua las tasas de interés y de descuento se igualan.

⁵ Esto solo tiene valor como curiosidad matemática. En la práctica, nadie descuenta un documento para no recibir nada, o lo que es más absurdo, tener que dar dinero para no recibir nada a cambio.

⁶ También puede decirse que el valor del documento se anula cuando la tasa es igual a la inversa del número de períodos.

⁷ El valor de la tasa de interés sí influye en el vencimiento medio con descuento racional. La explicación requiere observar los cambios en el valor de la función vencimiento medio para cambio en el valor de la tasa de interés, derivando la función.

«La magnitud de las cantidades de dinero parece variar en modo notable según hayan de ser pagadas o cobradas.»Aldous Huxley (1894-1963),poeta y novelista inglés

3

Interés compuesto

Contenido

3.1 Introducción

3.2 Monto a interés compuesto

3.3 Descuento compuesto con tasa de interés vencida

3.4 Descuento compuesto con tasa anticipada

3.5 Resumen

3.6 Preguntas

3.7 Problemas

3.8 Respuesta a las preguntas

3.9 Resolución de los problemas

3.10 Contenido de la página web de apoyo

Objetivos

• Calcular montos y rendimientos cuando hay interés compuesto.

• Calcular medias geométricas o tasas de interés equivalentes compuestas.

• Calcular un valor presente.

• Determinar capitales equivalentes.

3.1 Introducción

Cuando hablamos de interés compuesto nos referimos al régimen en el que los intereses se capitalizan, es decir, pasan a formar parte del capital; a diferencia del interés simple, en el régimen compuesto, el interés se incorpora al capital y produce nuevos intereses. La tasa de interés se aplica sobre el saldo inicial y los intereses generados y no pagados en períodos anteriores. Al proceso de incorporar los intereses generados y no pagados en períodos anteriores se denomina capitalización de los intereses, es decir, los intereses generados y no pagados van a formar parte del capital. En cambio, en el interés simple, la tasa de interés se aplica solamente sobre el capital inicial.¹

En la vida real, aparece el interés compuesto, por ejemplo, cuando renovamos un depósito a plazo fijo sin retirar los intereses; los intereses obtenidos en la primera aplicación se integran al capital y producen interés compuesto en el segundo período.

Podemos hablar de régimen compuesto en sus dos acepciones, es decir, capitalización y descuento, que puede practicarse con una tasa de interés vencida o con una tasa «anticipada» o «adelantada». En la primera, partimos de una suma de dinero hoy, generando intereses hacia el futuro; en el descuento, por el contrario, una suma de dinero futura es expresada en el presente.

Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de:

• Calcular montos y rendimientos cuando hay interés compuesto.

• Calcular medias geométricas o tasas de interés equivalentes compuestas.

• Calcular un valor presente.

• Determinar capitales equivalentes.

3.2 Monto a interés compuesto

Suponga que usted posee hoy la suma de 1 € y cuenta con la posibilidad de colocarla en una institución bancaria al 10 % de interés durante un año. Al final del mencionado período, la cuenta acumularía 1,10 €; los diez céntimos de interés ganados en la operación representan el valor tiempo del dinero, es decir, el pago recibido como consecuencia de sacrificar consumo presente para, eventualmente, disponer de un consumo mayor en el futuro:

Observe que cuando finalizó el primer período, el interés que se obtuvo es el mismo que se habría obtenido en el régimen simple, pues en un período todavía no hay capitalización de intereses. Luego, usted podría renovar la operación sucesivamente, de manera que la suma de dinero crezca a lo largo de varios períodos. Por ejemplo, si la operación se renovara durante 5 años, su cuenta acumularía 1,61 € según puede apreciarse en la figura 3.1:

Figura 3.1 Monto a interés compuesto.

