Kitabı oku: «Fundamentos de ingeniería estructural para estudiantes de arquitectura»

I.

ESTÁTICA

1.1 Introducción

L a estática es la parte de la mecánica que estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos, es decir, las condiciones que mantienen el estado de inmovilidad o reposo. La mecánica, parte de la física, es una materia fundamental en los campos de la ingeniería mecánica y de la ingeniería estructural, disciplinas que en la era moderna han contribuido sustancialmente a su desarrollo y aplicación práctica en los problemas tecnológicos que les conciernen.

Arquímedes (287-212 A.C.) nacido en Siracusa, Sicilia, uno de los más grandes intelectos de la humanidad, fue el primero en manejar los conceptos básicos de equilibrio. Aparte de sus contribuciones a la mecánica y a la astronomía, hizo aportes notables en matemáticas y física. Formalizando el llamado método exhaustivo de Eudoxio (408-355 A.C.), Arquímedes inventó el cálculo integral, y también fue precursor del cálculo diferencial, anticipándose en casi 20 siglos a Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716) y Fermat (1601-1665) que lo impulsaron, hasta que finalmente Cauchy (1789-1857) y Riemann (1826-1866) le dieron una base matemática definitiva. En la física, su obra maestra es la hidrostática, que se refiere al estado de equilibrio de los fluidos y flotación de los cuerpos. Cuenta la leyenda que su famoso descubrimiento de que un cuerpo sumergido disminuye aparentemente su peso en igual cantidad que el peso del volumen de líquido desplazado (el Principio de Arquímedes), lo hizo mientras se bañaba y observaba flotar su propio cuerpo, por lo que entusiasmado salió corriendo desnudo a las calles gritando “¡eureka, eureka!”, que significa “lo tengo, lo encontré”.

La mención de la obra de Arquímedes en esta introducción no es casual. Sus descubrimientos, inspirados en una notable intuición y motivados por la solución de problemas prácticos, fueron expresados y pueden comprenderse sin tener que recurrir a un marco teórico y analítico complejo. Cabe mencionar que en la época de Arquímedes el álgebra elemental y la simbología usual de hoy en día eran totalmente desconocidas. Esta forma de pensar se utilizará en la presentación de los temas de análisis, confiando mucho en la intuición física y geométrica, y en la imaginación, para despertar en los estudiantes de arquitectura similar actitud. Es decir, se procurará llegar a los conceptos fundamentales por caminos simples, evitando las complejidades matemáticas, pero sin comprometer el rigor y fidelidad a la esencia de los conceptos mismos.

La estática de los cuerpos rígidos se enmarca en definitiva como caso particular de las Leyes de Newton, presentadas en 1686 en su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. A pesar de la importancia de las ideas previas de Galileo (1564-1642) sobre las causas del movimiento de un cuerpo, y las del movimiento planetario de Kepler (1571-1630), Isaac Newton es el padre de la dinámica y de la mecánica celeste. Sus ideas del espacio y del tiempo absoluto no fueron objetadas sino hasta más de doscientos años después, cuando Einstein (1879-1955) presentó la Teoría de la Relatividad en 1905.

La primera de las tres leyes del movimiento de Newton establece que: “Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado por la acción de una fuerza aplicada sobre él”. Conforme a esta ley, la condición de equilibrio estático exige que la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sea nula.

La aplicación de la ley requiere la definición del concepto de fuerza, que se presenta en las secciones siguientes, y del concepto de momento, lo que se hará más adelante. Cabe sin embargo destacar que la condición de resultante nula es necesaria y suficiente para el equilibrio sólo en el caso de cuerpos rígidos. Se entienden por tales aquellos que no experimentan deformaciones al ser sometidos a fuerzas. La condición de rigidez infinita no se cumple en los materiales reales, los que por más fuertes que sean, igual experimentan deformaciones. Sin embargo, en la práctica basta conque las deformaciones sean pequeñas, es decir lo suficientemente pequeñas para que la alteración geométrica de la configuración de equilibrio sea despreciable. La necesaria hipótesis de deformaciones pequeñas se cumple normalmente en las construcciones de la práctica, primero porque los materiales tienen rigidez suficiente, y segundo, porque además los criterios de diseño imponen también límites a las deformaciones de las estructuras, por una serie de razones que lo hacen conveniente y que se discutirán en su oportunidad. Con esta aclaración, se entenderá que al hablar del cuerpo rígido se estará haciendo referencia a elementos o estructuras poco deformables.

