Kitabı oku: «Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática»

Contenido

Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática

Prefacio

Premisa

Capítulo 1

El aprendizaje de la matemática como objeto unitario y múltiple

1.1. Unicidad y multiplicidad de factores

1.2. Diversas componentes en el aprendizaje de la matemática

1.3. Saber y saber hacer: unicidad y diferencias

1.4. Evaluar: un proceso

1.5. Intervenir y evaluar la especificidad de un fracaso

Capítulo 2

El aprendizaje conceptual

2.1. Registros de representación semiótica

2.2. Construcción del conocimiento

2.3. Evaluar el aprendizaje conceptual

Capítulo 3

El aprendizaje algorítmico

3.1. Algoritmos

3.2. Algoritmos en la historia de la matemática

3.3. El peligro de los algoritmos

3.4. Evaluar el aprendizaje algorítmico

Capítulo 4

El aprendizaje estratégico

4.1. Generalidades

4.2. Ejercicios, problemas y zona de desarrollo próximo

4.3. Problemas matemáticos en la historia

4.4. Evaluar el aprendizaje estratégico

Capítulo 5

El aprendizaje comunicativo

5.1. Comunicar la matemática

5.2. Lenguajes de la matemática en aula

5.3. Evaluar el aprendizaje comunicativo

Capítulo 6

Aprendizaje y gestión de las representaciones semióticas

6.1. Aún sobre los registros de representación semiótica

6.2. Evaluar la gestión de los registros semióticos

Conclusiones

Bibliografía

La Autora

Martha Isabel Fandiño Pinilla

Prefacio

¿Qué significa “aprender” cuando se habla de matemática? Generalmente tenemos la impresión que nuestros estudiantes tienen una conciencia vaga de aquello que “saben” o de lo que “han entendido”cuando se trata de matemática. ¿Estudiaste para la “evaluación” de matemática? - piden los padres. Si, me aprendí todas las fórmulas, y por seguridad las copié en un papelito - responde el joven. Es claro que esta es una visión limitada y limitante de la matemática.

Después, está la nota de la “evaluación” o de la “recuperación” que pretende medir cuanto los estudiantes supieron hacer, o repetir, en respuesta a la consigna del docente. Por lo general este resultado es, para el estudiante, imprevisible, y se interpreta como el resultado de circunstancias casuales, a causa de las cuales el ejercicio no pudo ser terminado, un proceso se bloqueó, un cálculo no dio el resultado esperado... En matemática, más que en otras disciplinas, es muy difícil para el estudiante auto-evaluarse.

Había estudiado todo, pero no fui capaz de hacer un simple ejercicio.

O, por el contrario:

Para mí es mejor que me den ejercicios, en casa no tengo problemas para solucionarlos, pero por favor no me pida definiciones (o, peor aún, ¡demostraciones!).

Lo sabía perfectamente, tanto que la mitad de la clase hizo la tarea gracias a mi, pero no fui capaz de explicar.

Estas son frases típicas, que todos hemos sentido repetir a nuestros estudiantes. Todo esto no debe asombrarnos. El aprendizaje, en matemática, es el resultado de procesos complejos, de múltiples aspectos, que requieren un trabajo articulado en el cual se entrelazan las interacciones con el docente y con los compañeros; momentos de reflexión y de reelaboración completamente personal, construcciones metódicas y saltos en lo desconocido, memoria y fantasía...

¿Cuál es el resultado de estos procesos? De todo este trabajo surge un producto mucho más articulado en donde los diversos aspectos desafían al docente quien debe estimular, facilitar y evaluar el aprendizaje de sus estudiantes.

Este libro analiza, estableciendo relaciones y evidenciando las especificidades, los diversos aspectos del aprendizaje de la matemática, individuando (por comodidad de clasificación, dado que se trata de un hecho unitario) cinco principales. Existe una faceta del aprendizaje que tiene que ver con los conceptos, otra que involucra directamente los algoritmos y los procesos; una cosa es el aprendizaje estratégico y otra la capacidad de comunicar; podemos por último centrar la atención en la capacidad de dominio de los diversos registros semióticos de representación.

Todo esto no es sólo teoría, no se trata de consideraciones generales o abstractas: este tipo de análisis es crucial para el docente, en un primer momento, cuando organiza la propia actividad de enseñanza, y, en un segundo momento, cuando debe evaluar el aprendizaje de los estudiantes. De hecho, es necesario recordar que es precisamente lo que viene evaluado (o que se percibe como evaluado) lo que condiciona el trabajo de los estudiantes y de consecuencia condiciona y dirige el aprendizaje. Si nuestra evaluación gira sólo al rededor de la verificación de algunas habilidades, es obvio que el trabajo de los jóvenes se dirigirá en dicho sentido haciendo que el aprendizaje que se deriva sea incompleto. Debemos, por el contrario, favorecer un “verdadero” aprendizaje: rico, estable y coherente; este libro fue escrito para ayudar al docente en esta empresa.

El libro también es rico de ejemplos de situaciones de aula y de referencias (también históricas) que el docente podrá utilizar para enriquecer su propia paleta de trabajo. Un consejo que nos atrevemos a dar es el siguiente: tratar de usar las categorías introducidas por la Autora para leer las propias situaciones de aula y para interpretar el comportamiento de sus estudiantes. Este libro puede ser para todos nosotros la ocasión para constatar, guiados por la experiencia de Martha Isabel Fandiño Pinilla, cómo la investigación en didáctica de la matemática puede realmente ayudarnos a mejorar nuestra enseñanza.

Giorgio Bolondi

Premisa

Cuando un estudiante no tiene éxito en matemática es demasiado superficial decir “No alcanzó los logros propuestos”; en realidad, ¿en qué no alcanzó el resultado esperado? ¿No entendió los conceptos? ¿Los entiende pero no sabe usarlos para resolver un problema? ¿No sabe efectuar los cálculos? o ¿Sabe efectuarlos pero no sabe la finalidad de estos? ¿Construyó el concepto pero no sabe comunicarlo? ¿Resuelve un problema pero no puede explicar el proceso que siguió para su resolución? ¿No sabe gestionar los cambios de representación semiótica que la matemática exige?

¿Cómo se puede intervenir y recuperar, cuando no se sabe determinar con precisión la causa del error? Un mismo error puede tener causas muy diferentes.

Este libro pretende ser una ayuda concreta, teórica y práctica, en la solución de este tipo de problemática, sin estar condicionados por el nivel escolar.

Pero, ¿Qué tipo de ayuda?

Examinando lo que sucede en aula durante la clase de matemática, mi experiencia que me permitió atravesar todos los niveles escolares, de maestra de la escuela primaria a docente universitaria, me llevó a hacerme las preguntas precedentes, pidiéndome: ¿Cómo ayudar a resolver el problema de la evaluación en matemática, una evaluación específica, que ayude en verdad a todos, permitiendo intervenir sobre las causas del fracaso?

