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Razones y proporciones

El hombre de Vitruvio

Leonardo Da Vinci realizó un dibujo llamado «El hombre de Vitruvio» en un diario suyo en el cual representaba a la figura humana vista en dos posiciones sobreimpresas y que está basado en las proporciones del cuerpo humano, es llamado Vitruvio pero con leves desviaciones. Este dibujo está inscrito en un cuadrado de donde sus diagonales se cruzan en los genitales y una circunferencia en la cual el centro se halla en el ombligo del dibujo, pero en la realidad, como media está desplazada ligeramente hacia arriba. El cuadrado y la circunferencia representan al hombre como centro de todas las cosas y es uno de los grandes logros del renacimiento, debido al descubrimiento de las proporciones matemáticas que están aplicadas al dibujo que está hecho en lápiz y tinta, y mide 34,2 x 24,5 cm. Da Vinci realizó este dibujo representando las proporciones del cuerpo humano y, analizando el dibujo en todo su contenido, se descifra que:

Una palma equivale al ancho de cuatro dedos.

Un pie equivale al ancho de cuatro palmas.

Un antebrazo equivale al ancho de seis palmas.

La altura de un hombre son cuatro antebrazos.

Un paso es igual a un antebrazo.

La longitud de los brazos extendidos es igual a su altura.

La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la altura de un hombre.

La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.

La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un séptimo de la altura de un hombre.

La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.

La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre.

La distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre.

La distancia del codo a la axila es un octavo de la altura de un hombre.

La longitud de la mano es un décimo de la altura de un hombre.

La distancia de la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara.

La altura de la oreja es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla es la cuarta parte del hombre.

La distancia desde debajo de la rodilla hasta el inicio de los genitales es la cuarta parte del hombre.

CHAVES PINTOS, Pablo. (2009) Leonardo Da Vinci. (Consulta: 11 de marzo de 2013). (http://centros.edu.xunta.es/iesramoncabanillas/cuadmat/trabaj/brazo5.pdf)

Objetivos

• Representar simbólicamente razones y proporciones y distinguir sus propiedades.

• Reconocer las diferencias entre magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales.

• Matematizar situaciones concretas y resolver problemas aplicando las propiedades de las magnitudes directas e inversamente proporcionales.

Razones

La razón consiste en comparar dos cantidades cualesquiera para poder establecer una característica que las relacione, en particular ambas cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas: a través de su diferencia (razón aritmética), y mediante su cociente (razón geométrica):

a. Razón Aritmética: es una forma de comparar dos cantidades en las cuales consideramos cuánto excede una de la otra, es decir, encontrando su diferencia.

Este tipo de razón la podemos escribir separando ambas cantidades por comparar con un signo menos (–). Así, la razón aritmética entre un par de números a y b, es: a – b, y se lee a es a b. El primer término de una razón aritmética se denomina antecedente, mientras que el segundo consecuente. antecedente consecuente

Actividad 1.13:

Un padre quiere repartir unos ahorros a sus dos hijos, pero al fin del mes uno de ellos se portó mal, por lo cual lo castigará dándole S/. 6000 menos que a su hermano. Si dispone de S/. 20 000 para repartir ¿cuánto le corresponde a cada uno?

b. Razón Geométrica: cada vez que se habla de razón en realidad se quiere hacer referencia a una razón geométrica.

La razón geométrica entre dos cantidades a y b es la comparación por cociente entre ambas, es decir, la división entre ellas. Este tipo de razón la podemos representar de dos formas: a través de un signo de división (÷ o:) o expresada en forma fraccionaria. De ambas formas se lee a es a b. Al igual que la razón aritmética el primer término se denomina antecedente, y el segundo, consecuente.

El tratamiento de las razones geométricas es similar al de las fracciones, es decir, se suman, restan, multiplican, dividen, simplifican y amplifican de la misma forma.

Ahora ¿a qué nos referimos específicamente cuando decimos 3 es a 5?, por ejemplo. La respuesta es muy sencilla: quiere decir que cada vez que tengamos 3 partes del antecedente tendremos 5 del consecuente, y en conjunto formamos 8 partes.

