Kitabı oku: «Lógica básica», sayfa 3

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2.2.3. Eliminación de la →

Si tengo como premisa o fórmula ya demostrada un condicional φ→ ψ, y tengo como premisa o fórmula ya demostrada una fórmula idéntica al antecedente φ, puedo obtener una fórmula idéntica al consecuente ψ.

Ejemplo:

Comentario: de lejos, es la regla más usada, más intuitiva y, por ello, la que más se malinterpreta al aplicarla en sistemas formales. Por ejemplo, si tenemos una afirmación como: “El que haga plagio será expulsado” y sabemos que “Juan hizo plagio”, sabemos que “Juan será expulsado”. Es un caso especial de esta regla: “Si hace plagio, es expulsado; hace plagio, por tanto será expulsado”. Las personas que no estudian lógica suelen usar indistintamente el “por tanto” y el “entonces”, razón por la cual se confunden. Para ellos, una frase como “Si hace plagio, entonces es expulsado” resume la derivación. El error consiste en que en esta última no hay un antecedente demostrado de manera explícita, solo es una oración condicional. El argumento completo debe hacer explícito también el antecedente e indicar que se deduce o deriva el consecuente. En el habla cotidiana, solo en casos muy particulares, asumimos que el antecedente se afirma mediante un acto de habla indirecto. Esto se ve reflejado formalmente en la tendencia a derivar el consecuente sin tener como premisa o como fórmula ya demostrada el antecedente:

-1) p → q

-2) q E → 1 (¡Error!)

Es un error formal. Es como expresar un condicional: “Si tengo dinero me compro una casa” y de pronto, sin dinero, tener la casa.

Lo aconsejable es trabajar y conseguirlo; esta necesidad de trabajar para conseguir el dinero se refleja formalmente en el hecho de que debemos demostrar el antecedente, si es que no nos lo dan como S premisa.

2.2.4. Introducción de la →

Si de una fórmula postulada φ llamada hipótesis, premisa auxiliar o supuesto) se deduce una fórmula ψ, introduzco un condicional cuyo antecedente es la hipótesis φ y cuyo consecuente es la fórmula que se deduce de ella, ψ.

Ejemplo:

Comentario: esta regla nos dice que si planteamos una hipótesis, lo único que tenemos es eso: una hipótesis y si acaso la hipótesis llega a ser cierta, tendríamos lo que de ella se deduce. Si yo me hubiera inventado los nombres, la habría llamado la regla de la lechera: “Si vendo la leche, piensa la niña, compro unas pollas. Cuando estén grandes podrán huevos y así tendré más pollos para la venta. Con ese dinero compraré un ternero, y cuando lo venda tendré dinero”. Finalmente, lo único que tiene la lechera es un sueño: “si vendo la leche tendré dinero”. Como sabemos, por andar soñando, en el camino se le regó la leche y tuvo que conseguir dinero dedicándose a actividades non sanctas. Lo mismo sucede con la 1 →: al final solo tendremos un condicional que no afirma ni su antecedente ni su consecuente. De aquí se sigue un consejo importante: si se introduce una hipótesis, se debe cancelar o cerrar introduciendo un condicional, cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es lo que se sigue de la hipótesis. Este hecho se representa mediante el marco que sale de la hipótesis y se cierra cuando se deduce la consecuencia esperada.

2.2.5 Eliminación de la

Si tengo una fórmula φ, puedo deducir φ eliminando las dos negaciones consecutivas.

Comentario: esta regla es de especial importancia cuando escuchamos a los políticos: “no es cierto que no haya robado el dinero” se interpreta simplemente como “me robé el dinero”. Se aplica en el lenguaje cotidiano a expresiones como “no es cierto que no...”, “no es verdad que no..” y “es falso que no..”. En español solemos hacer énfasis con expresiones como “no. nadie”. Estas no son dobles negaciones: son negaciones redundantes que refuerzan la negativa: “no hay nadie en el salón” significa que no hay una sola persona adentro del salón. Asimismo la expresión “no, no, no y no” es una negativa, no una afirmación. En cambio “no en cierto que no te ame” sí es una doble negación. Se debe tener en cuenta esto para no cometer errores de interpretación.

2.2.6. Introducción de la

Si de una hipótesis φ se deduce una fórmula ψ٨ , negamos la hipótesis.

Ejemplo:

Comentario: por excelencia, es la regla que cancela la hipótesis. Si la nos cancela las hipótesis recordando que toda la deducción es un sueño como el de la lechera, esta regla nos dice que si los sueños llegan a absurdos la hipótesis es falsa. Por ello, se le llama más comúnmente “reducción al absurdo”. La usa Sócrates en sus diálogos, Popper cuando habla del método “hipotético deductivo” como vehículo para “falsear” tesis científicas y la novia celosa cuando quiere agarrar a su novio “en la mentira”: Juan le dice a María que estaba el viernes en la noche con Pedro y ella lo interroga hasta que cae en una contradicción. La contradicción más usual aparece cuando ella previamente ha hablado con Pedro y él le dice que no estaba con Juan. Según las palabras del novio, estaba con él, y según Pedro, no estaba con él. María sabrá que le miente. Tenemos ya dos maneras de cancelar una hipótesis.

2.2.7 Introducción de la ٧

Si tengo una fórmula φ, se puede deducir una disyunción entre φ y cualquier fórmula ψ, es decir, deduzco φ٧ ψ

Ejemplo:

Comentario: esta regla luce como la más anti intuitiva; no parece que en el lenguaje cotidiano, dada una afirmación, deduzcamos una disyunción entre esta y cualquier otra. Pero de hecho sí es muy usada, en combinación con otras reglas, en particular, con la I . Tomemos como hipótesis que Juan mató a Pedro. De allí se sigue una contradicción, por ejemplo, que a la hora del asesinato estaba con su esposa en la casa. Rechazamos la hipótesis: Juan no mató a Pedro. Pero por la IV podemos inferir que Juan no mató a Pedro, o bien, que su coartada es falsa. Así que no es tan descabellada esta regla.

2.2.8. Eliminación de la v

Si tengo una fórmula φ٧ ψ e introduzco como hipótesis cada uno de los disyuntos por separado, y de cada disyunto se deduce exactamente la misma fórmula y, puedo deducir y. Se indica que se aplicó la regla al final de toda la derivación haciendo explícito: dónde está la V que se eliminó y de dónde a dónde se introdujeron las dos hipótesis.

Ejemplo:

Comentario: esta regla realmente elimina no una disyunción, sino un dilema: lo que parecían dos opciones conducen irremediablemente a la misma consecuencia, luego no hay nada que decidir. Por ejemplo, si Antígona entierra a su hermano, morirá. Si no lo hace, también morirá. De aquí se sigue que, haga lo que haga, morirá. Como veremos, es más usual encontrar esta inferencia representada en el sistema como un dilema constructivo, que es una regla derivada. Pero, la veremos después. En esta regla se postulan dos hipótesis: los dos componentes de la V. Estas hipótesis no se cancelan hasta tanto no se haya logrado derivar exactamente la misma fórmula.

2.2.9. Eliminación de ↔

Si tengo un bicondicional φ ↔ψ, puedo obtener dos condicionales:

Comentario: esta regla es más una definición. Generalmente, en otros libros las reglas que valen para el → valen para el ↔: el Modus Ponens y la E →, pues lo que se hace es saltarse pasos en la derivación.Una derivación puede constar de un número muy grande de pasos (grandes, pero finitos), de manera que hay que aplicar varias veces muchas reglas. Por ejemplo, dadas como premisas p ٨q y r ٨s, derivar q ٨s:

En este caso eliminamos las conjunciones en los pasos 1 y 2, para obtener aisladas las fórmulas q y s. Luego, aplicamos la introducción de la ٨ para obtener q s, en el sexto paso.1 Por ejemplo, veamos un caso de aplicación de la regla de introducción de la →. Aquí se postula una hipótesis y se espera llegar a una consecuencia. Esta consecuencia dependerá de la verdad de la hipótesis y esta dependencia se expresa sintácticamente en el hecho de que lo único que derivamos al final es un condicional. La semántica nos mostrará después que obtener un condicional es como no obtener nada en absoluto{1a}:

Dadas como premisas (p → q) y (q → r), derivar (p → r):

En el paso 3 se introduce una hipótesis, hecho que suele resaltarse, como dijimos, poniendo un marco que arranca desde la hipótesis y se cierra en el paso en el que se deduce la consecuencia esperada. En este caso eliminamos la → del paso 1, mediante la afirmación del antecedente, afirmación que se da en 3, para obtener q en el paso 4. Se repite la misma operación para obtener r en el paso 5; dado que r era lo que quería deducirse como consecuencia de la hipótesis, se introduce una →, cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es la fórmula final que se deduce. Lo que está en el cuadro se llama “demostración subordinada” a la hipótesis; este hecho se indica afirmando que la regla va de los pasos 3 al 5 (aquí se escribió como i →3-5). El problema suele ser el planteamiento de la hipótesis: ¿cómo sé yo, preguntan los estudiantes, cuál es la fórmula que debo postular? Más adelante, volveré sobre esta pregunta, pues justamente son este tipo de dudas las que obligan y, de hecho, demuestran que una demostración es o se puede ver como más que un cálculo.

El mismo problema surge cuando se aplica la regla de la introducción de la que también se suele llamar demostración indirecta o reducción al absurdo. Si bien es cierto que la lógica se ve como un cálculo, los razonamientos necesarios para solucionar este tipo de problemas complejos no son “mecánicos”, en principio. Por supuesto, la idea es que el estudiante llegue a interiorizar esta manera de razonar para que reconozca estos esquemas allí donde aparezcan y verifique rápidamente la validez. De ahí que afirmar que la esencia de una demostración sea el probar “en el vacío” hay mucho trecho; estos ejercicios son a las pruebas matemáticas lo que los ejercicios de pronunciación y redacción son al bien hablar en comunidad.

2.2.10. Resumen de las reglas primitivas

A continuación, presentamos un esquema de las ocho reglas primitivas del cálculo de deducción natural, en la versión más usual; esto es, la más utilizada en los libros iberoamericanos. Los puntos suspensivos : significan que se han realizado correctamente pasos deductivos. El cajón □ representa que se ha introducido y cancelado correctamente una hipótesis que se postula justo debajo del borde superior y se cierra justo en el paso arriba del borde inferior.

2.3. Abducción, de nuevo

El siguiente ejercicio suele presentar problemas al estudiante: dadas -1) p → q y -2) q → r. ¿Cómo sabemos que debemos postular "p" para demostrar la fórmula q → r? Supongamos que un estudiante plantea una fórmula cualquiera; finalmente, nada me impide, en principio, suponer cualquier cosa que se me ocurra por disparatada que sea. En este caso, dadas las dos premisas anteriores, postuló r. Debemos proceder a desechar —no confundamos esto con cancelar o cerrar— dicho supuesto: toda fórmula postulada debe ser cerrada. Solo hay dos formas de cerrar una hipótesis: mediante la regla I →, o mediante la regla I . Supongamos que aplicamos la primera: sabemos que esta nos permite inferir únicamente un condicional, cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es la fórmula que se deduce de aquella. Según esto, al final, de hacer correctamente la deducción, obtendremos, esbozando la derivación, algo como lo que sigue (los signos suspensivos representan pasos correctos):

Si partimos de r, concluiremos que r → φ. Sea lo que sea φ, este condicional no se parece en nada al que tenemos que demostrar: p →r. En particular, porque tienen antecedentes diferentes. Si aplicamos la otra regla, I obtendremos algo como lo siguiente:

En este caso, si encontramos una contradicción, la fórmula que postulamos se negará y tendremos r. De nuevo, si iniciáramos nuestra demostración con r obtendríamos algo diferente de p → r. Ello muestra que debemos desechar (léase bien, desechar, no negar) la hipótesis. Así, podremos postular diferentes fórmulas hasta dar con p y descubrir con esto lo siguiente:

Si postulamos p, al final obtendríamos un condicional p → φ, que al menos es similar al que queremos demostrar, por cuanto tienen el mismo antecedente. Finalmente, por ensayo y error, hemos hallado la hipótesis que nos conducirá a la conclusión deseada. Siguiendo a Pierce, si la abducción es definida como la selección provisional de una hipótesis, el procedimiento que nos ayuda a postular la hipótesis correcta es abductivo.

2.4. Inducciones

Entendida como una generalización que parte de casos particulares verdaderos y llega a generalidades probables, la inducción me ayuda también a formular posibles métodos para solucionar problemas. Por ejemplo, a partir de lo dicho en el numeral anterior, se puede hacer una generalización, que llamaré "consejo", sobre la manera de demostrar condicionales.

2.4.1. Consejo 1

La mayoría de las veces, cuando piden demostrar un condicional, se debe postular el antecedente del condicional que me piden demostrar.

Por supuesto, esto es una afirmación solo probable —podríamos hacer la prueba indirecta negando lo que me piden—, pero ayudará en la realización de los ejercicios. Otra serie de generalizaciones serían las siguientes.

2.4.2. Consejo 2

Si no he podido demostrar una fórmula φ usando reglas sencillas, se debe tratar usando reducción al absurdo. Para ello, postulo como hipótesis lo contrario a φ, en este caso: φ, y trato de llegar a una contradicción. Si lo que me piden demostrar es una negación, por ejemplo ψ, postulo como hipótesis ψ. Veamos un ejemplo de esta última:

Dadas como premisas ((p ٨ s) → q) y ( q) , derivar (p ٨ s). Siguiendo el consejo 2, debo postular lo contrario a (p ٨ s), es decir, debo postular como hipótesis (p ٨ s):

La contradicción se obtiene en 5, pegando q y q mediante el signo ٨ y debido a esto se niega el supuesto.

2.4.3. Consejo 3

Siga la regla, no la interprete, no la lea al revés, no invente reglas a menos que pueda demostrarlas formalmente con las reglas primitivas de manera correcta.

2.4.4. Consejo 4

Cierre, elimine, cancele toda hipótesis que postule. Solo hay dos formas de eliminar una hipótesis:

A) Introduciendo el →, en cuyo caso debe:

i) Introducir una hipótesis, que generalmente es el antecedente del que piden demostrar.

ii) Cerrar el marco.

iii) Introducir un → cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es lo que se infiere de la hipótesis.

B) Introduciendo la

C) en cuyo caso se hace lo siguiente:

i) Se postula la hipótesis, que generalmente es lo contrario de lo que se quiere demostrar.

ii) Se deduce una contradicción se cierra el marco y se niega la hipótesis.

2.4.5. Consejo 5

En el 99,9% de los casos, cuando nos dan una disyunción como premisa, se debe usar E V. En este caso se postulan dos hipótesis, que se eliminan de la siguiente forma: de cada una de ellas se debe llegar a la misma fórmula, para así deducirla correctamente.

Estos son consejos que pueden guiar al estudiante para hacer una derivación. Su seguimiento garantiza que el estudiante sabrá qué hacer ante un ejercicio. Pero, a medida que las derivaciones se hagan más complejas o se aprendan las reglas derivadas, los consejos pueden volverse más bien un estorbo que haga las demostraciones más largas de lo debido. Por ello, son consejos y no reglas fijas.

2.5. Inducción matemática

Hay una manera de probar generalizaciones inductivas: mediante el principio de inducción matemática, que es realmente una regla deductiva: de premisas verdaderas se llega a conclusiones necesariamente verdaderas. Este dice que si un número n tiene una propiedad y demostramos que su sucesor, esto es, el número n + 1, la tiene, todos los números la tienen. Aplicado a la lógica de proposiciones podemos formular el principio así:

2.5.1. Principio inducción matemática para la lógica de proposiciones

Sean φ y ψ fórmulas. Si:

i) φ es una variable proposicional y tiene una propiedad Ф, y además,

ii) (, φ) tiene la propiedad Ф, y además,

iii) (φ → ψ), (φ ٨ ψ), (φ ٧ ψ), (φ↔ ψ) tienen la propiedad,

entonces,

Toda fórmula tiene la propiedad O.

Por ejemplo, demostremos que el número de paréntesis de una fórmula es siempre par.

2.5.1. Proposición 0

Si φ es una fórmula, entonces tiene un número par de paréntesis.

Demostración:

i) Sea φ una variable proposicional que tiene la propiedad de que su número de paréntesis es par. En efecto, cero es múltiplo de dos puesto que 2 x 0 = 0.

ii) (φ) tiene la propiedad de que su número de paréntesis es par.

iii) (φ → ψ), (φ ٨ ψ), (φ ٧ ψ), (φ↔ ψ) tienen la propiedad de que su número de paréntesis es par.

Dado que se da el antecedente, se da su consecuente: toda fórmula tiene la propiedad de que su número de paréntesis es par.

Parece una proposición trivial, pero nótese que se sigue de allí una consecuencia interesante y útil: si el número de paréntesis de una cadena de símbolos no es par, no es una fórmula. Así, que si queremos saber si la siguiente es una fórmula, podemos empezar por contar su número de paréntesis:

((p ٨ q) → r → t ) ٧ s)

Dado que su número de paréntesis es cinco y no es par, se sigue que no es una fórmula. Ahora bien, ¡cuidado!, si el número es par, no se sigue que sea una fórmula: sería cometer la falacia de afirmación del consecuente. En efecto, vean la siguiente sarta de signos:

(p → r → s)

En este caso el número de paréntesis es par, pero no es una fórmula: no podemos establecer claramente cuál es el antecedente y el consecuente.

2.6. Reglas derivadas

Una regla derivada es la abreviación de una demostración hecha con reglas primitivas que se puede usar para abreviar demostraciones en las que aparece aquella derivación. Por ejemplo, podemos hacer más corta una demostración por reducción al absurdo de la siguiente manera: si tenemos un condicional y tenemos la negación de una fórmula idéntica a su consecuente, podemos demostrar la negación de una fórmula idéntica al antecedente. Esta es la formulación de una regla derivada llamada tollendo tollens. Su demostración quedaría como sigue:

El esquema queda resumido como sigue:

Nótese que los pasos 3 a 5 de la demostración en el consejo 2 corresponden a los mismos pasos aquí, solo que remplazando p ٨ s por φ y q por ψ. Así, podemos aplicar esta regla derivada del Tollendo tollens para acortar esa demostración:

Nos hemos ahorrado así tres pasos de la deducción original. Las reglas derivadas pueden incluso ser más usadas en la vida diaria que las primitivas. Por ejemplo, es más usual encontrar el tollendo tollens que una reducción al absurdo en un artículo de prensa:

Ahora Uribe sale a reprender en público a Palacio. Pero hasta un niño puede darse cuenta de que su regaño no es nada sincero: si en verdad creyera que su Ministro ha sido un irresponsable, o simplemente un inepto, ¿un hombre con el carácter de Uribe ya no lo hubiera despedido? (Klaus Ziegler, "Estado de sugestión”).{2}

En este caso, el argumento queda como sigue:

"Si el presidente Uribe creyera que Palacio ha sido un irresponsable, o simplemente un inepto, entonces lo abría despedido. Pero no lo ha despedido, por tanto, no cree que Palacio sea un irresponsable o simplemente un inepto”. Es claramente un tollendo tollens.

A continuación, doy una lista de las reglas derivadas más usadas, y otras que serán útiles en las demostraciones matemáticas de los capítulos posteriores:

Un ejercicio excelente consiste en demostrar estas reglas a partir de las primitivas. Aquí solo ofreceré la demostración de un caso de las leyes de De Morgan. En general, esta regla dice lo siguiente: si tengo una conjunción, puedo obtener la negación de una disyunción de negaciones; si tengo una disyunción, puedo obtener la negación de una conjunción de negaciones. La demostración de la regla suele ser omitida en muchos manuales, por ello será la única que haga aquí.