Kitabı oku: «Fundamentos de matemática», sayfa 4
a. Cantidad de manzanas y su peso
( )
b. Número de bebidas y sus consumidores
( )
c. Número de personas trabajando y tiempo empleado en terminar el trabajo
( )
d. Cantidad de litros de bencina y el precio respectivo
( )
e. Número de baldosas para cubrir una determinada superficie y su tamaño
( )
f. Número de horas trabajadas y el sueldo ganado
( )
g. Número de ejercicios de matemáticas y el tiempo empleado en solucionarlos
( )
h. Cantidad de forraje (alimento) y número de animales por alimentar
( )
i. Días que alcanzan las provisiones y número de personas por alimentar
( )
j. Mejor respuesta en una evaluación y su nota.
( )
Habilidades de cálculo
1. Complete la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es directa.
¿Cuánto corresponde a 1? ...................
2. Complete la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es inversa.
¿Cuánto corresponde a 1? ...................
3. Reparta 600 en partes directamente proporcionales a 1, 2 y 3.
4. Reparta 78 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.
5. Reparta 518 en partes inversamente proporcionales a 8, 10 y 12.
6. Compruebe si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales y en caso afirmativo señala cuál es la constante de proporcionalidad inversa:
a.
| Mag. A | 2 | 4 |
| Mag. B | 8 | 4 |
b.
| Mag. A | 10 | 20 |
| Mag. B | 3 | 6 |
c.
| Mag. A | 6 | 10 |
| Mag. B | 2,5 | 1,5 |
Modelación
Resuelva los siguientes problemas:
1. A una velocidad promedio de 75 km/h un vehículo demora 9 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuántas horas tardaría si aumentara el promedio de su velocidad en 15 km/h?
2. Diez toneles iguales contienen 800 litros de vino ¿cuántos toneles son necesarios para almacenar 36 000 litros de vino?
3. 12,5 m de alambre cuestan $ 32 025. ¿Cuánto cuestan 8 m?, ¿y cuál es el precio de 50 cm del mismo alambre?
4. En un establo hay vacas que consumen 35 fardos de pasto en 40 días ¿en cuántos días consumirán 28 fardos?
5. Un cajón que pesa 9,6 kg contiene 1152 clavos ¿cuántos clavos, del mismo tamaño de los anteriores, habrá en un cajón que pesa 17 kg?
6. En un paseo que hicieron 24 alumnos consumieron 16 bebidas. Si al paseo hubieran ido 39 alumnos ¿cuántas bebidas habrían consumido?
7. El pavimento de un tramo de la carretera lo hacen 6 obreros en 12 días ¿cuánto se demorarían 9 obreros, trabajando en igualdad de condiciones?
8. En una bodega hay comida para 50 personas durante un mes, ¿cuántos días podrían comer 80 personas?
9. En una pastelería se venden tortas selva negra y tortas de piña. Si la razón entre el número de tortas selva negra y de piña vendidas en un día es de 3 a 4 ¿cuántas tortas de piña se vendieron en un día, si de selva negra se vendieron 30 unidades?
10. Complete los datos en cada tabla y clasifica estas según sean variaciones directamente proporcionales, inversamente proporcionales o de proporcionalidad compuesta.
a. Gastos de comida diarios por cada cinco competidores:
b. Número de buses, de igual capacidad que se necesita contratar para transportar a 300 deportistas:
11. Margarita quiere hacer un postre de chocolate para su fiesta de cumpleaños. Para ello, consulta un libro de cocina y la receta indica que para 6 personas hay que utilizar 120 gramos de chocolate, ¿qué cantidad de chocolate tendrá que usar si a la fiesta van 12 personas?, ¿y si van 18?, ¿y para tres personas?
Escriba los datos en una tabla:
12. En la siguiente tabla de valores se registran las temperaturas desde las 18 horas de un día hasta las 12 del día siguiente:
a. Realice un gráfico que relacione tiempo (en el eje horizontal) con temperatura (en el eje vertical).
b. Analice las características del gráfico respecto del aumento o de la disminución de la temperatura.
c. Realice una estimación de la temperatura promedio: en las horas observadas y también entre las 22:00 y las 06:00 horas.
d. ¿En qué intervalo o intervalos se produce la mayor disminución de temperatura?, ¿en cuál la menor disminución?, ¿en cuál el mayor aumento?
e. ¿En qué intervalos se produce la máxima o la mínima temperatura?
13. En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno, ¿cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de estantes de cada uno?
14. El guía del campamento de los cursos A, B y C de 3º de Secundaria les ha dado a los alumnos una bolsa de etiquetas para identificar las plantas. Si la bolsa tiene 624 etiquetas y los cursos tienen 11, 13 y 15 alumnos, respectivamente, ¿cuántas le tocan a cada uno si cada alumno debe recibir la misma cantidad?, ¿y a cada grupo?
15. Tres jugadores de fútbol se reparten 36 000 euros en proporción directa al número de partidos que ha jugado cada uno. Si jugaron 12, 15 y 18 respectivamente, ¿cómo se repartirán el dinero?
16. Se quieren repartir 396 m2 de un terreno entre tres familias, de forma directamente proporcional al número de hijos de cada una. Si cada familia tiene 2, 4 y 5 hijos respectivamente, ¿qué parte del terreno recibirá cada una?
17. Si al distribuir cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20 euros ¿cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas?, ¿cuál es la constante de proporcionalidad inversa?
18. Con el agua de un depósito se llenan 630 botellas de 3/4 de litro, ¿cuántas botellas de 3/2 se necesitarán para almacenar la misma cantidad de agua?
19. Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días, ¿cuántos días podría durar el campamento si fuesen 15 alumnos más?
20. María tarda 42 días en preparar un examen estudiando 4 temas y medio por día, ¿cuántos temas debería estudiar cada día si solamente dispone de 35 días para preparar el examen?
Páginas web para consultar
| Explicación y ejemplos de magnitudes proporcionales: | |
| http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/magnitudes/magnitudes_proporcionales.htm |  |
| http://www.slideshare.net/luisfigueroagalindo/magnitudes-proporcionales | |
Regla de tres simple y compuesta
La regla de tres de las Matemáticas tradicionales
La Regla de Tres o Regla de Oro está en las primeras aritméticas conocidas. Se relaciona con problemas para cuya solución se establecen reglas fijas que dependen de una igualdad de razones. Se aplicó por primera vez en China. Sus rastros más antiguos se remontan al Chiu Chang Suan Shu, del siglo I de nuestra era. Un ejemplo de los problemas recogidos en este texto es el siguiente:
«Dos piculs y medio (una medida de peso transportada por un hombre sobre sus espaldas, aproximadamente 65 kg) de arroz se compran por de un taiel de plata ¿cuántos (piculs de arroz) se pueden comprar con 9 taiels?».
El primer tratamiento sistemático de la regla de tres está en el manuscrito de Bakhshali, compuesto en los primeros siglos de nuestra era.
Más tarde, en los inicios de la matemática árabe, aparece la regla de tres, de modo específico en la obra de Al-Biruni (s. X) denominada Fi Rasikat al-hind, título que significa «Sobre las reglas de tres de la India». En esta obra encontramos la preocupación característica de los matemáticos de los países islámicos por fundamentar las reglas utilizadas en las matemáticas aplicadas sobre las teorías matemáticas griegas.
Desde entonces, los problemas de regla de tres, no han dejado de estar presentes en los libros de aritmética, con un fundamento matemático que se relaciona con los conceptos de la teoría de las razones y proporciones de Euclides. Por ejemplo, así aparece en el libro de Pérez de Moya (1562):
«Dícese regla de tres porque en ella ocurren 3 números continuos o discontinuos proporcionales, y toda práctica no es otra cosa sino hallar otro cuarto número ignoto que se haya en tal proporción con el tercero como el segundo con el primero. Lo cual muestra Euclides e la decimosexta del sexto, a do dice: dadas 3 quantidades continuas proporcionales, para hallar la quarta multiplicarás la segunda por la tercera y partirás por la primera».
