Kitabı oku: «Finanzas para la formación del contador público»
Finanzas para la formación del contador público
Finanzas para la formación del contador público.
Un enfoque analítico-práctico
MARTHA LILIANA ARIAS BELLO
ARACELY SANCHEZ SERNA
Editoras académicas
Reservados todos los derechos
© Pontificia Universidad Javeriana
© Martha Liliana Arias Bello y Aracely
Sánchez Serna, editoras académicas
© Martha Liliana Arias Bello, Juan Carlos
Bohórquez Cifuentes, Nelson Javier Dueñas
Gil, Sebastián Echeverry Clavijo, Daniel
Felipe Gómez Ceballos, Jesús Daniel
Hernández Jiménez, Oscar Ricardo Joya
Lizarazo, Helber Mauricio Monroy Pedraza,
Nelson Camilo Rodríguez Zárate, Alejandra
Romero Quiñónez, Dora Luz Romero
Ramírez, Juan Pablo Sánchez Munar, Aracely
Sánchez Serna, Jairo Zubieta Vela, autores
Primera edición: diciembre de 2019
ISBN: (impreso) 978-958-781-428-6
ISBN: (digital) 978-958-781-429-3
DOI: https://doi.org/10.11144/
Javeriana.9789587814293
Conversión ePub: Lápiz Blanco S.A.S.
Hecho en Colombia
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Corrección de estilo:
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Diseño de pauta LATEX y diagramación:
Andrés Conrado Montoya Acosta
Diseño de gráficos:
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Diseño de cubierta:
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Pontificia Universidad Javeriana | Vigilada
Mineducación. Reconocimiento como
Universidad: Decreto 1270 del 30 de mayo de
1964. Reconocimiento como personería
jurídica: Resolución 73 del 12 de diciembre de
1933 del Ministerio de Gobierno.
Pontificia Universidad Javeriana. Biblioteca Alfonso Borrero Cabal, S. J.
Catalogación en la publicación
Arias Bello, Martha Liliana, editora académica, autora
Finanzas para la formación del contador público. Un enfoque analítico-práctico / editoras académicas, Aracely del Socorro Sánchez Serna ; autores, Juan Carlos Bohórquez Cifuentes [y otros trece]. – Primera edición. – Bogotá: Editorial Pontificia Universidad Javeriana, 2019.
Incluye referencias bibliográficas (páginas 179-180).
ISBN: 978-958-781-428-6
1. Finanzas 2. Contaduría pública 3. Gestión financiera 4. Administración financiera 5. Finanzas corporativas 6. Hacienda pública I. Pontificia Universidad Javeriana. Facultad de Ciencias económicas y administrativas
CDD 658.15 edición 21
| inp | 15/11/2019 |
Prohibida la reproducción total o parcial de este material, sin autorización por escrito de la Pontificia Universidad Javeriana. Las ideas expresadas en este libro son responsabilidad de sus autores y no necesariamente representan la opinión de la Pontificia Universidad Javeriana.
| Autores |
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| Contenido |
Lista de siglas y de abreviaturas
Introducción
Capítulo 1 Herramientas cuantitativas para las finanzas
Equivalencia de tasas de interés
Ecuaciones de valor
Tasas de interés indizadas o indexadas
Anualidades
Perpetuidades
Gradiente geométrico
Valor presente neto
Rentabilidad total y rentabilidad real de una inversión en moneda extranjera
Capítulo 2 Fundamentos de finanzas
Valoración de instrumentos de renta fija
Valoración de instrumentos de renta variable
Riesgo y rendimiento: análisis de inversiones en ambiente de riesgo
Riesgo y rendimiento: distribución de probabilidad normal
Costo y estructura de capital I
Costo y estructura de capital II
Capítulo 3 Finanzas intermedias
Negocios y mercados financieros internacionales
Emisión de bonos
Volatilidad en títulos de renta variable
Costo del patrimonio
Medición y exposición del riesgo
Capítulo 4 Finanzas avanzadas
Planeación financiera: modelo de crecimiento en ventas I
Planeación financiera: modelo de crecimiento en ventas II
Política de capital de trabajo
Gestión de cuentas por cobrar
Administración de inventarios
Análisis financiero
Capítulo 5 Desempeño financiero
Análisis estratégico
Análisis financiero: costo de la deuda
Capítulo 6 Valoración de empresas
Valoración de empresas a través del método de flujos de caja descontados
Construcción de flujos de caja
Valoración de empresas a través del método de múltiplos
Valoración con opciones reales: expansión de proyecto con resultado
Capítulo 7 Mercado de derivados
Cobertura de tipo de cambio con forwards
Operatividad de las opciones
Capítulo 8 Aplicación analítica conceptual de las finanzas
Clases de tasas de interés: el interés simple vs. el interés compuesto
Los conceptos de valor del dinero en el tiempo y equivalencia financiera
Tasa anticipada y su equivalencia con la tasa vencida
Manejo de tasas indizadas o indexadas (UVR, IPC, DTF)
Valor presente y valor futuro en las series uniformes vencidas y anticipadas
Criterios de evaluación financiera I
Criterios de evaluación financiera II
Teoría de la agencia
Valuación de bonos I
Valuación de bonos II
Valuación de bonos III
Refinanciamiento de bonos
Valuación de acciones comunes I
Valuación de acciones comunes II
Costos del equity
Mercados financieros eficientes
Rendimiento esperado, distribución normal, desviación estándar, varianza, covarianza, correlación
Riesgo sistemático
Relación entre riesgo y rendimiento
Análisis de inversiones en ambiente de riesgo
Estructura básica para la presupuestación de capital
Programa de costo ponderado marginal de capital
Políticas de dividendos
Mercados de divisas internacionales y comercio exterior
La balanza de pagos
Mercado de capitales I
Mercado de capitales II
Importancia del valor en riesgo
Conformación de portafolios
Gestión de riesgos
Crisis financieras en ausencia de administración de riesgos financieros
Mercado de futuros
Contratos forward I
Contratos forward II
Opciones financieras
Indicadores financieros
Predictor de quiebra
Pronóstico de porcentaje de ventas
Administración del capital de trabajo
Posición en la administración del capital de trabajo
Bibliografía
Autores
| Lista de figuras |
2.1. Diagrama de flujo del ejercicio
2.2. Diagrama de flujo de un bono
2.3. Proporcionalidad para la interpolación lineal