Decir de un estudiante: «Bruno no responde en matemática como yo espero que me responda», es decir: «Bruno no sabe», es demasiado banal. Y ahora, ¿cómo puedo remediar las causas que han llevado a Bruno a no responder correctamente?

Mi experiencia y la de mis colaboradores en la investigación me dicen que la respuesta no correcta de los estudiantes puede tener como causa el fracaso en la adquisición de conceptos, en la incapacidad de gestión de los algoritmos, en la falta de una buena estrategia en la resolución de un problema (un estudiante pudo haber elaborado el concepto, saber llevar a término un algoritmo, pero empantanarse frente a la resolución de un problema; todas situaciones por demás generalizadas), una no adecuada comunicación (es el caso del estudiante que sabe pero que no logra comunicar aquello que conoce) o una gestión no apropiada de los registros semióticos (tal vez el aspecto de mayor fracaso, especialmente en la escuela media y superior). Pueden ser dos o tal vez tres de estas las causas del fracaso en matemática, pero difícilmente se puede afirmar que sean todas las cinco contemporáneamente...

Es esta la razón por la cual dividimos el aprendizaje de la matemática en estas cinco componentes, estudiándolas una por una como si fueran separadas y dando para cada una sugerencias para una evaluación específica.

Es obvio que el aprendizaje de la matemática es único, lo repetiremos más de una vez; por tanto, esta división en componentes es solamente académica, concreta, sólo un instrumento para buscar remediar a las causas de los errores; es un instrumento para evaluar de forma específica.

Mi experiencia y la validación de mis colaboradores demuestran la funcionalidad de este método y su comodidad; lo he presentado en varias ocasiones de formación docente, tanto en servicio como inicial, revelándose excelente.

Una nota más antes de proceder.

No explicaremos la terminología técnica de la didáctica de la matemática de la cual, a partir de este momento, haremos referencia, dándola por conocida. En caso contrario, reenviamos a D’Amore (1999a). Si nos detenemos a explicar todos los términos de los cuales nos serviremos, de seguro, se superaría la masa crítica que transforma un libro ágil y útil en una enciclopedia de tener fija en biblioteca y de consultar de tanto en tanto.

Por último, como de costumbre, los agradecimientos de rito.

Este libro fue posible gracias a la concreta experiencia adquirida en años de trabajo en las aulas por aquellos colegas docentes de matemática, en particular de la escuela primaria, pero no sólo, que probaron las técnicas. A todos ellos mis agradecimientos, aunque aquí es imposible recordarlos todos.

Otro agradecimiento va a todos aquellos que me han enseñado a confrontar la experiencia con la investigación.

Capítulo 1 El aprendizaje de la matemática como objeto unitario y múltiple

1.1. Unicidad y multiplicidad de factores

El aprendizaje de la matemática, tal vez, el más estudiado entre los aprendizajes disciplinares, se presenta como un factor múltiple, rico de miles de aspectos: salta a la vista de todos los docentes el hecho que un aprendizaje concluso con éxito en matemática es de considerarse una óptima combinación de aprendizaje específicos y diferentes. En matemática, de hecho, no basta haber construido un concepto, sino que es necesario saberlo usar para efectuar cálculos o dar respuesta a ejercicios; combinarlo con otros o con estrategias oportunas para resolver problemas; es necesario saber explicar a sí mismo y a los otros el concepto construido o la estrategia seguida; se requiere un uso sapiente de las transformaciones semióticas que permiten pasar de una representación a otra.

Incluso estas primeras palabras, confirmadas por la práctica sea en la didáctica como en el proceso de evaluación, muestran tanto la absoluta complejidad como la especificidad del tema.

Para evitar equívocos, lo hemos dicho y volveremos a decirlo, estas “componentes” del aprendizaje no son ni independientes, ni separables, ni con intersección vacía: el resultado positivo en el aprendizaje se logra sólo gracias a una serie de concausas, a un conjunto holístico de componentes.

Sin embargo, en este libro, gracias a la práctica concreta que se encuentra a la base de la acción didáctica de los docentes, y respaldada por la experiencia ya sea como docente, como investigadora y como formadora (inicial y en servicio) de docentes, propondré un análisis detallado y específico de estos aprendizajes, como si fueran independientes, conciente de que no lo son del todo.

¿Cuál es el objetivo? Sucede, en más de una ocasión, que un estudiante manifiesta no haber logrado el aprendizaje en matemática, en forma confusa y no muy bien delineada. Es más, el mismo error, de dos estudiantes diversos, no dice cuál fue la causa que indujo dicho error, cuál fue el malestar cognitivo, qué no funcionó en el proceso de enseñanza - aprendizaje. Lo que parece ser “el mismo error”, puede tener causas diversas; un docente, no debe intervenir sobre el error, si desea poner remedio a una situación negativa, debe intervenir sobre la causa que lo generó.

Si el alumno no alcanza el éxito en una prueba de matemática, sería oportuno entender a cual de las precedentes componentes se debe adscribir el fracaso; ¿el estudiante no entendió el concepto que habría debido usar?, ¿no entendió el proceso algorítmico que se auspiciaba de él? Etcétera.

Por tanto, consideramos que un análisis detallado de las componentes del aprendizaje en matemática pueda ser de gran ayuda para encontrar las causas del error y remediar en forma específica.

Pero no nos limitaremos a esto únicamente. ¿Cómo se puede evaluar en matemática? ¿Tiene sentido hacerlo en forma burda y no específica? ¿Qué significa: «Bruno no entiende la matemática»? ¿Ha fracasado en matemática, no tiene conocimiento matemático? Imposible que Bruno sea absolutamente... privo de todo aspecto del aprendizaje matemático.

Si entendió el concepto y no lo sabe usar, inútil insistir en el aprendizaje del concepto: si no lo entendió, pero de cualquier forma logra manejar las fórmulas, en la primera ocasión, diferente de aquella rutinaria, cederá; se vuelve entonces necesario ayudarle en la construcción del concepto; y así sucesivamente.

Por tanto, para cada uno de los cinco capítulos de este libro, del 2 al 6, no sólo se presentarán cada una de las componentes del aprendizaje de la matemática, sino que se propondrán, además, algunas actividades centradas en esta componente y en su evaluación de forma específica, separándola de la evaluación de las otras componentes.

No obstante los límites de esta división, consideramos que dicha propuesta podrá ayudar a los docentes en su acción cotidiana de formación de futuros ciudadanos en matemática.

1.2. Diversas componentes en el aprendizaje de la matemática

El aprendizaje de la matemática comprende como mínimo 5 tipologías de aprendizajes diferentes, aunque no libre de superposiciones:

• aprendizaje conceptual (noética);

• aprendizaje algorítmico (calcular, operar, efectuar, solucionar,...)

