Kitabı oku: «Universos paralelos»

Un mundo
de probabilidades

Corrían los últimos días del siglo XIX cuando un físico alemán, que ya gozaba de una bien ganada reputación dentro de la comunidad científica internacional por sus trabajos sobre la teoría del calor y sobre termodinámica en general, presentó un trabajo sobre la distribución espectral de la radiación térmica en la reunión anual de la Sociedad Alemana de Física. La traducción del título del trabajo era «La teoría de la ley de distribución de energías del espectro normal», el físico era Max Planck y en aquella fecha, el 14 de diciembre de 1900, se presentó en sociedad la que sería la primera piedra de la primera gran revolución de la física moderna: la hipótesis cuántica.

A lo largo del primer cuarto del siglo siguiente, reconocidos físicos como, entre otros, Albert Einstein, Niels Bohr, Louis de Broglie, Werner Heisenberg, Max Born, Wolfgang Pauli o Erwin Schrödinger, pusieron otras muchas piedras que permitieron completar un singular y brillante edificio: la mecánica cuántica. Sus leyes se revelaron tan eficaces y precisas para la descripción del mundo microscópico como inquietantes y desconcertantes para la intuición del común de los mortales. La luz tenía propiedades corpusculares, la materia propiedades ondulatorias, los electrones ya no seguían trayectorias y determinar su posición implicaba desconocer la velocidad que poseían; y, sobre todo, un gato podía estar ¡vivo y muerto al mismo tiempo! Esas mismas leyes y su consistencia matemática constituyen la principal base científica para la sorprendente especulación formulada por Hugh Everett en su tesis doctoral, defendida en Princeton en 1957, y que proponía la existencia de una multitud de universos paralelos, lo que se denomina multiverso cuántico o simplemente multiverso, como peaje a pagar para preservar una propiedad de la mecánica cuántica llamada unitariedad (a la que prestaremos atención más adelante). En particular, dicha propiedad debía preservarse también cuando se realiza una medición de alguna característica observable para un sistema dado y la función de onda que lo representa, aparentemente, colapsa perdiendo parte de su información.

En esencia, el trabajo de Everett estaba motivado, precisamente, por el intento de resolver el conocido como problema de la medida en mecánica cuántica. Problema que se deriva del establecimiento de la denominada interpretación ortodoxa de Copenhague como paradigma de la mecánica cuántica para la descripción del mundo físico microscópico. Everett concibió un mundo cuántico en el que la función de onda no colapsaba y la información del sistema cuántico no se perdía. En este mundo, el sistema cuántico con un resultado particular de una medida y el observador que la había medido se desdoblaban del sistema con otros resultados y de otros observadores, generando realidades cuánticas alternativas que se desconectaban y evolucionaban en paralelo. Así, el proceso de medida multiplicaba la realidad hasta generar tantas versiones cuánticas de la misma como resultados posibles de cada medida. Mundos paralelos que surgían de cada alternativa cuántica, que diferían inicialmente en el resultado de una medida concreta, pero que continuaban desdoblándose y divergiendo con cada alternativa medida. Las implicaciones de la idea de Everett producen verdadero vértigo: la existencia de una infinidad de realidades paralelas, que han aparecido desde el principio de los tiempos y siguen continuamente apareciendo, desarrollando todas las historias posibles.

No obstante, a pesar del equipaje metafísico que acompaña al trabajo de Everett, el suyo es un trabajo muy técnico, marcadamente formal y sólidamente matemático. Lo que Everett propone es, a grandes rasgos, una alternativa al paradigma de la interpretación ortodoxa de Copenhague, que extiende el formalismo de la mecánica cuántica y resuelve la paradoja asociada al problema de la medida. La existencia de múltiples realidades paralelas, de múltiples universos, es una mera consecuencia de la extensión sugerida por Everett, de su interpretación alternativa de la mecánica cuántica. Entender el porqué y las consecuencias de las ideas de Everett nos llevará, por tanto, a realizar un recorrido conceptual a lo largo de la gestación de las leyes de la mecánica cuántica y del establecimiento de la interpretación ortodoxa de Copenhague.

DEL CUERPO NEGRO A LA CUANTIZACIÓN DE LA LUZ

El problema físico que llevó a Planck a postular su hipótesis cuántica era el problema del equilibrio de la materia con la radiación. Un problema en el que confluían la termodinámica, la mecánica estadística y el electromagnetismo. Disciplinas, todas, muy bien establecidas dentro del cuerpo de la física clásica a finales del siglo XIX; en particular gracias a los trabajos de Ludwig Boltzmann en mecánica estadística y de James Clerk Maxwell en la formulación unificada del electromagnetismo.