El monto de la operación depende de dos variables: el tiempo por el cual se realiza esta y la tasa de interés de la operación. Obviamente, cuanto mayor sean la tasa de interés y el tiempo de la operación, mayor será el monto o valor futuro. La figura 3.2 muestra la evolución de un capital de 1 € compuesto a lo largo de 50 años con tasas de interés anuales del 8, 9 y 10 por ciento respectivamente. En una operación financiera, el valor de la tasa de interés, en un período largo, puede constituir una diferencia importante.

Figura 3.2 Monto a interés compuesto con distintas tasas de interés.

En la tabla 3.1 puede apreciarse la fuerza del interés compuesto. Mientras que a una tasa del 8 % el capital crece 46,9 veces (459 %) en 50 años, con una tasa del 10 % lo hace 117,39 veces (11.639 %). Elegimos tasas cercanas al 10 % anual, pues representan un rendimiento muy cercano al rendimiento promedio de los índices bursátiles cuando son medidos en un período largo.

Tabla 3.1 Monto compuesto para diferentes tasas de interés

Año	i = 8 %	i = 9,0 %	i = 10 %
0	1,00	1,00	1,00
10	2,16	2,37	2,59
20	4,66	5,60	6,73
30	10,06	13,27	17,45
40	21,72	31,41	45,26
50	46,90	74,36	117,39

Características principales del interés compuesto

1. Los intereses siempre se calculan sobre el monto acumulado al final del período anterior, de manera tal que existe capitalización de intereses; en sentido estricto, capitalización significa que los intereses se incorporan al capital, haciendo que los intereses produzcan más intereses.

2. Se deduce del punto anterior que los intereses representan una suma variable, a medida que la incorporación de los intereses hacen que el capital sobre el que se calcularon, aumente período a período.

3. El capital tiene un crecimiento que es proporcional a su valor durante el período anterior. La constante de proporcionalidad es la razón entre el valor en un período y el anterior (1 + i).

Describimos a continuación, a fin de poder mostrar las relaciones entre los distintos componentes de una operación a interés compuesto, el cuadro de evolución progresiva del interés compuesto:

Evolución del interés compuesto

Tabla 3.2 Evolución del interés compuesto

Período	Capital Inicial	Interés	Monto periódico
1	C0	I(0,1) = C0i	C1 = C0 + C0i = C0(1+i)
2	C0(1+i)	I(1,2) = C0(1+i)i	C2 = C0(1+i) + C0(1+i)i = C0(1+i)2
p	C0(1+i)p-1	I(p–1,p) = [C0(1+i)p-1]i	Cp = C0(1+i)p

Por lo tanto, la fórmula genérica del monto compuesto para n períodos, resulta ser:

Ejemplo: se depositan 1.000 € al 10 % mensual durante un período de 5 meses. El monto al final del quinto mes es:

1.000 (1 + 0,10)⁵ = 1.610,51

Monto a interés compuesto cuando la tasa de interés varía

En el ejemplo anterior, suponíamos que la tasa de interés se mantenía constante a lo largo de todo el período de la operación. En la práctica, esta situación es muy difícil que ocurra; lo usual es que la tasa de interés se modifique. En ese caso, deberemos utilizar distintas tasas para cada período, i₁, i₂... i_n, y el monto resultante surgirá de la siguiente ecuación:

C_n = C₀ (1 + i₁) (1 + i₂) ... (1 + i_n)

Ejemplo: David realizó un depósito a plazo por 100 mil € en una institución financiera y durante el primer mes ganó el 2 % mensual; el monto de ese dinero lo invirtió en una cartera de inversión que le redituó un 3 % en el segundo mes, y, finalmente, obtuvo un 5 % en el tercer mes invirtiendo el dinero en otro depósito a plazo. El monto final al cabo de los tres meses puede calcularse como:

100 (1 + 0,02) (1 + 0,03) (1 + 0,05) = 110,3

Como puede apreciar, en el régimen compuesto, los factores de capitalización (1+i) se multiplican. La operación puede apreciarse mejor con un diagrama del flujo de caja:

Figura 3.3 Evolución del monto cuando las tasas de interés varían.