• aprendizaje de estrategias (resolver, conjeturar, deducir, inducir,...)

• aprendizaje comunicativo (definir, argumentar, demostrar, validar, enunciar,...)

• aprendizaje y gestión de las representaciones semióticas (tratar, convertir, traducir, representar, interpretar,...)

Esta división no debe ser tomada literalmente, dado que, como ya lo hemos dicho, estas componentes se entrelazan reforzándose la una con la otra; sin embargo, dicha división ofrece una indudable comodidad de análisis y de lectura interpretativa de los errores, es decir, de aquellas manifestaciones de malestar cognitivo a las cuales sería bueno remediar positivamente, de forma eficaz. No es ni menos garantizado que su unión logre abarcar todas las componentes del aprendizaje matemático y que, por lo tanto, un análisis mucho más profundo no evidencie otras componente necesarias.

Sólo como ejemplo; junto a docentes de la escuela primaria hicimos una lectura específica de cada una de las componentes de la matemática de dicho nivel escolar, dado que se usaba identificar, hace algunos años, la matemática con el conjunto de componentes disciplinarios como números, figuras, medidas, datos y pensamiento racional (transversal), entonces cada una de dichas componentes disciplinarias puede ser analizada a través de las cinco componentes enunciadas líneas arriba y de proporcionar útiles indicaciones sobre como actuar didácticamente y como remediar a situaciones de fracaso en el aprendizaje.

A continuación entraremos en detalle en cada una de estas componentes, una por capítulo, del capítulo 2 al 6. En este capítulo 1, pero, necesitamos aún de algunas consideraciones preliminares.

1.3. Saber y saber hacer: unicidad y diferencias

Iniciamos haciendo una distinción terminológica, muy discutida, sobre la cual es necesario aún reflexionar.

Saber. Hoy todos concordamos, por lo menos genéricamente, en el carácter “constructivo” del aprendizaje: aprender un concepto matemático, aprender a hacer uso de un algoritmo, a comportarse en modo estratégico, a comunicar la matemática y con la matemática,... son todos comportamientos a través de los cuales se construye un objeto matemático. El primer interprete de la construcción de un aprendizaje es quien lo construye; por tanto, una de las primeras acciones didácticas consiste en enseñar, en promover, en reflexionar sobre las propias estrategias personales, para percibirlas como propias, para evaluarlas. Quien está aprendiendo es el autor principal de su (propia) construcción de aprendizaje.

Saber hacer. Pero, consideramos que el saber por sí sólo, extrapolado de su contexto de uso, no llega a ser considerado saber, y esto vale no sólo para la matemática. Parece absolutamente necesario saber usar en contextos oportunos el concepto construido. El saber hacer sin el saber no es un saber, dado que carece del componente fundamental del saber, que es aplicativo y constructivo. Así, viceversa, el saber sin el saber hacer es vacío y estéril.

Para mayor claridad recurrimos a un ejemplo.

Aún admitiendo que existan sutiles diferencias entre un objeto como “recta” y uno como “demostración” y uno como “operación de división”, consideramos que en la fase de aprendizaje no haya, o no requiera, demasiadas distinciones; creemos que la operatividad (el llamado “saber hacer”) exija tanto del uso de conceptos, como de estrategias (el “saber resolver”,...) como de actividades algorítmicas (el “saber calcular”, el “saber operar”,...) etc.

Por tanto, el “saber” se mezcla con el “saber hacer” y sólo una sabia mezcla de estos tiene el derecho de ser llamado: aprendizaje consciente, saber.

Una antigua distinción que separaba el “saber” del “saber hacer” tiene el sabor de cosa superada, al menos en el campo específico del aprendizaje matemático en el cual el concepto no es nunca el concepto únicamente sino que incluye el uso que de este se hace a cualquier nivel.

A partir de este momento no se harán más distinciones entre “saber” y “saber hacer” pues estos dos aspectos se engloban en el saber mismo sin hacer diferencias.

1.4. Evaluar: un proceso

Una de las funciones que caracterizan con mayor fuerza la acción del docente en el aula es la constante “evaluación”; para decirlo brevemente, este proceso consta de por lo menos tres componentes distintas pero, aún una vez más, estrechamente relacionadas entre ellas (Fandiño Pinilla, 2002): evaluación

• de la propia acción didáctica

• del segmento curricular elegido y

• del proceso de aprendizaje de sus propios estudiantes.

Con relación con este último aspecto, el término “evaluación” se entiende aquí como el conjunto de las acciones mediante las cuales se reconocen las características del aprendizaje de los estudiantes y se determinan los aspectos en los cuales se debe centrar la ayuda que permite garantizar mejor este aprendizaje.

Obviamente dichas “acciones” conllevan un juicio sobre la eficacia de la propia acción didáctica y sobre el segmento curricular sobre el cual se está construyendo el aprendizaje.

En este marco de acción, el docente debe prestar atención a los instrumentos a través de los cuales mide el juicio de cada uno de los estudiantes, en relación con el aprendizaje de la matemática. No se puede y no se debe pensar en un único instrumento para esta evaluación; la investigación ha evidenciado la necesidad de hacer uso de varios y diversificados instrumentos.

Entrando con profundidad, analizamos adjetivos que, generalmente, se asocian al sustantivo “evaluación”.

Una distinción pedagógica que tuvo fortuna es aquella que concierne a la distinción entre evaluación “formativa”, “sumativa” y “evaluativa”; y que internacionalmente están definidas así (DES, 1987):

• la “evaluación formativa” toma en examen el desempeño de un estudiante en relación con sus objetivos cognitivos, en modo de favorecerla sobre la base de los resultados; se incluye en esta, por lo general, la “evaluación diagnóstica” en la cual se identifican las dificultades del estudiante, sea en lo relacionado con el aprendizaje, sea por lo que respecta la falta de comprensión;

• la “evaluación sumativa” mide y sintetiza las realizaciones del estudiante de forma sistemática; esta se reduce generalmente a un adjetivo, un número, una letra, y está destinada no sólo al estudiante y al docente, sino también al externo, a la familia, a la institución escolar;

• la “evaluación evaluativa” (que en español parece una repetición, pero que en inglés es llamada “evaluative assessment”) comprende una evaluación en relación con el trabajo del docente, sobre la escuela, sobre el currículo o sobre un parte de este,..., históricamente esta última tiene como mínimo las siguientes cuatro funciones (Cardinet, 1983):

– efectuar un balance sobre aquello que el estudiante está en grado de realizar en un determinado momento del proceso de enseñanza y aprendizaje;

– guiar la sucesiva fase del aprendizaje sobre la base del balance precedente (sea en relación con los contenidos, sea en relación con las metodologías);

– descubrir las causas de las dificultades del estudiante;

– estimular el éxito del estudiante, con el objetivo de encontrar la forma de favorecer el aprendizaje.

