Kitabı oku: «Ertaklarda matematika»

U.K.Ismoilov

Ertaklarda matematika

"Farzandlarimiz bizdan ko’ra kuchli, dono, bilimdon va albatta baxtli bo’lishlari kerak".

I.A.Karimov

Ertaklarda matematika

Fan-texnika yuksak taraqqiy etgan, madaniyat rivojlangan, inson hur-ozod yashayotgan mamlakat fuqarolari kelajakni insonparvarlik asosida qayta qurilishlariga yordam beruvchi, ma'naviy oziq vositalaridan biri sifatida kelajakni hamjihatlik bilan yaratish, birlashgan holda hayot kechirishga undaydigan o’ziga xos о’g’itlar majmuasi bu xalq og’zaki ijodidir.

Biror insoniy fazilatni targ’ib qilish yoki xarakterdagi yomon jihatlarni bayon qilishda eng qulay va ta'sirchan usullardan biri ertakdir.

Bolalarning tafakkur doirasini kengaytirish, quvvai-hofizasini kuchaytirish maqsadida mantiqiy fikrlashga o’rgatishning asosiy omillaridan biri ham ertakdir.

Turli-tuman voqealarga boy va sarguzasht hodisalar asosiga qurilgan syujet, o’zida yaxshilik, insoniylik fazilatlarini singdirgan, xotirada tez saqlanib qolishdek xususiyati va bayon etish uchun oson, talaffuz qilishda qulay sintaktik qurilmalardan, tarkibida turli xil jumboqlardan tashkil topgan ertaklar bola tarbiyasida tahsinga sazovordir.

Ushbu to’plam turli jurnal va qiziqarli kitoblardan foydalanish natijasida to’plangan, muallifning ko’p yillik pedagogik ish tajribasining mahsuli bo’lib, uquvchilarni (katta yoshdagilarni ham) mantiqiy fikrlashga, hayotiy muammolarni tez va oson hal qilishga, topqirlikka o’rgatuvchi qo’llanmadir.

Berilgan barcha masalalardan 60 tasining javobi, yechish usullari to’plam oxirida bayon qilingan bo’lib, bu boshqa yechish usuli yo’q degani emas, balki muhtaram uquvchi boshqacha usullarni o’ylab topar.

To’plamdagi 1-masala, ya'ni "Laylak bilan g’ozning qanday qilib masala yechganlari haqida"gi ertakni shu sahifada yechimi bilan berilishidan maqsad, u yerdagi mantiqiy fikrlashga uquvchining e'tiborini jalb qilishdir.

Agar mumkin bo’lsa, javoblarga qaramasdan masalani hal qilishga harakat qilish muxtaram uquvchining foydasidir.

Shuningdek, to’plam oxirida mustaqil echish uchun tez va oson mulohaza yuritish bilan yechiladigan masalalarga ham o’rin berildi.

Agar ushbu to’plam Sizda qiziqish uyg’otib, Sizga ma'naviy oziq berolsa, muallif o’zini maqsadiga erishgan deb hisoblaydi.

1. Laylak bilan g’ozning qanday qilib masala yechganlari haqida.

Bir to’da g’ozlar osmonda uchib borishayotgandi. Oldlaridan yolgiz o’zi uchib borayotgan g’oz chiqib qoldi va u g’ozlarga qarab, "Assalomu-alaykum yuz g’oz", – debdi. Shunda g’ozlar to’dasini boshqarib borayotgan keksa g’oz javob berib: "Yo’q, biz yuz g’oz emasmiz! Agar bizga hozir qancha bo’lsak yana shuncha g’oz qo’shilsa va yana uning yarmicha, so’ngra to’rtdan biricha va sen ham qo’shilsang, biz yuzta bo’lamiz. Ana endi top-chi, biz qanchamiz?"

Yolg’iz g’oz uzoqlarga uchib ketayotib, haqiqatan ham g’ozlar qancha ekan? – deb o’ylanibdi.

U o’ylab-o’ylab g’ozlarning sonini topolmabdi. G’oz uchib ketayotib, oyoqlari uzun Laylakni ko’rib qolibdi. Laylak qurbaqa ovlab yurgan ekan. Laylak – boshqa qushlar orasida hisob-kitobni yaxshi bilgan va matematikaga qiziquvchanligi bilan ajralib turarkan. Chunki soatlab bir oyoqda turib o’ylar, ko’rinishidan masala yechardi. G’oz quvonib ketib, laylak turgan yerga yaqinroq suvga qo’nib, uning yoniga asta suzib boribdi-da, bo’lgan voqeani aytib beribdi. Har qancha tirishsa ham g’ozlar sonini topolmayotganini aytibdi.

– Hm… – yo’talib debdi Laylak – yechishga harakat qilamiz. Faqat diqqat-e'tiborli bo’l va tushunishga harakat qil. Eshitayapsanmi?

– Eshitayapman, tushunishga harakat qilaman! – javob beribdi g’oz.

– Unda, sening menga bayon qilishing-cha, uchratgan g’ozlar soniga yana shuncha, ularning yarmicha, ularning to’rtdan biricha hamda sen qo’shilsang g’ozlar soni yuz bo’larmidi? Shundaymi? – so’rabdi Laylak.

– Shunday! – javob beribdi g’oz.

– Endi qara, qirg’oqdagi qumga men nimani chizaman, – debdi Laylak.

Laylak qirg’oqqa bo’ynini cho’zib, qumga tumshug’i bilan ushbu shaklni chizibdi. .

G’oz suzib kelib, qirg’oqqa chiqib yuqoridagi shaklni ko’ribdi va hech narsaga tushunmabdi.

– Tushunmayapsanmi? – so’rabdi Laylak.

– Hali yo’q, – deb javob beribdi g’oz.

– Eh senimi? Mana qara, birinchi kesma to’dadagi g’ozlar sonini anglatadi, ikkinchisi yana shuncha va uning yarmi hamda to’rtdan biri oxirgi nuqtadayginasi sen. Tushundingmi?

– Tushundim! – debdi g’oz xursand bo’lib.

– Agar sen uchratgan g’ozlar to’dasiga, yana shuncha g’oz qo’shilsa hamda to’daning yarmicha va to’daning to’rtdan biricha (choragicha), so’ngra sen ham qo’shilsang g’ozlar soni qancha bo’lishi kerak edi?

– Yuzta.

– Sensiz qancha g’oz bo’ladi?

– To’qson to’qqizta.

– Yaxshi, bizning shakldagi seni tasvirlab turgan nuqtani o’chiramiz, ya'ni bitta g’ozni olib tashlaymiz. Natijada 99 ta g’oz qoladi, deb Laylak qumda quyidagi shaklni tumshug’i bilan yasadi:

– Endi fikrla-chi, – davom ettirdi Laylak, – to’daning to’rtdan biri (choragi) va to’dani yarmi ichida to’daning to’rtdan biridan (yoki choragidan) nechtasi bor?

G’oz o’ylab qoldi va qumdagi shaklga qarab fikrlay boshladi:

– To’daning yarmini tasvirlovchi kesma, to’daning to’rtdan birini (yoki choragini) tasvirlovchi kesmadan ikki marta uzun, ya'ni yarim ikkita chorakka teng. Demak, yarim va chorak – bu uchta chorak demakdir.

– Yasha! – dedi g’ozni maqtab Laylak, – endi bitta butun to’dani tasvirlovchi kesmada nechta chorak bor?

– Albatta, to’rtta chorak-da! – javob berdi, g’oz.

– Shunday ekan biz bu yerda to’da, yana to’da, yarim to’da va chorak to’da g’ozlarga ega bo’lib, ular 99 tani tashkil qilishini bilamiz.

Bularning hammasini chorak orqali ifodalasak, hammasi nechta chorak bo’ladi?

G’oz o’ylab turib, javob berdi:

– To’da – bu to’rtta chorak demakdir, yana to’da – bu ham to’rtta chorak demakdir. Hammasi 8 ta chorak bo’ladi. Yarim to’da ikkita chorak va yana chorak. Barchasini qo’shsak, 11 chorak bo’ladi. Bu esa 99 ta g’ozni tashkil qiladi.

– To’g’ri, – dedi Laylak, – endi ayt-chi, bundan qanday natijaga erishding?

– Men 11 ta chorak 99 ta g’ozga teng ekanini tushunib yetdim, – dedi g’oz.

– Demak, bitta chorak nechta g’ozdan iborat ekan?

G’oz 99 ni 11 ga bo’lib, javob berdi:

– Bitta chorakda 9 ta g’oz bor ekan.

– Unda bir butun to’dada nechta g’oz bo’ladi?

– Bir butun to’da to’rtta chorak bo’lgani uchun men 36 ta g’ozni uchratgan ekanman! – dedi, xursand bo’lib g’oz.

2 . Rahmdil qonun.

Bir mamlakatda shunday bir odat bor ekan: o’limga hukm qilingan har bir jinoyatchining qismatini sinash uchun chek tashlanar, ya'ni bir quti ichiga biriga -"hayot", ikkinchisiga – "o’lim" deb yozilgan ikki parcha qog’oz tashlanar ekan.

O’limga hukm qilingan kishi haligi qog’ozlardan birinchisini tortib chiqarsa, gunohi kechirilib, ozod qilinar ekan, agar ikkinchi qog’oz chiqsa, hukm amalga oshirilar ekan.

Bu mamlakatda yashovchi kishilarning dushmanlari juda ko’p bo’lgan, ular har xil tuxmatlar qilib, bu kishini sudga berishgan, sud esa uni o’lim jazosiga hukm qilgan.

Bundan tashqari, uning dushmanlari bu kishini o’limdan qutqarish imkoniyatlaridan mahrum qilish payiga ham tushganlar: ular jazo kunidan oldingi kechasi qutidagi "Hayot" deb yozilgan qog’ozni olib, uning o’rniga ham "O’lim" deb yozilgan ikkinchi qog’oz tashlaganlar. Endi bu kishi qaysi qog’ozni olmasin, baribir, o’limdan qutulaolmaydi.

Uning dushmanlari ana shunday deb o’ylashgan. Lekin bu kishining do’stlari ham bo’lgan. Ular dushmanlarning qilgan ishlarini bilib olib, kechasi turmaga kirganlar va haligi kishiga qutidagi ikkala qog’ozga ham "O’lim" deb yozilganini aytganlar va ertasi kuni sudyalar oldida dushmanlarning qilmishlarini fosh qilishni hamda qutidagi qog’ozlarni tekshirishni talab etishni iltimos qilganlar.

Lekin shunisi qiziqki, bu kishi dushmanlarning qilgan ishini sir saqlashni o’z do’stlaridan iltimos qilgan va shundagina o’zining qutilajagini aytgan. Ertasi kuni bu kishi sudyalarga hech narsa demay, qutidagi qog’ozlardan bittasini olgan ekan, sud uni ozod qilgan.

Bu kishi o’zining shu qadar umidsiz ko’ringan ahvolidan qanday qutulib qolgan?

3 Uch donishmand to’g’risida ertak.

Qadimgi donishmandlardan uchtasi, qaysi birimiz ko’proq bilimdon? – degan masala ustida bahslashayotgan ekan. Bular yonidan o’tib ketayotgan bir kishi bu bahsni yechishga yordam beribdi. U donishmandlarga o’zlarining ziyrakligini sinashni taklif qilibdi.

– Sizlar mening qo’limdagi beshta qalpoqni ko’rayapsizlar, – debdi u,

– bulardan uchtasi qora, ikkitasi oq. Qani endi ko’zlaringizni yuming! So’ngra u, bu donishmandlarning har biriga bittadan qora qalpoq kiygizib, oq qalpoqlarni qopga solib bekitib qo’yibdi.

– Endi ko’zlaringizni ochsalaringiz ham bo’ladi, – debdi yo’lovchi.

Kimki o’zining boshida qanday qalpoq ekanligini aytib bersa, shu kishi o’zini eng bilimdon deb aytishga haqli.

Donishmandlar nima deyishlarini bilmay, uzoq vaqt bir-biriga qarashib qolishgan… Nihoyat biri:

– Mening boshimda qora qalpoq! – degan.

U buni qanday bilgan?

4. Topilma.      

To’rtta dehqon – Karim, Rahim, Sobir va Qodir – shahardan qaytayotib, bugun hech nima ishlay olmaganliklariga nolib qolishdi.

– Agar men ichida puli bilan hamyon topib olganimda edi, – dedi Karim, – uni to’rtta teng bo’lakka bo’lib, uchdan bir qismini o’zim olardim, qolgan bir qismini sizlarga bergan bo’lardim.

– Men esa barchamizga teng taqsim qilib bergan bo’lardim, – deb o’zicha ming’irlab qo’ydi Rahim,

– Men esa topilgan pulning beshdan biri bilan ham qanoatlanardim, – qo’shib qo’ydi Sobir.

– Menga oltidan biri ham yetib qolardi-yu, ammo kim ham sizlarga yo’lga pul tashlab ketardi, uni topib olish uchun, – dedi Qodir.

Shu payt bunday qarashsa, tasodifan qarang-ki, yo’l chekkasida bitta hamyon yotibdi. Ular darhol hamyonni olishdi va o’zlari aytganday hamyondagi pulni bo’lib olishga kelishishdi, ya'ni Karim pulning uchdan birini, Rahim to’rtdan birini, Sobir beshdan birini va Qodir oltidan birini oladigan bo’lishdi.

Hamyonni ochib qarishsa, unda bitta uch so’mlik, qolganlari bir so’mlik, besh so’mlik va o’n so’mlik bo’lib, pullar soni 8 ta ekan.

Ammo dehqonlarning birortasi ham pullarni maydalamasdan o’z ulushini ololmabdi. Shuning uchun ular birorta yo’lovchini kutishga va pullarni maydalab, keyin ulushlarini olishga qaror qilishibdi.

Shunda birinchi yo’lovchiga ko’zlari tushib, uni to’xtatishibdi. Dehqonlar yo’lovchiga pullarni maydalab berishini so’rashibdi, unga voqeani tushuntirishibdi.

– Men sizlarga pullaringizni maydalab berolmayman, ammo pullaringizni menga bersangizlar, men o’zimni pulimni ham unga qo’shib, sizlarni ulushlaringizni beraman, hamyonni esa menga qoldirasizlar, -debdi yo’lovchi.

Dehqonlar quvonib rozi bo’lishibdi. Yo’lovchi pullarni jamlab, birinchi dehqonga uning uchdan bir qismini, ikkinchisiga to’rtdan bir qismini, uchinchisiga beshdan bir qismini va to’rtinchisiga oltidan bir qismini beribdi va hamyonni o’ziga qoldiribdi.

– Rahmat sizlarga ukalar, sizlarga ham, menga ham yaxshi bo’ldi, – deb yo’lovchi ketib qolibdi.

Dehqonlar hayron bo’lishib:

– U nima uchun bizga minnatdorchilik bildirdi, – deb o’ylab qolishibdi.

– Yigitlar, bizlardagi pul qog’ozlarining soni nechta? – so’rabdi Rahim.

Sanasalar 8 ta ekan, ammo 3 so’mlikni topisholmabdi.

– 3 so’mlik kimda? – so’rashibdi bir-biridan.

– Hech qaysi birimizda yo’q.

– Yigitlar, bu qanaqasi bo’ldi? Yo’lovchi bizni rosa boplabdi-ku? Ular o’zlaricha o’zlariga tegishli bo’lgan pulni hisoblab chiqibdilar.

– Yo’q, do’stlar, men olishim kerak bo’lgan ulushimdan ko’proq olibman, – debdi Karim.

– Menga ham 25 tiyin ko’proq tegibdi, – dedi Rahim.

– Qanaqasiga bunday bo’ldi, barchamizga ortiqcha pul tegibdi va yana 3 so’mlikni olib ketibdi.

Bizni rosa boplabdi-ya, azamat.

Dehqonlar qancha pul topishgan?

Yo’lovchi ularni aldaganmi?

U har bir dehqonga nechtalik pullardan bergan?

5. Berahm qonun.

Bir vaqtlar bir zolim podsho bo’lgan ekan. U o’ziga qarashli yerlarga hech kimni qo’yishni istamas ekan. Unga qarashli joylarning chegarasidan o’tadigan daryo ko’prigiga boshdan-oyoq qurollangan soqchi qo’yib, har qanday yo’lovchidan:

– Qayoqqa borayapsan? – deb so’rashni buyurgan.

Agar yo’lovchi noto’g’ri javob bersa, soqchi uni darhol osishi kerak ekan, to’g’ri javob bersa, – daryoga g’arq qilib o’ldirish kerak ekan.

Demak, yo’lovchi to’g’ri javob bersa ham, noto’g’ri javob bersa ham omon qolmas ekan.

Bu zolim hukmronning qattiq qonuni ana shunday bo’lgan; shuning uchun ham unga qarashli joylarga yaqin kelishga hech kim jur'at etolmagan. Bir kuni bitta dehqon bu qonun ijrosining beshafqatligiga qaramay, yaqinlashish ta'qiqlangan ko’prik oldiga boravergan.

– Qayoqqa boryapsan? – deb, soqchi uni to’xtatgan va o’ylamay o’limga borayotgan dovyurak dehqonni jazolashga tayyorlangan.

Ammo dehqon unga shunday javob berganki, zolim xo’jayinning berahm qonunini hech so’zsiz bajarib kelayotgan soqchi dovdirab qolgan va nima deyishini bilmay, hiylakor dehqonga qo’l ham tekkizolmagan.

Xo’sh, ziyrak dehqon soqchining savoliga qanday javob bergan?

6. Shahzoda Ivan ajdarhoni yenga oladimi?

Shahzoda Ivan uch boshli va uch dumli ajdarho bilan jangga tayyorlana boshlabdi. Bu haqda maslahat so’rab yalmog’iz kampirning oldiga boribdi.

"Mana senga qilich, – debdi unga yalmog’iz kampir o’zining o’tkir qilichini berib, – bir zarb bilan sen ajdarhoning bitta yoki ikkita boshini yo bo’lmasa, bitta yoki ikkita dumini uzib tashlashing mumkin. Esingda tut: Agar sen bitta boshini uzib tashlasang, yangisi o’sib chiqadi, dumining bittasini uzib tashlasang, ikkita yangi dum o’sib chiqadi. Agar ikkita dumini uzib tashlasang, bitta bosh o’sib chiqadi, ikkita boshini olib tashlasang, hech narsa o’sib chiqmaydi".

Yalmog’iz kampirdan bu gaplarni eshitib, shahzoda Ivan ajdarho bilan olishishga ravona bo’libdi.

Ayting-chi, shahzoda Ivan ajdarhoni mag’lub qilaoladimi? Agar mag’lub qilsa, u nechta zarb bilan ajdarhoning barcha boshi va dumini uzib tashlay oladi?

(Zarbalar soni eng kam bo’lsin).

7. O’lmas Koshcheyning xazinasi qaerda qolgan?

O’lmas Koshchey xazinasini hech kim topmaydigan qilib yashirish uchun uni yerga chuqur qazib ko’mib qo’ymoqchi bo’libdi.

U 1 metr chuqur qazibdi-da, xazinasini shu yerga ko’mib qo’yibdi. Bu uni qanoatlantirmabdi-da, chuqurni ochib xazinasini olibdi va xazina ko’miladigan joyni chuqurligini 2 metrga yetkazib, xazinasini ko’mib qo’yibdi. Ammo xazinani birov topib qolishidan hadiksirab, yana chuqur kovlab, uning chuqurligini 3 metrga yetkazib, xazinasini yashiribdi. Biroq bu ham Koshcheyni qanoatlantirmabdi. Bu holni u chuqurlik 4 m, 5 m, 6 m, va h.k. bo’lgan hollar uchun takrorlabdi.

Koshchey n metr chuqurlikdagi quduqni n² kunda qazib bo’lishi ma'lum. Koshchey 1001-kuni og’ir mehnat natijasida o’lib qoladi. Xazina qanday chuqurlikda qolgan? (Quduqni ko’mish uchun ketgan vaqtni hisobga olmang).

8. Ivanushka va ayyor malika.

Malika Ivanushkani o’z xonasiga taklif qilib qoldi. Xonada uchta eshik bor edi.

– Senga oxirgi topshiriqni beraman, – dedi Malika Ivanushkaga, – ushbu xonadan bizning qishki boqqa kiruvchi yagona to’g’ri yo’lni top va menga eng chiroyli atirgulni olib kel. Bu xonadan sen yo chap tomondagi, yo o’ng tomondagi yoki o’rtadagi eshikdan ikkinchi xonaga o’tishing mumkin; u xonada ham xuddi shunday uchta eshik bo’lib, ularning xohlagan bittasidan uchinchi xonaga o’tasan va uchinchi xonada ham shunday eshiklar bo’lib, undan boqqa chiqasan.

Shuni bilib qo’yki, to’g’ri yo’nalishni topa olmasang boqqa chiqolmaysan, bu esa boshingni tanangdan uzib tashlashga sabab bo’ladi.

– Mening maslahatimga quloq sol, – davom ettirdi Malika, – birinchi; bu zaldan o’ng tomondagi eshikdan chiq; ikkinchi: ikkinchi xonadan o’ng tomondagi eshikdan chiqma va uchinchi maslahatim: uchinchi xonadan chap tomondagi eshikdan chiqma.