Extracto tomado de GÓMEZ Bernardo, (2010) Los ritos en la enseñanza de la regla de tres. Valencia: Universidad de Valencia
Objetivos
• Diferenciar una regla de tres simple de una compuesta. Distinguir la magnitud dependiente de las independientes. Organizar y aplicar estrategias al resolver problemas que requieren el uso de la regla de tres simple y compuesta.
• Reconocer las diferencias entre una regla de tres directa e inversa.
• Aplicar el método de la regla de tres en la solución de problemas de contexto real.
Definición:
Es un método que nos permite resolver problemas sobre magnitudes proporcionales.
1. Regla de tres simple: es un método en el cual intervienen dos magnitudes proporcionales cuyo objetivo es hallar un cuarto valor, dados tres valores correspondientes a estas dos magnitudes.
Clases:
1.1. Directa: (cuando intervienen dos magnitudes directamente proporcionales).
Esquema:
a1, b1, a2, son datos, mientras que x es la incógnita.
Por teoría de magnitudes proporcionales se cumple que:
Una forma práctica para hallar la incógnita «x» es usando el método de las «fracciones». El valor de se obtiene multiplicando el valor que se encuentra sobre él con la fracción obtenida de los otros valores. Veamos cómo se procede:
La fracción 
se invierte debido a que se relacionan dos magnitudes DP
Ejemplo:
Sofía compra 40 huevos por S/. 15 ¿Cuánto le costarían 72 huevos?
1.2. Inversa: (cuando intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales).
Esquema:
Por teoría de magnitudes proporcionales, se cumple que:
a1 b1 y a2. son datos, mientras que x es la incógnita.
En este caso podemos usar el método de las «fracciones». Veamos el procedimiento:
La fracción 
queda igual debido a que se relacionan dos magnitudes IP
Ejemplo:
Cien obreros emplean 45 días para hacer una obra ¿cuántos días emplearán 225 obreros para hacer la misma obra?
2. Regla de tres compuesta: Se llama así cuando intervienen más de dos magnitudes proporcionales.
Usando el método de las fracciones, hallaremos el valor de «x». Previo al cálculo se debe establecer la relación de proporcionalidad entre la incógnita «x» (n.° días) y las demás magnitudes. Por ejemplo, la magnitud «A» (n.° obreros) y la magnitud «B» (n.° días) son IP ya que a MÁS obreros trabajando se emplearán MENOS días, de igual modo se hará con las magnitudes restantes, entonces:
Ejemplo:
Con 18 obreros se puede hacer una obra en 42 días, ¿en cuántos días 15 obreros 6 veces más rápidos que los anteriores, harán una obra cuya dificultad es el quíntuple de la anterior?
Solución:
Colocaremos en dos filas los datos correspondientes a cada una de estas magnitudes, es decir:
Observación: si la rapidez de los otros obreros es «6 veces más» entonces es r+6r=7r
Respuesta: x =36 días
Trabajemos en clase
1. Sabiendo que la eficiencia de A es 75% y que la eficiencia de B es 60% ¿en cuántos días harán juntos una obra, si la misma puede ser hecha por B, trabajando solo en 18 días?
2. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3 m de largo tarda 5 días en comer toda la hierba que encuentra a su alcance ¿cuánto tardará si la cuerda fuera de 6 m?
3. Un reloj actualmente marca la hora exacta, es decir 6:00 p.m. Si este se adelanta 3 minutos cada media hora ¿qué hora marcará más tarde cuando la hora exacta sea 9:50 p.m.?
4. Una obra pueden terminarla 63 obreros en 18 días, pero deseando terminarla 5 días antes, a los 4 días de trabajo se les une cierto número de obreros de otro grupo ¿cuántos obreros se les unieron?