Una terna con significados deferentes del término “evaluación” aparece también en Frabboni (1999) quien distingue entre “predictiva”, “formativa” y “sumativa”; pero, a estas tres acepciones, que se refieren al estudiante, él agrega explícitamente una «evaluación de la escuela como sistema».

Respecto a estas tendencias “clásicas” de interpretar la idea misma de evaluación, el momento actual exige, cada vez con mayor fuerza, tener presente la didáctica de la matemática en la formación docente dado que ya son muchos los jóvenes docentes que entran en el mundo de la educación y docentes en servicio que han frecuentado cursos específicos de esta disciplina.

La disciplina “didáctica de la matemática” tiene por lo menos tres decenios de historia, un gran número de investigadores activos en el mundo, un lenguaje compartido, revista propias (tanto de investigación, como de divulgación, como “mixtas”), seminarios de investigación y de divulgación propios, congresos,..., lo cual hace que su difusión real sea cada vez más amplia.

¿Qué sucede, desde un punto de vista profesional, al docente que hace investigación o al docente que, simplemente, viene a saber de los resultados de la investigación?

Gracias a la llamada difusión, la comunidad de estudiosos de didáctica de la matemática tiene finalmente la posibilidad de responder a esta pregunta; aquí lo presentaremos de la forma menos complicada posible: el docente y/o investigador, una vez conocidos los resultados de la investigación, cambian (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2004; Campolucci, Fandiño Pinilla, Maori, Sbaragli, 2006). Cambian radicalmente su comportamiento, el cual se hace mucho más atento, más crítico, menos disponible a dar por descontado que ciertas actividades garantizan el aprendizaje sólo por que fueron sugeridas por alguien de alto nivel (o así considerado) o porque dicha actividad es ya una práctica consolidada por la tradición.

Por ejemplo, veamos como la “teoría ingenua de conjuntos”, fuertemente cuestionada por serios estudios en el ámbito de la investigación en epistemología del aprendizaje (Pellerey, 1989), fue lentamente abandonada de la práctica didáctica, posición sostenida incluso por algunos de sus más aguerridos sostenedores; o, por lo menos, fue redimensionada la fe ciega de la cual gozaba en los años ’70 y ’80: de disciplina - panacea se transformó en un lenguaje que se usa sólo cuando es estrictamente necesario;

como el uso de instrumentos didácticos pre-confeccionados, cuya utilidad didáctica era incondicionalmente aceptada por muchos docentes; hoy, este uso es menos a-crítico (D’Amore, 2002a);

como se han modificado las expectativas de los docentes de la escuela secundaria después de los estudios sobre el aprendizaje de la demostración: mientras que hasta hace algunos años se daba por descontada la competencia lingüística - lógica de los estudiantes de 14 años y como consecuencia la idea de demostración, por lo menos para la geometría; hoy se considera que dicha idea necesita de una práctica didáctica explícita (y no es a 14 años precisamente, sino mucho más tarde) (Duval, 1991, 1992-93; Hoyles, 1997).

Cambian, decíamos, la actitud: fatalmente, el docente que entra en contacto con ciertos resultados de investigación no los puede ignorar después; ve, reconoce en el comportamiento de sus estudiantes en aula y en el propio actuar profesional, la confirmación de aquellos resultados y de consecuencia la propia interpretación de las conductas debe ser modificada:

Examinaremos en detalle estos “cambios” de actitud.

Este cambio afecta el currículo.

El docente se vuelve más atento a la congruencia de las propias elecciones didácticas; consciente que existen, por ejemplo, obstáculos didácticos y epistemológicos, o reconoce la influencia del contrato didáctico; no acepta la aparente congruencia, en el sentido de consecutividad de los argumentos, que antes lo satisfacía y lo tranquilizaba, sino que comienza a ponerse el problema del análisis del currículo sobre la base de los resultados cognitivos de sus estudiantes, de su propia acción didáctica, aceptando de consecuencia una revisión crítica y metodológica simultáneamente (Fandiño Pinilla, 2002).

Este cambio afecta la definición de las tareas del docente y del estudiante.

El docente que entra en contacto con los resultados de la investigación, pone en discusión, eficaz y significativamente:

• sus tareas, sus expectativas;

• las tareas del estudiante, sus expectativas, las imágenes que se hace de la disciplina y de su enseñanza.

Se vuelve por lo tanto, más en general y en todo momento, atento a lo que sucede en el frente de quien podríamos definir el actor empeñado en la acción de construir conocimiento, su estudiante (muchas veces, en precedencia, ignorado como actor).

Este cambio afecta las nuevas exigencias que el docente pide a su preparación profesional. Tenemos la prueba en los siguientes hechos:

• el docente en servicio pide a la universidad siempre menos actividades de actualización y formación cuyo foco sea el contenido matemático y se dirige siempre más a especialistas de la didáctica, conciente del hecho que entre más conozca los resultados de la investigación didáctica mayor será, en primer lugar su capacidad crítica de análisis de la situación de aula, y en segundo lugar su propia profesionalidad;

• el docente en formación inicial no lo sabe, precisamente porque está en formación inicial, pero la elección ganadora de la sociedad contemporánea de todos los países es centrar la formación de los docentes de matemática en la didáctica de la matemática, obviamente después de una salda preparación disciplinar la cual resta de todas formas la base de toda la preparación cultural y profesional.

Este cambio afecta las expectativas que la práctica docente tiene de la sociedad y viceversa. Parece inútil que la sociedad exprese sus expectativas generales con respecto a la escuela, si estas expectativas no están en relación con los resultados de la investigación en didáctica. La profesionalidad nueva y atenta del docente informado lo lleva a redefinir esta relación y, en particular, a rediseñar su papel como eficiente ejecutor de los planes educativos que la sociedad le ha asignado.

Este cambio afecta la evaluación (y es sobre este aspecto que pretendemos hacer una mayor reflexión):

• la evaluación del trabajo realizado por el estudiante: el docente, informado de los resultados de la investigación en didáctica mira con diferente óptica, más analítico, crítico, observador, el trabajo de construcción del conocimiento de cada uno de sus estudiantes; incluso, la más banal de las evaluaciones, entendida como medida del conocimiento, como “nota” de asignar al estudiante sobre la base del resultado de su empeño, cambia notablemente;

• la evaluación del propio trabajo hecho en aula: de acuerdo con los resultados de aprendizaje obtenidos por sus estudiantes, el docente informado de los resultados de la investigación en didáctica está en grado de analizar críticamente su actuar al interno del aula, rediseñando sus estrategias metodológicas y sus elecciones;

• la evaluación del currículo: el docente informado de la investigación en didáctica está en grado de re-pensar al desarrollo curricular en cada uno de sus aspectos, asumiéndose en primera persona la crítica a dicho desarrollo y creando condiciones constructivas oportunas para una seria y en ocasiones profunda transformación.

