Kitabı oku: «Pandenomics»

INTRODUCCIÓN

Nunca dudé que la pandemia de COVID-19 iba a llegar a la Argentina. Era evidente, desde febrero de 2020, por la velocidad a la que el virus se esparcía por el mundo. Lo que me sorprendió fue la cobertura: desde el principio noté que los zócalos de los noticieros contaban la cantidad de muertos totales a nivel mundial sin referencia relativa alguna. Eso ya me hizo desconfiar. Porque una de las cosas que uno aprende, cuando hace economía aplicada –que es lo que yo hago hace treinta años–, es la necesidad de tener un orden de magnitudes.

Ese orden permite determinar cuán grande o cuán pequeño es un fenómeno. Esto sólo puede medirse en relación con otros factores, nunca en forma aislada. Sin un orden de magnitudes, por ejemplo, nadie puede entender la economía de un país. Hay cosas que pueden parecer insignificantes y no lo son; hay cosas que pueden parecer enormes y tampoco lo son. La ausencia de ese factor me indicó que algo andaba mal en la cobertura de la pandemia. Steve Jobs, en un discurso famoso, dijo: “No podés unir los puntos hacia adelante; sólo podés unirlos hacia atrás.” Esto quiere decir que las cosas tienen sentido cuando se las compara con hechos pasados. En la cobertura de la pandemia muchos trataron de conectar los puntos hacia adelante y casi nadie hacia atrás. Como consecuencia, perdimos el sentido de las magnitudes. Mirando los zócalos catastróficos se me vino a la cabeza un viejo chiste. Se encuentran dos economistas y uno le pregunta al otro: “¿Cómo está tu mujer?” Y el otro responde: “¿Comparado con qué?” Ese chiste lleva hasta el absurdo una verdad que los economistas conocemos muy bien: sin punto de comparación, nada significa nada.

Para explicar lo que pienso de esta pandemia necesito hacer un pequeño rodeo. Hace algunos años me tocó hablar en el World Economic Forum sobre crecimiento y demografía. Leía Julian Simon, que en el desarrollo de la tecnología afirma que hay un proceso liderado por la demanda y un proceso liderado por la oferta. Por el lado de la demanda: cuando crece la cantidad de personas en un lugar y empieza a haber escasez, entonces, altera al conjunto de precios relativos y eso empuja el progreso tecnológico para resolver el problema. Por otro lado está el problema de oferta: cuando la comunidad es muy pequeña, el progreso es más difícil. En otras palabras, es más sencillo encontrar un Mozart en una población de un millón de personas que en una de diez mil habitantes. A esas consideraciones se sumó, para mí, el trabajo de Oded Galor, que en su libro Teoría unificada del crecimiento explica el paso de lo que se llama la “faceta malthusiana” en la historia de la humanidad a la explosión virtuosa de crecimiento luego de la Revolución Industrial. En términos de datos ello se resume así: durante cerca de 1800 años, el PBI per cápita sólo subió 40%, concentrado en el siglo posterior al descubrimiento de América, y nada más. En cambio, desde la Revolución Industrial el PBI per cápita se multiplicó más de 20 veces. En lo que va del siglo XXI el mundo ha crecido a tasas en torno al 3% anual. Eso en cuanto al crecimiento. Ahora consideremos la demografía: en el año 1810 vivían en la Tierra 1000 millones de seres humanos. Hoy viven casi 7800 millones. Eso desmiente categóricamente las predicciones de Malthus, que en el siglo XIX vaticinó que el mundo, llegado cierto punto, no podría producir alimentos para una población creciente. Y no sólo Malthus: en los años 70, el club de Roma vaticinó que la superpoblación iba a producir una catástrofe a fines del siglo XX. Creían que después de ese cataclismo la población mundial bajaría otra vez a 1000 millones. Por supuesto, se equivocaron. Y bien: haber estudiado a fondo la relación entre crecimiento y demografía me permitió entender que la pandemia cuantitativamente es un fraude.

No niego la existencia del Coronavirus. No niego su capacidad de contagio. Pero sostengo que perdimos la perspectiva. Sin pandemia alguna, en condiciones normales, las Naciones Unidas estiman que en el año 2020, por la propia evolución natural de la población, deberían morir en el mundo 60 millones de personas. Eso significa 165.000 personas por día. El Coronavirus, para llegar a ese número, tardó 105 días. No, no es un error. Encerramos a la gente y precipitamos, desde el impulso de cuarentenas cavernícolas, una crisis económica sin precedentes a nivel mundial. En muchos casos destruimos también la legalidad y la democracia, por un virus que tardó 105 días en matar a la cantidad de gente que muere, en forma natural, cada día del año.

En el inicio, la Organización Mundial de la Salud agitó la amenaza de una nueva Gripe Española. ¿De verdad? Tomemos un poco de perspectiva: la Gripe Española tuvo lugar entre 1918 y 1920, en cuatro oleadas. Infectó a un tercio de la población mundial con una tasa de letalidad del 6%, lo cual implicó la muerte de 39 millones de personas. Traducido a la población mundial de 2020, deberíamos tener 2600 millones de infectados y 160 millones de muertos, esto es, cerca de 425.000 personas por día sólo por Coronavirus. ¿Y cuál es la realidad? En agosto de 2020, aún hoy no alcanzan todos los muertos por Coronavirus en el mundo para igualar al equivalente de dos días de Gripe Española. Y la cantidad de muertos diarios por COVID-19, con pocas excepciones, tiende a desacelerarse en todo el mundo.

Éste es mi primer punto: el pánico mundial frente al COVID-19 no guarda proporción con su impacto real en términos de vidas humanas. Ahora voy a hablar de los efectos de este pánico sobre el crecimiento económico.

Ahora tengo que referirme a un trabajo reciente de Robert J. Barro junto a José F. Ursúa y Joanna Weng, en el que los autores hacen un estudio econométrico que procura estimar el impacto de la Gripe Española sobre la tasa de crecimiento del producto per cápita en el mundo. En ese contexto, toman una serie que va desde 1901 a 1929. Ahí aparecen dos situaciones que sacan a muchas personas del mercado de trabajo: una es la Primera Guerra Mundial, la otra es la Gripe Española. Así, la primera serie consta completamente de ceros salvo entre 1914 a 1918 donde ingresan los muertos durante la guerra y lo mismo se hace con las muertes por la gripe española entre 1918 a 1920. ¿Y qué muestra ese estudio? Que si el COVID-19 tuviera la misma magnitud que la gripe española, como sostenía la Organización Mundial de la Salud, la tasa del crecimiento del PBI per cápita debería caer 6 puntos porcentuales. Si además consideramos que el PBI se puede explicar como la suma de la variación del PBI per cápita más la variación de la población, considerando que la población crece 1% por año, y que el COVID-19 mataría a un 2% de personas, el resultado poblacional arrojaría un saldo negativo de 1%, por lo tanto, con una caída del 6% del PBI y una caída neta del 1% para la población, resulta que el PBI mundial debería caer 7 puntos porcentuales.

Ahora bien, de acuerdo al World Economic Outlook del Fondo Monetario Internacional, el mundo (sin pandemia) iba a crecer cerca del 3% en el 2020. Cuando se revisaron las estimaciones en abril, ya con los efectos del COVID-19, se concluyó que el PBI mundial caería alrededor de un 4,5% en todo el año. Usando una metodología distinta, trabajando país por país, el FMI considera que se perdieron entre siete y ocho puntos de crecimiento en el mundo. Es decir que el COVID-19 hundió la economía en (como mínimo) siete puntos porcentuales.

Pero afirmar esto es engañoso: en realidad, lo que hunde a la economía es la cuarentena. El 99,5 % de la caída del PBI se explica por la cuarentena y no por la pandemia. En otras palabras, la Organización Mundial de la Salud sobreestimó de manera salvaje el daño que podía causar el COVID-19, nos amenazó con la Gripe Española, recomendó como paliativo una cuarentena cavernícola y eso nos costó, al menos unos siete puntos porcentuales de crecimiento económico. Digo “como mínimo” porque no incluyo los costos del encierro sobre la salud física y mental de millones de personas, sobre la educación o la legalidad institucional.

Por qué nos equivocamos tanto

Algunos, frente a la magnitud de este descalabro, preguntan: ¿quién se beneficia con todo esto? ¿Puede haber sido intencional? A riesgo de parecer ingenuo, debo decir que no creo en teorías conspirativas. Sin duda hubo negligencias; sin duda, también, fue deplorable que la Organización Mundial de la Salud tapara lo que sucedía en China. También es cierto que China operó de manera muy fuerte contra los países que denunciaron tempranamente ese ocultamiento. Dicho esto, descreo de una conspiración mundial, aunque una vez que tomó curso el modelo de cuarentena impulsado por la OMS, muchos políticos vieron la posibilidad de avanzar en soluciones colectivistas reduciendo libertades a los individuos incrementando su poder político mediante el impulso de un Estado presente.

Los gobiernos tomaron sus decisiones cruciales respecto del COVID-19 asesorados únicamente por médicos. Y la lógica bajo la cual operan los médicos tiene sus límites, ya que suelen tener problemas en diferenciar un caso de equilibrio parcial con uno de tipo general. Supongamos que yo consulto al médico por un problema de salud. El médico me ordena treinta días de reposo. Desde su lógica, el único factor que hay que contemplar son los beneficios del reposo para mi cuerpo. Ahora bien, incluso si tengo un trabajo formal, con todos los mecanismos que me protegen, estar sin trabajar supone un problema. ¿Qué queda, entonces, para los que trabajan en el mercado informal? No trabajar por treinta días puede significar morirse de hambre.

Ahí es cuando se vuelve fundamental diferenciar entre equilibrio parcial y equilibrio general. Dentro de un equilibrio parcial, el que no trabaja podría pedirle ayuda a sus padres, a sus amigos, a su vecino. O podría usar parte de sus ahorros y sobrevivir. Recomendar una cuarentena, entonces, puede ser relativamente válido en lo que se refiere al equilibrio parcial. Pero en términos de equilibrio general esto conduce a un caos. Porque en una cuarentena, aquellos que podrían ayudar a quien no trabaja –su familia, sus amigos o su vecino– tienen el mismo problema. ¿Qué pasa entonces? Lo que estamos viviendo: un desastre.

Otro aspecto que los médicos entienden mal es el orden de magnitudes. Vuelvo al conteo de los muertos por Coronavirus: en Argentina, en agosto de 2020, eran cerca de 5.000. Si uno extrapola esa cifra a la muerte de una persona querida y multiplica ese dolor por 5.000, es obvio que sentirá pánico. Por no mencionar las cifras de muertes en el mundo. Ahora bien, ¿cuántas personas mueren por día, en condiciones normales, en la Argentina? En promedio son 1.000 personas. Así que la situación, puesta en perspectiva, es la siguiente: en 150 días murieron 5.000 personas de Coronavirus. Pero en ese mismo lapso murieron 150.000 por otras causas. Éste es el orden de magnitudes.

También hay grandes problemas en la comprensión matemática de la lógica del virus. En la primera parte de este libro propongo un modelo que se llama SIR. Fue desarrollado a mediados del siglo XX por un bioquímico y un militar. La sigla corresponde a Susceptibles, Infectados y Removidos. Los primeros son el total de la población, salvo que haya una vacuna y elimine a una parte de susceptibles, o que haya inmunidad en un determinado grupo. El virus ataca a los susceptibles. Después están los que efectivamente se infectan. La cantidad de infectados está determinada por los susceptibles que se infectaron menos los removidos, que son los infectados que se curaron o que murieron. En determinado momento, los infectados crecen por la cantidad de infecciones, pero decrecen por la cantidad de removidos. Cuando esa ecuación es positiva, se está infectando más gente de la que se remueve; cuando es negativa, los removidos superan a los nuevos infectados. Con el tiempo, la cantidad de susceptibles disminuye. Es decir que, si bien al principio el crecimiento de casos es exponencial, necesariamente se llega a un pico de casos después del cual las infecciones decrecen. Eso ocurre cuando la tasa a la cual se infectan los susceptibles no alcanza a compensar la salida por remoción. Esto significa que los contagios, aun en el peor de los casos, siempre terminan por decrecer.

Por supuesto, se debe tratar de minimizar el contagio mediante la higiene: lavarse las manos, usar alcohol en gel, mantener el distanciamiento social, usar barbijo. Todo eso no cambia lo contagioso del virus, pero sí baja la probabilidad de contagio. También hay que hacer testeos masivos para detectar tempranamente a los infectados y sacarlos de la calle, igual que a las personas que son grupo de riesgo. Así se reduce la cantidad de susceptibles. La estrategia óptima es: testeos masivos, cuarentena para infectados y grupos de riesgo. Esto bastaba –como lo mostró el caso de países como Hong Kong, Singapur, Nueva Zelanda, Australia, Suiza y hasta los casos de Suecia y Alemania o, sin ir más lejos, Uruguay– para achatar la curva de infecciones y evitar que el sistema hospitalario colapsara.

El error, el catastrófico error, fue poner en cuarentena a todo el mundo.

La economía mundial durante la pandemia

Como anarco-capitalista, yo quisiera un mundo sin Estado; pero el hecho es que hoy el Estado existe. No conviene hacer prescripciones para un mundo que no existe. Considerado esto, me parece muy interesante comparar la respuesta a la pandemia de dos economías desarrolladas y con acceso al mercado internacional: Estados Unidos y Francia.

¿Qué sucede, en una economía cerrada, cuando salen personas del mercado laboral porque están infectadas? Esto provoca una caída del ingreso; esa caída conlleva una caída del ahorro. Si comprenden que este shock es transitorio, y por ende el criterio de inversión no se modifica, entonces la contracción del ahorro lleva a un aumento en la tasa de interés. Esta suba de la tasa de interés hace que caiga la demanda de dinero y como consecuencia el nivel de precios sube. Eso es lo que pasa en una economía cerrada. En una economía abierta, por otra parte, si suponemos inicialmente un equilibrio del sector externo y tiene lugar una contracción del ahorro dada la inversión, eso hace que la tasa de interés de equilibrio interno sea más alta que la internacional, lo que genera un flujo de capitales que permite financiar el desequilibrio interno. Ahora, como entonces la tasa de interés no sube, la demanda de dinero no cae y los precios quedan constantes. Por ende, la crisis se resuelve con endeudamiento. El problema, en esta pandemia, fue que sí hubo pánico; la inversión se derrumbó. Además, cuando hay pánico se venden los activos riesgosos para comprar activos seguros. Se venden acciones, se venden los bonos corporativos, y entonces cae el precio de los bonos de las empresas y aumenta el spread entre el retorno de un título de empresa contra el de un soberano considerado libre de riesgo, al tiempo que sube la demanda de dinero en dichos países. Por otra parte, se cae el precio de los bonos emergentes y, por lo tanto, el riesgo país de los emergentes sube.

