Kitabı oku: «Aplicación de la matemáticas a la realidad»

APLICACIÓN DE MATEMÁTICAS A LA REALIDAD
Temas de Ingeniería

Ricardo Pedernera

Prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio de impresión en forma idéntica sin la autorización expresa del autor.

©2020. Ricardo Pedernera

Hecho el depósito que marca la ley 11.723.

Digitalización: Proyecto451

Versión 1.0

Ricardo Pedernera

Ingeniero Electromecánico, Orientación Mecánica Universidad de Buenos Aires

Ingeniero en Petróleo, Orientación Industrialización. UBA

Docente en Escuela Técnica Industrial N° 1 y EDET N° 5 Isidro Casanova en Luminotecnia, Mediciones Eléctricas y Máquinas Eléctricas.

Docente en Facultad de Ingeniería UBA en Física e Introducción a la Mecánica del Sólido

Docente Universidad Nacional de La Plata en Máquinas Térmicas I, Termotecnia I, III y IV, Diseño Mecánico de Equipos (Carrera de Ingeniería Química).

Docente en Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional La Plata en Análisis Matemático I, Algebra y Geometría Analítica y Probabilidades y Estadística.

Docente de Máquinas Térmicas e Instalaciones Termomecánicas y Eléctricas en Facultad de Ingeniería de la UNCPBA Olavarría, Provincia de Buenos Aires.

Jefe de Campo de Pruebas de Máquinas Eléctricas Electromac SA

Analista Fabril Schkolnik SA

Asistente Departamento de Energía y Asistente de Estudios Técnicos de la Refinación YPF Destilería La Plata.

Inspector Mecánico en obra de Central Termoeléctrica Río Turbio. Provincia de Santa Cruz.

Profesional Independiente para empresas Mafissa, Proserv SA, Tower City, Femyp y otras.

Índice de contenidos

1  Portada

2  Problema Nº 1:

3  Tema: Funciones a trozos aplicando la función parte entera

4  Aplicación: Cálculo de un calentador de agua con vapor.

5  Problema Nº 2:

6  Tema: Definir una función a trozos

7  Aplicación: Función de obtención de la potencia de bombeo para un sistema de alimentación de calderas.

8  Problema Nº 3:

9  Tema: Funciones implícitas:

10  Aplicación: Cálculo de pérdida de carga en cañerías

11  Problema Nº 4:

12  Tema: Coordenadas polares, elipse

13  Aplicación: Cálculo de luminarias para iluminaciónde una autopista

14  Problema N° 5

15  Tema: Hallar el mínimo de una función

16  Aplicación: Determinación del espesor óptimo de aislación térmica de una cañería de vapor

17  Problema Nº 6:

18  Tema: Funciones logarítmicas

19  Determinar la temperatura máxima a la que deberá trabajar un tubo de acero Croloy 2 ½.

20  Problema n° 7:

21  Tema de matemáticas: Cálculo de área entre curvas

22  Tema de análisis: Aproximación del Indice Gini y su aplicación al estudio de la distribución de la riqueza

23  Problema Nº 8:

24  Tema: Función con asíntotas

25  Aplicación: Frecuencia de resonancia de un sistema eléctrico o mecánico

26  Problema Nº 9:

27  Tema: Nímeros complejos

28  Aplicación: Corrección del factor de potencia de una instalación

29  Problema Nº 10:

30  Tema de matemática: Función con asíntota horizontal

31  Aplicación: Modelizar el rendimiento de motores diésel en función de la potencia para evaluar costos operativos

32  Problema Nº 12:

33  Tema: Combinaciones y Probabilidad

34  Aplicación: Evaluación de inversión en sistema de calderas.

35  Problema N° 13 :

36  Tema: Logaritmos y exponenciales

37  Aplicación: Emisiones de CO2 a la atmósfera

38  Problema N° 14:

39  Tema de Matemática: Ecuaciones del plano y de la recta en el espacio

40  Tema de aplicación: Diagrama de funcionamiento de un turbogenerador de vapor.

41  Problema N° 15:

42  Tema: Integrales trigonométricas definidas

43  Aplicación: Determinación de la fórmula de cálculo de la potencia en corriente alterna monofásica.

44  Problema N° 16:

45  Tema de matemática: Plano y recta en el espacio

46  Tema de aplicación: Control de combustión de dos combustibles simultáneamente en una caldera

47  Problema N° 17:

48  Tema de matemáticas: Resolver un sistema de ecuaciones por el método matricial

49  Tema de aplicación: A partir de una medición de la composición volumétrica en base seca de los gases generados por una combustión de un hidrocarburo desconocido, calcular propiedades de los gases y del combustible.

50  Problema N° 18:

51  Tema de matemáticas: Integrales definidas de funciones potencial y trigonométricas.

52  Tema de aplicación: Cálculo del momento de inercia de áreas se una sección de un tubo sometido a carga de flexión.

53  Problema N° 19:

54  Tema de matemáticas: Determinar una función integral

55  Tema de aplicación: Determinar una función para programar el volumen de lavado en una lavadora automática industrial.

56  Problema N° 20:

57  Tema de matemáticas: Definir la función cupla de un motor asincrónico . Integrales definidas.

58  Aplicación: Cálculo mediante integrales definidas de la energía consumida durante el arranque.

59  Problema N° 21:

60  Tema de matemática: Calcular una integral definida por el método de los trapecios.

61  Tema de aplicación: Calentamiento de una pileta de natación con energía solar.

62  Problema N° 22:

63  Tema de matemática: Parábola

64  Tema de aplicación: Producción de agua caliente en un colector solar cilindro parabólico

65  Problema N° 23:

66  Tema de matemáticas: Diferencial de una función

67  Tema de aplicación: Errores en la medición de potencia eléctrica en un motor asincrónico trifásico.

68  Problema N° 24:

69  Tema de matemáticas: Problema de sistemas de ecuaciones lineales incompatibles

70  Tema de aplicación: Mitigación de emisiones de gases de efecto invernadero.

71  Problema N° 25:

72  Tema de matemáticas: Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

73  Tema de aplicación: Costos de energía eléctrica y vapor en un sistema de turbina de gas con caldera de recuperación

74  Problema N° 26:

75  Temas de matemáticas: Regresión de una función polinómica mediante el método de los cuadrados mínimos. Aplicación de matriz pseudoinversa.Diferencial de una función.

76  Tema de aplicación: Hallar el costo marginal energético del caudal de agua enviado por una bomba centrífuga.

77  Problema N° 27:

78  Tema de matemáticas: Regresión de la ecuación del plano.

79  Tema de aplicación: Transformar un gráfico en una ecuación del coeficiente de convección natural..

80  Problema N° 28:

81  Tema de matemática: Determinación de la función Cupla-velocidad del motor de inducción y hallar el área entre ésta curva y la de un motor de imán permanente.

82  Tema de aplicación: Ahorro de energía mediante el reemplazo de motores de inducción por motores de imán permanente en ascensores.

83  Problema N° 29:

84  Tema de matemáticas: Operaciones con matrices.

85  Tema de aplicación: Establecer un plan de producción para satisfacer una demanda.

86  Problema N° 30:

87  Tema de matemáticas: Funciones compuestas.

88  Tema de aplicación: Análisis del efecto de la elección del diámetro en un gasoducto en su economía y su capacidad.

89  Problema N° 31:

90  Tema de matemáticas: Producto de matrices

91  Tema de aplicación: Transformaciones energéticas desde la naturaleza hasta su uso cotidiano.

92  Problema N° 32:

93  Tema de matemática: Ecuaciones diferenciales de variables separables.

94  Tema de aplicación: Análisis del índice de elasticidad de la demanda para control de precios.

95  Problema N° 33:

96  Tema de matemática: Ecuaciones diferenciales de variables separables.

97  Tema de aplicación: Cálculo de la capacidad de drenaje de una cañería de vapor calentándose.

98  Problema N° 34:

99  Tema de matemática: Regresión de una función parabólica mediante el método de los cuadrados mínimos y por el método de la matriz pseudoinversa.

100  Tema de aplicación: Hallar la ecuación de una bomba centrífuga para simulación de un circuito de agua de torre refrigerante.

101  Problema N° 35:

102  Tema de matemática: Resolución de ecuaciones no lineales mediante iteraciones

103  Tema de aplicación: Hallar el punto de operación de un sistema de bombeo.

104  Problema N° 36:

105  Tema de matemática: Planteo y resolución de un sistema de 15 ecuaciones lineales.

106  Tema de aplicación: Determinación del costo de generación de energía eléctrica y vapor en un ciclo de vapor industrial.

107  Problema N° 37:

108  Tema de matemáticas: Integrales definidas

109  Tema de aplicación: Cálculo de la potencia desarrollada para producir aire comprimido

110  Problema N° 38:

111  Tema de matemática: Derivada de una función implícita.

112  Tema de aplicación: Crear una función linealizada del factor de fricción para el cálculo de un gasoducto. Determinar el rango de utilización de ésta últimacon un error menor de 5%

113  Problema N° 39:

114  Temas de matemática: Autovalores y autovectores

115  Tema de aplicación: Análisis de rotura de un eje de transmisión de material frágil.

116  Problema N° 40:

117  Tema de matemáticas: Transformaciones lineales

118  Tema de aplicación: Dilatación longitudinal y transversal de un puente construido con perfiles de acero.

119  Problema N° 41:

120  Tema de matemática: Determinar la cuádrica indicatriz de tensiones del problema N° 39

121  Tema de aplicación: Establecer las direcciones típicas de rotura de materiales frágiles como ejes sometidos a un esfuerzo de torsión.

122  Problema N° 42:

123  Tema de matemáticas: Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales

124  Tema de aplicación: Seleccionar una bomba de agua para un barrio con la configuración que se muestra en el esquema propuesto

125  Problema N° 43:

126  Tema de matemáticas: Derivada de una función

127  Tema de aplicación: Determinación de los parámetros de máximo rendimiento de una turbina de gas.

128  Problema N° 44:

129  Tema de matemática: Parábola

130  Tema de aplicación: Estimación del caudal de condensado en una cañería con una cinta métrica.

Introducción

La idea principal de éste libro es la motivación que ofrece el uso de las matemáticas en temas de ingeniería. No se trata de sustituir los textos específicos, sino de ofrecer una visión de aspectos de esta actividad relacionados con los temas matemáticos de la currícula.

El aprendizaje de las matemáticas se vuelve agradable cuando éstas se vinculan con aspectos de la vida real. Habitualmente se presentan los temas teóricos con razonamientos lógicos abstractos con aplicación a problemas sencillos.

Cuando llega el momento de el estudio de las materias aplicadas, solamente se usan los conocimientos asociados a las temáticas particulares de la carrera, pero se pone énfasis en las conclusiones. Para realizar esto, se suponen aprendidos los temas de matemáticas y se pasan por alto.

Esto suprime la necesidad de seguir todo el proceso que un investigador siguió para llegar a las conclusiones que se aplican como receta general.

El resultado es el olvido del uso de algunas herramientas y la ejercitación del razonamiento que lleva al planteo general de un problema y después simplificarlo para casos particulares.

Una herramienta que no se usa es como si no se tuviera. Para poder analizar las variables de un proyecto es necesario tener un esquema mental de cómo se comportan dichas variables. Es el ¿Cómo se comporta tal variable cuando cambio tal otra?. Esto requiere una gimnasia mental permanente en el planteo de variantes y escenarios del tipo ¿qué ocurre si…?.

Es notorio que de todos los temas que se tratan en la escuela y en la universidad, las matemáticas son los menos preferidos. Muchas veces, ese rechazo determina descartar la elección de una carrera que, a priori a alguien le parezca muy atractiva.

Las estadísticas así lo confirman, ya que las carreras de mayor preferencia son las sociales en detrimento de las llamadas “duras”.

Desde la escuela secundaria, las matemáticas en general se ven como “difíciles”, “aburridas” y se estudian con fastidio.

En las carreras de ingeniería es claro que las matemáticas son fundamentales. Sin embargo, muchos estudiantes tienen dificultades en su comprensión. En muchos casos, utilizan mucho la memoria para rendir sus exámenes y, aún aprobándolos, en poco tiempo los conceptos estudiados se olvidan.

Un factor muy importante en el abandono de la carrera es la desmotivación debida a la típica pregunta: “¿Para qué me sirve esto?”.

Es obvio que el estudio de las matemáticas en el comienzo del plan de estudios es oportuno, ya que sirve de basamento para la comprensión de muchos conceptos que se estudian más adelante.

Posteriormente, cuando llega el momento de abordar los temas técnicos específicos, se dan por conocidos los conceptos matemáticos adquiridos antes y, a pesar de que algunos desarrollos se hacen con cierta profundidad, son fácilmente olvidados, reteniéndose en la mente únicamente las “recetas”.

De esta manera, el profesional se acostumbra a aplicar recetas, normas o metodologías preestablecidas, sin analizar en profundidad la naturaleza del problema que está estudiando.

El principal inconveniente que tiene esta costumbre es que las recetas, normas, procedimientos, etc.- son válidas en determinadas condiciones. Cuando esas condiciones cambian ya sea porque hay un desarrollo tecnológico, innovaciones, etc. entonces hay que modificar esas normas o reglamentos. Si el profesional no está habituado a analizar a fondo los problemas, va a tener dificultades para dar nuevas soluciones y poder fundamentarlas adecuadamente.

Esto además aparece junto a la necesidad de contar con herramientas ya vistas, pero no usadas. Pero aún con mucha voluntad, cuesta asociarlas.

La aparición de los programas matemáticos de uso común y muy potentes hace a la tarea mucho menos engorrosa y permite el análisis de muchas alternativas de solución para un mismo problema, pero para ello, es necesario tener conocimientos frescos de todos los temas vistos en el pasado y saber a qué libro o material consultar. Esto simplifica mucho las cosas a la hora de resolver un problema ya planteado, pero existe mucha dificultad para traducir el problema conceptual al lenguaje matemático.

El estudio de funciones, por ejemplo, brinda un panorama de cómo varía el comportamiento de un aspecto o variable del problema cuando varía otra, de modo tal que es posible lograr la habilidad de imaginarse primero el comportamiento y luego hacer un planteo matemático que lo refleje.

Nada es más motivante que resolver un problema complejo mediante las matemáticas e incluso analizar escenarios alrededor de la solución, del tipo “¿Qué pasa si…?

La idea de este trabajo no es sustituir ni la bibliografía de matemáticas ni la de los temas específicos de la carrera. La intención es mostrar una vinculación de muchos temas de matemáticas con problemas reales de mayor o menor complejidad.

Al comienzo de la carrera, parece inadecuado encarar la solución de un problema cuyos conceptos se verán en el futuro, pero creo que, definiendo ciertos aspectos que se pueden asumir provisoriamente y que serán vistos oportunamente, se puede plantear una solución matemática.

Por otra parte, si tenemos el suficiente entrenamiento, cada vez que tengamos un problema complejo, podremos asociar sus variables a un esquema matemático y resolverlo.

Los ejemplos planteados aquí fueron seleccionados teniendo en cuenta el hecho de que son problemas que podría encontrarse cualquier profesional y su vinculación con temas de la currícula.

COMO APLICAR EFICIENTEMENTE LOS CONOCIMIENTOS DE MATEMATICA A LOS PROBLEMAS REALES DE INGENIERIA

Si observamos el plan de estudios de cualquier carrera de ingeniería, vemos que en todas ellas existe un orden temático predominante:

1.- Materias básicas: Matemáticas: Análisis Matemático, Algebra, Cálculo Numérico, Algoritmos, etc.

2.- Física y Química

3.- Materias de aplicación.

4.- Materias tecnológicas

5.- Otras: Organización, Legislación, Economía, etc.

Durante la cursada de las materias denominadas “básicas”, el alumno aprende a partir de premisas (definiciones), desde donde surgen todos los desarrollos posteriores, más o menos abstractos, llegando a conclusiones que luego sirven como premisas para el estudio de otros conceptos.

La parte practica consiste en general en la resolución de problemas seleccionados aplicando los conceptos adquiridos.

La característica predominante de éstos problemas son su sencillez conceptual y el hecho de que se pone énfasis en su resolución. Se prescinde por una cuestión didáctica de cómo se llega al planteo del mismo en los términos en que se lo expone.

Por lo tanto, el alumno se acostumbra a resolver problemas ya planteados por alguien, asociando de antemano dicho problema con el tema que se está estudiando y la evaluación se realiza sobre la aplicación de los conceptos teóricos y su resolución.

Esta metodología hace que no se establezca una conexión con la realidad de donde provienen los planteos.

Más adelante, en las materias que tienen relación con éstas, se plantean situaciones particulares en cada tema, generando desarrollos necesarios para entender el fenómeno que se estudia en esa materia.

Si bien aquí hay ya una aplicación de las materias básicas, cuesta mucho su fijación, debido a la poca relación que tiene con la realidad cotidiana.

Otro motivo para la no aplicación de las matemáticas es su estudio desfasado con los temas propios de la carrera. En algunos casos, se los relaciona en forma simplificada; en otros se plantean expresiones empíricas.

Todo esto hace que no se establezca una relación adecuada con los conocimientos básicos.

Las matemáticas juegan el papel de una caja de herramientas que hemos utilizado poco y en algunos casos ni siquiera sabemos en qué usarla.

El resultado final es el olvido total con el tiempo de los conceptos adquiridos y todo ocurre como si nunca lo hubiéramos aprendido, es decir, como si no tuviéramos esa caja de herramientas.

Hoy la tecnología nos ofrece todo tipo de software matemático, cada uno tiene sus fortalezas y debilidades. Con ellos podemos resolver un problema complejo en cuestión de segundos. Eso sí, podemos resolver un problema totalmente definido y planteado, pero lo cierto es que en la realidad hay situaciones que antes de ser problemas son “irregularidades”, es decir, algo indefinido que no parece normal.

Por ejemplo, se podría plantear el problema creciente del tránsito y el estacionamiento, reconocerlo como un problema, describirlo, esbozar posibles soluciones, valorar la importancia de cada una, ver sus ventajas y desventajas y luego llevarlo al terreno matemático, para lo cual tenemos que reconocer las herramientas que vamos a utilizar, repasarlas y luego modelizar el problema, optimizar las soluciones halladas, analizar los posibles eventos que podrían afectar los resultados, etc..

Por esa razón, una nueva metodología podría ser más efectiva:

Partiendo de situaciones reales o imaginarias, identificar problemas y luego plantearlos para después resolverlos de una manera criteriosa (no perfecta, en ingeniería, todas las soluciones son de compromiso).

Para esto, veo conveniente agregar a la práctica de cada materia ya existente, algunas situaciones problemáticas del tipo ya descripto que introduzcan al alumno en las cuestiones de la realidad, describiendo en forma sencilla los conceptos que atañen al problema, y que serán estudiados en detalle en alguna materia más adelante en la carrera.

Esta metodología aplicada reiteradamente, hará que se vea el problema como un todo integrado de conocimientos.

La idea generalizada que se tiene de las matemáticas es que por un lado tiene desarrollos teóricos muy abstractos, a la vez que no se visualiza con la cotidianeidad. Esto hace no sólo que se pierda el interés por aprenderla en profundidad, sino que además, lo que se aprendió se olvida con cierta rapidez cuyo resultado es la falta de asociación con la realidad en general y con la formación del profesional en particular.

El estudio de la teoría tiene el valor de dar basamento sólido a todos los planteos que puedan hacerse sobre cualquier problema, simplificaciones, realización de modelos aproximados. La práctica continua permite una visualización del problema, el planteo de varias soluciones posibles, a la luz de las herramientas que se tengan presente y la elección fundamentada de la mejor de ellas (optimización).

Para la enseñanza con esta metodología no es necesario abordar los temas específicos de la carrera al comienzo. Esto se hará oportunamente en el momento que se requieran esas herramientas. Simplemente pueden plantearse problemas cotidianos, tales como el tránsito, el requerimiento de una curva de consumo de gas natural en un establecimiento, etc, que no requiere de conocimientos específicos de una materia de estudio posterior,

También algunos ejemplos pueden extraerse de la currícula de materias que verán durante la carrera, tomando ciertos recaudos para evitar estudiar esos conceptos hasta que el orden curricular lo determine. De esta manera, el alumno va asociando desde un comienzo las materias básicas con algunos aspectos de la carrera. Esta asociación favorece la memorización de los conceptos matemáticos en el momento posterior que se analicen los problemas específicos de otras materias.

Doy un par de ejemplos para visualizar lo expresado anteriormente:

1.- Si tengo que definir una curva horaria durante un año de consumo de gas natural en un establecimiento, con el fin de reemplazar dicho consumo oneroso con calor residual de una máquina que produce energía eléctrica. Supongamos que el único dato que tenemos es el consumo mensual de gas expresado en la factura mensual que se debe abonar, pero no podemos determinar la variación horaria por no existir registro, es muy poco probable que se nos ocurra utilizar la generación de muchos valores a través de la resolución de un sistema de ecuaciones.

