Kitabı oku: «Trigonometría y geometría analítica», sayfa 2
1.2Razones trigonométricas
En la figura 1.1 se considera un determinado ángulo PAQ de medida α -por comodidad no haremos distingo entre ángulo y su medida- y se ha trazado, al arbitrio, la perpendicular 
en C al lado 
formándose así el triángulo rectángulo ABC. En la definición que sigue deberemos tener presente este triángulo.
Fig. 1.1
Definición 1.2.1 Tomando en cuenta la figura 1.1, se llama:
(1)coseno del ángulo α al número:
(2)seno del ángulo α al número:
(3)tangente del ángulo α al número:
(4)cotangente del ángulo α al número:
(5)secante del ángulo α al número:
(6)cosecante del ángulo α al número:
A cada uno de estos números se le denomina razón trigonométrica del ángulo α.
Nota:
Hacemos notar que estos números llamados razones trigonométricas del ángulo α sólo dependen de α. Esto se debe a que son independientes de la perpendicular trazada en la figura 1.1 (a causa de la semejanza de triángulos rectángulos). O sea, dado un ángulo agudo y positivo α existe uno y sólo un valor para cada razón trigonométrica. En otras palabras, cada razón trigonométrica es una función real con dominio en el intervalo 0 
(El lector deberá saber transformar de radianes a grados e inversamente.)
Teorema 1.2.1 Se tienen las siguientes identidades fundamentales:
Nota:
Como se sabe, el complemento de un ángulo es aquel ángulo que junto con α completan 90◦ (
radianes), o sea:
o también:
Por esta causa se acostumbra decir que la función coseno es la cofunción del seno y viceversa; que la cotangente es la cofunción de la tangente y viceversa y, por último, que la cosecante es la cofunción de la secante y viceversa. Es decir:
Teorema 1.2.2 Los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30◦, 45◦ y 60◦ son:
Definición 1.2.2 Los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 0◦, 90◦ se definen del modo siguiente:
Teorema 1.2.3 Para 
se tiene:
1.3Expresión de cada razón trigonométrica en términos de las restantes
Ocupando las identidades fundamentales dadas en el teorema [1.1.1] se obtiene el cuadro siguiente:
1.4Resolución de triángulos rectángulos
Los criterios de congruencia de triángulos, en el caso en que tales triángulos sean rectángulos, nos indican que un triángulo rectángulo quedará determinado dándose dos datos, dentro de los cuales debe haber por lo menos uno que sea lineal (o sea, un lado). Luego, para que un triángulo rectángulo quede determinado bastará considerar alguna de las cinco situaciones siguientes:
(1)Hipotenusa y ángulo agudo.
(2)Cateto y ángulo agudo adyacente.
(3)Cateto y ángulo agudo opuesto.
(4)Cateto y cateto.
(5)Cateto e hipotenusa.
Para resumir estos cinco casos consideraremos la figura 1.2.
Caso N◦ 1: Observando la figura 1.2, donde los datos son la hipotenusa AB = c y el ángulo agudo ≮ BAC = α, se concluye que:
(También está la situación similar AB = c y ≮ ABC = β.)
Fig. 1.2
Caso N◦ 2: Observando la figura 1.2, los datos son el cateto BC = a y el ángulo agudo ≮ ABC = β, luego se obtiene:
(También está la situación CA = b y ≮ BAC = α.)
Caso N◦ 3: Observando la figura 1.2, los datos son el cateto BC = a y el ángulo agudo ≮ BAC = α, luego se consigue:
(También está la situación similar CA = b y ≮ ABC = β.)
Nota:
En lo que viene se utilizarán las notaciones: cos−1 = Arccos = INVCOS, sen −1 = Arcsen = INVSEN, tg −1 = Arctg = INVTAN, que son las simbologías que aparecen en las teclas (o bien como operación secundaria de una tecla) de cualquier calculadora científica para señalar el valor angular asociado a la razón trigonométrica que se presenta cuando se procede a dividir las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, como también en el sentido notacional matemático actualmente en uso.
Caso N◦ 4: Observando la figura 1.2, donde los datos son el cateto BC = a y el cateto CA = b, luego se obtiene:
Caso N◦ 5: Observando la figura 1.2, donde los datos son el cateto BC = a y la hipotenusa AB = c, luego se obtiene:
(También está la situación CA = b y AB = c.)
Los casos explicados con anterioridad pueden aplicarse ahora a la resolución de problemas sobre alturas y distancias. Es de suponer que por medio de instrumentos apropiados pueden medirse distancias y ángulos necesarios con una aproximación suficiente para los propósitos que el problema requiere. Es importante tener presente las definiciones de ángulo de elevación y de ángulo de depresión.
Fig. 1.3
Definición 1.4.1 En la figura 1.3 sea 
un rayo horizontal en el mismo plano vertical que el objeto C. Se ha trazado también el rayo 
.
(1)En la figura 1.3-(1) donde el objeto C está por encima de la horizontal , el ángulo ≮ BAC se llama ángulo de elevación del objeto C visto desde el punto A.
(2)En la figura 1.3-(2) donde el objeto C está por debajo de la horizontal , el ángulo ≮ BAC se llama ángulo de depresión del objeto C visto desde el punto A.
1.5Razones trigonométricas de ángulos compuestos
En las identidades que resumimos en este apartado todos los ángulos que participan, sus sumas, sus diferencias, sus múltiplos y sus submúltiplos serán agudos.
Teorema 1.5.1 Argumento suma.
Teorema 1.5.2 Argumento diferencia.
Teorema 1.5.3 Argumento doble.
Teorema 1.5.4 Argumento triple.
Teorema 1.5.5 Argumento medio.
Teorema 1.5.6 Fórmulas de prostaféresis.
1.6Problemas resueltos
Problema 1.6.1 Calcular el valor de la expresión:
Solución:
Sabemos que tg 
Problema 1.6.2 Calcular el valor de la expresión:
Solución:
Sabemos que sen 
Problema 1.6.3 Si tg 
entonces encontrar el valor de la expresión:
Solución:
Si tg entonces 
Problema 1.6.4 Demostrar que:
Solución:
Se tiene:
por otra parte, resulta:
de estos resultados obtenemos la identidad.
Problema 1.6.5 Comprobar que 
Solución:
Sabemos que 
por otra parte, tenemos:
de (1) y (2) se sigue el resultado.
Problema 1.6.6 Si en un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene que 
calcular el valor del cateto a.
Solución:
Por los datos dados tenemos que 
luego por el teorema de Pitágoras resulta:
luego, 
Problema 1.6.7 Si en un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene que cot 
, calcular el valor del cateto b.
Solución:
Por los datos dados tenemos que a = 4k, b = 25k y c = 17, luego por el teorema de Pitágoras resulta:
luego, 
Problema 1.6.8 Un triángulo ABC es isósceles con base AB = c y los lados son 
; se pide calcular el valor de los ángulos interiores.
Solución:
Sabemos que si en un triángulo isósceles ABC bajamos la altura CM correspondiente a la base, entonces M es el punto medio de la base. Luego, en el triángulo AMC, rectángulo en M, resulta:
(este valor se obtuvo con la calculadora); en conclusión:
Problema 1.6.9 Siendo α un ángulo agudo y sec α + tg α = 2, calcular el valor de cos α.
Solución:
Sabemos que sec2 α − tg 2α = 1, o sea:
y como 
formando el sistema:
conseguimos sec 
por lo tanto, tenemos 
Problema 1.6.10 Se pide calcular el valor de 2tg 2α + tg 4α.
Solución:
Se tiene:
de donde:
Problema 1.6.11 Si u = sec α y v = 3tg 2α, calcular el valor de 3u2 − v .
Solución:
Se tiene:
Problema 1.6.12 Si cot α = a, calcular el valor de:
en términos de a.
Solución:
Tenemos que 1 + cot2 α = cosec 2α, luego cosec 2α = 1 + a2, además se tiene 
y como 1 + tg 2α = sec2 α, se consigue 
, con ello:
Problema 1.6.13 Calcular el valor de:
Solución:
Se tiene:
Problema 1.6.14 Sabiendo que 
hallar los valores de sen α, tg α, cot α, sec α y cosec α.
Solución:
A causa del teorema de Pitágoras en el triángulo ABC rectángulo en C tenemos que siendo 
resulta a = 3, luego:
Problema 1.6.15 Demostrar que:
Solución:
Se tiene:
Problema 1.6.16 Demostrar que:
Solución:
Se tiene:
Problema 1.6.17 Demostrar que:
Solución:
Se tiene:
Problema 1.6.18 Demostrar que:
Solución:
Tenemos:
Problema 1.6.19 Demostrar que:
Solución:
Tenemos:
de esto se concluye que el resultado es evidente.
Problema 1.6.20 Demostrar que:
Solución:
Tenemos:
Problema 1.6.21 Demostrar que:
Solución:
Se tiene:
Problema 1.6.22 Demostrar que:
Solución:
Se tiene:
Problema 1.6.23 Demostrar que:
Solución:
Se tiene:
Problema 1.6.24 Demostrar que:
Solución:
Se tiene:
luego de esta última se consigue:
de donde:
luego:
Problema 1.6.25 Demostrar que:
Solución:
En la figura 1.4 se tiene:
así:
además, se han trazado CE perpendicular con AE en E, CB perpendicular con AD en B y FE perpendicular con CB en F. Se deduce, entonces que:
Fig. 1.4
De lo anterior, se desprende, para el primer caso:
luego:
Ahora, considerando nuevamente la figura 1.4, tenemos para la segunda situación:
por lo tanto, obtenemos:
Por último, sabemos que:
al hacer esta amplificación (por sec α sec β) llegamos a:
luego:
Problema 1.6.26 Demostrar que:
(1)cos(α − β) = cos α cos β + sen αsen β .
(2)sen (α − β) = sen α cos β − cos αsen β .
(3)
Solución:
En la figura 1.5 se tiene:
así:
además, se han trazado CE perpendicular con AC en C, CB perpendicular con AD en B y FC perpendicular con DE en F. Se deduce, entonces que:
Fig. 1.5
De lo anterior, se desprende, para el primer caso:
luego:
Ahora, considerando nuevamente la figura 1.5, tenemos para la segunda situación:
por lo tanto, obtenemos:
Por último, sabemos que:
al hacer esta amplificación (por sec α sec β) llegamos a:
luego:
Problema 1.6.27 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:
Solución:
Se tiene:
además, al ocupar la calculadora, resulta:
por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:
Problema 1.6.28 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:
Solución:
Se tiene:
además, al ocupar la calculadora, resulta:
por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:
Problema 1.6.29 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:
Solución:
Se tiene:
además, al ocupar la calculadora, resulta:
por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:
Problema 1.6.30 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:
Solución:
Se tiene:
además, al ocupar la calculadora, resulta:
por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:
Problema 1.6.31 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:
Solución:
Se tiene:
además, al ocupar la calculadora, resulta:
por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:
Problema 1.6.32 Una chimenea tiene 30 m. de altura más que otra. Un observador que está a 100 m. de distancia de la más baja se da cuenta que sus cúspides están en una recta inclinada respecto al horizonte en ángulo de 27◦2′. Hallar las alturas de estas chimeneas.
Solución:
Considerando la figura 1.6, donde se tiene ≮ CAB = 27◦2′, AC = 100, luego:
y, como la calculadora entrega:
resulta:
Fig. 1.6
pero, h es la altura de la más pequeña, luego, como RP = 30 la altura de la mayor será h + 30 ≈ 81, 02584818 .
Problema 1.6.33 Una montaña inaccesible CD se observa desde el piso en A bajo ángulo de 25◦35′. Una base AB se elige en el terreno perpendicularmente a la horizontal AC y midiendo 750 m. En B la montaña se observa bajo ángulo de 21◦27′. Calcular la altura de la montaña
Solución.
En la figura 1.7, BC = x, CA = y, ≮ CAD = α = 25◦35′, ≮ CBD = β = 21◦27′, AB = ℓ = 750 y CD = h, con ello resulta:
pero x2 = y2 + ℓ2, de donde:
Fig. 1.7
por lo tanto, se obtiene 
y, con los datos, se llega a h ≈ 515, 7004549 m.
Problema 1.6.34 Un asta de bandera de b m. de altura colocada en la punta de una torre de ℓ m. de altura subtiende el mismo ángulo β desde dos puntos separados a m. que están en una recta horizontal que pasa por la base de la torre. Si θ es el ángulo que subtiende el trazo a desde la punta del asta, probar que 
Solución:
En la figura 1.8, se trazó el arco capaz de ≮ ACB = ≮ ADB = θ con cuerda AB = a (luego, ≮ AOM = θ), ≮ CBD = CAD = β, EC = ℓ y CD = b, con ello:
de donde:
Fig. 1.8
Por otro lado:
Problema 1.6.35 Un tren parte de una estación desviándose 40◦ con la horizontal, dicha estación se encuentra a 1550 m. de la ribera de un río que corre paralelamente a la horizontal anterior. Un observador colocado en la ribera visualiza la estación con un ángulo de 25◦ respecto a la ribera del río y al cabo de 5 minutos observa que la trayectoria del tren subtiende un ángulo de 50◦. ¿Cuál es la rapidez del tren en kilómetros por hora?
Solución:
Considerando la figura 1.9, vemos que el triángulo EOT es isósceles de vértice O, por lo tanto, se tiene que :
Por lo tanto, concluimos que:
y con ello:
es decir:
o sea:
Fig. 1.9
luego ET = 3100 m., es decir ET = 3, 1 kilómetros y como la rapidez v es el cuociente entre ET y t = 5 minutos , o sea t = 5/60 = 1/12 horas, resulta:
Problema 1.6.36 A, B y C representan las puntas de postes colocados a intervalos iguales al lado de una carretera, x e y son las tangentes de los ángulos que subtienden AB y BC desde un punto P y t es la tangente del ángulo que forma lacarretera con PB. Demostrar que:
Solución:
Tal como se indica en la figura 1.10, sean:
Fig. 1.10
Además, colocamos AB = BC = a, DB = u y DP = v, también es claro que ≮ DBP = γ, con ello se deduce que:
por otro lado, en el triángulo rectángulo CPD se tiene:
Observando ahora el triángulo rectángulo ADP, conseguimos:
De (1) y (2) se llega a:
que es el resultado esperado.
Problema 1.6.37 Un avión vuela con rapidez de 247,62 [km/h] en aire con calma y con rumbo N 59◦ O, comienza a soplar viento con rapidez de 43 [km/h] en dirección S 21◦ O, el avión pasa a desplazarse en el rumbo N 69◦ O. Determinar la nueva rapidez del avión.
