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2.1.3 Strahlen und andere Strahlungsgrößen

Strahlung, gleichgültig ob sie von einer Quelle emittiert, in der Atmosphäre gestreut oder am Boden reflektiert wird, kann anschaulich als Strahl beschrieben werden. In der physikalischen Nomenklatur heißt diese Größe „Strahldichte“ (engl. Radiance) und wird üblicherweise mit dem Symbol L bezeichnet.

Sensoren auf Satelliten sind immer so ausgelegt, dass sie Strahldichten messen, die von verschiedenen Punkten am Boden bzw. in der Atmosphäre ausgehen. Aus der Größe dieser Strahldichten, gegebenenfalls bei verschiedenen Winkeln, Wellenlängen und unter Berücksichtigung des Polarisationszustands, wird auf die Eigenschaften von Boden und Atmosphäre geschlossen (invertiert), die dem Strahlungsfeld zugrunde liegen.

Eine Richtung im Raum wird durch zwei Winkel festgelegt: dem „Zenitwinkel“ θ und dem „Azimut“ φ (Abb. 2.3). Der Zenitwinkel (Zenith Angle) ist der Winkel zwischen der gegebenen Richtung und dem Zenit. Gleichwertig, und in der Praxis auch häufig angewendet, ist die Elevation (Elevation Angle) oder der Höhenwinkel h, d. h. der Winkel der betrachteten Richtung gegen den Horizont. Zenitwinkel und Elevation ergänzen sich natürlich zu 90°, sodass eine Umrechnung leicht möglich ist.

Abb. 2.3

Strahlungsfeld mit Richtungsangabe durch zwei Winkel (θ, φ).

Der Azimut ist der Winkel der anzugebenden Richtung im Horizontkreis. Für seine Zählung muss eine Richtung mit φ = 0° definiert werden, da prinzipiell alle Richtungen gleichwertig sind. Häufig wird φ = 0° für die Richtung Nord verwendet und dann φ, analog zur Kompassrose, über Ost, Süd und West bis 360° wieder bei Nord gezählt. Bei der Berechnung von Strahlungsfeldern im solaren Spektralbereich, wo die Strahlung ursprünglich von der Sonne kommt, wird üblicherweise φ = 0° für die Richtung der Sonne gesetzt. Dies vereinfacht die Berechnung des Feldes der gestreuten Strahlung mit der Sonne als Quelle, da in den meisten Fällen Symmetrie der Strahlungsprozesse rechts und links von der Einfallsrichtung angenommen werden kann. Dass sich die Richtung dieses sonnenbezogenen Azimuts gegenüber einer festen vorgegebenen Richtung auf der Erde durch den Gang der Sonne im Laufe eines Tages ändert, muss entsprechend berücksichtigt werden.

Bei Strahlung im terrestrischen und im Mikrowellen-Bereich sind im Normalfall Atmosphäre und Boden die Strahlungsquellen. Damit kommt hier Strahlung aus allen Richtungen, und es gibt keine azimutale Vorzugsrichtung. Dementsprechend genügt für die Beschreibung des Strahlungsfelds in diesen Spektralbereichen die Berücksichtigung des Zenitwinkels.

Von jedem Ort geht Strahlungsenergie in alle Richtungen, sei es durch Emission oder durch Streuung (Abb. 2.3). Von dieser bei allen Wellenlängen abgestrahlten Energie wird am Satelliten nur ein Teil gemessen, eben der, der auf das Radiometer trifft und in dem Wellenlängenbereich, für den der Sensor empfindlich ist. Diese Strahlung wird durch eine spektrale Strahldichte L_λ beschrieben, die die Einheit [J s^–1 m^–2 sr^–1 μm^–1] oder [W m^–2 sr^–1 μm^–1] hat. Diese ergibt sich durch die Berücksichtigung der Bestrahlungszeit dt [s], der bestrahlten Fläche dA [m²], dem Raumwinkel, aus dem die Strahlung kommt dΩ[sr], und dem Wellenlängenintervall dλ [μm] zu:

Der „Raumwinkel“ Ω ist definiert als die Größe der Fläche eines Öffnungskegels auf der Oberfläche einer Kugel, dividiert durch das Quadrat des Kugelradius (Abb. 2.4). Damit ist er eigentlich eine dimensionslose Größe, wird aber doch zur Verdeutlichung mit einer Einheit angegeben, dem Steradiant [sr]. Anschaulich entspricht der Raumwinkel der Öffnung einer Schultüte, durch die beim Blick von der spitzen Seite aus der Bereich festgelegt wird, aus dem Strahlung empfangen wird (Abb. 2.5).

Abb. 2.4

Zur Definition des Raumwinkels.

Abb. 2.5

Zur Veranschaulichung des Raumwinkels, aus dem Strahlung empfangen wird.

Für eine Kugel mit Radius r = 1 wird der Raumwinkel direkt durch die ausgeschnittene Teilfläche auf der Kugeloberfläche gegeben. In einem Koordinatensystem mit θ und φ ergibt sich der Raumwinkel als Produkt des anteiligen Zenitwinkels dθ und des anteiligen Azimutwinkels dφ. Da Linien mit gleicher Azimutdifferenz im Zenit zusammenlaufen, wird die durch den Azimut bestimmte Seite des Flächenelements durch sinθ • dφ bestimmt (Abb. 2.4). Damit berechnet sich der Raumwinkel zu

Der Raumwinkel einer Halbkugel beträgt 2π sr, was dazu führt, dass Radiometer, die die Strahlung aus einem Halbraum messen, häufig als 2-π-Instrumente bezeichnet werden. Der Raumwinkel der Sonne, von der Erde aus gesehen, beträgt Ω _so = 6,8 10^–5 sr.

Sensoren auf Satelliten sind immer so ausgelegt, dass sie jeweils die Strahlung aus einem kleinen Raumwinkel messen, da der Raumwinkel zusammen mit dem Abstand des Satelliten vom Boden die Größe des Pixels, des beobachteten Areals, bestimmt. Dessen Größe steigt bei festem Raumwinkel mit dem Abstand des Satelliten von der Erde. Umgekehrt gilt bei fester Entfernung des Satelliten zum Boden, dass mit einem größeren Raumwinkel jeweils ein größerer Bereich am Boden erfasst wird, mit dem Vorteil von mehr Energie am Detektor und dem Nachteil schlechterer räumlicher Auflösung.

Die Einheit einer Strahldichte wird mit Energie pro Fläche und pro Zeiteinheit angegeben. Anschaulich, wieder beim Blick durch eine vor das Auge gehaltene Schultüte, entspricht diese Fläche der Pupille. Bei Satellitenradiometern ist es die Fläche der Primäroptik oder der Empfangsantenne. Und die Zeit ist natürlich direkt gegeben durch die Länge eines Blicks in eine Richtung ohne zu blinzeln, und beim Satelliten durch die Zeit, mit der ein Pixel angemessen wird.

Wird die Strahlung wellenlängenabhängig gemessen, wie das üblicherweise der Fall ist, stammt sie nur aus einem kleinen Spektralbereich. Diese Einschränkung des Signals kann über ein in die Schultütenöffnung gehaltenes Farbglas anschaulich gemacht werden, das nur Strahlung einer Farbe hindurch lässt.

Von der am Satelliten ankommenden Strahlung wird immer nur ein kleiner Teil gemessen, bestimmt durch die Eigenschaften des Radiometers wie Wellenlänge, Raumwinkel und Blickrichtung. Daraus resultiert, dass für verschiedene Messaufgaben Radiometer mit ganz verschiedenen, jeweils optimierten Eigenschaften eingesetzt werden.

