Kitabı oku: «Matemática aplicada a los negocios»

Capítulo 1

Funciones elementales y modelos matemáticos

Situaciones de la vida real como el tamaño de una población, el precio de un producto y su evolución en el tiempo, la utilidad o los ingresos que genera la venta de un artículo pueden describirse con lenguaje matemático y modelarse con funciones. En este capítulo haremos una revisión de las funciones elementales, sus operaciones, y estudiaremos su utilidad en el modelamiento de situaciones ligadas a los negocios.

Conocimientos previos

Álgebra elemental; inecuaciones; dominio y rango de una función; operaciones con funciones.

Secciones

✓ Funciones elementales

✓ Operaciones con funciones

✓ Funciones definidas por tramos

✓ Modelos matemáticos

Sabes

Capacidades adquiridas:

✓ Resolver ecuaciones e inecuaciones algebraicas.

✓ Plantear ecuaciones.

✓ Efectuar operaciones con funciones.

✓ Determinar el dominio y rango de funciones elementales.

✓ Graficar funciones.

Piensas

Competencias por lograr:

✓ Graficar funciones definidas por tramos, así como funciones que son resultado de operaciones entre funciones elementales.

✓ Formular modelos matemáticos mediante funciones para situaciones en el campo de los negocios.

✓ Identificar los modelos matemáticos como una herramienta para la descripción de situaciones reales.

Haces

Habilidades por desarrollar:

✓ Resolver situaciones reales usando modelos matemáticos.

✓ Formular modelos matemáticos para la descripción de situaciones reales.

1.1. Introducción

Muchas situaciones de la vida real obedecen a ciertas reglas, dependen de una o más cantidades y pueden ser modeladas por funciones. Por ejemplo, el área de un círculo o el volumen de una esfera dependen de la longitud de su radio; la producción de una fábrica depende del número de trabajadores; el costo de un producto puede variar con el paso del tiempo, etcétera.

Figura 1.1

En este capítulo, haremos una revisión de las funciones elementales que se estudiaron en el curso Matemática Básica y mostraremos varias situaciones relacionadas con los negocios que pueden ser descritas por medio de funciones (modelos mate-máticos).

Recordemos que una función real de variable real es una correspondencia que asocia a cada elemento x de un conjunto A ⊆ un único elemento f (x) en un conjunto B ⊆ . El conjunto A es llamado dominio de la función f y es denotado por Dom (f), mientras que el conjunto de todos los números f (x), con x ∈ A, es llamado rango de f y denotado por Ran (f).

Dado un elemento x ∈ Dom (f), el número f (x) debe ser leído como “f de x” y es llamado imagen de x mediante f.

Ejemplo 1.1

Considere un cuadrado cuyo lado mide x cm. Sabemos que su área es igual a x² cm². Es decir, a cada valor positivo de x le corresponde un único valor para el área. Por tal razón, decimos que el área del cuadrado es una función de la medida de su lado y podemos escribir:

Siendo x la longitud del lado del cuadrado, este debe ser un número real positivo, por lo tanto, el dominio de la función área es Dom (A) = 〈0; +∞〉.

Figura 1.2

Como vemos, si variamos el valor de x, variará también el valor de A (x); es decir, el valor de A (x) depende del valor de x. Por tal razón, decimos que x es una variable independiente, mientras que A (x) es la variable dependiente.

1.1.1 Gráfico de una función

Dada una función f con dominio A, el gráfico de f se define como el siguiente conjunto de pares ordenados:

Es decir, el gráfico de f es el conjunto de todos los pares ordenados (x; f (x)), con x ∈ A. También se dice que el gráfico de f está formado por todos los pares ordenados (x; y) tales que y = f (x).

Figura 1.3

Ejemplo 1.2

Considere una función y = f (t) que describe el costo de producción de un artículo t meses después de su lanzamiento al mercado. Suponga que la gráfica de esta función es la que se muestra en la figura.

Figura 1.4

Vemos que los puntos (4; 40) y (14; 80) pertenecen al gráfico de f. Esto quiere decir que f (4) = 40 y f (14) = 80, lo cual significa que el costo de producción del artículo, cuatro y catorce meses después de su lanzamiento, es de 40 y 80 soles, respectivamente.

1.2. Funciones elementales

1.2.1 Función constante

La función constante se define como:

Donde la letra C denota una constante real. Ya que para cualquier número real x la función f toma el mismo valor, esta es llamada función constante. Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje de ordenadas Y en el punto C.

Para C > 0:

Figura 1.5

Para C < 0:

Figura 1.6

Ejemplo 1.3

Las funciones f (x) = 3 y g (x) = –3 son funciones constantes. Su gráficos son rectas horizontales que cortan al eje de ordenadas Y en los puntos 3 y –3 respectivamente, tal como muestran las siguientes figuras:

Figura 1.7

Figura 1.8

1.2.2 Función lineal

La función lineal se define como:

Donde m y b son constantes reales. Esta función debe su nombre al hecho de que su gráfica es una línea recta. Como sabemos, la constante m representa la pendiente de la recta, mientras que la constante b, el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas Y.

