Kitabı oku: «Modelamiento y simulación de sistemas con Simulink», sayfa 17
10.2.2 Ejemplo 2. Pórtico de un piso mediante el uso de Simulink
Crear un modelo de Simulink para implementar el Ejemplo 1.
Considerar los parámetros de la tabla 10.1 para la simulación de este modelo.
Tabla 10.1
Configuración de parámetros de la simulación del Ejemplo 2
Solución
Ingresar los datos correspondientes al código fuente mostrado en el siguiente script, con la finalidad de tener los valores de las variables m, c y k, las matrices A, B, C y D y los valores de t y g del registro de aceleraciones almacenados en el Workspace de Matlab.
1 %% Ingreso de Datos y Cálculo de matrices A, B, C y D
2 clc , clear all , close all % Funciones de limpieza
3 % Masa, coeficiente de amortiguamiento y rigidez.
4 m = 21.63; % Masa
5 k = 23479.8223; % Rigidez
6 epsilon = 0.05; % Relación de amortiguamiento
7 % Cálculo de la matriz A
8 A = [0 1; –k/m –2* epsilon * sqrt (k/m)];
9 % Cálculo de la matriz B
10 B = [0; –1];
11 % Cálculo de la matriz C
12 C = [1 0; 0 1; –k/m –2* epsilon * sqrt (k/m)];
13 % Cálculo de la matriz D
14 D = [0; 0; –1];
15 % Componente de la aceleración del suelo registrada
16 load ( ' Ica.txt ' )
17 t = Ica (: ,1);
18 g = Ica (: ,3) /100;
El diagrama de bloques del modelo se muestra en la figura 10.8. Se establecen las constantes [t g] en el parámetro Data del bloque From Workspace; el valor de 3 en el parámetro Number of Input Ports del bloque Scope; el término x1 en el parámetro File name del bloque To File. Los demás parámetros de los bloques quedan con los valores dados por defecto.
Figura 10.8. Diagrama de bloques principal del Ejemplo 2
El diagrama de bloques del bloque Subsystem se muestra en la figura 10.9. Se establecen las constantes A, B, C y D en los parámetros A, B, C, D y los valores [0 0] en el parámetro Initial conditions del bloque State-Space; el valor de 3 en el parámetro Number of Input Ports del bloque Demux. Los demás parámetros de los bloques quedan con los valores dados por defecto. Realizar las configuraciones de acuerdo a lo visualizado en el modelo de la figura 10.9.
Figura 10.9. Diagrama de bloques del bloque Subsystem del Ejemplo 2
Resultados
• Un simulador visual de los desplazamientos ocasionados en un pórtico de un nivel en tiempo real, similar al del ejemplo 1: pórtico de un piso usando Matlab, el cual se obtendrá al ejecutar el código fuente mostrado en el siguiente script:
1 %% Visualización interactiva de desplazamientos
2 clc , clear all , close all % Funciones de limpieza
3 figure ( ' Name ' , ' Visualización interactiva de desplazamientos ' , ' NumberTitle ' , ' off ' , ' units ' , ' normalized ' , ' outerposition ' ,[0 0 1 1]);
4 load x1
5 set(gcf , ' Color ' , ' w ' )
6 set(gca , ' Color ' , ' w ' , ' Visible ' , ' off ' )
7 axis tight
8 x1 =100* x1 (2 ,:);
9 for q=1: length (x1)
10 y1 =4* ones (1, length (x1));
11 plot3 ([ x1(q) 5+ x1(q)] ,[0 0] ,[ y1(q) y1(q)], ' Color ' , ' r ' , ' LineWidth ' ,5)
12 hold on
13 set(gca , ' Color ' , ' w ' , ' Visible ' , ' off ' )
14 plot3 ([0 x1(q)] ,[0 0] ,[0 y1(q)] ,[5 5+ x1(q)] ,[0 0] ,[0 y1(q)], ' Color ' , ' b ' , ' LineWidth ' ,5)
15 fill3 ([ -0.75 -0.75 0.75 0.75] ,[ -0.75 0.75 0.75 -0.75] ,[0 0 0 0], ' g ' )
16 fill3 ([4.25 4.25 5.75 5.75] ,[ -0.75 0.75 0.75 -0.75] ,[0 0 0 0], ' g ' )
17 axis equal
18 axis ([ -5.5 10.5 -1 1 0 4.05])
19 drawnow
20 pause (0.0125)
21 hold off
22 end
• La representación gráfica de los historiales de respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones del sistema (figura 10.10), la cual se obtiene al hacer doble clic sobre el bloque Scope, implementado en el diagrama de bloques del modelo (figura 10.8).