In der Praxis messen Radiometer nicht wirklich monochromatisch, sondern immer über ein endlich breites Wellenlängenintervall. Die Breite des Intervalls kann je nach Messaufgabe und verfügbarer Energie unterschiedlich sein. Sie wird auch durch die technische Lösung der Messaufgabe bestimmt. Bei spektral breiten Messungen wird nicht von der Strahlung bei einer Wellenlänge gesprochen, sondern von der Strahlung in einem „spektralen Kanal“. Dabei kann die spektrale Empfindlichkeit innerhalb des Kanals selbst noch wellenlängenabhängig sein, bedingt durch die Komponenten des Radiometers, was durch eine entsprechende „Filterfunktion“ berücksichtigt wird. Sehr breite Kanäle finden sich insbesondere bei älteren Satelliten, bedingt durch die damals verfügbare Technologie. Hier ist die Beachtung der spektralen Filterfunktion unabdingbar, um die möglichen verschiedenen spektralen Verteilungen im Signal richtig zu gewichten.

Von jedem Punkt in der Atmosphäre geht immer Strahlung in alle Richtungen, vergleichbar mit den Stacheln der Abbildung 2.3 gezeigten Stachelkugel. Im Unterschied zu dieser sind die Strahldichten aber üblicherweise aufgrund der verschiedenen Strahlungsprozesse am Boden und in der Atmosphäre in jeder Richtung verschieden. Da aber ein Sensor, der in einer gegebenen Richtung auf die Erde blickt und einen bestimmten Punkt anmisst, jeweils nur aus dieser einen Richtung eine Strahldichte empfängt, muss aus dieser auf die Prozesse in Atmosphäre und am Boden geschlossen und der gesuchte Parameter invertiert werden. Bei der Vorstellung eines aufgerollten Igels statt der Stachelkugel bedeuten unterschiedlich große Strahldichten in verschiedene Richtungen unterschiedlich lange Stacheln. Bei der Fernerkundung aus einer Richtung muss, um bei dem Bild zu bleiben, aus der Länge von nur einem Stachel auf den ganzen Igel und seine Eigenschaften geschlossen werden, etwa ob es sich um ein Igelkind oder einen großen Igel handelt.

Auch bei festen Eigenschaften von Boden und Atmosphäre kann das Strahlungsfeld am Oberrand der Atmosphäre für verschiedene Richtungen verschiedene Werte haben. Um aus am Satelliten gemessenen Strahldichten, die ja immer nur eine Richtung repräsentieren, die Eigenschaften von Boden und Atmosphäre abzuleiten, muss diese Richtungsabhängigkeit berücksichtigt werden.

Folglich muss bekannt sein, wie gut die Strahldichte aus der einen Richtung, die analysiert wird, das gesamte Strahlungsfeld und so die gesuchte Information richtig wiedergibt. Dies ist der Fall, wenn die Strahldichten in alle Richtungen gleich groß sind. Für ein solches Strahlungsfeld, das als „isotrop“ bezeichnet wird, spielt die Richtung der Beobachtung keine Rolle. Wenn jedoch die Strahldichten bei festen Bedingungen in verschiedenen Richtungen verschieden groß sind, so trägt das Strahlungsfeld die Bezeichnung „anisotrop“, und die Abhängigkeit der Strahldichte von der Richtung der Messung muss bei ihrer Invertierung berücksichtigt werden.

Abb. 2.6

Isotrope, anisotrope und spiegelnde Reflexion.

Abbildung 2.6 zeigt als Beispiel für isotrop und anisotrop reflektierende Oberflächen die Winkelverteilung von Strahldichten. Frisch gefallener Schnee ist ein Beispiel für eine isotrop reflektierende Oberfläche, er erscheint aus allen Beobachtungsrichtungen gleich hell (Abb. 2.6, links). Nach Vereisung der Schneefläche wird Strahlung jedoch bevorzugt unter der Spiegelrichtung reflektiert, d.h. das Reflexionsverhalten wird anisotrop. Die Möglichkeiten für anisotrope Reflexion (Abb. 2.6, Mitte) variieren je nach Struktur der Oberfläche und müssen bei der Auswertung möglichst genau berücksichtigt werden (Kap. 6.2 und 12.2). Bei wirklich spiegelnder Reflexion wird die einfallende Strahlung nur in eine Richtung zurückgeworfen (Abb. 2.6, rechts). Diese Art der Reflexion, die dem bekannten Reflexionsgesetz „Einfallswinkel = Ausfallswinkel“ gehorcht und durch die Fresnelschen Formeln beschrieben wird, kommt in der Natur nur sehr selten vor