2.- Si tenemos una serie de datos obtenidos por internet en forma dispersa, nunca se nos ocurriría apelar a las técnicas de regresión matemática para establecer una función aproximada que nos permita obtener su comportamiento; por ejemplo, cómo varía el costo de adquisición de un equipamiento en función de su capacidad.

Todo esto es posible y además, necesario, ya que el ingeniero casi siempre tiene a su disposición información incompleta e imprecisa para realizar evaluaciones.

Problema Nº 1:
Tema: Funciones a trozos aplicando la función parte entera
Aplicación: Cálculo de un calentador de agua con vapor.

Un programa de diseño de un calentador de agua con vapor tubular calcula la superficie de intercambio de calor, que es la superficie lateral de los tubos.

Dadas las dimensiones aproximadas del equipo que contiene a los tubos, es posible determinar el número de tramos de tubos necesario. El programa calcula un número real, pero, dada la configuración de los tubos donde el vapor entra por un extremo y sale por el otro, hace necesario que la cantidad de tramos de tubos sea un número impar, que además deberá ser el primer número impar superior al número calculado.

Por lo tanto, para que el programa calcule dicho número a partir del número real calculado se deberá crear una función que lo calcule.

Solución:

Sea x un número real positivo cualquiera. Nos interesa hallar el número impar inmediatamente mayor o igual a x, por lo que primero hallamos el número entero anterior [x] (parte entera de x). Un número par es un número entero divisible por 2. Por lo tanto, calculamos. Si el número así calculado es par,

entonces:

Por lo tanto, la función que debemos crear es la siguiente:

Si buscamos un número impar de tramos, debemos tomar la segunda parte de la función.

Problema Nº 2:
Tema: Definir una función a trozos
Aplicación: Función de obtención de la potencia de bombeo para un sistema de alimentación de calderas.

El objetivo es encontrar una función por tramos para incorporar a un modelo matemático.

Se trata de un sistema de bombeo que abastece agua desmineralizada a 4 calderas que generan vapor para una central.

El sistema está constituido por dos bombas cuya capacidad es de 330 m3/h cada una, en total, 660 m3/h.

La función es para cada una la potencia consumida en Kw (W) en función del caudal bombeado en m3/h (Q), es decir W = f(Q).

Cada bomba consume a plena capacidad 625 Kw y a caudal nulo (en el momento del arranque), 60 Kw. La curva la podemos suponer sin mayor error, una recta.

Solución:

La recta para la primer bomba es

O sea:

W = 60 + 1,712Q

Una vez alcanzada la capacidad de la primer bomba, se arranca automáticamente la segunda bomba hasta llegar a los 660 m3/h

La segunda bomba, pasados los 330 m3/h suma un escalón de potencia de 60 Kw y su potencia se incrementa con la misma pendiente, ya que todo el caudal adiconal lo aporta la segunda bomba.

La función entonces es:

La gráfica de esta función es

Problema Nº 3:
Tema: Funciones implícitas:
Aplicación: Cálculo de pérdida de carga en cañerías

Una aplicación de funciones implícitas es la que surge de considerar la caída de presión en una cañería en función del caudal. Tal es la expresión de Darcy:

Donde

Nos interés la función f dada por la siguiente expresión (de Colebrook) de función implícita:

Donde:

F: Factor de fricción

Re: Número de Reynolds, donde

V: Velocidad del fluido en m/seg

d: diámetro de la cañería en m

µ: Viscosidad dinámica del fluido en Kg/m seg

Densidad del fluido en Kg/m3

k; rugosidad de la cañería en m

La ecuación de Colebrook representa una función implícita de dos variables:

Suponiendo la relación k/d constante, para cañería standard, la anterior se transforma en:

, equivalente a una función explícita

, la cual es imposible de escribir en forma explícita

Problema Nº 4:
Tema: Coordenadas polares, elipse
Aplicación: Cálculo de luminarias para iluminación de una autopista

Se trata de definir la separación entre luminarias para obtener un flujo lumínico determinado y poder presupuestar la obra. Se requiere modelizar matemáticamente la curva dada por el fabricante. La forma más sencilla y aproximada es, en este caso, la de una elipse.

La curva seleccionada es la siguiente:

Partimos de leer las coordenadas que definen los semiejes;

b : semieje menor: 924/2 = 462 lúmenes

a: semieje menor: 704 lúmenes

La elipse está desfasada una distancia iguala a/2, de modo que es tangente al eje vertical en el origen de coordenadas. El centro resulta entonces a una distancia igual a 462 lúmenes.

Si llamamos x al eje vertical e y al eje horizontal, tendremos:

Escribiendo esa ecuación en forma polar, donde:

Despejando cosφ:

Si la altura a la que va colgado el artefacto es H, y la distancia medida en el suelo donde se requiera conocer el nivel de iiuminación es L, el ángulo φ que cimpla con un valor mayor que el especificado será:

La intensidad de iluminación en el punto P será

n: número de lámparas por artefacto

Suponiendo un nivel de iluminación mínimo para una autopista con 1200 vehículos por hora:

I= 200 lux

Los flujos están dados por .

El flujo crítico se da en la mitad del tramo horizontal entre dos artefactos, por lo tanto, la longitud L crítica será:

El factor 2 se debe a que en el punto P inciden tanto los flujos del artefacto 1 como el del artefacto 2. Reemplazando:

Obtenemos operando:

Dándole valores a ambos miembros, el ángulo quedará determinado cuando se igualen ambos miembros.

Datos:

Angulo

63,5º

Distancia

20.05 m

Distancia entre luminarias; 2.d = 40,1 m

Problema N° 5
Tema: Hallar el mínimo de una función
Aplicación: Determinación del espesor óptimo de aislación térmica de una cañería de vapor

El problema consiste en determinar el espesor de aislación para una cañería caliente (por ejemplo, que conduce vapor).

La aislación debe permitir cumplir con dos objetivos:

a. Reducir las pérdidas de calor con el fin de minimizar el costo ya sea del combustible que genera el calor, como así también El costo de los materiales y la mano de obra para su montaje.

b. Lograr una temperatura de contacto con la superficie exterior del aislante lo suficientemente baja para evitar quemaduras por contacto accidental.

Se trata de un problema de transmisión de calor por conducción y convección, cuyo fenómeno es ampliamente descripto en la bibliografía correspondiente.

De ésta extraemos los siguientes conceptos:

La pérdida de calor a través de una cañería cilíndrica por conducción se puede calcular con la siguiente expresión:

Donde:

λ: Conductividad térmica del aislante en Kcal/hmªC

tc: Temperatura del fluido caliente en el lado interior en ªC

tf: Temperatura del lado frío del aislante en ªC

L: longitud de la cañería en m

De: Diámetro exterior del aislante en m

Di: Diámetro interior del aislante en m

Q

El mismo calor atraviesa la película de aire que rodea a la pared exterior del aislante y que constituye una resistencia al pasaje de calor.

Aquí se produce una transmisión de calor por otro fenómeno llamado convección, que se calcula de la siguiente manera:

Donde:

h: Coeficiente de convección en Kcal/hm²ªC

tp: Temperatura en la pared exterior del aislante

te: temperatura exterior o ambiente

A: Area lateral dela parte aislada

Dado que ambas cantidades de calor son iguales

Aquí, el diámetro exterior está en función del espesor del aislante:

Con esta expresión se puede despejar el valor de tp, que será menor de 60 ºC por las razones de seguridad señaladas.

El valor de x mínimo se calcula despejando x de la ecuación, y será el límite de la variable x

La evaluación deberá realizarse a partir del espesor calculado.

Si consideramos el calor perdido que atraviesa tanto el espesor del aislante y la resistencia de la película de aire, será igual al salto térmico total dividido la suma de las resistencias.

Pero:

Costo del calor:

Donde

Cc: Costo del combustible

η: Rendimiento de conversión de calor (horno o caldera)

τ: Horas anuales de servicio.

Costo del aislante:

El mismo incluye costo del material y mano de obra de montaje:

Volumen del aislante:

Peso por metro:

Costo por metro:

M: Tiempo de amortización simple del capital en años.

Por lo tanto, el costo total será una función de x igual a la suma de dos términos:

El costo del calor y el costo del aislante.

Existe un valor mínimo que habrá que hallar.

La función costo total será entonces:

Llamamos:

Reescribiendo la ecuación (1)

El espesor óptimo se obtiene derivando esta expresión e igualando a cero:

La derivada de la función anterior es:

Igualando a cero y simplificando:

Llamando

Dicha expresión se puede resolver mediante tanteos, dándoles valores a x, calcular y y z de manera de lograr que

Donde

es un error preestablecido.