Figura 10.10. Visualización gráfica de desplazamientos, velocidades y aceleraciones del Ejemplo 2
10.3 PÓRTICO BIDIMENSIONAL DE TRES PISOS
El desacoplamiento y desarrollo de la ecuación de equilibrio dinámico para este sistema es bastante similar al de un piso. Se considera como base del planteamiento del sistema la ecuación 10.1a, la cual se muestra ahora en la ecuación 10.5 con otra notación simbólica para hacer referencia a matrices; donde M, C, K y 1 representan a la matriz de masas, matriz de amortiguamiento, matriz de rigidez y vector columna con términos iguales a la unidad, respectivamente.
Figura 10.11. Pórtico de tres pisos
El pórtico de la figura 10.11 cuenta con tres grados de libertad (modelo simplificado de corte); por lo tanto, la representación matricial de la ecuación 10.5 resulta ser la ecuación 10.6.
En esta ocasión, primero habrá que descomponer la ecuación matricial 10.6 en las ecuaciones 10.7a, 10.7b y 10.7c;
para luego, aplicar la formulación de espacio de estados a estas ecuaciones diferenciales. Trabajando con 3 grados de libertad será necesario asignar seis variables, en este caso x1, x2, x3, x4, x5, x6, y proponer las siguientes igualdades:
Posteriormente, se tienen equivalencias entre los términos de las variables asignadas (expresiones 10.9a, 10.9b y 10.9c) y se establecen las ecuaciones de equilibrio dinámico del sistema en función de las igualdades propuestas (ecuaciones 10.9d, 10.9e y 10.9f).
Finalmente, los arreglos matriciales mostrados en las ecuaciones 10.10a y 10.10b se obtienen de las relaciones determinadas entre las derivadas de las variables asignadas 
y entre los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de los tres grados de libertad del sistema.
10.3.1 Ejemplo 3. Pórtico de 3 pisos mediante el uso de Matlab
El pórtico bidimensional por desarrollarse corresponde a la figura 10.11, donde la matriz de masas, rigidez y amortiguamiento corresponden a las expresiones 10.11a, 10.11b y 10.11c, respectivamente. Las columnas del primer piso tienen 4,00 m de altura y las de los pisos siguientes tienen 3,00 m, dichas columnas están espaciadas 5,00 horizontalmente a ejes; las dimensiones de las secciones transversales son 0,50 m x 0,50 m en columnas y 0,30 m x 0,50 m en vigas; el módulo de elasticidad considerado es E = 21316773.9449 KN/m2; y la aceleración del suelo está dada por el registro N-S del sismo de Pisco del 15/8/2007.
Solución. La secuencia de la declaración de todos los datos del problema corresponde al código fuente mostrado de forma parcial en el siguiente script:
1 % Análisis tiempo historia de un pórtico bidimensional de tres pisos.
2 % Por Ing. Miguel Raúl Guzmán Prado e Ing. Raul Franco Guzmán
3 % López. Candidatos a Maestros en Ciencias con mención en Ingeniería
4 % Estructural de la Universidad Nacional de Ingeniería.
5 % Funciones de limpieza
6 clc , clear all , close all
7 % Matriz de masa, amortiguamiento y rigidez.