Ein Beispiel für spiegelnde Reflexion ist eine ganz glatte Wasserfläche. Aber selbst die Reflexionseigenschaften einer Wasserfläche werden zunehmend isotrop, wenn die Rauigkeit zunimmt. Damit wird die aus einer Richtung einfallende Strahlung durch die Reflexion auf einen größeren Winkelbereich verteilt, obwohl die spiegelnde Komponente weiter dominiert (Abb. 2.7). Dass eine Wasseroberfläche auch außerhalb des Bereichs der nahezu spiegelnd reflektierten Sonne nicht schwarz erscheint, liegt daran, dass auch die Strahlung von jedem einzelnen Himmelspunkt mit den für die Oberfläche gültigen Reflexionseigenschaften reflektiert wird.

Abb. 2.7

Sonnenuntergang bei ruhiger See als Beispiel für nahezu spiegelnde Reflexion.

Bei Landoberflächen wird häufig von isotroper Reflexion ausgegangen. Dass aber auch Landoberflächen ein richtungsabhängiges, anisotropes Reflexionsvermögen haben können, lässt sich gut am Beispiel einer Oberfläche mit Bewuchs demonstrieren. Abbildung 2.8 zeigt einen besonnten Wald, dessen Bäume Schatten werfen. Das führt dazu, dass bei einer Beobachtung des Waldes mit der Sonne „im Gesicht“ (Abb. 2.8, rechts) ganz überwiegend Schattenflächen gesehen werden, die reflektierte Strahlung also gering ist. Bei einer Beobachtung aus Richtung der Sonne (Abb. 2.8, links) verdeckt jeder Baum jedoch die durch ihn hervorgerufene Schattenfläche, sodass kein Schatten gesehen wird. Die reflektierte Strahlung ist also besonders groß. Mit unterschiedlichen Beobachtungsrichtungen, sowohl in Bezug auf den Zenitwinkel als auch auf den Azimut, sind alle Übergänge zwischen nur Schatten- oder nur Sonnenflächen im Bildpunkt möglich. Bei genauerer Betrachtung wird klar, dass der Zusammenhang zwischen der aus einer Richtung (φ_e, θ_e) einfallenden Strahlung und der in Richtung (φ_r, θ_r) reflektierten Strahldichte von allen vier Winkeln abhängig ist. Darüber hinaus sind diese Reflexionseigenschaften auch noch wellenlängenabhängig, da z. B. bei senkrechtem Blick in einen lockeren Bestand in erster Linie der Boden gesehen wird, der braun oder grau ist, während bei streifendem Blick grüne Pflanzen das Bild bestimmen. Bei genauer Betrachtung wird das Reflexionsverhalten einer Oberfläche deshalb durch eine „spektrale Reflexionsfunktion“ γ (φ_e, θ_e, φ_r, θ_r) beschrieben (Kriebel, 1978).

Abb. 2.8

Strahldichten in zwei Richtungen nach der Reflexion von Sonnenstrahlung an einem Wald.

In der Praxis wird Isotropie manchmal einfach angenommen, weil individuelle Oberflächeneigenschaften nicht bekannt sind. Durch Messung der Strahlung von Bildpunkten mit einheitlicher Oberfläche, aber unter verschiedenen Winkeln, wurden jedoch für verschiedene Oberflächentypen mittlere „Anisotropiefunktionen“ (Angular Distribution Models, ADM) bestimmt (Suttles et al., 1988). Diese werden dann bei der Auswertung der Messungen von anderen Satelliten berücksichtigt (Kap. 6.2 und 12.2).

