Kitabı oku: «Сумасшедший мир физики. Астронавт Ульрих Вальтер объясняет почти всё», sayfa 2

Упадет или не упадет? Карандаш на луне

Как поведет себя карандаш, если вы, находясь на Луне, выпустите его из рук? Упадет, останется висеть в пустоте или улетит в пространство?

Кому-то этот вопрос покажется тривиальным, кому-то сложным. Поразмыслите спокойно. Это не повредит. Вы не одиноки в своих сомнениях. Среднестатистический житель западного мира (американец или европеец) не знает правильного ответа. Впервые прочитав об этом, я глазам своим не поверил. Но теперь мне ясно, что с гравитацией не так-то просто разобраться. Вот вам правдивая история².

ПОЧЕМУ АСТРОНАВТЫ КОРАБЛЯ «АПОЛЛОН» БЫЛИ НА ЛУНЕ В ТЯЖЕЛЫХ БОТИНКАХ?

Один ученый посетил семинар по философии в Университете Висконсина в городе Мэдисон. Это хороший американский университет, готовящий ученых и инженеров. Руководитель семинара пытался объяснить студентам, что вещи не всегда бывают такими, какими мы их себе представляем. В качестве примера он привел карандаш. По его словам, если выронить его из рук на Земле, то он упадет, а если на Луне, то улетит в пространство.

У нашего ученого отвисла челюсть. Он переглянулся со своим другом Марком и еще одним студентом. Но все остальные 17 человек в аудитории посмотрели на них с немым вопросом: «А что не так?»

– Карандаш упадет на Луне точно так же, как и на Земле, только медленнее! – возразил ученый.

– Да нет, он не сможет упасть, – спокойно объяснил руководитель семинара, – потому что Луна очень далеко от Земли.

Ученый почесал затылок и поинтересовался:

– Но вы же видели, как астронавты «Аполлона» ходят по Луне? Почему они никуда не улетели?

– Потому что на них были тяжелые ботинки, – ответил руководитель, словно это и дураку понятно.

МИР ТАКОВ, КАКИМ МЫ ЕГО ВИДИМ

Преподаватель философии за время своей учебы посетил немало лекций по логике. Но логика, которую изучают в школе или университете, кажется многим чисто умозрительным предметом. У большинства людей своя картина мира, причем очень часто весьма наивная. Так, большинство жителей нашей планеты считают, что люди видят потому, что испускают из глаз некие лучи, которые, отражаясь от предметов, вновь попадают к нам в глаза.

Разумеется, это полная чушь, потому что в этом случае мы могли бы видеть в темноте. Но вспомните, как мы говорим: «Мой взгляд упал на чудесную статую» или «Я почувствовал, что на меня кто-то смотрит». На самом деле все наоборот, но в этих высказываниях отражается наше видение мира, которое мы на протяжении тысяч лет неосознанно передаем следующим поколениям.

Уже со времен древних греков мы объясняем картину мира своим интуитивным видением, в соответствии с которым в центре Вселенной находится Земля, а вместе с ней и человек (по словам Протагора, «человек есть мерило всех вещей»). Английский философ и математик Бертран Рассел (1872–1970) писал в начале прошлого века в своей книге «История западной философии»: «Многие греки, и особенно Аристотель, в этой специфике видели основу теории физики». Поэтому ключевым постулатом картины мира по Аристотелю было то, что все предметы во Вселенной стремятся к центру Земли.

Голландский историк науки Э. Я. Дейкстерхейс (1892–1965) писал по этому поводу в своем основополагающем труде «Механизация картины мира» (Die Mechanisierung des Weltbildes): «Аристотель, как и все древнегреческие мыслители, недооценивал трудности, возникающие в ходе исследований природы. Все они без исключения уповали на силу неконтролируемого спекулятивного мышления о природе. Зарождающееся естественно-научное мышление греков, возможно, в силу успехов такой же молодой математики становилось причиной возникновения фантастических взглядов. Не случайно старый египетский жрец, обращаясь к Солону в диалоге “Тимей”, говорит, что эллины вечно остаются детьми».

ВОТ ЧТО ДУМАЮТ МНОГИЕ ПРО КАРАНДАШ НА ЛУНЕ…

Мы тоже не можем избавиться от этого наивного детского мышления древних греков. Западная натурфилософия еще и сегодня широко распространена и даже местами преподается – в духе Эпикура: мир состоит из четырех элементов – земли, воды, воздуха и огня. Но если земля в нашем представлении составляет основу (на самом деле она свободно летит в космическом пространстве), вода течет по ней, воздух парит над ней, а огонь поднимается вверх (формируя таким образом различные ступени тяжести), то это еще не значит, что весь остальной мир состоит из них, как считал Эпикур (341–270 годы до н. э.). Отвлечемся даже от факта, что огонь – это вообще не элемент, а световой след от сгоревших частиц сажи, то есть его нельзя подержать в руках. Такое наивное мышление привело Аристотеля к ложному образу мира, который сохранился и до наших дней. В этом смысле следует понимать первую цитату, приведенную в начале главы.

Если все падает на Землю, а Луна находится далеко от Земли, то сам собой напрашивается вывод, что карандаш не может упасть на Луну. Примерно так гласит примитивная логика. А вот и другие обоснования, которые приводят люди, считающие, что он улетит в пространство: «В космосе нет силы тяжести. Если карандаш просто отпустить, то он медленно уплывет прочь». Или: «Поскольку сила тяжести на Луне намного меньше, чем на Земле, легкий предмет типа карандаша улетит». И еще одно объяснение: «Гравитация на Луне слабая, а поскольку Луна находится в вакууме, то силы притяжения там нет вообще. Поэтому карандаш улетит».

Не будем строго судить этих людей. Преподаватели в школах и университетах сами плохо разбираются в таких вопросах. И с этим приходится жить.

…И ЧТО ПРОИСХОДИТ НА САМОМ ДЕЛЕ

Так как же поведет себя карандаш астронавта на Луне? Решающий фактор состоит в том, что чем дальше две массы находятся друг от друга, тем слабее они друг друга притягивают – обратно пропорционально квадрату расстояния.

При этом для силы тяжести не имеет абсолютно никакого значения среда, которая находится между ними, будь то газ или вакуум. Можно еще больше упростить это представление, вообразив, что притягиваются друг к другу не сами тела, а их центры тяжести. Таким образом, Земля притягивает меня (мой центр тяжести, находящийся где-то в районе пупка) к центру Земли (где расположен ее центр тяжести). Поверхность Земли не дает мне провалиться к ее центру. Поэтому я прочно стою на ней.

Земля и Луна обращаются вокруг общего центра тяжести S (источник: Walter Senzenberger)

То же самое происходит и на поверхности Луны. Масса Луны притягивает астронавта. Поскольку Луна уступает Земле по массе в 81 раз, а ее радиус в 3,67 раза меньше радиуса Земли, то ее сила притяжения будет составлять 1/81 · 3,67² = = 1/6 от земного притяжения. Разумеется, тела, находящиеся на Луне, притягиваются и Землей, но эта сила притяжения составит лишь (радиус Земли / расстояние от Земли до Луны)² = (6378/380 000)² = 1/3550 часть от лунного, поэтому ею можно пренебречь. Даже перо будет притягиваться Луной в 3550/6 = 591 раз сильнее, чем Землей, и поэтому упадет на лунную поверхность, а не полетит в сторону Земли или в каком-то другом направлении. Причем падать перо будет с той же скоростью, что и молоток, как доказал нам астронавт Дэвид Скотт, проведя этот маленький эксперимент на Луне³.

Кстати, Земля и Луна тоже притягивают друг друга. Но поскольку масса Земли в 81 раз больше лунной, Луна обращается по широкой орбите вокруг показанной на иллюстрации точки S, а Земля, в свою очередь, также обращается вокруг точки S, но по малой орбите.

Только мир достаточно велик, чтобы познать сам себя.

Тор Нёрретрандерс (1955), научный журналист

Кто долетит быстрее – толстый или худой?

Два человека с большой разницей в весе прыгают с вышки в воду. Кто долетит до воды первым?

В 2007 году началась трансляция телешоу Иоганнеса Кернера «Насколько умна Германия?», в котором шла речь о связанных с наукой повседневных вещах и демонстрировались увлекательные эксперименты. Приглашались разные знаменитости, а зрители принимали интерактивное участие. Эксперименты, как правило, имели отношение к естественным наукам, а это порой приводит к неожиданным последствиям. Так произошло и на первой передаче весной 2007 года. Продюсерская фирма Mixtvision из Мюнхена решила провести следующий эксперимент: толстый мужчина весом 120 килограммов и худощавая девушка, весившая 50 килограммов, должны были одновременно прыгнуть с пятиметровой вышки. Кто из них первым долетит до воды? Редакция передачи не смогла прийти к единому мнению и в феврале 2007 года написала мне письмо с просьбой дать правильный ответ.

В ВАКУУМЕ ВСЕ ПАДАЕТ С ОДИНАКОВОЙ СКОРОСТЬЮ

Понятное дело, как только люди попадают в затруднительную ситуацию и не хотят долго ломать себе голову над ответом, они обращаются за помощью к физику, астронавту и профессору. Уж он-то все знает. Редакторы со школьных времен точно помнили только одно: если бы не было сопротивления воздуха, то оба коснулись бы воды строго одновременно. На этот счет имеется видео с замечательным экспериментом астронавта Дэвида Скотта, летавшего на «Аполлоне-15»⁴. Находясь на Луне, он одновременно выпустил из рук молоток и птичье перо, и оба предмета одновременно упали на лунную поверхность. Но что будет, когда в дело вмешается сопротивление воздуха? Редакторы предположили (я цитирую): «Девушка будет падать быстрее мужчины, потому что у нее лучшее соотношение веса и сопротивления воздуха». Это была попытка интуитивно найти хоть какое-то правдоподобное объяснение. Но чтобы добраться до правильного ответа, придется как следует подумать.

ИНЕРЦИЯ ВСЕГДА КОМПЕНСИРУЕТ ГРАВИТАЦИЮ

Какие силы действуют на прыгуна? Во-первых, сила тяжести F = m · g, где m – это масса прыгуна, а g = 9,8 м/с – ускорение Земли. Этой силе противодействует сила инерции F = m · a, где а – ускорение прыгуна. Поскольку обе силы действуют разнонаправленно и компенсируют друг друга, можно составить уравнение m · a = m · g. Показатели массы взаимно сокращаются, и в результате получается a = g. Таким образом, ускорение, а значит, и время полета t не зависят от веса прыгуна. С точки зрения физики это объясняется тем, что тяжелое тело противопоставляет большей силе тяжести бо́льшую силу инерции. Поэтому тяжелый автомобиль толкать труднее (большая масса и большая инерция), чем легкий велосипед (маленькая масса и маленькая инерция).

ЧТО ДЕЛАЕТ СОПРОТИВЛЕНИЕ ВОЗДУХА?

Сопротивление воздуха зависит не от массы, а от трения воздуха о поверхность тела прыгуна. Определяющими для него являются форма тела и свойства его поверхности (коэффициент трения). Поскольку свойства поверхности кожи у полных и у худых людей в целом не различаются, то коэффициент трения всегда будет одинаковым и равным примерно единице. Кроме того, сопротивление воздуха зависит от квадрата скорости полета v, плотности воздуха и площади сечения тела по отношению к воздушному потоку. Лишь последний фактор представляет собой переменную величину, поскольку он пропорционален площади поверхности тела. Ввиду того что при одинаковых пропорциях тела его площадь зависит от квадрата длины (роста), а объем и вес от куба, площадь сечения относительно воздушного потока составит m^2/3 от веса тела. Это важный промежуточный результат.

ТОЛСТЫЙ ОБГОНИТ ХУДОГО…

Если теперь свести все три силы (тяжести, инерции и сопротивления воздуха) в одно уравнение, получится ma = mg – kv²m^2/3. Третий член уравнения – это сопротивление воздуха, где k представляет собой константу, которая зависит от свойств поверхности тела и одинакова для полных людей и худых. Минус в уравнении показывает, что сила сопротивления воздуха уменьшает силу ускорения а. Если сократить показатель массы во всех частях уравнения, чтобы в левой части осталось только ускорение, у нас получится a = g – kv²/m^1/3. Но поскольку при расчете сопротивления воздуха мы исходили из m^2/3, то это означает, что влияние сопротивления воздуха (от которого, собственно, и зависит время падения) при увеличении массы будет убывать пропорционально 1/m^1/3. Таким образом, при падении тяжелого тела сопротивление воздуха будет в меньшей степени уменьшать ускорение, чем при падении легкого тела с прочими одинаковыми показателями и одинаковой ориентацией тела по отношению к траектории полета. Это подтверждается опытом, в котором участвуют два предмета с очень большими различиями в весе, например молоток и перо. Молоток упадет на землю быстрее, чем перо. С физической точки зрения это объясняется так: хотя по мере увеличения m растет и сила тяжести, но площадь поперечного сечения тела, а значит, и сопротивление воздуха возрастает в этом случае лишь на величину m^2/3. Таким образом, по мере роста массы тела сила тяжести возрастает быстрее, чем сила сопротивления воздуха.

…НО СОВСЕМ НЕ НАМНОГО

Итак, полный человек долетит до воды быстрее худого. Следовательно, телередакция ошиблась в своем предположении. Но остается вопрос: насколько быстрее? Иными словами, каким будет расстояние между ними, когда первый коснется воды? Это можно подсчитать. (Я это сделал, но мне хотелось бы избавить вас от обилия формул. Для тех же, кто желает узнать все точно, ход расчетов приведен ниже.) Результат таков: при высоте вышки 5 м и при заданных массах тела полный человек опередит худого примерно на 4 мм. Сразу становится понятно, что такое маленькое расстояние невозможно будет измерить. К тому же прыгуны должны соскочить с вышки абсолютно одновременно и строго в горизонтальном направлении. Кроме того, если один из них во время полета хотя бы немного повернется или не оттянет носки, то все расчеты пойдут насмарку. Вот почему я посоветовал редакции отказаться от этого эксперимента.

ВОТ КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЫГУНАМИ

Если тела падают, не испытывая сопротивления, то в этом случае a = g. Отсюда следует v = g · t. Этот результат мы подставим в формулу a = g – kv²/m^1/3 (такой прием допустим, потому что kv²/m^1/3 << g) и дважды проинтегрируем по времени. У нас получится дистанция полета r = 1/2gt² – 1/12kg²t⁴/m^1/3. Поскольку за номинальное время Т преодолевается высота прыжка h = 1/2gT², можно рассчитать пройденную дистанцию для того, кто летит медленнее: r = h – 1/3kh²/m^1/3. Отсюда нетрудно получить разницу в пройденном расстоянии между телом с малой массой m и большой массой М: ∆r = 1/3kh²(1/m^1/3 – 1/M^1/3). Если подставить в это уравнение все приведенные выше числовые показатели и принять, что k ≈ 0,0065 [kg^1/3/m], у нас получится ∆r = 3,7 мм. Это приблизительный результат, так как невозможно точно рассчитать коэффициент сопротивления, а следовательно, и k для человеческого тела при его различной ориентации.

Смело идти туда, где еще никто не бывал.

Цитата из «Звездного пути»

Полет к центру Земли

Представьте себе, что мы выкопали туннель до самого центра Земли. Если прыгнуть в него, то сколько времени понадобится, чтобы долететь в свободном падении до конечной точки?

Мне было около десяти лет, когда я впервые услышал этот вопрос от своего отца. Он уже тогда сильно заинтересовал меня, и с тех пор я думал о нем всю жизнь. Дыра до самого ядра Земли! Колоссальная работа, но ее вполне можно себе представить, а в принципе и выполнить.

Далеко ли до центра Земли? Отец знал ответ на этот вопрос: 6400 км. (Если точнее, то радиус Земли на экваторе составляет 6378 км, а на полюсах только 6357 км, так как Земля благодаря вращению немного сплюснута. Однако эти нюансы не играют существенной роли в решении нашей проблемы.) Но вот ответить на вопрос, сколько времени понадобится на свободный полет до центра Земли, он в то время не смог. Ясно было одно: 6400 км – это очень-очень много. Мы прикинули, и у нас получилось, что если мы отправимся в путь на нашем новеньком «жуке» и будем ехать по автобану со скоростью 100 км/ч, не делая остановок, то нам потребуется 64 ч, то есть почти три дня и три ночи. Я и сейчас помню, как меня впечатлили тогда размеры нашей планеты.

Но ведь речь идет о свободном полете, который проходит с постоянным ускорением! Какой будет скорость в этом случае? Больше 100 км/ч? Вообще-то да, потому что если падать достаточно долго, то можно в принципе достичь любой скорости, разве не так? С моим уровнем знаний и возможностями получения информации я в то время не смог узнать ничего, кроме этого.

Все изменилось, когда мы в старших классах гимназии начали проходить тему свободного падения. Наш учитель физики Герберт Хенкель по кличке Эйлер (в честь великого математика Эйлера) был мастером своего дела и действительно отлично разбирался в математике. Его любили еще и за чувство юмора. Итак, что такое свободное падение? Вообразим себя круглыми дураками (это совсем нетрудно). Какое расстояние я смогу преодолеть в свободном падении за определенное время t? Если бы я летел с постоянной скоростью v, то пройденное расстояние s было бы прямо пропорционально времени: s = v · t. Но в свободном падении скорость постоянно растет. На тело действует ускорение Земли g₀ = 9,8 м/с², или 1g. От этого моя скорость линейно возрастает: v = g₀t. Если начать движение из состояния покоя с постоянным ускорением, то, измерив время t, можно вычислить среднюю скорость v_ср = 1/2g₀t и пройденный путь s = v_ср · t = 1/2g₀t². Так я получил ответ на вопрос, сколько времени понадобится, чтобы долететь в свободном падении до центра Земли. Если s = 6400 км, то время полета составит t =√ 2 · 6400 км / 9,8 м/с² = 1143 с, то есть 19 мин и 3 с. Моя скорость в конечной точке составит v = = gt = 9,8 м/с² · 1143 с = 11,2 км/с, то есть целых 40 300 км/ч!

ПРИВЕТ АНТИПОДАМ

Но если я долечу до центра Земли с такой скоростью, то от меня мало что останется. Делу можно помочь, если прокопать туннель до противоположной стороны Земли. В этом случае я буду постоянно ускоряться, пока не достигну центра Земли, а после этого полечу дальше с таким же постоянным замедлением и через 19 мин и 3 с остановлюсь точно на противоположной стороне. Это произойдет примерно в той точке Тихого океана к юго-востоку от Новой Зеландии, где расположены острова Антиподов.

Это название выбрано не случайно. Слово «антипод» происходит из греческого языка, его можно перевести как «ногами в другую сторону». Уже древние греки знали, что Земля круглая. А если на противоположной стороне Земли живут люди, значит, с нашей точки зрения, они должны ходить вверх ногами. Поскольку это невозможно себе представить, в античном мире никто не верил в антиподов. Но как бы то ни было, если я ничего не предприму, то полечу обратно к центру Земли и в конце концов вернусь к месту старта. В общей сложности это будет 4 раза по 1143 с, то есть весь путь займет примерно час с четвертью.

ПРИЗОВЕМ НА ПОМОЩЬ НЬЮТОНА

Уже тогда мне было понятно, что этот ответ неточен, потому что сила притяжения Земли, а следовательно, и ускорение меняются по мере приближения к ее центру. Но каким образом? На уроках физики я узнал, что и старика Ньютона (1643–1727) интересовал этот вопрос. Он пришел к выводу, что это ускорение линейно убывает по мере того, как сокращается расстояние r до центра Земли. Это логично, потому что в центре Земли, где вся масса планеты симметрично распределена вокруг меня, я не буду ощущать никакой силы притяжения.

Как это скажется на времени свободного падения? Простой расчет, приведенный выше, оказывается бесполезным. Здесь скорее подойдет аналогия с пружиной, сила которой линейно изменяется по мере растяжения. Другими словами, скорость моего тела в свободном падении до острова Антиподов и обратно будет колебаться по синусоиде, как у гармонического маятника, причем одно полное колебание составит 5070 с. Полет от земной поверхности до центра Земли займет лишь 1/4 этого времени и составит 21 мин и 7 с. Это всего на 2 мин дольше, чем приведенное выше простое вычисление с постоянным ускорением, и это логично, потому что бо́льшая часть времени, пока тело еще летит медленно, приходится на внешнюю область Земли, где ускорение, вызванное гравитацией, почти постоянно. А вот скорость в центре Земли будет составлять 28 500 км/ч.

ЕЩЕ РЕАЛИСТИЧНЕЕ: С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА

Против такого расчета можно возразить: на самом деле тела падают не с ускорением свободного падения, потому что их затормаживает сопротивление воздуха. Если мы предположим, что по всей длине туннеля давление воздуха составляет 1 бар, то в соответствии с законами физики тело очень быстро достигнет предельной скорости. Это значит, что сила притяжения Земли будет компенсироваться сопротивлением воздуха, и дальнейшее ускорение прекратится. Для предмета, имеющего форму человеческого тела, и для данной плотности воздуха эта скорость составит около 65 км/ч. При такой скорости понадобится 1 день и 15 ч, чтобы достичь центра Земли. На самом же деле, как уже было сказано, сила гравитации убывает при приближении к центру Земли. Если принять это во внимание (что весьма сложно), время полета составит 25,9 ч, то есть примерно 1 день и 2 ч.

Но и этот результат неверен, потому что плотность воздуха меняется в зависимости от высоты воздушного столба. И вот здесь начинаются настоящие сложности. При постоянной температуре 25°С давление воздуха теоретически может составить 10¹⁵⁷ бар (это единица со 157 нулями!). Весь смысл эксперимента теряется, потому что при давлении в несколько сотен бар воздух превращается в жидкость, а затем и в твердое тело. Это произойдет примерно на глубине 50 км. Дальше лететь будет уже невозможно. Чтобы продолжить путешествие к центру Земли, нужно будет удалить из туннеля весь воздух. Но это тоже нереально, так как никакой материал стенок туннеля не выдержит давления в 3,6 миллиона бар в центре Земли, и произойдет его коллапс.