Kitabı oku: «Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно», sayfa 4

Плеяда геометрических игр

В огромной галактике геометрических игр мы посетили пять планет. По моим подсчетам, остается еще невообразимое множество. Из-за нехватки места (оцените мою экономность) я вижу три возможности: (1) исследовать еще одну игру со всеми ее интересными и занудными деталями; (2) галопом по Европам рассказать еще о пяти играх; или (3) описать 5000 игр микроскопическим шрифтом.

Что ж, рискуя показаться приземленным бесхарактерным центристом, предлагаю пойти по безопасному среднему пути. Идет?

Гроздь винограда

ИГРА ГОЛОДНЫХ МУХ

В большинстве игр, где требуются карандаш и бумага, игровое поле в конце концов покрывается какой-то тарабарщиной, но здесь борьба за территорию (придуманная Уолтером Джорисом) превращает лист бумаги в страницу из книжки-раскраски, пеструю, ласкающую взгляд и достаточно вкусную на вид, так что хочется съесть ее.

Для начала нарисуйте виноградную гроздь. Четко обозначьте общие границы виноградин. Затем игроки помечают виноградины, откуда стартуют их «мухи» (например, ставят цветные точки). Тот, кто поставил вторую точку, делает первый ход. За один ход муха съедает одну виноградину (окрасьте ее в свой цвет), а затем перемещается на соседнюю. Проигрывает тот, кому некуда двигаться дальше.

Вначале мне показалось, что игра скучна и предсказуема: всякий раз лучший ход очевиден. Однако выяснилось, что она полна сюрпризов и щекочущих нервы моментов. Все из-за виноградин: разные по размеру, хаотично расположенные и непохожие друг на друга, они обманывают взгляд и не дают правильно оценить доступное пространство. Гроздь винограда – по-настоящему геометрическая игра, целиком сводящаяся к восприятию пространства (верному и неверному). Лучше всего играть, закусывая виноградом.

Нейтрон

ИГРА БРОСКОВ ТУДА-СЮДА

Заглавный персонаж, нейтрон, – это нейтральная частица, которую соперники перебрасывают туда-сюда как эдакую абстрактную хоккейную шайбу. Но в этой игре ни один хоккеист не может остановиться, и вы стремитесь забить гол в свои собственные ворота²⁵.

Вам понадобится игровое поле 5 × 5 клеточек и 11 фигур: по пять у каждого игрока и одна ничейная (сам нейтрон). Цель: поместить нейтрон в свой начальный ряд.

За один ход вы перемещаете вначале нейтрон на одну клетку в любом направлении (как шахматного короля)²⁶, а затем одну из ваших фигур, тоже в любом направлении, но до упора (словно шахматную королеву без тормозов, которая не останавливается, пока не уткнется в препятствие). Исключение – первый ход, когда игрок перемещает одну из своих фигур, а нейтрон остается на месте.

Вы выигрываете в двух случаях: (1) нейтрон достиг вашего начального ряда; (2) вы поймали нейрон в ловушку, так что противнику больше некуда его двигать.

Вы сразу увидите, насколько глубока эта игра: словно входишь в море, и внезапно дно уходит из-под ног. Я кайфую, когда удается вынудить соперника сдвинуть нейтрон ко мне поближе (или, того лучше, если победу приносит чужой ход, когда сопернику приходится передвигать нейтрон в мой начальный ряд). А вот поймать нейтрон в ловушку сложно, если преимущество не на вашей стороне. Когда защищаешься, у тебя меньше безопасных ходов и захлопнуть ловушку сложнее.

Порядок и хаос

ИГРА ПРОТИВОБОРСТВУЮЩИХ СТИХИЙ

Впервые мир узнал об этой игре в 1981 году из публикации Стивена Снидермана в журнале Games. Эта игра для двух игроков – воплощение древнего конфликта: борьбы созидателей и разрушителей, эволюции и деградации, отцов и детей, Берта и Эрни из «Улицы Сезам».

Одним словом, борьбы порядка и хаоса.