Figura 1.9

Notemos que cuando m = 0, la función lineal se convierte en función constante. Así, la función constante es un caso particular de función lineal.

Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Esto quiere decir que, dependiendo del signo de la pendiente m, varía la inclinación de la recta y = mx + b.

Figura 1.10

Ejemplo 1.4

La figura 1.11 muestra las rectas L₁ y L₂, la primera con pendiente m = 2 y la segunda con pendiente m = –1. Estas rectas son las gráficas de las funciones f (x) = 2x + 4 y g (x) = –x + 7.

Figura 1.11

1.2.3 Función cuadrática

Definimos la función cuadrática por:

Donde a, b y c son constantes reales y exigimos que a ≠ 0, pues, de lo contrario, la función se convertiría en lineal.

Como sabemos del curso Matemática Básica, la gráfica de la función cuadrática es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del coeficiente a.

Si el coeficiente a es positivo, la gráfica será una parábola que se abre hacia arriba. En caso contrario, cuando a sea negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. Un elemento importante de cualquier parábola es su vértice, que es dado por:

El gráfico 1.12 resume lo anterior:

Figura 1.12

Ejemplo 1.5

Considere la función cuadrática f (x) = 3x² – 6x + 3. Si comparamos esta función con la forma general f (x) = ax² + bx + c, notamos que a = 3, b = – 6 y c = 3. Halle el vértice de la parábola (gráfico de f):

Luego, el vértice es el punto (1; 0). Además, como a = 3 > 0, resulta que la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba.

La gráfica de la función f es:

Figura 1.13

1.2.4 Función raíz cuadrada

La función raíz cuadrada se define como:

Observación 1.1

Recordemos que, para calcular la raíz cuadrada de un número real, es necesario que este sea no negativo; es decir, mayor o igual que cero. Por tal razón, exigimos que x ≥ 0 en la definición de esta función.

Observación 1.2

También debemos recordar que la raíz cuadrada de un número es siempre mayor o igual que cero. Es decir:

Como son números reales no negativos, su gráfico se encuentra en el primer cuadrante y es dado por:

Figura 1.14

1.2.5 Función valor absoluto

La función valor absoluto se define como:

Recordemos que el valor absoluto de un número real se define como:

La gráfica de esta función es:

Figura 1.15

1.3. Operaciones con funciones

En esta sección encontraremos el dominio de ciertas funciones combinadas. Llamamos funciones combinadas a aquellas que se definen como suma, diferencia, producto, cociente o composición de las funciones elementales que revisamos en la sección anterior.

Antes de comenzar con los ejemplos, vale la pena hacer algunas observaciones.

Observación 1.3

Dadas las funciones f y g, las funciones suma f + g, diferencia f – g y producto f g se definen como:

Por lo tanto, estas funciones estarán definidas en aquellos puntos x en los que ambas funciones estén definidas. Es decir, el dominio de f + g, f – g y f g se obtiene como la intersección de los dominios de las funciones f y g.

Veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1.6

Considere las funciones:

Sabemos que Dom (g) = y Dom (h) = [0; +∞〉. Si definimos la función:

vemos que esta es la suma de g y h. Luego, su dominio será:

Ejemplo 1.7

Ahora, considere la función:

Notemos que f está definida como la suma de las funciones:

Veamos cuál es el dominio de f. Para que las funciones g y h existan, debemos exigir que:

Es decir,

Entonces,

Como f = g + h, entonces:

Observación 1.4

Dadas las funciones f y g, la función cociente se define como:

Por lo tanto, esta función está definida en aquellos puntos x en los que ambas funciones f y g están definidas y además g (x) ≠ 0.

Ejemplo 1.8

Considere la función:

Notemos que h es el cociente de las funciones f (x) = x² + 3x + 1 y g (x) = x² – 9. Ya que f y g son funciones cuadráticas, sus dominios son iguales a . Luego, solo debemos preocuparnos de que la función g del denominador sea distinta de cero. Por lo tanto:

1.4. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

Para hallar el dominio de cada una de estas funciones, aplicaremos algunas propiedades y definiciones que se estudiaron en el curso Matemática Básica.

a) Siendo el dominio de las funciones del numerador y denominador de f, basta exigir que el denominador sea distinto de cero. Pero:

Por lo tanto,

b) Notemos que la función

contiene una raíz cúbica en el numerador y que la raíz cúbica, así como cualquier raíz impar, está definida para cualquier número real, por lo que no hay ninguna restricción en el numerador de f.

En el denominador, debemos exigir que x³ – x² – 2x ≠ 0.

