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2.2.2. Fuentes de tensión y de corriente
Definición
La definición clásica de fuentes de tensión y de corriente es la siguiente:
Una fuente de tensión es un elemento circuital capaz de imponer, de forma permanente, una tensión entre dos puntos de un circuito, independientemente de la carga existente entre estos dos puntos. Ello implica una impedancia en serie interna nula y la prohibición absoluta de cortocircuitar la fuente de tensión.
Una fuente de corriente es un elemento circuital capaz de imponer, de forma permanente, la circulación de corriente en una malla de un circuito, independientemente de su carga. Ello implica una impedancia en paralelo interna infinita y la prohibición absoluta de dejar la fuente de corriente en circuito abierto.
Sin embargo, debido a la presencia de interruptores, en un convertidor estático se producen variaciones instantáneas de determinadas magnitudes, resultando de interés la generalización de la definición de las fuentes de tensión y de corriente para que no sólo sea válida de forma permanente sino también de forma instantánea o transitoria.
Para ello se adoptará la definición siguiente:
Un subcircuito tiene el comportamiento de una fuente de tensión cuando la tensión en sus bornes no puede sufrir discontinuidad alguna al producirse una variación brusca de la carga.
Un subcircuito tiene el comportamiento de una fuente de corriente cuando la corriente que lo atraviesa no puede sufrir discontinuidad alguna al producirse una variación brusca de la carga.
Para precisar matemáticamente esta definición de fuente de tensión y de corriente, se define el concepto de impedancia1 instantánea, Z∞, como el límite, cuando s → ∞, de la impedancia operacional, Z(s), del subcircuito en cuestión, es decir:
siendo s la variable de Laplace.
Esta definición está relacionada con el denominado teorema del valor inicial de la transformada de Laplace de una función temporal, según el cual si F(s) es la transformada de Laplace de f(t)
Como quiera que el concepto de impedancia es una generalización de la relación entre tensión y corriente en un subcircuito dipolar determinado, el concepto de impedancia instantánea no es más que una evaluación de dicha relación, según
Por ello,
Si Z∞ = 0, el subcircuito presentará un comportamiento de fuente de tensión.
Si Z∞ = ∞, el subcircuito presentará un comportamiento de fuente de corriente.
Fuentes independientes y fuentes controladas
Existen dos categorías de fuentes: las independientes y las dependientes o controladas.
Una fuente de tensión (corriente) independiente es aquella que impone una determinada tensión (corriente), independientemente de cuales sean las demás tensiones y corrientes presentes en el circuito.
Una fuente de tensión (corriente) dependiente o controlada es aquella que impone una determinada tensión (corriente), que depende de otra tensión o corriente presente en el circuito. Así son posibles cuatro fuentes controladas: de tensión controlada por tensión (FTCT), de tensión controlada por corriente (FTCC), de corriente controlada por tensión (FCCT) y de corriente controlada por corriente (FCCC). En la tabla 2.1, se presentan las diferentes fuentes.
Tabla 2.1. Fuentes.
Reversibilidad de las fuentes
Se definió, en el apartado 1.3, un convertidor estático como un sistema formado, básicamente, por interruptores que permite, mediante el control de los mismos, regular la transferencia de energía entre una fuente de entrada y una fuente de salida.
Efectivamente, tanto la entrada como la salida del convertidor podrán ser caracterizadas como fuentes de tensión o de corriente de acuerdo con la definición dada en ese apartado, pudiendo además actuar cada una de estas fuentes como generador o receptor de energía, según la entreguen o la consuman.
Una fuente, generadora o receptora, es reversible en tensión, si la tensión en sus bornes puede cambiar de signo (polaridad). Asimismo un generador o un receptor es reversible en corriente si la corriente que por él circula admite dos sentidos de circulación.
Considerando dichas reversibilidades, existen únicamente 8 tipos de fuentes, de acuerdo a la tabla 2.2. Tener conocimiento preciso relativo a la reversibilidad de las fuentes será, como se verá en el capítulo 3, punto clave en la determinación de la característica estática de los interruptores necesarios para constituir el convertidor.
Tabla 2.2. Reversibilidad de fuentes.
Reglas básicas de interconexión de las fuentes
Como ya se ha indicado, a lo largo del funcionamiento de un convertidor estático, sus interruptores provocan conexiones entre fuentes. En el instante de actuar un interruptor es absolutamente necesario respetar un cierto número de reglas básicas.
Una fuente de tensión no puede quedar nunca en cortocircuito. Por el contrario, no hay ningún inconveniente en que quede en un circuito abierto.
Una fuente de corriente no puede quedar nunca en un circuito abierto. Por el contrario, no hay ningún inconveniente en que quede en cortocircuito.
Como consecuencia de las reglas anteriores, nunca deberán conectarse dos fuentes de la misma naturaleza (Véase el ejercicio E2.2). Por el contrario, no hay ningún inconveniente en conectar dos fuentes de distinta naturaleza, es decir, una fuente de tensión con una de corriente.
En la tabla 2.3 se visualizan estas reglas básicas de interconexión de fuentes.
Tabla 2.3. Interconexión de fuentes.
2.2.3. Resistores
Un componente dipolar, colocado en un circuito, introduce una determinada relación funcional, analítica o no, entre la tensión aplicada a dicho componente, u(t), y la corriente que circula por el mismo, i(t). En el caso general, esta relación depende del tiempo, como por ejemplo en los inductores y en los condensadores, y en caso de considerar como excitación a la tensión, responde a
En otros casos, la relación u – i introducida por dicho componente no depende del tiempo, esto es
Cuando esto sucede a dicho componente se le denomina resistor, y dicha característica admite una representación gráfica en unos ejes tensión-corriente. Esta representación recibe el nombre de característica estática.
Resistor lineal invariante temporal u óhmico
Un resistor óhmico es un elemento circuital de dos polos cuya tensión es directamente proporcional a la corriente. El coeficiente de proporcionalidad, R, se denomina resistencia del resistor. Es decir:
En la figura 2.15 se indica el convenio de signos que se adoptará en este libro. Los signos hacen referencia a la tensión que se considera positiva, mientras que la flecha hace referencia a la corriente que se considera positiva, respondiendo al denominado convenio receptor que considera al dipolo receptor cuando dichas magnitudes son positivas o negativas simultáneamente, siendo generador en caso contrario.
Figura 2.15. Resistor óhmico.
La expresión (2.25) se puede representar en el plano (u,i) y recibe el nombre de característica estática del resistor. Por ejemplo, La figura 2.16 muestra la característica estática de un resistor genérico con i(t) = f [u(t)].
Figura 2.16. Característica estática.
En el caso de un resistor óhmico la expresión (2.26) se representa gráficamente en el plano (u,i) como una recta de pendiente 1/R, por lo que su característica estática es una recta que pasa por el origen (ver figura 2.17).
Figura 2.17. Resistor lineal u óhmico.
Esta recta, para R = 0 será coincidente con el eje de ordenadas, mientras que para R = ∞ será coincidente con el eje de abscisas (ver figuras 2.18 y 2.19). Estos dos valores particulares de R, denominados respectivamente cortocircuito y circuito abierto, son de gran importancia en la electrónica de potencia porqué son los valores que caracterizarán un interruptor ideal, como se verá en el capítulo 3.
Figura 2.18. Resistor R = 0.
Figura 2.19. Resistor R = ∞.
Nótese que en los casos R = 0 y R = ∞ el resistor es no lineal, puesto que no cumple con la propiedad de proporcionalidad.
La potencia instantánea en un dipolo es el producto de los valores instantáneos de la tensión en sus bornes y de la corriente que por él circula. Es decir:
De las expresiones (2.26) y (2.27), resulta, para un resistor óhmico:
Si R > 0 (no puede descartarse que pueda ser negativa como sería en el caso de resistores activos) la potencia dada por (2.28) será siempre positiva, para cualquier valor de la tensión o la corriente (excepto en el origen).
Se dice que este resistor es un elemento pasivo. Debe de hacerse notar que la característica estática de un resistor pasivo siempre estará situada en el primer y/o tercer cuadrante del plano (u,i).
La energía eléctrica suministrada a un resistor durante el tiempo t1, se disipa en forma de calor y viene dada por:
De acuerdo con la definición de valores medio y eficaz dados en (2.12) y (2.13), el valor medio, Pmed’ de la potencia disipada por el resistor resulta, teniendo en cuenta (2.28):
Generalizando el concepto de resistor y llamando resistor a todo elemento de dos polos cuya característica se puede representar en el plano (u,i), las fuentes de tensión y de corriente son elementos resistores. En efecto, las figuras 2.20 y 2.21 muestran las características de una fuente de tensión y una fuente de corriente respectivamente.
Figura 2.20. Fuente de tensión constante.
Figura 2.21. Fuente de corrienteconstante.
Obsérvese que, en este caso, el resistor no es pasivo ya que no se cumple que la potencia dada por (2.27) sea siempre positiva para cualquier valor de la tensión o la corriente. Este resistor es, pues, un elemento activo habitualmente denominado fuente, y se caracteriza porque en ciertas condiciones operativas una magnitud (tensión o corriente) presenta un signo negativo según convenio receptor (figura 2.15).
Ejercicio E2.1
Considérese el circuito de la figura E2.1.1, siendo E=100 V, R=5Ω y S un interruptor ideal que se abre y se cierra periódicamente a la frecuencia de 1000Hz, estando, en cada periodo, cerrado durante 0,4 ms y abierto 0,6 ms.
Figura E2.1.1.
Hallar
a)El valor instantáneo de la tensión en el resistor y de la corriente en el interruptor, sus valores medios y sus valores eficaces.
b)El valor medio de la potencia suministrada por la fuente y el valor medio de la potencia disipada en el resistor.
c)Los valores máximos de tensión y corriente a que se ve sometido el interruptor, así como los valores máximos de sus derivadas con respecto del tiempo.
Solución
a)Mientras el interruptor esté cerrado (0,4 s en cada periodo), en bornes de la resistencia estará aplicada la tensión de la batería, por lo que la corriente que circulará por ella será: I = E/R = 100/5 = 20 A, corriente coincidente con la del interruptor.
Mientras el interruptor esté abierto (0,6 s en cada periodo), no circulará corriente por el mismo por lo que la tensión en sus bornes será nula.
En la figura E2.1.2 se ha representado la tensión en el resistor y de la corriente en el interruptor.
Figura E2.1.2
Valores medios:
Valores eficaces:
b)De acuerdo con la expresión (2.27) las potencias medias vendrán dadas por:
Naturalmente, el valor medio de la potencia suministrada por la fuente es igual al valor medio de la potencia disipada en el resistor porque se considera el interruptor ideal, que en ningún momento disipa energía.
Obsérvese que, para calcular la potencia disipada en el resistor, se podría utilizar la expresión (2.30) o la (2.31):
Nótese, además, que los signos de tensión y corriente en la batería y en el resistor indican que el primer elemento es generador mientras que el segundo es receptor.
c)De la representación temporal de la tensión en el resistor y de la corriente en el interruptor y sabiendo que E = uR + uS, se deduce:
Cabe señalar que estas derivadas infinitas de tensión y corriente en el interruptor no es posible que las soporte un componente semiconductor real sin que se produzcan anomalías de funcionamiento.
Una malla tan simple como la presentada en este ejercicio, resulta tremendamente peligrosa encontrarla en el transcurso del funcionamiento de un convertidor.
Resistores tripolar y quadripolar
Los resistores tripolares o quadripolares son elementos circuitales de tres o cuatro polos cuyas tensiones y corrientes de entrada y salida están relacionadas por un sistema de dos ecuaciones de la forma:
En la figura 2.22 se indica el convenio de signos que se adoptará en este libro. Los signos hacen referencia a la tensión que se considera positiva, mientras que la flecha hace referencia a la corriente que se considera positiva.
Figura 2.22. Resistores tripolares y quadripolares.
Las expresiones (2.32) constituyen la denominada representación de control por corriente, porque, efectivamente, se han elegido las corrientes de entrada y salida como variables independientes. Las tensiones dependen de estas corrientes, son controladas por ellas.
De escoger como variables independientes las tensiones de entrada y salida, se obtendría la representación de control por tensión, dada por las expresiones:
Por último, queda la opción de elegir como variables independientes una tensión, por ejemplo la de entrada, y una corriente, por ejemplo la de salida. En este caso se obtiene la representación híbrida, dada por las expresiones:
Para poner en evidencia el carácter resistivo de estos componentes, las dos ecuaciones que lo describen no se podrán representar en un solo plano (u,i), pero si en dos planos (u,i), en cada uno de los cuales el funcionamiento del componente no será definido por una curva sino por una familia de curvas, dependiendo de una de las variable independientes. Se puede afirmar que este resistor tiene una resistencia controlable por una tensión o una corriente.
Considérese el transistor bipolar de la figura (2.23) en el que se han tenido en cuenta como variables de entrada la tensión base-emisor y la corriente de base y como variables de salida la corriente de colector y la tensión colector-emisor.
Figura 2.23. Transistor. Resistor de resistencia controlable.
Se adopta su representación híbrida del mismo, las expresiones (2.34) resultan:
Es tradicional la representación de estas expresiones en el plano (ube, ib) la primera, y en el plano (uce, ic) la segunda, resultando las curvas idealizadas de la figura (2.24) y (2.25) con un parámetro de control en cada una de ellas. Se pone en evidencia en estas representaciones el carácter resistivo del transistor, con resistencia controlable.
Figura 2.24. Característica (ube, ib).
Figura 2.25. Característica (uce, ic).
2.2.4. Condensadores
Un condensador lineal e invariante temporal es un elemento circuital de dos polos cuya corriente es directamente proporcional a la derivada de la tensión. El coeficiente de proporcionalidad, C, se denomina capacitancia del condensador. Es decir:
En la figura 2.26 se indica su representación y el convenio signos positivos que se adoptará en este libro.
Figura 2.26. Condensador.
La expresión (2.36) no se puede representar gráficamente en el plano (u,i), pero sí en el denominado plano de fase (du/dt, i) como una recta de pendiente 1/C (ver figura 2.27).
Figura 2.27. Condensador lineal e invariante temporal.
Como consecuencia de (2.36) resulta:
Esta expresión pone en evidencia que un condensador tiene el comportamiento de una fuente de tensión. En efecto, la tensión en bornes del mismo es una función integral que, por definición, es una función continua y, por tanto, cumple con la definición de fuente de tensión dada en el apartado 2.2.2. Efectivamente, su impedancia instantánea es nula:
La potencia instantánea, teniendo en cuenta (2.27) y (2.36), resulta:
Con excitaciones periódicas y en régimen permanente el valor medio de la corriente en un condensador es nulo. Efectivamente, teniendo en cuenta (2.12) y (2.36):
La energía eléctrica suministrada a un condensador durante el tiempo t1, se acumula en un campo eléctrico y viene dada por:
considerando que la energía en el instante inicial es nula.
2.2.5. Inductores
Un inductor lineal e invariante temporal es un elemento circuital de dos polos cuya tensión en sus bornes es directamente proporcional a la derivada de la corriente que lo atraviesa. El coeficiente de proporcionalidad, L, se denomina inductancia propia del inductor. Es decir:
En la figura 2.28 se indica su representación y el convenio de signos positivos que se adoptará en este libro.
Figura 2.28. Inductor.
La expresión (2.42) no se puede representar gráficamente en el plano (u,i), pero sí en el plano de fase (u,di/dt) como una recta de pendiente 1/L (ver figura 2.29).
Figura 2.29. Inductor lineal e invariante temporal.
Como consecuencia de (2.42) resulta:
Esta expresión pone en evidencia que un inductor tiene el comportamiento de una fuente de corriente. En efecto, su tensión en bornes es una función integral que, por definición, es una función continua, por tanto, cumple con la definición de fuente de corriente dada en el apartado 2.2.2. Efectivamente, su impedancia instantánea es infinita
La potencia instantánea, teniendo en cuenta (2.27) y (2.42), resulta:
Con magnitudes periódicas y en régimen permanente, el valor medio de la tensión en un inductor en nulo. Efectivamente, teniendo en cuenta (2.12) y (2.42):
La energía eléctrica suministrada a un inductor durante el tiempo t1, se acumula en un campo magnético y viene dada por:
considerando que la energía en el instante inicial es nula.
2.2.6. Acoplamiento magnético. Transformador
Cuando dos inductores (L1 y L2) son atravesados por un flujo magnético común, se produce un acoplamiento magnético que da lugar a un fenómeno de inducción mutua que se caracteriza por la denominada inductancia mutua (L12). En la figura 2.30 se muestran estos dos inductores como un elemento circuital de cuatro polos (tetrapolar), agrupados dos a dos.
Figura 2.30. Inductancia mutua.
El comportamiento de este cuadripolo viene dado por el sistema de ecuaciones siguiente:
La corriente i1(t) que atraviesa el circuito primario (1-1’) induce por acoplamiento una tensión L12di2(t)/dt en el circuito secundario (2-2’). Esta tensión se añade algebraicamente a la tensión inducida en L2 por la corriente i2(t). Recíprocamente, i2(t) induce en el circuito primario una tensión L12di2(t)/ dt que se añade algebraicamente a la tensión L1di2(t)/dt.
Se llama factor de acoplamiento a la magnitud:
Cuando k = 1, se dice que el acoplamiento es perfecto.
En función del circuito en el que esté emplazado este acoplamiento magnético, puede suceder que, en todo instante, sea nula o bien la corriente i1(t) o bien la corriente i2(t) (como ejemplo, ver apartado 4.5.1. Convertidor de retroceso (flyback). Por el contrario, puede suceder que, en todo instante, la presencia de una corriente i1(t) implique una corriente i2(t) diferente de cero (como ejemplo, ver apartado 4.5.2. Convertidor directo (forward). En este último caso, se dice que este acoplamiento magnético constituye un transformador. Se denomina transformador ideal al transformador con factor de acoplamiento k = 1.
Considerando ideal el transformador de la figura 2.31, la aplicación de la tensión u (t) a las N1 espiras del primario da lugar a una variación de flujo magnético que íntegramente verán las N2 espiras del secundario. Por tanto se cumplirá:
Por el principio de la conservación de la energía se cumplirá:
y en consecuencia:
Figura 2.31. Transformador monofásico.
En la figura 2.32 se muestra el modelo PSIM de un transformador monofásico, donde:
RP la resistencia del devanado primario
RS la resistencia del devanado secundario
LP la inductancia de fugas del devanado primario
LS la inductancia de fugas del devanado secundario
Lmp la inductancia magnetizante vista desde el devanado primario
NP número de vueltas en el devanado primario
NS número de vueltas en el devanado secundario
Siendo:
Figura 2.32. Modelo PSIM de transformador monofásico.