5. Se contrató a 15 obreros para hacer una obra en 40 días trabajando 8 h/d, pero al término de 5 días se retiran 5 obreros y los restantes continúan trabajando 15 días a razón de 7 h/d ¿qué fracción de obra falta terminar?
Ejercicios y problemas
Manejo de conceptos
1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.
a. La «regla de tres» se aplica en problemas donde se trata de encontrar una cantidad, dado que se conocen otras dos relacionadas.
( )
b. La «regla de tres» debe aplicarse cuando las cantidades no se relacionan de manera proporcional.
( )
c. Cuando tenemos una situación donde intervienen 2 magnitudes inversamente proporcionales se puede aplicar la regla de tres simple inversa.
( )
d. En una regla de 3 compuesta intervienen solo 2 magnitudes que pueden ser directamente o inversamente proporcionales.
( )
e. La cantidad de obreros y los días en que demoran en realizar una obra corresponde a una regla de tres simple directa.
( )
Modelación
Resuelva los siguientes problemas:
1. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado S/. 60, ¿cuánto cobrará por 8 horas?
2. Tres obreros descargan un camión en dos horas ¿cuánto tardarán dos obreros?
3. Trescientos gramos de queso cuestan S/. 6, ¿cuántos gramos de queso podré comprar con S/. 4,50?
4. Un granjero recoge diariamente 254 huevos en 2 días, ¿cuántos huevos recogerá en una semana?
5. Un transportista carga 1480 kilos de fruta cada 5 horas, ¿cuánto carga durante 48 horas?
6. Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido, ¿cuánto tardará un coche a 120 km/h?
7. Por 5 días de trabajo he ganado S/. 390, ¿cuánto ganaré por 18 días?
8. Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos, ¿cuántas botellas llenará en hora y media?
9. Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos, ¿qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?
10. Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?
11. Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena, ¿cuántos viajes necesitará hacer para transportar la misma arena un camión que carga 5 toneladas?
12. Un ganadero tiene 20 vacas y forraje para alimentarlas durante 30 días, ¿cuánto tiempo le durará el forraje si se mueren 5 vacas?
13. En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días, ¿para cuántos días habrá comida si se incorporan 5 niños?
14. Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días, ¿cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días?
15. Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia una empresa de transporte me ha cobrado $ 9, ¿cuánto me costará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?
16. Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta S/. 30, ¿cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha?
17. Cinco máquinas embotelladoras envasan 7200 litros de aceite en una hora, ¿cuántos litros envasarán 3 máquinas en dos horas y media?
18. Doce obreros, trabajado 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días, ¿cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?
19. Cincuenta terneros consumen 4200 kg de alfalfa a la semana, ¿cuántos kg de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días?
20. Dos albañiles han tardado 15 días en construir un muro de 30 metros de largo por 3 de ancho ¿cuántos albañiles habrá que contratar para construir otro muro igual en 5 días?
Páginas web para consultar
| Explicación, ejemplos y ejercicios de regla de tres: | |
| http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres | |
| http://www.vitutor.com/di/p/a_5.html | |
Porcentajes
Lectura introductoria a los Porcentajes. Historia de los Porcentajes
En la Roma antigua, mucho antes de la existencia del sistema decimal, los cálculos se hacían a menudo en las fracciones que eran múltiplos de 1/100. Por ejemplo, el emperador Augusto estableció un impuesto de 1/100 de los bienes vendidos en una subasta denominada Centesima rerum venalium. Como denominaciones de dinero, el concepto creció en la Edad Media. Los cálculos con un denominador de 100 se volvieron más estándar y, desde finales del siglo XV hasta el siglo VXI, las fracciones se hicieron comunes en los textos de Aritmética. Muchos de estos textos aplicaban los métodos de fraccionamiento a temas de pérdidas y ganancias y tasas de interés. Por ejemplo, en el siglo XVII era estándar para citar las tasas de interés en centésimas.