Factorizando, tenemos:

Es decir, x ≠ 0, x ≠ –1 y x ≠ 2. Por lo tanto:

Ejercicio 1.2

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

Veamos:

a) Para que la función esté definida, debemos exigir que 9 – x² ≥ 0. Cambiando de signo, podemos escribir x² – 9 ≤ 0. Es decir,

Aplicando el método de los puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.16

Luego, Dom (f) = [– 3; 3]

b) La función está compuesta por una raíz cuadrada y un polinomio en el denominador que no puede anularse.

Entonces,

O lo que es lo mismo:

Si resolvemos la inecuación anterior por el método de los puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.17

Por lo tanto,

Note que no fue necesario extraer el punto – 4 del dominio, pues este no pertenece a ninguno de los intervalos componentes.

c) En la función , hay dos sumandos. La única exigencia sobre el primer sumando es que x ≠ 0. En cuanto al segundo sumando, debemos exigir que:

Pero x² + 4 es siempre positivo, independientemente del valor que asuma x. Por lo tanto, si el numerador de la expresión anterior es positivo, su denominador deberá ser positivo para que el cociente exista y sea no negativo. Luego, debemos tener 1 – x > 0, es decir x < 1.

Por lo tanto,

Propiedades del valor absoluto Desigualdad Forma equivalente

Ejercicio 1.3

Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

a) Los elementos x en el dominio de deben satisfacer la condición 2 |x| – 1 > 0. Es decir, |x| > . Por lo tanto, el dominio de f es:

b) Los elementos del dominio de deben satisfacer:

Es decir,

Así, los puntos críticos en el numerador son – 1 y 2. Los puntos críticos en el denominador son – 1 y 1. Es decir, el punto crítico – 1 se repite dos veces. Usando el método de puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.18

Por lo tanto, el dominio de la función f es:

Ejercicio 1.4

Grafique las siguientes funciones:

a)

b)

Solución

Veamos:

a) La función f (x) = x² – 6x + 10 es cuadrática y su gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, pues el coeficiente de x² es positivo. Su vértice es:

Ya que nos piden graficar para 1 < x ≤ 5, su gráfico será:

Figura 1.19

b) Hallemos el dominio de la función Por definición de la raíz cuadrada, debemos considerar que 4 – x ≥ 0; es decir, x ≤ 4. Así, el dominio de f es el intervalo 〈–∞; 4].

Luego, su gráfico es:

Figura 1.20

Ejercicio 1.5

Grafique las siguientes funciones:

a) f (x) = 2 |x| + 3

b) f (x) = 2x – |x|

Solución

Veamos:

a) Para graficar la función f (x) = 2 |x| + 3, aplicaremos la definición de valor absoluto para hallar la regla de correspondencia de f:

Así, vemos que la gráfica de f representada en la figura 1.21 está compuesta de dos semirrectas.

Figura 1.21

b) Al igual que con la función anterior, aplicamos la definición de valor absoluto para obtener la regla de correspondencia de f.

Entonces, la gráfica de f es:

Figura 1.22

1.5. Funciones definidas por tramos

Diremos que una función está definida por tramos si es posible descomponer su dominio como unión de conjuntos disjuntos, sobre cada uno de los cuales la función tiene una regla de correspondencia distinta. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.9

La función:

es una función definida por tramos, pues su dominio 〈 – 3; 5] se puede expresar como la siguiente unión de intervalos disjuntos 〈 – 3; 0] ∪ 〈 0; 5] y sobre cada uno de estos intervalos, la función tiene distintas reglas de correspondencia.

Ejemplo 1.10

La función valor absoluto:

también es un ejemplo de función definida por tramos.

Observación 1.5

El dominio de una función definida por tramos es la unión de los dominios de las funciones componentes. Por ejemplo, el dominio de la función:

es la unión de los intervalos

Es decir:

1.6. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.6

Halle el dominio y grafique la función:

Solución

El dominio de y su gráfico es:

Figura 1.23

Ejercicio 1.7

Esboce la gráfica de la siguiente función e indique su dominio:

Solución

Notemos que esta gráfica tiene tres tramos: el primero es una función constante (y su gráfica será una recta horizontal); el segundo es una función lineal (cuya gráfica es una recta con pendiente – 1 y que corta al eje Y en el punto 4), y el tercero es una función cuadrática (cuya gráfica es una parábola que se abre hacia arriba y tiene vértice (6; – 4).

La gráfica de f es:

Figura 1.24

De la regla de correspondencia o de la gráfica de f, notamos que Dom (f) = .

Ejercicio 1.8

Esboce la gráfica de la siguiente función:

Solución

Graficando por separado cada una de las funciones componentes de f, obtenemos:

Figura 1.25

Ahora, restringimos cada gráfica al intervalo indicado en la definición de f y obtenemos:

Figura 1.26

Ejercicio 1.9

Esboce la gráfica de la siguiente función:

Solución

Notemos que el primer y tercer tramo de f son funciones raíces cuadradas. Para graficar tabulamos en x = – 4 y x = 0. Como los puntos x = – 4 y x = 0 no pertenecen al dominio de definición de cuando grafiquemos, dibujaremos extremos abiertos en los puntos x = – 4 y x = 0, tal como muestra la figura 1.27.