Actividad 1.14:

a. Al siguiente mes, el mismo padre (actividad anterior) tiene el mismo problema, uno de sus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos dinero que a su hermano, pero esta vez quiere que por cada S/. 3000 del hermano que se portó bien, el otro reciba solo S/. 2000, es decir quiere repartir el dinero a razón de 3 es a 2. Si dispone nuevamente de S/. 20 000, ¿cuánto dinero le corresponderá a cada uno?

b. Los ángulos de un triángulo están a razón de 1: 2 : 3 (recuerda que esto se lee; uno es a dos es a tres), sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados ¿cuánto miden sus ángulos?

Proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones equivalentes.

a. Proporción Aritmética o Equidiferencia: es la igualación de dos razones aritméticas equivalentes. A la diferencia entre las razones involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmética.

Propiedad fundamental:

«En toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios»

Ejemplo:

b. Proporción Geométrica o Equicocientes: una proporción geométrica (o simplemente proporción), es la igualación de dos razones geométricas equivalentes. En una proporción podemos distinguir sus partes por distintos nombres, están los extremos que son el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda, y los medios, que son el consecuente de la primera razón y el antecedente de la segunda.

Propiedad fundamental:

«En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al producto de los medios»

Una proporción es continua cuando los medios de la proporción son iguales

Propiedades de las Proporciones Geométricas

Trabajemos en clase

1. Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, calcule el valor de x:

2. Aplique las propiedades de las proporciones para resolver las siguientes situaciones matemáticas:

a. La suma entre dos números es igual a 175 y la razón entre ellos es ¿cuáles son los números que cumplen las condiciones?

b. La diferencia entre el dinero que tiene Juan y el que tiene Gustavo es de $ 400. La cantidad de dinero de Juan es a la de Gustavo como 9 es a 7 ¿cuánto dinero tiene cada uno?

c. La suma entre dos números es igual a 10,5 y la razón entre ellos es ¿cuáles son los números?

d. Un veterinario sabe que la ración diaria de alimento para un perro bóxer y un pequinés es de 2 kg. El perro bóxer come tres veces más alimento que el pequinés ¿qué cantidad de alimento consume cada perro?

e. Pruebe su ingenio y calcule los valores de a, b, c y d:

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Analice la proporción luego indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. La razón de la proporción es 4.

( )

b. 0,8 y 0,3 son los términos extremos.

( )

c. 0,2 y 0,3 son los términos medios.

( )

d. El producto de los términos medios es 0,25.

( )

e. El producto de los términos extremos es 0,24.

( )

f. La suma de los antecedentes entre la suma de los consecuentes es igual a la razón de proporcionalidad.

( )

g. Si 0,8 ×... = ...× 1,2; la suma de los términos que faltan es 0,5.

( )

2. En cada enunciado marque la alternativa correcta:

2.1 Podemos afirmar que una razón es:

a. La comparación de dos cantidades por cociente.

b. El producto de dos cantidades dadas.

c. La suma de dos cantidades.

d. La relación entre dos cantidades.

e. La igualdad entre dos cantidades.

2.2 Una proporción es:

a. La igualdad de dos cantidades.

b. El producto de dos razones.

c. El cociente entre dos razones.

d. La igualdad de dos razones.

e. La suma de dos razones.

2.3 Diremos que una proporción es directa si:

a. Al aumentar uno de sus valores el otro disminuye.

b. Al disminuir una de las cantidades la otra aumenta.

c. El producto de las cantidades se mantiene constante.

d. Al aumentar una de las cantidades la otra también lo hace.

e. Ninguna de las anteriores.

2.4 En una proporción inversa se mantiene constante:

a. El cociente de las cantidades relacionadas.

b. El producto de las cantidades relacionadas.

c. La suma de las cantidades relacionadas.

d. La diferencia de las cantidades relacionadas.

e. Ninguna de las anteriores.

Habilidades de cálculo

1. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Halle el valor de los dos números.

2. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 ¿cuál es el número menor?

3. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación con los números 11; 3 y 560. Halle el mayor de los números.

