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I. Barwert, Ertragswert und Kapitalwert
1. Erläuterung

In einer Welt mit Zinsen ist der Konsumwert zukünftiger Einzahlungen geringer als der Nominalwert der Einzahlungen. Kann z.B. jemand wählen, ob er ein Bargeschenk über 100 000 Euro heute oder erst in zehn Jahren erhält, so wird er sich für die sofortige Auszahlung entscheiden, denn er kann dann das Geld bei der Bank anlegen und hat in zehn Jahren mit Zins und Zinseszins einen höheren Betrag als 100 000 Euro zur Verfügung. Einzelne, zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallende Beträge können deshalb nur dann sinnvoll miteinander verglichen werden, wenn der Bewerter das Zeitmoment in der Rechnung beachtet; denn Einzahlungen sind zum Bewertungsstichtag umso weniger wert, je weiter sie in der Zukunft liegen, und Auszahlungen sind umso belastender, je näher der Zahlungszeitpunkt liegt.1

Die finanzmathematischen Funktionen des Barwerts, des Ertragswerts und des Kapitalwerts tragen dieser Grundüberlegung Rechnung. Sie ermöglichen dem Bewerter den Vergleich von Zahlungsströmen, auch wenn die durch ein bestimmtes Investitionsprojekt hervorgerufenen Ein- und Auszahlungen im Zeitablauf nach Größe, zeitlichem Anfall und/oder Dauer unterschiedlich sind.2

Der Barwert ist die flexibelste Wertangabe. Er besagt nur, welchen Wert eine Investition zu einem bestimmten Zeitpunkt hat. In der Wahl des Zeitpunkts ist der Bewerter aber frei. Dieser kann mit dem Beginn der Investition zusammenfallen, aber auch deutlich davor oder danach liegen. Der Barwert gibt den Gegenwartswert (present value) an, den der Zahlungsstrom zu diesem beliebig gewählten Zeitpunkt hat. Der Bewerter errechnet ihn, indem er „alle vor dem Bezugszeitpunkt anfallenden Zahlungen bis zum Bezugszeitpunkt aufzinst und alle nach dem Bezugszeitpunkt anfallenden Zahlungen abzinst und dann die Summe aller auf den Bezugszeitpunkt umgerechneten Zahlungen bildet“3.

Der Ertragswert einer Zahlungsreihe ist hinsichtlich des Bewertungsstichtags enger definiert als der Barwert. Er ist ausschließlich zukunftsgerichtet und gibt den Wert an, den eine zukünftige Zahlungsreihe am aktuellen Bewertungsstichtag t = 0 besitzt.4 Der Bewertungsstichtag (Tag, auf den die Bewertung erfolgt) darf aber nicht mit dem Tag verwechselt werden, an dem die Bewertung durchgeführt wird (Bewertungstag). Ökonomisch beschreibt der Ertragswert einer Investition den „Betrag, den man alternativ am Kapitalmarkt anlegen muss, um einen gleichen Einkommensstrom wie aus dem Investitionsobjekt [...] zu erhalten“5.

Der Ertragswert (EW0) einer Zahlungsreihe wird ermittelt, indem die zukünftigen, einzelnen Zahlungen oder gleichbedeutend Cashflows einer Periode (CFt) mit dem Diskontierungszinssatz (i) auf den Bewertungsstichtag (t = 0) abgezinst und anschließend addiert werden.6 Die Berechnungsformel lautet:


Für den Fall einer ewigen (unendlich lang laufenden) nachschüssigen Rente (gleich große Zahlungen) kann die Berechnung des Ertragswerts vereinfacht werden:


Den Ausgangspunkt zur Ableitung dieser Formel (2) bildet die Berechnung gemäß Gleichung (1):


Sind die jährlichen Nettocashflows gleich hoch, laufen sie ewig und werden sie aus Sicht des Bewertungsstichtags nachschüssig gezahlt, kann der Index im Zähler entfallen und die Formel lautet:


Schreibt man die Formel aus, so resultiert daraus:


Werden anschließend beide Seiten der Gleichung mit (1 + i) multipliziert, so ergibt sich:


Wird nun von dieser Gleichung die vorherige Gleichung subtrahiert, so folgt:


und es verbleibt die Gleichung:

EW0 · i = CF.

Die Auflösung der Gleichung nach EW0 liefert die Formel für den Ertragswert einer ewigen Rente:


Der Kapitalwert (KW0, net present value)7 ergänzt den Ertragswert um die (regelmäßig negative) Anfangsinvestition (I0) und entspricht der Differenz zwischen dem Ertragswert eines Investitionsprojekts im Zeitpunkt t = 0 und dessen Investitionsauszahlung:8


bzw.

(4) KW0 = – I0 + EW0.

Ökonomisch bestimmt der Kapitalwert einer Investition den Betrag, „den der Investor im Zeitpunkt t0 zusätzlich konsumieren (oder anlegen) kann, wenn er z.B. einen Kredit zum Zinssatz i aufnimmt, die Investition durchführt und mit den Einzahlungen aus der Investition den Kredit einschließlich der Zinsen zurückzahlt“9. Der Investor erkennt an ihm, ob die Investition für ihn einen finanziellen Mehrwert schafft und – wenn ja – wie hoch dieser ist. Jede Investition, die einen Kapitalwert größer als null aufweist, ist vorteilhaft und sollte durchgeführt werden, da ein positiver Kapitalwert die Konsummöglichkeiten des Investors erhöht. Eine Realisierung des Investitionsprojekts sollte dagegen unterbleiben, wenn dessen Kapitalwert kleiner als null ist, da ein negativer Kapitalwert die Konsummöglichkeiten des Investors verringert.10 Stehen mehrere Investitionen zur Auswahl, so ist diejenige zu favorisieren, die den größten Kapitalwert liefert.

2. Anwendung auf den Fall: Ertragswert und Kapitalwert des Glücksspielgewinns von Herrn Glück

Geht Herr Glück etwas naiv davon aus, dass ihm der Nominalwert des Lottogewinns i.H.v. 200 000 Euro (= fünf Jahreszahlungen zu 40 000 Euro) als Vermögenszuwachs zur Verfügung steht, und bucht er eine entsprechend teure Reise, so übersieht er, dass er die Einzahlungen aus dem Lottogewinn erst viel später erhält und bekommt die Folgen seines Missgeschicks in den darauffolgenden Jahren zu spüren. Zahlt Herr Glück nämlich den i.H.v. 200 000 Euro aufgenommenen Kredit nur mithilfe der jährlichen Lottogewinneinzahlungen zurück, so steht am Ende der Darlehenslaufzeit (2024) noch ein Restkredit i.H.v. 77 898 Euro aus:

Tabelle 1: Tilgungsplan des Darlehens i.H.v. 200 000 Euro


(in €)20202021202220232024
Darlehen zum 1.1.–200 000–180 000–158 000– 133 800–107 180
Schuldzinsen zum 31. 12.–20 000–18 000–15 800–13 380–10 718
Tilgung aus Gewinn40 00040 00040 00040 00040 000
Darlehen zum 31. 12.–180 000–158 000–133 800–107 180–77 898

Herr Glück vergaß im Rahmen seiner Berechnung den Zinseffekt. Der Investor muss zukünftige Zahlungen diskontieren und den diskontierten Betrag mit heutigen Zahlungen vergleichen, um zu ökonomisch sinnvollen Ergebnissen zu gelangen. In seiner allgemeinen Form gibt der Bruch den Diskontierungsfaktor an. Er besagt, mit welchem Faktor der Cashflow einer bestimmten Periode (t) multipliziert werden muss, um zu seinem Ertragswert zu gelangen. Für Herrn Glück errechnet sich bei einem relevanten Marktzins von 10 % der Gegenwartswert des Lottogewinns unter Anwendung der Ertragswertformel (1):


Der Gegenwartswert eines über fünf Jahre in konstanten Raten ausgezahlten Lottogewinns i.H.v. insgesamt 200 000 Euro beträgt bei 10 % Zinsen nur 151 631,47 Euro. Je weiter die Auszahlung des Gewinns in der Zukunft liegt, umso geringer ist ihr (Konsum-)Wert. Die Richtigkeit des Ergebnisses lässt sich am Beispiel des Darlehens darstellen:

Tabelle 2: Tilgungsplan des Darlehens i.H.v. 151 631,47 Euro


(in €)20202021202220232024
Darlehen zum 1.1.–151 631,47126 794,62–99 474,08–69 421,49–36 363,64
Schuldzinsen zum 31. 12.–15 163,15–12 679,46–9 947,41–6 942,15–3 636,36
Tilgung aus Gewinn40 00040 00040 00040 00040 000
Darlehen zum 31. 12.126 794,62–99 474,08–69 421,49–36 363,640

Nur wenn Herr Glück bei seiner Weltreise auf einige Annehmlichkeiten verzichtet, für sie (nur) 151 631,47 Euro aufwendet und diesen nun geringeren Konsum durch eine Kreditaufnahme finanziert, ist es ihm möglich, das Darlehen zuzüglich anfallender Zinsen vollständig aus dem Lottogewinn zurückzuzahlen. Damit zeigt sich: Der Ertragswert des Lottogewinns beträgt – bei 10 % Zinsen und nur dann – exakt 151 631,47 Euro.

Herr Glück musste 5 000 Euro investieren, um die Lose zu erwerben. Vermindert er nun den Ertragswert des Lottogewinns (151 631,47 Euro) um diese anfänglichen Investitionsausgaben, so erhält er den Kapitalwert der Investition i.H.v. 146 631,47 Euro, also den Betrag, um den Herr Glück durch den Lottogewinn tatsächlich reicher geworden ist:

KW0 = –I0 + EW0 = –5 000 + 151 631 = 146 631,47 €.

II. Rentenbarwertfaktor
1. Erläuterung

Der Rentenbarwertfaktor erleichtert das Berechnen des Ertragswerts. Er erlaubt es dem Bewerter, bestimmte Zahlungen zusammenzufassen und ihren Barwert in einem einzigen Rechenschritt zu ermitteln. Die Verwendung des Rentenbarwertfaktors (Rbf) setzt aber voraus, dass konstante Zahlungsströme (Cashflows in Form einer Rente) über eine bestimmte Anzahl von zusammenhängenden Perioden vorliegen und ein gleichbleibender Diskontierungszinssatz anzuwenden ist. In diesem Fall berechnet sich der Ertragswert der Rente zu Beginn des Rentenzeitpunkts mit:11


Der Rentenbarwertfaktor kann – bei Vorliegen eines in der Höhe konstanten Zahlungsstroms CF (Rente) über T Perioden und einem gleichbleibenden Diskontierungszinssatz – direkt aus der Gleichung (1) – Ertragswertformel – abgeleitet werden:12


Der Zeitindex (t) im Zähler kann dann entfallen, so dass gilt:


Werden nun beide Seiten der Gleichung mit (1 + i) multipliziert, so resultiert daraus:


Wird nun von dieser Gleichung die vorige subtrahiert, so folgt:


Und die Gleichung vereinfacht sich zu:


Wird nun der erste Term auf der rechten Seite (CF) mit erweitert, so ergibt sich:


Die Multiplikation der beiden Seiten der Gleichung mit führt zu:


Das Ausklammern von CF liefert die Formel zur Berechnung des Ertragswerts mithilfe des Rentenbarwertfaktors (Gleichung (5)):


2. Anwendung auf den Fall: Ertragswert und Rentenbarwertfaktor des Glücksspielgewinns von Herrn Glück

Herr Glück erhält aus dem Lottogewinn drei Zahlungsreihen: Zehn Jahre lang 8 000 Euro (beginnend am 31.12.2020), 15 Jahre lang 7 000 Euro (beginnend am 31.12.2030) und fünf Jahre lang 3 000 Euro (beginnend am 31.12.2045).

Der Bewerter kann den Barwert dieser Zahlungen im Einzelnen – Schritt für Schritt – ermitteln:


Er muss dann aber dreißig Zwischenwerte errechnen. Einfacher löst sich die Aufgabe unter Einsatz des Rentenbarwertfaktors. Der Rentenbarwertfaktor beträgt bei einem konstanten Alternativzins von 10 % und


– bei einer Periode von zehn Jahren:
– bei einer Periode von 15 Jahren:
– bei einer Periode von fünf Jahren:

Dabei ist noch zu beachten, dass der Bewerter unter Einsatz des Rentenbarwertfaktors einen Wert erhält, der dem Barwert der nachschüssig gezahlten gleichbleibenden Zahlungen zu Beginn des jeweiligen Zahlungszeitraums entspricht, ab dem die bewerteten konstanten Zahlungen fließen. Während also unter Verwendung des Rentenbarwertfaktors der Bewerter für die Zahlungen der ersten zehn Jahre den Barwert dieser Cashflows zum Bewertungsstichtag (1.1.2020) erhält, bezieht sich der Barwert des zweiten kontinuierlichen Zahlungszeitraums auf den 1.1.2030 und der Barwert der letzten Zahlungsperiode auf den 1.1.2045. Diese Barwerte sind ihrerseits noch einmal abzuzinsen, um zum Ertragswert des Lottogewinns zu gelangen. (Bei exakter Berechnung – ohne Rundung – ergibt sich der zuvor ermittelte Betrag.)


III. Annuitätenfaktor
1. Erläuterung

Weichen die Zahlungsströme einer Investition von den Konsumwünschen des Investors ab oder soll ein Vergleich mit anderen Zahlungsströmen erfolgen, kann auf einem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt „rechnerisch durch Auf- und Abzinsung und praktisch durch Geldanlage oder -aufnahme die ursprüngliche Struktur einer Zahlungsreihe in eine andere Struktur“13 überführt werden, ohne dass der Kapitalwert sich ändert. Will der Bewerter unregelmäßige Zahlungen in eine Reihe uniformer Zahlungen überführen, so gelingt dies unter Einsatz der Annuitätenmethode. Sie transformiert die nicht uniforme Investitionsauszahlungsreihe in einen gleichbleibenden nachschüssigen Zahlungsstrom (Rente), indem sie den Kapitalwert durch den Rentenbarwertfaktor dividiert.14

Der Ertragswert einer gleichbleibenden, periodisch wiederkehrenden Zahlung lässt sich gemäß Gleichung (5) mit dem Rentenbarwertfaktor berechnen:


Wird diese Gleichung nach dem Cashflow (= Rentenbetrag oder Annuität) aufgelöst:


und bildet man den Kehrwert des Rentenbarwertfaktors, so vereinfacht sich die Gleichung zu:


Dieser Kehrwert des Rentenbarwertfaktors wird als Annuitäten- oder Wiedergewinnungsfaktor (Wgf) bezeichnet. Er rechnet einen im Zeitpunkt t = 0 zur Verfügung stehenden Geldbetrag bei gegebenem Zinssatz (i) und gegebener Laufzeit (T) in eine über T Perioden jeweils am Periodenende ausgezahlte Rente um.

2. Anwendung auf den Fall: Nachschüssige Rentenzahlung des Herrn Glück

Im gegebenen Fall ist der Annuitätenfaktor für fünf Jahre bei einem Zinssatz von 10 % p.a. zu berechnen und mit dem Ertragswert des Lotteriegewinns i.H.v. 70 733,47 Euro zu multiplizieren:


Herr Glück kann sich bei einer Verzinsung von 10 % fünf Jahre lang jeweils eine Reise im Gegenwert von 18 659,31 Euro leisten und die Reisekosten vollständig aus dem Lottogewinn bezahlen. Zwar muss Herr Glück seinen Konsum über eine Kreditaufnahme finanzieren, da die Lottogesellschaft den Gewinn erst später überweist. Der Kredit wird aber – einschließlich seiner Verzinsung – vollständig durch die zukünftigen Gewinngutschriften ausgeglichen. Die Zahlungsströme sehen wie folgt aus:

Tabelle 3: Nachschüssige Rentenzahlung von 18 659,31 Euro


(in €)20202021...202420252026...20482049
Darlehen zum 1.1.0–10 659...–49 470–65 076–63 584...–5 207–2 727
Schuldzinsen zum 31. 12.0–1 066...–4 947–6 508–6 358...–521–273
Cashflow aus Lottogewinn8 0008 000...8 0008 0008 000...3 0003 000
Konsum: Reise–18 659–18 659...–18 65900...00
Darlehen zum 31. 12.–10 659–22 385...–65 076–63 584–61 942...–2 7270

Weiterführende Literatur


Brealey, Richard A./Myers, Stewart C./Allen, Franklin,Principles of Corporate Finance, 19. Aufl. (int. ed.), Boston u.a. 2020, S. 20–45
Kruschwitz, Lutz/Lorenz, Daniela,Investitionsrechnung, 15. Aufl., München 2019, S. 46–78
Schmidt, Reinhard H./Terberger, Eva,Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. aktualisierte Aufl., Wiesbaden 2006, S. 128–151

1 Vgl. Kruschwitz/Lorenz, Investitionsrechnung (2019), S. 74–76. 2 Vgl. Hachmeister, Der Discounted Cash Flow als Maß der Unternehmenswertsteigerung (2000), S. 92–93. 3 Schmidt/Terberger, Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie (2006), S. 128. 4 Vgl. Schmidt/Terberger, Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie (2006), S. 130. 5 Schmidt/Terberger, Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie (2006), S. 134. 6 Vgl. Brealey/Myers/Allen, Principles of Corporate Finance (2020), S. 20–28; Schmidt/Terberger, Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie (2006), S. 128. 7 Vgl. Schmidt/Terberger, Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie (2006), S. 129. 8 Vgl. Kruschwitz/Lorenz, Investitionsrechnung (2019), S. 74–75. 9 Schmidt/Terberger, Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie (2006), S. 133–134. 10 Vgl. Schmidt/Terberger, Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie (2006), S. 137. 11 Vgl. Kruschwitz/Lorenz, Investitionsrechnung (2019), S. 59–62. 12 Vgl. zum Folgenden auch Kruschwitz/Lorenz, Investitionsrechnung (2019), S. 59–60. 13 Schmidt/Terberger, Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie (2006), S. 138. 14 Vgl. Kruschwitz/Lorenz, Investitionsrechnung (2019), S. 70–72.

Fall 2: Zweckabhängige Unternehmensbewertung: Ermittlung von Entscheidungs- und Schiedswerten

Sachverhalt:

Steuerberater Heinrich Tippe hat kürzlich seinen 92. Geburtstag gefeiert und sich auf Drängen seiner Enkel entschlossen, etwas kürzer zu treten. Deshalb plant er den Verkauf seiner Steuerberatungskanzlei zum 31.12.2019. Die Bilanz seiner Kanzlei hat folgendes Aussehen:

Tabelle 4: Bilanz der Kanzlei „Tippe“


Bilanz (in €) zum 31.12.2019
Software, Lizenzen40 000Eigenkapital187 000
Grundstück Neudorf100 000Jahresüberschuss25 000
Betriebsausstattung158 000Rückstellungen3 000
Forderungen aus LuL7 000Verbindlichkeiten aus LuL5 000
Bank und Kasse15 000Bankdarlehen100 000
Bilanzsumme320 000Bilanzsumme320 000

Die zugehörige Kapitalflussrechnung (Cashflow-Rechnung) weist das nachstehende Bild auf:

Tabelle 5: Cashflow-Rechnung der Kanzlei „Tippe“


Cashflow-Rechnung (in €)
2019
Honorareinzahlungen360 000
Honorare Vereine0
Miete Neudorf8 000
Summe Einzahlungen368 000
Löhne224 000
Büromieten42 000
Fachliteratur15 000
Telefon, Porto4 000
Grundstücksauszahlungen Neudorf3 000
Ersatzinvestitionen in das AV10 000
Sonstige laufende Auszahlungen39 000
Zinsauszahlungen6 000
Summe Auszahlungen343 000
Nettocashflow25 000

Zusätzlich informiert Sie Tippe darüber, dass er die örtlichen Sportvereine in Steuerfragen kostenlos berät und daher jährlich auf ein Honorar von 5 000 Euro verzichtet. Tippe ist auf die Erhaltung seiner Geschäftsausstattung bedacht. Er investiert daher regelmäßig in einer Höhe, die den Wertverlust seiner Vermögensgegenstände ausgleicht. Im Übrigen sind die Auszahlungen und Einzahlungen des Geschäftsjahres 2019 stabil. Tippe erwirtschaftet den Nettocashflow von 25 000 Euro seit Jahren und geht auch für die Zukunft von entsprechenden Zahlungen aus.

Tippe ist risikoscheu. Er plant, das Geld aus dem Verkauf des Unternehmens bei seiner Hausbank langfristig zu 5 % anzulegen. Wäre er bereit, mehr Risiko zu übernehmen (was er nicht ist), so könnte er seinem Portfolio Aktien beimischen und eine – kapitalmarkttypische – Durchschnittsrendite von 8,5 % erzielen.

Carlo Neumeier ist an dem Erwerb der Kanzlei interessiert. Er kennt die Kanzlei schon seit seiner Kindheit und hat sich schon immer gewünscht, sie zu erwerben. Neumeier hat gerade seine Steuerberaterprüfung erfolgreich abgelegt und möchte ein Kaufpreisangebot abgeben. Er teilt Ihnen mit, dass er auf dem Gebiet der internationalen Besteuerung sehr beschlagen ist, sich sein Können sehr schnell herumspricht und er allein durch sein spezielles Fachwissen jährliche Mehreinnahmen von 30 000 Euro erzielen wird. Natürlich würde er als rational handelnder Unternehmer auch die Sportvereine zukünftig entgeltlich beraten (Einzahlungszuwachs = 5 000 Euro). Auch kann Carlo Neumeier die jährlichen Raumkosten, die der Kanzlei „Tippe“ durch das Anmieten eines großen Archivs und einer üppig ausgestatteten Bibliothek entstehen, deutlich senken. Neumeier ist nämlich bereits Eigentümer einer gut gehenden Unternehmensberatung, die er in eigenen Räumen betreibt. Wenn die Mitarbeiter dort ein wenig zusammenrücken, kann er auf der frei gewordenen Fläche Archiv und Bücher unterbringen. Die damit verbundene Mietersparnis beläuft sich auf 10 000 Euro.

Carlo Neumeier müsste den Kaufpreis bei seiner Hausbank zu 10 % refinanzieren.

Aufgabenstellung:

 – Berechnen Sie die Grenzpreise für Tippe und Neumeier. Was ist unter dem Zweckadäquanzprinzip zu verstehen? Stellen Sie die Hauptfunktionen der Kölner Funktionenlehre dar. Welches Unternehmensbewertungsverfahren sollte zur Ermittlung von Grenzpreisen herangezogen werden?

 – Nehmen Sie nun an, dass Neumeier für die Kanzlei 800 000 Euro zahlte. War der Kaufpreis angemessen? Verdeutlichen Sie den Zusammenhang zum Gesamtertragsprinzip.

 – Wie hoch wäre ein fairer Schiedspreis im vorliegenden Sachverhalt?

 – Gehen Sie davon aus, dass Neumeier aktuell bei einer Steuerberatungsgesellschaft angestellt ist. Er verdient dort 65 000 Euro. Neumeier plant aber, nach dem Erwerb der Kanzlei „Tippe“ seine Anstellung zu kündigen und in der Kanzlei vollzeitlich mitzuarbeiten, um den Prognose-Cashflow zu erzielen. Hat diese Information Einfluss auf den Grenzpreis des Neumeier (Unternehmerlohnprinzip)? Argumentieren Sie unter Bezugnahme auf die Äquivalenzgrundsätze.