Cuando graficamos tabulamos en x = 2 y en x = 9 y dibujamos extremos cerrados, pues los puntos x = 2 y x = 9 sí pertenecen al dominio de definición de

El segundo tramo de la función f es una función cuadrática con vértice (1; 1). La gráfica de f es:

Figura 1.27

Ejercicio 1.10

Grafique la siguiente función:

Solución

La primera parte de la función (x² – 2 |x|) está definida sobre el intervalo 〈–∞; 2].

Por tal razón, es conveniente descomponer este intervalo en dos subintervalos: 〈–∞; 0〉 y [0; 2], pues sobre el primero tenemos |x| = – x y sobre el segundo, |x| = x. Aplicando la definición de valor absoluto, vemos que:

Graficando cada una de las funciones componentes sobre los intervalos indicados, obtenemos el gráfico de f que se muestra en la figura 1.28.

Figura 1.28

Notemos que también podríamos haber descompuesto el intervalo 〈–∞; 2] como 〈–∞; 2] = 〈–∞; 0] ∪ 〈0; 2] y el resultado sería el mismo.

1.7. Ejercicios propuestos

1. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

2. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

3. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

4. Esboce la gráfica de la cada una de las siguientes funciones e indique su dominio:

5. Esboce la gráfica de la cada una de las siguientes funciones e indique su dominio:

1.8. Modelos matemáticos

En esta sección, usaremos el lenguaje de las funciones para estudiar y describir situaciones reales. En tal sentido, llamaremos modelo matemático a una función que describe una situación dada. Una función que describe el costo de un producto en función del tiempo transcurrido desde su lanzamiento al mercado, una función que expresa la oferta de un producto como función de su precio unitario de venta, una función que nos permite estimar el tamaño de una población en función del tiempo transcurrido desde el inicio de la observación son ejemplos de modelos matemáticos.

Ejemplo 1.11

Un agricultor desea cercar un terreno rectangular con 1000 metros de cerca. Si el lado mayor del terreno se ubica a lo largo de un arroyo (y no requiere cerca), exprese el área del terreno como una función de su ancho. ¿Cuál es el dominio de esta función? Grafique la función.

Solución

El enunciado del problema nos pide expresar el área del terreno como una función de su ancho. Es decir, el ancho será nuestra variable. Denotemos por x el ancho del terreno, y por A (x) su área. Ya que la longitud total de la cerca es de 1000 metros y uno de los lados no lleva cerca, entonces la longitud del lado mayor del terreno será de (1000 – 2x) metros, tal como se muestra en la figura.

Figura 1.29

Luego, la función área viene dada por:

Se trata de una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola con vértice (250; 125000). Luego, su gráfica es la que se muestra en la figura 1.30.

Figura 1.30

De la gráfica, notamos que el dominio de la función área es el intervalo 〈0; 500〉. Note que el intervalo es de extremos abiertos, pues x no puede ser 0 ni 500 (pues tendríamos un rectángulo de lado nulo).

Ejemplo 1.12

Si a una pieza rectangular de cartón de 18 cm de largo y 12 cm de ancho se le quita un pequeño cuadrado de cada esquina y se pliegan las alas para formar los lados, se construirá una caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante en función de la longitud x de un lado de los cuadrados eliminados. ¿Cuál es el dominio de esta función?

Solución

La siguiente figura muestra la situación descrita por el problema:

Figura 1.31

Si denotamos por V (x) la función volumen de la caja, entonces:

Como x, 12 – 2x, 18 – 2x denotan las medidas de la caja; estas deben ser positivas; es decir,

Entonces,

Figura 1.32

Por lo tanto, el dominio de V es el intervalo 〈0; 6〉.

Ejemplo 1.13

Un agricultor estima que si se plantan 60 naranjos en un determinado terreno, cada árbol producirá, en promedio, 400 naranjas. La producción media disminuirá en cuatro naranjas por árbol por cada árbol adicional plantado en la misma área. Exprese la producción total del agricultor como una función de la cantidad adicional de árboles plantados y calcule la cantidad total de árboles que debería plantar para que la producción sea máxima. Grafique y halle el dominio de la función producción.

Solución

La siguiente tabla expresa la situación descrita en el problema:

Si P (x) denota la función producción, entonces:

La gráfica de P se muestra en la figura 1.33.

Figura 1.33

Notemos que solo hemos graficado para x ≥ 0, puesto que x representa el número adicional de árboles plantados. Además, el punto de intersección del gráfico de P con el eje X es x = 100, que se obtiene igualando la función P a cero. Por lo tanto, el dominio de P es el intervalo [0; 100]. Del gráfico, notamos que la producción máxima se alcanzará al plantar un total de 80 naranjos.