8 M= diag ([59.55 52.35 50.48]) ;
9 C =[446.700502949498 -292.791287499014 66.4871031841809; ...
10 -292.791287499014 493.583963429669 -205.036343618607; ...
11 66.4871031841809 -205.036343618607 197.291660727471];
12 K =[220669.301460576 -166937.099907566 37908.1094988513; ...
13 -166937.099907566 251513.531879198 -116902.975056786; ...
14 37908.1094988513 -116902.975056786 83648.6131098711];
15 calc1 = size (M);
16 ndgl = calc1 (1);
17 % Cálculo de la matriz A
18 A=[ zeros ( ndgl ) eye( ndgl ); -M\K -M\C];
19 % Cálculo de la matriz B
20 B=[ zeros (ndgl ,1); -1* ones (ndgl ,1) ];
21 % Cálculo de la matriz C
22 C=[ eye( ndgl ) zeros ( ndgl ); zeros ( ndgl ) eye( ndgl ); -M\K -M\C];
23 % Cálculo de la matriz D
24 D=[ zeros (ndgl ,1); zeros (ndgl ,1); -1* ones (ndgl ,1) ];
25 % Componente de la aceleración del suelo registrada
26 load ( ' Ica.txt ' )
27 t=Ica (: ,1);
28 u=Ica (: ,3) /100;
29 % Solución del sistema de ecuaciones diferenciales
30 x0 =[0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00];
31 sys=ss(A,B,C,D);
32 [y,t]= lsim (sys ,u,t,x0);
33 % Visualización numérica de los resultados
34 f = figure ( ' Name ' , ' Historiales de desplazamientos , velocidades y aceleraciones ' , ' NumberTitle ' , ' off ' , ' Position ' ,[500 500 865 300]) ;
35 set(gcf , ' Color ' , ' w ' )
36 cnames = { ' t ' , ' x1 ' , ' x2 ' , ' x3 ' , ' v1 ' , ' v2 ' , ' v2 ' , ' a1 ' , ' a2 ' , ' a3 ' };
37 uitable ( ' Parent ' ,f, ' Data ' ,[t y(: ,:)], ' ColumnName ' ,cnames , ' RowName ' ,[ ], ' Position ' ,[50 25 770 255]) ;
Resultados
• La gráfica de la excitación sísmica considerada (figura 10.12) y un simula-dor visual de los desplazamientos ocasionados en el pórtico en tiempo real (figura 10.13).
Figura 10.12. Gráfica Tiempo vs Aceleración del suelo
Figura 10.13. Modelo del pórtico de tres pisos
• Los valores numéricos en formato tabular de los historiales de respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones (figura 10.14).
Figura 10.14. Historiales de desplazamientos, velocidades y aceleraciones en forma tabular del Ejemplo 3
• La representación gráfica de los historiales de respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones (figura 10.15, figura 10.16 y figura 10.17, respectivamente).
Figura 10.15. Historiales de desplazamientos del Ejemplo 3
Figura 10.16. Historiales de velocidades del Ejemplo 3
Figura 10.17. Historiales de aceleraciones del Ejemplo 3
10.3.2 Ejemplo 4. Pórtico de tres pisos mediante el uso de Simulink
Crear un modelo de Simulink para implementar el Ejemplo 3.
Considerar los parámetros de la tabla 10.2 para la simulación de este modelo.
Tabla 10.2
Configuración de parámetros de la simulación del Ejemplo 4
Solución. Ingresar los datos correspondientes al código fuente mostrado en el siguiente script; con la finalidad de tener los valores de las variables m, c y k, las matrices A, B, C y D y los valores de t y g del registro de aceleraciones almacenados en el Workspace de Matlab.
1 %% Ingreso de Datos y Cálculo de matrices A, B, C y D
2 clc , clear all , close all % Funciones de limpieza
3 % Masa, coeficiente de amortiguamiento y rigidez.
4 M= diag ([59.55 52.35 50.48]) ;
5 C =[446.700502949498 -292.791287499014 66.4871031841809; ...
6 -292.791287499014 493.583963429669 -205.036343618607; ...