2.4. Acciones internas (capital simple)
2.5. Acciones externas
2.6. Presupuesto óptimo
4.1. Razón corriente
4.2. Razón de endeudamiento
4.3. Cobertura de intereses
4.4. Margen operacional
4.5. Margen neto
7.1. Análisis opción (put)
8.1. Riesgo y rendimiento
8.2. Presupuestación de capital
| Lista de tablas |
2.1. Rendimiento esperado acción X
2.2. Rendimiento esperado acción Z
2.3. Desviación estándar acción X
2.4. Desviación estándar acción Z
2.5. Cálculo del valor esperado
2.6. Proyectos de inversión y TIR
2.7. Estado de situación financiera
2.8. Estructura de capital
2.9. Estructura de los flujos de un bono 1
2.10. Estructura de los flujos de un bono 2
2.11. Límites y costo de la deuda
2.12. Costo de capital accionario
2.13. Primer punto de inflexión
2.14. Segundo punto de inflexión
2.15. Tercer punto de inflexión
2.16. WACC total
2.17. Rentabilidad generada por los proyectos escogidos
2.18. Costos de financiación en los que se incurre
3.1. Balance general de la Empresa de Energía Eléctrica de Bogotá
4.1. Empresa XYZ. Estados de resultados en el periodo cero
4.2. Empresa XYZ. Estado de situación financiera en el periodo cero
4.3. Empresa XYZ. Estados de resultados en el periodo cero (0)
4.4. Empresa XYZ. Estados de resultados en el periodo cero (0)
4.5. Comercializadora Ardoz SAS. Balance general al 31 de diciembre de 20X9. Cifras expresadas en millones de pesos
4.6. Comercializadora Ardoz SAS. Estado de resultados del 1 de enero al 31 de diciembre de 20X9. Cifras expresadas en millones de pesos
4.7. Comparación de políticas de crédito a clientes
5.1. Análisis competitivo
5.2. Fuerzas competitivas
6.1. Flujos de caja
6.2. Flujos de caja descontados
6.3. Información financiera
6.4. Cálculo de flujo de caja libre
6.5. Cálculo de tasa fiscal
6.6. Flujo de caja para el accionista
6.7. Valoración de la empresa
| Lista de siglas y de abreviaturas |
| BCBS: | Basel Committee on Banking Supervision (Comité Basel en Supervisión Bancaria) |
| CAPEX: | capital expenditure (gastos de capital) |
| CAPM: | capital asset pricing model (modelo de valoración de activos financieros) |
| CCMC: | curva de costo marginal de capital |
| CDT: | certificado de depósito a término |
| COI: | curva de oportunidad de inversión |
| Colcap: | índice accionario de capitalización publicado por la Bolsa de Valores de Colombia (BVC) |
| COP: | peso colombiano |
| CRCC: | Cámara de Riesgo Central de Contraparte |
| CRM: | customer relationship management (manejo de la relación con el cliente) |
| DTF: | depósito a término fijo |
| DV01: | dollar value of a basis point (valor en dólares de un punto básico) |
| EA: | tasa efectiva anual |
| EBIT: | earnings before interest and taxes (ganancias antes de intereses e impuestos) |
| Ebitda: | earnings before interest, taxes, depreciation and amortization (beneficio antes de intereses, impuestos, depreciaciones y amortizaciones) |
| EBT: | earnings before taxes (ganancias antes de impuestos) |
| ECF: | equity cash flow (flujo de efectivo para los accionistas) |
| EEB: | Empresa de Energía Eléctrica de Bogotá |
| EM: | tasa efectiva mensual |
| EUR: | euros |
| EV: | enterprice value (valor de la empresa) |
| FCF: | free cash flow (flujo de caja libre) |
| FCL: | flujo de caja libre |
| FER: | financiación externa requerida |
| IPC: | índice de precios al consumo |
| IVA: | impuesto al valor agregado |
| LP: | largo plazo |
| NAV: | net asset value (valor liquidado V L) |
| NIIF: | normas internacionales de información financiera |
| NMV: | nominal mensual vencida |
| OTC: | over the counter (extrabursátil) |
| PI: | punto de inflexión |
| PIB: | producto interno bruto |
| PMT: | payment (función pago) |
| PVAN: | present value of an ordinary annuity (valor presente actual neto) |
| PVIFA: | present value of an annuity interest factor (valor presente de un factor de interés anual) |
| PVPER: | present value of a perpetuity (valor presente de la perpetuidad) |
| ROA: | return on assets (retorno sobre los activos) |
| ROE: | return on equity (retorno sobre el equity) |
| ROI: | return on investment (retorno sobre la inversión) |
| TCI: | tasa de crecimiento interno |
| TCS: | tasa de crecimiento sustentable |
| TES: | títulos de tesorería |
| TIO: | tasa de interés de oportunidad |
| TIR: | tasa interna de retorno |
| USD: | united states dollar (dólar estadounidense) |
| UVR: | unidad de valor real |
| VAN: | valor actual neto |
| VaR: | valor en riesgo |
| VP: | valor presente |
| VPN: | valor presente neto |
| WACC: | weighted average cost of capital (costo promedio ponderado de capital) |
| Introducción |
Actualmente, las organizaciones y los profesionales se enfrentan a importantes retos en su desarrollo y evolución, las tendencias mundiales cada vez son más exigentes y demandan altos estándares de calidad, integralidad y oportunidad. Las competencias que se exigen a los profesionales se componen tanto de juicios valorativos del pasado, como de elementos y capacidades que permiten ver lo que se espera de ellos en el futuro. Estos aspectos son un soporte esencial que guía el direccionamiento empresarial, económico y social.
La orientación de la formación de los profesionales hoy en día está determinada en gran parte por la filosofía que cada institución educativa promueve y desarrolla en su labor universitaria. Sin embargo, la realidad del mundo no cambia con cada una de estas aproximaciones. Por tal motivo, la intencionalidad educativa debe enmarcarse desde la capacidad de responder a las necesidades reales de la sociedad de acuerdo al tiempo vivido. El escenario de hace cincuenta años dista significativamente de las condiciones actuales; los perfiles de los educandos, de los educadores, de las organizaciones, de los gobiernos, de los países y de la naturaleza no son iguales y no atienden a las mismas necesidades. No obstante, la misión de la educación en uno u otro tiempo no debe ser contraria a la formación de seres humanos responsables y comprometidos con la vida.