Das Strahlungsfeld am Oberrand der Atmosphäre, dessen Strahldichten der Satellit misst, wird zusätzlich zur Reflexion am Boden durch die richtungsabhängigen Streueigenschaften der Luftmoleküle und Aerosolpartikel sowie die Mehrfachstreuprozesse bestimmt. Die hieraus resultierenden winkelabhängigen Unterschiede im Strahlungsfeld werden durch die Strahlungstransportrechnungen bei den Vorwärtsrechnungen, den Sensitivitätsstudien, berechnet und können damit in den satellitenmeteorologischen Retrieval-Algorithmen Berücksichtigung finden.

Eine Strahlungsgröße, die für die Behandlung der Strahlungsenergie beim Durchgang durch oder auftreffend auf eine Oberfläche wichtig ist, ist die „Strahlungsflussdichte“ (Irradiance), mit dem üblicherweise verwendeten Symbol M. Die Strahlungsflussdichte entspricht dem Fluss aller Photonen, die pro Zeiteinheit auf eine vorgegebene – üblicherweise horizontale – Fläche fallen oder von dieser emittiert werden. Sie ist also das Integral der Strahldichten aus allen Richtungen (θ, φ) über den Halbraum, jeweils gewichtet mit dem Raumwinkel dΩ = sinθ dθ dφ und reduziert auf ihren Zenitwinkel-abhängigen Beitrag:

Damit ergibt sich als Einheit für die Strahlungsflussdichte [W m^–2] bzw. für spektrale Werte [W m^–2 μm^–1].

Der Beitrag zum Integral von den Strahldichten, die schräg auf die Oberfläche fallen, wird durch Multiplikation mit cos θ reduziert (Lambertsches Gesetz). Der Grund ist, dass die Strahlungsleistung jeder Strahldichte mit zunehmendem Zenitwinkel auf eine größer werdende Fläche verteilt wird und sich damit der Beitrag auf der vorgegebenen Fläche A, für die das Integral gebildet wird, reduziert. Abbildung 2.9 zeigt diese Reduzierung, wobei die einfallende Strahldichte zur Vereinfachung der geometrischen Beziehungen als paralleles Bündel angesehen wird, wie das für die direkte Strahlung von der Sonne gilt. Die Strahldichte mit senkrechtem Einfall (θ = 0°) trägt vollständig zum Integral bei, also mit der Wichtung cos(0°) = 1. Bei flacher einfallender Strahlung geht der jeweilige Beitrag auf die Empfängerfläche zurück, und streifend einfallende Strahlung (θ = 90°) trägt gar nicht zur integrierten Strahlungsflussdichte bei, entsprechend cos (90°) = 0. Ist das Strahlungsfeld isotrop, L also konstant für alle Richtungen, ergibt sich nach Gl. 2.6 für die Strahlungsflussdichte M = π L. Dass isotrope Strahlung, die aus einem Halbraum mit dem Raumwinkel 2 π auf einen Empfänger fällt, nur mit 1 π multipliziert die Strahlungsflussdichte ergibt, resultiert aus der „Kosinus-Wichtung“ der schräg auf die Fläche fallenden Strahldichten.

Abb. 2.9

Zur Reduzierung des Beitrags einer Strahldichte, die schräg auf eine Fläche fällt.

Dass der Strahlungsgenuss einer Fläche vom Kosinus des Zenitwinkels der einfallenden Strahldichte abhängt, gilt natürlich immer, unabhängig davon, ob ein Integral über den Halbraum betrachtet wird oder nicht. In der Praxis wird dies relevant, wenn Strahlung aus einer Richtung dominiert, wie dies für die direkte Sonne an einem wolkenlosen Tag gilt. Hier ist jedem bewusst, dass bei fester Sonnenposition die Bestrahlung eines sonnenabgewandt orientierten Hangs geringer ist als die einer Ebene oder gar eines in Richtung zur Sonne orientierten Hangs. Das steht mit der oben vorgestellten „Kosinus-Wichtung“ im Einklang, da der „Zenitwinkel“, der im individuellen Fall zu berücksichtigen ist, jeweils auf die Flächennormale der betrachteten Fläche bezogen werden muss.

