Kitabı oku: «Lógica básica», sayfa 2

1.1. Deducción

La definición tradicional afirma que la deducción es el paso de lo general a lo particular. Y es cierta, pero incompleta. También es el paso de premisas que, si son verdaderas, prueban concluyente mente la conclusión. El ejemplo típico es el siguiente: “Todas las bolas de esta bolsa son blancas. Estas bolas estaban en esta bolsa, por tanto, son blancas” (Eco, 1991). Si todas las bolas de la bolsa son blancas, no hay posibilidad de que las bolas tomadas de allí sean de otro color; si sacamos una bola negra, necesariamente tendríamos que negar alguna de las premisas: estábamos equivocados, no todas las bolas eran blancas, o bien, la bola negra no proviene de la bolsa: se nos coló de alguna manera. En general, la matemática es una disciplina que utiliza esta técnica de la deducción de principio a fin.

1.2. Inducción

Otras disciplinas, como la física, la economía o la filosofía también usan la deducción, pero es muy usual que sustenten sus premisas sobre otros tipos de razonamientos. El más frecuente es el inductivo. Continuando con el ejemplo de Eco, tenemos un razonamiento de este tipo en el siguiente caso: todas estas bolas son blancas. Estas bolas estaban en esta bolsa, por tanto, posiblemente todas las bolas de esta bolsa son blancas. Las premisas son verdaderas, pero la conclusión no es necesaria: podría suceder que la última bola sacada sea negra, con lo cual la conclusión quedaría desvirtuada. La diferencia con el caso anterior (deductivo) es patente: allá, si las premisas son verdaderas, no hay opción; en este caso, aun cuando las premisas sean verdaderas, podría no darse la conclusión. En la física, hay inducción cuando se generaliza: la gravitación es una ley que se supone universal —que supuso universal— a partir de su observación de los cuerpos en el ámbito terrestre. No pudo ver todos los objetos del universo. Pero generalizó: a partir de casos verdaderos en la Tierra, supuso que en otras partes del universo se daba dicha regla. En la Antropología, la Lingüística, la Psicología se echa mano de esta técnica: sus “leyes" son estadísticas y, por tanto, generalizaciones que son posibles, pero no necesariamente verdaderas.

1.3. Abducción

Finalmente, la abducción es más que un tipo de inferencia, el proceso que nos lleva a formular y descartar hipótesis (, 1935): “Todas las bolas de esta bolsa son blancas. Todas estas bolas son blancas, por tanto, probablemente, estas bolas provienen de esta bolsa". La abducción nos permite organizar todo el razonamiento para que tenga sentido: la hipótesis sería “todas estas bolas provienen de esta bolsa". ¿Cómo sabemos esto? Porque si esta hipótesis fuera cierta, reorganizaríamos todo el razonamiento de manera que la conclusión “todas estas bolas son blancas" se seguiría del postulado, y de la otra premisa “todas las bolas de esta bolsa son blancas".

En general, la lógica que estudiaremos aquí será deductiva. Esto no significa que no tengamos en cuenta los otros dos procesos. Parte de la motivación para este libro es justamente el hecho de que aun en este tipo de deducciones el estudiante debe usar los otros dos procesos, a diferencia de las máquinas.

2. Lógica proposicional:
sintaxis y semántica

Un argumento, decía Aristóteles, es una afirmación que se sigue de otro conjunto de afirmaciones por el simple hecho de que es así. Parece extraño, pero así es. Por ejemplo, podemos deducir que el profesor no vendrá a clase, pues siempre que viene trae el carro y hoy su auto no está en el parqueadero. 0 podemos saber que si Juan es más fuerte que Pedro y Pedro más fuerte que Diván, Juan será más fuerte que Diván. La lógica estudia estos tipos de argumento de manera abstracta: se centra en su forma, mas no, en principio, en su uso específico con expresiones del lenguaje habitual. Sean p, q, r enunciados cualesquiera: del primer razonamiento, por ejemplo, dirá que tiene la siguiente estructura:

Si p entonces q, no q, por tanto, no p.

Del segundo, dirá que tiene la siguiente estructura:

Si p entonces q, si q entonces r, por tanto, si p entonces r.

Este estudio tiene una ventaja: ofrece reglas, esquemas que sabemos que funcionan siempre, independientemente del tema del cual estemos hablando. Así como el teorema de Pitágoras funciona independientemente de si el triángulo estudiado aparece en una rampa, se forma con un rayo de luz entre una estrella, el telescopio de mi barco y el puerto más cercano, de esta manera, estos esquemas tienen una validez universal, al menos hasta donde nuestro conocimiento del universo alcanza. Asimismo, como el conocimiento de un teorema matemático no me hace el mejor marinero, pero sí evita que muera perdido en alta mar, el conocimiento de los esquemas y reglas válidos de argumentos no me hará ser más sabio, pero sí evitará queme pierda en el camino del debate. Los esquemas son guías: si un razonamiento se ajusta a ellos, todo parece estar bien. Si no se ajusta, debemos verificar si estamos planteando correctamente el asunto, pensando correctamente o si quizás haya una posibilidad que no hayamos explotado.

Resumiendo, un argumento es un razonamiento expresado en proposiciones. Las proposiciones son oraciones del lenguaje cotidiano, que pueden ser catalogadas como verdaderas o falsas.{1} Que el profesor siempre traiga el carro es algo que sabemos, es cierto. Que no lo trajo hoy, también es cierto. En consecuencia, podemos esperar que no venga, dados los hechos anteriores, expresados lingüísticamente en dichas oraciones.

Ahora bien, debemos buscar algo de generalidad en nuestro estudio: no podemos simplemente aprendernos millones de oraciones. La lógica tiene que ver con el pensamiento abstracto: dados unos pocos esquemas, podremos generar muchos argumentos válidos sobre cualquier tema. Empezaremos por exponer uno muy sencillo: el de la lógica proposicional. Posteriormente, expondremos uno más complejo, que abarca casi todos los razonamientos sencillos que encontramos en el habla cotidiana: la lógica de predicados.

2.1. La lógica proposicional: sintaxis

La lógica matemática, formal, estudia los argumentos deductivos, es decir, aquellos que parten de premisas que, de ser verdaderas, conllevan siempre a la verdad de la conclusión. Para ello, desarrolla lo que se conoce como un sistema formal, es decir, un lenguaje artificial que consta de una sintaxis y una semántica, definidas ambas a partir de una reglas recursivas; las reglas recursivas son un conjunto de operaciones que nos permiten obtener todas las expresiones gramaticalmente bien formadas. Un procedimiento recursivo es aquel que obtiene productos que se admiten como entradas para ser procesadas. Por ejemplo, la agricultura es una muestra de un proceso recursivo: se produce maíz, el cual, asimismo, produce semillas que se pueden usar para producir maíz, que a su vez produce semillas...

Un lenguaje formal denotado L funciona como un juego. Veamos la siguiente actividad. Consiste en, dadas las instrucciones y la palabra “amor", derivar la palabra “odio".

Regla 1: solo podemos usar palabras que existan en el diccionario de la Real Academia Española (nótese que ni siquiera debemos saber qué significan. Basta con que por comparación determinemos si aparecen o no en esta lista).

Regla 2: dada una palabra, podemos remplazar una letra por paso, para dar origen a una nueva palabra.

Regla 3: se puede suprimir solo una letra por paso para dar origen a otra palabra.

Regla 4: se puede añadir solo una letra por paso, para dar origen a otra palabra.

En esta derivación numeramos cada paso y al lado derecho indicamos cuál regla se aplicó en cada uno de ellos:

1) Amor Palabra dada.

2) Amar Regla 2 en el paso 1, reemplazando a por o.

3) Mar Regla 3 en el paso 2, eliminando a.

4) Dar Regla 2 en el paso 3, reemplazando m por d.

5) Da Regla 3 en el paso 4, eliminando r.

6) Oda Regla 4 en el paso 5, añadiendo o.

7) Odia Regla 4 en el paso 6, añadiendo í.

8) Odio Regla 2 en el paso 7, reemplazando a por o.

Del amor al odio hay, según la derivación anterior, ocho pasos. Más difícil es transformar la palabra “origen" en “destino" siguiendo las mismas reglas.

A la palabra del paso 1 la podemos llamar “axioma", queriendo decir con ello que es una cadena inicial de signos. A la palabra del paso 8 la llamamos “teorema", queriendo decir que se derivó de 1, mediante sucesivas aplicaciones de las reglas. Nótese que aquí no importa el significado de estas cadenas de signos: no hay ninguna relación entre mar y odio, por ejemplo, y el proceso no se ve afectado por ello. Podemos hacer dos cosas: jugar, o bien hablar del juego. Por ejemplo, decir que "amor" tiene siete letras, o que “da" solo tiene dos, que es aburrido o que es entretenido. Cuando jugamos, decimos que estamos en el interior del sistema, y cuando opinamos, estamos fuera del sistema. Exactamente, esto se denomina un sistema formal. Y los lógicos, además de jugar con las transformaciones de los signos, hablan sobre ellos. No obstante, las cadenas de signos de este nuevo juego son algo diferentes. En lugar de solo letras, se usan además otros símbolos:

1. Variables proposicionales: p, q, r, etc.

Constantes lógicas: , →, ٨, ٧, ↔

2. Signos de agrupación (, ).

A los signos , →, ٨, ٧, ↔se les llama en su orden: “palito que baja hacia la derecha", “flechita hacia la derecha", “gorrito", “gorrito al revés" y “flechita hacia la izquierda y la derecha". Quizás, en inglés, suene más sofisticado: neg, right arrow, wedge, vee y left right arrow. Unos nombres más usuales, pero que ya introducen nociones semánticas, serían negación, condicional, conjunción, disyunción y bicondicional. Estos signos se llaman constantes lógicas, porque se refieren siempre a lo mismo; también las llamaremos operadores lógicos o conectores. Las letras p, etc., se llaman variables proposicionales, porque aquello a lo que se refieren cambia dependiendo del contexto, del uso que les vayamos a dar.

Para el juego de la lógica de proposiciones, en lugar de una regla como “use palabras del diccionario”, que es realmente una manera sencilla de decir que se deben usar principios morfológicos complejos, se ofrecen unas reglas gramaticales sencillas, llamadas reglas de formación.

Usaremos letras griegas como signos fuera del sistema (meta variables) para poder hablar de las expresiones de este de manera general. Es decir, la letra φ se usará como un signo que representará cualquier otro signo de nuestro juego: las variables, o cualquier otra expresión gramatical hecha a partir de variables y constantes. Los estudiantes suelen pensar que φ se refiere generalmente a una variable proposicional. No siempre pasa esto, pues se puede referir a una fórmula compleja como (p → q).

Regla gramatical 1: si φes una variable proposicional, tengo una expresión gramaticalmente correcta.

Regla gramatical 2: si tengo dos expresiones gramaticalmente correctas, φy ψ las siguientes son expresiones gramaticalmente correctas:

(φ),(φ→ ψφ٨ψφ٧ψφψ

Regla gramatical 3: solo las expresiones formadas por las dos reglas anteriores son expresiones gramaticalmente bien formadas.

Los lógicos llaman a cada expresión gramaticalmente bien formada una “fórmula”. Existen varios métodos que nos permitirán darle nombres y apellidos a la fórmula, dependiendo de la constante lógica más importante. Así, una fórmula como:

((p ) ٨ r )

Tiene como operador principal el signo ٨ de manera que se llamará “conjunción”. En este punto, es útil comparar estas fórmulas con oraciones del lenguaje natural: así como la oración “La niña golpeó la pelota" se analiza gramaticalmente, podemos analizar gramáticamente las fórmulas de la lógica proposicional. Podemos hacer un árbol que me indique cuál es el sujeto de la frase, cuál es el predicado, cuándo usamos determinantes (artículos), cuándo nombres, etc.:

En este árbol, la letra S representa a la oración completa considerada como un todo. Está compuesta de una frase nominal, o frase del sujeto (FN); de una frase verbal o frase del predicado (FV); por artículos (Art); por nombres (Nom). La figura nos muestra exactamente cómo se articulan estos elementos para formar una estructura fija, ordenada.

Podemos hacer lo mismo con las fórmulas de la lógica proposicional. Pero, es mucho más sencillo, porque en lugar de darles nombres a las partes de la fórmula, simplemente mostraremos sus componentes, desde su constante lógica principal, hasta sus variables proposicionales componentes. Continuando con la analogía, así como hay un sujeto y un predicado en una oración, en una fórmula hay una constante principal y unos componentes. Para detectar cuál es el operador principal, damos los siguientes consejos:

Un operador tiene un “alcance”, esto es, un grupo de fórmulas que se encuentran a su lado y que afecta gramaticalmente. Así como cuando se dice “Juan no vino y María come carne”, la palabra “no” no afecta a la frase “María come carne”, solo a Juan y su “acto de venir”, un operador afecta de la siguiente manera.

2.1.1. Alcance de

El operador es el signo que menos alcance tiene. Afecta solo las fórmulas que estén inmediatamente a su derecha:

((p ) ٨ r )

En este caso, solo afecta a p. Esto se indica claramente mediante los paréntesis. Así, cuando una fórmula tenga el signo adelante la llamaremos negación y su árbol se hará como sigue: indicamos justo debajo del operador principal cuál es ese operador, trazamos una rama hacia abajo que termine en la fórmula afectada:

Dado que solo afecta a una fórmula, llamamos a la un operador monario. Este hecho se representa sacando una y solo una rama debajo. El árbol de la fórmula (( p ٨q ) ), teniendo en cuenta solo su operador principal quedaría así:

Estos análisis gramaticales y los que se harán a continuación hasta el numeral “Árboles genealógicos totalmente desarrollados”, solo mostrarán el árbol teniendo en cuenta su operador principal. Luego haremos análisis completos, hasta los últimos elementos.

2.1.2. Alcance de ٧

La v tiene más alcance que pero, igual que alcance ٨. Afecta las fórmulas que están a ambos lados; el paréntesis lo indica. Como afecta dos fórmulas, se sacan dos ramas de la bifurcación:

Por ello, el signo es llamado un operador diádico o binario.

Si tenemos en cuenta solo su operador principal, el árbol de una fórmula como ( p ٧ (r )) quedaría como sigue:

2.1.3. Alcance de ٨

La ٨ afecta a las fórmulas que estén a ambos lados. Se debe tener especial cuidado de marcar mediante paréntesis su alcance, pues si aparece junto a una V no sabríamos cómo hacer el árbol correctamente. Su esquema general queda así:

Una fórmula como (p ٨ (r ٧ s)) quedaría, teniendo en cuenta solo su operador principal, así:

2.1.4. Alcance de la →

Este operador tiene mayor alcance que los tres anteriores. Afecta fórmulas a la izquierda y a la derecha, y si a la izquierda hay operadores, también los afecta; asimismo, si a su derecha hay operadores, los afecta de igual manera. Su árbol queda como sigue:

La parte izquierda se le llama antecedente o hipótesis, y a la derecha, 31 consecuente o consecuencia. Una fórmula como ((p ٨ q) → (r ٧ s)) se analiza como sigue:

2.1.5. Alcance de la

Este operador tiene el mismo alcance de la : afecta todo lo que esté a ambos lados. Por ello, es fundamental indicar con paréntesis su alcance. Su árbol queda como sigue:

2.1.6. Reglas de omisión de paréntesis

Como ya hemos introducido esta explicación sobre los alcances, podemos dar las siguientes reglas de omisión de paréntesis: la solo afecta a la fórmula inmediatamente a su derecha. Si la fórmula es compleja debe ir entre paréntesis; si es simple, los podemos obviar. La ٧ y la ٨ afectan todo lo que esté a ambos lados. Si las fórmulas son complejas, deben ir entre paréntesis. Si son simples, los podemos obviar. La → tiene más alcance que cualquier otro. Si su antecedente y consecuente son complejos, no hay necesidad de poner paréntesis, se sobre entiende que todo lo que esté a su izquierda será su antecedente, y todo lo que esté a su derecha será su consecuente. La ↔tiene el mismo alcance que la →. Se sobreentiende que todo lo que esté a su izquierda será su antecedente y todo lo que esté a su derecha será su consecuente.

Podemos hacer una tabla que indique cómo se omiten, si se puede, los paréntesis:

2.1.7. Árboles genealógicos totalmente desarrollados

Dijimos que una fórmula se analizaba totalmente indicando sus componentes simples, es decir, sus variables proposicionales. Pero los esquemas anteriores, solo nos dieron la estructura parcial de los árboles genealógicos. Ahora, debemos aplicarlos exhaustivamente para analizar las fórmulas. Analicemos las dadas anteriormente de manera exhaustiva:

2.2. Deducción para la lógica de proposiciones

El lenguaje cotidiano podemos, además de analizarlo gramaticalmente, analizarlo para ver cómo una frase se convierte en otra, cómo podemos extraer una frase de otra. Por ejemplo, de la frase “Juan y María estudian idiomas” podemos extraer dos frases: “Juan estudia idiomas” y “María estudia idiomas”. En el lenguaje de la lógica de proposiciones podemos hacer lo mismo, mediante reglas de eliminación e introducción, las cuales nos permiten eliminar las constantes , →, ٨ , ٧ , ↔. Para hacer la derivación, simplemente, indicamos las premisas, esto es, las cadenas iniciales de signos, mediante un número con un guión a su lado izquierdo. Además, indicamos cuál es la cadena que queremos obtener mediante el signo «I-». Aplicamos las reglas necesarias, indicando en cada paso cuál se usó. La letra E la usaremos para abreviar la palabra “eliminación” y la letra I para indicar la palabra “introducción”.

Las premisas las indicaremos mediante una barra horizontal al lado de un número, así: “—1)”. Como en el juego de derivar “amor” de “odio”, debemos indicar qué fórmula se obtuvo de qué otra, nombrando la regla y el paso. Esto asegura que la hayamos derivado de manera correcta. Veamos las reglas, un ejemplo de aplicación de cada una de ellas, y un comentario sobre los errores más usuales.

2.2.1. Eliminación de la ٨

Si tengo como premisa o fórmula ya demostrada una conjunción φ٨ ψ, puedo deducir cada uno de los miembros de la conjunción, φy ψpor separado. Ejemplo:

Comentario: en el lenguaje común se suele omitir este paso obvio. De la expresión “Juan y María estudian idiomas” podemos extraer dos frases: “Juan estudia idiomas” y “María estudia idiomas”, pero en el habla cotidiana no se suele hacer tal separación. En la deducción formal debe hacerse.

2.2.2. Introducción de la ٨

Si tengo como premisas o fórmulas ya demostradas dos fórmulas por separado, las puedo unir en una conjunción.

Ejemplo:

Comentario: sucede lo mismo que con la regla anterior: no se usa explícitamente en el habla cotidiana. Pero sí lo hacemos ocasionalmente: si nos piden dar el nombre de dos mosqueteros, dado que sabemos que son Athos, Porthos, Aramis, Dartañán, podemos nombrar solo a Athos y a Porthos. De una lista de cuatro elementos separados, dimos dos pegados con una conjunción.