Kitabı oku: «Trigonometría y geometría analítica», sayfa 4

Notas:

(1) Reiteramos que cada punto P de la circunferencia trigonométrica tiene por coordenadas (cos α, sen α), esto es, existe la correspondencia biunívoca expresada mediante P ←→ (cos α, sen α).

Sin embargo no hay relación biunívoca entre P y α. En efecto, muchos ángulos α, a saber, aquellos que difieren en vueltas enteras (positivas o negativas) determinan el mismo punto P de la circunferencia y el mismo rayo .

(2) Al observar la figura 2.4, donde aparece otra circunferencia centrada en el origen O, con radio r ≠ 1, las coordenadas del punto P′ determinado en ella por el rayo son:

Esto es a causa de la semejanza vista en el capítulo anterior.

(3) En la figura 2.5, nuevamente tenemos la circunferencia goniométrica y en ella al punto P(cos α, sen α) con el respectivo rayo . Se han trazado las rectas tangentes a la circunferencia en A(1, 0) y en B(0, 1). El rayo las intersecta, respectivamente, en R y S; Q es la proyección de P sobre el eje . De esto se deduce que:

Fig. 2.4

Fig. 2.5

(4) Signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes

De las definiciones resulta que las funciones trigonométricas pueden tener signo positivo o negativo, según sea el cuadrante (I, II, III o IV) donde está el punto P(cos α, sen α) ≡ P(α). La figura 2.6 se explica por sí sola.

Fig. 2.6

(5) Mirando las definiciones de las funciones goniométricas o circulares se deduce que:

Teorema 2.1.1 Se tienen las siguientes identidades fundamentales:

2.2Paridad y periodicidad de las funciones circulares

Comenzaremos este párrafo recordando los conceptos de paridad y periodicidad de las funciones reales.

Definición 2.2.1 Dada la función real f diremos que:

(1)f es función par ssi ∀ x ∈ dom f (f(−x) = f(x)) ,

(2)f es función impar ssi ∀ x ∈ dom f (f(−x) = −f(x)) .

Ejemplo 2.2.1 Siendo x ≠ 0 se tiene que la función puesto que:

Ejemplo 2.2.2 Siendo x ≠ 0 se tiene que la función es impar ya que:

Notas:

Desde el punto de vista gráfico tenemos que:

(1) Cuando una función es par su gráfico es simétrico con respecto al eje de ordenadas, ya que si (x, y) está en el gráfico también deberá estar el punto (−x, y), situación que se observa en la figura 2.7.

Fig. 2.7

Fig. 2.8

(2) Cuando una función es impar su gráfico es simétrico con respecto al origen, ya que si (x, y) está en el gráfico también deberá estar el punto (−x, −y), situación que se observa en la figura 2.8 y si 0 ∈ dom f obviamente f(0) = 0.

Definición 2.2.2 Dada la función real (no constante) f diremos que ella es función periódica si existe número real positivo r tal que para todo x ∈ R se cumple que:

Al menor de tales r positivos para los que se cumple la propiedad señalada le llamaremos el período p de la función f, o sea:

Nota:

De la definición se deduce que si f(x + r) = f(x) también se tendrá:

como a la vez:

Ejemplo 2.2.3 Pensemos en la función real definida por:

donde existe z ∈ Z de modo que x ∈ [2z −1, 2z + 1[. Haremos ver que f tiene período 2.

En efecto, vemos que si ℓ ∈ Z y para x tal que:

se tiene:

Además, de 2ℓ − 1 ≤ x ≤ 2ℓ + 1 se consigue:

o mejor:

y, de ello, se desprende que:

o sea que el período podría ser r = 4.

Si nuevamente pensamos en x tal que:

o mejor:

y, con ello:

y de esto vemos que el período podría ser r = 2.

Haremos ver que el período es exactamente 2.

En efecto, supongamos que el período es p con 0 < p < 2 y pensemos en x = 0, así f(0) = 0. Pues bien, se presentan los casos:

(1)0 < p ≤ 1 ⇒ f(0 + p) = p ≠ 0 = f(0) ,

(2)1 < p < 2 ⇒ f(0 + p) = |p − 2| ≠ 0 = f(0) .

Se concluye entonces que p = 2. Ahora pasamos a presentar en la figura 2.9 el gráfico de esta función periódica de período p = 2.

Fig. 2.9

Nota:

La periodicidad de una función (y similarmente con la paridad y la imparidad) permite estudiarla en un intervalo más restringido, pudiendo luego extender los resultados obtenidos a todo el dominio de la función. Esto haremos precisamente en el ejemplo que presentaremos a continuación.

Ejemplo 2.2.4 Dada la función real:

Se pide construir con ella el gráfico de g pero ahora con dominio R sabiendo que además de ser impar posee período 18.

Solución:

El gráfico de la función dada al comienzo del enunciado lo vemos en la figura 2.10.

Fig. 2.10

Fig. 2.11

Ahora, como debe ser impar procedemos a efectuar simetría en torno del origen al gráfico de la figura 6.10 resultando el dibujo de la figura 2.11 y observando esta última figura vemos que el gráfico tiene dominio [−9, 9] que justamente posee longitud 18, o sea, el período pedido. Por lo tanto, procedemos a iterar este gráfico obteniéndose la figura 2.12.

Fig. 2.12

Teorema 2.2.1 Para las funciones circulares se tiene que:

(1)y = cos x es par y periódica de período 2π.

(2)y = sen x es impar y periódica de período 2π.

(3)y = tg x es impar y periódica de período π.

(4)y = cot x es impar y periódica de período π.

(5)y = sec x es par y periódica de período 2π.

(6)y = cosec x es impar y periódica de período 2π.

2.3Gráficos de las funciones circulares

Tomando en cuenta los conceptos presentados en el párrafo anterior podemos dejar a cargo del lector el proceder a trazar los gráficos aproximados de las funciones circulares. Conseguirá los esbozos que presentaremos a continuación.

(1) Gráfico de y = cos x

Fig. 2.13

(2) Gráfico de y = sen x

Fig. 2.14

(3) Gráfico de y = tg x

Fig. 2.15

(4) Gráfico de y = cot x

Fig. 2.16

(5) Gráfico de y = sec x

Fig. 2.17

(6) Gráfico de y = cosec x

Fig. 2.18

2.4Algunas graficaciones

Ya conocemos el gráfico aproximado de la función y = sen x, que vemos nuevamente en la figura 6.19:

Fig. 2.19

Ahora deseamos encontrar el gráfico aproximado de la función y = Asen Bx, con A, B ∈ R⁺. A se denomina amplitud y es claro que el período de ella será . En particular, tenemos el caso donde A = 3 y su gráfico aproximado lo vemos en la figura 2.20:

Fig. 2.20

Un caso más general es donde C se conoce como constante de desfase como desfasamiento, además si B > 0 , entonces y el desplazamiento es hacia la derecha y si desplazamiento es hacia la izquierda. Un caso particular es luego, p = π y el desfasamiento es el gráfico aproximado lo vemos en la figura 2.21:

Fig. 2.21

2.5Fórmulas de reducción

Teorema 2.5.1 Se tiene:

Teorema 2.5.2 Se tiene:

Teorema 2.5.3 Se tiene:

Teorema 2.5.4 Se tiene:

Teorema 2.5.5 Se tiene:

Teorema 2.5.6 Se tiene:

Teorema 2.5.7 Se tiene:

2.6Funciones circulares aplicadas a dos ángulos

En las identidades que resumiremos en este apartado, todos los ángulos que participan, sus sumas y sus diferencias son cualesquiera.

Teorema 2.6.1 Argumento suma

Teorema 2.6.2 Argumento diferencia

2.7Funciones circulares aplicadas a múltiplos y submúltiplos de un ángulo

En las identidades que resumiremos en este apartado, los ángulos que participan son cualesquiera.

Teorema 2.7.1 Argumentos doble

Teorema 2.7.2 Argumentos triple

Teorema 2.7.3 Fórmulas recurrentes

Teorema 2.7.4 Argumentos medio

2.8Fórmulas de prostaféresis

En las identidades que resumiremos en este apartado, los ángulos que participan son cualesquiera.

Teorema 2.8.1 Siendo α y β ángulos cualesquiera se tiene:

2.9Problemas resueltos

Problema 2.9.1 Trazar el gráfico aproximado de la función f(x) = x+sen x .

Solución:

Se consideran los gráficos de las funciones f₁(x) = x y f₂(x) = sen x y para un mismo x se suman las ordenadas respectivas, obteniéndose para f(x) el gráfico que se presenta en la figura 2.22.

Fig. 2.22

Problema 2.9.2 Trazar el gráfico aproximado de la función

Solución:

El gráfico pedido lo vemos en la figura 2.23.

Fig. 2.23

Problema 2.9.3 Trazar el gráfico aproximado de la función

Solución:

El gráfico pedido lo vemos en la figura 2.24

Fig. 2.24

Problema 2.9.4 Trazar el gráfico aproximado de la función:

Solución:

Se consideran los gráficos de las funciones f₁(x) = sen x y f₂(x) = 3sen 2x y para un mismo x se suman las ordenadas respectivas, obteniéndose para f(x) el gráfico que se presenta en la figura 2.25.

Fig. 2.25

Problema 2.9.5 Trazar el gráfico aproximado de la función:

Solución:

Se consideran los gráficos de las funciones f₁(x) = sen 2x y f₂(x) = cos 3x y para un mismo x se suman las ordenadas respectivas, obteniéndose para f(x) el gráfico que se presenta en la figura 2.26.

Fig. 2.26

Problema 2.9.6 Trazar el gráfico aproximado de la función:

Solución:

Se consideran los gráficos de las funciones f₁(x) = sen 2x y f₂(x) = cos 3x y para un mismo x se restan las ordenadas respectivas, obteniéndose para f(x) el gráfico que se presenta en la figura 2.27.

Fig. 2.27

Problema 2.9.7 Trazar el gráfico aproximado de la función:

Solución:

Aquí hacemos lo siguiente:

y procedemos con el método señalado en el párrafo [2.4] obteniéndose el gráfico que se presenta en la figura 2.28.

Fig. 2.28

Problema 2.9.8 Mediante las fórmulas de reducción, vistas en el párrafo [2.5], expresar en términos más simples:

Solución:

Se tiene:

además, resulta:

como también:

por otro lado, se obtiene:

ahora, resulta:

por último, se consigue:

Problema 2.9.9 Si tg 23^◦ = a, calcular el valor de:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.10 Si tg 25^◦ = t, encontrar el valor de la expresión:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.11 Calcular el valor de la expresión:

Solución:

La expresión resulta ser:

Problema 2.9.12 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.13 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

de esto se concluye que el resultado es evidente.

Problema 2.9.14 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.15 Siendo a ≠ 0, se pide factorizar a cos α + b sen α.

Solución:

Se tiene:

pero existe β tal que luego:

Problema 2.9.16 Si α y β son ángulos del primer cuadrante, Hallar cos(α + β) y demostrar que:

Solución:

Es claro que y que con ello resulta:

y, por lo tanto, se obtiene:

Problema 2.9.17 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

de esto resulta:

y, por lo tanto, se obtiene:

Problema 2.9.18 Demostrar que tg 3α − tg 2α − tg α = tg α · tg 2α · tg 3α.

Solución:

Es claro que:

y de ello el resultado.

Problema 2.9.19 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

o sea:

Problema 2.9.20 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

dividiendo los segundos miembros de cada una de las igualdades anteriores por resulta:

amplifiquemos los segundos miembros de cada una de las igualdades anteriores por y llegaremos a:

Problema 2.9.21 Calcular sen 4α sabiendo que tg α = 3.

Solución:

Tenemos por el problema anterior que:

y como:

conseguimos:

Problema 2.9.22 Demostrar la identidad

Solución:

Tenemos:

luego el segundo miembro de la identidad en estudio puede escribirse:

Problema 2.9.23 Demostrar la identidad

Solución:

Sabemos que :

luego:

Problema 2.9.24 Demostrar que:

Solución:

En este caso tenemos:

pero, son complementarios, luego:

Problema 2.9.25 Siendo a, b ∈ R⁺, establecer que existe α tal que:

Solución:

Tenemos en primer lugar que existe α tal que ahora:

Problema 2.9.26 Sea la función definida por:

Demostrar que g(x) es función constante.

Solución:

Que g(x) sea función constante significa que para todo ocurre que el valor de la imagen es el mismo, bastará probar entonces que:

En efecto, tenemos:

Problema 2.9.27 Demostrar que la expresión:

es independiente de x.

Solución:

Se tiene:

o sea, es independiente de x.

Problema 2.9.28 Demostrar que:

Solución:

Se tiene que:

pues tg 50^◦ · tg 40^◦ = 1, ya que tg 40^◦ = cot 50^◦, de ello:

Problema 2.9.29 Calcular el valor de sen 18^◦.

Solución:

Es evidente que

o mejor:

obtenemos la ecuación:

cuyas raícess son pero la única que sirve es:

por simple conclusión ya que 1 = sen 90^◦ y el tercer valor es negativo.

Problema 2.9.30 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Colocando x = tg β, en las expresiones anteriores, se consigue:

es decir, resulta la ecuación x⁴ + x² − 1 = 0 cuyas soluciones son:

y, considerando sólo la positiva, tenemos:

ahora, recordando que sen obtenemos:

Problema 2.9.31 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.32 Si

Solución:

Utilizando la transformación:

resulta que la expresión:

pasa a ser:

cuyas soluciones son:

Problema 2.9.33 Demostrar que:

Solución:

Se sabe que:

por lo tanto, se tiene:

Problema 2.9.34 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

Problema 2.9.35 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.36 Demostrar que:

Solución:

Por hipótesis, se tiene:

elevando al cuadrado esta última, obtenemos

Problema 2.9.37 Demostrar que:

(1)sen 78^◦ − cos 48^◦ = cos 72^◦

(2)cos 5^◦ − sen 25^◦ = sen 35^◦

Solución:

Se aplican las fórmulas de prostaféresis.

(1)

(2)

(3)

(4)

Problema 2.9.38 Demostrar que

Solución:

Aplicando fórmulas de prostaféresis, resulta:

Problema 2.9.39 Demostrar la identidad: