Kitabı oku: «Ecuaciones diferenciales»

Capítulo 1
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1 Conceptos básicos

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una función desconocida y una o más de sus derivadas. Si la función tiene śolo una variable independiente, las derivadas serán ordinarias y la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo,

es una ecuación diferencial ordinaria en la que y = y(x) es una función diferenciable de x. Si la función tiene dos o más variables independientes, las derivadas serán parciales y la ecuación en este caso se llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo,

es una ecuación en derivadas parciales, donde u = u(x, y, z) es una función derivable en las variables x, y y z. En este libro estudiamos solamente ecuaciones diferenciales ordinarias.

Además del tipo (ordinarias o parciales), las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por orden y por grado. El orden de la ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada que aparece en la ecuación. El grado de una ecuación diferencial es la potencia más alta a la que está elevada la derivada de mayor orden (siempre que la ecuación esté escrita en forma polinómica en cuanto a las derivadas y a la variable dependiente). Por ejemplo, la ecuación 1.1.1 es de orden 2 y grado 1, mientras que la ecuación

y″ − x sen y = 0

es de orden 2, pero no se le asigna grado alguno, ya que el término sen y no se puede escribir en forma polinómica.

Otro concepto importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales es el de la linealidad o no linealidad. La ecuación diferencial

F(x, y, y′, . . . , y⁽ⁿ⁾) = 0

se llama lineal si F es una función lineal de las variables y, y′, . . . , y⁽ⁿ⁾. Así, la forma general de una ecuación lineal de orden n puede escribirse como

Observe que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por lo siguiente:

a) La función y y sus derivadas están elevadas a la potencia 1, es decir, son de primer grado.

b) Cada coeficiente depende de la variable independiente.

Si una ecuación diferencial no cumple lo anterior, se dice que la ecuación es no lineal. Si en la ecuación 1.1.3, h(x) = 0, la ecuación diferencial se llama homogénea; en caso contrario, es no homogénea.

Ejemplo 1.1.1. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado (cuando tenga sentido) y linealidad.

1. y′ + 4y = x³ + 5

2. (y′′′)² − 6y = 3

Solución

1. Ordinaria, orden 1, grado 1, lineal

2. Ordinaria, orden 3, grado 2, no lineal

3. Ordinaria, orden 4, lineal

4. Ordinaria, orden 2, grado 3, no lineal

5. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal

6. Ordinaria, orden 3, no lineal

7. Parcial, orden 1, lineal

8. Parcial, orden 2, lineal

Note que en algunos casos el grado no tiene sentido.

En general, una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente o función desconocida, y y⁽ⁿ⁾ es la derivada n–ésima de y con respecto a x.

Supondremos que siempre es posible despejar la derivada de más alto orden en una ecuación diferencial ordinaria dada, obteniendo

Debido a que una ecuación de la forma 1.1.4 puede representar más de una ecuación de la forma 1.1.5, śolo estudiaremos ecuaciones de esta última forma. Por ejemplo, la ecuación

y(y′)² − 2xy′ + y = 0

representa dos ecuaciones diferentes

Una función y = u(x), definida en un intervalo I, es una solución de la ecuación diferencial 1.1.5, si existen las n derivadas u′, u″, . . . , u⁽ⁿ⁾ en el intervalo I, y satisface

u⁽ⁿ⁾(x) = G (x, u(x), u′(x), . . . , u⁽ⁿ⁻¹⁾(x))

para cada x ∈ I.

Ejemplo 1.1.2. La función y = e^3x es una solución de la ecuación diferencial

y″ − 5y′ + 6y = 0.

En efecto, y′= 3e^3x y y″= 9e^3x; luego,

y″ − 5y′+ 6y = 9e^3x − 15e^3x + 6e^3x = 0

para cada x ∈ ℝ. De otro lado, la función

no es solución de la ecuación diferencial para todo x ∈ ℝ, debido a que la función es discontinua en x = 0 y por lo tanto, la derivada en x = 0 no existe (compruébelo). Se puede ver fácilmente que cada tramo de la función por separado sí es solución.

Podemos comprobar asimismo que y = 4e^3x y y = 10e^3x son también soluciones de la misma ecuación diferencial. Es más, las funciones y = ce^3x, donde c es una constante o parámetro, son todas soluciones. Una solución de este tipo, que contiene una o más constantes arbitrarias, se llama solución general de la ecuación diferencial. Si asignamos valores específicos a las constantes, se obtiene una solución particular. Hay algunos casos en los cuales una ecuación diferencial tiene una solución que no puede obtenerse dando valores específicos a las constantes; a este tipo de soluciones se las denomina solución singular.

Observación 1.1.1. Por lo común, una ecuación diferencial de orden n tiene una solución general en la que figuran n constantes arbitrarias.

Ejemplo 1.1.3. Para la ecuación diferencial y′ = 3y^2/3, y = (x+c)³ es la solución general, como se puede comprobar por derivación directa. Mientras que y = (x − 2)³ es una solución particular. Existe otra solución, y = 0, que no puede obtenerse de la solución general con ninguna selección de la constante c, de modo que no es una solución particular; en consecuencia, la función y = 0 es una solución singular.

La solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas (curvas solución o curvas integrales), una por cada valor asignado a la constante arbitraria. Por ejemplo, la ecuación diferencial

xy′+ y = 0

tiene por solución general la familia de curvas xy = c.

La Figura 1.1 muestra algunas de las curvas integrales correspondientes a distintos valores de c.

Figura 1.1. Familia de curvas de xy = c

Especificar una solución particular es equivalente a mostrar una curva integral particular de la familia obtenida. En la práctica esto se logra prescribiendo un punto (x₀, y₀) a través del cual debe pasar la curva integral, es decir, buscar una solución y = u(x) tal que y₀ = u(x₀). Tal condición se llama condición inicial. También podemos escribir y = y₀ cuando x = x₀. Pero en la práctica es común expresar la condición inicial en la forma y(x₀) = y₀. Una ecuación diferencial de primer orden junto con una condición inicial se llama problema de valor inicial.

Por ejemplo, la ecuación diferencial

xy′+ y = 0

con la condición inicial y(2) = 2 forma un problema de valor inicial. Si queremos obtener la solución particular que satisface la condición inicial dada, sustituimos esta condición en la solución general xy = c y obtenemos c = 4; en consecuencia, la solución particular es y = 4/x.

El resto del capítulo lo dedicaremos al estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden

donde f es una función definida sobre alguna región Ω del plano xy.

Antes de discutir algunas técnicas analíticas para resolver ciertas ecuaciones diferenciales, es a menudo deseable saber si un problema de valor inicial tiene solución, y, si la tiene, determinar si es única. Enunciaremos a continuación un importante teorema que da condiciones suficientes para la existencia de soluciones únicas.

Teorema 1.1.1 (Existencia y unicidad). Dado el problema de valor inicial

si f y son funciones continuas en un rectángulo Ω = {(x, y) : a < x < b, c < y < d} que contiene al punto (x₀, y₀). Entonces, existe una única solución u del problema de valor inicial en algún intervalo x₀ − δ < x < x₀ + δ, donde δ es un número positivo.

En otras palabras, el teorema anterior afirma que si f(x, y) se comporta suficientemente bien cerca del punto (x₀, y₀) (continuidad y diferenciabilidad), la ecuación diferencial

tiene una solución que pasa por el punto (x₀, y₀), y además dicha solución es única.

Gráficamente, el problema dice que hay śolo una curva solución que pasa por el punto (x₀, y₀). Desafortunadamente, el teorema no proporciona información respecto a ćomo encontrar la solución, o ćomo determinar el intervalo abierto en el cual existe.

Figura 1.2. Teorema de existencia y unicidad

Las condiciones enunciadas en el Teorema 1.1.1 son suficientes pero no necesarias. Esto es, si f y son continuas en un rectángulo Ω, siempre existe una solución única al problema de valor inicial

Pero si las condiciones dadas en el Teorema 1.1.1 no se cumplen, el problema de valor inicial puede tener solución única, infinitas soluciones o no tener solución. Los siguientes ejemplos ayudan a esclarecer este comentario.

Ejemplo 1.1.4. Considere el problema de valor inicial

y′= y, y(x₀) = y₀.

Como f(x, y) = y y su derivada parcial f_y(x, y) = 1 son funciones continuas para todo (x, y), el Teorema 1.1.1 implica que si (x₀, y₀) es arbitrario, entonces el problema de valor inicial dado tiene solución única en algún intervalo abierto que contenga a x₀.

Ejemplo 1.1.5. Considere el problema de valor inicial

En este caso, f(x, y) = y/ y su derivada parcial f_y(x, y) = 1/ son ambas funciones continuas, excepto para x = 0 (el eje y). Como x₀ = 2 y y₀ = 3, podemos tomar como rectángulo Ω el cuadrado de lado 1 con centro el punto (2, 3), el cual no contiene al eje y. En consecuencia, el Teorema 1.1.1 garantiza la existencia de una solución única definida en un intervalo abierto suficientemente pequeño alrededor de x₀ = 2. Si consideramos la misma ecuación diferencial, pero con la condición inicial y(0) = 3, entonces en este caso ni f ni f_y son continuas en (0, 3); luego, este punto no puede pertenecer a un rectángulo Ω donde se satisfagan las hipótesis del Teorema 1.1.1. Sin embargo, no podemos afirmar que este último problema de valor inicial no tenga solución; lo que simplemente ocurre es que el Teorema 1.1.1 no da información alguna.

Ejemplo 1.1.6. Considere ahora el problema de valor inicial

La función f(x, y) = 2 es continua en toda su extensión, pero la derivada parcial

es discontinua para y = 0, y por lo tanto en el punto (0, 0). Se puede comprobar que este problema de valor inicial tiene dos soluciones diferentes: y(x) = 0 y y(x) = x². Por lo tanto, el hecho de que f_y no sea continua en 0 no implica necesariamente la no existencia de una solución. Lo que afirma el Teorema 1.1.1 es que cuando se satisface la prueba de la derivada parcial, existe una única solución que pasa por el punto (x₀, y₀).

1.1.1 Ejercicios

En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la ecuación diferencial es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, e indique su orden y grado (cuando tenga sentido).

1. y′+ 5xy = x

2. y″+ 2y′+ 6y = 1 + e^x

3. y″+ 3y′+ 8y² = 0

4. yy′+ 3x = e^2x

5. y″+ 3 sen y = x²

14. y′′′+ x³y′ − (cos² x)y = x² + 1

En los siguientes ejercicios, determine si la correspondiente función representa una solución de la ecuación diferencial dada.

Encuentre la solución particular que satisface y(2) = 2

21. xy′ − 3y = 0, y = cx³

Encuentre la solución particular que cumple y(−3) = 2.

22. xy′+ y = 0, y = c/x

Encuentre la solución particular que satisface y(1) = 2

23. y″+ 9y = 0, y = c₁sen 3x + c₂ cos 3x

Encuentre la solución particular que satisface y(π/6) = 2 y y′(π/6) = 1

24. xy″+ y′= 0, y = c₁ + c₂ ln x

Encuentre la solución particular que cumple y(1) = 5 y y′(1) = 1/2

En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si el Teorema de existencia y unicidad garantiza o no la existencia y unicidad de una solución para el problema de valor inicial dado.

1.2 Separación de variables

La ecuación diferencial de primer orden

se puede escribir de manera equivalente en la forma diferencial

En el caso particular que M(x, y) = M(x) y N(x, y) = N(y), la ecuación 1.2.1 se reduce a la forma

y decimos que la ecuación es de variables separables. Ésta es la técnica más simple para resolver una ecuación diferencial de primer orden.

La solución general es obtenida por integración directa:

donde c es una constante arbitraria. En efecto, si y = u(x) es una solución de 1.2.2, entonces

Si M y N son funciones continuas, podemos integrar directamente para obtener

escribiendo la segunda integral en términos de y nuevamente, obtenemos la solución deseada.

Ejemplo 1.2.1. Resuelva el problema de valor inicial

Solución

Al separar variables, obtenemos xdx + ydy = 0; integrando obtenemos

o de manera equivalente x² + y² = c², donde c² = 2c₁. La solución está dada en forma implícita en términos de x. Si despejamos y, obtenemos la solución en forma explícita, esto es, y = ±, si |x| ≤ c. De estas dos soluciones escogemos y = , la cual satisface la condición inicial y(0) = 1, y en consecuencia, c = 1. Por lo tanto, la solución particular buscada es y = , con |x| ≤ 1.

Ejemplo 1.2.2. Resuelva el problema de valor inicial

(x² + 1)y′+ y² + 1 = 0, y(0) = .

Solución

Al separar variables obtenemos

integrando obtenemos

arctan y + arctan x = c.

Tomando la tangente de cada miembro, y teniendo en cuenta que tan(arctan α) = α y usando la identidad

llegamos a la ecuación

ahora, cuando x = 0, y = , y al sustituir en la última ecuación obtenemos k = ; en consecuencia, la solución particular es

o en forma equivalente,

la cual corresponde a la solución particular pedida.

Ejemplo 1.2.3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial

(x² + 9)y′= 2xy,

o en forma equivalente

(x² + 9)dy = 2xydx.

Solución

Dividimos por (x² + 9)y a fin de obtener

integrando obtenemos

ln |y| = ln(x² + 9) + c₁.

En este caso resulta más conveniente poner c₁ = ln |c| y escribir

ln |y| = ln(x² + 9) + ln |c| = ln |c(x² + 9)|,

con lo cual obtenemos la solución y = c(x² + 9).

Ejemplo 1.2.4. Resuelva la ecuación diferencial

Solución

Al separar variables obtenemos

Integrando obtenemos

Ejemplo 1.2.5. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial

2xy(1 + y²)dx − (1 + x²)dy = 0.

Solución

Separamos las variables dividiendo la ecuación por y(1 + y²)(1 + x²) y llegamos a la ecuación

integrando y simplificando obtenemos

La segunda integral se resolvió aplicando fracciones parciales:

o en forma equivalente, A(1 + y²) + (B + Cy)y = 1, de donde A = 1 (término independiente), B = 0 (coeficiente de y) y A + C = 0 (coeficientes de y²). Así, A = 1 y C = −1. En consecuencia,

Si ponemos la constante c₁ = ln c, en la ecuación (*), y aplicamos propiedades de los logaritmos, se tiene entonces

Ésta es una solución general implícita de la ecuación diferencial dada.

Nota 1.2.1. La transformación de una ecuación diferencial en otra que tiene las variables separadas puede involucrar divisiones por cero. Como nuestro objetivo es que el estudiante adquiera destreza en las técnicas para obtener soluciones de ecuaciones diferenciales, es aconsejable ignorar un poco este molesto hecho. Sin embargo, en problemas que surgen de situaciones reales, es deseable un análisis completo además de una investigación de las soluciones en esos valores para los cuales una división por cero se pudo haber hecho.

En el siguiente ejemplo hacemos este análisis.

Ejemplo 1.2.6. Resuelva la ecuación diferencial

xdy − (y + 1)dx = 0.

Solución

Al dividir por x(1+y), la ecuación se transforma en una de variables separables

al integrar obtenemos

ln |1 + y| − ln |x| = ln |c|,

o equivalentemente

1 + y = cx.

Ahora bien, x(1 + y) = 0 en x = 0 y y = −1. En x = 0, la solución es 1 + y = 0; y en y = −1, la solución es cx = 0. Si sustituimos cada condición en la ecuación diferencial dada, encontramos que ésta es satisfecha, y la solución es válida en ese punto. Observe que ambas condiciones producen el mismo punto (0, −1).

1.2.1 Ecuaciones que se reducen a separables

No todas las ecuaciones diferenciales de primer orden son de variable separable. Sin embargo, algunas que no lo son pueden hacerse separables mediante un cambio de variable. Esto es válido para ecuaciones diferenciales de la forma

Estas ecuaciones se llaman homogéneas. La ecuación diferencial de primer orden y′= f(x, y) es homogénea si f(x, y) se puede escribir como g(y/x), donde g = g(u) es una función de una sola variable. Por ejemplo,

es homogénea, puesto que g(u) = u² + u − 1, donde u = y/x.

Si hacemos las sustituciones

entonces la ecuación 1.2.3 se transforma en la ecuación

la cual es separable. Se resuelve esta última ecuación, y reemplazando u = y/x, obtenemos la solución general de 1.2.3. Note también que podemos hacer la sustitución u = x/y y luego proceder de manera igual.

Observación 1.2.1. Antes de continuar, es bueno hacer la siguiente aclaración: la definición de ecuación homogénea dada aquí no es la misma que la definición dada en la Sección 1.4.1, donde dijimos que la ecuación lineal es homogénea (véase 1.1.3) si h(x) = 0. Fuera de esta sección, cuando hablemos de homogénea, es en el último sentido.

Ejemplo 1.2.7. Resuelva la ecuación diferencial

2xyy′+ x² = y².

Solución

Para transformar esta ecuación en otra que tenga la forma y/x, dividimos por x². La ecuación diferencial resultante es

Con las sustituciones descritas más arriba,

u = y/x, y = ux, y′= u + xu′,

llegamos a la ecuación

2u(u + xu′) + 1 = u²,

y al separar variables obtenemos

Integrando

obtenemos ln(1 + u²) + ln |x| = ln c, o de manera equivalente (1 + u²)x = c. Como u = y/x, obtenemos finalmente

Esta es una solución general implícita de la ecuación diferencial dada.

Ejemplo 1.2.8. Resuelva el problema de valor inicial

Solución

Si dividimos esta ecuación por x obtenemos

Como en la condición inicial x = 1, entonces consideramos x > 0, y así, x = . En consecuencia,

Haciendo la sustitución obtenemos

de donde

Separamos variables:

Después de realizar las integrales obtenemos

sen⁻¹ u = ln x + c.

Como u = y/x, entonces la solución general de la ecuación diferencial es

Para determinar el valor de la constante c, utilizamos la condición inicial y = 0 cuando x = 1, con lo cual obtenemos que c = 0, y por lo tanto,

y = x sen(ln x)

es la solución particular de la ecuación diferencial dada.

1.2.2 Ejercicios

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación diferencial dada.

1. y′= (1 + x) (1 + y²)

2. xln xdy − ydx = 0

3. sen 2x dy = y cos 2x dx

4. (1 − cos θ) dr = r senθ dθ

30. Demuestre que una ecuación diferencial de la forma

y′= f (ax + by + c)

puede reducirse a una ecuación separable haciendo

u = ax + by + c.

31. Demuestre que si ps − qr ≠ 0, entonces existen constantes h y k tales que las sustituciones x = u + h y y = v + k transforman la ecuación diferencial

en la ecuación

Utilice el ejercicio 31 para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1.3 Ecuación lineal de primer orden

La ecuación diferencial

a(x) y′ + b(x) y = g(x)

es una ecuación lineal de primer orden, donde a(x), b(x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo I.

Si a(x) ≠ 0, la ecuación diferencial puede ser expresada en la forma estándar

donde son ambas funciones continuas en un intervalo I.

Para resolver 1.3.1, primero tratemos la ecuación homogénea

Observemos que y = 0 es una solución: se llama la solución trivial. Las soluciones no triviales pueden ser encontradas por separación de variables:

integrando se tiene

Note que si c = 0, entonces obtenemos la solución ya conocida, y = 0. Luego, 1.3.3 es válida para todo valor de c, es decir, es la solución general de 1.3.2. La solución 1.3.3 puede ser expresada también como

ye^∫p(x)dx = c.

Ahora observemos lo siguiente:

En consecuencia, si multiplicamos a ambos lados de 1.3.1 por e^∫p(x)dx, entonces la ecuación resultante la podemos escribir como

y al integrar a ambos lados tenemos

al despejar y obtenemos

Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 1.3.1. Si las funciones p(x) y q(x) son continuas en un intervalo dado I, entonces la solución general de la ecuación lineal de primer orden

y′ + p(x)y = q(x)

en I, está dada por

No es necesario memorizar la fórmula 1.3.4; en su lugar, es más fácil usar el método descrito anteriormente con el cual se obtuvo dicha fórmula en cada problema particular.

La expresión e^∫p(x)dx se llama factor de integración de la ecuación lineal de primer orden.

En resumen, para resolver una ecuación lineal de primer orden, procedemos de la siguiente manera:

Primero escribimos la ecuación en la forma

y′ + p(x)y = q(x).

Luego multiplicamos la ecuación por el factor de integración e^∫p(x)dx.

Por último, la ecuación resultante la escribimos como

Al integrar, obtenemos la solución general 1.3.4.

Note el siguiente hecho: si y_p es una solución particular de la ecuación lineal no homogénea

y′ + p(x)y = q(x)

y y_h es la correspondiente solución de la ecuación homogénea, entonces la solución general de la ecuación no homogénea está dada por

y = y_h + y_p.

Ejemplo 1.3.1. Resuelva la ecuación lineal

y′ + 3x²y = x², y(0) = 1.

Solución

La ecuación tiene la forma de 1.3.1 con p(x) = 3x² y q(x) = x². El factor de integración es

Al multiplicar la ecuación dada por e^x3 obtenemos

al integrar y despejar y llegamos a

Con las condiciones iniciales y = 1 cuando x = 0, encontramos c = 2/3; luego,

es la solución particular pedida.

Ejemplo 1.3.2. Resuelva la ecuación diferencial

x²y′ + 6xy + 4x⁴ = 0, (x > 0).

Solución

Debemos expresar la ecuación dada en la forma estándar 1.3.1; para ello dividimos por x². La ecuación resultante es

de donde p(x) = 6/x y q(x) = −4x². En consecuencia, el factor de integración es

e^{6 ∫ dx/x} = e^{ln x6} = x⁶.

Al multiplicar la ecuación por el factor de integración tenemos

como resultado de la integración, finalmente obtenemos que

es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1.3.3. Resuelva la ecuación lineal

y′ + y tan x = 2x cos x + sec x, 0 < x < π/2.

Solución

La ecuación ya está en la forma 1.3.1 con p(x) = tan x y q(x) = 2x cos x + sec x. El factor de integración es entonces

al integrar y despejar y obtenemos la solución general

y = (x² + c) cos x + sen x, 0 < x < π/2.

Ejemplo 1.3.4. Resuelva la ecuación diferencial

ydx + (x + 2xy² − 2y)dy = 0,

y dé un intervalo donde la solución general esté definida.

Solución

Expresemos la ecuación en la forma 1.3.1:

(x + 2xy² − 2y)dy = −ydx,

o de manera equivalente

esta ecuación no es lineal en la variable y, pero si tomamos la ecuación en la forma

la ecuación resultante es lineal en la variable x y puede escribirse en la forma

En este caso, p(y) = 1/y + 2y y q(y) = 2. De esto deducimos que el factor de integración para y > 0 es

Por lo tanto,

al integrar y despejar x obtenemos que

es la solución general del problema.

Ejemplo 1.3.5. Encuentre una solución continua para el problema de valor inicial

y′ + y = f(x), y(0) = 1)

donde

Solución

Es claro que f es discontinua en x = 1 (verifíquelo).

Figura 1.3. Gráfica de la función f(x) del Ejemplo 1.3.5

Debemos resolver el problema en dos partes. Para 0 ≤ x ≤1 obtenemos la ecuación

y′ + y = 1,

que es una ecuación lineal con p(x) = 1 y q(x) = 1. El factor de integración es e^∫dx = e^x. Así,

al integrar obtenemos

ye^x = e^x + c ó y = 1 + ce^−x.

Como y(0) = 1, entonces 1 = 1 + c, c = 0. Luego, y = 1 para 0 ≤ x ≤ 1.

Figura 1.4. Gráfica de la solución del Ejemplo 1.3.5

Para x > 1 tenemos

y′ + y = −1.

Después de multiplicar esta ecuación por el factor de integración, llegamos a

al integrar y despejar y obtenemos

y = −1 + ke^x, (x > 1).

De este modo podemos escribir

Ahora, para que y sea continua se debe cumplir que

pero

por lo tanto, k = 2e. Luego, la solución particular es

Esta solución es continua en x = 1, pero no es diferenciable. La gráfica de la función se puede apreciar en la Figura 1.4.

1.3.1 Ecuaciones de Bernoulli y Clairaut

En este apartado consideraremos un par de ecuaciones muy conocidas; la primera de ellas es una ecuación diferencial no lineal que se reduce a una ecuación lineal por medio de una sustitución apropiada; ésta es la Ecuación de Bernoulli

donde n ≠ 0 y n ≠ 1. Observe que si n = 0, la ecuación es lineal, y si n = 1, la ecuación es separable. Luego presentaremos un método para resolver otra ecuación diferencial particular, que suele llamarse la Ecuación de Clairaut.

Para resolver la ecuación 1.3.5, la multiplicamos por y⁻ⁿ

Ahora, si hacemos z = y¹⁻ⁿ, entonces

z′ = (1 − n)y⁻ⁿy′,

o de forma equivalente . Sustituyendo en 1.3.6 obtenemos

la cual es una ecuación lineal en la variable z.

Ejemplo 1.3.6. Resuelva la ecuación diferencial

y′ + xy = xy⁻³e^−x2.

Solución

Vemos que esta es una ecuación de Bernoulli en la cual n = −3. Al multiplicarla por y³ obtenemos

y³y′ + xy⁴ = xe^−x2;

haciendo z = y⁴ obtenemos entonces

De donde,

de acá,

z′ + 4xz = 4xe^−x2;

ésta es una ecuación lineal en z, con p(x) = 4x y q(x) = 4xe^−x2. El factor de integración es

e^{4 ∫ xdx} = e^2x2.

Entonces,

y al integrar, obtenemos e^2x2 z = 2e^x2 + c

z = 2e^−x2 + ce^−2x2.

Al reemplazar z, llegamos a

y⁴ = 2e^−x2 + ce^−2x2.

Ecuación de Clairaut

La ecuación diferencial de la forma

y = xy′ + f(y′) (*)

se llama Ecuación de Clairaut. Para resolverla, derivamos a ambos lados con respecto a x :

y′= y′ + xy″ + f′(y′)y″,

donde el último término resulta de la regla de la cadena. Cancelando términos semejantes, obtenemos

y″(x + f′(y′)) = 0.

Como cada uno de los términos debe anularse, entonces resultan dos soluciones diferentes.

1. Si y″= 0, entonces y′ = c, donde c es una constante. Sustituyendo este valor en (*), obtenemos la solución general

y = cx + f(c),

que representa una familia de rectas.

2. Si x + f′(y′) = 0, entonces obtenemos que x = −f′(y′), y por lo tanto la ecuación (*) puede representarse como

y = −y′f′(y′) + f(y′).

En este caso x y y se expresan en términos de y′. En consecuencia, si hacemos y′= t, obtenemos

x = −f′(t).

y = f(t) − tf′(t).

La curva representada por estas dos ecuaciones paramétricas también es solución de la ecuación (*); esta solución es una solución singular de dicha ecuación.

Ejemplo 1.3.7. Resuelva la ecuación diferencial

xy′ − y = e^y′.

Solución

Derivemos ambos lados con respecto a x :

y′ + xy″ − y′ = y″e^y′,

a partir de lo cual concluimos que y″(x−e^y′) = 0; si igualamos cada factor a cero, obtenemos que:

1. Si y″ = 0, entonces y′ = c. Luego, la solución general es

y = cx − e^c.

2. Si x − e^y′ = 0, haciendo y′ = t para obtener la curva paramétrica x = e^t,

y = te^t − e^t = e^t(t − 1);

esta última es la solución singular.

1.3.2 Ejercicios

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación diferencial dada, y dé un intervalo I en el cual la solución esté definida. Cuando se dé una condición inicial, encuentre la solución particular que la satisface.

1. xy′ + 2y = 8x²

2. ydx + (3x − xy + 2)dy = 0

3. y′ = x − 2y cot 2x

23. y′ + 2xy = 1, y(0) = 1

24. 2xy′ = y + 2x cos x, y(1) = 0

25. y″ + 3y′ = 2

26. y″ − a²y = 0, donde a es constante

27. xy″ + 2y′ = 6x

28. yy″ = (y′)², donde y y y′ son positivos

29. y″ − (y′)² = 0, donde y y y′ son positivos

30. y″ = 2y(y′)³

31. La ecuación diferencial

y′ = a(x)y² + b(x)y + c(x)

se llama Ecuación de Ricatti. Suponga que se conoce una solución particular y₁(x) de esta ecuación. Demuestre que las sustituciones

a) la transforma en la ecuación lineal u′ + (b + 2ay₁)u + a = 0.

b) y = y₁ + u la transforma en la Ecuación de Bernoulli

u′ = (b + 2ay₁)u + au².

32. Resuelva la ecuación diferencial y′ = 1 − 2xy + x² + y², si y₁ = x es una solución de la ecuación.

Encuentre la solución general y la solución singular de cada ecuación dada.

33. y = xy′ + ln y′

35. (y − xy′)² − (y′)² = 1

36. y = xy′ − (y′)³

37. Demuestre que la ecuación

y = y′ tan x − (y′)² sec² x

se reduce, con la sustitución z = sen x, a la Ecuación de Clairaut. Resuelva la ecuación resultante.

1.4 Ecuaciones diferenciales exactas

En esta sección introducimos un método de resolución de la ecuación diferencial de primer orden

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

en el caso especial que dicha ecuación representa la diferencial exacta de una función. Recordemos que la diferencial total de una función z = u(x, y) está dada por

Cuando una expresión es la diferencial total de alguna función de x y y, se llama diferencial exacta.

Frecuentemente usaremos subíndices para denotar las derivadas parciales, esto es, u_x(x, y) = .

Definición 1.4.1. La ecuación diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

es exacta si existe una función u = u(x, y) tal que

Para probar que una ecuación diferencial dada es exacta, el siguiente teorema da un criterio para determinar la exactitud.

Teorema 1.4.1. La ecuación diferencial

es exacta si y sólo si,

siempre que las dos funciones M(x, y) y N(x, y) sean funciones continuas y tengan derivadas parciales continuas en el rectángulo Ω = {(x, y) : a < x < b, c < y < d}.

Demostración. Supongamos que la ecuación diferencial 1.4.1 es exacta y veamos que se cumpla 1.4.2. En efecto, como la ecuación es exacta, existe, por definición, una función u = u(x, y) tal que

puesto que

esto, en virtud de que u tiene segundas derivadas parciales continuas en Ω.

La otra implicación quedará probada si podemos encontrar una función u = u(x, y) tal que

Para ello, integramos la ecuación u_x = M(x, y) con respecto a x manteniendo y constante:

donde g(y) es una constante que en el caso más general posible dependerá de y, ya que la integración se realiza con respecto a x. Para determinar g(y), derivamos la última expresión respecto a y:

luego,

Puesto que g es una función que depende śolo de y, entonces la derivada g′(y) es independiente de también x. En consecuencia,

Verifiquemos esto último.

en virtud de 1.4.2.

Finalmente, integramos g′(y) con respecto a y para obtener g(y); luego, sustituimos este resultado en 1.4.3 y así, obtenemos la solución u(x, y) = c.

Para una ecuación diferencial exacta

du = M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

la solución general está dada por u(x, y) = c, donde c es una constante arbitraria.

Ejemplo 1.4.1. Determine si la ecuación diferencial

(3xy⁴ + x)dx + (6x²y³ − 2y² + 7)dy = 0,

es exacta. Si lo es, encuentre su solución.

Solución

Puesto que

M(x, y) = 3xy⁴ + x, N(x, y) = 6x²y³ − 2y² + 7

tenemos

Luego, la ecuación es exacta.

Para determinar su solución, sabemos que existe una función u = u(x, y) tal que

Integramos la ecuación (*) con respecto a x teniendo y constante:

Entonces,

para determinar la función g(y) debemos integrar esta última expresión con respecto a la variable y, con lo cual obtenemos que

la solución general es, entonces,

que también puede escribirse como

9x²y⁴ + 6x² − 4y³ + 42y = k

Ejemplo 1.4.2. Determine si la ecuación diferencial

(2x³ − xy² − 2y + 3)dx − (x²y + 2x)dy = 0

es exacta. Si lo es, resuélvala con la condición inicial y(2) = 1.

Solución

En este caso,

y así, la ecuación es exacta. Luego, existe una función u = u(x, y) tal que

Integramos la ecuación (**) con respecto a y teniendo x constante:

Entonces,

con lo cual concluimos que

Integrando con respecto a x obtenemos

La solución general es

sustituyendo la condición inicial y = 1 cuando x = 2, tenemos que

es la solución particular

1.4.1 Factores integrantes

Si la ecuación diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

no es exacta, puede ser posible convertirla en exacta multiplicándola por una función apropiada μ = μ(x, y). Tal función se llama un factor integrante o factor de integración. Por ejemplo, la ecuación ydx + 2xdy = 0 no es exacta, puesto que M_y = 1 y N_x = 2, pero si la multiplicamos por μ(x, y) = y, la ecuación resultante y²dx + 2xydy = 0 es exacta. En general, tenemos la siguiente definición:

Definición 1.4.2. Un factor integrante para la ecuación diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

es una función μ = μ(x, y), no nula, tal que la ecuación

μ(x, y)M(x, y)dx + μ(x, y)N(x, y)dy = 0

es exacta. Esto es,

Aunque se puede probar que toda ecuación diferencial de la forma 1.4.1 admite un factor integrante, no se conoce un método general que sea útil para encontrarlo. Sin embargo, existen dos clases de ecuaciones diferenciales cuyos factores integrantes pueden encontrarse de manera sistemática: son aquellas que poseen factores integrantes que śolo dependen de x o de y.

Supongamos que μ = μ(x) es un factor integrante de la ecuación diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Entonces,

μ(x) M(x, y)dx + μ(x) N(x, y)dy = 0

es exacta, y tendremos

Como el miembro del lado izquierdo depende solamente de x, también lo será el del derecho. Entonces si hacemos

tenemos

y al resolver esta ecuación separable obtenemos

Éste es el factor integrante buscado. En el caso de que μ = μ(y), obtenemos un resultado similar. En resumen, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 1.4.2. Dada la ecuación diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

1. Si

entonces

es un factor de integración.

2. Si

entonces

es un factor de integración.

Note que si h(x) o r(y) son constantes, el teorema sigue siendo válido. También debemos tener en cuenta que una misma ecuación diferencial puede tener varios factores integrantes (vea el Ejercicio 22 de la Sección 1.4.1).

Ejemplo 1.4.3. Resuelva la ecuación diferencial

(1 − 2y³)dx + (3xy² + x³)dy = 0

con la condición inicial y(1) = 1.

Solución

En este caso,

M(x, y) = 1 − 2y³ y N(x, y) = 3xy² + x³,

y en consecuencia,

luego, la ecuación no es exacta. Ahora, observamos que

Luego, el factor integrante es

Por lo tanto, la ecuación diferencial

es exacta. Luego, existe una función u = u(x, y) tal que

Integramos con respecto a y la última ecuación y obtenemos

de otro lado,

de donde g′(x) = 1/x³, e integrando obtenemos Luego, la solución general es

Después de utilizar las condiciones iniciales, obtenemos c = 3/2, y por lo tanto la solución particular es

Ejemplo 1.4.4. Resuelva la ecuación diferencial

y²dx + (xy − 1)dy = 0.

Solución

Como M(x, y) = y² y N(x, y) = xy−1, entonces M_y = 2y y N_x = y; en consecuencia, la ecuación no es exacta. Por lo tanto, busquemos un factor integrante sugerido por el Teorema 1.4.2. Esto es,

Luego, el factor de integración es

Para facilitar la solución, tomemos y > 0; entonces μ(y) = 1/y. Así, la ecuación

es exacta. De modo que existe una función u = u(x, y) tal que u_x(x, y) = y y u_y(x, y) = x − 1/y. Integrando con respecto a x la primera de estas ecuaciones tenemos

u(x, y) = xy + g(y),

pero

o sea, , y al integrar tenemos g(y) = − ln y + c₁. Por lo tanto, la solución general es

u(x, y) = xy − ln y = c.

Observación 1.4.1. Si la ecuación diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

se puede transformar en la ecuación

x^a(p y dx + q x dy) + y^b(r y dx + s x dy) = 0,

donde p, q, r, y s son constantes, entonces μ(x, y) = x^myⁿ es un factor de integración para la ecuación dada inicialmente, siempre que ps − qr ≠ 0, con m y n constantes por determinar. El siguiente ejemplo ilustra este método.

Ejemplo 1.4.5. Encuentre la solución a la ecuación diferencial

(3y⁴ + 4xy)dx + (5xy³ + 2x²)dy = 0.

Solución

Esta ecuación no es exacta (verifíquelo), y no es aplicable el Teorema 1.4.2. Sin embargo, agrupando términos de igual grado y sacando factor común, obtenemos

(3y⁴dx + 5xy³dy) + (4xydx + 2x²dy) = 0 y³(3ydx + 5xdy) + x(4ydx + 2xdy) = 0.

Según la observación anterior, μ(x, y) = x^myⁿ es un factor integrante, con m y n constantes por determinar. En consecuencia, la ecuación

x^myⁿ(3y⁴ + 4xy)dx + x^myⁿ(5xy³ + 2x²)dy = 0

es exacta cuando

Al igualar términos semejantes, llegamos al sistema de ecuaciones

3(n + 4) = 5(m + 1) y 4(n + 1) = 2(m + 2)

o equivalentemente

5m − 3n = 7 2m − 4n = 0,

y al resolver dicho sistema encontramos m = 2 y n = 1. Por lo tanto, μ(x, y) = x²y es el factor integrante buscado. Después de realizar algunas manipulaciones algebraicas, como en los ejemplos anteriores, encontramos la solución general

u(x, y) = x³y²(x + y³) = c.

1.4.2 Ejercicios

En los siguientes ejercicios determine si la ecuación diferencial es exacta y resuélvala. Si no lo es, encuentre un factor integrante para obtener su solución.

1. (3x³ + 4xy)dx + (2x² + 2y)dy = 0

2. (2x cos y + 3x²y)dx + (x³ − x²sen y − y)dy = 0, y(0) = 2

3. (3x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0

4. (y sec² x + sec x tan x)dx + (tan x + 2y)dy = 0

5. y(2sen x cos x+ysen x)dx+(sen² x−2y cos x)dy = 0, y(0) = 3

6. (2xy − 3)dx + (x² + 4y)dy = 0, y(1) = 2

7. 2xydx + (x² − 1)dy = 0

8. (e^2y − y cos xy)dx + (2xe^2y − x cos xy + 2y)dy = 0

9. (x + y)dx + x ln xdy = 0, x > 0

10. 6xydx + (4y + 9x²)dy = 0

11. y(x + y + 1)dx + (x + 2y)dy = 0

12. y² cos xdx + (4 + 5ysen x)dy = 0

13. (4x + 3y³)dx + 3xy²dy = 0

14. (4x² + 3 cos y)dx − x sen ydy = 0

15. (4xy² + y)dx + (6y³ − x)dy = 0

17. (x²y + y²)dx − x³dy = 0

18. (4x²y + 2y²)dx + (3x³ + 4xy)dy = 0

19. (3y² + 5x²y)dx + (3xy + 2x³)dy = 0

20. (7x⁴y − 3y⁸)dx + (2x⁵ − 9xy⁷)dy = 0

21. (3y² + 10xy)dx + (5xy + 12x²)dy = 0

22. Compruebe que son todos factores integrantes de la ecuación diferencial ydx − xdy = 0

23. Compruebe que la ecuación diferencial

(axy² + by)dx + (bx²y + ax)dy = 0

es exacta si a = b. Si a ≠ b, muestre que μ(x, y) = x^myⁿ es un factor integrante encontrando m y n.

En los siguientes ejercicios obtenga una función M(x, y) o N(x, y), según sea el caso, para que la ecuación diferencial sea exacta.

Encuentre el valor de la constante k para el cual las siguientes ecuaciones son exactas; hecho esto, resuélvalas para este valor de k.

28. (xy² + kx²y)dx + (x³ + x²y)dy = 0

29. (ye^2xy + x)dx + kxe^2xydy = 0

30. (6xy³ + cos y)dx + (kx²y² − x sen y)dy = 0

31. Pruebe que si

donde z = xy, entonces la ecuación diferencial Mdx + Ndy = 0 tiene un factor de integración de la forma μ = μ(xy).

32. Muestre que la ecuación diferencial

(y³ + xy² + y)dx + (x³ + x²y + x)dy = 0

no es exacta. Aplicando el ejercicio anterior, encuentre un factor integrante de la forma μ = μ(xy) para resolver la ecuación.

1.5 Aplicaciones

Terminamos este capítulo presentando algunas de las tantas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Uno de los modelos matemáticos más comunes para ciertos fenómenos físicos o biológicos es el modelo exponencial, el cual supone que la razón de cambio de una cantidad x en el instante t es proporcional a su valor en ese instante, esto es,

donde k es una constante de proporcionalidad.

Si consideramos el caso en el cual k > 0, por separación de variables obtenemos

x = c e^kt,

y la solución al problema de valor inicial es

Como las soluciones de x′ = k x son funciones exponenciales, una cantidad x que satisface esta ecuación crece en forma exponencial. La Figura 1.5 muestra el caso en el cual k > 0.

Figura 1.5. Función y = ce^kt c > 0, k > 0

Cuando k < 0 se presenta el fenómeno de decaimiento, ya que la función posee derivada negativa y tenemos entonces una función decreciente para todo valor de x. La Figura 1.6 ilustra este tipo de procesos.

Figura 1.6. Función y = ce^kt c > 0, k < 0

1.5.1 Desintegración radiactiva

La desintegración de una sustancia radiactiva es un proceso complicado, pero los experimentos indican que la tasa de cambio es proporcional a la cantidad de materia en cada instante. Así, si q = q(t) es la cantidad de sustancia radiactiva presente en un instante dado t, se tiene entonces

donde k es una constante positiva y el signo menos indica que la cantidad q(t) decrece con el tiempo. Para resolver la ecuación de desintegración, separamos las variables y obtenemos

q(t) = c e^−kt;

si q₀ = q(0) es la cantidad inicial de sustancia, entonces al sustituir estos valores en esta solución general obtenemos

q(t) = q₀ e^−kt.

En la desintegración radiactiva existe una constante empírica que da una cierta idea de la tasa de desintegración de la sustancia; esta constante se llama la vida media y se denota por τ. La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo necesario para que la mitad de él se desintegre. Para encontrar la relación entre k y τ, ponemos t = τ y q = en la ecuación q(t) = q₀ e^−kt, esto es, = = q₀e^−kτ.

Note que el modelo de desintegración radiactivo es análogo al modelo de población exponencial con índice de mortalidad constante, pero en el que no ocurren nacimientos.

Ejemplo 1.5.1. En una reacción química, un cierto compuesto se transforma en otra sustancia a un ritmo proporcional a la cantidad no transformada. Si había inicialmente 20 g de la sustancia original y al cabo de 1 hora hay 16 g, determine el instante en el que se habrá transformado el 75 % de dicho compuesto. Encuentre la vida media del compuesto.

Solución

Sea q = q(t) la cantidad de compuesto en cualquier instante. Entonces el problema de valor inicial que modela esta situación es

Al resolver la ecuación, por separación de variables, con esa condición encontramos

q(t) = 20 e^−kt.

Para determinar la constante k utilizamos la información adicional, q = 16 cuando t = 1, por lo que k = − ln(4/5) = ln(5/4). Ahora, el 75 % de la sustancia transformada equivale al 25 % de lo no transformado, o sea a 5 g; en consecuencia, para encontrar el tiempo estimado, resolvemos la ecuación 5 = 20 e^ln(4/5)t, de la cual obtenemos t = 6, 21 horas. La vida media de la sustancia es ≈ 3, 10 horas.

Ejemplo 1.5.2. Un arqueólogo encontró un fósil en el que se ha desintegrado el 10 % de los núcleos radiactivos originales. Sabiendo que la vida media del carbono 14 es de 5700 años, determine la edad del fósil.

Solución

Para encontrar la edad del fósil, utilizamos el modelo radiactivo, esto es, q = q₀ e^−kt, donde . De otro lado, el 90 % de los núcleos radiactivos aún presentes es 0,9 y q₀ = 1; con esta información tenemos , de donde

Por lo tanto, la muestra tiene unos 866 años.

Ejemplo 1.5.3. Si unas vacas lecheras comen heno que contenga mucho yodo 131, su leche no se podrá beber. Si una tonelada de heno contiene 10 veces la cantidad máxima permitida de yodo 131, ¿cúantos días deberá estar almacenado el heno antes de que se le pueda dar de comer a las vacas?

Solución

Sea y₀ la cantidad de yodo 131 presente en el heno. Debido a que es un problema de desintegración radiactiva, la solución de la ecuación diferencial da la cantidad de yodo en cualquier instante, esto es,

y(t) = y₀ e^−kt,

donde t se mide en días. La vida media del yodo 131 es de 8 días; luego, . Finalmente, encontremos t tal que , esto es,

resolviendo para t, encontramos

Ejemplo 1.5.4. La estructura molecular del azúcar cambia durante su refinación en la fase conocida como inversión. En el proceso, la razón de cambio de la cantidad de azúcar es proporcional a la cantidad restante. Si 1000 kg de azúcar se reducen a 800 kg en 10 horas, ¿qúe cantidad quedará al cabo de otras 10 horas?

Solución

Sea A = A(t) la cantidad de azúcar no alterado. Puesto que la tasa de inversión es proporcional a A, entonces la ecuación diferencial y la condición inicial son

La solución de este problema de valor inicial es

A = A₀ e^−kt = 1000 e^−kt.

Puesto que A = 800 cuando t = 10, concluimos que 800 = 1000 e^−10k, de donde obtenemos . Por lo tanto, la cantidad de azúcar en cualquier instante es

Al cabo de otras 10 horas la cantidad de azúcar es

A(20) = 1000 exp (2 ln(4/5)) = 640 kg.