7 66.4871031841809 -205.036343618607 197.291660727471];
8 K =[220669.301460576 -166937.099907566 37908.1094988513; ...
9 -166937.099907566 251513.531879198 -116902.975056786; ...
10 37908.1094988513 -116902.975056786 83648.6131098711];
11 calc1 = size (M);
12 ndgl = calc1 (1);
13 % Cálculo de la matriz A
14 A=[ zeros ( ndgl ) eye( ndgl ); -M\K -M\C];
15 % Cálculo de la matriz B
16 B=[ zeros (ndgl ,1); -1* ones (ndgl ,1) ];
17 % Cálculo de la matriz C
18 C=[ eye( ndgl ) zeros ( ndgl ); zeros ( ndgl ) eye( ndgl ); -M\K -M\C];
19 % Cálculo de la matriz D
20 D=[ zeros (ndgl ,1); zeros (ndgl ,1); -1* ones (ndgl ,1) ];
21 % Componente de la aceleración del suelo registrada
22 load ( ' Ica.txt ' )
23 t=Ica (: ,1);
24 g=Ica (: ,3) /100;
El diagrama de bloques del modelo se muestra en la figura 10.18. Se establecen las constantes [t g] en el parámetro Data del bloque From Workspace; el valor de 3 en el parámetro Number of Input Ports del bloque Scope; el término x1, x2 y x3 en los parámetros File name de los bloques To File. Los demás parámetros de los bloques quedan con los valores dados por defecto.
Figura 10.18. Diagrama de bloques principal del Ejemplo 4
El diagrama de bloques del bloque Subsystem se muestra en la figura 10.19. Se establecen las constantes A, B, C y D en los parámetros A, B, C, D y los valores [0 0] en el parámetro Initial conditions del bloque State-Space; el valor de 9 en el parámetro Number of Input Ports del bloque Demux. Los demás parámetros de los bloques quedan con los valores dados por defecto. Realizar las configuraciones de acuerdo a lo visualizado en el modelo de la figura 10.19.
Figura 10.19. Diagrama de bloques del bloque Subsystem del Ejemplo 4
Resultados
• Un simulador visual de los desplazamientos ocasionados en un pórtico de un nivel en tiempo real, similar al del ejemplo 1: pórtico de tres pisos mediante el uso de Matlab, el cual se obtendrá al ejecutar el código fuente mostrado en el siguiente script:
1 %% Visualización interactiva de desplazamientos
2 clc , clear all , close all % Funciones de limpieza
3 figure ( ' Name ' , ‘ Visualización interactiva de desplazamientos ' , ' NumberTitle ' , ' off ' , ' units ' , ' normalized ' , ' outerposition ' ,[0 0 1 1]);
4 load x1
5 load x2
6 load x3
7 set(gcf , ' Color ' , ' w ' )
8 set(gca , ' Color ' , ' w ' , ' Visible ' , ' off ' )
9 axis tight
10 x1 =100* x1 (2 ,:);
11 x2 =100* x2 (2 ,:);
12 x3 =100* x3 (2 ,:);
13 for k=1: length (x1)
14 y1 =4* ones (1, length (x1));
15 y2 =7* ones (1, length (x2));
16 y3 =10* ones (1, length (x3));
17 plot3 ([ x1(k) 5+ x1(k) 10+ x1(k) 15+ x1(k)] ,[0 0 0 0] ,[ y1(k) y1(k) y1(k) y1(k)], ' Color ' , ' r ' , ' LineWidth ' ,5)
18 hold on
19 plot3 ([ x2(k) 5+ x2(k) 10+ x2(k) 15+ x2(k)] ,[0 0 0 0] ,[ y2(k) y2(k) y2(k) y2(k)], ' Color ' , ' r ' , ' LineWidth ' ,5)
20 plot3 ([ x3(k) 5+ x3(k) 10+ x3(k) 15+ x3(k)] ,[0 0 0 0] ,[ y3(k) y3(k) y3(k) y3(k)], ' Color ' , ' r ' , ' LineWidth ' ,5)
