Kitabı oku: «Aplicación de la matemáticas a la realidad»

APLICACIÓN DE MATEMÁTICAS A LA REALIDAD
Temas de Ingeniería

Ricardo Pedernera

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©2020. Ricardo Pedernera

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Digitalización: Proyecto451

Versión 1.0

Ricardo Pedernera

Ingeniero Electromecánico, Orientación Mecánica Universidad de Buenos Aires

Ingeniero en Petróleo, Orientación Industrialización. UBA

Docente en Escuela Técnica Industrial N° 1 y EDET N° 5 Isidro Casanova en Luminotecnia, Mediciones Eléctricas y Máquinas Eléctricas.

Docente en Facultad de Ingeniería UBA en Física e Introducción a la Mecánica del Sólido

Docente Universidad Nacional de La Plata en Máquinas Térmicas I, Termotecnia I, III y IV, Diseño Mecánico de Equipos (Carrera de Ingeniería Química).

Docente en Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional La Plata en Análisis Matemático I, Algebra y Geometría Analítica y Probabilidades y Estadística.

Docente de Máquinas Térmicas e Instalaciones Termomecánicas y Eléctricas en Facultad de Ingeniería de la UNCPBA Olavarría, Provincia de Buenos Aires.

Jefe de Campo de Pruebas de Máquinas Eléctricas Electromac SA

Analista Fabril Schkolnik SA

Asistente Departamento de Energía y Asistente de Estudios Técnicos de la Refinación YPF Destilería La Plata.

Inspector Mecánico en obra de Central Termoeléctrica Río Turbio. Provincia de Santa Cruz.

Profesional Independiente para empresas Mafissa, Proserv SA, Tower City, Femyp y otras.

Índice de contenidos

1  Portada

2  Problema Nº 1:

3  Tema: Funciones a trozos aplicando la función parte entera

4  Aplicación: Cálculo de un calentador de agua con vapor.

5  Problema Nº 2:

6  Tema: Definir una función a trozos

7  Aplicación: Función de obtención de la potencia de bombeo para un sistema de alimentación de calderas.

8  Problema Nº 3:

9  Tema: Funciones implícitas:

10  Aplicación: Cálculo de pérdida de carga en cañerías

11  Problema Nº 4:

12  Tema: Coordenadas polares, elipse

13  Aplicación: Cálculo de luminarias para iluminaciónde una autopista

14  Problema N° 5

15  Tema: Hallar el mínimo de una función

16  Aplicación: Determinación del espesor óptimo de aislación térmica de una cañería de vapor

17  Problema Nº 6:

18  Tema: Funciones logarítmicas

19  Determinar la temperatura máxima a la que deberá trabajar un tubo de acero Croloy 2 ½.

20  Problema n° 7:

21  Tema de matemáticas: Cálculo de área entre curvas

22  Tema de análisis: Aproximación del Indice Gini y su aplicación al estudio de la distribución de la riqueza

23  Problema Nº 8:

24  Tema: Función con asíntotas

25  Aplicación: Frecuencia de resonancia de un sistema eléctrico o mecánico

26  Problema Nº 9:

27  Tema: Nímeros complejos

28  Aplicación: Corrección del factor de potencia de una instalación

29  Problema Nº 10:

30  Tema de matemática: Función con asíntota horizontal

31  Aplicación: Modelizar el rendimiento de motores diésel en función de la potencia para evaluar costos operativos

32  Problema Nº 12:

33  Tema: Combinaciones y Probabilidad

34  Aplicación: Evaluación de inversión en sistema de calderas.

35  Problema N° 13 :

36  Tema: Logaritmos y exponenciales

37  Aplicación: Emisiones de CO2 a la atmósfera

38  Problema N° 14:

39  Tema de Matemática: Ecuaciones del plano y de la recta en el espacio

40  Tema de aplicación: Diagrama de funcionamiento de un turbogenerador de vapor.

41  Problema N° 15:

42  Tema: Integrales trigonométricas definidas

43  Aplicación: Determinación de la fórmula de cálculo de la potencia en corriente alterna monofásica.

44  Problema N° 16:

45  Tema de matemática: Plano y recta en el espacio

46  Tema de aplicación: Control de combustión de dos combustibles simultáneamente en una caldera

47  Problema N° 17:

48  Tema de matemáticas: Resolver un sistema de ecuaciones por el método matricial

49  Tema de aplicación: A partir de una medición de la composición volumétrica en base seca de los gases generados por una combustión de un hidrocarburo desconocido, calcular propiedades de los gases y del combustible.

50  Problema N° 18:

51  Tema de matemáticas: Integrales definidas de funciones potencial y trigonométricas.

52  Tema de aplicación: Cálculo del momento de inercia de áreas se una sección de un tubo sometido a carga de flexión.

53  Problema N° 19:

54  Tema de matemáticas: Determinar una función integral

55  Tema de aplicación: Determinar una función para programar el volumen de lavado en una lavadora automática industrial.

56  Problema N° 20:

57  Tema de matemáticas: Definir la función cupla de un motor asincrónico . Integrales definidas.

58  Aplicación: Cálculo mediante integrales definidas de la energía consumida durante el arranque.

59  Problema N° 21:

60  Tema de matemática: Calcular una integral definida por el método de los trapecios.

61  Tema de aplicación: Calentamiento de una pileta de natación con energía solar.

62  Problema N° 22:

63  Tema de matemática: Parábola

64  Tema de aplicación: Producción de agua caliente en un colector solar cilindro parabólico

65  Problema N° 23:

66  Tema de matemáticas: Diferencial de una función

67  Tema de aplicación: Errores en la medición de potencia eléctrica en un motor asincrónico trifásico.

68  Problema N° 24:

69  Tema de matemáticas: Problema de sistemas de ecuaciones lineales incompatibles

70  Tema de aplicación: Mitigación de emisiones de gases de efecto invernadero.

71  Problema N° 25:

72  Tema de matemáticas: Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

73  Tema de aplicación: Costos de energía eléctrica y vapor en un sistema de turbina de gas con caldera de recuperación

74  Problema N° 26:

75  Temas de matemáticas: Regresión de una función polinómica mediante el método de los cuadrados mínimos. Aplicación de matriz pseudoinversa.Diferencial de una función.

76  Tema de aplicación: Hallar el costo marginal energético del caudal de agua enviado por una bomba centrífuga.

77  Problema N° 27:

78  Tema de matemáticas: Regresión de la ecuación del plano.

79  Tema de aplicación: Transformar un gráfico en una ecuación del coeficiente de convección natural..

80  Problema N° 28:

81  Tema de matemática: Determinación de la función Cupla-velocidad del motor de inducción y hallar el área entre ésta curva y la de un motor de imán permanente.

82  Tema de aplicación: Ahorro de energía mediante el reemplazo de motores de inducción por motores de imán permanente en ascensores.

83  Problema N° 29:

84  Tema de matemáticas: Operaciones con matrices.

85  Tema de aplicación: Establecer un plan de producción para satisfacer una demanda.

86  Problema N° 30:

87  Tema de matemáticas: Funciones compuestas.

88  Tema de aplicación: Análisis del efecto de la elección del diámetro en un gasoducto en su economía y su capacidad.

89  Problema N° 31:

90  Tema de matemáticas: Producto de matrices

91  Tema de aplicación: Transformaciones energéticas desde la naturaleza hasta su uso cotidiano.

92  Problema N° 32:

93  Tema de matemática: Ecuaciones diferenciales de variables separables.

94  Tema de aplicación: Análisis del índice de elasticidad de la demanda para control de precios.

95  Problema N° 33:

96  Tema de matemática: Ecuaciones diferenciales de variables separables.

97  Tema de aplicación: Cálculo de la capacidad de drenaje de una cañería de vapor calentándose.

98  Problema N° 34:

99  Tema de matemática: Regresión de una función parabólica mediante el método de los cuadrados mínimos y por el método de la matriz pseudoinversa.

100  Tema de aplicación: Hallar la ecuación de una bomba centrífuga para simulación de un circuito de agua de torre refrigerante.

101  Problema N° 35:

102  Tema de matemática: Resolución de ecuaciones no lineales mediante iteraciones

103  Tema de aplicación: Hallar el punto de operación de un sistema de bombeo.

104  Problema N° 36:

105  Tema de matemática: Planteo y resolución de un sistema de 15 ecuaciones lineales.

106  Tema de aplicación: Determinación del costo de generación de energía eléctrica y vapor en un ciclo de vapor industrial.

107  Problema N° 37:

108  Tema de matemáticas: Integrales definidas

109  Tema de aplicación: Cálculo de la potencia desarrollada para producir aire comprimido

110  Problema N° 38:

111  Tema de matemática: Derivada de una función implícita.

112  Tema de aplicación: Crear una función linealizada del factor de fricción para el cálculo de un gasoducto. Determinar el rango de utilización de ésta últimacon un error menor de 5%

113  Problema N° 39:

114  Temas de matemática: Autovalores y autovectores

115  Tema de aplicación: Análisis de rotura de un eje de transmisión de material frágil.

116  Problema N° 40:

117  Tema de matemáticas: Transformaciones lineales

118  Tema de aplicación: Dilatación longitudinal y transversal de un puente construido con perfiles de acero.

119  Problema N° 41:

120  Tema de matemática: Determinar la cuádrica indicatriz de tensiones del problema N° 39

121  Tema de aplicación: Establecer las direcciones típicas de rotura de materiales frágiles como ejes sometidos a un esfuerzo de torsión.

122  Problema N° 42:

123  Tema de matemáticas: Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales

124  Tema de aplicación: Seleccionar una bomba de agua para un barrio con la configuración que se muestra en el esquema propuesto

125  Problema N° 43:

126  Tema de matemáticas: Derivada de una función

127  Tema de aplicación: Determinación de los parámetros de máximo rendimiento de una turbina de gas.

128  Problema N° 44:

129  Tema de matemática: Parábola

130  Tema de aplicación: Estimación del caudal de condensado en una cañería con una cinta métrica.

Introducción

La idea principal de éste libro es la motivación que ofrece el uso de las matemáticas en temas de ingeniería. No se trata de sustituir los textos específicos, sino de ofrecer una visión de aspectos de esta actividad relacionados con los temas matemáticos de la currícula.

El aprendizaje de las matemáticas se vuelve agradable cuando éstas se vinculan con aspectos de la vida real. Habitualmente se presentan los temas teóricos con razonamientos lógicos abstractos con aplicación a problemas sencillos.

Cuando llega el momento de el estudio de las materias aplicadas, solamente se usan los conocimientos asociados a las temáticas particulares de la carrera, pero se pone énfasis en las conclusiones. Para realizar esto, se suponen aprendidos los temas de matemáticas y se pasan por alto.

Esto suprime la necesidad de seguir todo el proceso que un investigador siguió para llegar a las conclusiones que se aplican como receta general.

El resultado es el olvido del uso de algunas herramientas y la ejercitación del razonamiento que lleva al planteo general de un problema y después simplificarlo para casos particulares.

Una herramienta que no se usa es como si no se tuviera. Para poder analizar las variables de un proyecto es necesario tener un esquema mental de cómo se comportan dichas variables. Es el ¿Cómo se comporta tal variable cuando cambio tal otra?. Esto requiere una gimnasia mental permanente en el planteo de variantes y escenarios del tipo ¿qué ocurre si…?.

Es notorio que de todos los temas que se tratan en la escuela y en la universidad, las matemáticas son los menos preferidos. Muchas veces, ese rechazo determina descartar la elección de una carrera que, a priori a alguien le parezca muy atractiva.

Las estadísticas así lo confirman, ya que las carreras de mayor preferencia son las sociales en detrimento de las llamadas “duras”.

Desde la escuela secundaria, las matemáticas en general se ven como “difíciles”, “aburridas” y se estudian con fastidio.

En las carreras de ingeniería es claro que las matemáticas son fundamentales. Sin embargo, muchos estudiantes tienen dificultades en su comprensión. En muchos casos, utilizan mucho la memoria para rendir sus exámenes y, aún aprobándolos, en poco tiempo los conceptos estudiados se olvidan.

Un factor muy importante en el abandono de la carrera es la desmotivación debida a la típica pregunta: “¿Para qué me sirve esto?”.

Es obvio que el estudio de las matemáticas en el comienzo del plan de estudios es oportuno, ya que sirve de basamento para la comprensión de muchos conceptos que se estudian más adelante.

Posteriormente, cuando llega el momento de abordar los temas técnicos específicos, se dan por conocidos los conceptos matemáticos adquiridos antes y, a pesar de que algunos desarrollos se hacen con cierta profundidad, son fácilmente olvidados, reteniéndose en la mente únicamente las “recetas”.

De esta manera, el profesional se acostumbra a aplicar recetas, normas o metodologías preestablecidas, sin analizar en profundidad la naturaleza del problema que está estudiando.

El principal inconveniente que tiene esta costumbre es que las recetas, normas, procedimientos, etc.- son válidas en determinadas condiciones. Cuando esas condiciones cambian ya sea porque hay un desarrollo tecnológico, innovaciones, etc. entonces hay que modificar esas normas o reglamentos. Si el profesional no está habituado a analizar a fondo los problemas, va a tener dificultades para dar nuevas soluciones y poder fundamentarlas adecuadamente.

Esto además aparece junto a la necesidad de contar con herramientas ya vistas, pero no usadas. Pero aún con mucha voluntad, cuesta asociarlas.

La aparición de los programas matemáticos de uso común y muy potentes hace a la tarea mucho menos engorrosa y permite el análisis de muchas alternativas de solución para un mismo problema, pero para ello, es necesario tener conocimientos frescos de todos los temas vistos en el pasado y saber a qué libro o material consultar. Esto simplifica mucho las cosas a la hora de resolver un problema ya planteado, pero existe mucha dificultad para traducir el problema conceptual al lenguaje matemático.

El estudio de funciones, por ejemplo, brinda un panorama de cómo varía el comportamiento de un aspecto o variable del problema cuando varía otra, de modo tal que es posible lograr la habilidad de imaginarse primero el comportamiento y luego hacer un planteo matemático que lo refleje.

Nada es más motivante que resolver un problema complejo mediante las matemáticas e incluso analizar escenarios alrededor de la solución, del tipo “¿Qué pasa si…?

La idea de este trabajo no es sustituir ni la bibliografía de matemáticas ni la de los temas específicos de la carrera. La intención es mostrar una vinculación de muchos temas de matemáticas con problemas reales de mayor o menor complejidad.

Al comienzo de la carrera, parece inadecuado encarar la solución de un problema cuyos conceptos se verán en el futuro, pero creo que, definiendo ciertos aspectos que se pueden asumir provisoriamente y que serán vistos oportunamente, se puede plantear una solución matemática.

Por otra parte, si tenemos el suficiente entrenamiento, cada vez que tengamos un problema complejo, podremos asociar sus variables a un esquema matemático y resolverlo.

Los ejemplos planteados aquí fueron seleccionados teniendo en cuenta el hecho de que son problemas que podría encontrarse cualquier profesional y su vinculación con temas de la currícula.