Игровое поле – 6 × 6 клеточек. Один игрок (на стороне порядка) стремится выстроить пять символов в ряд; другой (на стороне хаоса) всячески ему мешает. Игроки по очереди ставят в клеточках любой из символов (крестик или нолик) по своему выбору.

Порядок побеждает, выстроив пять одинаковых символов в ряд: по вертикали, горизонтали или диагонали.

Хаос побеждает, если у Порядка больше не остается шансов²⁷.

Восхитительно, что игроки сражаются не только друг с другом, но и с самими собой. Прежние ходы Порядка могут стать помехой на его пути к победе, а Хаос может невольно помочь ему выстроить пять символов в ряд. Баланс сил под вопросом: новичкам часто кажется, что преимущество на стороне Хаоса, но эксперты склоняются к противоположной точке зрения.

Попробуйте сыграть несколько раундов, меняясь ролями и подсчитывая очки. Победитель набирает 5 очков плюс по 1 очку за каждую пустую клеточку.

Энди Джуэлл предлагает забавный вариант игры: один раз Порядок может поставить особый символ (крестиконолик), а Хаос – ■ (ни крестик, ни нолик). Я решил назвать эти символы «драгоценностями» в честь изобретателя²⁸. Если вы решите, что силы неравны, конфискуйте драгоценность Джуэлла у игрока, на чьей стороне преимущество.

Брызги

ИГРА С РАЗБРЫЗГИВАНИЕМ КРАСКИ

Играют двое. Понадобится прямоугольное поле любого размера. В начале игры оно поровну заполнено каплями разных цветов. При быстром варианте пусть один игрок окропит поле по своему усмотрению, а другой выберет цвет и решит, чьи это капли (или наоборот). При медленном варианте игроки сначала выбирают цвета, потом поочередно роняют по капле в пустые клеточки.

Теперь при каждом ходе разбрызгивайте по одной оставленной в клеточках капле. Капля может испачкать либо только свою клеточку либо еще и соседние. Заштрихуйте испачканные клеточки: они выбывают из игры. Пропускать ход нельзя. Побеждает тот, у кого осталась одна неразбрызганная капля.

Темп игры неравномерен. Иногда хочется ускорить ход событий, забрызгав как можно больше клеточек, иногда – придержать вожжи, забрызгивая по одной клеточке, чтобы выгадать дополнительные ходы.

Есть разновидность игры посложнее. Добавьте еще два варианта разбрызгивания: диагональный (на северо-запад, северо-восток, юго-запад и юго-восток) и ортогональный (на север, юг, запад и восток). В этих случаях четыре соседних клеточки не забрызгиваются.

Трехмерные крестики-нолики

ИГРА, ИМЕЮЩАЯ ДЛИНУ, ШИРИНУ И ВЫСОТУ

Если вы открыли эту книгу не в прекрасном будущем с его превосходной технологией виртуальной реальности, то для отображения третьего измерения в этой игре потребуется хитрость. (Рад, что там у вас еще читают книги.) Вместо куба нарисуйте его срезы: четыре квадрата 4 × 4 клеточки.

Поочередно ставьте крестики и нолики. Побеждает тот, кто первым выстроит четыре символа в ряд. Следите за вертикальными комбинациями. Иногда их сложно заметить, а потом становится слишком поздно.

Для продумывания стратегии оцените, сколько победных комбинаций проходит через каждый квадрат. Вот как это выглядит для обычных крестиков-ноликов:

Если применить тот же метод к трехмерной игре, обнаружится интересная закономерность. Лучшими являются угловые клеточки верхнего и нижнего слоя и центральные клеточки слоев посередине.

Вот забавная метаигра: какие еще двумерные игры можно сделать трехмерными? С некоторыми особых затруднений не возникает (например, трехмерный «Морской бой»). В других (например, трехмерные «Точки-клеточки») несложно сформулировать правила (точки расположены на кубическом каркасе), но трудно визуализировать (попробуйте нарисовать линии между слоями). А в-третьих (например, «Ростки»), невозможно перейти к трехмерному варианту (в пространстве линии больше не образуют отдельных областей, так что игра становится бессмысленной и предопределенной, как «Брюссельская капуста»).

