Kitabı oku: «Путешествие в квантовую механику»

© Игорь А. Мерзляков, 2024

ISBN 978-5-4498-1610-8

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

1. Введение

Перед Вами научное произведение по квантовой физике, пожалуй, непонятное для большинства людей, непосвящённых в точные дисциплины, но с чего-то всегда надо начинать процесс познания окружающей действительности. Квантовая механика формировалась на протяжении первых 3-х десятилетий XX века. Конечно, многое удалось сделать, но осталось немало важных вопросов, исследование которых постепенно перешло в новое тысячелетие. В этом пособии мне хотелось бы поднять проблему, связанную с универсализацией квантовой физики. В процессе обучения мы рассмотрим исключительно нерелятивистские явления.

Главной причиной для проведения настоящего исследования послужила некоторая надежда на дальнейшее развитие квантовой физики. Однажды Р. Ф. Фейнман сказал: «Посмотрите на мир с другой стороны». Мне хочется, чтобы в качестве эпилога к книге «Путешествие в квантовую механику» была использована уже давно обросшая популярностью фраза Фейнмана.

2. О фундаментальных законах физики

В этой главе будут рассмотрены 2 концепции, с помощью которых можно сформулировать тот или иной физический закон, предназначенный для описания объективной реальности. Первая доктрина направлена на исследование дифференциальных соотношений, позволяющих по меньшей мере обобщить природные явления и процессы, а вторая связана с определением корреляций в заранее известном наборе функций. Последние могут быть получены опытным путём, либо найдены в результате экстраполяции значений, относящихся непосредственно к решению того или иного дифференциального уравнения. Справедливость численных методов, которые опираются на анализ экспериментальных данных, изначально просто нельзя не поставить под сомнение. Впрочем, применяя эмпирический подход на практике, в подавляющем большинстве случаев возможно будет обосновать теоретически как минимум не самую малую часть от всех наблюдаемых в линейных или хотя бы в линеаризованных физических системах фундаментальных взаимодействий.

Начнём этот раздел с вывода уравнения Шрёдингера. Методика, ориентированная на поиск зависимостей между величинами, присутствующими в указанном уравнении, базируется на математической интуиции. Примечательно, что настоящее допущение не является ошибочным.

2.1 Вывод уравнения Шрёдингера

В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Исходя из предположения де Бройля, важно констатировать, что каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения веществом. Действительно, полную энергию E_p` и импульс P`` фермиона (или бозона) возможно выразить через круговую частоту ν, длину волны λ и постоянную Планка h, тогда:

где k’=2π/λ; ħ=h/ (2π) – приведённая постоянная Планка.

Итак, сформулируем закон сохранения энергии для волны де Бройля. Величина E_p` представляет собой сумму кинетической E_k и потенциальной U_p (x,y,z) энергии, следовательно:

Вместе с тем

здесь M – масса элементарной частицы; T``` – период волны Де Бройля.

Длину волны Де Бройля λ удобно выразить через скорость υ (υ=const), тогда:

Вывод уравнения Шрёдингера по идее надо производить в трёхмерном пространстве C³, но для упрощения расчётов будем использовать одномерную систему координат. Переходя от действительных чисел к комплексным λ-> -2πiλ и ν-> -ν/ (2πi) (знаки перед аргументами -2πiλ и -ν/ (2πi) выбраны отрицательными именно потому, что в противном случае соотношение (h/ (2πλ)) ²/2M-U_p (x) -i (hν/ (2π)) ≠C_ncos (ω`t) +isin (ω`t)) просто-напросто потеряет смысл, когда ω`> 0, ν> =0, λ> =0, t> =0, U_p (x) =const и C_n≠0), перепишем составленный для волны Де Бройля закон сохранения энергии в следующем виде:

Кроме того

где t – время, а x – координата.

Ссылаясь на математические преобразования, разобранные выше, найдём тождество:

.В итоге нам потребуется внести новую величину под знаки производных, которую в подавляющем большинстве случаев обозначают как ψ или как ψ_p, тогда:

Выражение (2*) называется уравнением Шрёдингера. Опираясь на полученную формулу, возможно вычислить оператор импульса P``, следовательно:

2.2 Эмпирический метод

Обычно с изучением школьной программы как-то не принято ставить под сомнение справедливость основных положений, позволяющих осуществить вывод фундаментальных законов физики. Для того чтобы выполнить дальнейшие математические расчёты, нужно в первую очередь определить понятие «зависимости» физических величин, выраженных через изменение прочих несвязанных друг с другом соотношений. Отталкиваясь от постулата о наличии корреляций между аргументом F и неравномерно распределёнными вдоль соответствующих осей x₁, x₂, x₃, …, x_{N``-1</sub> или x<sub>N``} функциями f₁ (x₁), f₂ (x₂), f₃ (x₃), …, f_{N``-1</sub> (x<sub>N``-1}), либо f_{N``</sub> (x<sub>N``}), заданные параметры f₁ (x₁), f₂ (x₂), f₃ (x₃), …, f_{N``-1</sub> (x<sub>N``-1}), а также f_{N``</sub> (x<sub>N``}) надлежит перемножать между собой только в том случае, когда последние окажутся независимыми. Иначе говоря, приращение переменной f_j (x_j) по факту будет происходить без взаимного влияния её значений на другие выражения f_o (x_o) (o≠j). Запишем тождество (2.1) для нахождения произведения П_j=1^{N`</sup>`f_j (x_j) ^γj. Коэффициенты γ₁, γ₂, γ₃, …, γ_j, …, γ_{N``</sub> будут численно равны константам (+1 или -1), представляющим из себя степени функций f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>) <sup>γ1</sup>, f<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>) <sup>γ2</sup>, f<sub>3</sub> (x<sub>3</sub>) <sup>γ3</sup>, …, f<sub>j</sub> (x<sub>j</sub>) <sup>γj</sup>, …, f<sub>N``} (x<sub>N``</sub>) <sup>γN``}, тогда:

здесь N`` – количество независимых параметров f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>), f<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>), f<sub>3</sub> (x<sub>3</sub>), …, f<sub>N``-1</sub> (x_{N``-1</sub>) и f<sub>N``} (x_N``).

Наглядным примером применения эмпирического подхода на практике является закон Кулона, полученный для силы электростатического взаимодействия F_e. Таким образом, следующие выражения (f₁ (x₁), f₂ и f₃ (x₃)) могут быть сгруппированы друг с другом как независимые соотношения:

f₁ (x₁) – произведение зарядов q₁q₂;

f₂ – поправочная постоянная K;

f₃ (x₃) – квадрат расстояния |r₁-r₂|² между любыми 2-мя частицами, f₃ (x₃) =|r₁-r₂|²;

где r_к – построенный из начала координат (0,0,0) в точку с зарядом q_к радиус-вектор.

Хорошо известно, что сила Кулона F_e прямо пропорциональна множителям f₁ (x₁) и f₂ (γ₁=γ₂=1), но обратно пропорциональна переменной f₃ (x₃) (γ₃=-1). Итак, прибегая к анализу экспериментальных данных, запишем закон Кулона, сформулированный для 2-х одноимённых зарядов q₁ и q₂, следовательно:

Если величины g_j (x_j) и g_j` (x_j) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет тождество:

Функции f_j (x_j), g_j (x_j) и g_j` (x_j) могут носить более сложный математический характер, нежели степенные выражения f₁ (x₁) ^γ1, f₂ (x₂) ^γ2, f₃ (x₃) ^γ3, …, f_j (x_j) ^γj, …, f_{N``</sub> (x<sub>N``}) ^γN``. Порой с помощью эмпирического метода нельзя описать тот или иной закон природы, тогда для реализации намеченных целей соискатели обычно составляют дифференциальные уравнения. Разрешить последние иногда бывает затруднительно по причине невысокой производительности современных компьютеров. В подобных случаях используют суперкомпьютеры. В дальнейшем мы сконцентрируемся на решении дифференциальных уравнений с частными производными.

3. К вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений в частных производных

Опираясь на методику, которая будет разобрана в данном параграфе, можно численно решить любое дифференциальное уравнение и выявить характерные черты эволюции искомой функции во времени.

3.1 Интерполяция с помощью рядов Фурье

Допустим, что задан набор линейных функций F_k, расположенных на отрезках (kΔx, (k+1) Δx) вдоль оси x ∈ [0,R_x], тогда:

здесь Δx – размер интервалов, куда заключены значения выражений F_k; k – номер вычислительной операции, k∈N.

Тригонометрический ряд, который можно получить для функции F (x,y,z), задаваемой на отрезках (k Δx, (k+1) Δx) для x ∈ [0,R_x], (j Δy, (j+1) Δy) для y∈ [0,R_y] и (χ Δz, (χ+1) Δz) для z∈ [0,R_z], примет следующий вид:

где Θ – индекс, соответствующий той или иной оси координат x_Θ.

Построим кусочно-линейную функцию F (x), тогда:

Рисунок 3.1 Интерполяция величины F (x).

3.2 Решение дифференциальных уравнений с частными производными

Пусть Q``∈C является решением произвольно заданного дифференциального уравнения в частных производных. Введём обозначения для функций a*, b*. Значения рассматриваемых выражений будут соответствовать вещественной a*=Re (Q``) и мнимой b*=Im (Q``) части тождества Q``=a*+ib*. Для того чтобы численно решить вырожденное дифференциальное уравнение, необходимо с помощью метода Эйлера определить закон изменения функции Q`` во времени. Следует отметить, что рассматриваемый подход не является единственным в своём роде. Однако в рамках данной книги остановимся на нём как на простом и наиболее наглядном. Любое параболическое дифференциальное уравнение с частными производными возможно преобразовать к общему виду, тогда:

Разложим в ряд Фурье решение Q``, следовательно:

Определим частные производные порядка s_d по координате x_Λ, входящие в состав выражения D, тогда:

здесь n_Λ и R_Λ – коэффициенты при координате x_Λ.

Вместе с тем

Осуществим интерполяцию выражения D. Если рассматривается одномерный случай, то каждой точке, расположенной на оси D, необходимо поставить в соответствие отрезок (kΔx_Θ, (k+1) Δx_Θ), находящийся на оси x_Θ. Следовательно, в трёхмерном пространстве справедливым будет соотношение:

где x∈ [-R_x, R_x]; y∈ [-R_y, R_y]; z∈ [-R_z, R_z].

Определим частную производную решения Q`` по времени, тогда:

Последнюю формулу возможно преобразовать к виду:

Выражения Q₀ и Q`` будут тождественно равны друг другу в рамках одной итерации. Подставим величины Q<sub>1</sub>, D и Q`` в уравнение (3**), а затем произведём обратное преобразование Фурье. В результате получим соотношение:

С каждой новой итерацией по времени в формулы (3`), (3.1), (3.2), (3.3) и (3``) вместо выражения Q`` следует подставлять известное решение Q₁, тогда:

Расчёт необходимо выполнять до тех пор, пока не будет достигнуто условие V`Δt=T*, здесь T* – промежуток времени, определяющий эволюцию искомой функции Q``; Δt – величина шага по времени; V` – общее количество итераций.