Excel 2010 incluye una función «VF.PLAN», que permite calcular el monto cuando las tasas de interés varían; simplemente, deben ubicarse las tasas de interés en forma de columna:

Figura 3.4 Función del monto cuando las tasas de interés varían.

Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto

Con simples pasajes de términos, podemos despejar de la fórmula [3.1] el capital inicial, la tasa de interés, el número de períodos y el interés acumulado. Al pasar el capital inicial dividiendo al monto, tenemos:

Observe que el cociente entre el monto y el capital inicial es igual al factor de capitalización. Por lo que podemos obtener la tasa de interés sacando raíz enésima del cociente y restando el 1 (uno), y el número de períodos aplicando logaritmo en ambos miembros.

La tasa de interés también puede calcularse con la siguiente fórmula, que resulta más cómoda de obtener con calculadora. Como veremos inmediatamente en un ejemplo, esta fórmula es muy utilizada en el mercado financiero, para calcular el rendimiento promedio que se obtuvo en un período, y que constituye una media geométrica.

Otra forma es obtenerla por antilogaritmo:

La utilización de la primera expresión suele ser más práctica, al trabajar con calculadoras de bolsillo que incluyan la función de potencia.

Intereses acumulados

Si quisiéramos calcular los intereses acumulados entre el momento 0 y el momento n, simplemente podríamos hacerlo por diferencia entre el monto y el capital inicial:

I(0,n) = C_n − C_n

Como C_n = C₀(1 + i)ⁿ I(0,n) = C₀(1 + i)ⁿ − C₀

I(0,n) = C₀ [(1 + i)ⁿ − 1]

Aplicaciones del interés compuesto en la vida real

A continuación, veremos algunos ejemplos de aplicación de las fórmulas del interés compuesto a situaciones de la vida real.

Rendimientos de las bolsas en Latinoamérica y EE. UU.

La tabla 3.3 contiene los valores de los índices de bolsa de varios países latinoamericanos y de EE. UU. Las últimas dos filas calculan el rendimiento anual medido como una tasa de rendimiento compuesta (geométrica) para los últimos veinte años y para los últimos diez años, respectivamente. En todos los casos, los valores de los índices fueron expresados en dólares tomando la cotización del 30 de diciembre de cada año. Para calcular el rendimiento anual adaptamos la fórmula [3.2], donde ahora Cn = valor del índice en diciembre de 2012 y Co = Valor del índice al comienzo. Si bien n = cantidad de años, para reflejar un cálculo que compute todos los días del año, se utilizó como exponente (365/cantidad de días del período). Por ejemplo, para el cálculo del rendimiento de la Bolsa de Valores de Colombia entre diciembre de 2012 y diciembre de 2003:

Tabla 3.3 Rendimientos anuales en dólares, Latinoamérica y EE. UU.

Tanto en Venezuela como en Argentina existe una brecha de cambio entre el dólar oficial y el paralelo, que modificarían los valores obtenidos. Elaborado en base a datos de Economatica.

Como puede apreciarse, la media geométrica varía mucho depende del período que se tome para calcularla.

El interés compuesto y las medias geométricas

Hay varios fenómenos de la vida real que involucran una «composición de magnitudes». A continuación veremos algunos ejemplos.

En el Capítulo 1, comentamos la leyenda sobre la vida de Hetty Green (1834-1916), también conocida como «la bruja de Wall Street». Cuenta la historia que Hetty Green recibió como herencia de su padre un millón de dólares y centuplicó su valor al cabo de 50 años. La filosofía que Green utilizaba para tomar sus decisiones puede ser resumida en sus propias palabras:

Yo no creo mucho en las acciones. Nunca compro acciones de empresas industriales. La construcción de inmuebles y caminos son las cosas que me gustan. Antes de decidir una inversión procuro toda la información posible acerca del negocio. No hay secretos para hacer una fortuna. Todo lo que usted debe hacer es comprar barato y luego vender más caro, actuar racionalmente y ser persistente.

Aunque no se sabe con certeza cuál fue el monto de la riqueza que acumuló a la fecha de su fallecimiento, se dice que su millón heredado se convirtió en casi 100 millones 51 años después. Debemos percatarnos de que esto puede alcanzarse con una tasa ligeramente superior al 9,5 % anual a interés compuesto, como puede verse en la figura 3.5.² Los beneficios del interés compuesto requieren un horizonte de largo plazo. El punto clave es que el valor de un capital fijo se incrementa con el paso del tiempo.³

Figura 3.5 Evolución de 1 millón al 9,6 % anual compuesto.

Hetty Green probó que las mujeres no son «financieramente» inferiores al hombre. Según cuenta la leyenda, batalló con los mejores hombres financieros y ganó varias veces. Hoy vivimos un tiempo en el que las oportunidades para la mujer en finanzas son mayores que antaño.

a. La tasa de crecimiento de la población

La tabla 3.4 muestra el crecimiento de la población en los países latinoamericanos entre 1980 y 2010.

Si la población de América Latina pasó de tener 353,1 millones de habitantes en 1980 a 575,8 millones en 2010, ¿a qué tasa anual promedio creció la población?

Para calcularlo, establecemos la tasa promedio geométrica con la fórmula [3.2], considerando como capital final la población de 2010 y como capital original la población de 1980.

Se deja como ejercicio para el lector, la comprobación de las tasas de crecimiento anual promedio para los distintos países latinoamericanos.

Tabla 3.4 Población en América Latina, en miles a mitad de año

	1980	2010	Crec. promedio
Argentina	28.094	40.738	1,25 %
Bolivia (Estado Plurinacional de)	5.355	10.031	2,11 %
Brasil	121.618	195.498	1,59 %
Chile	11.174	17.133	1,43 %
Colombia	26.881	46.299	1,83 %
Costa Rica	2.347	4.639	2,30 %
Cuba	9.823	11.203	0,44 %
Ecuador	7.961	13.773	1,84 %
El Salvador	4.660	6.192	0,95 %
Guatemala	7.014	14.376	2,42 %
Haití	5.691	10.089	1,93 %
Honduras	3.634	7.621	2,50 %
México	69.321	110.675	1,57 %
Nicaragua	3.250	5.822	1,96 %
Panamá	1.949	3.508	1,98 %
Paraguay	3.198	6.460	2,37 %
Perú	17.324	29.495	1,79 %
República Dominicana	5.808	9.899	1,79 %
Uruguay	2.914	3.372	0,49 %
Venezuela (República Bolivariana de)	15.091	29.043	2,21 %
América Latina	353.109	575.867	1,64 %

Fuente: Naciones Unidas, CEPAL

b. La tasa de crecimiento del PIB (producto interior bruto)

La tabla 3.5 muestra el crecimiento del PIB para países latinoamericanos entre los años 1960 y 2011. Los datos se obtuvieron de la página del Banco Mundial y se expresan en dólares de Estados Unidos a precios constantes del año 2000.⁴

Nuevamente, utilizando la fórmula [3.2] el lector puede comprobar las tasas de crecimiento promedio anual.

Tabla 3.5 Evolución del PIB en América Latina

	1960	2011	Tasa crec. Prom 1960-2011
Argentina	108.322.326.649	472.935.362.924	2,9 %
Bolivia	3.001.815.692	12.873.723.283	2,9 %
Brasil	105.343.379.555	944.612.348.874	4,4 %
Chile	14.087.170.195	123.009.763.769	4,3 %
Colombia	19.017.657.851	157.790.843.538	4,2 %
Costa Rica	2.398.494.445	25.371.308.708	4,7 %
República Dominicana	3.019.307.866	41.998.074.956	5,3 %
Ecuador	3.641.530.019	26.941.668.927	4,0 %
El Salvador	4.017.741.905	16.061.419.231	2,8 %
Guatemala	3.989.089.865	27.838.549.513	3,9 %
Honduras	1.502.038.539	10.965.689.540	4,0 %
México	94.354.817.785	721.849.598.501	4,1 %
Nicaragua	2.103.502.588	7.169.985.605	2,4 %
Panamá	1.930.103.379	23.764.075.282	5,0 %
Paraguay	1.263.290.494	10.887.487.376	4,3 %
Perú	16.356.280.982	98.769.196.817	3,6 %
Uruguay	10.614.613.898	32.274.699.322	2,2 %
Venezuela	41.118.729.573	166.062.245.436	2,8 %

Fuente: Banco Mundial

c. La pauta de inflación contenida en el presupuesto nacional

En el presupuesto nacional, suele incluirse una pauta de inflación anual que constituye una especie de meta predefinida a alcanzar, que es superada por la realidad en la mayoría de las ocasiones. Por ejemplo, suponga que se establece una pauta de inflación del 12% para todo el año, mientras que la inflación acumulada hasta abril es del 8%. ¿Cuál debería ser la inflación mensual de mayo a diciembre para poder cumplir con la mencionada pauta? Simplemente, planteamos la ecuación correspondiente donde 1,08 representa el capital inicial de la operación, que colocado a una inflación mensual durante 8 meses alcanza un monto de 1,12 y despejamos la tasa de inflación mensual:

No distinguimos aquí si los meses tienen más o menos de 30 días, pues los institutos de estadística suelen difundir la tasa de inflación mensual para cada mes calendario, independientemente de cuantos días tenga éste.

Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo

Si queremos saber cuál es el número de períodos que necesita un capital para convertirse en múltiplo de sí mismo (duplicarse, triplicarse, cuadruplicarse, etc.) simplemente igualamos la fórmula del monto a interés compuesto, pero expresando el monto como un múltiplo del capital inicial (M × Co) donde M es un múltiplo que podría ser igual a dos, tres, cuatro veces y media, etc.

MC₀ = C₀ (1 + i)ⁿ

Despejando M tenemos M = (1 + i)ⁿ

Finalmente, aplicando logaritmos en ambos miembros:

Ejemplo: calcular cuántos meses demoraría un capital de 10.000 € en duplicarse, si la tasa de interés es del 1 % mensual.

p69,66 meses. Significa que el capital tarda en duplicarse 69 meses y 20 días, aproximadamente.

Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, alcanzan igual monto

En noviembre de 1987, la entidad financiera S&B tuvo problemas para devolver los depósitos a los ahorristas. Muchos de los créditos otorgados no se cobraron, lo que generó importantes pérdidas, y cuando el problema se hizo público, los depositantes acudieron en masa a retirar sus ahorros, pero S&B se negó a reintegrar el dinero, argumentando que era imposible devolverle a todos sus depósitos de una sola vez. A cambio, pidió un tiempo para que, con el dinero que constituía el «capital de trabajo» de la compañía y que se prestaba a una tasa de interés más alta (tasa activa) que la que se pagaba por los depósitos (tasa pasiva), ese capital igualara en el futuro el monto que tendrían los depósitos que ganarían una tasa de interés menor. El argumento esgrimido fue que los ahorristas deberían esperar un tiempo para que el capital más pequeño igualara al capital mayor, ya que devengaban tasas diferentes. Suponga que la tasa de interés para los depósitos era del 1 % mensual y que por los préstamos se cobraba el 3 % mensual. Los depósitos totales ascendían a 3.000.000 $. Mientras que el «capital de trabajo» de S&B solo alcanzaba a 500.000 $. ¿En qué tiempo ambos capitales igualarían su valor en el futuro? Para calcularlo, igualamos las fórmulas para los montos de ambos capitales con distintas tasas de interés, quedando por despejar la incógnita n:

Podemos comprobarlo haciendo 3.000.000 (1,01)^91,3768 = 500.000 (1,03)^91,3768 = 7.447.226,8

En la figura 3.6, se observa cómo los dos capitales igualan su valor en el período 91,37.

Figura 3.6 Tiempo en que dos capitales distintos alcanzan igual monto.

Análisis de las funciones monto e interés acumulado

En la función del monto a interés compuesto, el valor de n resulta ser un valor discreto, lo que le da a la función una forma escalonada en la práctica. Como se observa en la figura 3.7, cuando depositamos un capital de 1 € en un banco al 10 % anual, el reflejo de la variación de la suma de dinero solo tiene lugar al final del primer año, cuando se transforma en 1,10 €; a lo largo del segundo año, la suma de dinero permanecerá con un valor de 1,10 € hasta que al final del segundo año, siempre desde el punto de vista contable, se transformará en 1,21 € y así sucesivamente. Sin embargo, es posible calcular matemáticamente el valor que tendría la función monto en cualquier momento del tiempo, inclusive hasta en un instante, en cuyo caso hablamos de capitalización continua, que tiene la forma e^d. La capitalización continua será estudiada con detalle en el próximo capítulo, por lo tanto, no profundizaremos aquí sobre este tema.

Figura 3.7 Capitalización continua y discreta.

Comparación entre el monto simple y el monto compuesto

A continuación, realizaremos una comparación entre ambos regímenes en sus aspectos más relevantes, fundamentalmente el rendimiento efectivo.

De la tabla 3.6 se observa que:

• En el régimen simple, el interés periódico se mantiene constante, mientras que en el régimen compuesto es creciente.

• El rendimiento efectivo es decreciente en el régimen simple, mientas que se mantiene constante en el régimen compuesto.

Si bien la tasa de interés periódica siempre era la misma, (10 %), en el régimen simple el interés periódico de 10 € representa un porcentaje menor de rendimiento conforme este se compara contra un monto que aumenta período a período.

En cambio, en el régimen compuesto, con la incorporación de los intereses al capital en cada período de capitalización, los intereses periódicos son crecientes, pues siempre se calculan sobre el monto acumulado al final del período anterior, aunque el rendimiento efectivo se mantiene constante.

Figura 3.8 Comparación monto simple y compuesto.

De la figura 3.8 se observa que:

1. Cuando el número de períodos es mayor que 1, el monto a interés compuesto es mayor que el monto a interés simple, debido a la capitalización de los intereses.

2. Ambas funciones igualan su valor cuando el número de períodos es igual a uno (recuerde que para que exista interés compuesto debe haber más de un período).

3. Desde el punto de vista de la función matemática, cuando el número de períodos se encuentra entre 0 y 1, la función del monto simple es mayor (1,05) a la del monto compuesto (1,0488). Esto es irrelevante desde el punto de vista financiero, pues el dinero lo depositamos por un período y retiramos 1,10 al final de este sin preocuparnos por lo que ocurre en el interior del período de capitalización.

Desde el punto de vista matemático, la función lo que hace es mostrar la evolución del monto con respecto al número de períodos; mientras en el régimen simple no hay capitalización y en el compuesto sí, con 1,048 € capitalizados por medio período más también se alcanza un monto de 1,10 € al final del período. Como la función del monto compuesto es exponencial, al ser continua podemos calcular el monto por fracciones de tiempo, lo cual nos introduce en el concepto del monto fraccionario

Monto fraccionario

La fórmula tradicional del monto supone que el tiempo (n) es entero, pero es posible analizar el caso del tiempo fraccionario. Suponiendo que colocamos 1 € a una tasa anual del 10 % durante 1,5 años, el monto sería:

(1 + i)^n+f = (1 + 0,10) (1 + 0,10)^0,5 = 1,1536

O si quisiéramos saber cuál es el monto en el período 0,5 (al cabo de medio año):

(1 + i)^f = (1 + 0,10)^0,5 = 1,0488

En la figura 3.6, se observa en la línea continua el valor que tendría el monto si el período no llegara a completarse, es decir, cuál sería el monto después de 0,5 períodos. En la ordenada hay un valor que se corresponde con la fracción de 0,5 y con la función exponencial. Podemos buscar el valor del monto para cualquier período fraccionario, y si bien estos valores no corresponderán al final de un período de capitalización, nos sirve para calcular el interés «devengado» en un momento determinado cuando hay capitalización compuesta.⁵