En este contexto, el profesional contable debe tener las competencias necesarias para entender el manejo eficiente de los recursos financieros de cualquier empresa y debe estar apoyado por la información contable y la integración de otras disciplinas. Esto se da a través del diseño, desarrollo y evaluación de esquemas estratégicos y especializados de inversión o financiamiento, que permitan prever, enfrentar y aminorar los riesgos financieros, llevando a la empresa a mejorar sus beneficios, bien sea en un contexto local o internacional.
Así las cosas, los profesores del área de finanzas del Departamento de Ciencias Contables han tenido la iniciativa de presentar en este libro un material de consulta y estudio que ejemplifique la aplicación conceptual y analítica de los temas claves de las finanzas a partir de la práctica docente llevada a cabo en las aulas. Los ejercicios que aquí se presentan se componen de una estructura sencilla que busca facilitar la comprensión de los conceptos y de los temas tratados.
En un primer lugar se encuentra el planteamiento del problema, el cual se ha procurado que sea sencillo y adecuado en extensión para hacer comprensible el formato desarrollado. En un segundo lugar el lector puede apreciar en cada ejercicio propuesto que los datos del problema han sido detallados de tal forma que este pueda ser comprendido inmediatamente, al igual que el planteamiento del interrogante que debe ser resuelto. La solución constituye una tercera sección del formato, en ella se presenta la respuesta sugerida, justificando el procedimiento y los resultados obtenidos.
De igual forma, el libro está dividido en ocho capítulos. Los siete primeros se orientan a la aplicación práctica de las finanzas y el capítulo ocho a su aplicación analítica. Los primeros siete capítulos responden a los ejes temáticos de la unidad de finanzas del Departamento de Ciencias Contables: 1) herramientas cuantitativas para las finanzas (o las matemáticas financieras); 2) fundamentos de finanzas; 3) finanzas intermedias; 4) finanzas avanzadas; 5) desempeño financiero; 6) valoración de empresas; y 7) mercado de derivados.
En el capítulo 1, Herramientas cuantitativas para las finanzas, (o matemáticas financieras) se desarrollan conceptos como el valor del dinero en el tiempo (interés compuesto, anualidades, gradientes, sistemas de amortización y saldos, planes de inversión y ahorro y evaluación financiera). En el capítulo 2, Fundamentos de finanzas, se hace una aproximación al tema de las finanzas corporativas (renta fija y variable, riesgo y rendimiento y costo de capital). En el capítulo 3, Finanzas intermedias, se proporciona información básica acerca de lo que es el mercado de capitales en Colombia y en el mundo (negocios y mercados de capitales, riesgo, coberturas, etc.). En cuanto al capítulo 4, Finanzas avanzadas, se resalta el análisis y la toma de decisiones (desempeño financiero, administración de capital de trabajo y valoración de empresas).
En el capítulo 5, Desempeño financiero, se analiza la situación actual y la evolución financiera de las compañías a través del análisis de mercado y el análisis contable, financiero y prospectivo. En cuanto al capítulo 6, Valoración de empresas, se exponen temas como el modelo CAPM, diferentes tipos de valoración de empresas, el índice PER, entre otros temas. En el capítulo 7, Mercado de derivados, se exponen los derivados como alter-nativas de coberturas por medio de la compra y la venta de contratos a plazo, operaciones swaps, opciones, etc. Por último, el capítulo 8 hace una aplicación analítica de los ejes temáticos de la unidad de finanzas a través de preguntas de análisis en un contexto específico.
Este libro tendrá una actualización dinámica que hará posible su revisión periódica, lo que permitirá fortalecer esta iniciativa como un proceso continuo que está marcado por la evolución del entorno económico, organizacional, social y demás factores que afectan la vida profesional en general.
| Herramientas cuantitativas para las finanzas | 1 |
El entendimiento del valor del dinero en el tiempo, la equivalencia financiera y las tasas de interés constituyen un factor de éxito para la comprensión de la Administración Financiera. A partir de estos conceptos se estructuran decisiones relacionadas con operaciones financieras básicas de inversión y financiación, tanto desde una perspectiva empresarial, como personal.
En esta sección los estudiantes desarrollarán habilidades matemáticas aplicadas a las finanzas mediante la resolución de problemas orientados al ahorro, la inversión y la financiación. Este proceso de aprendizaje se constituye en la base para situaciones más complejas de toma de decisiones financieras en los ambientes corporativos. Dada la combinación entre la lógica matemática y la lógica financiera, los componentes prácticos, analíticos y propositivos constituyen los pilares para el cumplimiento de los resultados esperados de aprendizaje. Las herramientas financieras para las finanzas le permitirán al estudiante tener conocimiento de la relación entre el dinero y el tiempo, así como de los impactos de estos elementos en las decisiones financieras en una compañía.
Equivalencia de tasas de interés
Contexto
Dos tasas de interés son equivalentes cuando ambas, operando en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro, si se está pensando en una inversión monetaria. Aquí es preciso analizar que el concepto “operando en condiciones diferentes” hace referencia a que ambas tasas de interés capitalizan o reconocen intereses en periodos diferentes, o también a que una de ellas es vencida y la otra es anticipada, ya sea que su expresión esté en términos nominales o periódicos. En este orden de ideas, resulta fundamental comprender el manejo de las tasas que se deben aplicar para el tratamiento de los flujos de efectivo correspondientes.
Planteamiento del problema
En el desarrollo de una operación de crédito para la empresa ABC, que desea ampliar su planta de producción, el Banco de Crédito S. A. le está entregando una tasa nominal trimestre vencido del 28,5 % para un monto solicitado de $ 100 000 000. Se requiere saber cuál es la tasa efectiva anual equivalente que debe asumir la empresa en la atención de su obligación financiera y cuál la tasa que le será aplicada al préstamo en cada una de sus cuotas mensuales vencidas. El crédito ha sido otorgado para un plazo de 36 meses.
Datos del problema
Empresa: ABC
Banco: Banco de Crédito S. A.
Monto del crédito: $ 100 000 000
Tasa nominal: inom,tv = 28,5 %
Periodicidad de los pagos: mensual
Interrogantes planteados
¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual equivalente de la tasa nominal del inom,tv = 28,5 %? ¿Cuál será la tasa de interés periódica mensual equivalente, imv?