4. En una proporción continua geométrica los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. Si los términos de la primera razón suman 40 halle la suma de los consecuentes de dicha proporción.

5. En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Halle uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601.

6. En una reunión social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron unos 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4 ¿cuántos hombres asistieron a dicha reunión?

7. Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Halle la suma de los términos de dicha proporción.

8. Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor da 360, halle la suma de los 3 números.

9. ¿Cuál es el número entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5?

10. Halle la razón de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 25 es a 24.

Resuelva los siguientes problemas:

1. En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés y Belisario vencen a Carlos y Danilo por 50 metros. En la misma distancia Andrés gana a Belisario por 100 metros y Carlos a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganará Carlos a Belisario en una carrera de 1125 metros?

2. La ciudad de Belfast está dividida en 2 bandos a raíz de la invasión angloestadounidense a Irak, los que están a favor y los que están en contra de la reyerta, respectivamente, de manera tal que la población de los primeros y la población de los segundos están en la relación de 7 a 3. Si de uno de los bandos se pasan al otro unas 60 personas, la razón de las poblaciones que están a favor y en contra de la guerra, respectivamente, se invierte ¿cuál es la población total de la ciudad?

3. En un club social se lleva a cabo una reunión donde asisten unas 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo por cada 3 de los primeros 2 de los segundos. Si al cabo de dos horas la relación entre hombres y mujeres es de 2 a 1 ¿cuántas parejas se retiraron?

4. En un concurso de baile el número de hombres y el número de mujeres están en la misma relación que 5 y 4, pero en un instante determinado del concurso el número de hombres que bailan es al número de hombres que no bailan como 5 es 3, por tanto, el número de mujeres que no bailan es al número de hombres que no bailan como: ..............

5. Dos piscinas contienen agua en cantidades que están en la relación de 8 a 5. Después de que haya entrado una misma cantidad de agua en ambas, se encuentran en la relación de 10 a 7. Enseguida, para que ambas contengan la misma cantidad de agua, se desaguan 900 litros de la primera ¿cuántos litros contenía inicialmente la segunda piscina?

6. Dos automovilistas parten simultáneamente al encuentro, con velocidades que están en la relación de 4 a 3 y se encuentran cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el otro. Calcule el espacio recorrido por el más lento hasta el momento del encuentro.

7. Tres automóviles de carrera recorren una pista circular con velocidades que son proporcionales a 4, 5 y 7, respectivamente. Si la suma de los tiempos que han tardado cada uno en dar la vuelta a la pista es 2 minutos y 46 segundos ¿cuánto tiempo ha tardado el más veloz en dar la vuelta a la pista?

8. Cierto número de clavos se divide en tres grupos cuyos números son proporcionales a 5, 7 y 11, respectivamente. Si del tercer grupo pasó al segundo 8 clavos, en el tercero quedaría el doble de lo que hay en el primero ¿cuántos clavos habría en el segundo grupo?

9. En 2 salones hay igual número de niños. Por cada 5 niños que salen del primero, del segundo salón salen 3 para entrar al primero y uno para irse a su casa. Cuando hay 50 niños en el primero, resulta que en segundo hay 20 ¿cuántos habían inicialmente en cada aula?

10. Las velocidades de 3 automóviles A, B y C son proporcionales 9, 4 y 8, respectivamente. A y B parten juntos de M al encuentro de C, quien parte de N al mismo tiempo y al encuentro de los primeros. C se junta primero con A y después de recorrer 56 km desde este encuentro se cruzó con B ¿qué espacio recorrió B hasta confluir con C?

11. Antes, 5 lapiceros costaban tanto como 3 cuadernos, ahora que el precio de los lapiceros ha subido a S/.16 y el precio de los cuadernos a S/. 15 y resulta que 10 lapiceros cuestan tanto como 9 cuadernos. ¿Cuánto costaba antes cada lapicero?

12. En una granja hay 40 gallinas y hay 5 patos por cada 7 cerdos. Luego, el dueño de la granja compra 50 patos, 40 cerdos y un cierto número de gallinas ¿cuántas gallinas compró, si al final, el número de patos, cerdos y gallinas que posee ahora son proporcionales a 5, 6 y 8, respectivamente?

