Kitabı oku: «Matemática aplicada a los negocios», sayfa 3

b) Calculemos el límite:

Racionalizando para levantar la indeterminación , obtenemos:

c) El límite:

también es de la forma . Luego, buscaremos eliminar el factor x del numerador y del denominador. Racionalicemos:

d) El límite:

posee indeterminación de la forma . Racionalicemos para levantar la indeterminación:

2.6. Ejercicios propuestos

1. Utilice las propiedades estudiadas para calcular cada uno de los siguientes límites:

2. Calcule los siguientes límites:

3. Calcule los siguientes límites:

4. Calcule los siguientes límites:

5. Calcule los siguientes límites:

2.7. Límites laterales

Al iniciar el capítulo, consideramos la función:

y nos preguntamos cómo se comportaba esta función cuando x tomaba valores cercanos a 2, a pesar de que el punto x = 2 no pertenecía a su dominio.

En la recta real existen dos maneras de aproximarse a un punto: por la izquierda y por la derecha. Aproximarse al punto x = 2 por la izquierda significa asignar a x valores cada vez más cercanos a 2, pero menores que 2 (es decir, valores que están a la izquierda de x = 2). Análogamente, aproximarse a x = 2 por la derecha significa que x asumirá valores que se acercan cada vez más a 2, pero que son mayores que 2.

Figura 2.5

Para esta misma función del inicio del capítulo, habíamos tabulado en dos tablas para ver cómo se comporta la función y = f (x).

Notemos que, en la primera tabla, los valores de x son todos menores que 2 y se van aproximando a 2, es decir, en la primera tabla los valores que asume x se aproximan a 2 por la izquierda, mientras que en la segunda tabla, hemos considerado valores de x que se van a aproximando a 2 por la derecha.

Según los valores que va asumiendo f (x), notamos que conforme x se aproxima a 2 con valores menores que 2; es decir, conforme x se aproxima a 2 por la izquierda, los valores que toma la función f se acercan cada vez más a 4. En este caso, decimos que el límite de f, cuando x tiende a 2 por la izquierda, es igual a 4, y representamos este límite por:

La notación x → 2^– se lee x tiende a 2 por la izquierda.

Análogamente, si observamos los resultados de la segunda tabla, notamos que cuando los valores de x se acercan a 2 por la derecha, los valores de f se aproximan a 4. En tal caso, decimos que el límite de f, cuando x tiende a 2 por la derecha, es igual a 4, y denotamos este límite por:

La notación x → 2⁺ se lee x tiende a 2 por la derecha.

Los límites se denominan límites laterales. Si en lugar del punto x = 2 nos acercamos por la izquierda y por la derecha al punto a, tendremos los límites laterales:

Cuando estos límites son iguales, diremos que existe el límite de la función f en el punto a y denotaremos tal límite por:

En nuestro ejemplo obtuvimos:

Entonces, podemos decir que existe el límite de cuando x → 2 (x tiende a 2), y denotaremos por:

En resumen, para que exista el límite de una función cuando x tiende al punto a, sus límites laterales cuando x se aproxima al punto a por la izquierda y por la derecha deben ser iguales. Es decir:

Esto quiere decir que, para determinar si un límite existe, debemos calcular sus límites laterales y comprobar si estos son iguales. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.11

Considere la función de la figura 2.6.

Notamos que:

Figura 2.6

Ejemplo 2.12

Dada la función:

Determine si existe

Calculemos los límites laterales de f cuando x se aproxima a 3:

a) Si x → 3^–, entonces x < 3 y por lo tanto f (x) = 2x² – x. Entonces:

b) Si x → 3⁺, entonces x > 3 y entonces f (x) = 3 – x. Luego:

Siendo concluimos que no existe

Ejemplo 2.13

Determine si existe:

Calculemos los límites laterales:

a) Si x → 5⁺ entonces, x > 5; es decir, x – 5 > 0. Como x – 5 es positivo, por la definición del valor absoluto de un número, tenemos que |x – 5| = x – 5. Entonces,

b) Si x → 5^–, entonces, x < 5, de donde, x – 5 < 0, es decir, x – 5 es negativo, y por la definición del valor absoluto, tenemos que |x – 5| = – (x – 5). Entonces,

Como , concluimos que no existe

2.8. Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.3

Dada la función:

Solución

Calculemos cada uno de los límites laterales:

a) Cuando x → – 1^– tenemos que x < – 1, entonces:

b) Si x → – 1⁺ entonces x > – 1, con lo cual f (x) = 2x² – x.

Luego,

Concluimos que no existe

c) Si x → 3^– entonces x < 3, luego f (x) = 2x² – x y:

d) Por último, si x → 3⁺, tenemos que x > 3 y:

Por lo tanto, existe

Ejercicio 2.4

Solución

Notemos que al reemplazar:

obtenemos una indeterminación de la forma . Como entonces es decir, 2x – 3 > 0. Luego |2x – 3| = 2x – 3, y:

Usamos el método de Ruffini para factorizar el numerador y obtenemos:

Ejercicio 2.5

Solución

Aplicando las propiedades de los límites y usando la regla de correspondencia adecuada, obtenemos:

Ejercicio 2.6

Halle el valor de la constante c, sabiendo que existe siendo:

Solución

Como existe , entonces:

Calcularemos cada uno de estos límites e igualaremos los resultados:

Igualando ambos resultados, obtenemos: 16 – c² = 4c + 20; es decir,

Esta ecuación cuadrática puede escribirse como (c + 2)² = 0, de donde obtenemos c = – 2.

Ejercicio 2.7

Dada la función:

halle los valores de las constantes A y B de modo que existan los límites

Solución

Si existen , sus límites laterales deben ser iguales. Calculemos los límites laterales:

De aquí, igualando los valores de estos dos límites, obtenemos la ecuación:

Por otra parte:

Igualando ambos límites, obtenemos:

Resolviendo el sistema:

obtenemos:

2.9. Ejercicios propuestos

1. Calcule cada uno de los siguientes límites laterales:

2. Dada la función:

calcule en caso de que exista.

3. Calcule los siguientes límites laterales:

4. Dada la función:

Determine el valor de a de modo que exista

5. Dada la función:

halle los valores de a y b, sabiendo que los límites y existen.

6. Si:

Justifique su respuesta.

7. Determine el valor de las constantes A y B, sabiendo que existen los límites

8. Dada la función:

halle los valores de las constantes A y B sabiendo que existen los límites

2.10. Límites infinitos

Consideremos la función Sabemos que el dominio de f es – {0}. Veamos cómo se comporta f cuando x se aproxima a cero tanto por la derecha como por la izquierda:

El comportamiento de esta función puede apreciarse en su gráfico, que se muestra en la figura 2.7.

De la primera tabla y del gráfico de f, observamos que conforme x se aproxima a 0 por la derecha, los valores que asume f (x) se hacen cada vez más grandes.

Figura 2.7

Por tal razón, decimos que f (x) tiende a +∞ cuando x se aproxima a cero por la derecha y denotamos:

En la segunda tabla, observamos que cuando x se acerca a cero por la izquierda, los valores que asume f (x) se hacen cada vez más pequeños. Por tal razón, decimos que f (x) tiende a – ∞ cuando x se aproxima a cero por la izquierda y denotamos:

Notemos además que el gráfico de f no corta a la recta x = 0, pero se aproxima cada vez más a esta recta conforme x se acerca a 0 por la derecha o por la izquierda, mientras f (x) toma valores cada vez más grandes o más pequeños, respectivamente. Cuando esto sucede, decimos que la recta x = 0 es una asíntota vertical de la función f.

Veamos un segundo ejemplo:

Ejemplo 2.14

Ahora, consideremos la función . Sabemos que el gráfico de la función se obtiene trasladando 3 unidades a la derecha el gráfico de

Así, el gráfico de f es el que se muestra en la figura 2.8.

Figura 2.8

Del gráfico, notamos que cuando x se aproxima a 3 por la izquierda, los valores de f (x) son negativos y se hacen cada vez más y más pequeños, es decir:

y que los valores de f (x) se hacen más grandes conforme x se acerca a 3 por la derecha; es decir:

Además, el gráfico de f no corta a la recta x = 3, pero se va acercando cada vez más a la recta x = 3 cuando x se aproxima a 3 por la izquierda o por la derecha. En este caso, la recta x = 3 es una asíntota vertical de f.

Observación 2.5

En general, una función de la forma tiene un gráfico que no corta a la recta x = C, y que tiende hacia +∞ y – ∞ cuando x se aproxima a C por la derecha y por la izquierda, respectivamente, tal como lo muestra la figura 2.9 (con C > 0).

Figura 2.9

Definición 2.2

Cuando el resultado de un límite es +∞ o – ∞, será llamado límite infinito.

Definición 2.3

Sea f una función definida alrededor del punto a, excepto, posiblemente, en a.

a) Diremos que si los valores de f (x) se tornan arbitrariamente grandes cuando x se aproxima al punto a por la derecha.

b) Diremos que si los valores de f (x) se tornan arbitrariamente grandes cuando x se aproxima al punto a por la izquierda.

Figura 2.10

c) Diremos que si los valores de f (x) se tornan arbitrariamente pequeños cuando x se aproxima al punto a por la derecha.

d) Diremos que si los valores de f (x) se tornan arbitrariamente pequeños cuando x se aproxima al punto a por la izquierda.

Figura 2.11

Ejemplo 2.15

Calcule los siguientes límites:

Veamos:

a) Notemos que . cluimos que:

b) De acuerdo a la observación anterior, Entonces:

c) Por la misma observación: Entonces:

Vemos que, si el numerador fuese negativo, el resultado sería:

d) Notemos que Por la observación anterior, Por lo tanto,

e) Por el límite y la observación anterior, sabemos que Entonces:

Observación 2.6

¿Qué tienen en común todos los ejemplos anteriores? En todos los límites de esta sección, al remplazar el punto de aproximación en la función obtenemos una expresión de la forma donde k ≠ 0. Por ejemplo, los límites del ejemplo anterior arrojan las indeterminaciones

Otra característica de estos límites es que todos dieron como resultado +∞ o – ∞. Esto no es casualidad, pues sucede con todos los límites de la forma con k ≠ 0. En general, los límites forma con k ≠ 0, dan como resultado +∞ o – ∞.

Ejemplo 2.16

Calcule

Para calcular el límite primero analicemos Es claro que pero ¿cómo se acerca la función g (x) = x² – 4 a cero? Veamos.

a) Si x → 2⁺ entonces x > 2. Luego x² > 4, es decir x² – 4 > 0. Por lo tanto, si x² – 4 se acerca a cero, lo hará con valores positivos, y diremos que x² – 4 tiende a cero con valores positivos, o que x² – 4 tiende positivamente a cero.

b) Si x → 2^– entonces 0 < x < 2. Luego x² < 4, es decir, x² – 4 < 0. Por lo tanto, si x² – 4 se aproximará a cero con valores negativos, y diremos que x² – 4 tiende a cero con valores negativos, o que x² – 4 tiende negativamente a cero.

Ahora calculemos los límites iniciales:

i) pues x² – 4 tiende a cero con valores positivos.

ii) pues x² – 4 tiende a cero con valores negativos.

2.10.1 Interpretación geométrica de los límites infinitos

Definición 2.4

Dada una función f definida alrededor del punto x = a, excepto, posiblemente, en x = a, diremos que la recta x = a es una asíntota vertical de f si y solamente si alguna de las siguientes condiciones se verifica:

Ejemplo 2.17

Considere la función f cuyo gráfico es el que se muestra en la figura 2.12.

Figura 2.12

Notamos que la recta x = a es una asíntota vertical de f pues:

Otra asíntota vertical de f es la recta x = b pues

Ejemplo 2.18

Considere la función f cuyo gráfico es el que se muestra en la figura 2.13.

Vemos que las rectas x = 1, x = 2 x = 4, y x = 6 son asíntotas verticales, pues:

Figura 2.13

Observación 2.7

Para que la recta x = a sea asíntota vertical, no es necesario que ambos límites laterales en x = a sean infinitos, basta con que uno de ellos lo sea. Por ejemplo, la recta x = 6 del ejemplo anterior es asíntota vertical pues sin importar que

2.11. Ejercicios propuestos

1. Calcule los siguiente límites laterales:

2. En la figura 2.14 se muestra el gráfico de la función:

Calcule cada uno de los siguientes límites:

Figura 2.14

3. Calcule los siguientes límites laterales:

4. Calcule los siguientes límites laterales:

5. Halle las asíntotas verticales de cada una de las siguientes funciones en caso de que existan.

2.12. Límites al infinito

Consideremos nuevamente la función y veamos cómo se comporta f cuando x toma valores arbitrariamente grandes y arbitrariamente pequeños:

Notamos que, cuando x toma valores muy grandes y muy pequeños, los valores de se aproximan a cero. Por esta razón, vemos que la gráfica de f se acerca cada vez más a la recta y = 0 conforme x se aleja del origen de coordenadas.

Figura 2.15

Expresamos este comportamiento mediante la siguiente notación:

y decimos que la función y = f (x) se aproxima a 0 cuando x tiende hacia – ∞ y hacia +∞. Estos límites son llamados límites al infinito. En adelante, cada vez que nos encontremos con un límite al infinito, buscaremos formar expresiones de la forma pues sabemos que tienden a cero cuando x → – ∞ y cuando x → +∞.

Observación 2.8

Si en lugar del número 1 en el numerador de la función f (x) = tuviésemos cualquier otro número distinto de cero (inclusive podemos pensar en uno muy grande o muy pequeño), el límite seguirá siendo cero. Es decir, si k es un número real no nulo, entonces:

Lo mismo pasaría si tuviésemos alguna potencia positiva de x; es decir,

A continuación, calcularemos los límites al infinito de funciones racionales; es decir, funciones de la forma:

Donde p (x) y q (x) son polinomios en la variable x.

2.12.1 Límites al infinito de funciones racionales

Sean:

y

polinomios de grados n y m respectivamente (es decir, a_n, b_m ≠ 0), con coeficientes reales.

Calcularemos límites de la forma:

Dividiremos nuestro estudio en tres casos:

Caso I. Cuando el grado del numerador es igual al grado del denominador

Consideremos un ejemplo:

Ejemplo 2.19

Calcule

Recordemos que la idea es buscar la aparición de términos de la forma pues sabemos que estos tienden a cero cuando x → – ∞ o x → +∞. Para esto, dividiremos al numerador y al denominador de la expresión anterior por x²:

Notemos que, en el último paso, usamos el hecho de que:

Ejemplo 2.20

Calcule

En este caso, nos conviene dividir al numerador y al denominador de la función entre x⁷. Así, obtenemos:

Observación 2.9

Notemos que, al ser numerador y denominador polinomios del mismo grado, nuestro límite tendrá la forma:

Entonces, al dividir numerador y denominador entre xⁿ todos los términos del numerador y denominador tenderán a cero, excepto a_n y b_n respectivamente. Por lo tanto:

Lo mismo vale si x → – ∞.

Caso II. Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador

Consideremos un ejemplo:

Ejemplo 2.21

Calcule

Si se divide al numerador y al denominador por x⁴ obtenemos:

Notemos que los términos tienden a cero, entonces el numerador tiende a cero y el denominador tiende a 4. Por lo tanto:

Observación 2.10

Notemos que, si el grado del numerador es menor que el del denominador, al dividir entre el término x^m, donde m es el grado del denominador, entonces todos los nuevos términos del numerador tenderán a cero, mientras que el denominador tenderá a a_m, siendo a_m ≠ 0 el coeficiente principal del denominador. Por lo tanto, cuando el grado del numerador es menor que el del denominador, todo límite al infinito será igual a cero.

Ejemplo 2.22

Considere el siguiente límite:

Notemos que el numerador tiene grado 5, mientras que el denominador tiene grado 10. Por lo tanto, en virtud de la observación anterior, tenemos que:

Caso III. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador

Consideremos un ejemplo:

Ejemplo 2.23

Calcule

Notemos que, si dividimos entre x⁴, obtenemos:

Con lo cual el denominador tendería a cero y obtendríamos otra indeterminación. Por lo tanto, dividiremos entre x³:

Cuando x → +∞, el denominador tiende a 2, mientras que el segundo y tercer término del numerador tienden a cero. Ya que el primer término del numerador tiende a +∞ cuando x → +∞, concluimos que:

Consideremos ahora el ejemplo anterior, pero cuando x → – ∞. endexample

Ejemplo 2.24

Aquí el procedimiento es el mismo:

El denominador tenderá a 2 y los términos del numerador, tienden a cero. Por lo tanto, quien define el límite es el término 4x del numerador. Este término tiende a – ∞ cuando x → – ∞. Por lo tanto:

Notemos además que, si el coeficiente principal del numerador hubiese sido negativo, el límite anterior sería igual a +∞.

Observación 2.11

En cualquiera de los tres casos, siempre es conveniente dividir al numerador y al denominador de la función racional por x^m, donde m es el grado del denominador, para, de esta forma, obtener términos de la forma que tienden a cero.

Resumimos estos tres casos en el siguiente resultado:

Teorema 2.3

Sean:

dos polinomios con coeficientes reales y a_n, b_m ≠ 0. Entonces:

Aquí no hemos escrito +∞ o – ∞ pues el teorema vale tanto cuando x → +∞ como cuando x → – ∞.

2.12.2 Límites al infinito de funciones irracionales

Consideremos los siguientes límites:

Recordemos que la raíz cuadrada de un número siempre es no negativa. Además, notemos que si x → +∞ entonces x es positivo. Por otra parte, si x → – ∞ entonces x es negativo. Esta diferencia de signos de x cuando x → +∞ y cuando x → – ∞ es responsable de que los términos 3x y 2x + 3 que aparecen en los límites anteriores, sean positivos en el primer caso y negativos en el segundo.

El término es positivo tanto cuando x → +∞ como cuando x → – ∞. Entonces, seguramente, los límites anteriores arrojarán valores distintos. Antes de calcular estos límites, haremos la siguiente observación:

Observación 2.12

Sea a > 0 y b ≠ 0, por lo tanto:

Entonces:

Por tal razón:

a) Si b > 0 entonces:

b) Si b < 0 entonces:

Esta observación será fundamental para calcular límites al infinito con radicales. Ahora sí, calculemos cada uno de los límites anteriores.

Ejemplo 2.25

Calcule

Dividiendo al numerador y al denominador entre x y usando la observación 2.12, obtenemos:

Cuando x → +∞, vemos que el numerador se aproxima a 4 y el denominador a 2. Entonces:

Ejemplo 2.26

Calcule Dividiendo al numerador y al denominador entre x, obtenemos:

Aquí, usaremos la observación anterior. Como x → – ∞, entonces x < 0. Por tanto:

Si x → – ∞, vemos que el numerador se aproxima a 2 y el denominador a 2. Entonces,

2.12.3 Interpretación geométrica de los límites al infinito

Como observamos, los valores de la función se aproximan a 0 cuando x tiene hacia – ∞ y hacia +∞.

Esto hace que la gráfica de f se aproxime a la recta y = 0 conforme x asume valores cada vez más grandes (x → +∞) o más pequeños (x → – ∞), pues:

Por tal razón, decimos que y = 0 es una asíntota horizontal de Más precisamente, tenemos la siguiente definición:

Definición 2.5

Dada una función f, la recta y = c es una asíntota horizontal de f si:

Figura 2.16

Ejemplo 2.27

Vimos en los ejemplos 2.19 y 2.21 que:

Esto quiere decir que las funciones:

poseen asíntotas horizontales respectivamente.

Ejemplo 2.28

También vimos en los ejemplos 2.25 y 2.26 que:

Esto quiere decir que la función:

posee dos asíntotas horizontales: y = 2 e y = 1.

2.13. Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.8

Calcule el siguiente límite:

Solución

Notemos que x < 0, entonces, dividiendo entre x y aplicando la observación 2.12, tenemos:

Ejercicio 2.9

Calcule el siguiente límite:

Solución

Como x < 0, dividiendo entre x² > 0, tenemos:

Notemos que en este límite no cambió el signo de la raíz cuadrada del numerador, pues

Ejercicio 2.10

Calcule el límite:

Solución

Dividiendo entre x y teniendo en cuenta que x < 0, obtenemos:

Vemos que el denominador tiende a 4 y el numerador tiende a – ∞ cuando x → – ∞. Por lo tanto:

Ejercicio 2.11

Halle las asíntotas horizontales de la función:

Solución

Calculemos los límites cuando x → – ∞ y x → +∞. Como la función f es una función racional compuesta por polinomios del mismo grado, concluimos que:

Por lo tanto, la función f posee una asíntota horizontal cuya ecuación es

Ejercicio 2.12

Halle las asíntotas horizontales de la función:

Solución

Para hallar las asíntotas horizontales de f, debemos calcular los límites de f (x) cuando x tiende hacia +∞ y – ∞. Veamos:

a) Cuando x → +∞, dividimos entre x y obtenemos:

b) Cuando x → – ∞, dividimos entre x y al aplicar la observación 2.12, obtenemos:

Por lo tanto, la función posee dos asíntotas horizontales, cuyas ecuaciones son:

2.14. Ejercicios propuestos

1. Calcule cada uno de los siguientes límites:

2. Calcule cada uno de los siguientes límites:

3. Calcule cada uno de los siguientes límites:

4. Calcule cada uno de los siguientes límites:

2.15. Aplicaciones de los límites infinitos y al infinito

Gráficas de funciones que poseen asíntotas

En el capítulo 1, graficamos funciones elementales y funciones definidas por tramos. En esta sección, aplicaremos los límites infinitos y al infinito para graficar funciones que poseen asíntotas. Para este fin, procederemos de la siguiente manera:

Paso 1. Hallaremos el dominio de la función.

Paso 2. Hallaremos las asíntotas horizontales, en caso de que existan.

Paso 3. Hallaremos las asíntotas verticales, en caso de que existan.

Paso 4. Con la información obtenida en los pasos anteriores, bosquejamos el gráfico de la función.

Ejemplo 2.29

Dada la función halle su dominio, las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales (en caso de que existan) y grafique f.

Procedamos por pasos:

1. Hallemos su dominio. Para que la función exista, debemos exigir que:

Es decir,

Resolviendo esta inecuación por el método de los puntos críticos, obtenemos:

2. Asíntotas horizontales (A. H.). Como hemos mencionado antes, para hallar las asíntotas horizontales de una función, debemos calcular los límites de la función cuando x tiende hacia +∞ y – ∞ en caso el dominio lo permita:

Entonces y = – 4, y = 4 son A. H. de f.

3. Asíntotas verticales (A. V.). Como sabemos, las asíntotas de f ocurren en aquellos puntos en los que la función posee un límite infinito. Esto sucede con los límites de la forma Vemos que la función posee esta forma en x = 2 y en x = – 2. Calculando los límites laterales, obtenemos:

Entonces x = 2 y x = 2 son A. V. de f.

4. Gráfico. Con toda la información anterior, estamos listos para bosquejar el gráfico de f.

Figura 2.17

Ejemplo 2.30

Dada la función:

halle su dominio, las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales (en caso de que existan) y bosquejemos el gráfico de f mostrando todas sus asíntotas.

La función f puede escribirse como:

Entonces,

a) Dominio: Dom (f) = – {–2, 1}

b) Asíntotas horizontales

Entonces y = 1 es A. H. de f.

c) Asíntotas verticales

Entonces x = 1 y x = –2 son A. V. de f.

d) Gráfico

Figura 2.18

2.15.1. Problemas de aplicación resueltos

Ejercicio 2.13

Un estudio de mercado indica que, dentro de x meses, el precio del balón de gas será:

a) ¿Cuál será el precio del balón de gas dentro de cinco meses?

b) ¿En cuánto variará el precio del balón de gas durante el quinto mes? ¿Aumenta o disminuye? Presente su respuesta con dos cifras decimales.

c) ¿Dentro de cuántos meses el precio del balón de gas será de 39 soles?

d) ¿Cuál será el precio del balón de gas a largo plazo?

Solución

a) p (5) = 40. Dentro de cinco meses, el precio del balón de gas será de 40 soles.

b) . Entonces:

Es decir, durante el quinto mes, el precio del balón de gas disminuirá en 0, 43 soles, aproximadamente.

c) Como p (x) = 39, entonces x = 9. Dentro de nueve meses el precio del balón de gas será de 39 soles.

d) A largo plazo, el precio del balón de gas será de 37 soles, pues:

Ejercicio 2.14

La población de cierta comunidad, t años después de su fundación, está dada por:

millones de habitantes.

Halle la asíntota horizontal y esboce la gráfica de P (t). ¿Cuál será la población a largo plazo?

Solución

Ya que la variable t representa el tiempo, solo tendrá sentido calcular el límite cuando t → +∞.

Veamos:

Por lo tanto, a largo plazo, la población de esta comunidad será de 2, 5 millones de habitantes.

Además, la A. H. es y = 2,5 y un bosquejo del gráfico de P se muestra en la figura 2.19.

Figura 2.19

2.16. Ejercicios propuestos

1. Esboce la gráfica de las siguientes funciones y muestre sus asíntotas horizontales y verticales.

2. Esboce la gráfica de las siguientes funciones y muestre sus asíntotas horizontales y verticales.

3. Un fabricante desea construir cajas cerradas de 256 cm³ de capacidad. La base debe ser rectangular y su largo será el doble del ancho. El precio del material para la base y la tapa es de S/3 por cm², y para los lados es de S/2 por cm².

a) Halle la función costo (C) en términos de la longitud del ancho (x) de la base indicando su dominio y trace su gráfica.

b) Interprete los límites

4. Como consecuencia de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras, el precio de estas en el mercado está disminuyendo. Si dentro de x meses el precio de cierto modelo será dólares:

a) ¿Cuál será el precio dentro de cinco meses?

b) ¿Cuánto caerá el precio durante el quinto mes?

c) ¿Dentro de cuántos meses el precio de una calculadora será de $ 43?

d) ¿Qué pasará con el precio a largo plazo?

5. Se desea construir envases de hojalata que tengan la forma de un cilindro circular recto de 27 π cm³ de volumen. El precio del material para la base y la tapa es de S/0,30 por cm² y para la parte lateral, S/0,20 por cm².

a) Halle la función costo (C) en términos del radio (r) de la base indicando su dominio y trace su gráfica.