Solución del problema
A partir de inom,tv = 28,5 %, se conoce que la tasa periódica implícita es
Luego viene la equivalencia entre las tasas periódicas vencidas relacionadas: (1 + 0,07125)4 ≅ (1 + ieff)1, por lo tanto, 1,316932 = 1 + ieff
De esta manera, la tasa efectiva anual equivalente es:
La tasa de interés periódica mensual sería: (1 + 0,316932)1 ≅ (1 + imv)12, por lo tanto, 
De esta forma, la tasa periódica mensual equivalente es:
Análisis y conclusión
En suma, existe equivalencia en tasas de interés de igual periodicidad, así como entre tasas de diferente periodicidad solo que, en este último caso, el estudiante debe tener claro que es preciso realizar previamente las conversiones que se requieran, especialmente cuando de una tasa vencida se quiere llegar a una tasa anticipada o viceversa. En conclusión, financieramente hablando, las siguientes tasas de interés son equivalentes:
Ecuaciones de valor
Contexto
En ocasiones existen obligaciones o compromisos financieros diseñados para ser cubiertos en diferentes fechas. Teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, resulta necesario utilizar herramientas matemáticas que permitan manejar este tipo de situaciones con el fin de conocer todas sus variables. Para ello se utilizan las ecuaciones de valor, las cuales permiten comparar montos ubicados en diferentes momentos del tiempo utilizando una fecha focal, que es la fecha a la cual se deben llevar todos los flujos para hacerlos comparables.
Planteamiento del problema
Una persona natural tiene una cuenta de ahorros con $ 15 000 000 en Banco Empresarial. Este banco le ofrece una tasa de 0,9 % mensual como rendimiento. Esta persona ha contactado a un asesor bancario con el fin de recibir asesoría frente al manejo de su dinero, teniendo en cuenta que tiene unas necesidades específicas. Puntualmente, necesita hacer retiros en los meses 3, 6 y 9, tales que cada retiro sea el doble del anterior, ya que de esta manera pactó la financiación correspondiente a la compra de una motocicleta. Adicionalmente, esta persona requiere tener disponibles $ 800 000 al final de año, dado que planea realizar un paseo. Se debe calcular el valor de los retiros teniendo en cuenta las necesidades financieras específicas de esta persona.
Datos del problema
Persona: natural
Banco: Banco Empresarial
Monto en la cuenta de ahorros: $ 15 000 000
Tasa periódica: 0,9 % mensual
Periodicidad de retiros: trimestral
Interrogantes planteados
¿Cuál es el valor de los retiros en los meses 3, 6 y 9 para que tenga un saldo en el periodo 12 correspondiente a $ 800 000?
Solución del problema
Se debe plantear la ecuación de valor correspondiente a la fecha focal seleccionada. En este caso la ecuación de valor se plantea llevando como fecha focal el periodo 0:
Se debe despejar:
Análisis y conclusión
El valor de los retiros en el mes tres es de $ 2 177 427, en el mes seis es de $ 4 354 853 y en el mes nueve de $ 8 709 707, manteniendo un saldo en el periodo 12 correspondiente a $ 800 000 y manejando una tasa de interés de 0,9 % mensual.
Tasas de interés indizadas o indexadas
Contexto
En el mercado público de valores existe una gran variedad de alternativas e instrumentos de inversión, con tasas fijas y tasas variables. Para aquellos instrumentos con tasas variables como los bonos corporativos o los títulos de deuda pública (TES), las rentabilidades pueden estar indizadas (o indexadas si se usa este vocablo impropio) a determinados indicadores económicos como la DTF o el IPC. Incluso, puede darse el caso de una indización a una de estas tasas variables, adicionadas en un margen o spread (puntos porcentuales adicionales). Es el caso del pago de los cupones periódicos de un bono corporativo indizado al DTF + un margen, o el de un título de deuda pública indizado al IPC + un margen. En este orden de ideas, resulta fundamental comprender el manejo de las tasas que se deben aplicar para el tratamiento de los flujos de efectivo correspondientes.
Planteamiento del problema
A un inversionista le ofrecen dos alternativas de inversión. En la primera la rentabilidad está atada al DTF + 1,3 %, mientras que la segunda alternativa de inversión ofrece una rentabilidad indizada al IPC anualizado correspondiente + 4 %. La base para liquidar la inversión es de 360 días. La DTF vigente es del 4 %, mientras que el IPC anualizado vigente es del 2 % efectivo anual. ¿Qué decisión debe tomar el inversionista?
Datos del problema
Alternativa A: DTF + 1,3 %; DTF vigente = 4 %
Base de liquidación = 360 días
Margen o spread = 1,3 %
Alternativa B: IPC + 4 %; IPC anualizado vigente = 2 % efectivo anual
Base de liquidación = 360 días
Margen o spread = 4 %
Interrogantes planteados
¿Qué decisión debe tomar el inversionista si está interesado en invertir una suma importante de dinero?
Solución del problema
Para el ejercicio debe tenerse clara la naturaleza de las tasas variables que fungen como base, de suerte que los puntos adicionales siempre coinciden con dicha naturaleza. En este sentido, la DTF tiene naturaleza inom,ta por lo que el margen o spread también estará en inom,ta y será posible sumar literalmente los valores para obtener la tasa final y convertirla a una tasa efectiva anual equivalente. Resulta perentorio que la expresión de la DTF se encuentre expresada en su naturaleza, pues de estar en términos de EA, por ejemplo, deberá ser convertida a una tasa inom,ta equivalente para poder adicionar los puntos del margen o spread. De igual forma, el IPC anualizado vigente corresponde con la inflación cuya naturaleza es efectiva anual, EA. Así mismo, el margen o spread, en este caso, el 4 % también estará en EA.