La palabra «por ciento» se deriva del Latín per centum que significa "por cien". El signo de porcentaje evolucionó por la contracción gradual de la frase por cento. El «per» fue abreviado a menudo como «p» y, finalmente, desaparecido por completo. El «cento» se convirtió en dos círculos separados por una línea horizontal de la que deriva el símbolo «%».
Extracto editado tomado de WEBACADEMIA CONOCEMOS TODO (2014) (http://centrodeartigos.com/articulos-utiles/article_101730.html) Blog con diversos artículos útiles sobre ciencias (consulta: 20 de enero)
Objetivos
• Representar porcentajes en forma de fracción y número decimal.
• Determinar el tanto por ciento de una cantidad.
• Aplicar técnicas operativas personales o convencionales al calcular porcentajes.
• Realizar operaciones con porcentajes.
Introducción
En nuestra vida diaria se observa muy a menudo el uso del tanto por cuanto en diversas formas. Es muy común que cerca de donde vivimos haya una pequeña tienda, la cual por las mañanas venda pan, que a su vez fue comprado en una panadería. Se podría decir entonces que no hay ganancia, pero al comprar una cantidad considerable de panes, la panadería por lo general, da algunos adicionales. Así posiblemente, por cada 50 panes nos den 8 adicionales o por cada 100, 16 adicionales. Quizá también escuchamos en las noticias que la inflación de este mes con respecto del anterior es del 1,8%; el índice de analfabetos en el Perú sea del 18%; el interés que paga el banco es del 10% anual, uno de cada mil habitantes sufre de desnutrición severa o que 3 de cada 5 personas viven en la zona rural.
Por todo ello, es importante conocer los procedimientos que permitan calcular el porcentaje de una cantidad.
Tanto por cuanto
En algunas oportunidades es necesario dividir lo que tenemos en partes iguales para hacer una distribución de las mismas.
Por ejemplo, tenemos el 3 por 10 de una cantidad, significa que a esta la dividimos en 10 partes iguales y tomamos 3 de estas partes.
Tanto por ciento
El tanto por cuanto más utilizado es aquel que divide al todo en 100 partes iguales y al que se le denomina tanto por ciento.
Por ejemplo, tenemos el 24% de una cantidad, significa que a dicha cantidad la dividimos en 100 partes iguales y tomamos 24 de estas partes.
Se lee: 24 por ciento.
Ejemplos:
Porcentaje:
Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad.
Ejemplo:
Halle el 35% de 420:
Cálculo de porcentajes:
Para calcular el porcentaje de una cierta cantidad se puede emplear una regla de 3 simple directa. Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje, se considera como el cien por ciento (100%).
Ejemplos:
Observaciones
1. Los porcentajes se pueden sumar o restar si son referidos a una misma cantidad. Ejemplos:
a. Si una cantidad aumenta en su 18% tendremos ahora el 118% de la cantidad.
b. Si una cantidad disminuye en su 21% nos quedará el 100%–21% = 79% de la cantidad.
c. Si en una reunión el 42% del total son mujeres, entonces el porcentaje de hombres será 100%-42%=58% del total.
2. Cuando se tenga porcentaje de porcentaje, una forma práctica es convertir cada uno a fracción y luego se efectúa la multiplicación.
Ejemplos:
a. Calcule el 15% del 20% de 800
b. Calcule el 23,5% del 8% del 36% de 25 000
Aplicaciones
Aumentos Sucesivos
Entendemos por aumentos sucesivos a los que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que se va formando.
Ejemplo:
Si el precio de un televisor es 240 dólares y sufre dos aumentos sucesivos del 20% y 25% respectivamente ¿cuál será su nuevo precio?
Solución:
2do aumento:
Observe bien, es el 25% de: 
Nuevo precio: 288 + 72 = 360
Aumento Único (AU)
Dos aumentos sucesivos del a1% y a2% equivalente a un aumento único de:
Ejemplo:
Dos aumentos sucesivos del 25% y 40% equivalente a un único aumento de:
Descuentos sucesivos
Se entiende por descuentos sucesivos, a los que se van efectuando uno a continuación de otro considerando el nuevo 100% a la cantidad que va quedando.
