Kitabı oku: «Занимательная физика. Книга 2», sayfa 3

Глава вторая
Силы. Работа. Трение

Задача о лебеде, раке и щуке

История о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись» – известна, конечно, всем. Но пробовали ли вы проверять этот рассказ на основании законов механики? Результат проверки получается, сверх ожидания, вовсе не похожий на вывод баснописца.

Будем рассуждать так, словно перед нами обыкновенная задача на сложение нескольких сил, действующих под углом одна к другой. Направление сил определено в басне:

 
…Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад, а щука тянет в воду.
 

Это значит, что одна сила, тяга лебедя (А), направлена вверх; другая, тяга щуки (В) – вбок; третья, тяга рака (С) – назад. Не забудем, что существует еще четвертая сила, вес воза, которая направлена отвесно вниз. Крылов утверждает, что «воз и ныне там», – другими словами, что равнодействующая всех четырех сил в данном случае равна нулю.

Так ли это?

Посмотрим. Лебедь, рвущийся к облакам, не только не мешает работе рака и щуки, но даже помогает им: тяга лебедя, направленная против силы тяжести, облегчает вес воза, а может быть, даже и вполне уравновешивает его – ведь груз невелик («поклажа бы для них казалась и легка»). Остаются всего две силы: тяга рака и тяга щуки. О направлении этих сил говорится, что «рак пятится назад, а щука тянет в воду». Само собою разумеется, что вода находилась не впереди воза, а сбоку (не потопить же воз собрались крыловские труженики!). Но если силы рака и щуки направлены под углом одна к другой, то равнодействующая их никак не может равняться нулю.

Рис. 13. Задача о лебеде, раке и щуке, решенная по правилам механики. – Равнодействующая D должна сдвинуть воз с места.

Поступая по правилам механики, строим на обеих силах В и С параллелограмм; диагональ его D дает направление и величину искомой равнодействующей. Ясно, что эта равнодействующая сила должна сдвинуть воз с места, тем более что вес воза вполне или частью уничтожается тягою лебедя (трением мы здесь, ради простоты, пренебрегаем). Другой вопрос – в какую сторону сдвинется воз: вперед, назад или в бок; это зависит от соотношения сил и от величины угла между ними.

Во всяком случае, как видите, Крылов едва ли мог с уверенностью утверждать, что «возу все нет ходу», что «воз и ныне там».

Вопреки Крылову

Мы только что видели, что житейское правило Крылова: «когда в товарищах согласья нет, на лад их дело не пойдет» – не применимо в механике. Силы могут быть направлены не в одну сторону и, несмотря на это, давать известный результат.

Мало кто знает, что даже усердные труженики-муравьи, которых тот же Крылов восхваляет, как образцовых работников, трудятся совместно именно по осмеянному баснописцем рецепту. И все же дело у них, в общем, идет на лад. Выручает опять-таки закон сложения сил. Если вы станете внимательно следить за муравьями во время работы, то очень скоро убедитесь, что разумное сотрудничество их – только кажущееся; на деле же каждый муравей работает сам для себя, вовсе не думая помогать товарищу.

Рис. 14. Каждый муравей тянет ношу в свою сторону. – Стрелки показывают направление тяги.

Вот как описывает работу муравьев один исследователь¹³:

«Если крупную добычу тащит десяток муравьев по ровному месту, то все действуют одинаково, и получается видимость сотрудничества. Но вот добыча, например гусеница, зацепилась за какое-либо препятствие, за стебель травы, за камешек. Дальше вперед тащить нельзя, надо обогнуть. И тут с ясностью обнаруживается, что каждый муравей, по-своему и ни с кем из «товарищей» не сообразуясь, старается справиться с препятствием (см. рис. 14 и 15). Один тащит направо, другой – налево; один толкает вперед, другой, рядом с ним стоящий, тянет назад. Переходят с места на место, хватаются за гусеницу в другом месте, и каждый толкает или тянет по-своему. Когда случится, что силы работающих сложатся так, что в одну сторону будут двигать гусеницу 4 муравья, а в другую – 6, то гусеница, в конце концов, и двинется именно в сторону этих 6-ти, несмотря на противодействие 4-х».

Приведем еще поучительный пример, наглядно иллюстрирующий это мнимое сотрудничество муравьев. На рис. 16 изображен прямоугольный кусочек сыра, за который ухватилось 25 муравьев. Сыр медленно подвигался в направлении, указанном стрелкою, и можно было думать, что передняя шеренга муравьев тянет ношу к себе, задняя – толкает ее вперед, боковые же муравьи помогают и тем и другим. Однако это совершенно не так, в чем нетрудно убедиться: отделите ножом всю заднюю шеренгу – и ноша поползет гораздо быстрее. Ясно, что эти 11 муравьев тянули назад, а не вперед: каждый из них старался повернуть ношу так, чтобы, пятясь назад, волочить ее к гнезду. Значит, задние муравьи не только не помогали передним волочить ношу, но усердно мешали им, парализуя их усилия. Для того, чтобы волочить этот кусочек сыра, достаточно было бы усилий всего четырех муравьев, но несогласованность действий и взаимные помехи приводят к тому, что его едва тащат 25 муравьев!

Рис. 16. Муравьи стараются притащить кусок сыра к муравейнику, расположенному в направлении стрелки.

Легко ли сломать яичную скорлупу?

Если вы думаете, что яичная скорлупа очень хрупкая и нежная вещь, то попробуйте раздавить яйцо между ладонями, напирая на его острые концы. Вам удастся это далеко не так легко, как вы воображаете: нужно немалое усилие, чтобы сломить скорлупу при подобных условиях.

Столь необычайная крепость яичной скорлупы зависит исключительно от его выпуклой формы и объясняется совершенно так же, как и прочность всякого рода сводов и арок.

На прилагаемом чертеже (рис. 17) изображен разрез небольшого каменного свода над окном. Груз S (т. е. вес вышележащих частей кладки), напирающий на клинообразный средний камень свода, давит вниз с силою, которая обозначена на чертеже стрелкой А. Но сдвинуться вниз камень не может, вследствие своей суживающейся формы, – и он давит на соседние камни. Другими словами, сила А разлагается, по правилу параллелограмма, на две боковые силы, обозначенные стрелками С и В; силы эти уничтожаются сопротивлением прилегающих камней, в свою очередь зажатых между соседними. Таким образом, сила, давящая на свод снаружи, не может его разрушить. Зато сравнительно легко разрушить его силой, действующей изнутри. Это и понятно, так как клинообразная форма камней, мешающая им опускаться, нисколько не мешает им подниматься.

Рис. 17. Причина прочности свода.

Скорлупа яйца есть тот же свод, только сплошной, а не составленный из отдельных частей. При давлении снаружи он разрушается далеко не так легко, как можно бы ожидать от такого хрупкого материала. Теория доказывает, что наибольшее сопротивление давлению оказывает свод не строго полушаровидный, а именно такой формы, как выпуклость на остром конце яйца. Можно поставить ножки довольно тяжелого стола на четыре сырых яйца, и последние не раздавятся. (Для устойчивости яиц и увеличения площади давления надо снабдить яйца гипсовыми расширениями на концах; гипс легко пристает к известковой скорлупе.)

Теперь вы понимаете, почему наседке не приходится опасаться сломить скорлупу яиц тяжестью своего тела. И в то же время, слабый птенчик, желая выйти из своей природной темницы, без труда пробивает скорлупу клювиком: тонкий известковый свод не может противостоять давлению изнутри.

С легкостью разламывая скорлупу яйца боковым ударом, мы и не подозреваем, как прочна она, когда сила действует на нее при естественных условиях, и какой надежной броней природа защитила развивающееся в ней живое существо.

Загадочная, почти чудесная прочность электрических лампочек, казалось бы столь нежных и хрупких, объясняется совершенно так же, как и прочность яичной скорлупы. Их необыкновенная крепость станет еще поразительнее, если вспомним, что они почти абсолютно пусты, и давлению внешнего воздуха ничто не противодействует изнутри; между тем, на пористую стенку куриного яйца атмосферное давление, конечно, не оказывает никакого влияния. А величина давления воздуха на электрическую лампочку весьма не мала. Шарообразная лампочка, поперечником, например, в 20 сантиметров, имеет поверхность в 1 260 см². На каждый сантиметр, как известно, воздух давит с силою 1 килограмма: эта дает на всю лампочку давление 1 260 килограммов, или 75 пудов! Вот какое огромное давление непрерывно выдерживает тонкая стеклянная пленка электрической лампочки! Достаточно четвертой части этого давления, чтобы, действуя изнутри, разнести лампочку вдребезги.

На парусах против ветра

Для всякого не моряка представляется непостижимым, как могут парусные суда идти «против ветра». Правда, моряк скажет вам, что прямо против ветра на парусах идти нельзя, а можно двигаться под очень острым углом к направлению ветра. Но угол этот так мал (12°), что представляется, пожалуй, одинаково непонятным – плыть ли прямо против ветра, или под углом к нему в 12°.

Для теории это, однако, небезразлично, и мы сейчас объясним, каким образом можно силою ветра идти навстречу ему под небольшим углом. Сначала рассмотрим, как вообще действует ветер на парус, т. е. куда он толкает парус, когда дует на него в каком-либо направлении. Если вы не моряк, то, вероятно, думаете, что ветер всегда толкает парус в ту сторону, куда дует. Но это не так: куда бы ни дул ветер, он толкает парус перпендикулярно к его плоскости. В самом деле: пусть ветер дует в направлении, указанном стрелками на рис. 18; линия АВ обозначает парус. Так как ветер напирает равномерно на всю поверхность паруса, то мы можем заменить давление ветра силой R, приложенной к середине паруса. Эту силу мы разложим на две: силу Q, перпендикулярную к парусу, и силу Р, направленную вдоль него. Последняя сила будет скользить по парусу, не толкая его, так как трение ветра о полотно очень незначительно. Остается только сила Q, которая толкает парус в перпендикулярном к нему направлении.

Рис. 18. Почему ветер всегда толкает парус под прямым углом к его плоскости.

Итак, под каким бы углом к парусу ни дул ветер, он во вся́ком случае напирает под прямым углом к парусу.

Зная это, мы уже без труда поймем, как может парусное судно идти под очень острым углом навстречу ветру. Пусть линия KK (рис. 19) изображает килевую линию судна. Ветер дует под острым углом к этой линии в направлении, указанном рядом стрелок. Линия АВ изображает парус; его помещают так, чтобы плоскость его делила пополам угол между направлением киля и направлением ветра. Проследите на рис. 19 за разложением сил. Напор ветра на парус мы изображаем силой Q, которая, как мы знаем, должна быть перпендикулярна к парусу. Силу эту разложим на две: силу R, перпендикулярную к килю, и силу S, направленную вперед, вдоль килевой линии судна. Так как движение судна в направлении R вызывает сильное сопротивление воды (киль в парусных судах делается очень глубоким), то сила R почти полностью уничтожается; остается одна лишь сила S, которая, как видите, направлена вперед, а следовательно, подвигает судно под углом, как бы навстречу ветру.

Рис. 19. Разложение сил, объясняющее, почему возможно идти на парусах против ветра.

Рис. 20. «Лавирование» парусного судна.

Моряки заметили, что наименьшая величина угла ВРS, под которым можно идти против ветра, равна 11–12 градусам. Из чертежа видно, что скорость такого движения против ветра очень невелика (в сравнении с силою ветра), так как при этом используется лишь часть полного напора ветра на паруса. Но как бы то ни было, идти против ветра можно. Обыкновенно это движение выполняется зигзагами, как показывает рис. 20. На языке моряков такое движение судна называется «лавированием».

Мог ли Архимед поднять Землю?

«Дайте мне точку опоры – и я подниму всю Землю», – сказал, если верить преданию, Архимед, когда открыл закон рычага. И действительно, нет такой тяжести, которую нельзя было бы поднять самой слабой силой, если воспользоваться рычагом: стоит только приложить эту силу к очень длинному плечу рычага, а короткое плечо заставить действовать на груз. Поэтому может показаться, что Архимед был вполне прав в своем смелом утверждении: напирая на чрезвычайно длинное плечо рычага, он мог бы силою своих рук поднять тяжесть, равную весу всего земного шара.

Но если бы великий механик древности знал, как огромен вес земного шара, он, вероятно, воздержался бы от своего горделивого восклицания. Вообразим на мгновение, что ему дана та точка опоры, которую он так тщетно искал; вообразим далее, что он изготовил рычаг нужной длины. Знаете ли, сколько времени понадобилось бы ему, чтобы поднять земной шар хотя бы на один дюйм? Десять биллионов лет! Сто тысяч миллионов веков!..

В самом деле, Земля весит круглым числом – 365.000.000.000.000.000.000.000 пудов.

Рис. 21. Архимед поднимает Землю. (Из старинного сочинения по механике.)

Если человек может прямо поднять только пять пудов, то чтобы поднять Землю, ему понадобится приложить свои руки к длинному плечу рычага, которое больше короткого в 73.000.000.000.000.000.000.000 раз!

Простой расчет убедит вас, что пока конец короткого плеча поднимется на 1 дюйм, другой конец опишет во вселенной огромную дугу в 1.740.000.000.000.000.000 верст!

Вот какой невообразимо длинный путь должна была бы пройти рука Архимеда, чтобы поднять земной шар только на один дюйм. Сколько же времени понадобилось бы ему для совершения этого подвига? Считайте, что он способен в секунду поднять пятипудовую гирю на одну сажень; тогда, чтобы пройти путь в 1.740.000 биллионов верст и тем поднять нашу планету на один дюйм, ему понадобилось бы не менее десяти биллионов лет!

Следовательно, если бы даже Архимед налегал на рычаг целый миллион лет, он не поднял бы Землю даже на толщину волоса. И если бы рука Архимеда пробегала этот путь с самой большой скоростью, какую только мы наблюдаем в природе, именно – со скоростью света (280.000 верст в секунду), то и тогда понадобилось бы полтораста тысяч лет, чтобы поднять Землю на один дюйм! За всю свою жизнь Архимед даже при такой фантастически быстрой работе не успел бы поднять земной шар на сотую долю толщины волоса…

И никакие ухищрения гениального ученого не помогли бы ему сократить этот срок. «Золотое правило механики» гласит, что на всякой машине выигрыш в силе неизбежно сопровождается соответствующей потерей в скорости, т. е. во времени.

Жюль-верновский силач и – формула Эйлера

Вы помните у Жюля Верна силача-атлета Матифу? «Великолепная голова, пропорциональная исполинскому росту; грудь, похожая на кузнечный мех; ноги, как хорошие бревна; руки – настоящие подъемные краны, с кулаками, похожими на молоты»… Вероятно, из всех подвигов этого силача, описанных в романе «Матиас Сандорф», вам более других памятен поразительный случай со спуском судна «Trabocolo», когда гигант Матифу силою своих могучих рук задержал спуск целого корабля.

Вот как рассказывает романист об этом подвиге:

«Судно, освобожденное уже от подпорок, которые поддерживали его по бокам, было готово к спуску. Хотя оно имело не более 50 тонн водоизмещения, но представляло значительную массу, вследствие чего нужно было принять все необходимые предосторожности. Все уже было готово и приспособлено для спуска, ожидали только сигнала. Достаточно было отнять швартов¹⁴, чтобы судно начало скользить вниз. Уже с полдюжины плотников возилось под килем судна, стараясь приподнять его, покачнуть и направить его путь к морю. Среди всеобщей тишины зрители с живым любопытством следили за операцией. В этот момент, обогнув береговой выступ, который прикрывает с юга порт Гравозу, появилась увеселительная яхта. Чтобы войти в порт, яхта должна была пройти перед верфью, где подготовлялся спуск «Trabocolo», и как только она подала сигнал, пришлось, во избежание всяких случайностей, задержать спуск, чтобы снова приняться за дело после прохода яхты в канал. Если бы суда, – одно, стоявшее поперек, другое, подвигающееся с большой быстротой, – столкнулись, яхта погибла бы.

Рабочие перестали стучать молотками, а один из них, который должен был отнять швартов, получил приказание подождать. Все взоры были устремлены на грациозное судно, белые паруса которого казались позолоченными в косых лучах солнца. Скоро яхта очутилась как раз против верфи, где замерла тысячная толпа любопытных. Вдруг раздался крик ужаса: «Trabocolo» закачалось и пришло в движение в тот самый момент, когда яхта повернулась к ней штирбортом¹⁵! Оба судна готовы были столкнуться; не было ни времени, ни возможности помешать этому столкновению. В ответ на испуганные крики зрителей раздался крик экипажа яхты. Тем временем «Trabocolо» быстро скользило вниз по наклону… Белый дымок, появившийся вследствие трения, закрутился перед его передней частью, тогда как корма погрузилась уже в воду бухты (судно спускалось кормой вперед).

Вдруг появляется человек, схватывает швартов, висящий у передней части «Trabocolo», и старается удержать его, пригнувшись к земле. В одну минуту он наматывает швартов на вбитую в землю железную тумбу и, рискуя быть раздавленным, держит с нечеловеческой силой в руках канат в продолжение 10 секунд. Наконец, швартов обрывается. Но этих 10 секунд было достаточно: «Trabocolo», погрузившись в воду, только слегка задело яхту и пронеслось вперед.

Яхта была спасена. Что касается человека, которому никто не успел даже прийти на помощь – так быстро и неожиданно все это произошло, – то это был Матифу».

* * *

Легко представляю себе, как изумился бы талантливый автор «Матиаса Сандорфа», если бы ему сказали, что для совершения подобного подвига не нужно вовсе быть великаном и обладать, как Матифу, «силою тигра»: каждый находчивый человек, при самой обыкновенной силе мышц, мог бы без труда сделать то же самое!

Механика учит, что при скольжении каната, обвитого на тумбе, трение возрастает в сильнейшей степени. Чем большее число раз навить канат, тем трение больше; правило возрастания трения таково, что с увеличением числа завитков в арифметической прогрессии трение растет в геометрической прогрессии. Поэтому даже слабый ребенок, держа за свободный конец каната, 3–4 раза навитого на неподвижный вал, может уравновесить огромную тяжесть. Подростки, служащие на речных пароходных пристанях, именно этим приемом останавливают подходящие к пристаням пароходы с сотней пассажиров. Помогает им здесь не феноменальная сила их рук, а изученная знаменитым Эйлером зависимость величины трения от числа оборотов веревки вокруг столба.

Для тех из читателей, которых не пугает сжатый язык алгебраических выражений, приводим здесь эту поучительную формулу Эйлера:

F = fе^kα.

Здесь F – та сила, против которой направлено наше усилие f. Буквой e обозначено основание натуральных логарифмов, которое равно 2,718…; k – коэффициент трения между канатом и тумбой. Буквой α обозначен «угол навивания», т. е. отношение длины дуги, охваченной веревкой, к радиусу этой дуги.

Попробуем применить эту формулу к тому случаю, который описан у Жюля Верна. Результат получится поразительный. Силой F в данном случае является сила тяги судна, скользящего по доку. Вес судна нам известен: 50 тонн, т. е. 3000 пудов. Пусть наклон дока ¹/₁₀; тогда на канат действовал не полный вес судна, а ¹/₁₀ его, т. е. 300 пудов. Итак, F=300 пудов.

Далее, величину k – коэффициента трения каната о железную тумбу – будем считать равной ¹/₃. Величину α легко определим, если примем, что Матифу обвил канат вокруг тумбы всего три раза. Тогда:

α = 3×2πr/r = 6π.

Подставив все эти значения в приведенную выше формулу Эйлера, получим уравнение:

300 = f·2,718^{6π 1/3} = f·2,718^2π.

Неизвестное f (т. е. величину необходимого усилия) можно определить из этого уравнения, прибегнув к помощи логарифмов:

lg300 = lg f + 2π lg2,718;

откуда:

f = 0,6 пуда = 24 фунта¹⁶.

Итак, великану Матифу, чтобы совершить свой подвиг, достаточно было тянуть канат с силою всего 24 фунтов!

Не думайте, что эта цифра – 24 фунта – только теоретическая и что на самом деле потребуется гораздо большее усилие. Напротив, у нас получился результат даже чересчур значительный: при пеньковой¹⁷ веревке и деревянной свае усилие потребуется до смешного ничтожное. Лишь бы веревка была достаточно крепка и могла выдержать натяжение, – тогда даже ребенок, благодаря формуле Эйлера, мог бы, навив веревку 3–4 раза, не только повторить подвиг жюль-верновского исполина, но и превзойти его.