Así las tasas finales serán:
Alternativa A: DTF + 1,3 %; DTF vigente = 4 %
Esta tasa tiene una EA equivalente del:
• A partir de inom,ta = 5,3 %, la tasa periódica implícita es:
• Esta tasa tiene una tasa periódica trimestre vencido equivalente a:
• Luego viene la equivalencia entre las tasas periódicas vencidas relacionadas:
• De esta manera, la tasa efectiva anual equivalente es
Alternativa B: IPC + 4 %; IPC anualizado vigente = 2 % efectivo anual
Que se traduce en una (1 + ifinal) = 1,05352, es decir, ieff = 5,352 % EA
Análisis y conclusión
El estudiante deberá tener presente que para las tasas indizadas es preciso disponer de las tasas bases en la expresión original, esto es, en la correspondiente a su naturaleza, para poder proceder con la adición de los puntos del margen o spread. Ello occurre por cuanto la tasa base puede venir expresada en otra denominación y se hace necesario llevarla a su expresión natural. En este orden de ideas, para este problema la decisión se obtiene una vez se comparan las tasas EA equivalentes de las dos alternativas de inversión. En este sentido, la alternativa A resulta tener un mejor rendimiento que el de la alternativa B. Así:
Anualidades
Contexto
En las transacciones financieras existen ciertos datos e informaciones que resultan fundamentales a la hora de tomar decisiones. Un ejemplo de ello es el valor que un deudor debe pagar periódicamente para cumplir con sus obligaciones, esto en el caso del prestatario. Esta lógica se aplica de manera inversa cuando se analiza el problema desde el punto de vista del prestamista. En línea con lo anterior, se precisa que esos pagos iguales y periódicos, llámense anualidades, series uniformes y su determinación, son básicos para la planeación financiera a nivel personal o empresarial de cara al cumplimiento de las obligaciones pactadas.
Planteamiento del problema
Un centro de cómputo para una microempresa tiene un valor de $ 17 000 000. El gerente de esta compañía decide revisar la posibilidad de tomar un préstamo para financiar este requerimiento, teniendo en cuenta que en ese momento el flujo de caja de la compañía no se encuentra en su mejor momento, ya que se han cubierto otras necesidades prioritarias. Para ello, el gerente llama al agente comercial del banco Panato Corp., entidad con la cual manejan todo su portafolio financiero. El agente comercial le indica que este préstamo se lo pueden otorgar a una tasa de 1,53 % mensual y, de acuerdo con la solicitud de la compañía, el plazo sería de 12 meses. Con las condiciones anteriores claras, el agente comercial del banco Panato Corp. debe realizar los cálculos necesarios para informarle al gerente el valor de la cuota a pagar mensualmente para cumplir con la obligación derivada del préstamo.
Datos del problema
Persona: microempresa
Banco: Panato Corp.
Monto del préstamo: $ 17 000 000
Tasa: 1,53 % mensual
Periodicidad de cuotas: mensual
Interrogantes planteados
¿Cuál es el valor de la cuota o anualidad que debe pagar mensualmente la microempresa para cumplir con la obligación del préstamo?
Solución del problema
Siguiendo la notación de Moyer, la solución al problema se puede escribir de la siguiente manera:
Donde,
PVAN12: valor presente de la anualidad (present value of an ordinary annuity) a 12 meses.
PMT: pago de la anualidad.
PVIFA1,53 %, 12: valor presente del factor interés de una anualidad (present value of an annuity interest factor). En este caso el interés es de 1,53 % y 12 periodos.
Una vez definida la notación para resolver el problema, se procede a su solución por partes, empezando por el valor presente del factor interés de la anualidad:
Reemplazando se tiene:
Llegando al siguiente resultado:
Como lo que se pretende hallar es el valor de la anualidad, en esta expresión se despeja PMT:
Conociendo los valores de cada una de las variables, estas se reemplazan:
Con esto, la anualidad o pago es de:
Análisis y conclusión
El valor de la cuota o anualidad que deberá cubrir el gerente de la empresa mensualmente para poder financiar su centro de cómputo es de $ 1 561 566 mensuales.
Perpetuidades
Contexto
Algunas transacciones permiten pagar un flujo de manera permanente, que se puede describir como una serie infinita de pagos o una anualidad infinita. En estos casos, se recurre a la utilización de la forma de las perpetuidades, las cuales permiten trabajar transacciones o activos que denotan este tipo de comportamiento.
Planteamiento del problema
Una importante compañía pretende realizar una inversión en una acción que va a tener por un tiempo indeterminado. La compañía conoce que el dividendo anual de esa acción es de $ 135 000 anuales, con una tasa del 20 % EA. Para tomar la decisión de invertir en la actualidad, el gerente financiero está solicitando evaluar esa perpetuidad, es decir, su valor presente.
Datos del problema
Persona: empresa
Dividendo: $ 135 000
Tasa: 20 % EA
Interrogantes planteados
¿Cuál es el valor presente de la perpetuidad?
Solución del problema
Siguiendo la notación de Moyer, la solución al problema se puede notar de la siguiente manera:
Donde,
PVPER0: valor presente de la perpetuidad
PMT: pago de la perpetuidad (en este caso el dividendo)
Una vez definida la notación para resolver el problema, se procede a su solución.
Reemplazando se tiene:
Con esto, la perpetuidad es de:
Análisis y conclusión
El valor de hoy de la acción que indefinidamente dará un dividendo anual de $ 135 000, a una tasa de 20 % EA, es de $ 675 000. Con esta información, el gerente financiero podrá decidir si adquirir o no esa acción, comparando el monto de inversión con el que debe asignar para obtener otros activos.
Gradiente geométrico
Contexto
En matemáticas financieras es útil es uso de modelos matemáticos que consideren flujos de caja conformados por una serie de pagos que varían de manera uniforme a través del tiempo, ya sea para incrementarse o disminuirse. Este tipo de comportamiento modelado se describe como gradientes o series variables.
Planteamiento del problema
A un estudiante universitario sus papás lo apoyarán económicamente por los siguientes dos años. Él necesita realizar las respectivas proyecciones de ingresos, ahorro y saldo en su cuenta, porque al final de los dos años quiere comprar su primer carro. Lo que él desea verificar es si la mesada que le dan sus padres es suficiente para cumplir con la meta, o por el contrario debe encontrar ingresos extra trabajando desde ya como contador. Cada mes ahorrará el 50 % de su mesada que durante el primer año será de $ 200 000 semanales, es decir, $ 800 000 mensuales. Sus padres son conscientes de la inflación, por lo tanto, cada año le reajustan ese porcentaje.
El estudiante se informa por diferentes medios y las proyecciones de inflación para el próximo año serán del 7 %. Todo el dinero que él ahorra, lo depositará mensualmente en su cuenta de ahorros de Bancolombia, banco que le paga un interés del 0,5 % mensual. De la misma manera, él prefiere hacer sus depósitos en el banco al final de cada mes, a pesar de que recibe su mesada semanalmente.
Datos del problema
N = 24 meses
Flujo 1 = 800 000 mensuales
Gradiente = 7 % (cambio en la mesada de un año al otro)
i = 0,5 % mensual
Interrogantes planteados
1. ¿Cuánto tendrá ahorrado en la cuenta de Bancolombia al final de los dos años?
2. Si el carro que usted desea según las proyecciones del mercado, en dos años cuesta $ 20 000 000. ¿Lo puede comprar con el dinero ahorrado?
Solución del problema
El problema puede ser resuelto planteando un gradiente geométrico escalonado. Los escalones corresponden a cada periodo anual, ya que el estudiante en el primer año de mesada recibe $ 800 000 mensuales y el siguiente año recibe el 7 % más:
Para resolver un gradiente geométrico escalonado creciente:
Donde,
Como se puede observar, se debe trabajar la tasa expresada en términos mensuales, pero también expresada en términos anuales, por tanto, se debe realizar la conversión:
El estudiante ahorra el 50 % de su mesada, es decir:
Ahorro = 800 000 × 50 %
Ahorro = 400 000
Con esto se hace el reemplazo de variables en la ecuación
Análisis y conclusión
Al final de los dos años, el estudiante tendrá ahorrado $ 10 518 000, que es el resultado del valor futuro del gradiente geométrico escalonado creciente.
Si el carro que el estudiante desea comprar en dos años, según las proyecciones del mercado cuesta $ 20 000 000, no lo podría comprar con el dinero ahorrado. Le faltarían $ 9 482 000.
Valor presente neto
Contexto
En el contexto de las matemáticas financieras resulta importante resolver problemas que involucran el concepto de valoración de alternativas de inversión por parte de un inversionista. Una de las metodologías que se suele utilizar tiene que ver con la aplicación del VAN(i %) o VPN(i %), que consiste en descontar al tiempo presente todos los flujos proyectados, tanto ingresos como egresos, para poder realizar una diferencia en tiempo presente que permita aplicar la regla de decisión prevista al evaluar si el VAN (i %) = VP (ingresos) − VP (egresos) es mayor que cero; menor que cero, o igual a cero. En este orden de ideas, podremos definir sobre el proyecto objeto de estudio o análisis así: si VAN (i %) > 0, el proyecto es viable y por tanto se recomienda; si VAN (i %) < 0, el proyecto no resulta viable y entonces no es recomendable; mientras que si VAN (i %) = 0, aparece un umbral de indiferencia y sobre el proyecto no se puede tomar una decisión plausible.
Planteamiento del problema
El desarrollo de un proyecto requiere una inversión inicial de $ 10 000 000 y otra de $ 5 000 000 dentro de un año. Tiene unos costos mensuales de $ 600 000 el primer mes, los cuales aumentarán de aquí en adelante en $ 20 000 cada mes. Los ingresos generados mensualmente son de $ 1 050 000 el primer mes y de allí en adelante estos se incrementarán en el 2 % cada mes. La vida útil del proyecto es de tres años y el valor de mercado del proyecto es de $ 6 000 000. Si el objetivo del inversionista es ganar en pesos de hoy el equivalente por lo menos del 15 % del valor presente del total de las inversiones, se puede determinar si el inversionista debe llevar a cabo el proyecto o no utilizando el concepto del VAN (i %). Por información se sabe que la TIO % del inversionista es equivalente a una tasa de interés del 30 % anual.
Datos del problema
Inversión inicial = $ 10 000 000
Reinversión al año = $ 5 000 000
Costos mensuales proyectados:
• Primer mes = $ 600 000
• Segundo mes = $ 620 000
• Tercer mes = $ 640 000, y así hasta el mes 36
Ingresos mensuales proyectados:
• Primer mes = $ 1 050 000
• Segundo mes y siguientes = opera un incremento del 2 % hasta el mes 36, (gradiente geométrico, donde k % = 2 %)
Valor residual o de mercado = $ 6 000 000
TIO % del inversionista = 30 % anual
Interrogantes planteados
Determinar si el inversionista debe llevar a cabo el proyecto o no, utilizando el concepto del VAN (i %), sabiendo que su objetivo es obtener en tiempo presente una utilidad superior al 15 % VP (total de las inversiones).
Solución del problema
El problema puede ser resuelto planteando un diagrama de flujo de caja que refleje los datos del problema, considerando que el valor de mercado del proyecto se debe incorporar al diagrama como un flujo de ingreso proyectado al final del proyecto por un valor de $ 6 000 000. Debe, igualmente, identificarse que se tiene una inversión inicial de $ 10 000 000 y una reinversión, a los doce meses, de $ 5 000 000 que, llevada a valor presente y consolidada con la inversión inicial, entrega el valor presente de las inversiones.
Para la TIO % del inversionista o tasa de descuento del 30 % anual se encuentra su tasa de interés equivalente mensual, pues los flujos proyectados tienen periodicidad mensual:
Se plantea entonces la equivalencia entre las tasas de descuento, obteniéndose lo siguiente:
Y despejando para la variable tasa de descuento mensual, se tiene que:
El objetivo del inversionista reside en obtener, en tiempo presente, una utilidad superior al 15 % VP (total de las inversiones), esto es:
El VAN (2,21 %) = VP (ingresos) − VP (egresos) = ?
Aplicamos las fórmulas correspondientes y el resultado es el siguiente:
Ahora:
Análisis y conclusión
Obtenida la respuesta del VAN (2,21 %) para el proyecto analizado, su valor es de $ 2 302 416,45 que supera al valor de referencia correspondiente al 15 % del valor presente del total de las inversiones, esto es, a $ 2 076 923,08. Esto permite concluir que el inversionista debe llevar a cabo el proyecto, pues este reporta una rentabilidad superior a la expectativa del 15 % del valor presente del total de las inversiones.
Rentabilidad total y rentabilidad real de una inversión en moneda extranjera
Contexto
En el contexto de las matemáticas financieras, si un flujo de caja de una inversión está dado en pesos corrientes o inflados (con inflación implícita), su análisis debe realizarse con una tasa de interés o de descuento que contenga la inflación, esto es, con una tasa inflada. Mientras que, si el flujo de efectivo está dado en pesos constantes, su análisis debe hacerse con una tasa que no contenga la inflación, es decir, con una tasa deflactada o libre de inflación.
En consecuencia, puede establecerse una relación entre las tasas de interés inflada, deflactada y la tasa de inflación, que permita determinar para una inversión particular su tasa de rendimiento real o su tasa de rendimiento libre de inflación. Esta relación planteada permite manejar el concepto de las tasas compuestas de interés, que es diferente al concepto de la tasa de interés compuesto. Las tasas compuestas, como sabemos, son el resultado de la aplicación simultánea de dos tasas que operan en condiciones diferentes.