Ejemplo 1.1

Este ejemplo ilustra la forma en que Arquímedes aplicó el método exhaustivo, precursor del cálculo integral, al cálculo de áreas de contornos curvilíneos y volúmenes limitados por superficies curvas. En este caso se aplica al cálculo del área bajo una parábola, uno de los casos resueltos por Arquímedes.

Una parábola se define por la función y=f(x)=a+bx² en que a y b son constantes cualesquiera; en el caso de la Fig. E1.1.a a=0, de modo que para cualquier punto de la curva de coordenadas x_o e y_o se cumple y_o =bx_o ². El área que se desea calcular es el área achurada en la Fig. E1.1.b, es decir el área A bajo la curva parabólica en el intervalo limitado por x=0 y x=c.

Figura E1.1

Solución: Para ello se subdivide el intervalo de x entre 0 y c en n partes (en particular n=8 en las Figs. E1.1.c y d) y se calculan dos aproximaciones al área buscada: una por defecto (área achurada en la Fig. E1.1.c) y otra por exceso (área achurada en la Fig. E1.1.d). El área achurada en la Fig. E1.1.c es

mientras el área achurada de la Fig. E1.1.d es

se dice entonces que el área buscada A está acotada entre s

y en la medida que se aumente progresivamente el número n de subdivisiones la aproximación a la curva mejorará y la diferencia entre s_n y S_n se hará cada vez más pequeña, determinándose A con un valor tan preciso como se quiera, quedando el problema resuelto. Sin embargo, estudiando las series s_n y S_n puede demostrarse que si se toma un número infinito de términos, las sumatorias convergen a un número o límite finito:

y por lo tanto el área bajo la parábola es exactamente A=bc³/3, o sea, A es un tercio del área del rectángulo OIJK de la Fig. E1.1.b.

1.2 Ley de Gravitación Universal

Las antes mencionadas leyes de Kepler establecen las características cinemáticas, es decir geométricas, del movimiento de los planetas en torno al sol. Ellas fueron descubiertas en forma empírica, después de veinte años de observación y cálculos, pero no tenían una base teórica que las sustentara. En efecto, el concepto de fuerza no se había establecido con claridad hasta que Newton lo enmarcó en el contexto de sus Leyes del Movimiento y su Ley de Gravitación Universal. Precisamente, a partir de las leyes de Newton las observaciones de Kepler pueden derivarse o demostrarse con relativa facilidad.

La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que “dos partículas materiales en el universo se atraen entre sí con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las une”:

Las fuerzas F se ejercen en la línea que une las partículas. La fuerza que actúa en la masa m₂ es la acción de la masa m₁ sobre ella y viceversa (Fig. 1.1). La constante G, denominada constante de gravitación universal, tiene el mismo valor para cualquier pareja de partículas, y debe determinarse experimentalmente. Numerosos experimentos han permitido calcular y mejorar el valor de G, aceptándose hoy G=6,673xl0^-11 Newton-m²/kg². Este valor es muy pequeño de manera que la fuerza de atracción entre cuerpos en la superficie de la Tierra es muy pequeña (ver Ejemplo 1.2).

Figura 1.1 Atracción recíproca de masas

Figura 1.2 Partícula m a distancia d de la superficie terrestre

De la Ley de Gravitación Universal se obtiene la fuerza de atracción sobre un cuerpo de masa m próximo a la superficie de la Tierra. En efecto, con la notación de la Fig. 1.2 se tiene

Utilizando los valores del radio de la Tierra R=6.380 kilómetros y de la masa de la Tierra M=5,983x10²⁴ kilogramos, y suponiendo que d es muy pequeño frente a R se obtiene

Esta fuerza, de origen gravitacional, es lo que entendemos como peso del cuerpo de masa m. Comparando la Ec. 1-3 con la 2^a Ley de Newton

en que F es la fuerza que actúa sobre un cuerpo y “a” la aceleración que este adquiere debido a la acción de dicha fuerza, se define la aceleración de gravedad