Debemos hacernos preguntas de base: ¿Por qué se evalúa y qué se evalúa?, no obstante las respuestas parezcan obvias; dicha obviedad es muchas veces el resultado de una forma ingenua de afrontar el problema.

Se evalúa para tomar decisiones sobre el contenido (transposición didáctica) y sobre la metodología de trabajo en aula (ingeniería didáctica). A partir de los datos recogidos gracias a observaciones en el aula (hechos que describen los alumnos durante el trabajo matemático) y gracias al análisis de los resultados de las tareas (entendidas en general: tanto las “clásicas” escritas u orales, como las menos tradicionales), se pueden identificar puntos fuertes y puntos débiles de cada uno de los estudiantes (esto depende en gran parte del tipo de instrumento de evaluación que se adopta) y así decidir de consecuencia por las elecciones relativas a la transposición didáctica y por una determinada ingeniería didáctica, adecuadas a las necesidades de cada uno de los componentes del grupo clase.

Se evalúa para tomar decisiones sobre el ambiente clase. En una hipótesis constructivista, es dado por cierto que la implicación personal es el primer paso hacia la construcción de un conocimiento, hacia el aprendizaje; por tanto, evaluar si esta fue alcanzada es un paso de extraordinaria importancia. De esto deriva, como consecuencia, que el ambiente dominante en aula es fundamental. Esto significa que es de vital importancia que haya, por así decirlo, en una primera instancia, confianza en la acción del docente. Preguntas como: ¿Los alumnos se dan cuenta si al docente le gusta enseñar matemática?, ¿La resolución de los problemas y el descubrimiento son aspectos habituales en la hora de matemática?, ¿Los alumnos tienen la oportunidad de explorar y de experimentar sin sentir la presión de estar bajo juicio? ¿En el momento de dar una nota, se tiene en cuenta algo más que la respuesta correcta a un ejercicio?,... asumen importancia estratégica en la formación del ambiente de clase adecuado.

Se evalúa para comunicar a los alumnos lo que es importante. Los alumnos son capaces (es más, son habilísimos) de reconocer aquello que implícitamente el docente considera importante; por ejemplo, si frente a un trabajo escrito el docente revisa el proceso seguido por el estudiante, sólo cuando la respuesta final no es la correcta, con el fin de encontrar el error, implícitamente está enseñando que el proceso no es importante, que es secundario respecto al resultado (es decir al producto).

Se evalúa para dar una calificación. En esta enumeración, es la última de las razonas por las cuales se debe evaluar, pero ciertamente la de mayor difusión. Los alumnos deben por el contrario tener bien claro que evaluar no es sinónimo de dar una nota. Cuando se da una nota, se debe tener presente que:

• es necesario el uso de diversos instrumentos y técnicas, como lo veremos más adelante;

• es posible que el trabajo del estudiante sea diferente del trabajo usual cuando sabe que su trabajo será objeto de una calificación; y sin embargo los estudiantes deben saber con anticipación cuando un determinado trabajo que están por realizar será sometido a juicio;

• se requiere usar siempre un sistema de evaluación que tenga en cuenta tanto el proceso como el producto.

Las discusiones sobre los métodos y criterios de evaluación en matemática tienen raíces antiguas (en Jiménez Rodríguez, 1997 se ofrece una panorámica diacrónica y sincrónica de gran eficacia; véase también Fandiño Pinilla, 2002).

Consideramos necesario que sea claro que las modalidades concretas para realizar evaluaciones serias son muchísimas, no existen únicamente los cuestionarios o la solución de ejercicios o la resolución de problemas: hoy la investigación ha elaborado formas de evaluación sofisticadas, mucho más atendibles y significativas. Cuando llegue el momento, en el desarrollo de este libro, explicitaremos algunos de estos instrumentos.

En los apartados precedentes, privilegiemos la “evaluación para medir, para dar una calificación”. Pero no olvidemos que, como ya lo dijimos:

• se evalúa para tomar decisiones sobre el contenido (transposición didáctica) y sobre la metodología del trabajo en aula (ingeniería didáctica)

• se evalúa para tomar decisiones sobre el ambiente de clase

• se evalúa para comunicar a los alumnos lo que es importante,

como lo analizamos líneas arriba.

A través de oportunas técnicas de evaluación, el docente recibe informaciones claras sobre la eficacia de su acción didáctica en aula y por tanto de los contenidos tratados, de la metodología; obtiene además informaciones sobre el ambiente de clase; tiene la posibilidad, particularmente con pruebas que podemos llamar no tradicionales, de comunicar incluso explícitamente que es importante y que no lo es.

El análisis histórico de la evaluación, del sentido y de la función que le ha asignado la historia, de sus aspectos sociales etcétera, sería de gran interés, pero no es este el propósito de este libro; por lo tanto reenviamos a los textos enunciados precedentemente.

Así, existen varias teorías sobre la evaluación, teorías llamadas científicas, en sentido estricto, curricular, sobre las cuales invitamos a leer en los mismos textos citados precedentemente.

Precisamente, estas profundas reflexiones llevaron en el tiempo a establecer los criterios de tener presente en la evaluación, los métodos generales y específicos más adecuados, los instrumentos y sus funciones, el significado de validar los resultados que se obtienen con esta actividad.

Uno de los temas más interesantes es aquel de la relación entre convicciones de los docentes y evaluación; es obvio que diferentes convicciones impliquen diferentes evaluaciones. Pero, sobre todo esto, ya se hizo un profundo análisis por lo cual consideramos no sea necesario reportarlo aquí (Fandiño Pinilla, 2002).

Pero, una lectura como la que sigue, tiene sentido y es eficaz sólo si el docente que lee quiere hacer uso de los resultados reportados y si ya posee una buena capacidad crítica; deseamos aquí subrayar que, para nosotros, estas son las características de una innovación en la evaluación en matemática.

La forma más eficaz es la de hacer una breve lista de las condiciones que parecen determinar actualmente el sentido que tiene la innovación en la evaluación; lo haremos por puntos, buscando reutilizar algunos términos técnicos, evitando en lo posible largas explicaciones.

Las características principales de una innovación en la evaluación de un proceso sistemático de enseñanza - aprendizaje de la matemática, extrapoladas de los trabajos de investigación, son las siguientes:

• Una cuidadosa elección y descripción explícita de criterios y objetivos, con referencia a contenidos, en un modelo crítico - orientativo. Es así como la matemática debe ser considerada como una construcción significativa; la lista de los contenidos no es estática, por el contrario, ampliamente dinámica; debe ser incluida la valoración de los progresos locales de cada uno de los estudiantes; la elaboración de las actividades debe ser consecuencia del proceso o por lo menos relacionarse con este y no viceversa es decir fijada a priori de forma definitiva.

• La evaluación es vista como compleja y multidimensional, así como lo es el complejo proceso sistémico de enseñanza - aprendizaje.

• La evaluación no se restringe a un punto o a una cierta acción, por el contrario, debe ser realizada a lo largo de todo el arco del proceso de enseñanza - aprendizaje, dado que esta se considera una parte integrante de dicho proceso. La evaluación, por tanto, es continua y global.

• La evaluación debe ser adapta al estudiante evaluado y debe tener presente la diversidad. Evaluar significa también reconocer y aceptar las características individuales. La atención por la diversidad se extiende a la evaluación del currículo y del trabajo del docente.

• La evaluación implica el desarrollo de habilidades de tipo comunicativo. Esta favorece la adquisición de competencias incluso de tipo instrumental. El estudiante podrá desarrollar conceptos, procedimientos, actitudes y mejores estructuras, siempre que se mueva en esquemas no fijos, de forma tal que todo sea aplicable de forma independiente en las situaciones particulares; desde esta interpretación hablamos de “competencias estructurales”. El proceso de aprendizaje, entendido en un este vasto sentido, debe ser autorregulado; es decir favorecido de momentos de análisis crítico del proceso, replanteamientos y evaluaciones de carácter meta-cognitivo. En todo esto juega un papel esencial la explicitación, por parte del docente, de todo aquello que él piensa que deba suceder en el aula, en el proceso de enseñanza - aprendizaje y en el proceso de evaluación. Por último, se debe agregar la solicitud de claridad, con el objetivo de evitar ambigüedades sea en la asignación de las tareas, sea en la explicitación de las expectativas. Esto no debe entrar en contraposición con la idea de situación a-didáctica: no se debe confundir el contexto de enseñanza, es decir la elección de “buenas situaciones” de proponer para lograr los objetivos cognitivos, con las reflexiones sucesivas, o con la explicitación de los momentos de evaluación.

• El conocimiento adquirido debe tener un alto grado de aplicabilidad no sólo endógena, sino, básicamente, de carácter exógeno. Pero no basta: el estudiante debe reconocer este hecho y saberlo expresar a través oportunas situaciones: debe tener la sensación que el conocimiento adquirido influencia su competencia que resulta útil y evaluable.

• ¿Qué sucede en el proceso, cómo viene analizado antes y registrado después el nivel de calidad de la evolución cognitiva? De este punto se ocupa el “control”. El control interviene, incluso si parece paradójico, en vía preliminar, en el momento de proyectar el currículo o, por lo menos, la parte específica del proyecto de la evaluación; pero está siempre presente para alcanzar una re-proyectación constante, para articular formas de regulación y de autorregulación. Precisamente estas son las características que determinan un sistema abierto respecto a uno cerrado. Esto implica una actividad de tipo diverso de las pruebas de evaluación “usuales”, recurriendo a la formulación de conjeturas, su verifica y su defensa, al análisis del dominio de situaciones diversas que caen bajo el mismo conocimiento, a la redacción de textos, diseños, gráficos,.. Pero ¿cómo reconocer si las técnicas de control (entendido en este sentido) son adecuadas? Podemos decir que un control es adecuado sí ese mismo produce informaciones adecuadas para ser usadas a fin de mejorar las competencias de cada uno de los estudiantes y el proceso individual de construcción de conocimiento.

• La investigación actual sobre la evaluación, reflejando una dirección general que podemos pensar común a toda la didáctica de la matemática, está dando mucha importancia a la motivación y a los aspectos afectivos. Sobre estos aspectos debemos centrarnos, para ayudar al estudiante a crecer también en el gusto de tomar decisiones. Por ejemplo, si el estudiante hace preguntas sobre el procedimiento que debe seguir en una actividad, es contraproducente, desde este punto de vista, sugerir como proseguir; por el contrario, es aún más productivo motivar, responder con otra pregunta que lleve a reflexionar sobre la situación, sugerir un análisis, una analogía, una estrategia que el estudiante no había visto o pensado; es inútil dar indicaciones que aumenten el nivel de la propuesta, dirigiéndola a un nivel mayor (de un ejemplo a la generalización; de un ejercicio a la comparación estructural; de la defensa de una conjetura a la demostración; sólo para dar algún ejemplo concreto). Siempre en este ámbito, queremos subrayar la importancia que tiene el hecho que el estudiante entienda que el docente decidió aceptar su situación personal, ya sea en términos de elecciones, ya sea en lo que respecta una eventual condición de objetiva diversidad.

• Una moderna idea de evaluación, que tenga en cuenta de los resultados de la investigación, debe plantearse el problema de la formación. De una parte, la formación de los estudiantes sobre el tema: explicitar las problemática, hacerlas evidentes y contribuir a hacer sí que incluso la evaluación sea elemento vivo y presente en la vida de aula. Por otra parte, no siempre obvio en la formación inicial o en servicio de los docentes.

• Una moderna idea de evaluación, que se proponga como innovadora, no puede prescindir de la exigencia que esta sea coherente y ecuánime, de forma tal, que se gane la confianza de todos, de los estudiantes, de sus familias, de los docentes, de la noosfera. La coherencia más compleja de obtener parece ser aquella entre lo que se hace en matemática y cómo este hacer viene evaluado; este punto debería ser desarrollado dando valoraciones explícitas. En cuanto a la equidad, esto implica que cada estudiante deba sentirse parte no sólo del proceso de enseñanza - aprendizaje, sino también del proceso de evaluación. La coherencia implica un desarrollo eficaz, el reconocimiento de valores diversos, la profesionalidad del docente. Por último, es importante que todos tengan confianza en el proceso de evaluación, porque este pueda ser reconocido como el producto externo en el cual se configura la ética de las intenciones didácticas.

Es en todo esto que se reconoce un tentativo de fundar una moderna visión de la evaluación sobre la base de los actuales resultados; lejos de ser, como podría pensarse, sólo un conjunto de palabras vacías, lo descrito hasta aquí es, por el contrario, un instrumento preciso y concreto que aporta un fundamento nuevo, riguroso y ágil, a la profesionalidad del docente.

1.5. Intervenir y evaluar la especificidad de un fracaso

Como ya lo habíamos dicho, seguirán los cinco capítulos del 2 al 6, en cada uno de los cuales se presenta uno de los cinco componentes del aprendizaje de la matemática; en cada uno de ellos, se harán propuestas de actividades centradas en la evaluación específica.

¿Por qué? Porque el fracaso de un estudiante en matemática puede ser, en más: la mayor parte de las veces lo es, específico. Es un hecho conocido y confirmado por muchos docentes.