Páginas web para consultar

Ejemplos, ejercicios y videos sobre razones y proporciones:
http://polya.dme.umich.mx/Carlos/arqui/razon/RAZONES.htm
http://profe-alexz.blogspot.com/2010/12/19-ejercicios-resueltos-de-razones-y.html

Magnitudes y reparto proporcional

Proporcionalidad en la vida cotidiana

En la vida corriente utilizamos el término proporción con distintos sentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: «Este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado». Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo expresamos la correlación entre estas dos variables: éxito y trabajo.

También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: «proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante». Sucede que el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente, equivaldría a que un hombre levantará sobre su cabeza un tanque de 50 toneladas. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura y para competir con ella, un hombre debería saltar limpiamente la Torre Eiffel.

Por otra parte, debes tener en cuenta que el tema de proporcionalidad aparece estrechamente vinculado a nuestra vida cotidiana.

¿Has hecho un pastel?, ¿cómo calculaste las cantidades de sus ingredientes?. Por eso, para muchos de los problemas de la vida cotidiana, la proporcionalidad existente entre sus parámetros podemos resolverlos con la técnica maravillosa de la regla de tres, ya sea directa o inversa.

Pero, cuidado, algunas veces es una intuición la que nos dice si puedo o no emplear una regla de tres para resolver un problema. Y ante problemas como el siguiente: «Si Colón tardó tres meses en llegar a América con tres carabelas ¿cuánto habría tardado llevando seis carabelas?» A nadie de nosotros se nos ocurre emplear una regla de tres, ¿verdad?

Demostrar que puedes emplear una regla de tres implica probar que existe una dependencia lineal, directa o inversa, entre las dos magnitudes o los dos parámetros que está utilizando. Cuando esto es así, la solución del problema es muy sencilla.

PROPORCIONALIDAD INTERACTIVA (2014) (http://proporcionalidadinteractiva.blogspot.com/2012/10/normal-0-21-false-false-false-es-co-x_197.html) Blog dedicado a profundizar los conceptos relacionados con la proporcionalidad (Consulta: 20 de enero)

Objetivos

• Diferenciar las características que poseen las magnitudes según su naturaleza.

• Obtener conclusiones acerca de las relaciones que cumplen determinadas magnitudes que participan en casos particulares.

• Establecer una relación de las magnitudes con nuestra realidad cotidiana para un adecuado planteamiento de la resolución de un problema.

Introducción

La proporcionalidad numérica es un concepto que resulta a los alumnos complejo y difícil de comprender si no se ha adquirido soltura en aspectos como las operaciones de multiplicación y división de números enteros y por la unidad seguida de ceros, la equivalencia de fracciones, la fracción como expresión decimal y de una cantidad y el porcentaje.

A través de la comprensión de los conceptos de magnitud, proporción, razón y constante de proporcionalidad se aplican las proporciones y sus métodos de resolución de problemas a situaciones de la vida cotidiana.

Las relaciones entre magnitudes inversamente proporcionales plantean un mayor grado de dificultad y se estudiarán mediante relaciones entre proporciones.

Concepto de Magnitud

• Una magnitud es una cualidad o una característica de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, número de alumnos, capacidad, velocidad, etcétera.

• Las magnitudes se expresan en unidades de medida.

Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, centilitros, kilómetros por hora, metros por segundo, etcétera.

• Para cada una de esas medidas existen diferentes cantidades de esa magnitud.

Ejemplo: una regla de 1 metro, una caja de 2 kilogramos, un tonel de 5 litros, 95 km/h, etcétera.

Actividad 1.15:

1. Indique con una «» si los siguientes enunciados son magnitudes.

a. El peso de un saco de patatas.

( )

b. El cariño.

( )

c. Las dimensiones de tu carpeta.

( )

d. La belleza.

( )

e. Los litros de agua de una piscina.

( )

f. La risa.

( )

2. Indique dos unidades de medida para cada magnitud.

a. El precio de una bicicleta.

b. La distancia entre dos pueblos.

c. El peso de una bolsa de naranjas.

d. El contenido de una botella.

e. El agua de un embalse.

f. La longitud de la banda de un campo de fútbol.