21 set(gca , ' Color ' , ' w ' , ' Visible ' , ' off ' )
22 plot3 ([0 x1(k)] ,[0 0] ,[0 y1(k)] ,[5 5+ x1(k)] ,[0 0] ,[0 y1(k)] ,[10 10+ x1( k)] ,[0 0] ,[0 y1(k)] ,[15 15+ x1(k)] ,[0 0] ,[0 y1(k)], ' Color ' , ' b ' , ' LineWidth ' ,5)
23 plot3 ([ x1(k) x2(k)] ,[0 0] ,[ y1(k) y2(k)] ,[5+ x1(k) 5+ x2(k)] ,[0 0] ,[ y1(k) y2(k)] ,[10+ x1(k) 10+ x2(k)] ,[0 0] ,[ y1(k) y2(k)] ,[15+ x1(k) 15+ x2(k) ] ,[0 0] ,[ y1(k) y2(k)], ' Color ' , ' b ' , ' LineWidth ' ,5)
24 plot3 ([ x2(k) x3(k)] ,[0 0] ,[ y2(k) y3(k)] ,[5+ x2(k) 5+ x3(k)] ,[0 0] ,[ y2(k) y3(k)] ,[10+ x2(k) 10+ x3(k)] ,[0 0] ,[ y2(k) y3(k)] ,[15+ x2(k) 15+ x3(k) ] ,[0 0] ,[ y2(k) y3(k)], ' Color ' , ' b ' , ' LineWidth ' ,5)
25 fill3 ([ -0.75 -0.75 0.75 0.75] ,[ -0.75 0.75 0.75 -0.75] ,[0 0 0 0], ' g ' )
26 fill3 ([4.25 4.25 5.75 5.75] ,[ -0.75 0.75 0.75 -0.75] ,[0 0 0 0], ' g ' )
27 fill3 ([9.25 9.25 10.75 10.75] ,[ -0.75 0.75 0.75 -0.75] ,[0 0 0 0], ' g ' )
28 fill3 ([14.25 14.25 15.75 15.75] ,[ -0.75 0.75 0.75 -0.75] ,[0 0 0 0], ' g ' )
29 axis equal
30 axis ([ -5.5 20.5 -1 1 0 10.05])
31 drawnow
32 pause (0.0125)
33 hold off
34 end
• La representación gráfica de los historiales de respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones del sistema (figura 10.20), la cual se obtiene al hacer doble clic sobre el bloque Scope, implementado en el diagrama de bloques del modelo (figura 10.18).
Figura 10.20. Visualización gráfico de desplazamientos, velocidades y aceleraciones del Ejemplo 4
10.4 PÓRTICO BIDIMENSIONAL DE DIEZ PISOS
Figura 10.21. Pórtico de 10 pisos
La ecuación 10.5 es la base del planteamiento del sistema, la cual se presenta de nuevo para comodidad del lector:
y debido a que el pórtico de la figura 10.21 cuenta con diez grados de libertad (modelo simplificado de corte), al aplicar la formulación de espacio de estados a la ecuación diferencial se obtendrán los arreglos matriciales mostrados en las ecuaciones 10.12a y 10.12b de las relaciones determinadas entre las derivadas de las variables asignadas 
y entre los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de los diez grados de libertad del sistema.
Una manera compacta de representar los arreglos matriciales anteriores se da en las ecuaciones 10.13a y 10.13b.
10.4.1 Ejemplo 5. Pórtico de 10 pisos mediante el uso de Matlab
El pórtico bidimensional a desarrollarse corresponde a la figura 10.21, donde la matriz de masas, rigidez y amortiguamiento corresponden a las expresiones mostradas a continuación. Las columnas del primer piso tienen 4,00 m de altura y las de los pisos siguientes tienen 3,00 m, dichas columnas están espaciadas 5,00 m horizontalmente a ejes; las dimensiones de las secciones transversales son 0,50 m x 0,50 m en columnas y 0,30 m x 0,50 m en vigas; el módulo de elasticidad considerado es E = 21316773.94 KN/m2; y la aceleración del suelo está dada por el registro N-S del sismo de Pisco del 15/08/2007.