Bien, veamos ahora qué hizo Estados Unidos y qué hizo Francia ante esta situación. En materia de política monetaria no hubo diferencias entre los dos, porque Christine Lagarde, desde el primer momento, entendió la analogía con lo que había pasado en la crisis subprime: igual que entonces, ahora había una enorme demanda de dinero. Para que eso no condujera a una deflación, se emitió dinero. En el caso de los Estados Unidos, como la tasa de interés de los bonos del Tesoro estaba en cero, la Reserva Federal bajó la tasa de interés a cero y ofreció dinero. Y en ese contexto tuvo que inyectar, en dos días, el equivalente a un PBI y medio de Argentina de ese momento. Sin embargo, eso no causó inflación porque se emitió contra demanda de dinero.

A partir de acá empiezan las diferencias.

En Estados Unidos, para que la caída de la inversión no dañara al sistema productivo, Trump bajó los impuestos a las empresas. Así, la inversión que caía por culpa del pánico se compensaba parcialmente con la baja de impuestos. Por otro lado, como el sistema laboral de Estados Unidos es muy flexible, conforme avanzaba la epidemia aumentaba el desempleo. Sin embargo en Estados Unidos cuentan con un seguro de desempleo que transfiere fondos directamente a los individuos al momento de perder el trabajo, al tiempo que el Gobierno decidió transferir un cheque de USD 1.200 a cada persona que perdía su trabajo; es decir, hubo un aumento del gasto público. De este modo, se logró sostener el consumo, evitar que la inversión caiga en exceso y se financió ese desequilibrio con endeudamiento externo, en un mundo donde todos están dispuestos a prestarle dinero a Estados Unidos y a los países desarrollados: les prestan a tasa cero y además les demandan dólares.

¿Y Francia? Si bien consigue financiamiento barato, y si bien las condiciones monetarias manejadas por el Banco Central Europeo replican un comportamiento parecido, la política fiscal de Francia es muy distinta. Para empezar, Francia no bajó los impuestos a las empresas. También la asistencia que le ofrece a los individuos es distinta: el gobierno francés se hace cargo de determinadas cuentas. Mientras que Estados Unidos les gira dinero a sus ciudadanos para que gasten en lo que ellos quieran, el Estado francés, en su fatal arrogancia, determina en qué gastos los va a ayudar. No es un tema menor.

De este modo, terminada la crisis, la ayuda del gobierno americano cesa, el gobierno deja de emitir los cheques de desempleo, o sea que el aumento del gasto público es transitorio. Al final de cuentas, de la pandemia queda el endeudamiento y la baja de impuestos sobre empresas, que se manifiesta en una mayor inversión y una mayor acumulación de capital a largo plazo. Por eso la economía americana, después de aguantar el shock, en tres meses generó diez millones de puestos de trabajo. Se espera que para finales de septiembre, la economía ya funcione como antes de la pandemia. El caso de Francia es muy diferente: ese país, al otorgar un subsidio donde el que gasta es el Estado, entra en lo que Milton y Rose Friedman llaman “el triángulo de hierro del status quo”. Ese triángulo se compone de los beneficiarios de los programas, de los burócratas que ejecutan esos programas y del político oportunista. El problema es que, una vez instituido un gasto de esas características, no se puede bajar. Por lo tanto, el aumento del gasto público se torna permanente y así deberá ser financiado por mayores impuestos; a fin de cuentas, los salarios reales franceses terminarán siendo relativamente peores que los americanos.

Dicho esto, si bien en Europa no rondaba ni por lejos la idea de bajar los impuestos. ¿Quién fue el primer país que dio ese paso? Irlanda. Recordemos que solía ser uno de los países más miserables de Europa. Con sus reformas pro-mercado generó un proceso de crecimiento virtuoso que, en sólo treinta y cinco años, le permitió superar el PBI per cápita de Estados Unidos y convertirse en uno de los países más ricos del mundo. Así que ahora, frente a la pandemia, Irlanda bajó impuestos. Si bien en un primer momento, los países europeos que forman parte de la OCDE denunciaron injustamente a Irlanda por una competencia fiscal desleal, luego recalcularon y comenzaron a bajar los impuestos. Y bien: ¿quién fue el último en hacerlo? Francia. ¿Y quién quiere, al contrario, subir los impuestos? España, la actual sucursal del chavismo en Europa y tan cercana a las ideas que hoy tanto se aclaman en Argenzuela.

Conclusión: en esta pandemia les fue mucho mejor a los países que son más liberales y que más respetan a la libertad individual, inspirados por el tan criticado Donald Trump, quien a la postre, tal como lo señala mi queridísima amiga y brillante politóloga María Zaldivar, se terminó convirtiendo en el faro del mundo en la defensa de la libertad.

¿Y la Argentina?

Acabo de comparar la reacción de Estados Unidos ante el Coronavirus con la de Francia. Si quisiera referirme a países en vías de desarrollo con tipo de cambio flexible, debería comparar a Chile con Brasil. En el caso de los países con tipo de cambio fijo, a Panamá con Ecuador. Y después, en una categoría aparte, está la Argentina, que es como Sor Juan Inés de la Cruz: Yo, la peor de todas.

Podemos discutir (y en la segunda parte de este libro lo hago) qué grado de keynesianismo puede darse en los países desarrollados. Pero hay una cosa que está fuera de discusión: no se puede hacer keynesianismo en Argentina. Para eso harían falta dos condiciones: la primera es el acceso al mercado de capitales. La Argentina empezó la pandemia en medio de un default. Por ende, no podía ir a los mercados internacionales. La otra condición es poder utilizar la política monetaria. Pero para eso hace falta demanda de dinero. Y la Argentina no la tiene. Este país no está en condiciones de aplicar el modelo keynesiano. Ante un shock de oferta negativo –porque la cuarentena implicó sacar gente del mercado laboral– ¿había que dar un estímulo a la demanda, aumentando violentamente el déficit fiscal, de 3 puntos del PBI a cerca de 10, y financiarlo con emisión monetaria? NO. Es una locura. El BCRA ya emitió 1,5 billones de pesos para financiar al fisco. Argentina, en el primer semestre, tuvo un déficit fiscal de 14.000 millones de dólares. Y eso en el mejor semestre del año en lo fiscal. A eso hay que sumar que ese dinero no llega a la calle porque lo están esterilizando: el 70% está esterilizado. Así, cuando miramos los pasivos remunerados tenemos el equivalente a una segunda base monetaria. Así, de darse un escenario de pánico bancario, en veintiocho días se duplicaría la cantidad de dinero. Para colmo, se financia la obra pública con emisión monetaria. Se financia a la mitad de gente que está sin trabajo con emisión monetaria. La reconstrucción del capital de trabajo se financiará con emisión monetaria... Todo se financia con emisión monetaria.

De modo que hay una explosión de oferta de dinero y, al mismo tiempo, una caída en la demanda de dinero. Lograr comprar un dólar es una tortura china. En el primer semestre del año entraron al país 8.000 millones de dólares comerciales. A pesar de eso, las reservas cayeron en 1.500 millones de dólares. Eso significa que la demanda de dinero, a pesar de los controles monstruosos que existen, se destruye. Emitir dinero sin contraparte de demanda de dinero, y con la producción cayendo, tarde o temprano lleva a una hiperinflación. En cualquier caso, la Argentina fue la economía que más cayó en el mundo. La tasa anualizada de caída para la primera parte del año es de 53%. Tomando los primeros cinco meses del año, la economía argentina cayó 13% acumulado. Como comparación, en el año 2002 cayó 10,9%. Hoy el desempleo supera el 15%, la pobreza ya está en 45%, el 63% de los chicos de hasta 14 años son pobres. En otras palabras: la Argentina hizo todo mal. Debió bajar el gasto público para poder bajar los impuestos. Pero como los políticos son inmorales, no sólo no bajaron sus ingresos, sino que además anularon los ingresos de las empresas y las obligaron a seguir pagando los impuestos. Las obligaron a mantener la cantidad de empleados. Las obligaron a seguir pagando los salarios. Así, las empresas se vieron obligadas a comerse el capital de trabajo; después hubo una explosión de cheques rechazados y que no se ven en las cuentas del sistema porque salió el Banco Central a pagarlos. En definitiva, vamos hacia un nivel de destrucción de valor inédito en la historia argentina.

Y no sólo de valor material: también de valor moral. Me refiero al uso del miedo. ¿A qué le tiene miedo el ser humano? Por supuesto, a la muerte. Estuvieron ciento cincuenta días machacándonos con la muerte. Nadie se preocupó por establecer un orden de magnitudes. Cualquiera que lo pidiera fue estigmatizado. El principal asesor presidencial, Pedro Cahn, sentenció: “O estás a favor de este modelo, o estás a favor de la muerte”. Se utilizó el miedo como una estrategia de control social. En este sentido, sostengo que la cuarentena impulsada por Alberto Fernández y sus cómplices políticos constituye un delito de lesa humanidad. ¿Parece exagerado? Sin embargo, acorde al artículo 7 inciso k del Estatuto de Roma de 1998 se estipula que cuando se ataca el derecho de propiedad de modo sistemático, a tal punto que se deja a millones de personas sin sustento, ello empuja al individuo a decidir sobre dos opciones: (i) enfrentar al Estado y terminar muriendo de inanición y (ii) rendirse frente al Estado. Así, el primer caso deriva en un delito de lesa humanidad al constituir un asesinato por la vía indirecta con el agravante de que la transición hasta podría ser considerada como una tortura (donde es obsceno cómo miembros del gobierno experimentan placer al dañar económicamente a los opositores). Por otra parte, cuando el individuo por una mera cuestión de supervivencia se pone de rodillas frente al Estado, se convierte en un esclavo, lo cual también constituye un delito de lesa humanidad.

A pesar de todo esto, soy optimista. Es cierto que el mercado laboral argentino es uno de los más rígidos del mundo. Es cierto también que han destruido el aparato productivo. La Argentina saldrá de la pandemia mucho más empobrecida y con los derechos de propiedad vulnerados. Pero a diferencia del pasado, los individuos han empezado a reaccionar. Yo observé con mucha alegría a las manifestaciones del 20 de junio y del 9 de julio de 2020. Había visto muchas manifestaciones antes y algo me frustraba: los reclamos estaban desconectados entre sí. En cambio, en la marcha del 20 de junio, por primera vez desde que tengo memoria, todos reclamaron por el derecho de propiedad, la libertad y que se les permitiera trabajar. Por primera vez una multitud en la Argentina defendió valores liberales. Y luego, el 9 de julio se agregó el reclamo de igualdad ante la ley, que es la bandera emblemática del liberalismo. En definitiva, como nunca antes desde que tengo memoria, los individuos han internalizado los valores del liberalismo. Veo a una sociedad decidida a enfrentar a una corporación política parasitaria que nos ha empobrecido a todos para edificar su progreso. ¿Se sostendrán estos reclamos? ¿Empujarán un cambio profundo? El tiempo lo dirá, aunque de todos modos, en términos de dominancia estocástica sin lugar a dudas estamos mucho mejor.

PARTE I: El virus y la matemática de una pandemia

“Vivimos en la época del miedo. Miedo de la ciudadanía al coronavirus. Miedo de los gobernantes a que se les acuse de no haber hecho todo lo posible para salvar vidas. Miedo de los medios a cuestionar el miedo”.

John Carlin

1. El COVID-19: breve resumen de las observaciones científicas acerca del COVID-19 publicadas por la Sociedad Argentina de Virología

En diciembre de 2019, en Wuhan, provincia de Hubei, China, fue descubierto un coronavirus denominado SARS-CoV-2 o COVID-19. Era desconocido hasta entonces. Secuenciaron su genoma en enero de 2020 y el 30 de ese mes la Organización Mundial de la Salud declaró la emergencia de salud pública internacional.

¿Qué es el SARS-CoV-2? Los conceptos que siguen están basados en forma directa en el informe publicado por la Asociación Argentina de Virología. Éste nos enseña que este virus pertenece a la familia Coronaviridae, a la que se define como “virus envueltos cuyo genoma consiste en una única molécula de RNA simple cadena de sentido positivo”. Éstos infectan a aves y a varias clases de mamíferos. Sucede, en ocasiones, que los coronavirus emerjan como patógenos al saltar a una especie hospedadora diferente. Se agrupan en dos subfamilias: Torovirinae y Coronavirinae. Por lo general tienen forma de esfera, con espículas que emergen de su envoltura. Rodeado por esta envoltura está el genoma viral; a éste van unidas copias de cierta proteína.

¿Cómo entran los coronavirus a la célula blanco? Por contacto entre la proteína S y cierto receptor en la membrana celular. Para el virus SARS-CoV el receptor específico es la proteína llamada ACE2. Si en los humanos el SARS-CoV ataca principalmente a los pulmones y al intestino delgado, es porque esos órganos tienen células epiteliales en los que se expresa la proteína ACE2. Bastan dos residuos aminoacídicos en el RBD de SARS-CoV de un hospedador intermediario para que esta proteína gane la habilidad de unirse al ACE2 de humanos. La proteína ACE2 también funciona como receptor para el nuevo SARS-CoV-2, que puede también fusionarse en forma directa con la membrana plasmática celular.

Una vez que se produce el ingreso del virus en la célula hospedadora, se desnuda la partícula dentro del citoplasma. El gen de la réplica viral se traduce a partir del genoma (+gRNA). El autoclivaje de las poliproteínas pp1a y pp1 abgenera las proteínas no estructurales que conforman el RTC (complejo de las replicas transcriptas). Primero se sintetizan los intermediarios replicativos (-sgRNA); hecho esto, se sintetizan los RNA genómicos y subgenómicos (+sgRNA). A partir de éstos, y asociadas al retículo endoplasmático (ER), se expresan las proteínas estructurales S, E y M. El ensamblado de la partícula se produce el compartimiento ERGIC. Luego, mediante exocitosis, se liberan al medio extracelular las nuevas partículas infectivas.

En diciembre de 2019 varios pacientes de tres hospitales de Wuhan tenían diagnóstico de neumonía viral sin causa identificada. No se detectó en ellos ninguno de los virus respiratorios conocidos. En cambio, todos habían concurrido a un mercado de productos de mar en Wuhan, provincia de Hubei, China; esto permitió asociarlos epidemiológicamente. De estos pacientes se extrajo el material genético del virus. Pronto se obtuvo su secuencia genómica completa y se lo denominó SARS-CoV-2.