La tasa proporcional y equivalente en los regímenes simple y compuesto

Veremos ahora que, en el régimen simple, las tasas son proporcionales y a la vez equivalentes, mientras que en el régimen compuesto, son solamente equivalentes. Cuando las condiciones del contrato establecen una tasa nominal con capitalización subperiódica, para obtener la tasa proporcional hacemos:

Sea, por ejemplo, el 12 % nominal anual con capitalización semestral:

Efectivamente, el 6 % semestral es la tasa proporcional del 12 % anual, y a su vez es también una tasa equivalente en el régimen simple, pues en este régimen 6 % en el semestre es igual que el 12 % en el año, ya que las tasas se suman (no hay capitalización de intereses).

Sin embargo, en el régimen compuesto, el 6 % semestral no es equivalente al 12 % anual, ya que si obtenemos el 6 % en un semestre, y renovamos la operación por otro semestre hasta alcanzar un año, obtenemos el 12,36 % anual (1,06)² =1,1236 (el monto es mayor debido a la capitalización de los intereses).

Por lo tanto, en el régimen compuesto las tasas de interés son siempre y solamente equivalentes, ya que trabajamos siempre con tasas efectivas; el 6 % semestral es equivalente al 12,36 % anual, no al 12 % como era en el régimen simple. En el Capítulo 4 profundizaremos en el estudio sobre las tasas equivalentes; por ahora solo diremos que son aquellas que, expresadas en diferentes momentos, tienen el mismo rendimiento efectivo cuando se las compara en un momento cualquiera.

Siguiendo con el ejemplo anterior, en el régimen compuesto la tasa equivalente al 12 % anual sería menor que el 6 % proporcional semestral (en realidad sería (1 + 0,12)^1/2 – 1 = 5,88 %, ya que con una tasa semestral menor que el 6 %, capitalizando intereses igual llegaría al 12 % anual). En cambio, en el interés simple, el 6 % semestral es equivalente al 12 % anual y, a la vez, proporcional.

Una clasificación para el régimen compuesto

En el régimen de interés compuesto y de acuerdo al tipo de operación, es posible establecer una clasificación en función de la capitalización intereses. Esta puede ser:

a. Periódica: los intereses se capitalizan durante n períodos y al final de cada uno de ellos. Ejemplo: colocamos un capital de 100 € al 10 % durante 2 períodos: los intereses se capitalizan dos veces:

100 (1 + 0,10)² = 121

b. Subperiódica: los intereses se capitalizan en forma subperiódica a lo largo de n períodos, es decir, que hay capitalizaciones intermedias dentro de cada período y aparece una «tasa proporcional». Ejemplo: colocamos un capital de 100 € al 10 % nominal anual con capitalización semestral y la operación dura dos años. De manera que habrá cuatro capitalizaciones, puesto que hay dos semestres en cada año:

Observe que la tasa del 10 % nominal anual la dividimos por 2 (dos) para proporcionarla al semestre, para llevarla al momento donde se produce la capitalización. Este caso es muy común en la práctica, donde las operaciones a plazo fijo se realizan a una tasa nominal anual, pero la capitalización se produce en períodos intermedios.

c. Continua: los intereses se capitalizan por instantes de tiempo. La naturaleza económica subyacente es que los intereses se capitalizan continuamente, si bien el reflejo de las operaciones se hace en momentos discretos. Por ejemplo, si se colocaran 100 € al 10 % continuo anual, tendríamos:

100 e^0,10 = 110,51

No es el momento de tratar aquí la capitalización subperiódica de los intereses y el caso límite donde los intereses se capitalizan por instantes de tiempo. Las variantes b) y c) serán explicadas con exhaustividad en el próximo capítulo.

Preguntas de autoevaluación

1. ¿Por qué en el régimen compuesto las tasas son solo equivalentes?

2. ¿Para qué una entidad querría calcular cómo los intereses se devengan diariamente?