Relación entre magnitudes

Las relaciones matemáticas que existen entre las magnitudes son de mucha importancia, ya que nos permiten deducir la variación de una magnitud, modificando los valores de las magnitudes con los que está en interdependencia, considerando que estas relaciones pueden ser sencillas (solo entre dos magnitudes) y otras más complejas (más de dos magnitudes). A continuación estudiaremos las dos magnitudes.

Magnitudes directamente proporcionales (DP)

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra aumenta o disminuye en las mismas proporciones.

Notación:

Ejemplo:

Observe que si duplicamos el n.° de huevos, el costo también se duplicará. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etcétera.

Se cumple:

Se concluye que: «Si dos magnitudes (A y B) son directamente proporcionales, el cociente de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad».

Graficando el ejemplo planteado al principio, observaremos que se trata de una recta, en efecto:

Actividad 1.16:

1. Indique con un «» si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

a. El peso de naranjas (en kilogramos) y su precio.

( )

b. La velocidad de un auto y el tiempo que emplea en recorrer una distancia.

( )

c. El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla.

( )

d. El número de hojas de un libro y su peso.

( )

e. El precio de una tela y cuántos metros se van a comprar.

( )

f. La edad de un alumno y su altura.

( )

2. Un túnel de lavado limpia 12 autos en una hora (60 minutos) ¿cuánto tiempo tardará en lavar 25 autos?, ¿y 50?

Magnitudes inversamente proporcionales (IP)

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra disminuye o aumenta en proporciones inversas.

Notación:

Ejemplo:

Observe que si duplicamos el n.° de obreros, el n.° de días se reduce a la mitad. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadruplicamos, etcétera.

Se cumple:

2×24 = 4×12 = 6×8 = … = 48 (constante)

Se concluye que: «Si dos magnitudes (A y B) son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad».

Graficando el ejemplo planteado líneas arriba, observamos que se trata de una hipérbola.

Actividad 1.17:

1. Indique con un «» si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales.

a. La velocidad de un auto y el tiempo que tarda en recorrer una distancia.

( )

b. El número de limpiadores de un edificio y el tiempo que tardan.

( )

c. El número de ladrillos de una pared y su altura.

( )

d. El peso de la fruta y el dinero que cuesta.

( )

e. La velocidad de un corredor y la distancia que recorre.

( )

f. El número de grifos de un depósito y el tiempo que tarda en llenarse.

( )

2. Un depósito de agua se llena en 18 horas con un grifo del que salen 360 litros de agua cada minuto.

a. ¿Cuánto tardaría en llenarse el depósito si salieran 270 litros por minuto?

b. ¿Y si fueran 630 litros por minuto?

Reparto proporcional

Es un procedimiento que tiene como objetivo dividir una cantidad en partes que sean proporcionales a ciertos valores, llamados índices.

Clases:

1. Reparto simple: se llama así porque intervienen solo dos magnitudes proporcionales. Puede ser:

1.1. Directo : (cuando intervienen 2 magnitudes DP)

Analicemos el siguiente caso: un padre quiere repartir S/. 2000 entre sus tres hijos, cuyas edades son 8, 12 y 20 años. El padre piensa, con justa razón, que su hijo de 20 años tiene mayores necesidades económicas que su otro hijo de 8 años, entonces decide hacer el reparto DP a las edades de sus hijos. Esto implica que aquel hijo que tenga más edad, recibirá más dinero, y el que tenga menos edad, recibirá menos dinero. Veamos lo que sucede.

Sean las partes A, B y C, tales que cumplen las siguientes condiciones:

Recuerde que cuando dos magnitudes son DP el cociente entre ellas es una constante.

Entonces: 8k + 12l + 20k = 2000

Luego c/u le responde:

Podemos resolver el problema mediante el siguiente esquema práctico:

Observe que si simplificamos los tres números, la relación de proporcionalidad no se altera. Luego, la constante de reparto «k» se halla dividiendo la cantidad a repartir (S/. 2000) entre la suma de las partes (2,3 y 5). Finalmente, las cantidades recibidas por c/u se hallan multiplicando 2, 3 y 5 por k.