El nuevo virus podría usar el mismo receptor que el SARS-CoV, la proteína ACE2. Con una diferencia: el sitio de unión al receptor presenta, en el SARS-CoV-2, cambios en posiciones claves para su unión a ACE2. Otra diferencia: la espícula del SARS-CoV-2 es mayor que la de del SARS-CoV y el MERS-CoV. Los coronavirus pueden adquirir nuevos sitios de clivaje para proteasas; esto sugiere una importante capacidad adaptativa, que quizá esté relacionada con su impactante capacidad infectiva.

Aunque los murciélagos son un reservorio para los coronavirus, otros animales pueden haber servido como hospedadores intermediarios entre los murciélagos y los humanos. El informe de la Sociedad Argentina de Virología argumenta que cuando el brote fue reportado, en diciembre de 2019, la mayoría de las especies de murciélagos que habitan en Wuhan estaba hibernando. Además, no se comercializaron murciélagos en el mercado de Huanan; en cambio (prosigue el informe), había otras varias especies de animales. Tercero, la identidad de secuencias entre SARS-CoV-2 y las cepas de murciélago más cercanas fue menor al 90. Todo esto sugiere que los murciélagos actuaron como mero reservorio, mientras que civetas y dromedarios actuaron como hospedadores intermediarios. El hospedador final, por supuesto, son los humanos.

¿Cómo se propagan los coronavirus? La mayoría lo hace por vías respiratoria o fecal-oral. La replicación ocurre primariamente en el tracto respiratorio; sin embargo, varios coronavirus infectan el tracto respiratorio inferior, causando síndrome respiratorio agudo. Ya hemos mencionado que el SARS-CoV-2 se une fácilmente a la enzima ACE2, lo cual explica su veloz propagación en los humanos. El virus suele causar desde síntomas leves parecidos a la gripe (fiebre, tos, fatiga, dolor muscular) hasta dificultades para respirar, neumonía grave o shock séptico. Las personas con afecciones crónicas padecen con más frecuencia las formas graves de la enfermedad. Aun así, salvo para la gente de edad muy avanzada o que presenta con morbilidades, el SARS-CoV-2 es netamente menos letal que el SARS-CoV, que tiene un 10 % de mortalidad, y el MERS-CoV, que tiene un 35%.

Hasta mediados de 2020 era relativamente escaso el conocimiento sobre el mecanismo de patogenia del SARS-CoV-2; a falta de algo mejor, los datos se basan en su similitud con el SARS-CoV. Ya señalamos que el SARS-CoV infecta en primer lugar a las células en la vía aérea superior, causando daños menores, pero al propagarse a los alvéolos el daño es más grave: se produce descamación de neumocitos, edema alveolar, infiltración celular inflamatoria y formación de membrana hialina. También se detectan virus en riñones, hígado, cerebro e intestino delgado. El pulmón es el órgano más afectado, pero hay disputas acerca del mecanismo preciso de la lesión pulmonar. Las lesiones pulmonares muestran respuestas inflamatorias tales como edemas o infiltración de células inflamatorias, pero también una exfoliación de las células epiteliales alveolares, ensanchamiento y daño del tabique alveolar; a esto se agrega la infiltración del espacio alveolar.

La respuesta inflamatoria juega un papel importante en la enfermedad; así lo muestra el daño a las paredes arteriolares intersticiales pulmonares. El huésped desencadena una respuesta inmune contra el virus. Por supuesto, la respuesta inmunitaria es necesaria para eliminar el virus; pero una respuesta inmune fuera de control puede provocar daños en el tejido pulmonar, deterioro funcional y capacidad pulmonar reducida. El informe de la Sociedad Argentina de Virología destaca que en pacientes con COVID-19 se observó un ascenso plasmático del nivel de citocinas y quimiocinas, factor estimulante de colonias de macrófagos y de crecimiento de hepatocitos. Esta liberación exacerbada de inmunomediadores, a su vez, recluta linfocitos, macrófagos y leucocitos al sitio de la infección. Eso explicaría en parte el daño histológico observado en los pacientes más graves con COVID-19.

La infección por SARS-CoV-2 se diagnostica mediante la detección de genoma viral. Esta técnica se utiliza sobre muestras de secreciones de las vías aéreas superiores e inferiores. Un único resultado negativo, por desgracia, no excluye la posibilidad de una infección, por lo que se recomienda repetir el muestreo; del mismo modo, la detección de un patógeno alternativo no excluye la posibilidad de una coinfección de SARS-CoV-2.

En agosto de 2020, a pesar de avances prometedores, aún no están disponibles vacunas contra ninguno de los coronavirus humanos. Esto se debe, en parte, a su capacidad de recombinarse y de mutar. El informe de la Sociedad Argentina de Virología enfatiza que el problema debe analizarse también con vistas a una respuesta inmune apropiada, que estimule los mecanismos innatos y adaptativos adecuados para proporcionar protección a la infección posterior. Para volver a las vacunas, uno de los puntos críticos es la posibilidad de que la inducción de anticuerpos promueva un aumento en la infección y hasta el agravamiento de los síntomas.

Este efecto ya había sido descrito para coronavirus felinos y es similar al observado con el dengue, la fiebre amarilla y el virus de la inmunodeficiencia humana. Otros trabajos mostraron que existe un umbral de ocupación de anticuerpos en el virus y que, dependiendo de ese umbral, los anticuerpos pueden neutralizar el virus o, por el contrario, aumentar su capacidad infectiva. Otros estudios sugieren que la ADE dependiente de los receptores de anticuerpos podría no ser el único mecanismo para aumentar la infección mediada por anticuerpos. En la evaluación de los ensayos clínicos de las vacunas candidatas (concluye el informe) debería tenerse en cuenta que la inducción de niveles variables de los anticuerpos neutralizantes (incluyendo niveles bajos) es un fenómeno esperable en el contexto de una eventual vacunación masiva.

2. Matemática de la Pandemia
2.1. La Lógica Subyacente detrás de una Epidemia/Pandemia

Durante una mañana de mayo de 1665, George Vicars, sastre de la pequeña villa de Eyam, Inglaterra, recibió un paquete proveniente de Londres. El bulto contenía telas que usaría en la elaboración de ropa para los lugareños. Días más tarde el sastre yacía sepultado en el cementerio de la iglesia local. Las víctimas continuaron. Quedaba claro que la peste bubónica había llegado al pueblo. La población de Eyam recurrió al consejo del reverendo William Mompesson de la parroquia anglicana local y al ministro puritano Thomas Stanley, quienes propusieron un plan para detener la peste. Establecieron, entre otras medidas, que los habitantes evitarían el contacto con el mundo exterior y ahí permanecerían. Cada familia enterraría a sus muertos en los patios de sus propias casas. Para evitar cualquier trato, los residentes de los pueblos cercanos les dejarían comida en las afueras y recogerían las monedas depositadas previamente en pago de los alimentos. Antes de recoger las monedas, los foráneos las rociarían con vinagre para su desinfección. La medida fue efectiva, la epidemia no se extendió a las poblaciones vecinas, pero murieron 250 personas de un total de 350. Aún hoy se pueden ver las lápidas de sus sepulturas. El ser humano es gregario, una condición que ha hecho inevitable que a lo largo de nuestra historia las epidemias sean recurrentes.

Asociado a ello, la epidemia que está causando el nuevo virus SARS-CoV-2 y que produce la enfermedad llamada COVID-19, ha traído a nuestro día a día un nuevo conjunto de conceptos y términos científico-técnicos tales como: pico, “aplanar la curva”, número reproductivo, crecimiento ya sea exponencial o logarítmico, casos, infectados, inmunidad, vacunas, medidas de contención, masa crítica de población, confinamiento, entre otros. Por ello, el objetivo del presente capítulo es presentar en formato de divulgación algunas nociones sobre los mecanismos de propagación y contención de una epidemia.

Una epidemia es un fenómeno de avalancha, que se autoamplifica pudiendo llegar a dimensiones exageradas. Entender esto ayudará a entender de forma realista los límites dentro de los cuales una epidemia, como la del coronavirus en el mundo, puede desarrollarse. Hay muchos fenómenos similares, por ej.: la propagación de un incendio voraz por el bosque, el aumento exagerado de una población de palomas en una ciudad, o los beneficios de una empresa multinacional. Estos crecimientos son de tipo exponencial, al menos en sus inicios y mientras haya recursos (que en una epidemia los recursos vienen dados por las personas sanas susceptibles de enfermar). Si bien entender estas dinámicas no implica poder controlar su crecimiento, resulta muy importante internalizar sus mecanismos para poder hacerlo de forma efectiva.

El crecimiento de una epidemia es una simple cuestión de ganancias y pérdidas. Si las pérdidas superan a las ganancias, la epidemia se terminará extinguiendo. Por ej., cuando la velocidad de un nadador es mayor que la del río remontará el río o en su defecto será arrastrado. Así, en la lucha contra la epidemia buscamos que el ritmo de contagio de un virus se caracterice por “un paso adelante y dos atrás” y no al revés. El avance de una epidemia depende de la capacidad infectiva del virus, pero también del número de contactos interpersonales que favorecen el contagio. También depende del número de personas ya enfermas que se mantienen en la población contagiando a otras. Por ello, si aislamos de la población a los enfermos a un ritmo mayor que el ritmo con que estos enfermos contagian a otras personas, la epidemia se extingue. Por ello es tan importante actuar con medidas de confinamiento combinadas con rastreo y test de detección precoz de enfermos. El ya famoso “número reproductivo” es el cociente de estas pérdidas y ganancias. Si aumentamos las pérdidas y disminuimos las ganancias, podemos “arruinar” a la epidemia (con número reproductivo menor que la unidad).

Un gran problema frente a una epidemia es que la estudiamos con datos en diferido. A partir de los datos confirmados hemos de reconstruir el pasado y hacer una proyección futura. Nunca sabemos el número real de enfermos que hay en la población en un cierto instante, porque durante varios días son infecciosos activos (que contagian a otros) pero aún no han presentado síntomas que les lleve al aislamiento, o bien porque son asintomáticos, o porque están incubando el virus. Por ello, los casos de enfermos confirmados podrían ser sólo la “punta del iceberg”, en determinadas circunstancias. La epidemia siempre va por delante y hemos de perseguirla. En este sentido, los modelos nos permiten realizar estimaciones, nunca predicciones, de posibles escenarios. Para ello es muy útil el conocimiento de cómo se ha comportado la epidemia en otros países donde ha brotado antes. Las distintas estrategias de otros países también ayudarán al diseño de medidas de control más eficaces. Lógicamente, las medidas que cada país adopta también tienen en cuenta su idiosincrasia acorde a las consecuencias sociales derivadas de dichas medidas.

2.2. El Modelo Susceptibles-Infectados-Removidos (SIR)

Una forma de entender la propagación de infecciones es a través de la modelación matemática de las epidemias. Daniel Bernoulli en 1760, fue uno de los primeros en desarrollar un modelo matemático para evaluar el efecto de vacunar a la población contra la viruela. El desarrollo de modelos matemáticos de epidemias tuvo un gran progreso a principios del siglo XX. Tal vez se deba a los contagios que azotaron a la población mundial a principios del siglo pasado, entre las cuales destaca la epidemia de influenza de 1918-1920 que mató a 39 millones de personas. Actualmente existe una gran cantidad de modelos que describen tanto a la dinámica de crecimiento del contagio como de su propagación geográfica. Hoy la literatura al respecto es muy extensa. Por ej., el libro de Brauer (2008) muestra que el campo de la epidemiología matemática es muy activo y que los modelos epidemiológicos siguen progresando.

En este sentido, el objetivo del presente apartado es exponer un modelo muy simple de la dinámica de epidemias elaborado por el bioquímico William Ogilvy Kermack y por el teniente coronel Anderson Gray McKendrick (1927, 1933). A su vez, vale la pena destacar que uno de los resultados fundamentales de la mayoría de esta familia de modelos, es exhibir un umbral en su comportamiento a partir del cual el número de contagiados por la infección disminuirá por sí mismo o bien a partir del cual se convertirá en una epidemia.

En el modelo SIR, como en todo modelo matemático de algún fenómeno natural, se requiere incluir en él condiciones que representen, a grandes rasgos, los mecanismos involucrados. En el caso del desarrollado por Kermack y McKendrick (1927, 1933) se divide en tres clases:

(i) el número de los individuos susceptibles S(t), es decir aquellos individuos que pueden contagiarse;

(ii) los infecciosos I(t), aquellos individuos que al estar enfermos pueden transmitir la enfermedad;

(iii) los removidos R(t), aquellos individuos que luego de haberse enfermado se alivian y quedan en un estado de inmunidad o bien están aislados en algún sitio (como un hospital) o fallecieron.

De este modo, el escenario que se le presenta a un individuo descrito por el modelo SIR estándar será:

S → I → R

El modelo presenta los siguientes postulados:

a) En la epidemia, una sola infección es la responsable de ocasionar un proceso infeccioso en el huésped.

b) El desenlace de la enfermedad es la muerte o la inmunidad completa.

c) La tasa de contagio c(t) es proporcional al número de enfermos: c(t) = a.I(t), siendo a > 0 constante.

d) Número de individuos susceptibles que se contagian por unidad de tiempo está dado por c(t).S(t), por lo tanto, la cantidad de personas que se contagian por unidad de tiempo es:

a.I(t).S(t) con a>0

En otras palabras el número de susceptibles S(t) al trascurrir un tiempo Δt será:

S(t+∆t)=S(t)-a.I(t).S(t).∆t (1)

e) Todos los individuos sanos son susceptibles.

La población es cerrada para cualquier tiempo S + I + R = N. Es decir, no se toman en cuenta nacimientos ni migraciones.

El periodo de incubación que contempla el modelo más general de Kermack y McKendrick es muy corto. El individuo susceptible se enferma y puede contagiar a otro.

La velocidad de decremento de infectados es proporcional a su número. En términos matemáticos:

b.I(t) con b>0

donde b es la razón de removidos por unidad de tiempo y es constante. Esto es, el número de infecciosos I(t) al trascurrir un tiempo Δt será:

I(t+∆t)=I(t)+a.I(t).S(t).∆t-b.I(t).∆t (2)

y el de removidos R(t) al transcurrir un tiempo Δt será:

R(t+∆t)=R(t)+b.I(t).∆t (3)

El modelo supone además que los individuos de todas las clases están mezclados y entran en contacto (excepto los que están aislados en hospitales y los muertos). Al tomar estas condiciones y al usar variables normalizadas en función del número total de la población, N:

s ≡ S ⁄ N, i ≡ I ⁄ N, r ≡ R ⁄ N

Por lo que entonces, el modelo estará descripto por el conjunto de las siguientes ecuaciones diferenciales, que resultan del sistema dinámico dado por las tres relaciones dinámicas indicadas por (1), (2) y (3). Así, la ecuación (4) indicará la velocidad a la que disminuye el número de susceptibles, debido a que se están infectando, de acuerdo con el postulado (d):

ds ⁄ dτ = -s(τ).i(τ) (4)

A su vez, la ecuación (5) nos presenta la velocidad a la que se incrementan los infecciosos de acuerdo con los postulados (d) y (h):

di ⁄ dτ = s(τ).i(τ)-ρ.i(τ) (5)

En último lugar, la velocidad de incremento de los removidos está contemplada en la ecuación (6) de acuerdo con el postulado (h):

dr ⁄ dτ = ρ.i(τ) (6)

donde la constante:

ρ = b ⁄ a.N

es la razón de los removidos a los infectados, mientras que la variable temporal:

τ ≡ N.a.t

arroja el tiempo en unidades del periodo de infección.

La formulación matemática del modelo epidemiológico se completa fijando las condiciones iniciales del sistema, por ejemplo al tiempo τ = 0, que marca el inicio de la epidemia:

s (τ=0) = s₀ > 0

i (τ=0) = i₀ > 0

r (τ=0) = r₀ = 0

Éste es un modelo muy rudimentario, al cual se le han hecho algunas modificaciones a lo largo del tiempo, adecuándolo a situaciones específicas. Algunos modelos han relajado las condiciones señaladas arriba con los postulados (e) y (h) al introducir dinámicas más complicadas. Por ej. el periodo latente del HIV es muy variable. Hay enfermos que manifiestan sus primeros síntomas pocos años después de haber sido infectados, algunos nunca. En una epidemia muy larga como el SIDA los hijos de padres infectados como no infectados alteran el número total de pobladores. Esto último no está contemplado en el modelo original ya que lleva implícito conservar la población. Simplemente la suma de las tres ecuaciones diferenciales en (4), (5) y (6) es igual a cero, así:

s(τ) + i(τ) + r(τ) = 1

donde la unidad representa el total de la población, esto es, la suma de susceptibles, infectados y removidos es constante. Otras variaciones al modelo SIR contemplan casos de epidemias donde la población de susceptibles es heterogénea, ya que pueden integrarla también niños y ancianos. Mollison (1995) detalla más sobre las modificaciones al modelo SIR. Sin embargo, aun cuando el modelo estándar es muy elemental, permite hacer algunos señalamientos relevantes sobre las epidemias.

A su vez, una de las características de las ecuaciones diferenciales que representan al modelo SIR, si bien no tienen una solución analítica, es posible encontrar soluciones numéricas. En el gráfico que se presenta a continuación nos muestra la solución numérica sobre cómo evolucionan las tres variables del modelo SIR para un caso de epidemia, donde se observa que el número de infectados aumenta hasta un máximo y después decrece.

EVOLUCIÓN TÍPICA DE LAS VARIABLES SIR EN UNA EPIDEMIA

Sin embargo, sin necesidad de recurrir a métodos numéricos, inferimos algunas de las características cualitativas de las soluciones. Para comenzar, el modelo sólo tiene sentido si las funciones s(τ) e i(τ) se mantienen no negativas porque representan un número de personas de alguna de las dos clases. En otras palabras, si alguna de las dos funciones alcanza el valor 0, el sistema termina, es decir, con cero susceptibles o cero infecciosos.

Subrayamos además que el número de susceptibles disminuye todo el tiempo en el modelo, esto es, ds/dτ < 0. Asimismo, observamos que para que exista una epidemia debe cumplirse que el número de infecciosos i(τ) al inicio aumente con el tiempo. Queremos remarcar que por epidemia se entiende que i(τ) > i₀ para algún tiempo τ. En términos matemáticos, hay epidemia si di/dô > 0 y esto ocurre si y sólo si s > ñ (véase ecuación 5). Sin embargo, acabamos de mencionar que s disminuye todo el tiempo, por lo que en algún momento la desigualdad se puede invertir y causaría que ahora di / dτ < 0: el número de infecciosos disminuirá con el tiempo. En pocas palabras, eventualmente se acaba la epidemia. La discusión anterior significa que existe un umbral, dentro del modelo, que determina si se desarrolla o no epidemia.

Ahora, si un pequeño número de infectivos entra en contacto con una comunidad de susceptibles, nos preguntamos si es posible que se desate una epidemia. Con este propósito el modelo define una cantidad umbral llamada número básico de reproducción R₀ igual a s₀/ñ, que puede determinar la respuesta. Es fácil ver en la ecuación (5), que si R₀ < 1 la infección se acaba, pero si R₀ > 1, ocurre una epidemia, su magnitud será determinada por el valor R₀. En caso de que se desarrolle, el número de infectados llegará a un máximo, después del cual disminuirá. Para visualizar el comportamiento del sistema de ecuaciones diferenciales (4), (5) y (6) examinaremos trayectorias en un plano de fase sencillo (i versus s). Para este propósito eliminaremos de dicho sistema la dependencia en el tiempo y dividiremos la ecuación (4) entre la (5) para obtener:

di ⁄ ds = -1 + ρ ⁄ s (7)

VARIACIÓN DE INFECTADOS EN RELACIÓN A SUSCEPTIBLES, DONDE VARÍA S₀ Y ρ FIJO

Cabe notar que todas las singularidades aparecen en di / ds = 0, es decir, en s = ρ. Al integrar obtenemos las trayectorias en el plano (i, s):

i - i₀ = s - s₀+ ρ.ln (s ⁄ s₀ ) (8)

A su vez, para fijar la constante de integración, hemos utilizado las condiciones iniciales. Las trayectorias en el plano de fase se muestran esquematizadas en la gráfica que se ha presentada arriba. La línea recta inclinada muestra la condición inicial caracterizada por r₀ = 0, donde no hay removidos. De este modo, si la epidemia se presenta, sería bueno saber qué tan severa será. Usamos la condición di/dτ = 0 para encontrar el punto crítico, el cual ocurre en s = ρ, que corresponde al máximo de infectados, i_max. Al usar la ecuación (8) para las trayectorias de fase y al hecho de que el número de removidos es nulo inicialmente, tenemos:

i_max = ρ.ln (ρ ⁄ s₀ ) - ρ + 1

que nos determina el número máximo de infectados a un cierto tiempo si conocemos el número inicial de personas susceptibles y el parámetro ñ. Cuando s₀ < ρ disminuyen los infectados y la epidemia acontece. En caso contrario, la epidemia comienza y el número de infectados evoluciona hasta un máximo en s = ρ, y después decrece. La línea vertical de la gráfica muestra los máximos de las curvas de los infectados, la cual separa las curvas tipo epidemia (lado derecho) de las no epidemias (lado izquierdo).

El proceso de infección evoluciona a partir de la línea recta inclinada, puede aumentar o disminuir el número inicial de infectados. La línea vertical separa las condiciones iniciales de epidemia (derecha) y no epidemia (izquierda), además señala el valor máximo de infectados que puede tener la población.

2.3. Medición y Control sobre una Base Matemática
2.3.1. Fases en el crecimiento de los infectados

Una magnitud puede crecer de dos maneras: linealmente y exponencialmente. En un crecimiento lineal se suma algo en cada paso, mientras que en un crecimiento exponencial la magnitud se multiplica por algo en cada paso. En lenguaje matemático se dice que el crecimiento lineal sigue una progresión aritmética (sumar) y que el exponencial sigue una progresión geométrica (multiplicar).

El tipo de crecimiento que se produce en las epidemias como la del coronavirus es de tipo exponencial (en la fase inicial). De hecho, en la naturaleza y en la sociedad encontramos muchos fenómenos donde las magnitudes crecen con el tiempo de forma exponencial. En biología son exponenciales: el crecimiento del número de bacterias en un cultivo, la infección por un virus en una población no inmunizada, la división celular a partir del embrión o el crecimiento de un tumor. En física: las reacciones nucleares en cadena y la amplificación de la luz en un láser. En ciencias sociales, ejemplos clásicos son: el aumento de la población humana y el crecimiento económico de un país.

Para el caso de las epidemias, se define como tasa de crecimiento al número de nuevos casos que genera cada individuo por unidad de tiempo. La vamos a nombrar con la letra α:(Número-Número Previo)/Número Previo. Así, la tasa de crecimiento determina la velocidad y la intensidad con que crece una magnitud. Por ende, ante una tasa de crecimiento positivo indica que la población crece, mientras que una tasa de crecimiento negativo significa que la población decrece.

En cuanto a la determinación de la tasa de crecimiento existen factores que juegan a favor y otros factores que lo hacen en contra. Así, del mismo modo como es en el crecimiento demográfico juegan a favor los nacimientos y la inmigración; y juegan en contra los fallecimientos y la emigración, en una epidemia de virus juegan a favor del crecimiento la capacidad de infección del virus y el contacto humano; mientras que la vacunación, la detección precoz de personas afectadas con su consiguiente cuarentena y el confinamiento de la población le juegan en contra al virus.

Por otra parte, en el caso de una epidemia de virus, las personas que van enfermando se retiran del grupo de personas contagiosas al ser detectadas y, entonces, ellas ya no siguen contribuyendo al contagio (estas personas son las que hemos llamado en el modelo SIR como removidas). Por ello, la tasa de crecimiento que hemos definido no coincide con lo que llama tasa de infección, salvo en el caso de que todos los infectados se mantuvieran activos indefinidamente, cosa que no ocurre. Este balance entre factores en contra y a favor, nos llevará a definir el número reproductivo, un parámetro importantísimo en el estudio de la dinámica de las epidemias.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CURVA LOGÍSTICA (FUNCIÓN SIGMOIDE)

Por otra parte, vale la pena notar que el crecimiento exponencial en el mundo real no puede ocurrir indefinidamente. Ello se debe a una simple cuestión de agotamiento de recursos. El crecimiento exponencial puede prolongarse más o menos tiempo, pero siempre termina alcanzándose una situación de equilibrio o estacionaria, donde la magnitud ya no crece más y se mantiene constante, o incluso puede decrecer. En una epidemia esto ocurre cuando el número de personas que quedan sin enfermar es menor que el mínimo necesario para que los contagios sigan propagándose, donde a ese mínimo necesario se lo denomina masa crítica. Por lo tanto, el crecimiento en un sistema finito siempre lleva a esta situación de saturación el sistema. El número de nuevos individuos que van apareciendo no es proporcional a los individuos existentes, sino que es proporcional a dicho número multiplicado por la capacidad del sistema. Así, el crecimiento puramente exponencial solamente se presenta en la primera fase el crecimiento de una epidemia, después se va ralentizando por sí solo. La curva que describe el número total de personas afectadas es una función que se denomina sigmoidea de la cual surge una curva logística.

Para desarrollar la función sigmoide y así derivar la curva logística partimos con la definición de capacidad del sistema:

Donde “nmax” es el máximo de individuos que podrían alcanzarse en un sistema. Por otra parte, el número de nuevos individuos esta determinado proporcionalmente por:

Donde la ecuación que gobierna el crecimiento estará dada por:

Cuya solución es la denominada curva logística:

Dónde esta última ecuación es la forma analítica de la figura presentada arriba. A su vez, en la misma, se asume que para una población de 100 individuos se vacuna a 20 por lo que la capacidad de saturación del sistema se da en 80 individuos.

2.3.2. Medición del ritmo de la epidemia

El contagio por un virus es una cuestión de probabilidad. Esta probabilidad depende de las propias características del virus pero también del grado de exposición al virus. A su vez, acorde a lo expuesto en el modelo SIR, la infectividad viene dada por la capacidad de un patógeno para provocar una infección. Si el virus es altamente contagioso pero todo el mundo está aislado, no habrá ningún contagio. Y al revés, aunque el virus tenga poca infectividad, el número de contagios (la incidencia) será grande si las personas mantienen muchos contactos con otras personas. Por otra parte, dado que la infectividad de un virus es la que es, y no cambia a no ser que se aplique una vacuna efectiva, o que la población se vaya curando e inmunizando, o que unas determinadas condiciones ambientales (como pudiera ser la temperatura en algunos tipos de virus) debiliten al virus. Así, dejando de lados estas posibilidades, lo único seguro es nuestro grado de exposición al virus. Por ello, como los virus se transmiten por contactos directos con personas infectadas, o con contactos indirectos con superficies contaminadas, cuanto menor nuestra interacción con otras personas y cuantas más normas de higiene sigamos, menor será la probabilidad de contagio.

Acorde a lo explicado anteriormente, el crecimiento exponencial y la capacidad del sistema, hemos podido ver que el número de nuevos contagios es proporcional (la constante de proporcionalidad es la tasa de crecimiento) a dos cantidades:

1 al número de infecciosos activos (personas contagiadas aún no aisladas), y;

2 al número relativo de personas restantes susceptibles de contagio (lo que hemos llamado capacidad del sistema).

Por ello, el sistema se autolimita, porque conforme quedan menos personas sanas, menos contagios se producen. Dicho de otra manera, una epidemia se “alimenta” de las personas que todavía quedan sanas y no aisladas o vacunadas. En segundo lugar, la epidemia avanza propulsada por el número de infectados activos y la cantidad de contactos que realizan. Uno de los grandes problemas de estos crecimientos es que cuantos más contagiados hay, más contagios se producen, y así se amplifica el ritmo de crecimiento con un efecto bola de nieve. Por lo tanto, como se verá más adelante, para controlar una epidemia hay que intentar sacar personas infectadas del sistema y reducir las personas expuestas.

Definiciones y medidas para el análisis: A la luz de todo ello, resulta de mucha utilidad presentar un conjunto de definiciones y medias que nos permiten hacer una lectura de los datos que surgen a lo largo del desarrollo de la epidemia.

Tasa de infección, o tasa de contagio: a. Tal como lo hemos definido en el planteo del modelo SIR, es el número medio de individuos contagiados por otro individuo ya infectado por unidad de tiempo, en una población totalmente susceptible (S). Cuanto mayor sea, más rápidamente crecerá la epidemia. Esta tasa depende de las características de la enfermedad (infectividad), pero también de número medio de contactos interpersonales y de las medidas higiénicas en una determinada población.

Tasa efectiva de infección: Habiendo definido como S al número de individuos susceptibles (los que todavía pueden contagiarse) y N es la población total, la tasa efectiva de infección es la tasa de infección multiplicada por la fracción de individuos susceptibles:

a.(S ⁄ N) = a.s

Dicha medida da cuenta de que la probabilidad de contagiar se reduce al haber en el entorno menos individuos susceptibles de ser contagiados.