Un estudiante pudo haber construido en concepto auspiciado, pero no sabe usarlo para realizar un algoritmo, o para revolver un problema; no lo sabe comunicar o sólo aprendió a representarlo semióticamente.

Otro estudiante pudo no haber construido el concepto deseado, sin embargo sabe operar algorítmicamente sobre aspectos relacionados con este concepto; por ejemplo, el estudiante de la escuela media no ha entendido el sentido conceptual de la proporción pero sabe que el producto de los medios es igual al producto de los extremos: y lo usa para efectuar algoritmos; pero, no sabe usar las proporciones cuando se trata de resolver problemas, no sabe comunicar el sentido de lo que está haciendo, sabe representar la proporción sólo si la reconoce en la forma algebraica. Un caso que se tiene con mucha frecuencia en la escuela superior o en al universidad: estudiantes que saben calcular límites o derivadas, pero que no han elaborado el concepto ni del uno ni de la otra.

Ahora que el sentido de lo que aquí proponemos ha sido clarificado, podemos ir un poco más rápido, con ejemplos aún más específicos, formulados de forma mucho más cercana a la cotidianidad: estudiantes que saben transformar semióticamente ecuaciones, pero que no saben conceptualmente que están haciendo; estudiantes que... La lista podría continuar, con ejemplos fácilmente evidenciados a cualquier nivel escolástico.

Esta es la respuesta a la pregunta: el análisis detallado de cada una de las componentes no es y no pretende ser la declaración falsa e ingenua que estos aprendizajes actúan de forma separada; este análisis es sólo un proyecto discursivo por comodidad para ayudar en la evaluación específica, en la recuperación, actuando directamente sobre las causas y no sobre los errores.

Capítulo 2 El aprendizaje conceptual

2.1. Registros de representación semiótica

Debemos iniciar inmediatamente declarando que los conceptos de la matemática tienen un carácter específico, en relación con las otras disciplinas y en particular con otras ciencias.

En las llamadas ciencias experimentales se puede recurrir a hechos, objetos, cosas,... es decir se pueden indicar instrumentos, materiales concretos, hechos que son el objeto mismo del tratamiento o de la referencia ostensiva de lo que se está diciendo. En matemática no; los conceptos de la matemática revisten un aspecto ideal, pueden ser considerados, según las diferente filosofías que se elaboran, abstractos, ideales, lingüísticos, resultados de acuerdos interpersonales, descubrimientos, inventos creativos etcétera, pero no caen bajo los sentidos.

Aristóteles afirmaba que una “cosa”, es decir un objeto entendido en la acepción más ingenua, tiene tres característica que la definen:

• es tridimensional,

• se percibe a través de los sentidos del ser humano

• es separable de otras “cosas”.

Una recta no es tridimensional, no puede ser percibida por ninguno de los sentidos, no puede ser separada en sentido concreto de los otros conceptos; por tanto, la recta no es una “cosa”, ni el número tres, ni el área, ni la división, ni la demostración, ni la implicación material etcétera.

Lo único que el ser humano está en grado de hacer, respecto a un concepto matemático que quiere evocar, es el de elegir una representación en un registro semiótico oportuno, y trabajar sobre esta representación.

Si aceptamos un punto de vista ontológico, entonces tiene sentido, como es común en los matemáticos, llamar “objetos” a los conceptos de la matemática, en el sentido apenas delineado (para saber más, véase D’Amore, 2003b).

Para poder entender a fondo el sentido que tienen estas afirmaciones que podrían aparecer vagas y confusas, trataremos brevemente la cuestión recurriendo sólo a ejemplos y a los primeros principios de la semiótica. Iniciamos diciendo que, con el término “noética” se entiende la adquisición conceptual; en el caso del ambiente escuela, el aprendizaje conceptual de un estudiante; con el término “semiótica” se entiende la representación de conceptos mediante sistemas de signos.

Los objetos de la matemática no existen en la realidad concreta; en matemática lo único que podemos hacer es elegir un registro semiótico y representar dicho concepto en este determinado registro, como ya lo habíamos enunciado.

Lo que se aprende a manejar en matemática, por tanto, no son tanto los objetos como sus representaciones semióticas; incluso si el objetivo principal es la noética, es decir el aprendizaje conceptual.

Debemos decir también que la actividad semiótica es parte constitutiva del aprendizaje, hace parte del mismo funcionamiento cognitivo en matemática, su función no es únicamente la de apropiarse y la de comunicar conceptos adquiridos por otra vía. No podemos no concordar con Duval (1993): «No existe noética sin semiótica», y tal vez, no sólo en el aprendizaje de la matemática.

Por ejemplo, representemos en diversos registros el concepto que formaliza la idea de dividir a mitad un entero, es decir, el objeto matemático “mitad”1:

registro semiótico: el lenguaje común: un medio, la mitad,...

registro semiótico: el lenguaje aritmético: en escritura fraccionaria; en escritura decimal; en escritura potencial; 50% en escritura porcentual; aún en escritura decimal;...

registro semiótico: el lenguaje algebraico: escritura en la teoría de conjuntos; en escritura de funciones,...

registro semiótico: el lenguaje figural:

registro semiótico: esquemas pictográficos:

...

El pasaje de una representación semiótica a otra, en el mismo registro semiótico, se llama “transformación de tratamiento”:

transformación de tratamiento

transformación de tratamiento

El pasaje de una representación semiótica a otra, en otro registro semiótico, se llama “transformación de conversión”:

transformación de conversión

transformación de conversión

En semiótica, por tanto, son tres las operaciones fundamentales:

representación elección de los elementos distintivos del objeto que se va representar y la elección del registro semiótico en el cual se va a representar;

tratamiento;

conversión.

La construcción cognitiva de los objetos matemáticos está estrechamente ligada a la capacidad de usar varios registros de representación de dichos objetos. Podemos, por tanto, declarar que el alumno ha logrado el aprendizaje conceptual de un determinado objeto cuando está en grado de:

• elegir los rasgos distintivos de un concepto y representarlo en un determinado registro;

• tratar dichas representaciones al interno de un mismo registro;

• convertir dichas representaciones de un registro en un registro diverso.

Podemos considerar que un concepto está cognitivamente construido cuando el alumno está en grado de:

• identificar las propiedades del concepto que se pueden utilizar en un determinado contextos y por tanto de representarlo de manera adecuada según la situación;

• transformar dicha representación si la situación lo exige;

• usarlo en modo oportuno en una pluralidad de situaciones, incluso después de transformaciones de conversión.