Actividad 1.18:

María, Pablo y Luisa se proponen vender 600 boletos de una rifa con el fin de recaudar fondos para rehabilitar la Casa de la Cultura de su pueblo. Se las reparten proporcionalmente a 3, 4 y 5, respectivamente ¿cuántos boletos debe vender cada uno?

1.2. Inverso: (cuando intervienen 2 magnitudes IP)

Analicemos el siguiente caso: un administrador quiere compensar a sus tres mejores empleados dándoles una gratificación por sus altos rendimientos. El problema es que los tres empleados tienen algunas faltas y desea que esa situación se vea reflejada en el reparto. Entonces, plantea repartir los S/. 39 000 en partes IP a sus faltas, que son 2, 3 y 4 días respectivamente. Esto implica que aquel empleado que tenga más faltas, recibirá menos dinero, mientras que el que tenga menos faltas recibirá más dinero. Veamos qué sucede.

Sean las partes A, B y C, tales que cumplen las siguientes condiciones:

Entonces, dividiendo la última expresión entre 12

(MCM (2; 3; 4)= 12):

Recuerde que cuando dos magnitudes son IP el producto entre ellas es una constante.

Luego:

A c/u le corresponde:

Podemos resolver el problema empleando el método práctico, planteado en el caso anterior:

No olvide: MCM (2,3,4) = 12

Observe que los números que representan las faltas de estos tres empleados se colocan invertidos (recuerde que el reparto es IP), luego si a cada uno de ellos se les multiplica por 12, la relación de proporcionalidad no se altera. Lo que se realiza a continuación es lo mismo que se ha descrito en el reparto anterior (reparto directo).

Actividad 1.19:

Adela quiere repartir S/. 2100 entre sus sobrinos Javier, Elena y Pablo, de manera inversamente proporcional a la edad de cada uno. Javier tiene 3 años, Elena 5 y Pablo 6 años ¿qué cantidad recibirá cada uno?

2. Reparto compuesto: se llama así porque intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

Ejemplo:

Un gerente desea repartir una gratificación de S/. 42 000 entre sus tres empleados en partes DP a sus sueldos (S/. 3200, S/. 4200 y S/. 5400) e IP a sus faltas (4, 6 y 9 días, respectivamente) ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Solución:

Resolveremos el problema utilizando el método práctico:

Observe que a pesar que el tercer empleado gana más (S/. 5400) no es él quien recibe más gratificación. Esto se debe a que sus faltas (9 días) son muchas, causando una disminución en la gratificación que recibió.

Trabajemos en clase

1. Compruebe si los siguientes números forman una proporción:

• 1, 30, 140 y 200.

• 16, 25, 14 y 21.

2. Un auto consume 5 galones de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 galones, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche?

3. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

4. Para colaborar en el viaje de fin de curso, una institución educativa reparte S/. 1800 entre las tres secciones de quinto de secundaria de manera proporcional al número de alumnos de cada sección: 24, 30 y 36 respectivamente ¿qué cantidad recibirá cada sección?

5. En un concurso de preguntas y respuestas, se reparte un premio de S/. 2310 de manera inversamente proporcional al tiempo que se han tardado en responder correctamente los tres primeros clasificados (5, 10 y 15 minutos respectivamente), ¿qué cantidad le corresponde a cada uno?

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando una de ellas aumenta al doble, la otra también aumenta el doble.

( )

b. La cantidad de panes que como y lo que gasto comiendo es inversamente proporcional.

( )

c. El grueso de un libro y el número de páginas, es una proporción directa.

( )

d. La representación gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales es una recta que pasa por el origen.

( )

e. Dada una razón, existen otras razones iguales.

( )

f. Si M₁ es DP a M₂, entonces

( )

2. A continuación se presentan diversas situaciones en las que intervienen proporcionales. Decida si se trata de magnitudes directa o inversamente proporcionales, coloque en el espacio indicado una D (directamente) o una I (inversamente) según sea el caso.