Periodo infeccioso: t. Es el lapso de tiempo, en promedio, durante el cual un individuo infectado puede contagiar a otros. Tras dicho periodo, este individuo deja de ser un infeccioso activo porque queda en cuarentena, porque se ha curado o porque ha fallecido. Si este periodo es muy largo la epidemia crecerá más fuerte, porque una misma persona seguirá transmitiendo la infección durante más tiempo.

Tasa de retirada: b. Es la inversa del periodo infeccioso:

b = 1 ⁄ t

Como el grupo de personas infecciosas activas crece por un lado (con nuevos contagios) y decrece por otro lado (al detectar la enfermedad y retirar personas a la cuarentena), la tasa de crecimiento que estudiamos en apartados anteriores es igual a la tasa efectiva de infección, a.(S/N), menos la tasa de retirada b:

α = a.(S ⁄ N) - b = a.s - b

Si la tasa de retirada es mayor que la tasa de infección, α será negativa y la epidemia se extinguirá. Estas definiciones nos ayudan a entender la tasa de crecimiento como un balance entre ganancias y pérdidas. Ocurre algo similar con el efecto de los zorros sobre una población de conejos, cuyo crecimiento se verá frenado no sólo por la saturación de recursos (véase la curva logística explicada anteriormente) sino por la depredación de presas. O, por ejemplo, si por cada nuevo bebé nacido hay una persona fallecida, la población se mantiene constante; pero si hay más muertes que nacimientos la población decrecerá. El hecho de que existan factores de crecimiento de una magnitud y factores de decrecimiento, ello implica que la magnitud puede empezar a decrecer a partir de un valor máximo o pico.

Número reproductivo básico: g₀. Es número medio de infecciones generadas por un único individuo infectado, durante el periodo infeccioso de dicho individuo, introducido en una población totalmente susceptible. Matemáticamente es el cociente entre la tasa de infección y la tasa de retirada (o el producto de la tasa de infección por el periodo infeccioso):

En este sentido, el parámetro en cuestión establece un umbral a partir del cual no puede producirse la epidemia cuando aparecen los primeros enfermos. Así, cuando g₀ está por encima de la unidad, la infección se propaga y estamos en una epidemia. Por otra parte, cuando el valor del parámetro g₀ es igual a la unidad, el número de infectados activos se mantiene constante y estamos frente al caso de una enfermedad endémica. Finalmente, cuando el parámetro está debajo de la unidad, la infección se autolimita, no puede extenderse y decrece.

Por lo tanto, el número reproductivo determina la intensidad de una epidemia. Así, cuanto mayor es g₀, más alto y estrecho es el pico de contagios, es decir, tanto más rápida y fuerte ocurre la epidemia afectado a mucha gente en poco tiempo.

Número reproductivo efectivo: g. A su vez, cuando la epidemia ya ha avanzado y ahora el número S de personas susceptibles es menor que el total N, o bien hay un porcentaje de la población vacunada, se define el número reproductivo efectivo de la siguiente manera:

El número de contagiados por la infección disminuirá por sí mismo cuando g < 1, lo cual ocurrirá tarde o temprano al ir disminuyendo el número S de potenciales contagiados, donde dicha situación se presenta cuando g = 1, esto es, precisamente, en el propio momento en que se produce el pico de la epidemia.

2.3.3. El control sobre una base científica

El número reproductivo da información acerca de la velocidad con que una enfermedad puede propagarse en una población determinada. Los epidemiólogos lo consideran uno de los parámetros decisivos para determinar si una epidemia puede ser controlada. Al mismo tiempo, también resulta clave la tasa de crecimiento, ya que cuando g < 1 ello implica que a < 0. Por eso es imprescindible conocer de qué factores dependen dichas relaciones y así poder actuar de la manera más efectiva.

La expresión matemática del número reproductivo indica de forma precisa las consideraciones cualitativas que hemos estado haciendo previamente sobre el balance de los factores de ganancia y pérdida de la epidemia. A la vista del parámetro concluimos que podemos actuar sobre tres factores, de la siguiente manera:

1 Logrando que la persona infectada esté menos tiempo activa, es decir, disminuyendo el período de infección t (aumentando la tasa de retirada, b). Esto puede lograrse con el aumento de las pruebas diagnósticas, lo que ayudará a la detección precoz de los infectados y a su inmediato aislamiento.

2 Confinamiento, distanciamiento social e higiene. Estas medidas reducirán la tasa de infección, a.

3 Reducción del número S de personas susceptibles, por ejemplo mediante la vacunación de la población (cuando exista una vacuna) o mediante el aislamiento total de regiones donde aún no ha entrado el virus.

Por lo tanto, el control de la epidemia sólo se logra cuando el número reproductivo efectivo disminuye debajo de la unidad: g < 1, donde, naturalmente, lo ideal para lograrlo es la combinación de las tres estrategias.

PARTE II: Marco analítico para el análisis económico de la pandemia

“¿Podría tomar un Gobierno de la India alguna medida que permitiera a la economía india crecer como la de Indonesia o Egipto? En caso afirmativo, ¿cuál exactamente? En caso negativo, ¿qué tiene de peculiar la India que hace que sea así? Las consecuencias de este tipo de cuestiones para el bienestar humano son simplemente asombrosas: una vez que uno comienza a pensar en ellas, es difícil pensar en otra cosa”.

Robert E. Lucas, Jr.

1. Estructura del Marco Analítico
1.1. La Función de Producción

El tipo de fluctuaciones cíclicas que estaremos estudiando en la presente sección y las explicaciones que derivaremos frente a los efectos económicos causados por el COVID-19 serán analizadas dentro de un modelo dinámico de corte intertemporal, lo cual nos permitirá entender a las mismas como desvíos sobre la trayectoria de crecimiento económico de largo plazo. Por lo tanto, a la luz de ello, el primer paso consta en la construcción del modelo subyacente que describe el proceso de crecimiento económico.

En función de ello, para comenzar el estudio del crecimiento económico, es de vital importancia la descripción de la relación existente entre la tecnología y los factores productivos que permiten determinar conjuntamente la producción de bienes y servicios de la economía, esto es el PIB. Dicha relación viene dada por lo que se denomina función de producción.

En el modelo simplificado con el que vamos a trabajar, asumiremos solamente la existencia de dos factores productivos: el stock de capital, K, y el trabajo, L. A su vez, en el presente modelo, el capital es tomado en forma física, tal como es el caso de las máquinas y los edificios usados para el desarrollo de la firma representativa. Por otra parte, un modelo más completo en lo concerniente al trabajo podría incluir el capital humano, el cual captura los efectos de la salud de las personas, su educación y su entrenamiento para el desarrollo de sus tareas laborales. Sin embargo, en función del tipo de impacto sobre la cantidad de trabajadores que produce el COVID-19 (el cual trataremos como un shock de tipo transitorio), resulta más conveniente que la cantidad de trabajo, L, esté dada por la cantidad de horas-hombre por año, tomado como dato la calidad del trabajo y el nivel de esfuerzo. Es más, dentro de la misma simplificación del modelo, ello implica que, para un momento del tiempo, cada uno de los trabajadores tiene las mismas calificaciones.

Al mismo tiempo, para una determinada cantidad utilizada de capital, K, y de trabajo, L, existirá un determinado nivel de tecnología, A, el que permitirá un mayor nivel de producción conforme la tecnología sea más elevada. De este modo, cuanto más elevado el nivel tecnológico de la economía, más elevada será su productividad total. De hecho, una mayor productividad significa que para una misma cantidad de capital y trabajo la producción es mayor.

Por lo tanto, en términos formales podemos expresar la función de producción de la siguiente manera:

La función de producción explica cómo es determinado el producto Y, para un nivel de tecnología A y una determinada cantidad de capital, K, y de trabajo, L. A su vez, es posible observar en la ecuación el nivel de proporcionalidad que existe entre el producto y la tecnología, esto es, para una cantidad dada de capital y trabajo, si se duplicara la tecnología, el producto también lo haría.

Por otra parte, para un determinado nivel de tecnología A, la función F (K, L) nos describe como frente a cantidades adicionales de capital y trabajo varía el producto de la economía. Concretamente, asumiremos que la función presenta las siguientes propiedades:

(i) rendimientos constantes a escala:

(ii) productividad marginal de los factores positiva, pero decreciente

(iii) cumplimiento de las condiciones de Inada

Los rendimientos constantes a escala señalan que, más allá de la tecnología, si se incrementan los factores productivos en la misma proporción, la producción aumentaría en la misma cantidad. Esto es, si se duplicara tanto la cantidad de capital como de trabajo a la misma vez, el producto total se duplicaría. Por otra parte, se asume que los rendimientos marginales son positivos aunque de un modo decreciente. Esto significa que, por ejemplo, ante una determinada cantidad de capital, el aumento de la cantidad de trabajo utilizada hace que la producción suba (rendimiento marginal positivo) pero que lo haga de un modo proporcional cada vez menor (rendimiento marginal decreciente). Del mismo modo ocurre con sucesivos incrementos del capital frente a una cantidad dada de trabajo. Por último, las condiciones de Inada muestran que la productividad marginal de los factores (tanto para el capital como para el trabajo), tiende a cero cuando uno de ellos tiende a infinito, mientras que el otro permanece fijo. Por otra parte, cuando uno de los factores tiende a cero mientras permanece fijo el otro factor, la productividad tiende a infinito.

En el gráfico se puede verse la relación entre el insumo capital, K, y el nivel de producción, Y = A.F(K,L), para el caso donde el nivel de tecnología, A, y la cantidad de trabajo están dado. Como es posible observar, conforme crece la cantidad de capital utilizado, si bien la producción aumenta, lo hace de un modo decreciente. En otros términos, para conseguir aumentos similares en el nivel de producción se requieren mayores incrementos del insumo capital. El efecto en cuestión, gráficamente, viene dado por el cambio de la pendiente ante distintos niveles de incorporación de capital físico, la cual se reduce en la medida que sube la utilización del insumo (producto marginal positivo –esto es, pendiente positiva- pero decreciente, captado por la menor pendiente en la medida que crece la utilización del insumo). Naturalmente, esta relación que se ha presentado para el caso del capital, también es válida para el caso de que el insumo sea el trabajo.

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN NEOCLÁSICA Y RENDIMIENTOS MARGINALES EN CAPITAL

RENDIMIENTOS MARGINALES DECRECIENTES EN EL FACTOR TRABAJO

En el gráfico en cuestión, si bien en el eje de las abscisas ahora se mide la cantidad de trabajo utilizada en la producción, el formato y las condiciones en lo que hace a la producción y al producto marginal del insumo son similares conceptualmente, esto es, un producto marginal positivo y decreciente. Nótese que también es posible observar los efectos asociados a las condiciones de Inada, ya sea tanto cuando nos movemos hacia el origen, por lo que al tender a cero el insumo su productividad marginal tiende a infinito, como así también cuando el insumo tiende a infinito la productividad marginal del mismo tiende a cero.

Por otra parte, dado el supuesto de la existencia de rendimientos constantes a escala, hace que la multiplicación de los dos factores –capital y trabajo– en la misma proporción, hace el producto aumente en la misma cantidad y por ende ello nos permite multiplicar tanto a K como a L por 1/L de modo tal que nos encontramos con el nivel de producción per cápita:

A su vez, si al producto y al capital, ambos en términos per cápita vienen expresamos por “y” y “k” respectivamente, la producción per cápita estará dada por la siguiente expresión:

Cuya representación gráfica viene dada por la figura de la página siguiente:

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN NEOCLÁSICA EN TÉRMINOS PER CÁPITA

Naturalmente, la función muestra la presencia de una productividad marginal que si bien es positiva, la misma es decreciente. Sin embargo, el gráfico ahora está expresado en términos de utilización relativa del insumo capital respecto del trabajo. Nótese que si los dos insumos aumentan en la misma proporción la relación capital-trabajo, k, no varía y por ende el producto per cápita, y, no varía, esto es, el nivel de productividad marginal es el mismo. Sin embargo, en la medida que el uso relativo del factor capital respecto al trabajo crezca, su productividad marginal caerá.

APÉNDICE I
La Función Cobb-Douglas

En línea con lo anteriormente desarrollado, una función de producción que se suele utilizar regularmente en el análisis económico y que respeta cada una de las condiciones señaladas, es la que lleva el nombre de Cobb-Douglas, la cual viene dada por la siguiente expresión:

En la que el producto marginal del capital y el trabajo estarán dados por:

Donde, para las dos ecuaciones anteriores queda establecido que el producto marginal de cada factor es positivo. Por otra parte, derivando nuevamente para las dos expresiones, es posible observar que la productividad margina resulta ser decreciente:

A su vez, la renta del capital y el trabajo vendrán dadas por:

Finalmente, en cuanto al caso de la función en términos per cápita, la misma vendrá dada por la siguiente expresión:

Donde, la misma satisface las condiciones, de rendimiento constantes a escala, rendimientos marginales positivos pero decrecientes y condiciones de Inada.

1.2. El Modelo de Crecimiento de Solow-Swan

El modelo de Solow-Swan intenta dar respuesta a la pregunta sobre ¿por qué crecen las economías? Regularmente, ante dicha pregunta se suelen ensayar tres tipos de respuestas:

(i) La economía crece porque cada vez existe un mayor stock de capital (máquinas, herramientas y diversos tipos de instrumentos) por cada trabajador, lo cual aumenta la productividad de la fuerza laboral y ello se traduce en un mayor producto per cápita, donde la variación del mismo para un intervalo de tiempo describe la tasa de crecimiento. Así, dado que el foco se hace sobre la inversión, en esta visión resulta clave el accionar de las empresas;

(ii) Otra visión sostiene que la clave del crecimiento es la educación de la población (capital humano), de modo tal que hoy somos capaces de producir mucho más que en el pasado porque los trabajadores del presente están mucho mejor calificados;

(iii) Por último, nos encontramos con la visión que vincula al crecimiento económico con el progreso tecnológico. Acorde a la misma, nuestra mayor productividad presente deriva de utilizar una maquinaria más sofisticada (más avanzada) que la disponible en el pasado.

En función de ello, es que dentro del debate sobre el crecimiento juega un rol importante el papel del ahorro y su transformación en inversión, la evolución en el nivel de educación de la población y las actividades relacionadas con la investigación y desarrollo de productos. Si bien el modelo de Solow-Swan, en base a su diseño está en mejores condiciones para dar respuestas en línea con el primer punto, el mismo puede ser rediseñado de modo tal que logre explicar los efectos de la mejora en el capital humano y en el progreso tecnológico.

Para derivar el modelo, partimos del caso de una economía cerrada y sin la existencia de gobierno, tal que la ecuación que representa el equilibrio en el mercado de bienes viene dada por la siguiente ecuación:

Esto es, dada la no existencia del Gobierno, la demanda está determinada por la suma del consumo (C_t) y de la inversión (I_t) privada, al tiempo que dicha suma se igualaba al producto para la determinación del equilibrio en el mercado de bienes.

Respecto al comportamiento del consumo, sólo a los efectos de trabajar con un modelo lo más sencillo posible, se supone que los individuos ahorran sólo una fracción constante de sus ingresos, “s”, por lo que el resto de sus ingresos, “(1-s)” es aplicado en el consumo de bienes. En términos formales:

Por otra parte, dado que el equilibrio en el mercado de bienes determinado por la igualdad entre ahorro e inversión, obtenemos:

A su vez, respecto a la inversión bruta, la misma surge de la inversión neta más la depreciación del capital:

Por lo que, asumiendo una tasa de depreciación constante (δ) para el capital y reemplazando la nueva expresión de la inversión en la condición de equilibrio del mercado de bienes, la misma puede ser escrita de la siguiente manera:

Por lo que ahora es posible poner toda la expresión en términos de la variación temporal del capital (inversión neta), lo cual estaría dado por:

Al mismo tiempo, para poder derivar una expresión en términos de la relación capital-trabajo, en primer lugar, dividimos esta última expresión por la fuerza laboral:

En segundo lugar, expresamos el producto en términos per cápita (y):

Donde a su vez, calculando la tasa de variación de la relación capital-trabajo y asumiendo una tasa de crecimiento de la población constante e igual a “n” obtenemos:

Así, reemplazando en la ecuación que describe la variación del capital sobre el trabajo, es posible arribar a la ecuación fundamental del modelo Solow-Swan:

Al mismo tiempo, si utilizáramos la función de producción Cobb-Douglas, nos encontraremos con la siguiente expresión:

En cuanto a la interpretación desde el punto de vista del análisis económico de la ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan, la misma señala que el stock de capital per cápita crece en la medida que el ahorro de la economía sea superior a las necesidades de inversión que logran mantener constante el stock de capital per cápita.

Por lo que en el equilibrio de estado estacionario se debería cumplir que:

Lo cual, en términos de la función de producción de Cobb-Douglas implica:

Así, el ahorro per cápita es suficiente como para cubrir la tasa de depreciación más la dotación de capital para las nuevas generaciones de trabajadores, de modo tal que la relación capital-trabajo quede constante. A su vez, a partir de la función de producción del tipo Cobb-Douglas es posible determinar el stock de capital per cápita en el equilibrio de estado estacionario.

Por otra parte, para realizar el análisis del estado estacionario podemos utilizar una representación gráfica del mismo:

EQUILIBRIO DE ESTADO ESTACIONARIO EN EL MODELO SOLOW-SWAN

En el gráfico es posible observar por un lado la función de producción per cápita, cuyo comportamiento, ante una tecnología A dada, viene determinada por la relación capital trabajo “y = f(k)”. A su vez, en línea con los supuestos de rendimientos constantes a escala, productividad marginal positiva pero decreciente y condiciones de Inada, conforme la relación capital trabajo sube, el producto per cápita crece pero menos que proporcionalmente. A su vez, la curva de ahorro-inversión “s.f(k)”, dado que hemos asumido que el ahorro viene dado por una fracción constante del ingreso, la curva en cuestión es una combinación lineal de la de producción y por ello, tiene un formato similar sólo a un nivel más bajo fruto de que la propensión al ahorro (tanto marginal como media que se asumen iguales), es un número que se encuentra dentro del intervalo abierto que va de cero a uno. Finalmente, la línea recta del gráfico es la que determina las necesidades de inversión que permiten mantener el stock de capital per cápita en una economía en la que crece la población a una tasa constante “n”. Naturalmente, en el estado estacionario la variación del stock de capital per cápita es nulo, lo cual implica que la curva de ahorro es igual a la de necesidades de inversión, determinando así el stock de capital per cápita, “k*”, consistente con el equilibrio de estado estacionario. Además, en la figura es posible observar la determinación del nivel de consumo por persona como la diferencia entre el ingreso y el ahorro, ambos en términos per cápita.

En cuanto a la tasa de crecimiento del producto per cápita en el equilibrio de estado estacionario es nula, ya que al ser constante la relación capital-trabajo constante, ello implica que el producto por habitante no varía. A su vez, dado que el ahorro es una fracción constante del ingreso, ello implica que el nivel de consumo per cápita también es constante en estado estacionario. Al mismo tiempo, la constancia de todas las variables per cápita en el estado estacionario para el caso donde la población crece a una tasa “n” ello implica que tanto el producto, como el consumo y el stock de capital crecen a la misma tasa.

1.3. La Dinámica fuera del Equilibrio de Estado Estacionario

Una forma de analizar la dinámica fuera del equilibrio de estado estacionario es tomar la representación gráfica del modelo Solow-Swan y analizar qué es lo que sucede con niveles del stock de capital per cápita distintos a los del nivel de equilibrio. En este sentido, cuando el stock de capital per cápita se sitúa por debajo del nivel de equilibrio es posible observar que la curva de ahorro está por encima de la función lineal de inversión necesaria (también llamada de depreciación), lo cual implica que:

El stock de capital por persona crece, proceso que se detiene en el instante en que se alcanza el equilibrio de estado estacionario. Por otra parte, para niveles del stock de capital per cápita que se ubican por encima del nivel de equilibrio es posible observar que la curva de depreciación está por encima de la curva del ahorro, por lo que la tasa de variación del stock de capital per cápita se vuelve negativa:

Donde dicho efecto surge de los supuestos sobre la función de producción en lo que respecta a los rendimientos marginales positivos pero de crecientes. Es decir, en la medida que crece la relación capital-trabajo, se requiere crecientes niveles de inversión, mientras que los aportes productivos de la inversión en el nivel de producción son cada vez menores en términos proporcionales, motivo por el cual el stock de capital per cápita cae hasta equiparar la inversión con la necesaria para la cantidad de capital por habitante sea constante.

1.4. Perturbaciones sobre el Equilibrio de Estado Estacionario

En la sección 1.2 se caracterizó al equilibrio del estado estacionario como una situación en la que la relación capital-trabajo permanece constante, esto es, un caso donde el ahorro per cápita cubre las necesidades de inversión para que el stock de capital per cápita se mantenga constante, en una economía en la que se amortiza el capital y la población crece. Es más, para que dicho resultado se percibiera con mayor claridad apelamos al uso de la función de producción del tipo Cobb-Douglas de modo tal que la relación funcional se hiciera explícita:

En dicha condición de equilibrio se establece que las mejoras en la tecnología y los aumentos en la tasa de ahorro conllevan a una elevación de la relación capital-trabajo y con ello a un incremento del producto per cápita. En paralelo, los aumentos en la tasa de amortización del capital y un mayor crecimiento de la población conducen a una caída de la relación capital-trabajo y por ende a un menor ingreso por habitante.

En función de lo anteriormente expresado en el párrafo precedente una mejora en la tecnología, en términos gráficos, genera una elevación tanto en el stock de capital per cápita como en el producto per cápita. Sin embargo, pese a que el resultado luce similar al de un aumento en la tasa de ahorro, en rigor no lo es.

En el caso de una mejora tecnológica, lo que sucede es que se produce una elevación de la función de producción (salto), esto es, para el mismo stock de capital por habitante, se genera un mayor producto per cápita. A su vez, dado que el ahorro es una fracción constante del ingreso, el salto del ingreso conlleva a la suba del ahorro. En dicha situación se genera un exceso de ahorro sobre lo que representa las necesidades de inversión per cápita y como resultado de ello, el stock de capital per cápita crece hasta alcanzar el nuevo equilibrio de estado estacionario, al mismo tiempo que mientras que transcurre dicha convergencia hacia el nuevo equilibrio, el producto per cápita crece a lo largo de un desplazamiento sobre la nueva curva. Esto es, para el caso de un salto tecnológico, la mejora del ingreso per cápita surge de dos vertientes: (i) la primera asociado en el salto de la función de producción y (ii) la segunda de un movimiento a lo largo de la nueva función.

Por otra parte, un salto en la tasa de ahorro, aumenta tanto al stock de capital por habitante como al ingreso per cápita. Sin embargo, en este caso, la función de producción no cambia, sino que para el mismo ingreso ahora se ha decidido ahorrar más por cada nivel de ingreso.

EFECTOS DE UN CAMBIO EN LA PROPENSIÓN MARGINAL AL AHORRO

En términos gráficos ello implica que sólo se desplaza la función de ahorro y como este nuevo nivel de ahorro está por encima de las necesidades de inversión, el stock de capital por habitante crece hasta el nuevo equilibrio de estado estacionario y con ello sube también el ingreso per cápita (en un movimiento que transcurre a lo largo de la misma función de producción). En definitiva, para la misma función de producción, el mayor nivel de ahorro implica una relación capital-trabajo más elevada y un mayor producto per cápita, el cual sube menos que proporcionalmente, dados los supuestos sobre la función de producción (esto es, la suma de rendimientos constantes a escala, marginales positivos-decrecientes y condiciones de Inada).

EFECTO DE UN CAMBIO EN LA TASA DE CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN

Por otra parte, los aumentos tanto de la tasa de amortización del capital como un aumento en la tasa de crecimiento de la población generan efectos similares sobre las necesidades de inversión (curva de amortización) que permiten hacer constante la relación capital-trabajo. En el gráfico es posible observar cómo la curva de amortización se mueve hacia arriba, dando como resultado un nuevo equilibrio de estado estacionario en el que tanto el stock de capital y el ingreso ambos en términos per cápita caen. Esto es, para el nuevo equilibrio, la línea de amortización se ubica por encima de la curva de ahorro, lo cual conlleva a la caída de la relación capital-trabajo y con ello a un menor ingreso per cápita.

1.5. La Transición Dinámica hacia el Equilibrio

Si bien en el modelo Solow-Swan, sin algún supuesto que describa el progreso de la tecnología a lo largo del tiempo, en el equilibrio de estado estacionario el ingreso per cápita permanece constante, por lo que para un nivel de población que crece a una tasa exógena, la tasa de crecimiento de la economía tiende en el largo plazo a igualar la tasa de crecimiento de la población. Sin embargo, la situación es distinta durante la transición dinámica, esto es, el modo en cómo evoluciona la tasa de crecimiento de la relación capital-trabajo en su camino hacia el equilibrio de estado estacionario. Para poder describir a la transición dinámica es necesario partir de la ecuación fundamental de Solow-Swan:

A partir de dicha ecuación, para poder derivar la tasa de crecimiento del stock de capital per cápita durante la transición dinámica es necesario dividir en los dos lados de la expresión por la relación capital-trabajo:

Al mismo tiempo, utilizando la función de producción Cobb-Douglas de modo tal que resulte más intuitivo, nos encontraremos con la siguiente expresión:

La ecuación precedente sigue siendo la ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan, sólo que al estar dividida por el stock de capital per cápita ahora la misma describe la tasa instantánea de crecimiento. Respecto al miembro de la derecha tenemos la curva de ahorro neta de la línea de depreciación. Así, en la medida que la curva de ahorro exceda a la línea de depreciación, el stock de capital per cápita crecerá y viceversa.

Naturalmente, cuanto mayor sea la tasa de (propensión al) ahorro, mayor será la tasa de crecimiento durante la transición dinámica para el stock de capital y para el ingreso, tanto en términos per cápita como en nivel. Del mismo modo, cuanto mayor sea el nivel tecnológico, ello implicará un mayor nivel de ingreso y por ende un mayor ahorro, por lo que dados los parámetros de la línea de depreciación constante, ello implicará un mayor crecimiento.

Por otra parte, cuanto mayor sea la tasa de depreciación del capital y la tasa de crecimiento de la población ello implica una línea de depreciación más alta, por la que la tasa de crecimiento del stock de capital per cápita será menor.

En el gráfico es posible observar tanto lo que ocurre con la tasa de crecimiento de la relación capital-trabajo a lo largo de la transición dinámica, como con el proceso de convergencia hacia el equilibrio del estado estacionario.

CRECIMIENTO, TRANSICIÓN DINÁMICA Y CONVERGENCIA AL ESTADO ESTACIONARIO

Respecto a la curva de ahorro con pendiente negativa al ser graficada en términos de la relación capital-trabajo, tiene que ver con el hecho de que si expresáramos a la curva de ahorro en formato de fracción, el stock de capital-trabajo se ubicaría en el denominador. Por ello, conforme el stock de capital per cápita se reduce, la curva de ahorro tiende a infinito, mientras que en el caso opuesto (mayores nivel de capital per cápita), la función tiende a cero.

Por otra parte, dado que la línea de depreciación se compone de dos constantes, ya que tanto la tasa de depreciación del capital como el crecimiento de la población son variables que vienen dadas de modo exógeno, sus elementos no guardan relación alguna con la relación capital-trabajo.

A su vez, en el gráfico surge con claridad que la tasa de crecimiento de la relación capital-trabajo es decreciente a lo largo de la transición dinámica, lo cual se debe a que cuando el stock de capital per cápita es bajo, cada aumento en dicha variable genera un gran aumento en la producción y dado que en el modelo se asume una tasa de ahorro constante, ello implica también una suba importante de la relación capital-trabajo.

Por lo tanto, dado que la productividad marginal es decreciente, cada unidad adicional genera incrementos menores de producto a medida que el stock de capital per cápita sube.

1.6. Perturbaciones sobre la Transición Dinámica

En primer lugar consideraremos el efecto de un aumento de la tasa de ahorro. Así, en este caso, la curva de ahorro se desplaza hacia arriba.

EFECTO DE UN AUMENTO EN LA TASA DE AHORRO

En este sentido, como es posible observar en el gráfico, por un lado sube el stock de capital per cápita en el equilibrio de largo plazo (y del ingreso) y al mismo tiempo, para una relación capital-trabajo dada, ello implica mayor tasa de crecimiento para la misma durante la transición dinámica.

EFECTO DE UNA SUBA EN LA CURVA DE DEPRECIACIÓN

Por otra parte, una caída en la tasa de crecimiento de la población, del mismo modo que una menor tasa de depreciación del capital, ello no sólo conlleva a una relación capital-trabajo más elevada, sino también a un aumento de la tasa de crecimiento durante la transición dinámica.