Ejemplo 1.14

La base de una caja rectangular cerrada es tal que su largo L es el triple de su ancho. La caja tiene un volumen de 25 m³. Si el material de las partes superior e inferior de la caja cuesta 4 dólares por m² y el de los lados, 3 dólares por m², exprese el costo de construcción en función de L y halle su dominio.

Solución

Si h representa la altura de la caja, entonces sus dimensiones son metros, tal como indica la siguiente figura:

Figura 1.34

Ya que el volumen de la caja es de 25 m³, tenemos:

Por lo tanto, la función costo de construcción es:

Simplificando, obtenemos:

El dominio de la función costo es 〈0; +∞〉.

Ejemplo 1.15

En el planeamiento de una cafetería, se estima que si hay espacio para 50 personas, las utilidades diarias serán de 5 dólares por persona. Sin embargo, si el espacio se habilita para más de 50 personas, las utilidades diarias por persona disminuirán en un 20 %. Si x es el número de personas que acuden a la cafetería, exprese el monto de las utilidades diarias como función de x y bosqueje el gráfico de la función.

Solución

Sea x el número de personas que acuden a la cafetería. Si x < 50, entonces, el problema nos dice que la utilidad total generada por x personas será de 5x dólares. Pero si la cafetería se habilita para atender a más de 50 personas, la utilidad que genera cada una se reduce en 20 % (20 % de 5 dólares); es decir, cada persona generaría una utilidad de 4 dólares. Luego, la utilidad generada por x visitantes a la cafetería, sería de 4x dólares cuando x > 50. De esta forma, la función utilidad queda definida por:

y su gráfica es:

Figura 1.35

Aquí, la gráfica aparece con líneas punteadas, debido a que el dominio de la función está formado por números enteros no negativos, pues x representa el número de personas que acuden a la cafetería.

1.9. Ejercicios y problemas propuestos

1. Para construir una caja abierta, de base cuadrada, se necesitan $ 64. Si los lados de la caja cuestan $ 3 por m² y la base, $ 4 por m², exprese su volumen en función de la longitud de un lado de la base. Indique su dominio.

2. El departamento de obras de una empresa está planeando construir una playa de estacionamiento rectangular de 9200 m² de área. Para ello se construirá un cerco perimetral cuyo costo por metro de cerca es de $ 20. Si x denota el ancho del terreno, halle la función costo de cercado C(x).

3. Un negocio con capital original de $ 10 000 tiene ingresos y gastos semanales de $ 2000 y $ 1600, respectivamente. Si se retienen en el negocio todas las utilidades, exprese el capital del negocio al final de t semanas. Halle el dominio de la función obtenida. Grafique la función.

4. Un fabricante puede producir estantes a un costo de $ 80 la unidad. Las cifras de ventas indican que si los estantes se venden a x dólares la unidad, se venderán 500 – x estantes cada mes. Exprese la utilidad mensual del fabricante en función del precio de venta, grafique la función y determine el precio óptimo de venta.

5. Un fabricante de Gamarra vende 900 polos semanales al precio de 10 soles cada uno. El costo de cada polo es de 5 soles. El fabricante quiere aumentar el precio de su producto y, por los estudios de mercado realizados, se conoce que por cada 50 céntimos de incremento en el precio del polo se venderán 60 polos menos cada semana. Halle la función utilidad semanal del fabricante, indicando el dominio. Grafique la función.

6. Durante la sequía, los residentes de una ciudad tuvieron que hacer frente a una severa escasez de agua.

Para impedir el consumo excesivo de agua, la empresa encargada del servicio de agua potable y alcantarillado fijó drásticos aumentos en las tarifas. La tarifa mensual fue $ 5 por 10 m³ de agua para los primeros 30 m³, $ 20 por cada 10 m³ para los 50 m³ siguientes y $ 50 por cada 10 m³ de allí en adelante.

a) Exprese la factura mensual en función de la cantidad de agua consumida.

b) Halle el dominio y grafique la función.

c) ¿Cuánto pagó la familia que consumió 85 m³ de agua?

7. Una compañía de autobuses, para su campaña Viajes de Promoción, ha adoptado la siguiente política de precios para quienes desean alquilar sus vehículos: para grupos formados por no más de 30 alumnos se cobrará la cantidad fija de $ 1500. Para grupos conformados entre 30 y 70 alumnos, cada alumno pagará $ 50 y tendrá un descuento de 50 centavos de dólar por cada alumno adicional a 30. La tarifa más baja de la compañía, $ 30 por alumno, se ofrecerá a grupos de 70 o más.

a) Exprese los ingresos de la compañía de autobuses como una función del número de alumnos que conforman el grupo.

b) Grafique la función ingreso.

c) ¿Cuál es el ingreso de la compañía, si el grupo tiene 68 alumnos?

8. Un envase que tendrá la forma de un cilindro circular recto debe contener 1π pulg³ de aceite de oliva. El costo de construcción de una pulg² de las partes metálicas superior e inferior (base y tapa del envase) es dos veces el costo de construcción de una pulg² de la superficie lateral de cartón. Exprese el costo de construcción del envase como función del radio, si el costo de la superficie lateral es de $ 0,02 por pulg². Halle el dominio.