Cabe notar que g no es constante. En efecto, según la Ec. 1-2 es obvio que depende de R y d. Como el radio de la Tierra no es constante, sino 21 kilómetros menor en los polos que en el Ecuador, g varía con la latitud, siendo menor en el Ecuador y mayor en los polos. A su vez, en la medida que un cuerpo adquiere altitud, d deja de ser despreciable, como se supuso anteriormente, y tanto g como su peso disminuyen. Por otra parte, la distribución de masa de la Tierra no es homogénea de modo que también hay variaciones. Finalmente, también influye en el peso de los cuerpos la aceleración centrípeta debida a la rotación de la Tierra; este efecto, nulo en los polos y máximo en el Ecuador se manifiesta como una pequeña disminución adicional del peso.

Para completar esta sección se discutirá el tema de las unidades en que se expresan las cantidades físicas antes definidas. En física, el sistema de medidas más usado es el MKS, sigla que se refiere a las unidades de metro, kilogramo y segundo, que utiliza para las cantidades básicas de longitud, masa y tiempo. La aceleración, que es una cantidad derivada, se define como

en que Δv es el cambio de velocidad que experimenta el objeto considerado en el intervalo de tiempo Δt. A su vez, la velocidad se define como el cambio de posición Δs, o camino recorrido, en el intervalo de tiempo Δt

es decir, la velocidad se puede expresar directamente como el cuociente entre dos unidades básicas. Se tiene entonces que la aceleración tiene unidades de velocidad partida por tiempo, es decir metros/seg², como se indicó en la Ec. 1-5 para la aceleración de gravedad (notar que el metro se abrevia simplemente con la letra eme, pero ello se ha evitado en esta Sección pues la misma letra se utiliza para designar la masa). Con la aceleración en metros/seg² y la masa en kilogramos, la Ec. 1-3 entrega el peso del cuerpo en Newtons

El Newton es la unidad de fuerza del sistema MKS, ya que está expresado en términos de las unidades básicas del sistema. En la práctica común, y también en ingeniería y construcción, es usual utilizar una unidad diferente, el kilogramo-peso o kilogramo-fuerza. En esta dimensión responde el lector cuando le preguntan ¿cuánto pesas?, y es la misma que se utiliza cuando en la balanza del supermercado le pesan 2 kilos de fruta.

El kilogramo-peso se define como el peso de un kilogramo masa en condiciones estándar de latitud y altitud. Pero un kilogramo-masa para las mismas condiciones pesa 9,8 Newtons, de acuerdo a la Ec. 1-3, luego

Simplemente entonces, el kilogramo-peso y el Newton son unidades de peso diferentes: una persona que pesa 60 kilos también puede responder que pesa 588 Newtons. Para evitar la confusión entre kilogramo-masa, que se abrevia kg, y kilogramo-peso o kilogramo-fuerza, se han sugerido las designaciones kgp o kgf para éstos últimos, sin embargo ello no ha prosperado y en la práctica también se designan simplemente por kg. En este texto se entenderá que siempre el kilogramo a secas, abreviado kg, se refiere a una unidad de fuerza; cuando la distinción es delicada, como en los problemas dinámicos que requieren trabajar con masas, se harán las precisiones pertinentes.

Ejemplo 1.2

Determinar la fuerza de atracción recíproca entre dos masas de 400 kg cada una separadas 1 metro entre sus centros.

Solución: Aplicar la fórmula

Como puede apreciarse la atracción es muy pequeña: aproximadamente una milésima de gramo-peso. Estas fuerzas tienen la dirección de la línea que une los centros de los cuerpos.

1.3 Concepto de Fuerza

1.3.1 Propiedades de una Fuerza

Una fuerza tiene tres propiedades: magnitud, dirección y sentido, las que deben ser simultáneamente especificadas para su correcta individualización (Fig. 1.3). La magnitud, o módulo, indica el tamaño o intensidad de la fuerza, por ejemplo, fuerzas de 100 kg, 200 kg y 1.000 kg tienen distinta magnitud. Gráficamente la magnitud se indica mediante la longitud del trazo que la representa, adoptando, si es necesario, una escala determinada. La dirección de la fuerza corresponde a su línea de acción, que es la recta en el espacio donde reside la fuerza. El sentido indica hacia qué extremo de la línea de acción apunta la fuerza, lo que se designa gráficamente por una punta de flecha.

La fuerza es un ente que corresponde a lo que en matemáticas se denomina una cantidad vectorial, que se diferencia de las cantidades llamadas escalares en que estas últimas tienen como única propiedad la magnitud. Ejemplos de cantidades escalares son volumen, masa, temperatura, peso ($), las que se pueden sumar y restar directamente como cantidades algebraicas. Ejemplos de cantidades vectoriales, aparte de las fuerzas, son, entre otras, velocidad, aceleración y posición en el espacio. Las operaciones con estas cantidades involucran sus tres propiedades, de modo que deben definirse reglas especiales diferentes al álgebra elemental, como se presentará en las Secciones siguientes.

Figura 1.3 Modelo de fuerza

1.3.2 Tipos de Fuerzas

En la Sección 1.2 se fundamentó la causa del peso de los cuerpos como la fuerza con que la Tierra los atrae. Este tipo de fuerzas, siempre presentes en las estructuras, se denominan cargas gravitacionales, las que obviamente tienen dirección vertical y sentido hacia abajo. Entre éstas se distinguirán las llamadas de peso propio o peso muerto y las cargas de uso o sobrecargas o cargas vivas. Las cargas de peso propio comprenden todas las cargas permanentes sobre la estructura: el peso propio de los materiales de obra gruesa y terminaciones, y todas las cargas inmóviles de larga duración, como por ejemplo la tierra de relleno de una jardinera del balcón de un edificio. Las sobrecargas comprenden, en el caso de edificios, las personas y el mobiliario. En otras obras, como puentes, la sobrecarga es el tráfico vehicular; en un embalse o en un muro de contención, la carga de uso es la presión del agua o el empuje del terreno respectivamente. Los valores de las sobrecargas para diseño son en general valores extremos, para condiciones extremas de uso de relativamente baja probabilidad de ocurrencia en la vida útil de la estructura (ver Tabla V.1).

Otro grupo importante de cargas son las llamadas ambientales. Entre ellas se encuentran los efectos del viento, sismos, temperatura y nieve, aunque esta última es por cierto también de tipo gravitacional. Las cargas de viento y sismo, y en ciertos casos la nieve, se denominan también cargas eventuales, porque corresponden a acciones que son de ocurrencia esporádica.

El viento es una masa de aire que se desplaza con cierta velocidad que al chocar con las construcciones genera presiones y succiones sobre las superficies que recorre. Estas fuerzas dependen de la forma del cuerpo expuesto al viento, ya que aquél puede ofrecer mayor o menor resistencia al paso de éste, y son perpendiculares a las superficies del cuerpo (Fig. 1.4). Las fuerzas de viento dependen de su velocidad, la que aumenta con la altura sobre el nivel del terreno, y de la ubicación de la construcción: en la ciudad, a campo abierto, o frente al mar.

El movimiento del suelo durante un terremoto, tanto en el plano horizontal como en la dirección vertical, ocasiona deformaciones en las estructuras, las que producen esfuerzos internos en los elementos estructurales resistentes. En forma muy simplificatoria, la acción del sismo sobre un edificio puede asimilarse a un conjunto de fuerzas laterales equivalentes, como muestra la Fig. 1.5. Típicamente, para un edificio la mayor preocupación es el efecto lateral u horizontal del sismo, ya que generalmente hay más que suficiente resistencia vertical que ha debido proveerse para soportar las cargas gravitacionales.

Figura 1.4 Efecto del viento sobre una construcción

Figura 1.5 Solicitaciones sísmicas en edificios: a) Caso real, b) Fuerzas laterales equivalentes

En general, las cargas sobre una estructura no se deciden en forma arbitraria, sino hay normas que las especifican. Entre ellas cabe mencionar las siguientes normas chilenas: la NCh1537.Of86 que especifica las cargas permanentes y sobrecargas de uso para el diseño estructural de edificios, la NCh431.Of77 que especifica las sobrecargas de nieve, la NCh432.Of71 para el cálculo de la acción del viento sobre las construcciones, y la NCh433.Of96 para el diseño sísmico de edificios.

Entre las cargas ambientales se mencionó la temperatura. Aunque hay diversas fuentes calóricas, se han clasificado estas cargas así, ya que la fuente primordial de calor es la energía solar, e inversamente, su ausencia genera enfriamiento. El aumento de temperatura genera dilatación de los cuerpos, y su disminución contracción. Si se opone resistencia a estos cambios de volumen, se producen fuerzas que pueden llegar a ser extraordinariamente grandes, tan grandes que pueden producir la rotura de los cuerpos afectos a ellas. Por ello se proveen juntas de dilatación en estructuras y pavimentos, para permitir que las deformaciones térmicas ocurran libremente y no se generen fuerzas. En los puentes se provee un apoyo móvil, montando uno de sus extremos sobre un soporte de material elastomérico, para permitir el cambio de longitud de la estructura (Fig. 1.6). Similar a la temperatura es el efecto de retracción del hormigón, que corresponde a una disminución de su volumen, muy rápida en las primeras etapas del fraguado, pero que continúa por meses y años durante toda la vida del hormigón. Cuando hay oposición a la retracción natural del hormigón, aparecen fuerzas de tracción en él, las que ocasionan la aparición de fisuras, que no son otra cosa que expresión de la rotura del hormigón por tracción, esfuerzo para el cual este material es particularmente débil.

Figura 1.6 Apoyos de un puente

Figura 1.7 Fuerzas realizadas por máquinas o el hombre

Otras fuentes de fuerzas son las que realizan las máquinas, y el hombre (Fig. 1.7), las que desde luego pueden ser de las más variadas características.

Una categoría de fuerzas de particular importancia son las llamadas reactivas. Estas aparecen como consecuencia del impedimento al desplazamiento de un cuerpo, y pueden a veces ser más difíciles de reconocer pues en cierta forma están ocultas y su presencia debe ser inferida, al contrario de las fuerzas gravitacionales, o una fuerza ejercida por un hombre, por ejemplo, que se manifiestan en forma explícita. Considérese por ejemplo el bloque de peso W de la Fig. 1.8.a que descansa sobre el piso horizontal. Es fácil imaginar que en el sistema considerado actúa la fuerza vertical W, pero debemos deducir que sobre el bloque también actúa una fuerza R de dirección vertical y sentido hacia arriba. Tal fuerza aparece exclusivamente como resultado de la restricción que el piso impone al posible desplazamiento vertical del bloque. En efecto, si el piso no estuviese, el bloque iría viajando en caída libre vertical; como tal movimiento no ocurre debe existir una fuerza que precisamente lo impide. Notar que existe una íntima relación entre la fuerza reactiva y el desplazamiento impedido: ambos tienen la misma línea de acción pero sentidos opuestos. Esta relación constituirá un elemento clave para reconocer la presencia de fuerzas reactivas: en general, las condiciones de un problema incluirán ciertas restricciones de desplazamiento, en correspondencia con las cuales deberán existir fuerzas reactivas asociadas que las materialicen. Por supuesto se puede anticipar que en este ejemplo el equilibrio exige R=W.

Figura 1.8 Fuerzas reactivas

En la Fig. 1.8.b se observa el mismo bloque anterior al cual se ha aproximado un hombre a ejercer una fuerza horizontal H. Si el bloque se mantiene en reposo se deduce que no sólo hay restricción a su movimiento vertical, sino también a su desplazamiento horizontal hacia la izquierda. Como existen dos desplazamientos impedidos, se concluye la existencia de dos fuerzas reactivas asociadas a ellos R_v vertical y R_h horizontal. Cabe notar además que la fuerza reactiva R_h se genera en respuesta a la demanda H, es decir si ésta no estuviese presente, no existiría R_h, porque no existiría posibilidad alguna de movimiento en dirección horizontal. Notar también que esta discusión es independiente del mecanismo físico que origina la fuerza R_h; si el reposo se ha mantenido puede ser simplemente porque existe suficiente fricción en el contacto del bloque con el piso, o bien porque el bloque está clavado al piso.