El problema puede describirse como sigue. Todo cuerpo, por el hecho de estar a una cierta temperatura, radia. Emite «luz», es decir, radiación electromagnética no necesariamente visible. La razón es fácil de entender. La materia se compone de moléculas, que a su vez se componen de átomos que, aunque neutros, están compuestos por partículas cargadas eléctricamente como los electrones y los protones. El origen de las propias fuerzas intermoleculares está en el hecho de que, en las moléculas, la distribución de carga eléctrica negativa no es igual a la positiva, existiendo cierta separación de carga, ya sea permanente o instantáneamente. Por otra parte, la mecánica estadística nos enseña que la temperatura de un cuerpo es una medida promedio de la agitación de las moléculas que lo forman, cuando este se halla en equilibrio termodinámico (es decir, cuando se encuentra en equilibrio mecánico, químico y térmico a la vez y no puede experimentar un cambio de estado de manera espontánea). Y el electromagnetismo de esta agitación de componentes cargados genera campos magnéticos y eléctricos variables, es decir ondas electromagnéticas. Esto es lo que se conoce como radiación térmica. La cantidad total de energía radiada por unidad de tiempo y unidad de superficie del cuerpo que radia, denominada radiancia, debe lógicamente depender del grado de agitación y, por tanto, de la temperatura a la que se encuentre dicho cuerpo. La manera en que esa energía se reparte en el continuo de frecuencias del espectro electromagnético, que viene dada por la función llamada radiancia espectral, también dependerá de la temperatura.

Con objeto de analizar los problemas con la máxima generalidad y de la manera más formal posible, los físicos suelen fabricar modelos que se aplican a sistemas idealizados. En el caso del problema del equilibrio entre materia y radiación, ese sistema idealizado se llama cuerpo negro, denominado así porque su superficie absorbe toda la radiación que incide sobre él. La principal característica de un cuerpo negro es que, como Gustav Kirchhoff demostró, la manera en que radia térmicamente no depende de su naturaleza o composición, sino solo de la temperatura del cuerpo. Una buena aproximación experimental de un cuerpo negro es una cavidad mantenida a temperatura constante, cuya radiación interior se observa a través de un pequeño orificio. De ese modo, el problema de la radiación del cuerpo negro adquirió también una notable relevancia práctica al convertirse este en un patrón ideal para fuentes luminosas. Científicos e ingenieros, a lo largo de la segunda mitad del siglo XIX, repitieron cuidadosamente medidas de la distribución espectral de la radiación del cuerpo negro y trataron, sin éxito, de justificarlas de manera teórica. En particular, en contra de cualquier evidencia experimental, la radiancia espectral calculada teóricamente crecía hasta hacerse infinita cuando lo hacía la frecuencia. Dicho desacuerdo radical entre teoría y experiencia (la radiancia espectral medida disminuía hasta anularse para el caso límite de frecuencias infinitas) fue melodramáticamente bautizado como catástrofe ultravioleta.

El problema era, por tanto, de capital importancia porque ponía a prueba el paradigma del conocimiento sólidamente establecido para el mundo físico a finales del siglo XIX. Planck atacó ese problema con la certeza de que tenía que ser resuelto y, usando sus mismas palabras, lo resolvió con un «acto de desesperación», formulando su postulado limitado o cuántico. En esencia, la teoría de Planck del cuerpo negro corregía la fallida teoría clásica, previamente desarrollada por lord Rayleigh y sir James Jeans, en un único punto. Como ellos, Planck aplicó el electromagnetismo clásico para deducir que la radiación en el interior del cuerpo negro, de paredes supuestamente metálicas, correspondía a ondas estacionarias con nodos (puntos en los que la amplitud de la onda es nula) en las paredes. Calculó el número de ondas estacionarias por intervalo de frecuencia, también como Rayleigh y Jeans, pero al asignar la energía promedio por onda, introdujo su hipótesis: la energía portada por la radiación interna del cuerpo negro para una frecuencia dada es un múltiplo entero de una cantidad mínima proporcional a dicha frecuencia. Formulada matemáticamente, la hipótesis de Planck se expresa a través de la conocida ecuación:

E=hν,

donde E representa la energía, ν, la frecuencia, y h es una constante que tiene las dimensiones de una energía multiplicada por un tiempo, magnitud que los físicos conocen como acción. Esta constante resultó ser universal, la misma para cualquier forma de interacción entre radiación y materia, y hoy lleva el nombre de constante de Planck. De ese modo, con esta hipótesis sencilla pero nada previsible desde la lógica cotidiana, la energía promedio por onda estacionaria pasaba a ser una función de la frecuencia y permitía la descripción precisa de los resultados empíricos para la radiación del cuerpo negro.

A este fenómeno, al hecho de que una magnitud que clásicamente puede variar de manera continua, adquiriendo cualquier valor posible, quede limitada a un conjunto discreto de valores accesibles, se le conoce como cuantización. Por «discreto» se entiende que el conjunto de valores es numerable, es decir, que puede establecerse una correspondencia uno a uno con el conjunto matemático de los números naturales o enteros. Planck había introducido, con su hipótesis, la cuantización de la energía de radiación del cuerpo negro. Sin embargo, su interpretación inicial tenía repercusiones más bien modestas. Propuso que las ondas estacionarias en el interior del cuerpo negro estaban acopladas a los electrones que oscilaban en las paredes metálicas de la cavidad, de forma que eran estos electrones oscilantes los que estaban cuantizados, provocando que la radiación interna en la cavidad transmitiera energía tan solo en paquetes discretos. Por tanto, para Planck, al menos inicialmente, el fenómeno no era universal.