9. Un anuncio para el cual se requieren márgenes de 3 pulgadas en las partes superior e inferior, y de 2 pulgadas en los lados, deberá tener 50 pulg² para el material impreso. Si x es la longitud de la base del anuncio, exprese el área total del anuncio como función de x e indique su dominio.

10. Un campo petrolero tiene 20 pozos. Cada pozo ha estado produciendo 200 barriles diarios de petróleo. Se conoce que, por cada nuevo pozo perforado, la producción diaria de cada pozo disminuye en cinco barriles.

a) Escriba la producción diaria P del campo petrolero como función del número x de pozos nuevos que se perforan.

b) Trace la gráfica de y = P(x).

c) Mediante el gráfico de P, determine el valor de x que maximiza P.

11. Un importador de café estima que los consumidores locales comprarán:

kilogramos de café a la semana cuando el precio sea de p dólares por kilogramo. Se estima que dentro de t semanas el precio será de p(t) = 0, 04t² + 0, 2t + 12 dólares por kilogramo.

a) Exprese la demanda de consumo semanal de café como una función de t.

b) Dentro de diez semanas, ¿cuántos kilogramos de café comprarán los consumidores al importador?

c) ¿En qué momento la demanda de café es de 30 kilogramos?

12. P(x) es la cantidad de cierto artículo, que se produce utilizando x kilogramos de un insumo A. Se conoce que:

y que x depende de t, donde t es el número de días que se necesitan para obtener x kilogramos de A. Se verifica que

a) Halle (P ο x)(t). ¿Qué representa?

b) Calcule (P ο x)(5) e interprete el resultado.

13. Un fabricante establece el precio de venta de su producto en S/8 cada uno para pedidos menores o iguales a 100 unidades. Si el pedido excede las 100 unidades, se ofrece un descuento del 12,5 % del precio de venta a cada artículo adicional a 100 (y solo a estos).

a) Si el costo de producción de cada unidad es de S/5, determine la función utilidad en términos de la cantidad de unidades vendidas.

b) Grafique la función utilidad y determine su dominio.

c) ¿Cuál es la utilidad si se venden 110 unidades?

Capítulo 2

Límites de funciones

El concepto de límite de una función es la base para definir los conceptos de función continua, la derivada y la integral definida de una función. Estudiaremos el cálculo de límites de formas indeterminadas, así como los límites infinitos y al infinito, que nos permitirán calcular las ecuaciones de las asíntotas que presenta la gráfica de una función. Veremos, además, cómo el uso de límites nos permitirá describir diversas situaciones reales.

Conocimientos previos

Álgebra elemental; dominio de una función; operaciones con funciones, modelos matemáticos.

Secciones

✓ Definiciones y ejemplos

✓ Cálculo de límites

✓ Límites en formas indeterminadas

✓ Límites laterales

✓ Límites infinitos

✓ Límites al infinito

✓ Aplicaciones

✓ Funciones continuas

Sabes

Capacidades adquiridas:

✓ Efectuar operaciones con funciones.

✓ Determinar el dominio y rango de las funciones elementales.

✓ Graficar funciones.

✓ Formular modelos matemáticos.

✓ Interpretar modelos matemáticos.

Piensas

Competencias por lograr:

✓ Calcular límites de expresiones indeterminadas.

✓ Calcular límites infinitos y al infinito.

✓ Aplicar los límites al estudio gráfico de una función.

✓ Aplicar y describir mediante límites diver-sas situaciones reales.

Haces

Habilidades por desarrollar:

✓ Modelar situaciones reales mediante el uso de los límites.

✓ Utilizar límites para la previsión acerca del comportamiento de una función.

2.1. Introducción

Arquímedes nació en el año 287 antes de Cristo en Siracusa, sur de Sicilia, y murió en el año 212 antes de Cristo. Joven aún, se trasladó a Alejandría, donde tal vez estudió con Euclides.

Arquímedes demostró rigurosamente que el área K de un segmento parabólico APBQC (ver figura) es 4/3 del área de un triángulo T que tiene la misma base y la misma altura del segmento parabólico APBQC.

Figura 2.1

Para esto, primero probó que el área del mayor triángulo inscrito ABC sobre la base AC es cuatro veces la suma de las áreas de dos triángulos correspondientes inscritos sobre cada uno de sus lados AB y BC. Continuando con este mismo razonamiento, llegó a concluir que el área K del segmento parabólico ABC está dado por la suma infinita:

que es en realidad la suma de una serie geométrica de razón y que es igual a Arquímedes no mencionó que se trataba de la suma de una serie infinita, ni que lo que había calculado era un límite, pues los términos límite y serie no eran conocidos en aquella época.