A este punto se hace imperioso citar la célebre “paradoja cognitiva” de Duval; veamos en que consiste (Duval, 1993, pag.38; la traducción fue concordada con el Autor):

«(...) de una parte, el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser sino conceptual y, por otra parte, es sólo por medio de representaciones semióticas que es posible una actividad sobre los objetos matemáticos. Esta paradoja puede constituir un verdadero círculo vicioso para el aprendizaje. ¿Cómo, sujetos en fase de aprendizaje, podrían no confundir los objetos matemáticos con sus representaciones semióticas si ellos sólo pueden tener relación con las representaciones semióticas? La imposibilidad de un acceso directo a los objetos matemáticos, fuera de su representación semiótica, hace la confusión casi inevitable. Y, por el contrario, ¿cómo pueden adquirir el dominio de los tratamientos matemáticos, necesariamente ligados a las representaciones semióticas, si no tienen ya un aprendizaje conceptual de los objetos representados? Esta paradoja es aún más fuerte si se identifica actividad matemática y actividad conceptual y si se considera la representación semiótica como secundaria o intrínseca».

En esta fase “paradójica” del aprendizaje, es necesario prestar mucha atención: de una parte el estudiante no sabe que está aprendiendo representaciones que están en lugar de conceptos mientras que lo que debería aprender son conceptos; si el docente nunca ha reflexionado sobre este punto, de otra parte, creerá que el estudiante este aprendiendo conceptos, mientras que lo que en realidad están “aprendiendo” es sólo hacer uso de representaciones (D’Amore, 1999a).

2.2. Construcción del conocimiento

El conjunto de estos tres elementos y las consideraciones precedentes evidencian la profunda relación que existe entre noética y constructivismo: construcción del conocimiento en matemática. Aceptamos a continuación esta idea, que consideramos apropiada, incluso para explicar las cuestiones relacionadas con la evaluación (esta idea aparece muy bien desarrollada en D’Amore, 2003b).

A este punto es imperioso hacer referencia a dos posiciones filosóficas diferentes sobre las cuales se basa, a veces inconscientemente, las acciones en el aula, los puntos de vista realista y pragmatista.

Estamos frente a la necesidad de hacer claridad sobre la naturaleza del significado de los objetos de la matemática, confrontando dos categorías diferentes en las cuales las teorías pueden ser divididas teorías realistas (o figurativas) y pragmáticas. Sólo haciendo claridad en la forma como se concibe el significado, adquiere sentido hablar de construcción del significado. Describiremos, brevemente, la macro-distinción filosófica entre teorías realistas y teorías pragmáticas (haciendo aún referencia a D’Amore, 2003b, al cual reenviamos para referencias bibliográficas específicas y más sofisticadas).

En las teorías realistas el significado es «una relación convencional entre signos y entidades concretas o ideales que existen independientemente de los signos lingüísticos; de consecuencia suponen un realismos conceptual (Godino, Batanero, 1994)». Como afirmaba Kutschera (1979): «Según esta concepción el significado de una expresión lingüística no depende del uso que se haga en situaciones concretas, sino que, por el contrario, el uso se sostiene sobre el significado, siendo posible una división neta entre semántica y pragmática».

En la semántica realista que se deriva, se atribuye a las expresiones lingüísticas funciones puramente semánticas: el significado de un nombre propio (como Bertrand Russell); los enunciados atómicos (como: ‘A es un río’) expresan hechos que describen la realidad (en tal caso: A es el nombre de un río); los predicados binarios (como: ‘A lee B’) designan atributos, aquellos indicados en al frase que los expresa (en este caso: la persona A lee la cosa B). Por tanto, cada expresión lingüística es un atributo de cierta entidad: la relación nominal que se deriva es la única función semántica de las expresiones.

Se reconocen aquí las bases de las posiciones de Frege, de Carnap, del llamado primer Wittgenstein, es decir del Tractatus.

Una consecuencia de esta posición es la admisión de una observación “científica” (a un mismo tiempo empírica y objetiva o inter-subjetiva) como podría ser, en un primer nivel, una lógica de los enunciados y de los predicados.

Desde el punto de vista que nos interesa, si vamos a aplicar los principios ontológicos de la semántica realista a la matemática, se obtiene necesariamente una visión platónica de los objetos matemáticos: en dicha visión, nociones, estructuras etcétera tienen una existencia real que no depende del ser humano, en cuanto pertenecen a un dominio ideal; “conocer” desde un punto de vista matemático significa “descubrir” entes y sus relaciones en dicho dominio. Además es obvio que dicha visión implica un absolutismo del conocimiento matemático en cuanto sistema de verdades seguras, eternas, no modificables por la experiencia humana, dado que son precedentes a estas o, por lo menos, extrañas a estas experiencias e independientes de estas.

Posiciones de este tipo, aunque con gradaciones diversas, fueron sostenidas por Frege, Russell, Cantor, Bernays, Gödel; pero encontró también violentas críticas [el convencionalismo de Wittgentsein y el casi empirismo de Lakatos: véase Ernest (1991) y Speranza (1997)].

En las teorías pragmáticas las expresiones lingüísticas tienen significados diversos según el contexto en el cual se usan y, por tanto, resulta imposible cualquier observación científica abstracta o externa en cuanto el único análisis posible es “personal” o subjetivo, pero siempre circunstanciado y no generalizable. Lo único posible es examinar los diversos “usos”: el conjunto de los “usos” determina de hecho el significado de los objetos.

Se reconocen aquí las posiciones del llamado segundo Wittgenstein, en su obra Investigaciones filosóficas, cuando admite que el significado de una palabra depende de su función en un juego lingüístico, dado que en este juego tiene un modo de ‘uso’ y una finalidad concreta que de hecho determina el modo en el cual se usa: la palabra, por tanto, no tiene por sí sola un significado, y sin embargo puede ser significativa.

Los objetos matemáticos son, por tanto, símbolos de una unidad cultural que emergen de un sistema de uso que caracterizan las pragmáticas humanas (o, por lo menos, de grupos homogéneos de individuos) y que se modifican continuamente en el tiempo, incluso según una necesidad específica. De hecho, los objetos matemáticos y el significado de dichos objetos dependen de los problemas que en matemática se afrontan y de los procesos de su resolución.

A este punto, una tabla que sintetice las ideas precedentemente expuestas puede ser oportuna, la que aquí presentamos fue tomada de D’Amore, Fandiño Pinilla (2001) y de otros trabajos de los mismos Autores.

Es obvio, y sería fácil demostrarlo con ejemplos filosóficos, que los dos campos no son del todo complementarios ni netamente separables, aunque, por motivos de claridad, preferimos dar esta impresión “fuerte”.

Para ayudar al Lector en lo que sigue, debemos explícitamente declarar que, con respecto a las bases filosóficas de la didáctica de la matemática, optamos por una elección de campo pragmática la cual nos parece más cercana a la realidad del proceso empírico de enseñanza - aprendizaje de la matemática.