La universalización del carácter cuántico de la radiación llegó con trabajos posteriores de otros físicos más jóvenes, como Albert Einstein. En su annus mirabilis de 1905, Einstein publicó en los Anales de la Sociedad Alemana de Física un trabajo titulado «De un punto de vista heurístico sobre la producción y transformación de la luz». En él extendía la hipótesis cuántica de Planck a todo intercambio de energía entre radiación electromagnética y materia, explicando así el conocido como efecto fotoeléctrico. Descubierto por Heinrich Hertz en 1886, el fenómeno consistía en la obtención de una corriente eléctrica al hacer incidir luz sobre la superficie limpia de un metal. La luz arrancaba los electrones de la banda de conducción del metal, generando la corriente, pero solo a partir de una cierta frecuencia umbral. Einstein interpretó correctamente que, si la luz solo podía transferirse en paquetes discretos cuya energía era igual al producto de la constante de Planck por la frecuencia, se necesitaría una frecuencia mínima para que la energía comunicada al electrón por un único paquete elemental fuera suficiente para arrancarlo. A ese paquete elemental se le dio el nombre de cuanto, en este caso de luz.

No se trataba solo de la radiación del cuerpo negro; cualquier forma de radiación electromagnética estaba cuantizada. La luz, que se propagaba como la onda electromagnética que era, se transfería en paquetes discretos y también tenía, por tanto, propiedades corpusculares. Regresaremos a este punto más adelante. Al corpúsculo asociado a la emisión y absorción de la radiación electromagnética se le conoce hoy como fotón.

ESTADOS Y NÚMEROS CUÁNTICOS

Alcanzado un cierto consenso sobre la cuantización de la luz, a raíz de la interpretación del efecto fotoeléctrico propuesta por Einstein, la confirmación de que el mundo microscópico estaba gobernado por las emergentes leyes cuánticas llegó de la mano del físico danés Niels Bohr. En 1913, Bohr aplicó las ideas cuánticas que con anterioridad habían desarrollado Planck y Einstein para fabricar el modelo atómico que lleva su nombre. Previamente, Ernest Rutherford, al analizar los resultados de su famoso experimento de dispersión de partículas alfa por una lámina de oro en 1911, había teorizado que los electrones orbitaban en torno a un pequeño núcleo con carga positiva. El modelo de Bohr postulaba que, al orbitar, el momento angular de un electrón podía únicamente ser un múltiplo entero de la constante de Planck dividida por 2 Π (constante de Planck reducida). El momento angular de una partícula, en una trayectoria circular, es el producto de su masa, su velocidad y el radio de la órbita; y tiene también dimensiones de una acción, como la constante de Planck. Por tanto, el momento angular del electrón ligado al núcleo estaba cuantizado y, en consecuencia, el número de orbitas permitidas se reducía a un número discreto de ellas. Bohr las denominó órbitas estacionarias y podían ser etiquetadas con un número entero, n, que pasó a llamarse número cuántico principal. Además, los electrones solo cambiaban de órbita cuando absorbían o emitían el paquete elemental de luz adecuado, un fotón de una energía igual a la diferencia entre dos órbitas. Un fotón de una energía dada implicaba también una frecuencia particular. De ese modo, se justificaba que los espectros atómicos de emisión de radiación presentaran un número discreto de finas bandas, denominadas líneas espectrales, para ciertos valores de la frecuencia que, como en el caso del hidrógeno, eran muy bien conocidos experimentalmente (figura 1).

El modelo atómico de Bohr explicaba a la perfección el espectro de emisión o de absorción del hidrógeno y, además, resolvía uno de los problemas que Rutherford había, simplemente, ignorado al concebir su modelo: un electrón no puede, en principio, orbitar de manera estable en un átomo. La electrodinámica clásica nos enseña que una partícula cargada, como un electrón, debe emitir radiación al ser acelerada a lo largo de la trayectoria en su órbita y, por tanto, perderá energía de manera paulatina. Ese es, precisamente, el principio que se usa para fabricar una antena emisora o receptora de ondas electromagnéticas, como las de televisión o radio: el movimiento acelerado de cargas en una antena genera ondas o estas, al ser recibidas, inducen el movimiento de cargas que nos permite codificar información. Desde una perspectiva clásica, el átomo que Rutherford había concebido no podía existir más allá de un corto intervalo de tiempo, el necesario para que el electrón perdiera la energía que lo mantenía orbitando y colapsara, atraído por el núcleo. En el mundo microscópico, sin embargo, donde imperan las leyes cuánticas, el electrón solo puede radiar para caer de una órbita permitida a otra, también permitida y de menor energía, emitiendo un fotón. Todas las órbitas son inestables menos la más baja o de menor energía, que es estable y corresponde a lo que se conoce como estado fundamental del sistema, en este caso el átomo. Las órbitas inestables se denominan estados excitados.