En su intento por hallar el área del círculo, Arquímedes calculó el área de una gran cantidad de polígonos regulares inscritos en la circunferencia del círculo, pues había notado que, a medida que aumentaba el número de lados de tales polígonos, estos ocupaban una mayor área del círculo. Por tal razón, Arquímedes es el precursor de la noción de límite.

Intuitivamente, dada una función y = f (x), si al asignar a la variable x valores que se van aproximando a 5 vemos que los correspondientes valores de f (x) se aproximan a 10, esto quiere decir que 10 es el límite de f (x) cuando se aproxima a 5. Esto también quiere decir que f (x) toma valores arbitrariamente próximos a 10 cuando x toma valores muy cercanos a 5.

En este capítulo aprenderemos a calcular diversos tipos de límites de funciones y los aplicaremos al cálculo de algunas situaciones reales. Por ejemplo, si:

es la función que describe el precio en soles de una calculadora x meses después de su lanzamiento, vemos que uno y cinco meses después de su lanzamiento su precio será de 86 y 83 soles, respectivamente. Entonces, si vemos que su precio está disminuyendo, quisiéramos saber cuál será su precio a largo plazo. Situaciones como esta son las que estudiaremos en este capítulo.

2.2. Definición y ejemplos

Consideremos la función:

Vemos que el dominio de f es – {2}. El punto x = 2 ha sido excluido del dominio, pues cuando x = 2 el denominador de f se anula y, como sabemos, no existe división entre cero. En realidad, si reemplazamos x = 2 en f, obtenemos , expresión que no está definida en . Aun cuando x = 2 no pertenece al dominio de f, quisiéramos saber cómo se comporta f cuando x toma valores cercanos a x = 2.

A continuación, tabularemos para ver cómo se comporta la función y = f (x) cuando x toma valores cercanos a 2.

Notamos que, conforme x se aproxima a 2, los valores de f (x) se aproximan a 4. Por tal razón, decimos que el límite de f (x) cuando x tienda a 2 es igual a 4 y denotamos como sigue:

Si x ≠ 2, la función se puede simplificar como:

Es decir, para x ≠ 2, f es lineal.

Figura 2.2

Observación 2.1

Notemos que, para calcular el límite de una función y = f (x) cuando x → x₀, no es necesario que el punto x₀ pertenezca al dominio de la función. En nuestro ejemplo, hemos calculado

y el punto x = 2 no pertenece al dominio de f. En realidad, lo único que necesitamos para calcular el límite cuando x tiende a x₀ es que x pueda asumir valores muy próximos a x₀, lo cual significa que la función f = f (x) debe estar definida para valores de x arbitrariamente cercanos a x₀. En tal caso, decimos que x₀ es un punto de acumulación de Dom(f). Detallaremos esto en la próxima observación.

Ejemplo 2.1

Considere la función cuyo gráfico alrededor de

x = 2 se muestra en la figura 2.3.

Figura 2.3

Es claro que el dominio de f es – {–2, 2}. De acuerdo con la figura, cuando x tiende a 2, los valores de la función se aproximan a , pero la función nunca toma el valor . Entonces, el valor que obtenemos al calcular el límite de una función solamente nos indica hacia dónde esta se aproxima (por eso se llama límite).

En algunos casos, el valor de este límite puede coincidir con el valor de la función en el punto hacia el cual nos aproximamos (como veremos, las funciones que cumplen esta condición son llamadas continuas). Este caso se muestra en la siguiente figura:

Figura 2.4

Como vemos, en este caso

Podemos resumir las ideas anteriores en la siguiente definición:

Definición 2.1

Dada una función real f, definida en un conjunto X ⊂ y un punto x₀ ∈ , diremos que el límite de f (x) cuando x tiende a x₀ es igual a L y lo denotaremos por:

Si es posible obtener valores de f (x) arbitrariamente cercanos a L (tan próximos como uno quiera), cuando tomamos valores de x suficientemente próximos de x₀ (menores o mayores que x₀), pero no necesariamente iguales a x₀.

Observación 2.2

En la definición anterior, asumimos que, dado un punto x ∈ Dom (f) cercano a x₀, siempre es posible encontrar otro punto en el dominio de f que se encuentre más cerca de x₀ que el punto x. Los puntos x₀ con esta característica son llamados puntos de acumulación. En adelante, cada vez que calculemos un límite, asumiremos que el punto hacia el cual tiende x es un punto de acumulación.

La definición anterior significa que, cuanto más cercano de x₀ se encuentre el valor de x, el correspondiente valor de f (x) se encontrará más cerca de L.

En la práctica, para calcular un límite, no es necesario tabular con tantos valores como hicimos en el primer ejemplo del capítulo; tampoco es necesario conocer la gráfica de la función. En muchos casos, la forma más ágil de calcular el límite de una función es por medio de las propiedades que describiremos a continuación.

2.3. Cálculo de límites

Los siguientes dos resultados nos permitirán calcular límites de funciones de manera más rápida.

Teorema 2.1

Las siguientes propiedades son válidas:

1. Si f (x) = C es la función constante, entonces:

2. Si f (x) es una función polinomial, entonces:

Ejemplo 2.2

Recuerde que una función polinomial es una función de la forma:

Si consideramos las funciones:

Tenemos:

En general

Ejemplo 2.3

De acuerdo con el ejemplo anterior, tenemos que:

Teorema 2.2 (operaciones con límites)

Sean f y g dos funciones tales que

Las siguientes propiedades son válidas.

1. Si C es una constante real, entonces:

2.

3.

4.

5. Si M ≠ 0, entonces:

6. Si n ∈ , entonces:

7. Si n es impar, entonces:

8. Si n es par y L ≥ 0, entonces:

Ejemplo 2.4

Sea f (x) = x² + 5. Calcule

Aplicando la segunda propiedad del teorema 2.2 y el teorema 2.1, tenemos:

Ejemplo 2.5

Sea Calcule

Aplicando las propiedades del teorema anterior, tenemos:

Observación 2.3

Las propiedades 2, 3 y 4 del teorema anterior están enunciadas para dos funciones, pero también son válidas para cualquier cantidad finita de funciones.

Ejemplo 2.6

Calcule

Aplicando las propiedades y la observación anterior, tenemos:

Ejemplo 2.7

2.4. Límites con indeterminación de forma

Al calcular límites de funciones, no todos se obtienen por aplicación directa de las propiedades como vimos en los ejemplos anteriores; a veces es necesario hacer algunas operaciones y aplicar algunos procedimientos antes de usar las propiedades de los teoremas de la sección anterior. Por ejemplo, el primer límite que consideramos en este capítulo:

no se obtiene por aplicación directa de las propiedades, pues si lo hiciéramos, obtendríamos:

y, como sabemos, no existe la división entre cero. Este resultado absurdo se debe a que no es posible aplicar la propiedad del límite de la división:

ya que, como lo expresa la propiedad 5 del teorema 2.2, para aplicar esta propiedad es necesario que el límite del denominador sea no nulo, pero en nuestro caso, tenemos:

Si al calcular un límite obtenemos una expresión indeterminada de la forma , debemos levantar esta indeterminación. Levantar la indeterminación significa transformar la expresión en una cuyo denominador sea distinto de cero. Para lograrlo, debemos usar nuestros conocimientos previos: factorización, racionalización, identidades trigonométricas, etcétera.

Ejemplo 2.8

Calcule

Ya sabemos que no es posible aplicar la propiedad para el límite de la división de funciones, pues el límite del denominador es igual a cero. Aun así, podríamos reemplazar el valor x = 2 en la función para saber que tiene una indeterminación de la forma . Dada la forma del numerador (tiene la forma de una diferencia de cuadrados), utilizaremos factorización para levantar la indeterminación:

Por lo tanto, tal como obtuvimos al iniciar el capítulo mediante tabulación.

Ejemplo 2.9

Calcule

Al reemplazar x = 0 en el numerador y en el denominador de la función, obtenemos una indeterminación de la forma . Para levantar la indeterminación, factorizaremos:

Por lo tanto,

Ejemplo 2.10

Calcule

Como en los ejemplos anteriores, al reemplazar x = –2 en la función obtenemos una indeterminación de la forma . Entonces, nuestra tarea es levantar la indeterminación, para lo cual usaremos la racionalización:

Observación 2.4

Si el límite lím posee una indeterminación , entonces para levantar esta indeterminación, debemos factorizar (o racionalizar o aplicar identidades trigonométricas, según sea el caso) con la finalidad de obtener el factor (x – a) tanto en el numerador como en el denominador. Si al simplificar el factor (x – a) persiste la indeterminación , debemos repetir el proceso.

2.5. Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.1

Calcule los siguientes límites:

Solución

a) El límite lím tiene una indeterminación de la forma . Levantaremos la indeterminación factorizando el numerador por diferencia de cuadrados y el denominador por diferencia de cubos:

b) Aplicando las fórmulas para la suma de cubos y la diferencia de cuadrados, levantaremos la indeterminación en el límite

c) Para levantar la indeterminación en el límite:

usaremos el método de Ruffini para factorizar el numerador y factorizaremos el denominador por aspa. Así, tenemos:

d) Calculemos:

Notemos que no se puede aplicar la propiedad del límite del cociente a ninguno de los términos de la función, pues ambos tienen un denominador que tiende a cero cuando x tiende a 2. Si lo hacemos, tendremos una expresión de la forma Procedamos de la siguiente manera:

De esta forma, el límite inicial se ha transformado en un límite con indeterminación de la forma . Levantemos esta indeterminación factorizando:

Ejercicio 2.2

Calcule los siguientes límites:

Solución

a) Si reemplazamos x = – 2, vemos que el límite:

posee una indeterminación de la forma . La presencia de una raíz cuadrada en el denominador nos sugiere racionalizar la función y buscar el factor (x + 2) en numerador y denominador. Procedamos así: