Kitabı oku: «Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера», sayfa 3
12
13
14
15
16
Из таблицы 4 видно, что симметричными простыми парами в этом примере будут пары при δ=5,8,14,15 (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. пары (3, 61), (5, 59), (17, 47), (23, 41). Здесь же видим, что нечетные симметричные пары могут состоять также только из нечетных составных чисел δ=4,9,12 (в таблице подчеркнуты двойной чертой) (9, 55), (15, 49), (25, 39).
Следовательно, напрашивается вывод о том, что нечетные симметричные пары числа n могут состоять из:
1) нечетных составных и простых чисел (смешанные пары);
2) только нечетных составных чисел;
3) только простых чисел.
Дальнейший анализ числового ряда и составляющих симметричных пар с помощью подобных таблиц показывает, что при n→∞ можно составить такие неравенства
|SA|< |SВ|, (3.6)
и соответственно
|PA| > |PВ|. (3.7)
Оценку приведенных неравенств можно получить из следующих соображений.
Согласно оценке П.Л. Чебышева [2], уточняющую оценку Лагранжа [3], для больших значений n, число простых чисел в натуральном ряде достаточно точно оценивается следующим выражением
π(n) = n/ln(n), (3.8)
где ln – натуральный логарифм.
Тогда для числа 2n количество простых чисел будет равно
π(2n) = 2n/ln(2n). (3.9)
Используя выражения (3.8) и (3.9) можно записать
|PA|= π(n), а (3.10)
|PB|= π(2n) – π(n). (3.11)
Для того чтобы определить справедливость неравенства |PA| > |PВ| исследуем разность
|PA| – |PВ| = π(n) – π(2n) + π(n) = 2π(n) – π(2n). (3.12)
Далее раскрывая (3.12) с учетом (3.8) и (3.9), имеем
2n/ln(n) – 2n/ln(2n) = 2n(1/ln(n) –1/ln(2n)). (3.13)
Так как ln(2n) = ln2 + ln(n), то очевидно, что в выражении (3.13)
ln(2n) > ln(n). (3.14)
Учитывая полученное неравенство (3.14) имеем
1/ln(n) > 1/ln(2n). (3.15)
Отсюда получаем положительную следующую разницу
|PA| – |PB| > 0, (3.16)
что доказывает справедливость утверждения (3.7).
Исходя из (3.3) и (3.4) легко получается следующее равенство
|SB| – |SA| = |PA| – |PB|. (3.17)
Тогда с учетом (3.16) получаем
|SB| – |SA| > 0, (3.18)
что доказывает справедливость утверждения (3.6).
Теперь же особый интерес представляет способ формирования симметричных простых пар.
4. Таблица симметричных простых пар чисел
Для более глубокого понимания механизма образования симметричных простых пар чисел построим следующую таблицу.
В таблице в первой строке и первом столбце P1 обозначения простых чисел, стоящих во второй строке и втором столбце по порядку. А во второй строке и втором столбце стоят сами простые числа по порядку. На пересечении столбца и строки в таблице находится число 2n, по которому образуется симметричная простая пара. Очевидно, что таблица симметрична относительно диагонали.
Таблица 5
dp 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
1
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
P1
1
1
2
3
4
6
7
9
10
12
15
16
19
21
22
24
27
30
31
P2
3
3
4
5
7
8
10
11
13
16
17
20
22
23
25
28
31
32
P3
5
5
6
8
9
11
12
14
17
18
21
23
24
26
29
32
33
P4
7
7
9
10
12
13
15
18
19
22
24
25
27
30
33
34
P5
11
11
12
14
15
17
20
21
24
26
27
29
32
35
36
P6
13
13
15
16
18
21
22
25
27
28
30
33
36
37
P7
17
17
18
20
23
24
27
29
30
32
35
38
39
P8
19
19
21
24
25
28
30
31
33
36
39
40
P9
23
23
26
27
30
32
33
35
38
41
42
P10
29
29
30
33
35
36
38
41
44
45
P11
31
31
34
36
37
39
42
45
46
P12
37
37
39
40
42
45
48
49
P13
41
41
42
43
47
50
51
P14
43
43
45
48
51
52
P15
47
47
50
53
54
P16
53
53
56
57
P17
59
59
60
P18
61
61
где Pi – простые числа, образующие симметричные пары;
dp – разница соседних простых чисел Pi+1 – Pi по строке или по столбцу.