Die Strahlungsflussdichte ist die Strahlungsgröße, die in alle Strahlungsbilanz- oder Energiebilanzüberlegungen von Oberflächen eingeht. Im Fall von Strahlung, die auf eine horizontal orientierte Fläche fällt, was in der Meteorologie als Basis immer angenommen wird, wird die von oben kommende Strahlungsflussdichte auch als „Bestrahlungsstärke“ bezeichnet. Im solaren Spektralbereich heißt sie „Globalstrahlung“, dementsprechend wird als Symbol G verwendet. Die Strahlungsflussdichte dient aber auch zur Beschreibung von Strahlung, die von einer solchen Fläche nach oben in den Halbraum emittiert oder reflektiert wird.

2.2 Die Gesetze von Planck und Kollegen
2.2.1 Plancksches Strahlungsgesetz

Jede Materie mit einer Temperatur oberhalb des absoluten Nullpunkts, d. h. jeder natürliche Körper gleich welchen Aggregatzustands, strahlt elektromagnetische Strahlung ab – es wird Strahlung emittiert. Darüber hinaus gilt, dass diese Strahlung sich mit der Temperatur in ihrer Intensität absolut und als Funktion der Wellenlänge ändert. Sichtbar wird der Wellenlängeneffekt z. B. beim Erhitzen von Eisen. Wenn eine elektrische Herdplatte langsam heiß wird, sendet sie zuerst Strahlung aus, die vom Menschen nicht wahrgenommen werden kann, in der Folge dann solche, die nicht vom Auge gesehen aber durchaus von der Haut als Wärme gefühlt werden kann. Mit weiterer Erhöhung der Temperatur verschiebt sich das Maximum der Strahlung zu kürzeren Wellenlängen und damit in den sichtbaren Bereich. Mit zunehmender Temperatur ändert sich die Farbe des Eisens von rot über orange bis zu weiß glühend, mit der Konsequenz, dass ein geübter Schmied aus der Farbe die Temperatur eines Werkstücks und damit seine Möglichkeiten zur Bearbeitung ableiten kann.

Diese Zusammenhänge, d. h. die spektrale Verteilung und Stärke von elektromagnetischer Strahlung in Abhängigkeit von der Temperatur, hat der Physiker Max Planck in seinem Strahlungsgesetz beschrieben. Dieses Gesetz ist generell gültig, unabhängig von einem gegebenen Spektralbereich.

Die große Leistung von Planck war die Erkenntnis, dass Strahlung von der emittierenden Materie in Form von Strahlungsquanten, den Photonen, abgegeben wird. Dies ermöglichte die Zusammenführung verschiedener bereits vorher bekannter Strahlungsgesetze. Wie besprochen, enthält ein solches Strahlungsquant genau die Energie, die beim Übergang von einem angeregten zu einem niedrigeren Energiezustand in einem Atom oder Molekül freigesetzt wird. Dass die Strahlung mit der Temperatur steigt, erklärt sich aus der dann höheren kinetischen Energie der Bausteine der strahlenden Substanzen.

In festen Körpern kommen durch die unendlich vielen beteiligten Atome und Moleküle alle Energiezustände vor, sodass das abgestrahlte Spektrum alle Wellenlängen enthält. Dieser Zustand wird durch das Plancksche Gesetz und seine Vorläufer beschrieben. Damit gibt das Plancksche Strahlungsgesetz die Zusammenhänge für die praktische Anwendung bei festen Körpern richtig wieder, auch wenn, abhängig von der Art der strahlenden Materie, gewisse Anpassungen gemacht werden müssen.

Das Plancksche Strahlungsgesetz (die „Planck-Funktion”) beschreibt die spektrale Strahlung, die von einem „Schwarzkörper“ ausgeht. Dabei handelt es sich um eine physikalische Idealisierung, die in der Natur nur annähernd vorkommt. Ein gutes Beispiel ist ein Hohlraum mit einer sehr kleinen Öffnung. In der täglichen Praxis ist das z. B. annähernd gegeben durch die Löcher in einer Steckdose. Ein solcher Hohlraum hinter einem Loch absorbiert praktisch alle hineinfallende Strahlung, da diese an seinen Innenwänden zwar in alle Richtungen reflektiert, aber bei jeder Reflexion zumindest teilweise absorbiert wird. Damit ist nach einigen Reflexionen die Strahlung sehr stark reduziert, und es kommt praktisch kein Photon wieder aus dem Loch heraus. Bei einem Reflexionsvermögen von 20 %, wie es für graue Farbe im solaren Spektralbereich angenommen werden kann, ergibt sich nach fünf Reflexionen eine Reduzierung auf 0,2⁵ = 0,03 % und nach zehn Reflexionen auf 0,2¹⁰ = 0,00001 %. Dadurch erscheint das Loch, durch das die Strahlung in den Hohlraum hineingelangt ist, für einen Beobachter als schwarz, woraus sich der Name Schwarzkörper ergibt. Natürlich ist der Schwarzkörper umso perfekter, je kleiner das Loch ist.

M. Planck erhielt 1918 den Nobelpreis für Physik für seine Quantentheorie.

Da nach dem Kirchhoffschen Gesetz (Kap. 2.2.4) das Absorptionsvermögen eines Körpers gleich seinem Emissionsvermögen ist – gleiche Wellenlänge vorausgesetzt – emittiert ein Schwarzkörper umgekehrt alle bei seiner Temperatur mögliche Strahlung, d.h. er emittiert bei jeder Wellenlänge die bei der gegebenen Temperatur maximale Strahlungsenergie. Dass natürliche Körper meist etwas weniger Strahlung als ein Schwarzkörper emittieren, wird in Kapitel 2.2.3 diskutiert.

Der Zusammenhang zwischen der Schwarzkörperstrahlung bei gegebener Wellenlänge und der Temperatur, das Plancksche Gesetz, kann für verschiedene Strahlungsgrößen formuliert werden. Für unpolarisierte Strahlungsflussdichten in den Halbraum gilt:

Die Größen in der Planck-Funktion sind:

 Wellenlänge λ in m

 Plancksches Wirkungsquantum h = 6,6256 10–34 W s2

 Lichtgeschwindigkeit c = 2,9979 108 m s–1

Die Boltzmann-Konstante k = 1,3804 10^–23 W s K^–1 ist eine weitere Naturkonstante, die die Energie eines Teilchens mit seiner Temperatur verknüpft. Die Temperatur T im Planck-Gesetz ist die absolute Temperatur, die sich durch T = t + 273,15 aus der Temperatur t in °C ergibt. Häufig wird das Plancksche Gesetz auch in einer Form mit zwei Konstanten c1 und c2 angegeben, in denen die festen Größen bereits zusammengefasst sind.

Da λ in Gleichung 2.7 mit der Einheit m verwendet werden muss, ergibt sich die Strahlungsflussdichte in W m^–2 m^–1. Es ist formal natürlich möglich, W m^–3 zu schreiben, aber das ist unsinnig, da es sich nicht um die Strahlungsleistung in einem Volumen handelt, sondern um die von einer Fläche ausgehende Strahlung in einem Spektralintervall. In der Praxis wird die spektrale Strahlungsflussdichte in einer Dimension angegeben, in der die Wellenlänge mit einer Dimension berücksichtigt wird, wie sie dem betrachteten Spektralbereich entspricht, z. B. in W m^–2 μm^–1.

Die von einem Schwarzkörper emittierte Strahlung ist isotrop verteilt. Damit ergeben sich Werte für die nach dem Planckschen Gesetz abgestrahlte Strahldichten L_λ (T), indem M_λ durch π dividiert wird. Diese Division durch ein π ergibt sich wegen der Kosinus-Wichtung (Gl. 2.6), obwohl die Strahlungsflussdichte in einen Halbraum emittiert wird, also in den Raumwinkel 2 π.

Abbildung 2.10 zeigt spektrale Strahldichten, wie sie nach dem Planckschen Gesetz von einem Schwarzkörper bei verschiedenen Temperaturen ausgesendet werden. An der y-Achse lässt sich ablesen, wie viel Energie jede an der x-Achse angegebene Wellenlänge zu der gesamten Strahlung beisteuert. Zu beachten ist, dass beide Achsen logarithmisch geteilt sind, um den großen Variationsbereich abzudecken. Die Strahlung, die von einem Schwarzkörper mit 6000 K ausgesendet wird, beschreibt die Größenordnung der Strahlung von der Sonne, und die von einem Körper mit 273 K steht für von der Erde emittierte Strahlung. Die Kurven für die dazwischen liegenden Temperaturen dienen zur Veranschaulichung, sie sind aber für die Satellitenmeteorologie praktisch nicht von Bedeutung. Die rote Linie verbindet die Wellenlängen mit maximaler Strahlung, ein Aspekt der im nächsten Abschnitt näher behandelt wird.

Abb. 2.10

Spektrale Strahldichten von Schwarzkörpern mit 6000, 2000, 600 und 273 K. Die rote Linie gibt das jeweilige Strahlungsmaximum an.

Die Strahlungsverläufe sind asymmetrisch mit einem steilen Anstieg bei kürzeren Wellenlängen und einem flacheren Abfall im längerwelligen Bereich. Mit zunehmender Temperatur steigt die Strahlung bei allen Wellenlängen, die Kurven schneiden sich nicht. Weiter ist zu erkennen, dass der strahlende Schwarzkörper bei allen Wellenlängen Strahlung abgibt, wobei dieser Eindruck aber durch die logarithmische Darstellung stark betont wird. Bei Beachtung der Überlegung, dass die Werte bei zwei Zehnerpotenzen unterhalb vom Maximum nur noch 1 % der Werte im Maximum haben, zeigt sich, dass die relevante Strahlung bei einer gegebenen Temperatur jeweils nur aus einem sehr kleinen Spektralbereich kommt. Bei Darstellung der Strahlung mit linearer Skala wird diese Konzentration auf einen begrenzten Spektralbereich schnell deutlich.

Als Beispiel zeigt Abbildung 2.11 Strahlung nach Planck für 5800 K – wieder stellvertretend für die Strahlung der Sonne – mit Werten, die im Maximum auf 1 normiert sind. Markiert sind die Wellenlängen, bei denen die Strahlung auf 2 % des Maximums gefallen ist, bei rund 0,2 und knapp 3 μm, wodurch der Wellenlängenbereich dokumentiert wird, in dem die solare Strahlung wirklich wesentlich ist. Zusätzlich zeigt die Abbildung das hoch aufgelöste Spektrum der Sonne, so wie es gemessen wird. Damit wird deutlich, dass die Modellierung als Schwarzkörper mit 5800 K die Strahlung der Sonne zwar im Mittel richtig wiedergibt, aber bei spektralen Messungen das tatsächliche Sonnenspektrum berücksichtigt werden muss.

Zum allgemeinen Verständnis soll noch ergänzt werden, dass bei einer Darstellung der Planck-Funktion mit zwei linearen Skalen – wie in Abbildung 2.11, aber nicht normiert, sondern mit absoluten Zahlen – die Fläche unter der Kurve dem Integral über die Wellenlängen entspricht, also den Werten nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz (Gl. 2.10). Die übliche Darstellung mit logarithmischen Skalen ist hierfür nicht hilfreich, aber eben nötig, um die großen Unterschiede bei verschiedenen Temperaturen in einer Abbildung zu zeigen.

Abb. 2.11

Spektrale extraterrestrische Strahlung der Sonne und Strahlung eines Schwarzkörpers mit der Temperatur der Sonnenoberfläche, normiert auf 1. Angegeben sind die Wellenlängen, bei denen die Strahlung 2 % vom Maximum beträgt (nach einer Idee von Häckel, 2008).