El ejercicio es particular ya que uno de los resultados más importantes de la transición demográfica es una caída en la tasa de crecimiento de la población, al tiempo que afecta a la tasa de dependencia (proporción de niños más adultos mayores dentro del total de la población) y con ello a los niveles de ahorro y composición de la fuerza laboral que, de no ser abordados con políticas económicas razonables, el boom que podría generar en la tasa de crecimiento se podría volver una pesadilla.

Finalmente, tenemos el caso del progreso tecnológico. Si bien en términos del gráfico presentado podría ser asimilado con el caso de un aumento de la tasa de ahorro, la diferencia radica en que el progreso tecnológico viene dada como un proceso de crecimiento continuo.

EFECTOS ASOCIADOS AL PROGRESO TECNOLÓGICO

Concretamente, en el gráfico es posible como el progreso tecnológico, acorde transcurre el tiempo va generando continuos saltos en el capital per cápita de equilibrio y aceleraciones en la tasa de crecimiento de dicha relación durante la transición demográfica.

1.7. La Convergencia

Lo primero que hay que señalar es que el modelo de Solow-Swan, en la forma en que lo hemos presentado hasta ahora, no da una explicación completa a las tasas de crecimiento. La razón se halla en que, una vez que un país alcanza su estado estacionario, ya no crece más. Por lo tanto, el modelo de Solow no explica el crecimiento de largos periodos, durante los cuales los países deberían haber alcanzado su estado estacionario. Por ello, en el próximo capítulo examinaremos modelos que permiten explicar el crecimiento a largo plazo. A pesar de este déficit del modelo de Solow-Swan, podemos preguntarnos si el mismo, tiene algo que decir sobre las tasas relativas de crecimiento, esto es, por qué unos países crecen más deprisa que otros. En este caso, el modelo puede hacer útiles predicciones.

La clave para utilizar el modelo de Solow-Swan para examinar las tasas relativas de crecimiento es analizar países que no se encuentran en el estado estacionario. Como cualquier país que tiene una tasa de inversión constante acabará alcanzando un estado estacionario en el que la tasa de crecimiento de la producción por trabajador es cero, todo el crecimiento que observamos en este modelo será transitorio, es decir, ocurrirá durante la transición a un estado estacionario. Por ejemplo, un país que tenga un nivel de producción por trabajador inferior al del estado estacionario (debido a que tiene un nivel de capital por trabajador inferior al del estado estacionario) tendrá un stock de capital creciente y, por lo tanto, un nivel de producción creciente. Asimismo, un país que tenga un nivel de producción superior al del estado estacionario tendrá un nivel de producción decreciente.

En este sentido, cuanto más por debajo del estado estacionario se encuentra un país, más deprisa crece. Un país que se encuentre muy por debajo de su estado estacionario crecerá muy deprisa, pero a medida que se aproxime al estado estacionario, el crecimiento se desacelerará, acercándose a cero conforme se acerque a su estado estacionario. Asimismo, si un país tiene un stock de capital muy superior al nivel del estado estacionario, su stock de capital disminuirá rápidamente y esta tasa de disminución se aproximará a cero a medida que el stock de capital del país se aproxime al estado estacionario. Utilizamos el término convergencia hacia el estado estacionario para describir este proceso por el que la producción por trabajador de un país aumenta o disminuye con respecto a una posición inicial hacia el nivel del estado estacionario determinado por la tasa de inversión. Por lo tanto, la idea de la convergencia hacia el estado estacionario es la base de tres predicciones:

(i) Si dos países tienen la misma tasa de ahorro pero diferentes niveles de renta, el país que tenga menos renta crecerá más.

Dado que sus tasas de ahorro son iguales, los dos países tendrán los mismos niveles de renta del estado estacionario. Si el país más rico tiene una renta inferior a este estado estacionario, el más pobre tendrá una renta aún más baja que la del estado estacionario y crecerá más deprisa. Y a la inversa, si el país más pobre tiene una renta superior a la del estado estacionario, el más rico tendrá una renta que será aún más alta que la del estado estacionario, por lo que el efecto negativo del desplazamiento hacia el estado estacionario será mayor en el país más rico. Por último, si el país pobre tiene una renta inferior a la del estado estacionario y el rico tiene una renta superior a la del estado estacionario, el desplazamiento hacia el estado estacionario producirá un efecto positivo en el crecimiento del país pobre y un efecto negativo en el crecimiento del país rico.

(ii) Si dos países tienen el mismo nivel de renta, pero diferentes tasas de ahorro, aquel país que tiene la mayor tasa de ahorro crecerá más.

De los dos países, el que tenga una tasa de ahorro más alta tendrá el nivel de producción del estado estacionario más alto. Si los dos países se encuentran por debajo de su estado estacionario, el país que tenga la tasa de ahorro más alta necesariamente se encontrará aún más por debajo de su equilibrio de estado estacionario y, por lo tanto, crecerá más deprisa. Asimismo, si dos países se encuentran por encima de su estado estacionario, el que tenga una baja tasa de ahorro se encontrará aún más por encima de su estado estacionario, por lo que el efecto negativo que produce en el crecimiento el hecho de encontrarse por encima del estado estacionario será mayor. Y si el país de elevado ahorro se encuentra por debajo de su estado estacionario y el de bajo ahorro se encuentra por encima de su estado estacionario, el país de elevada inversión crecerá más deprisa.

(iii) Un país que eleve su nivel de tasa de ahorro aumentará su tasa de crecimiento de la renta.

Si el país se encontraba inicialmente en el nivel de renta del estado estacionario, el aumento del ahorro elevará el estado estacionario. Como ahora la renta será inferior a la del estado estacionario, el crecimiento aumentará. Si el país se encontraba inicialmente en un nivel de renta inferior al de su estado estacionario, el aumento de la inversión significará que se encuentra aún más por debajo del estado estacionario, por lo que, una vez más, el crecimiento aumentará. Por último, si el país se encontraba inicialmente en un nivel de renta superior al de su estado estacionario, el aumento de la inversión significará que la renta no está tan por encima del estado estacionario o (si el aumento del ahorro es suficientemente grande) que la renta ahora se encuentra en, o por debajo, del estado estacionario. En cualquiera de estos casos, la tasa de crecimiento de la renta aumentará.

Estas predicciones sólo se cumplirán si no existe ninguna otra diferencia entre los países en lo que se refiere a su nivel de productividad, A, o a cualquiera de los demás determinantes de los estados estacionarios. Sin embargo, el modelo de Solow-Swan hace las mismas predicciones generales cuando se tienen en cuenta estos otros determinantes de la renta del estado estacionario.

2. Crecimiento, Progreso Tecnológico y Capital Humano
2.1. El NO Crecimiento en el Modelo de Crecimiento Solow-Swan

Para comprender la naturaleza de la incompatibilidad del modelo neoclásico con la posibilidad de generar una tasa de crecimiento del producto per cápita sostenida en el largo plazo (y donde la posibilidad de acumular trabajo está determinada de modo exógena), a los fines didácticos, se usará la función de producción de Cobb-Douglas:

Donde A es el nivel de la tecnología. El parámetro tecnológico A recoge todos los elementos que, aun no siendo tecnológicos en un sentido microeconómico, afectan a la tecnología desde el punto de vista macroeconómico. Por otra parte, asumiendo que la tasa de ahorro es constante, la forma en que aumenta el stock de capital vendrá dada por la siguiente expresión:

Asimismo, podemos suponer que toda la población está empleada, lo que permite olvidarnos del desempleo y de la participación de la fuerza del trabajo en la producción. Suponiendo también que la población crece a una tasa constante n tenemos:

Por lo tanto, si la ecuación de acumulación la expresamos en términos per cápita obtenemos

En función de dicha ecuación, para calcular la tasa de expansión del stock de capital per cápita procedemos a dividir por k, lo cual arroja la siguiente expresión:

A su vez, operando sobre la ecuación precedente aislando los términos que son constantes se tiene:

Donde, dado que todos los parámetros del lado izquierdo son constantes, al aplicar logaritmos y derivando respecto al tiempo obtenemos:

En función de ello, si consideramos que el modelo de crecimiento neoclásico presente rendimientos constantes a escala:

Por lo que el segundo término del lado derecho de la ecuación se hace nulo. Al mismo tiempo, si cada uno de los parámetros de la función de producción es positivo tenemos que:

Esto es, existen rendimientos decrecientes en el stock de capital, de ello, teniendo en cuenta el resto de la expresión:

Se deduce que la única tasa de crecimiento del stock de capital per cápita (y por ende del producto per cápita) sostenible que es consistente con el modelo neoclásico es cero:

En función de esto, si se desea explicar la existencia de tasas de crecimiento no nulas, cabe argumentar que la tecnología disponible mejora a lo largo del tiempo. Por este motivo, los teóricos neoclásicos de las décadas del ‘50 y del ‘60 supusieron que el término A podía crecer a una tasa exógena:

Ahora bien, en un modelo neoclásico el aumento de la productividad ha de ser necesariamente exógeno (los mecanismos determinantes del progreso tecnológico no son explicitados en el modelo), ya que, en un contexto en el que los mercados son “competitivos” (en el sentido neoclásico del término) y las tecnologías tienen rendimientos constantes a escala, la retribución de todos los factores agota el valor del producto final. En este marco donde la tecnología es un bien no rival y sólo parcialmente excluible, no quedan recursos para financiar actividades tales como la inversión en Investigación y Desarrollo. Por este motivo resultaba necesario suponer que el crecimiento de la tecnología fuera exógeno, motivo por el cual los mecanismos determinantes del progreso tecnológico no fueran explicados dentro del modelo.

2.2. El Progreso Tecnológico en el Modelo Solow-Swan

Para estudiar el caso de crecimiento económico con progreso técnico, partimos de la función de Cobb-Douglas para el caso en el cual la tecnología es aumentadora de trabajo, esto es:

A su vez, supondremos que la tecnología crecer a una tasa constante “g”:

por lo que:

Por otra parte, la tasa de acumulación de capital en la economía vendrá dada por:

Donde a su vez, si la expresamos en términos del mismo capital obtenemos:

A su vez, tomando la función de producción con progreso técnico y dividiéndola por el trabajo, es posible obtener el producto per cápita para el nuevo caso:

Luego, tomando logaritmos en ambos lados de la ecuación obtendremos:

A su vez, siendo (Y/K) contante, entonces (y/k) también es contante por lo que:

En función de lo anterior, ahora procedemos a la determinación de los valores de equilibrio.

Sea:

Donde:

Ahora, tomando logaritmos sobre el stock de capital per cápita con progreso tecnológico:

Y su vez, derivando respecto al tiempo, obtenemos:

Ahora, tomando la ecuación de acumulación de capital en la economía:

Y reemplazando en la ecuación de variación del stock de capital per cápita con progreso técnico se obtiene la siguiente expresión:

Que al ser reemplazada en la ecuación de acumulación arroja:

Por lo que despejando la variación del stock de capital per cápita con progreso técnico se obtiene la siguiente expresión:

A su vez, trabajando sobre el primer término del lado derecho de la ecuación:

Por lo que es posible arribar a la siguiente expresión:

Por lo que en el estado estacionario obtenemos:

Por lo que el stock de capital per cápita de equilibrio con progreso tecnológico vendrá dado por la siguiente expresión:

Naturalmente, salvo por la presencia de progreso tecnológico, la ecuación resultante no es muy distinta a la que se deriva del modelo Solow-Swan. A su vez, el producto per cápita de equilibrio con progreso tecnológico vendrá dado por la siguiente expresión:

Por otra parte, dado que:

Ello implica que el producto per cápita de equilibrio en un momento dado estará dado por:

Así, el producto per cápita, dado todos los parámetros del modelo contante, crecerá en línea con el crecimiento del progreso técnico. A su vez, trabajando sobre la ecuación de acumulación:

La cual describe la tasa de crecimiento durante la transición dinámica y que no difiere de modo significativo de la ecuación del modelo Solow-Swan, salvo por la presencia de progreso tecnológico.

2.3. Capital Humano y el Modelo Solow-Swan

Para estudiar el caso de crecimiento económico con capital humano, ahora partiremos de la función de Cobb-Douglas donde ahora será el capital humano el factor aumentador de trabajo, esto es:

A su vez, respecto al capital humano “H” asumiremos que el mismo se comporta como:

Donde “u” representa el tiempo dedicado a la ecuación, de modo tal que si este fuera nulo, nos encontraríamos en el caso:

Por otra parte, aplicando logaritmos en la expresión que describe al capital humano implica:

Por lo que derivando respecto al tiempo dedicado a la educación obtenemos:

Lo cual implica que:

Por otra parte, la tasa de acumulación de capital en la economía vendrá dada por:

A su vez, tomando la función de producción con capital humano y dividiéndola por el trabajo, es posible obtener el producto per cápita para el nuevo caso:

Siendo h:

Por otro lado, sea:

y

De modo tal que:

A su vez, si la expresamos en términos del mismo capital obtenemos:

Ahora, tomando logaritmos sobre el stock de capital per cápita con capital humano:

Y su vez, derivando respecto al tiempo, obtenemos:

Al mismo tiempo:

Por lo que reemplazando en la ecuación de acumulación del stock de capital per cápita para el caso de la función de producción con capital humano obtenemos:

Lo cual implica que:

De lo que se deduce que:

Por lo tanto, en el equilibrio de estado estacionario obtendremos que:

Donde, asociado a dicha expresión, el stock de capital per cápita en una economía con capital humano viene dado por la expresión:

Mientras que el producto per cápita de equilibrio con progreso tecnológico vendrá dado por la siguiente expresión:

A su vez, dado que:

Ello implica que el producto per cápita de equilibrio en un momento dado estará dado por:

Donde ahora se suma el efecto derivado por el cambio en el parámetro h, el cual describe la forma en que se acumula capital humano.

3. El Ciclo Real de Equilibrio
3.1. La Segunda Generación de Ciclos de Equilibrio

En desarrollo de la teoría del ciclo real (Kydland 1982, Long y Ploser 1983) concurren varias fuerzas. De un lado, la continuación de la línea de investigación del ciclo de equilibrio iniciada por Lucas, pero ahora basada sobre perturbaciones reales. De otro lado, el desarrollo en los años ‘70 y ‘80 del análisis de las perturbaciones de oferta (como consecuencia de los shocks del petróleo) como posibles causas de las fluctuaciones cíclicas. Finalmente, estos modelos se benefician también de la atención prestada a los mecanismos de persistencia en los ciclos económicos: dado el carácter no correlacionado de las perturbaciones monetarias para el caso de las expectativas racionales, fue necesario analizar los mecanismos de persistencia del ciclo basados en los factores reales y que luego alcanzaron peso específico propio.

De este modo, la nueva teoría es interesante, primero, como explicación del ciclo; segundo, como una referencia tanto para los estudios del proceso de sustitución intertemporal (sin la complicación del dinero), como, sobre todo, para los modelos dinámicos de equilibrio, y tercero, como enlace con la teoría del crecimiento.

3.2. Los Supuestos del Modelo

Los modelos de ciclo real se construyen sobre hipótesis similares a los del modelo de equilibrio con perturbaciones monetarias. Se supone un elevado número de agentes (familias-empresas) idénticos, que son a la vez oferentes de trabajo, productores y consumidores; su vida es finita o infinita, según los modelos. Su función de preferencias se construye sobre los niveles de consumo y ocio a lo largo de la vida (ciclo de vida o renta permanente). Los agentes toman sus decisiones sobre variables reales (ausencia de ilusión monetaria), son optimizadores consistentes (dada la información disponible) y tienen expectativas racionales. No existe, pues, un trade-off a corto plazo entre inflación y producto o desempleo: no hay, pues mecanismo como la Curva de Phillips que convierta los shocks monetarios en resultados reales. Los agentes tienen conjuntos de información comunes, y toman decisiones sobre la asignación de su tiempo entre trabajo y ocio, y de sus rentas entre consumo y ahorro (inversión).

Los mercados se vacían continuamente; todos los precios son flexibles, y no hay fricciones (salvo, en algunos modelos, por causa tecnológica: costos de ajuste, distribución de los procesos de inversión en el tiempo, entre otros).

Todos los agentes tienen acceso a una misma tecnología, en la que se dan perturbaciones transitorias o permanentes, que se presentan como cambios en la productividad de los factores. Los agentes no conocen el tamaño de esas perturbaciones, ni los caracteres de su autocorrelación, lo que genera un problema de extracción de señales.

El modelo lleva incluidos mecanismos de propagación, amplificación y difusión del ciclo que explica su extensión al conjunto de la economía, su desarrollo a lo largo del tiempo (inercia) y, por tanto, su tendencia a generar auges o contracciones. Esos mecanismo incluyen la sustitución temporal entre consumo presente y ahorro o consumo futuro, y entre trabajo y ocio, y algún mecanismo que explique un largo desarrollo temporal en la inversión, como la exigencia de un cierto tiempo para llevar a cabo una inversión (time to build) o costos de ajuste.

3.3. El Modelo en Funcionamiento

Supongamos que, sobre una situación de equilibrio (estado estacionario), sobreviene una perturbación transitoria sectorial de tecnología, de signo positivo, que se manifiesta en un aumento de la productividad del trabajo y, por tanto, de la demanda de empleo y del salario real. Los trabajadores y las empresas no saben si esa perturbación es permanente o transitoria, por lo que recurren a su experiencia pasada para estimarlo. En la media en que consideren que el cambio es transitorio, aumentará la oferta de trabajo, la renta laboral y el consumno; esto traslada el shock a otros sectores (efecto propagación o difusión). Pero el aumento del consumo será menor que el del ingreso (habrá aumentado la renta corriente, pero no la permanente), porque se elevará transitoriamente (el ahorro). Si las empresas entienden que el shock es permanente, llevarán a cabo nuevas inversiones, pero no de modo instantáneo, sino a lo largo del tiempo (fabricar bienes de capital es lento), lo que alargará el proceso y generará, a su vez, la correlación serial entra las distintas variables (a ello contribuye también la autocorrelación de los shocks tecnológicos y los proceso de difusión). Si la perturbación inicial era transitoria, el stock de capital acaba siendo excesivo, por lo que las empresas reducen la inversión, el producto y el empleo, y se entra en una recesión. La elevación temporal del salario real pondrá en marcha un proceso sustitución temporal de trabajo y ocio, aumentado la oferta de trabajo (que también se comportará pro-cíclicamente) y reduciendo el desempleo estadístico (en todo caso, en un modelo de equilibrio el desempleo es siempre voluntario).

En la anterior descripción aparecen los principales elementos del modelo:

1) Un mecanismo de impulso, consistente en una perturbación (permanente o transitoria) de tecnología;

2) Mecanismo de persistencia o propagación, como los largos períodos de realización de los proyectos de inversión o la existencia de costos de ajuste.

3) Mecanismo de ampliación y difusión, como la sustitución intertemporal entre trabajo y ocio, o entre consumo y ahorro.

En los modelos de ciclo real, las fluctuaciones de la producción agregada y del empleo no son manifestaciones de fallos de coordinación en los mercados o de rigideces de precios, sino el resultado natural de una economía competitiva en equilibrio, en que individuos racionales toman decisiones óptimas de asignación intertemporal de los recursos en respuesta a perturbaciones estocásticas (con incertidumbre) en la función de producción. No hay, pues, lugar para las políticas de estabilización, que serán sub-óptimas, porque las asignaciones a que se llega espontáneamente, incluso con desempleo, Pareto-eficiente.

Se acepten o no los supuestos, la metodología y las conclusiones de la teoría del ciclo real, no cabe duda de que estamos ante una revolución teórica o, cuando menos, ante un interesante ejercicio que nos obliga a reconsiderar la tesis tradicional de que, en ausencia de perturbaciones monetarias o de demanda, una economía con mercados competitivos en equilibrio seguirá una trayectoria sostenida de crecimiento a una tasa constante.

3.4. La Modelización de las Perturbaciones

El valor de la variable Y en el período t se puede presentar como el resultado de un componente tendencial, Y_nt , y otro transitorio o cíclico, ε_t,

Hasta los años ochenta, el componente tendencial se solía modelizar como:

Siendo γ una tendencia determinística, de modo que:

La línea de trazo continuo en el gráfico presenta gráficamente el efecto de una perturbación ε_t no correlacionada serialmente, sobre una Y_t que crece a tasa constante; Y_t resulta ser estacionaria respecto de la tendencia.

La perturbación e_t puede estar serialmente correlacionada:

En que e_t es serialmente independiente. En tal caso, una perturbación de una sola vez (e_t>0) mostrará una mayor persistencia, pero todavía será estacionaria respecto de la tendencia, como se ve en la línea de trazo discontinuo en el Gráfico, la velocidad de regreso a la tendencia dependerá del valor de λ.

SHOCK TRANSITORIO GENERANDO UNA DESVIACIÓN TRANSITORIA SOBRE LA TENDENCIA

En todo caso, la modelización de las perturbaciones de acuerdo con (2) supone que el producto sigue una tendencia constante, que se ve perturbada por shocks más o menos persistentes, pero que, finalmente vuelve siempre a la tendencia (donde la misma no se ve afectada por los shocks: γ es constante e independiente de ε_t). Un modelo alternativo de modelizar el producto es haciéndolo estacionario en primeras diferencias; por ejemplo, un paseo aleatorio con desplazamiento:

O sea,

En que µ es el cambio medio de Y_t y µ_t es una perturbación estocástica permanente. Esta manera de modelizar las perturbaciones implica que éstas tienen efectos transitorios sobre primeras diferencias de y, pero efectos permanentes sobre el nivel de y, como se ve en la línea de trazo continuo del Gráfico siguiente. Y si alguna de las perturbaciones, ε_t o µ_t, presenta la forma MA (1) de la ecuación (4), la transición al equilibrio seguirá la línea de trazo discontinuo del gráfico.

SHOCKS QUE PROVOCAN DESVÍOS PERMANENTES SOBRE LA TENDENCIA

¿Qué modelo es preferible para representar las perturbaciones del producto? Si se supone que los shocks tienen efectos transitorios, es preferible el modelo (3), con e_t seriamente independiente o no. Pero si se trata de perturbaciones permanentes, es preferible el tipo de modelación de (5), con “e_t”, serialmente independiente o no. Aunque la evidencia empírica no es concluyente, parece que las perturbaciones del producto son permanentes, de modo que éste no vuelve a su tendencia anterior.

La diferencia entre ambos planteamientos se aprecia mejor si calculamos el valor de Y_t – Y_t-1 en ambos casos. A partir de (1), (2) y (4),

Mientras que en (1), (5) y (4):

La diferencia radica en la perturbación estocástica permanente, u_t.

Los modelos de ciclo real siguen la pauta de (5). Se supone que los shocks de productividad provocan cambios en el nivel de producción, consumo y ahorro, que inducen nuevos cambios en el consumo, la oferta de empleo, la inversión y el stock de capital, etc., que generan respuestas serialmente correlacionadas del producto –además, las mismas perturbaciones suelen considerarse serialmente correlacionadas, como (4). Ahora bien, como se desprende de los dos gráficos expuestos previamente, este tipo de modelización no basta como para generar un ciclo: hacen falta otros mecanismos (de propagación).

Las consideraciones anteriores ponen de manifiesta el enlace de la teoría del ciclo real con la del crecimiento económico. Solow (1957) halló que el volumen de capital y de empleo no bastaban para dar cuenta del crecimiento del producto, sino que era más importante un conjunto de factores que (el residuo en una función de producción, y que por ello se llamaron factor residual) entre los que figuraba la tecnología. Y son precisamente los shocks de tecnología los que se pusieron, en primer lugar, como causa del ciclo en la teoría que nos ocupa.

Ese enlace fue gracias a Nelson y Plosser (1982) quienes hallaron, que el producto real per cápita en Estados Unidos no vuelve a su nivel de tendencia previo, sino que se ajusta a (5). Los shocks afectan permanentemente al nivel de productividad, y el logaritmo de ésta seguirá un paseo aleatorio con drift.

En todo caso, parece lógico concluir que no todas perturbaciones son de demanda (transitorias), sino que hay también shocks tecnológicos que causan a la vez el ciclo y el crecimiento del producto. La separación drástica de uno y otro fenómeno nos hará perder información relevante para estimar los parámetros claves del modelo.

3.5. Naturaleza y Medición de las Perturbaciones

Según hemos explicado antes, el ciclo real se inicia con una perturbación tecnológica, que puede ser transitoria (y el producto se vuelve a su tendencia) o permanente (y el producto se mantiene en una nueva trayectoria), si bien sólo la naturaleza permanente es capaz de engendrar procesos de correlación serial en el producto (King et al, 1988a; Kydland y Prescott, 1982).

El primer problema con que nos enfrentamos es que no disponemos de una serie de tecnología en la que observar esas perturbaciones. Hemos de recurrir, pues, a una construcción estadística, como el residuo de Solow. Si suponemos una función de producción Cobb-Douglas con una perturbación multiplicativa:

En qué Y es el producto agregado, K y N el capital y trabajo, y A la perturbación citada, Una estimación empírica de la (9) dejará un residuo A que puede interpretarse como el conjunto de perturbaciones en la producción debidas al progreso tecnológico neutral. De hecho, el residuo de Solow sigue un paseo aleatorio, que es coherente con la tesis de que el progreso técnico llega aleatoriamente a la economía.

Ahora bien, el residuo de Solow puede medir no sólo perturbaciones de tecnología, sino muchas otras cosas, como el atesoramiento de trabajo en las recesiones (ante una caída de ventas, las empresas no reducen plantilla inmediatamente, de modo que la productividad del trabajo decrece), o cambios en la cualificación de la mano de obra, en la organización del trabajo, en los métodos de dirección, etc., y, naturalmente, los errores de medición y de estimación. Es obvio, pues, que sobrevalora los shocks de tecnología.

La tesis de que las perturbaciones que causan el ciclo tienen su origen en la tecnología ha sido también criticada. De hecho, el progreso tecnológico parece bastante estable en el corto plazo: las grandes revoluciones (máquina de vapor, automóvil, electricidad, aviación, energía nuclear, ordenador, etc.) y el progreso de los conocimientos que suelen extender lentamente, en tanto que los pequeños cambios tecnológicos no son suficientes para explicar la aparición de ciclos largos y profundos. Barro (1986) señala que los modelos de ciclo real carecen de multiplicadores suficientemente grandes como para generar ciclos a partir de perturbaciones de pequeña intensidad, por lo que tienen que exagerar la frecuencia y tamaño de los shocks para obtener los resultados deseados. Y es difícil encontrar perturbaciones tecnológicas negativas suficientemente importantes y frecuentes como para poder llegar a sustentar un ciclo (si tiene sentido plantear la fase recesiva del ciclo como un período de regresión tecnológica).

Ahora bien, a falta de cambios grandes, quizás se puede explicar la ocurrencia del ciclo por la concentración de muchas pequeñas perturbaciones serialmente correlacionadas (Long y Plosser 1983). Pero es poco probable. En una economía avanzada que utiliza muchas tecnologías distintas e independientes, de modo que los cambios limitados a alguna de ellas apenas tienen impacto alguno sobre el conjunto. Avala esta tesis la evidencia de que en un sector coexisten bienes de capital de distintas generaciones lo que quiere decir que el progreso tecnológico se introduce lentamente, en un proceso que tarda años en completarse.

Si las perturbaciones tecnológicas no sirven como causa del ciclo real, quizás se podrían encontrar otros shocks que desempeñen esa función: por ejemplo, la subida del precio del petróleo. Pero su introducción como explicación adicional a las perturbaciones tecnológicas sigue exigiendo que se trate de cambios muy grandes, si se espera que los resultados sean compatibles con la realidad.

La lista de posibles causas de las perturbaciones puede ampliarse, incluyendo los gustos en el consumo o en el trabajo (aunque es poco probable que se produzcan cambios importantes y frecuentes en los gustos de un gran número de agentes, capaz de explicar ciclos generalizados), así como las dotaciones de recursos, e incluso factores del lado de la demanda, como cambios en el gasto público o en las políticas del Gobierno (por lo menos, esto parece compatible con el mecanismo de sustitución intertemporal, ya que si, por ejemplo, el gasto público aumenta transitoriamente, el tipo de interés aumentará también, haciendo más rentable el trabajo presente y generando un aumento de la oferta de empleo y del producto).

Otro tipo de perturbación que también ha recibido atención han sido los desplazamientos sectoriales (Lilien 1982). Las curvas de oferta de trabajo de los distintos sectores productivos pueden ser rígidas a corto plazo si los desplazamientos de trabajadores entre industria no son instantáneos y gratuitos, sino que exigen, por ejemplo, un período de permanencia en el desempleo (voluntario) para buscar ocupación. Supongamos que se da una perturbación positiva en un sector y otra negativa en otro. La demanda de trabajo y los salarios aumentarán en el primero y se reducirán en el segundo; pero si el desplazamiento de los trabajadores es lento, la producción puede tardar en crecer en el primer sector, en tanto que caerá inmediatamente en el segundo, y si la oferta de empleo es relativamente plana, la caída total del empelo puede ser grande, trasmitiéndose al resto de la economía, a través de cambios en la demanda agregada.