Solución. La secuencia de la declaración de todos los datos del problema corresponde al código fuente mostrado de forma parcial en el siguiente script:
1 % Análisis tiempo historia de un pórtico bidimensional de 10 pisos.
2 % Por Ing. Miguel Raúl Guzmán Prado e Ing. Raul Franco Guzmán
3 % López. Candidatos a maestros en ciencias con mención en Ingeniería
4 % Estructural de la Universidad Nacional de Ingeniería.
5 % Funciones de limpieza
6 clc , clear all , close all
7 % Matriz de masa, amortiguamiento y rigidez.
8 load M.mat
9 load C.mat
10 load K.mat
11 calc1 = size (M);
12 ndgl = calc1 (1);
13 % Cálculo de la matriz A
14 A=[ zeros ( ndgl ) eye( ndgl ); -M\K -M\C];
15 % Cálculo de la matriz B
16 B=[ zeros (ndgl ,1); -1* ones (ndgl ,1) ];
17 % Cálculo de la matriz C
18 C=[ eye( ndgl ) zeros ( ndgl ); zeros ( ndgl ) eye( ndgl ); -M\K -M\C];
19 % Cálculo de la matriz D
20 D=[ zeros (ndgl ,1); zeros (ndgl ,1); -1* ones (ndgl ,1) ];
21 % Componente de la aceleración del suelo registrada
22 load ( ' Ica.txt ' )
23 t=Ica (: ,1);
24 u=Ica (: ,3) /100;
25 % Solución del sistema de ecuaciones diferenciales
26 x0 =[0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00];
27 sys=ss(A,B,C,D);
28 [y,t]= lsim (sys ,u,t,x0);
29 % Visualización numérica de los resultados
30 f = figure ( ' Name ' , ' Historiales de desplazamientos , velocidades y aceleraciones ' , ' NumberTitle ' , ' off ' , ' Position ' ,[500 500 985 300]) ;
31 set(gcf , ' Color ' , ' w ' )
32 cnames = { ' t ' , ' x1 ' , ' x2 ' , ' x3 ' , ' x4 ' , ' x5 ' , ' x6 ' , ' x7 ' , ' x8 ' , ' x9 ' , ' x10 ' , ...
33 ' v1 ' , ' v2 ' , ' v3 ' , ' v4 ' , ' v5 ' , ' v6 ' , ' v7 ' , ' v8 ' , ' v9 ' , ' v10 ' , ...
34 ' a1 ' , ' a2 ' , ' a3 ' , ' a4 ' , ' a5 ' , ' a6 ' , ' a7 ' , ' a8 ' , ' a9 ' , ' a10 ' };
35 uitable ( ' Parent ' ,f, ' Data ' ,[t y(: ,:)], ' ColumnName ' ,cnames , ' RowName ' ,[ ], ' Position ' ,[70 25 845 255]) ;
Resultados
• La gráfica de la excitación sísmica considerada (figura 10.22) y un simula-dor visual de los desplazamientos ocasionados en el pórtico en tiempo real (figura 10.23).
Figura 10.22. Gráfico Tiempo vs Aceleración del suelo
Figura 10.23. Modelo de pórtico de 10 pisos
• Los valores numéricos en formato tabular de los historiales de respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones (figura 10.24).
Figura 10.24. Historiales de desplazamientos, velocidades y aceleraciones en forma tabular del Ejemplo 5
• La representación gráfica de los historiales de respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones (figura 10.25, figura 10.26 y figura 10.27, respectivamente).
Figura 10.25. Historiales de desplazamientos del Ejemplo 5
Figura 10.26. Historiales de velocidades del Ejemplo 5
Figura 10.27. Historiales de aceleraciones del Ejemplo 5