Выделим основные свойства построенной таблицы 5:
во-первых, для любого числа 2n по таблице можно составить симметричные пары простых чисел; а
во-вторых, для любой пары симметричных простых чисел можно найти соответствующие им числа n и соответствующее ему четное число 2n.
Пользоваться таблицей очень просто.
Для этого берем любое четное число 2n и в таблице находим соответствующее ему число n. Затем, двигаясь по горизонтальной строке и вертикальному столбцу, выбирается симметричная пара простых чисел.
Например, для четного числа 44, путем деления его на число 2 получаем число n равное 22. Затем по таблице выбираем ячейку с данным числом и пары симметричных простых чисел, соответствующих этому числу путем мысленного движения вверх по столбцу и влево по строке. Для числа 22 таких пар оказалось четыре. В результате имеем пары: (13,31); (7,37); (3,41); (1,43).
Если известна симметричная пара простых чисел и необходимо определить число ей соответствующее, выбирается строка и столбец, соответствующие паре, а затем на пересечении выбранных строки и столбца находиться число n, которому соотноситься выбранная симметричная пара.
Например, для пары простых чисел (13,31) в пересечении строки числа 13 (P6) со столбцом числа 31 (P11) выбираем число n равное 22. Тогда четное число 2n будет равно 44, которое равно сумме симметричной пары чисел.
Изучение полученной таблицы 5 показывает, что, она бесконечна и охватывает все натуральные числа от 1 до ∞.
Это следует из того, что множество простых чисел бесконечно, что позволяет сделать вывод о бесконечности и таблицы 5. В практических целях таблица 5 может ограничиваться тем предельным числом n, до которого исследуются симметричные простые числа.
Анализируя таблицу 5, можно предположить, что для любого числа от 1 до n найдется хотя бы одна симметричная пара простых чисел.
Заметим еще одно важное, но не совсем очевидное свойство таблицы 5.
Если обозначить разность между двумя соседними простыми числами в строке или столбце как dpi , то она будет равна
dpi=pi+1 – pi, (4.1)
где pi – i –тое простое число в строке или в столбце;
pi+1 – последующее простое число в строке или в столбце;
i – номер простого числа в строке или столбце.
Анализ показывает, что разности между двумя числами соседних строк или столбцов в таблице равны разности dpi деленной на 2, т.е. шагу симметрии
δi= dpi /2, (4.2)
где i – номер строки или столбца.
Приведем примеры (см. таблицу 5):
Имеем для восьмого (P8) и девятого (P9) столбца i =8,
Δ8= P9 – P8 = 23 – 19 = 4;
А шаг симметрии будет δ8= dpi/2=2.
Тогда, по всему девятому столбцу имеем:
a19= a18+ δ8=10+2=12;
a29= a28+ δ8=11+2=13;
a39= a38+ δ8=12+2=14;
a49= a48+ δ8=13+2=15;
………………..
a89= a88+ δ8=19+2=21.
Что подтверждается данными таблицы 5.
Далее, к примеру, для шестой (P6) и седьмой (P7) строк i=6 имеем:
a67= a66+ δ6=13+2=15;
a68= a67+ δ7=15+1=16;
a69= a68+ δ8=16+2=18;
a610= a69+ δ9=18+3=21;
………………..
a618= a617+ δ17=36+1=37.
Следует заметить, что в первом примере значение δi для всех элементов в столбце одинаковое, а во втором примере δi изменяется при переходе от одного элемента строки к другой в зависимости от номера столбца.