Si los trabajos de Planck y Einstein habían demostrado que el intercambio de energía entre radiación y materia estaba cuantizado, Bohr demostró que el momento angular o la energía del electrón en el átomo estaban también cuantizados. Las leyes cuánticas reinaban en el mundo microscópico, estableciendo que los estados de la materia eran también cuánticos. Sin embargo, la estructura de la materia y su interacción con la radiación se reveló mucho más complicada de lo que Bohr había postulado. Arnold Sommerfeld aplicó algunas sofisticaciones al modelo atómico de Bohr, introduciendo un segundo número cuántico y algunas correcciones que incorporaban efectos de la teoría de la relatividad especial o restringida que, en 1905, Einstein había formulado. De ese modo, predijo que cada órbita o estado estacionario etiquetado por el número cuántico n en el modelo de Bohr, en realidad correspondían a n estados, etiquetados ahora con la letra l (número cuántico secundario), que tomaba valores desde 0 hasta n – 1, cada uno de ellos con energías ligeramente distintas. Esta predicción tenía una inmediata consecuencia espectroscópica. Donde el modelo de Bohr predecía un salto cuántico entre dos niveles con números cuánticos n y n + 1, la generalización de Sommerfeld predecía los múltiples saltos entre los correspondientes n y n + 1 niveles, con ligeras diferencias de energías entre ellos. En consecuencia, las líneas espectrales explicadas por Bohr tenían que ser, en realidad, un paquete de líneas finamente desdobladas, como resultado de estas pequeñas diferencias de energía entre niveles (del orden de unas pocas partes en cien mil). Este fenómeno recibió el nombre de estructura fina espectral. La confirmación de la estructura fina predicha por Sommerfeld, que requirió de refinadas técnicas espectroscópicas, dio un nuevo espaldarazo al carácter cuántico de la materia.

FIG. 1

Las líneas verticales de distinto grosor son las llamadas líneas espectrales, y corresponden a transiciones entre dos niveles energéticos. Las líneas espectrales se agrupan en series, de las que se conocen las de Lyman (Ly), Balmer (Ba), Paschen (Pa), Brackett (Br), Pfund (Pf) y Humphreys (Hu). Las líneas discontinuas indican distintas longitudes de onda de referencia.

La complejidad mostrada por los espectros atómicos aún exigió la introducción de un tercer número cuántico (m), asociado a nuevos desdoblamientos en las líneas espectrales inducidos por campos magnetostáticos externos al átomo. Y aún aparecerían nuevos desdoblamientos anómalos que convertirían en un verdadero rompecabezas la interpretación de los espectros atómicos. La introducción del tercer número cuántico implicó una nueva cuantización, en este caso de un ángulo, el que formaban el vector campo magnético y un vector denominado momento magnético orbital asociado al movimiento del electrón en la órbita. Sin embargo, los procedimientos aplicados para la cuantización se basaban, en esencia, en la mera aplicación de restricciones a las leyes clásicas que obligaban a ciertas magnitudes a tomar únicamente valores discretos. El edificio cuántico se basaba en analogías con la mecánica clásica y carecía de la adecuada sistemática. Se echaba en falta una verdadera mecánica cuántica que dictara de manera consistente las nuevas leyes para el mundo microscópico y que guiara a los físicos en su comprensión.

EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORD Y EL MODELO DE BOHR

El físico neozelandés Ernest Rutherford realizó en 1911 el que puede, sin duda, considerarse como el primer experimento en física nuclear de la historia. Como resultado del mismo, obtuvo una imagen cualitativamente correcta de la estructura del átomo, descubriendo el núcleo atómico. En la figura 1 se esquematiza el mencionado experimento. En él, una fuente radiactiva, emisora de partículas alfa (es decir, dos protones y dos neutrones ligados), genera un haz dirigido por un colimador que lo hace incidir sobre una lámina de oro y es dispersado. Los núcleos de oro provocan las desviaciones de los haces dispersados que son recogidos por los detectores. De estas desviaciones, se deduce que el núcleo tiene un radio 100 000 veces menor que el del propio átomo y concentra toda su carga positiva. A partir de los resultados de su experimento, Rutherford desarrolló un modelo teórico de la estructura del átomo, muy similar en concepto a un sistema solar, con una estrella (el núcleo atómico) en el centro, y planetas (electrones) girando a su alrededor. Sin embargo, no tardaron en surgir críticas a dicho modelo. Análisis teóricos minuciosos indicaron que, de la manera en que estaba planteado el modelo, los electrones no podrían mantenerse orbitando el núcleo más que por un instante fugaz y que debido a ello todos los átomos serían inestables; no existiría materia como la que conocemos. El mecanismo por el que los electrones giran en torno al núcleo debía por tanto tener características no contempladas por el modelo de Rutherford. Niels Bohr dedujo cuáles eran tales características.

La solución aportada por Bohr

Bohr, aplicando las ideas de Max Planck, propuso la cuantización del momento angular L del electrón en la órbita,

L=nh2π=nħ,

donde h es la constante de Planck y n es el número cuántico principal (ħ es la constante de Planck reducida). Así obtuvo que, para el átomo de hidrógeno (que tiene un protón y un electrón), solo era posible un número discreto de órbitas estacionarias, con energías

En=12k2mee4n2n2ħ2,

donde m_e y e son, respectivamente, la masa y la carga del electrón, y k es la constante de la fuerza electrostática de Coulomb. El signo negativo de la energía expresa que el electrón está ligado al núcleo, y solo cuando está libre o no ligado tendrá energía nula. Cuanto mayor es el número n para la órbita, mayor será la energía (menos negativa). La transición del electrón desde una órbita de mayor a menor n provocará la emisión de un fotón cuya frecuencia dependerá de la diferencia de energía entre las órbitas, según la ecuación de Planck. A la inversa, la transición de menor a mayor n ocurrirá si un fotón con la energía requerida es absorbido.