Предлагаю начать с превращения трехмерных крестиков-ноликов в трехмерные «Четыре в ряд» с фигурами, которые «опускаются» в низ каждой колонки, просто чтобы символ находился или в нижнем слое, или на один слой выше существующей метки.

Удачи!

II
Числовые игры

Приготовьтесь, сейчас вы получите неопровержимое философское доказательство того, что все числа интересны.

Все числа. Без исключений.

Я бы с удовольствием воздал хвалу всем числам по очереди: единица – самая одинокая, двойка – единственное четное простое число, тройка – номер лучшей части «Истории игрушек»… Но на это не хватить ни сил, ни времени. Поэтому давайте предположим, что рано или поздно нам все же попадется неинтересное число.

Итак, мы идем по восходящей: от 12 (количество фигур в пентамино) до 19 (столько ячеек в единственном магическом шестиугольнике из последовательно идущих натуральных чисел) и дальше, до 561 (наименьшее абсолютное псевдопростое число). Каждое число неповторимо, словно ребенок, и незабываемо, словно шербет. И вдруг нам встречается скучное число. Мы возводим его в куб. Разлагаем на множители. Просим рок-группу Three Dog Night провозгласить его числом года. Тщетно. Это убогое числецо не похоже ни на одно предыдущее. Нам впервые попалось неинтересное число. Но разве это не удивительно? Даже… сногсшибательно? Иначе говоря… постойте, слово вертится на языке…

Интересно?

Если есть неинтересные числа, это – первое из них. Первое неинтересное число? Крайне интересно! Мы пришли к логическому парадоксу. Следовательно, все числа интересны.

Как говорят профи, что и требовалось доказать.

«Википедия» называет это доказательство «полуюмористическим» – жестокое клеймо по ее меркам. Однако, на мой взгляд, оно математическое по духу. Числа влекут меня по той же причине, по которой миллионы измученных, загруженных делами людей выкраивают четверть часа по утрам на судоку: не ради того, чтобы стол ломился от яств или карманы были набиты биткоинами, а просто ради удовлетворения собственного интереса к закономерностям, вплетенным в ткань чисел. «Боги по ту сторону стены играют с числами», – говорил архитектор-модернист Ле Корбюзье.

Чтобы присоединиться к их игре, нужно лишь немного воображения.

Наглядный пример: вот нечто вроде игры, которая сейчас не выходит у меня из головы. Она начинается с совершенных чисел. В чем же их совершенство? Да в том, что если разложить число на множители и сложить их, то и получается то же самое число.

Ну и что в них такого? Да ничего. Несмотря на возвышенный эпитет, совершенные числа бесполезны в теории и еще бесполезнее на практике. Мы просто дали им милое определение и обеспечили хороший имидж. «Совершенные числа никогда не приносили пользу, но и особого вреда от них не было», – сказал математик Джон Литлвуд. Как говаривал мой школьный друг Джулиан о чистой математике: «…как минимум она не дает праздно слоняться по улицам».

Поясню: обычное число несовершенно. Сумма его делителей либо меньше, чем оно само (назовем такое число «недостаточным»), либо больше (назовем такое число «избыточным»).

Совершенные числа неуловимы, как и все совершенное. Древние греки знали только четыре таких числа. Исмаил ибн Фаллус, египтянин, живший в XII веке, нашел еще три. В 1910 году было известно девять совершенных чисел. Даже сейчас, когда наши суперкомпьютеры настолько мощны, что могут сфабриковать видео с экс-президентом, исполняющим рэп, нам известно лишь 51 совершенное число – скудный итог 2500-летней охоты на тайны математики.

Трудно представить, что футбол обрел бы популярность, если бы за всю его историю забили лишь 51 гол²⁹. Так что такого уж веселого в поисках совершенных чисел? Зачем играть в игру, где почти никогда не выигрываешь?

Эх вы, циники. Неужели вы забыли, что все числа по-своему интересны?

Не будем зацикливаться на совершенстве. Возьмем любое старое доброе число, найдем его собственные делители, сложим… а затем проделаем то же самое с полученным числом. Постепенно получится аликвотная последовательность.

Эта игра раскрывает сеть секретных связей. Каждое число отсылает к новому числу, словно агент в шпионской сети. Мы идем от числа к числу, словно детективы в фильме-нуар, по цепочке выуживая сведения у информаторов: число 20 отсылает к 22, а оно, в свою очередь, сообщает о 14, которое приводит нас к 10, которое предлагает поговорить с 8…

В процессе игры возникает естественный вопрос. Раз аликвотная последовательность имеет начало, то где ее конец?

Скажем, простые числа отсылают вас прямиком к единице (потому что у них нет других собственных делителей). Совершенные числа образуют бесконечный цикл: 28 отсылает к 28, а оно – снова к 28. А некоторые числа образуют пары: 220 отсылает к 284, а оно обратно к 220. У таких дуэтов есть прекрасное название: «дружественные числа».

Математики уже не одно столетие ищут эти счастливые пары. Интересно, что вторую пару (1184 и 1210) оказалось не так просто обнаружить. Такие великие умы, как Декарт, Ферма и Эйлер, упустили ее из виду, а честь открытия принадлежит 16-летнему школьнику. Сегодня известно больше миллиарда пар дружественных чисел.

И это все варианты окончания аликвотной последовательности? Вовсе нет! Есть циклы, где повторяется одно число (например, 6 → 6 → 6 → 6 →…), два числа (1184 → 1210 → 1184 → 1210 →…), а есть и более длинные циклы. Заядлые игроки называют входящие в них числа «компанейскими». Вот два примера:

Когда я сварганил компьютерную программу для поиска этих циклов, она раскрыла ошеломляющий заговор: цепочку из 28 компанейских чисел. Я набрел на самый длинный цикл, известный на данный момент, и не верил своей удаче, как и множество математиков до меня. Вот чудесное доказательство того, что каждое число интересно: как выясняется, почти три десятка заурядных и, казалось бы, ничем не связанных обывателей образуют тайное общество, эдакую масонскую ложу целочисленного мира.

Я могу еще долго болтать об этой игре и написать о ней целую книгу. Знаете ли вы, что некоторые числа (например, 2 и 5) никогда не появляются в цепочках? Это трагическое состояние называют «неприкасаемость». Вы заметили, что в некоторых последовательностях числа взмывают до небес, а затем падают наземь? Например, 138 воспаряет до 179 931 895 322, а затем низвергается, словно Икар. Задумывались ли вы о том, могут ли какие-то числа разорвать узы гравитации и вечно лететь ввысь? Возможно, такое не исключено; пока что мы не знаем этого. Судьба некоторых небольших чисел (например, 276) до сих пор неизвестна: нам не под силу вычислить их аликвотные последовательности целиком, они будто самолеты, уходящие за горизонт, причем пилоты не оповестили нас, когда вернутся, да и вернутся ли.

Появится ли когда-нибудь у этой игры практическое применение? Не похоже. Впрочем, математик Годфри Харолд Харди утверждал, что изучение простых чисел никогда не принесет практической пользы, а сейчас на них построена система безопасности в интернете. Хотя теория чисел начинается с игры, она нередко приводит к глубоким результатам.

Не исключено, что когда-нибудь наша бесцельная игра с аликвотными последовательностями превратится в плодотворную, прибыльную отрасль науки. Так алхимия дала начало химии: трансмутация почище алхимических штучек. А пока я расскажу о пяти играх, которые позволят совершить прогулку по числовому полю, поупражняться на площадке с бесконечными циклами, неприкасаемыми числами и загадками, которые предстоит разгадать очередному 16-летнему подростку.

Китайские палочки

ПАЛЬЧИКОВАЯ ИГРА С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИ

Я узнал об этой игре в начале 2020 года, пришел в восторг и решил поделиться со своими учениками в школе. Они восприняли это так, словно я пытался обучить их рукопожатию. Игра была не просто старой, а настолько древней, что я смахивал на идиота, пытаясь преподнести ее как новинку. Потом я понял, что все дело в разнице поколений. Для тех, кто родился после 1995 года, игра была хорошо знакомой, а те, кто родился до 1990 года, ничего о ней не слышали. Как со стационарными телефонами, только наоборот.

Как же «Китайские палочки» смогли так быстро и неоспоримо завоевать детские сердца? Что ж, если вы этого не знаете, мой седобородый друг, то вас ждет истинное удовольствие.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Как минимум два двуруких.

Что потребуется? Ничего. Начните так:

В чем цель? Добиться, чтобы противник разогнул все пальцы.

Какие правила?

1. По очереди касайтесь одной рукой любой руки противника. Он при этом должен разогнуть еще столько же пальцев, столько разогнуто у вас.

2. Если разогнуты все пальцы на руке, она «выбывает» из игры, и ее нужно сжать в кулак.

3. Если нужно разогнуть больше, чем пять пальцев, то рука остается в игре: нужно разогнуть на пять пальцев меньше, чем получается в сумме.

4. Во время хода вы можете вместо прикосновения к руке противника перераспределить количество разогнутых пальцев у себя. Так можно вернуть в игру выбывшую руку или вывести из нее действующую.

5. Если обе руки «выбыли» из игры, вы проиграли. Побеждает тот, кто остался в игре.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Существует 15 сочетаний разогнутых и согнутых пальцев на двух руках. Таким образом, теоретически в игре с двумя участниками есть в общей сложности 15 × 15 = 225 вариантов³⁰.

Анализ такого рода игр с математической точки зрения может дать два результата: (1) подсказать гарантированную стратегию, с помощью которой один игрок может выиграть, или (2) продемонстрировать, что такой стратегии нет, и достаточно опытные игроки всегда будут играть вничью.

К какой разновидности относятся «Китайские палочки»? Как это нередко бывает, ко второй. Но в отличие от крестиков-ноликов, где после девяти ходов на поле не остается ни одной пустой клеточки, идеальная партия в «Китайские палочки» может длиться вечно, войдя в бесконечный цикл, и прикосновение будет следовать за прикосновением, пока кто-нибудь не допустит ошибку, Солнце не поглотит Землю или – разница невелика – не прозвенит звонок на урок.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Эта игра родилась в Японии пару десятков лет назад. Точнее сказать сложно.

В онлайн-опросе игроков нескольких поколений (в основном из США) лишь один респондент сообщил, что был знаком с этой игрой до 2000 года. Ориол Риполл, автор восхитительной книги «Играй с нами: 100 игр со всего света», рассказал мне, что на его родине, в Каталонии, игра стала популярной в начале нулевых, когда начала распространяться по миру.

У «Китайских палочек» много названий: «Пальчиковые шахматы», «Мечи», «Волшебные пальчики», «Сплит». (Мои ученики в Сент-Поле, штат Миннесота, называют ее просто «Палочки».) Есть версия, что игра называется так, потому что настоящие палочки для еды выпадут, если разжать руки³¹.

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что безвестные дети, придумавшие «Китайские палочки», ухитрились заново изобрести один из основополагающих принципов теории чисел.

Из школьной программы мы знаем, что числам несть конца. Независимо от того, насколько велико число (миллиард, триллион, квинтильон), всегда найдется еще большее. Но в суровом мире «Китайских палочек» есть одно непревзойденное число: исполинское, вошедшее в «Книгу рекордов Гиннесса» как наибольшее из всех чисел.

Я имею в виду четверку.

Сколько будет четыре плюс четыре? Не спешите отвечать «восемь». В мире «Китайских палочек» такого числа нет. С тем же успехом можно сказать, что сумма четырех и четырех – «пригоршня ушедших дней» или «хлопья завтрашнего пепла». Нет, любой ребенок от Барселоны до Киото скажет вам истинный ответ: 4 + 4 = 3.

Запутались? Не переживайте. Вот удобная таблица сложения:

Это не просто таблица сложения. Это таблица всех сумм, которые возможны в «Китайских палочках»³². Больше нечего вычислять. Если вы начинающий ученый, вам лучше выбрать другую тему для исследований.

Ну а что там с умножением? С учетом того что произведение – это результат многократного сложения (например, 4 × 3 означает 4 + 4 + 4), Исчерпывающая таблица умножения в мире «Китайских палочек» выглядит так³³:

Математики придумали для арифметики «Китайских палочек» специальное название: модулярная арифметика. В нашем случае – арифметика вычетов по модулю пять.

Идея проста: замените каждое число модулем разности с предыдущим числом, кратным пяти.

«Китайские палочки» – закольцованная игра, поскольку модулярная арифметика – это закольцованный мир, вселенная бесконечных циклов, где существует всего пять вариантов. «На пять больше, чем число, кратное пяти»? Это всего-навсего на ноль больше, чем следующее число, кратное пяти. «На единицу меньше, чем число, кратное пяти»? Это всего-навсего на четыре больше, чем предыдущее число, кратное пяти.

0, 1, 2, 3, 4: вот и все, что вам нужно.

Модулярная арифметика используется повсеместно. Например, когда вы называете международный номер банковского счета (IBAN), как определить, что номер подлинный? Может быть, вы поменяли местами две цифры, ошиблись или просто набрали на клавиатуре случайное сочетание цифр, надеясь задарма срубить бабла. Слишком сложно вести учет всех IBAN. Каким же образом компьютер понимает, что ваш номер подлинный?

Легко: любой подлинный IBAN при делении на 97 дает остаток 1. Если вы допустили опечатку (или ввели тарабарщину), остаток будет другим. Этот изящный трюк работает не только с IBAN: точно так же защищены кредитные карты, национальные идентификационные номера и даже коды на кассовых чеках в ресторанах быстрого питания.

Но самое распространенное приложение модулярной арифметики знакомо всем: исчисление времени.

Наши часы отсчитывают время на основе арифметики вычетов по модулю 12. Девять часов вечера плюс семь часов – не 16 часов, как скажет 20-палый инопланетянин, а четыре часа утра. Та же история с календарями. Наверняка на какой-нибудь вечеринке вам показывали фокус с вычислением в уме, на какой день недели приходится случайно выбранная дата в далеком прошлом или будущем. Так вот, он основан на арифметике вычетов по модулю семь (потому что в неделе семь дней).

Перстам времени несть числа. Но нам, смертным, легче представить закольцованное время, время бесконечно повторяющихся циклов. Мы перекроили бесконечную игру времени на свой лад, чтобы совладать с ней.³⁴

«Китайские палочки» родились на японском школьном дворе и перебирались с континента на континент благодаря детям, которых больше интересовало, как весело провести время, а не как его отсчитывать. Лишь после того как весь мир насладился этой игрой, взрослые спохватились и поняли, что изобретательные и непоседливые дети самостоятельно постигли древнюю и фундаментальную истину о закольцованности чисел.

А кроме того, эта игра облегчает запоминание таблицы умножения.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

«Китайские палочки» по модулю N. Играйте так, будто у вас не пять пальцев, а шесть, семь или 99. Понадобятся карандаш и бумага!

Порог. Никакой модулярной арифметики. Когда нужно разогнуть больше пяти пальцев, рука автоматически выбывает из игры.

Мизер. Все наоборот: вы выигрываете, если обе руки выбывают из игры.

Один палец – проиграл. Если одна рука выбывает из игры, а на другой разогнут один палец, вы проиграли. Если обе руки выбывают из игры, вы, естественно, тоже проигрываете.

Солнца. Разогните вначале сразу четыре пальца, а не один. Что интересно, эта игра никогда не возвращается в исходную позицию.

Зомби. Если в игре принимают участие больше двух человек и обе ваши руки «выбыли», продолжайте играть одной рукой с одним разогнутым пальцем. Вы можете касаться других игроков, но никто не может коснуться вас.