Planteamiento del problema
Se requiere hallar la rentabilidad total y la rentabilidad real de un inversionista residente en Colombia, quien decide invertir en los Estados Unidos la suma de 10 000 USD, los cuales se convertirán en 12 000 USD al cabo de dos años. Si se dispone de la siguiente información, halle las rentabilidades solicitadas en moneda extranjera y en moneda local.
1. Devaluación constante del peso colombiano frente al dólar = 0,998879 % mensual equivalente.
2. Tasa de cambio actual: 1 USD = 2850 COP.
3. Tasa de inflación esperada equivalente para cada año en Colombia = 1,347517 % trimestral.
4. Tasa de inflación esperada equivalente para cada año en Estados Unidos = 3 % anual.
Datos del problema
Inversión inicial = 10 000 USD
Inversión a los dos años = 12 000 USD
Tasa de cambio actual: 1 USD = 2850 COP
Tasa de devaluación (COP | USD) = 0,998879 % mensual equivalente
Tasa de inflación de Colombia = 1,347517 % trimestral
Tasa de inflación de Estados Unidos = 3 % anual
Interrogantes planteados
¿Cuál es la rentabilidad total y cuál la rentabilidad real de esta inversión hecha en USD y en COP?
Solución del problema
El problema puede ser resuelto tanto en moneda extranjera (USD), como también trasladando los flujos en moneda extranjera a flujos en moneda local (COP). Se plantea entonces la ecuación en moneda extranjera FVn = PV0(1 + i)n para determinar la tasa de rentabilidad total en USD. De esta manera:
Despejando la ecuación, el valor de la rentabilidad total en USD es:
Con el uso de la identidad que permite llevar la rentabilidad en USD a una rentabilidad equivalente en COP, se tiene lo siguiente:
Para resolver esta ecuación es necesario disponer de la tasa efectiva anual equivalente para la devaluación esperada, con lo que es necesario realizar la respectiva equivalencia de tasas:
Despejando la ecuación, el valor de la ieff DEV = 12,667496 %
De esta manera:
En consecuencia, la rentabilidad total en pesos resulta de:
Ahora para determinar la rentabilidad real en USD y en COP se requiere considerar el valor de la tasa de inflación en cada caso y aplicar la identidad respectiva para despejar la tasa de interés real correspondiente. Veamos:
Rentabilidad real en USD:
Resolviendo la ecuación se llega a que la rentabilidad real en USD (libre de inflación) es igual a:
Rentabilidad real en COP:
Pero la tasa de inflación trimestral debe llevarse a una tasa de inflación anual equivalente. Así,
Despejando la ecuación se tiene que la tasa de inflación anual equivalente es de:
De esta manera:
Resolviendo la ecuación se llega a que la rentabilidad real en COP (libre de inflación) es igual a
Análisis y conclusión
Bien sea que el análisis se lleve a cabo en moneda extranjera o en moneda local, convirtiendo con la tasa de cambio los flujos inicial y final de USD a COP, o trabajando a través de la ecuación de valor que permite aplicar el concepto de las tasas compuestas de interés o tasas combinadas, con la incorporación de la tasa de devaluación equivalente, es posible determinar tanto las rentabilidades totales como las rentabilidades reales en ambas monedas.
Lo importante en este problema es identificar dónde reside el inversionista para comprender que su moneda predominante determina la tasa de rentabilidad y que para la otra moneda basta solo con obtener las equivalencias respectivas. El concepto de rentabilidad real aplica de igual forma en cada moneda. El único requisito es disponer de la tasa de inflación equivalente de cada país y trabajar con tasas periódicas expresadas en la misma periodicidad, en términos efectivos anuales para este caso.
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La administración financiera contemporánea parte de un objetivo básico que guía la toma de decisiones en los negocios: el aumento del valor de la compañía para sus accionistas. Por ello, la alta dirección y la gerencia financiera, actuando en representación de sus inversionistas, tienen la tarea de obtener los recursos de financiación que esta necesita, y encaminarlos a proyectos de inversión que aumenten su riqueza y los beneficios que generan. Parte de estas decisiones requieren del análisis de manera detallada del funcionamiento, valuación y uso de los instrumentos para la captación de recursos del público (títulos de renta fija y de renta variable), y su utilización en decisiones de inversión, a través de la elaboración de presupuestos de capital, así como la determinación del costo y estructura óptima de capital. Para ello se requiere la aprehensión de conceptos fundamentales, tales como el flujo de efectivo, el valor presente neto, la relación entre riesgo y rendimiento y la eficiencia del mercado de capitales. El desarrollo de este capítulo contribuirá al entendimiento de los efectos de las decisiones de inversión y financiación en las organizaciones para la toma de decisiones en contextos cada vez más complejos.
Valoración de instrumentos de renta fija
Contexto
De acuerdo a la evolución de los mercados financieros y a la importancia de la negociación de títulos de renta fija dentro de las actividades de inversión y financiación al interior de los mercados mundiales, es vital entender lo que es un instrumento de renta fija, cuáles son sus características y saber cómo valorarlo. Un instrumento de renta fija es una emisión de deuda realizada por una entidad o por el estado con fines de financiación. En Colombia los instrumentos de renta fija más importantes son los TES, los cuales son bonos emitidos por el Gobierno nacional y están totalmente respaldados por la nación (por lo cual se consideran que no tienen riesgo de default) y cuyo fin es financiar las actividades de dicho organismo. Los valores de renta fija pueden ser adquiridos en el mercado primario o secundario y se caracterizan porque:
1. Otorgan a su poseedor el derecho contractual de recibir rendimientos periódicos, así como el valor del principal (valor nominal del título) al vencimiento.
2. Los rendimientos recibidos son iguales durante la vida útil del instrumento y son calculados de acuerdo a una tasa facial acordada desde el momento de la emisión.
3. Tienen un vencimiento.
4. Son títulos negociables.
La valoración de los instrumentos de renta fija se realiza calculando el valor presente de la serie de flujos futuros esperados en una fecha focal o fecha de valoración, utilizando para ello una tasa de negociación o tasa de rendimiento requerida.1
Planteamiento del problema
El 28 de marzo de 2009 el banco Davivienda emitió 300 000 bonos ordinarios al público con valor nominal unitario de $ 1 350 000 y una maduración de 10 años. La tasa facial ofrecida es del IPC + 4, con una periodicidad de pago de cupones trimestral.
Datos del problema
Clase de valor ofrecido: bonos ordinarios
Fecha de emisión: 28 de marzo de 2009
Fecha de vencimiento: 28 de marzo de 2019
Base: 365 días
Valor nominal por título: $ 1 350 000
Cantidad de bonos ofrecidos: 300 000
Tasa facial: IPC + 4[2]
Periodicidad de pago: trimestral
Modalidad de oferta: oferta pública
Interrogantes planteados
1. Teniendo en cuenta una TIO del 14% EA, ¿cuál sería el precio de mercado de un título al momento de la emisión?
2. Si se decide comprar 500 bonos el 28 de junio de 2012 por valor de $ 1 280 000 y se espera venderlos el 28 de septiembre de 2017, ¿cuál es el valor de venta si se espera obtener una rentabilidad durante la tenencia de 12 % EA?
Solución del problema
Primero se deben calcular las tasas equivalentes trimestrales vencidas de la tasa facial (IPC + 4) del bono, así como de la tasa de interés de oportunidad (14%) del inversionista. Teniendo en cuenta que la tasa facial es una tasa compuesta, se debe indexar y luego convertir a una tasa trimestral vencida para poder hallar el valor de los cupones. Después de esto, por medio de la fórmula de anualidad vencida modificada, se calcula el valor presente del bono en la fecha focal (fecha de emisión). No se debe olvidar que las tasas para valorar títulos deben ser periódicas y vencidas de acuerdo a la periodicidad de pago de los cupones, no se deben utilizar tasas nominales.
Tasa cupón:
Tasa de descuento
Valoración
Para la solución del segundo interrogante es necesario conocer el número de cupones que tengo derecho a recibir, los cuales se determinan calculando el tiempo que hay entre la fecha de compra y la fecha de venta. La fecha focal es la fecha de compra.
Durante el tiempo de tenencia del título se tiene derecho a recibir 21 cupones (figura 2.1).
Figura 2.1. Diagrama de flujo del ejercicio.
Fuente: elaboración propia.
Conversión de la tasa de rentabilidad
Plantear ecuación de valor
Análisis y conclusión
Sabiendo que la tasa de mercado vigente en el momento de la emisión de los bonos era mayor a la tasa facial, los títulos se negociaban con descuento, lo que significa que teniendo en cuenta las condiciones del mercado en ese momento, los agentes no estaban dispuestos a pagar $ 1 350 000 para adquirir el bono. Es importante mencionar que la relación entre la tasa facial y la tasa de descuento define cómo se negocia el bono (a la par, con descuento o con prima). Para el segundo punto, es importante tener en cuenta las variables necesarias para valorar un título y, de acuerdo a la rentabilidad impuesta por los inversionistas, determinar el valor de venta.
Valoración de instrumentos de renta variable
Contexto
De acuerdo a la evolución de los mercados financieros y a la importancia de la negociación de títulos de renta variable dentro de las actividades de inversión y financiación en los mercados mundiales, se hace necesario comprender lo que es un instrumento de renta variable, cuáles son sus características y cómo valorarlos.
Un instrumento de renta variable se caracteriza porque los flujos futuros asociados a este son desconocidos para el emisor e inversor al momento de la emisión o la compra, además de que no son fijos a través del tiempo. Los tenedores de instrumentos de renta variable (acciones comunes) participan de las utilidades de la empresa emisora. El monto a recibir por concepto de dividendos depende de las utilidades generadas por la compañía en cada periodo, así como también de las decisiones de la junta de accionistas con respecto a la decisión de entregar dividendos o capitalizarlos. En este orden de ideas, al no tener conocimiento de las utilidades que una empresa generará a futuro, se está sujeto a un riesgo de mercado y liquidez altos y, por ende, de acuerdo a la relación riesgo-rendimiento, la tasa de rendimiento mínima requerida también es alta en comparación con los instrumentos de renta fija.
La valuación de acciones comunes no es diferente a la valuación de otro tipo de instrumento financiero, como los bonos y las acciones preferentes. El procedimiento básico supone descontar la serie de flujos de efectivo esperados que se recibirán por mantener las acciones comunes, no obstante, esto es un poco complejo por los motivos que a continuación se exponen:
1. Los flujos esperados adquieren dos formas: los pagos de dividendos y/o los cambios en el precio de las acciones, que corresponden a pérdidas o ganancias de capital.
2. El comportamiento de los flujos esperados son inciertos por cuanto estos dependen de las utilidades generadas por la compañía emisora de los títulos, lo que hace que el método de valuación incluya varios supuestos y estimaciones.
Uno de los métodos de valuación de acciones empleado es el de valuación de dividendos con crecimiento no constante, el cual consiste en descontar a la fecha de valoración los dividendos anuales, los cuales aumentan de acuerdo a tasas variables y en un punto dado crecen a una tasa constante hasta la perpetuidad.
Planteamiento del problema
Una empresa paga actualmente un dividendo de $ 1,20 por acción. El dividendo anual se incrementará en un 3 %, 4 % y 5 %, respectivamente, durante los próximos tres años y de allí en adelante en un 6 % por año. La tasa de descuento es del 11 % anual. ¿Cuál es el precio actual de la acción?
Datos del problema
Clase de valor ofrecido: acciones comunes
Modelo de valuación de dividendos con crecimiento no constante
D0 = $ 1,20
g1 = 3 % − primer año
g2 = 4 % − segundo año
g3 = 5 % − tercer año
g4 = 6 % − cuarto año y siguientes
Tasa de descuento: 11 %
P0 =?
Interrogantes planteados
¿Cuál es el P0 de la acción?
Solución del problema
Primero se deben determinar los dividendos para los años 1, 2 y 3 teniendo en cuenta las tasas de crecimiento dadas.
D0: 1,2
Tasa de descuento: 11%
Segundo, determinar el VP de los dividendos, utilizando la tasa de descuento del 11 %.
D0: 1,2
Tasa de descuento: 11%
Hallar el valor presente del precio esperado de las acciones para el final del periodo de crecimiento no constante:
Para el ejercicio se debe determinar el P3 así:
D4 = 1,43069
Ke = 11 %
g4 = 6 %
P3 = 28,61389
El VP del P3 = 20,92223
4. La suma de los VP $ = 3,1437 + 20,92223 = 24,06594
P0 = 24,06594
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