Ejemplo:
Si al precio de una grabadora cuesta 300 dólares se le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio?
Solución:
1er Descuento:
2do Descuento:
Descuento único (DU)
Dos descuentos sucesivos del d1% y d2% equivalen a un único descuento de:
Ejemplo:
En las tiendas Día anuncian descuentos sucesivos del 20% y 20%, en todas las conservas y vinos, ¿a qué descuento único equivalen?
Variaciones porcentuales
Cuando se analizan las variaciones porcentuales, por ejemplo geométricas, se puede asumir un número apropiado a cada elemento geométrico que facilita su cálculo, luego se aplica una regla de tres simple directa, para obtener la variación porcentual equivalente.
Ejemplos:
a. Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
Solución:
Asumimos:
b. Un rectángulo aumenta su largo en 20%. Si el área debe disminuir en 28%, ¿en qué porcentaje debe variar su ancho?
Solución:
Asumimos:
Largo = 20
Ancho = 5
Área = 100
Luego:
A = L.a
72 = 24 . x
x = 3 (Nuevo ancho)
Ancho:
Por lo tanto:
El ancho debe disminuirse en:
100% – 60% = 40%
Aplicaciones de los porcentajes
1. Precio de venta
Al realizar la venta de un artículo, al precio de adquisición se le recarga una cantidad a la que denominamos ganancia, que lo relacionamos así:
PV = PC + g
En el cual:
PV = Precio de venta
PC = Precio de costo
g = Ganancia
La ganancia puede expresarse de varias maneras, generalmente es un porcentaje del precio de venta y en otro como una suma de los porcentajes del precio de costo y del precio de venta.
Ejemplos:
1. El precio de costo de una fotocopiadora es $ 1400. Averiguar el precio de venta si se vende:
a. Ganando el 20% del costo.
b. Ganando el 20% del precio de venta.
Solución:
a. PV = ?? PV = PC + g
PC = 1400 PV = 1400 + 280
b. PV = ??
PC = 1400
Observe que el precio de costo no cambia ya que no es lo mismo 20% del precio de costo que 20% del precio de venta.
2. Una motocicleta se vendió en $ 8500 ganándose en esta venta el 36% del costo y el 12% del precio de venta, ¿cuál fue el precio de costo de la motocicleta?
Solución:
Nota:
Si al realizar una venta se vende a menor precio del costo, entonces se origina una pérdida equivalente a la diferencia entre estas dos cantidades. La ecuación que los relaciona es:
PV = PC – p
En la cual:
PV = Precio de venta
PC = Precio de costo
p = Pérdida
3. Al vender una bicicleta en $ 170 se perdió el 15%, ¿cuál fue el precio de costo de la bicicleta?
Solución:
PC = ??
PV = $ 170
p = 15% (si no se especifica)
Se entiende que es el 15% del costo
2. Depreciación
Es la pérdida de valor que experimenta una máquina con el transcurrir de los años. Se expresa generalmente en un porcentaje anual.
Ejemplo:
Un automóvil sufre una depreciación anual del 20%, respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de 2 años su precio es de 15 360 dólares, ¿cuál fue su precio original?
Solución:
Como la depreciación anual es del 20%, luego de cada año de uso el auto valdrá el 80% de su valor al iniciar cada año.
Precio Original = C
Al finalizar el 2do año:
Trabajemos en clase
1. Calcule el 20% del 30% de 450.
2. Si al comprar una camisa me hacen un descuento del 25% y solo pagué 42 soles, ¿cuál es el precio de la camisa sin descuento?
3. En una reunión el 42% de los asistentes son mujeres. Si el número de hombres es 87, ¿cuántas personas en total asistieron a la reunión?