FIG. 1

El experimento realizado por Ernest Rutherford en 1911 se puede considerar como el primero de la física nuclear en la historia. Los resultados obtenidos le permitieron descubrir el núcleo atómico, y hacerse una idea de la estructura del átomo a grandes rasgos. Una fuente radiactiva, emisora de partículas alfa, genera un haz dirigido por un colimador que lo hace incidir sobre una lámina de oro y es dispersado. Los núcleos de oro provocan las desviaciones de los haces dispersados que son recogidos por los detectores.

FIG. 2

El modelo atómico propuesto por Niels Bohr, aplicando las ideas de Max Planck, corrigió la interpretación errónea del modelo inicial de Ernest Rutherford. Bohr demostró que el momento angular o la energía del electrón en el átomo estaban también cuantizados.

EL FIN DEL DETERMINISMO

Las leyes de la mecánica cuántica empezaron a perfilarse con los trabajos del físico alemán Werner Heisenberg y del austríaco Erwin Schrödinger, a lo largo de 1925 y 1926. Otros muchos destacados físicos y matemáticos, a raíz de los trabajos de Heisenberg y Schrödinger, contribuyeron a su desarrollo matemático, a la correcta interpretación de los conceptos físicos que de ella se derivaron y al escrutinio de sus inquietantes consecuencias. Podríamos destacar, por ejemplo, a Max Born, Pascual Jordan, Wolfgang Pauli, John von Neumann o Paul A. Dirac, que dieron pasos decisivos en la construcción del nuevo formalismo para la mecánica cuántica.

Heisenberg centró sus esfuerzos iniciales en una reinterpretación cuántica, del todo sistemática, de las leyes de la cinemática y la mecánica. Su objetivo era, precisamente, construir la nueva mecánica del mundo microscópico cuyas manifestaciones eran las cuantizaciones de la radiación, como Planck y Einstein habían adelantado, y de los estados del átomo, como los modelos de Bohr y Sommerfeld, con sus números y sus saltos cuánticos, habían puesto de manifiesto. Las ideas de Heisenberg le llevaron a proponer que el análogo cuántico de cualquier magnitud física, para un sistema dado, correspondía a una matriz cuyos elementos estaban asociados a las posibles transiciones o saltos cuánticos entre todos los diferentes estados del sistema estudiado. Una matriz, en matemáticas, es una entidad bidimensional formada por números, que puede ser concebida como una caja con n filas y m columnas, donde cada uno de los números está etiquetado por los números de la fila y la columna; y para la que se definen ciertas operaciones y propiedades que le confieren cierta estructura matemática. Si se piensa, por ejemplo, en la medida de una magnitud cualquiera, que llamaremos A, para el electrón en el átomo de Bohr, Heisenberg argumentó que el resultado debía depender de un conjunto de números, que llamaremos Anm, asociados a la transición entre los estados con números cuánticos n y m. Dado que n y m pueden tomar cualquier valor entero, según el modelo de Bohr, el conjunto de números es infinito aunque discreto. Técnicamente, diríamos que la matriz que asociaríamos a la magnitud A sería cuadrada (mismo número de filas que de columnas) y de orden infinito. En el caso del modelo de Sommerfeld, la descripción sería un poco más complicada porque los estados necesitarían, para su etiquetado, de hasta tres números cuánticos pero, en esencia, el concepto sería el mismo. Los saltos cuánticos entre estados definen el sistema cuántico y, por tanto, cualquier magnitud debe ser cuantificada en términos de dichos saltos. Magnitudes dinámicas como la posición o la cantidad de movimiento (el producto de la velocidad y la masa) que, clásicamente, se representan por números pasarían a ser matrices de orden infinito.

Una vez definidas cuánticamente las magnitudes físicas, el siguiente paso era reescribir de manera sistemática el análogo cuántico de las leyes de la física clásica, empleando estas magnitudes redefinidas. Desde una perspectiva moderna, lo que Heisenberg y su reinterpretación cuántica proponían era una reescritura más general de las leyes físicas, de suerte que las leyes clásicas pudieran ser recuperadas en un límite particular que hoy llamamos límite clásico. De eso hablaremos un poco más adelante. El hecho es que, primero Heisenberg, y después, Born y su estudiante Jordan, desarrollaron la nueva mecánica para el mundo microscópico en términos de magnitudes y expresiones matriciales. En estas expresiones, el producto de magnitudes debía aparecer como producto de matrices que, contrariamente al producto de números, no verifican la propiedad conmutativa. Es decir, dadas dos magnitudes representadas por las matrices Q y P, se tiene que el resultado del producto QP es, en general, distinto de PQ. Born y Jordan encontraron que, en particular, si Q representa la posición y P, la cantidad de movimiento de una partícula en un sistema dado, las matrices no conmutan y la diferencia entre los productos QP y PQ es proporcional a la constante de Planck reducida.

Fue, sin embargo, Heisenberg el que entendió las profundas implicaciones de este resultado. En 1927, publicó el artículo titulado «Sobre el contenido físico de la teoría cuántica de la cinemática y la mecánica», en el que enterraba el determinismo de las leyes clásicas y reformulaba nociones tan básicas como la de trayectoria de una partícula. En dicho trabajo, Heisenberg concluía que las leyes de la física clásica que parecían gobernar el mundo macroscópico eran el resultado de la pequeñez, debido al valor de la constante de Planck, de las discontinuidades y saltos cuánticos que resultaban de la mecánica cuántica. En el mundo microscópico, para pequeñas masas y pequeñas distancias, las leyes físicas operaban de manera discontinua sobre magnitudes que dependían de los saltos discontinuos entre los estados discretos accesibles a los sistemas físicos. En este mundo, magnitudes como posición y cantidad de movimiento, están representadas por matrices que no conmutan al ser multiplicadas. Lo mismo ocurría para cualesquiera pares de magnitudes, denominadas canónicamente conjugadas, cuyo producto posea las mismas unidades que la constante de Planck. Heisenberg demostró que, del resultado de Born y Jordan para la diferencia entre sus productos en diferente orden, se podía deducir que las precisiones con las que estas parejas de magnitudes podían medirse estaban ligadas. El resultado era el que sigue. Si llamamos Δq a la precisión con la que podemos medir la magnitud Q, entendiendo por precisión que los valores de la medida se hallan en el intervalo entre q – Δ q y q + Δ q, siendo q el valor de la medida, y llamamos Δp a la precisión de P ; el producto de las precisiones no puede ser menor que la constante de Planck reducida dividida por 2:

ΔqΔp≤ħ2.

La conclusión inmediata de este resultado es que la posición y la cantidad de movimiento de una partícula, por ejemplo del electrón en el átomo, no pueden determinarse simultáneamente con precisión arbitraria. Fijar la posición del electrón con absoluta precisión, es decir, con un intervalo de incertidumbre nulo, implicará que el intervalo de incertidumbre para la medida de la cantidad de movimiento, y por tanto de la velocidad, será formalmente infinito. Medir y conocer la posición implica desconocer por completo la velocidad. La misma conclusión se derivará, del mismo modo, para cualesquiera otras parejas de variables canónicamente conjugadas, como energía y tiempo. Este famoso resultado es conocido como principio de incertidumbre de Heisenberg.

La mecánica clásica prescribe la evolución con el tiempo de un sistema dinámico a través de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ello quiere decir que las ecuaciones hacen intervenir segundas derivadas de las variables que fijan el estado del sistema. Y ello quiere también decir que obtener una solución dada, y conocer por tanto la sucesión de estados por los que pasa el sistema a lo largo del tiempo, exige conocer los valores de esas variables y de sus primeras derivadas en un instante inicial dado. Si pensamos en una partícula, por ejemplo un electrón cuya dinámica esté gobernada por la atracción eléctrica del núcleo, la posición del electrón definiría el estado del sistema y la trayectoria del mismo, su órbita, sería la solución que describiría su evolución. En ese caso, la determinación de dicha trayectoria exige conocer la posición y su primera derivada, la velocidad, en un instante dado. Pero, en mecánica cuántica, el principio de incertidumbre permite conocerlas solo dentro de ciertos intervalos de certidumbre que, acotados por la pequeña constante de Planck, no pueden reducirse hasta alcanzar la precisión absoluta. Las leyes cuánticas, por tanto, no permiten la determinación de la trayectoria o la órbita del electrón.

Solo aquello que puede medirse tiene realidad física. Las leyes cuánticas gobiernan un mundo de sistemas con estados discretos y saltos discontinuos entre ellos, donde las trayectorias no pueden determinarse. Hablar, por tanto, de trayectorias o de órbitas carece de significado en el mundo microscópico regido por dichas leyes. En el mundo macroscópico, la pequeñez de las discontinuidades cuánticas genera la ilusión de partículas siguiendo trayectorias bien determinadas gobernadas por leyes clásicas. Pero no deja de ser una ilusión que podremos entender mejor más adelante.

ONDAS Y PARTíCULAS

¿Tiene sentido preguntarse dónde está el electrón en un átomo de hidrógeno? Bohr había definido órbitas circulares estacionarias y asignado, además de un número cuántico, un radio a cada una de ellas. En concreto, el radio de la órbita para n = 1, la de menor energía y consecuentemente estable, se conoce como radio de Bohr y se considera una medida del tamaño del átomo de hidrógeno y una escala apropiada para expresar distancias atómicas. En un mundo donde las trayectorias no tienen realidad física, ¿cuál es el verdadero significado del radio de Bohr o del tamaño de un átomo? La respuesta a los anteriores interrogantes cristalizó a partir de un formalismo alternativo a la mecánica matricial de Heisenberg, Born y Jordan, formalmente equivalente a él pero que preparó el camino para la adecuada interpretación cuántica de la realidad física. Este formalismo se conoce como mecánica cuántica ondulatoria y fue desarrollado por el físico austriaco Erwin Schrödinger en 1926.

El primer paso hacia la mecánica cuántica ondulatoria, sin embargo, vino de la mano del físico teórico francés Louis de Broglie, quien, en su tesis doctoral defendida en 1924, sugirió que el electrón poseía propiedades corpusculares y ondulatorias. En palabras del propio De Broglie, el objetivo de su propuesta era «realizar una síntesis efectiva, válida para todas las partículas, de la coexistencia de aspectos corpusculares y ondulatorios que Einstein había introducido en la teoría de los cuantos de luz». Esto es lo que se conoce como dualidad onda-partícula. Según las ideas de De Broglie, al igual que la colisión elástica de un fotón con un electrón (denominada efecto Compton) describía en términos corpusculares la interacción de este último con la radiación, un haz de electrones podía ser difractado como lo era un haz de luz. La difracción es un fenómeno típicamente ondulatorio que se produce cuando una onda es distorsionada por un obstáculo o rendija que posee dimensiones similares a la longitud de la onda. De Broglie había determinado que la longitud de onda del electrón, λ, debía ser igual a la constante de Planck dividida por su cantidad de movimiento,

λ=hp=hmev,

siendo p la cantidad de movimiento, que se expresa como el producto de la masa del electrón por su velocidad. Así, entre 1925 y 1927, Clinton Davisson y Lester Germer generaron un haz de electrones lo suficientemente lentos como para que su longitud de onda estuviera en el rango de los rayos X, lo hicieron atravesar una red cristalina de níquel, cuyo espaciado reticular es apropiado para este rango de longitudes de onda, y usaron un detector para contar los electrones dispersados a diferentes ángulos. El resultado que obtuvieron fue que los electrones dispersados se distribuían según la ley para la difracción que William Henry Bragg y William Lawrence Bragg (padre e hijo) habían establecido en 1913. Encontraron un máximo para un ángulo que estaba en perfecto acuerdo con el que podía deducirse del espaciado reticular y de la longitud de onda predicha por De Broglie para los electrones, en función de su velocidad. De este modo, la dualidad onda-partícula resultó experimentalmente confirmada.

Dado que el electrón se comportaba como una onda, Schrödinger decidió tratarlo como tal y le asignó una función de onda, que los físicos designan con la letra griega Ψ, un objeto matemático que describía el estado cuántico del electrón. Dicha función, como el campo eléctrico o el campo magnético de las ondas electromagnéticas, tomaba valores para cualquier punto del espacio y del tiempo, y su dinámica debía estar gobernada por una ecuación análoga a la ecuación de onda que se deducía de las ecuaciones de Maxwell en electrodinámica clásica. Así, Schrödinger formuló la ecuación de onda, que hoy lleva su nombre, que debía regir la evolución con el tiempo de cualquier sistema dado, en este caso el electrón, y cuyas soluciones estacionarias (independientes del tiempo) proporcionarían los estados cuánticos del sistema.

La ecuación de Schrödinger, como cualquier ecuación de onda, establece una conexión entre el modo en que la función de onda cambia su valor con el transcurso del tiempo y el modo en que lo hace cuando se la evalúa en diferentes posiciones espaciales. Las tasas de variación con respecto al tiempo o la posición se expresan de forma matemática a través de derivadas parciales, que la ecuación de Schrödinger relaciona. Es, técnicamente, una ecuación diferencial en derivadas parciales. Si tomamos como imagen de la onda el perfil de una ola, la función de onda proporcionaría la altura de la misma en cualquier punto y en cualquier instante; y la ecuación de onda describiría cómo este perfil cambia con el tiempo. Y lo haría relacionando el cambio de altura de la ola entre dos puntos muy cercanos, para el mismo instante, y el cambio de altura en un punto dado entre dos instantes muy próximos.

La ecuación de Schrödinger, además de estas tasas de variación, hace intervenir a la energía del sistema cuántico. Si pensamos en el electrón en el átomo de hidrógeno, la componente de la energía asociada a la velocidad, denominada cinética, estaría relacionada, precisamente, con la tasa de variación espacial de la función de onda; mientras que una segunda componente de la energía, denominada potencial, daría cuenta de la interacción entre el electrón y el núcleo, como resultado de las fuerzas eléctricas. La analogía en mecánica clásica de esta energía potencial sería la que poseería una carga eléctrica negativa, como el electrón, atraída por una carga eléctrica positiva, como el núcleo. Es decir, la energía potencial que resulta de la interacción electrostática formulada por el físico francés Charles-Augustin de Coulomb, en 1785, y que lleva su nombre. Así, Schrödinger construyó su ecuación para el problema del átomo de hidrógeno y derivó sus soluciones estacionarias. Las condiciones de cuantización y los números cuánticos que Bohr y Sommerfeld habían introducido ad hoc para dar cuenta de los espectros atómicos aparecían de manera natural para las soluciones estacionarias, sin más que imponer plausibilidad física al comportamiento de dichas soluciones en condiciones límite. Por ejemplo, si el electrón está ligado al núcleo, se espera que su función de onda se anule cuando la distancia entre ellos se hace infinitamente grande. Esto último, en la jerga de las ecuaciones diferenciales, se conoce como fijar las condiciones de contorno. El propio Schrödinger, en su primer artículo de 1926, comparó la manera natural en que emergían las condiciones de cuantización con el modo en que aparece el número entero de nodos en una cuerda vibrante. Desde el punto de vista estrictamente matemático, ambos fenómenos de discretización tienen el mismo origen. La analogía es, además, sugerente: los estados cuánticos son al espacio en el que vive la función de onda que representa al sistema lo que los modos de vibración estacionarios a una cuerda.

DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA

La figura 1 esquematiza el experimento de Davisson y Germer, desarrollado entre 1925 y 1927, que confirmó la hipótesis de De Broglie sobre la naturaleza ondulatoria de la materia. Dicho experimento consistía en acelerar electrones, obtenidos de un filamento metálico, con un voltaje V regulable y hacerlos incidir sobre un cristal de níquel para detectar el haz dispersado a diferentes ángulos. Si el haz de electrones incidente se comportaba como una onda, el cristal de níquel actuaría como una rejilla de difracción, generando interferencias constructivas (superposición de dos o más ondas que, cuando interfieren, crean una nueva onda de mayor intensidad) únicamente para los ángulos predichos por la ley de Bragg,

nλ=2dsenπ2−ϕ2

cuando n = 0,1,2,...; siendo ϕ el ángulo que forman el haz incidente y el difractado, d la distancia entre los planos cristalinos y λ la longitud de onda de De Broglie para los electrones, que puede ser controlada variando el potencial de aceleración. Para un potencial de 54 voltios, la longitud de onda de De Broglie es de 0,167 nanómetros (1 nanómetro es la milmillonésima parte de un metro); dado que d = 0,091 nanómetros para el níquel, el máximo de la ley de Bragg para n = 1 se corresponde con ϕ = 50º, como se observa en el esquema de la figura 1. Davisson y Germer obtuvieron experimentalmente el máximo de electrones detectados que se representa en dicha figura, de acuerdo con la ley de Bragg, verificando que el haz de electrones se comportaba como una onda.

Demostrando la conducta ondulatoria de la materia

El comportamiento ondulatorio de la materia, de un haz de electrones en particular, se pone paradigmáticamente de manifiesto a través del famoso experimento de la doble rendija. Thomas Young, en 1801, había probado el carácter ondulatorio de la luz mostrando un clásico patrón de interferencias, con máximos de intensidad y nodos periódicamente espaciados, al hacer pasar un haz de luz por dos rendijas paralelas, separadas por una distancia del mismo orden que la longitud de onda de la luz utilizada. Del mismo modo, unos experimentos realizados en 1961 con un haz de electrones atravesando una doble rendija, mostraron el patrón de interferencias que se observa en la figura 2. La distribución de los impactos de los electrones sobre una placa situada detrás de la doble rendija muestra el mismo patrón observado por Young para la luz. En el panel a, para un número total de electrones incidentes pequeño, no se adivina aún patrón alguno, pero este emerge claramente cuando el número de electrones va en aumento en los sucesivos paneles (b, c y d) de la figura. En 1974, se repitió el experimento bombardeando la placa a través de la rejilla con electrones disparados de uno en uno, con idénticos resultados. El patrón de interferencias en el experimento de doble rendija no es consecuencia de la interacción de múltiples electrones entre sí, es el resultado de la aplicación de la regla de Born a la detección individual de cada electrón (la regla de Born indica que el proceso de medición en un sistema cuántico determina un resultado concreto).

FIG. 1

Esquema básico del experimento que Clinton Davisson y Lester Germer llevaron a cabo entre 1925 y 1927, y en el cual se confirmó la hipótesis de Louis de Broglie sobre la naturaleza ondulatoria de la materia.

FIG. 2

Unos experimentos realizados en 1961, con un haz de electrones atravesando una doble rendija, mostraron el patrón de interferencias que ya se vislumbró en 1801 con el experimento de Thomas Young, probando el carácter ondulatorio de la luz.

En la literatura científica, la ecuación de Schrödinger para el problema del átomo suele conocerse como modelo atómico de Schrödinger. Sin embargo, Schrödinger simplemente la presentó y resolvió para el hidrógeno, como un caso particular sencillo de su mecánica ondulatoria. Dado cualquier otro sistema, la generalización era formalmente inmediata. El nuevo sistema estaría definido por una función de onda que dependería, a priori, de las posiciones espaciales de las partículas que componen el sistema y del tiempo. La evolución temporal de la nueva función de onda estaría gobernada por una nueva ecuación de onda que diferiría tan solo en la energía potencial que incorporaría las interacciones entre las partículas. Las soluciones estacionarias, finalmente, proporcionarían los estados cuánticos del sistema. Además, Schrödinger demostró que ambas formulaciones, la mecánica ondulatoria que él proponía y la mecánica matricial de Heisenberg, Born y Jordan, conducían a las mismas soluciones y, por tanto, eran formalismos diferentes pero equivalentes. No obstante, el problema técnico de resolver, en uno u otro formalismo, las ecuaciones para obtener los estados cuánticos y la evolución de un sistema dado era, más allá de algunos casos sencillos, un problema arduo que requería de ingeniosas aproximaciones. Por añadidura, en los sistemas con más de una partícula (¡todos los átomos con excepción del hidrógeno!), la cuestión asociada a cómo se pueblan los estados cuánticos monoparticulares requirió de la postulación del principio de exclusión de Pauli, según el cual dos electrones no podían poseer los mismos números cuánticos (compartir el mismo estado monoparticular). Principio que posteriormente pudo derivarse, de manera más general, de la exigencia de ciertas simetrías por intercambio de partículas.