4. El precio de un artículo aumentó en 28% y su nuevo precio es 2400, ¿cuál es el precio del artículo sin aumento?
5. Si a un artículo cuyo precio es 480 se le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál es su nuevo precio?
6. El precio de costo de una máquina panificadora es $ 21 000 dólares. Si se quiere ganar el 30% del precio de venta ¿a cuánto se debe vender?
Ejercicios y problemas
Manejo de conceptos
1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.
a. El 50% equivale a la mitad.
( )
b. El Porcentaje o tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales
( )
c. Dos descuentos sucesivos de 20% y 15% equivale a un descuento único de 35%.
( )
d. «Si el precio P de un artículo se aumenta en un 25% y se obtiene así un nuevo precio Q, entonces el precio Q debe ser disminuido en 25% para regresar al precio P»
( )
Habilidades de cálculo
1. Escriba como fracción decimal el porcentaje y calcula:
a. 30% de 36,4
b. 1,5% de 24
2. ¿Qué porcentaje del total es la parte sombreada?
a. 
b. 
3. Calcule:
a. 8% de 40 = .................
b. 10% de 150 = .................
c. 18% de 540 = .................
d. 25% de 170 = .................
e. 7,5% de 84 = .................
f. 0,9% de 2790 = .................
g. 65% de 124,32 = .................
h. 3,8% de 1900 = .................
4. Deduzca:
a. 10% de .................................= 24
b. 8% de ............................. = 1,4
c. 18% de ............................. = 360
d. 6% de ............................. = 54
e. 3,5% de ............................. = 70
5. Calcule el tanto por ciento:
a. .............. % de 70 = 35
b. .............. % de 1250 = 200
c. .............. % de 925 = 666
d. .............. % de 700 = 63
e. .............. % de 650 = 13
6. ¿Qué es mayor el 8% del 20% de 500 o el 4% del 40% de 500?
7. Se ha calculado un porcentaje de 1550 y ha resultado 186, ¿de qué porcentaje se trata?
8. Después de aplicar una disminución porcentual del 17% a una cantidad se obtiene 1667,47 ¿a qué cantidad se le ha aplicado esa disminución?
9. Si a una cantidad se le aplica una disminución del 64% y se obtiene 85,32 ¿cuál es esa cantidad?
10. Si a 325 se le aplica una disminución porcentual y se obtiene 123,5 ¿qué disminución se le ha aplicado?
11. Tras aplicarle un incremento porcentual al número 1585, se obtiene 1711,8 ¿qué incremento se le ha aplicado?
12. Si a 621 se le aplica un incremento porcentual y se obtiene 912,87 ¿qué incremento se le ha aplicado?
13. Si a una cantidad se le aplica un incremento del 27% y se obtiene 4414,52 ¿cuál es esa cantidad?
Modelación
1. En un periódico escolar aparece esta noticia: «El 32% de los alumnos del centro tienen miopía». Según esta noticia, en un grupo de 25 alumnos ¿cuántos tendrán miopía?
2. En una promoción de artículos informáticos, un ordenador de $ 1150 tiene una rebaja del 15%, ¿cuánto costará el ordenador?
3. En un bosque de 25 000 árboles, un 60% son hayas ¿qué cantidad de árboles no son hayas?
4. En un colegio de 800 alumnos, 608 asisten a actividades extraescolares. En otro colegio de 900 alumnos asisten 675, ¿en qué colegio hay un porcentaje mayor de alumnos que asisten a actividades extraescolares?
5. Sofía ha comprado por S/. 56 un pantalón que valía S/. 70, ¿cuál ha sido el porcentaje de descuento?
6. Un vestido valía S/. 125 y por la liquidación ahora vale S/. 100, ¿cuál fue el porcentaje de descuento?
7. Un país cobra por las importaciones un impuesto del 21%. Un comerciante ha hecho una importación por la que pagó, con el impuesto incluido, $ 181 500, ¿cuál era la cantidad antes del impuesto?
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