Kitabı oku: «La matemática en la escuela»

El hombre es un animal didáctico

La teoría de las situaciones y los avances de la instrucción pública

Hoy en día, resulta cada vez más difícil no cuestionarse acerca del futuro de las relaciones entre la matemática y nuestras sociedades. ¿Qué relaciones son posibles en la actualidad? ¿Bajo qué condiciones?

En efecto, aparece de manera insistente una forma de negación, e incluso de rechazo de la matemática viva, la única a la que aquí me referiré (dejaré de lado, pues, la matemática cristalizada, de la que podemos decir, con fundamento, que no deja de crecer y prosperar).

El ejemplo más reciente –y uno de los más sobrecogedores– de este rechazo (Le Monde, 20 de junio de 2000) lo constituye, sin duda, el de esos alumnos economistas de la Escuela Normal Superior (ENS) de la calle de Ulm, que peticionaron en contra de la enseñanza que reciben, en parte, a raíz del uso que se hace de la matemática en esa institución. Escriben:

El uso instrumental de la matemática parece necesario. Pero recurrir a la formalización matemática, cuando esta ya no es un instrumento sino que se transforma en un fin en sí mismo, conduce a una auténtica esquizofrenia con respecto al mundo real. Lo que sí permite la formalización es construir ejercicios fácilmente, “poner en marcha” algunos modelos donde lo importante consiste en encontrar el resultado “correcto” (es decir, el resultado lógico en relación con las hipótesis de partida), para poder rendir un buen examen. Esto facilita la evaluación y la selección, so pretexto de cientificidad, pero nunca responde a las preguntas que nos formulamos sobre los debates económicos contemporáneos.

De este modo, detrás de una denuncia convencional y recurrente –que se expresa a partir de los primeros usos históricos de las matemáticas en materia económica, y adquiere su rostro casi definitivo a principios del siglo xix–, encontramos la fantasía igual de recurrente, y en este caso resurgente, relativa a los peligros a los cuales expondría un uso “inmoderado” de la matemática, fantasía a la que volveré a aludir en un momento.

A este recordatorio de ciertas formas de rechazo que renacen una y otra vez agrego que, más allá de estas formas explícitas de resistencia, existe una forma implícita pero esencial de “confinamiento” de la matemática, en la cultura y en las prácticas sociales: resistencia silenciosa, resistencia de la mayoría silenciosa, que consiste en... ignorar la matemática en los dos sentidos del término. La primera manera de ignorar –realmente no saber nada sobre esta disciplina– facilita la segunda, ya que sólo permite una relación formal y vaga con la matemática, eco de una reverencia cultural, más o menos forzada, para con ella.

Para explicitar la afirmación anterior, tomaré un único ejemplo: a pesar de que todos algún día han estudiado y, en el caso de varios, han dominado las ecuaciones de primer grado, ¿cuánta gente “culta” sabe resolver por sí misma, sin recurrir a alguna “caja negra”, o más aún –para acercarnos a la verdad de la cuestión– cuántas personas aceptarían saber resolver por sí mismas un problema como “Determine el precio sin IVA conociendo el precio con IVA”?

Ya estoy oyendo las protestas: “¡Y para qué querría usted que la gente resolviera semejantes problemas!”. Lo voy a responder en un rato. Detrás de esa polémica que imagino, en realidad, oigo más que nada una reticencia muy antigua, venida de la noche de los tiempos. Lo que conviene es estar en contacto con determinados saberes, como es el caso del saber matemático, cultivarlos durante un tiempo, no dejar de admirarlos, reverenciarlos para siempre... En el siglo xix, Saint-Marc Girardin (1801-1873), crítico literario, profesor de la Sorbona, miembro de la Academia Francesa, decía con esta crudeza: “No le pido a un hombre de bien que sepa latín; me basta con que lo haya olvidado”. Porque lo inconveniente, sospechoso, peligroso quizá es pretender utilizar esos saberes, querer darles algún uso “laico”, quiero decir “profano”, quiero decir “amateur” –las “corporaciones” de ayer y los “profesionales” de hoy son los herederos de los doctos de siempre. (Este discurso, dicho sea de paso, me ha parecido también oírlo a propósito de la didáctica: ¿Enseñar didáctica de la matemática a futuros profesores de matemática? ¡Cómo se le ocurre! ¡Nuestra ciencia no está lo suficientemente madura para eso, y la profesión aún no está preparada para ello!)

El discurso de negación frente a uno u otro empleo de la matemática, o de cualquier otro saber, fuera del ámbito sabio, siempre conlleva más o menos los mismos ingredientes. En primer lugar, se comprueba que la matemática implementada es elemental, e incluso rudimentaria, cuando no indigente: en el mejor de los casos, “no aporta nada nuevo”. Luego, se comprueba que la selección de las herramientas matemáticas resulta un tanto anticuada: se explica que podría mejorarse y que algunos errores –elementales, por supuesto– hasta deberían rectificarse. (Estos últimos se pueden citar, y aun esbozarse las correcciones del caso: todo eso produce gran efecto.) Por último, habiendo tomado nota de lo anterior, se declara, de manera modesta, pero lúcida y rigurosa, que siendo matemático uno no podría de ningún modo garantizar el valor, ni siquiera la validez, del empleo de la matemática en un campo que le es ajeno a uno mismo, ya que es ajeno a la matemática. El matemático sólo puede advertir contra el peligro de abusar de la matemática, sin ser capaz de decir si, en el caso examinado, hay o no abuso...

Semejante actitud conduce, fuera del mundo de los “doctos” –de los profesionales y los especialistas–, a interpretar los saberes como obras puras, obras sin objeto, sin razones de ser, como órganos sin funciones cuya estructura, arquitectura y “riqueza interior” agotarían el sentido: como monumentos que uno se contenta con visitar.

Un paso más y ya estamos en lo que denomino el fetichismo de los saberes. Dentro de esa problemática hoy en día vociferante, por no decir realmente dominante, no sólo un saber –matemático u otro– debe ser apreciado por sí mismo, sino que, además, cualquier otro interés para con él aparece como inadecuado, sospechoso, ¡envilecedor! (A tal punto que conocí a una profesora de inglés que, habiendo caído en la trampa del actual discurso de los “defensores de los saberes” frente a los “detentores de la pedagogía”, reconocía que esperaba que su enseñanza no tuviera por objeto permitir que sus alumnos –¡horribile dictu!– “se comunicaran” en inglés.)

Vemos pues que, después de los propios “sabios”, son los profesores, como “transmisores del saber” –sobre todo en la enseñanza secundaria y superior–, quienes pueden verse afectados por el fetichismo de los saberes, por la enfermedad fetichista. Pero esa enfermedad es contagiosa: de los profesores, pasa sin dificultad a los alumnos, muchos de los cuales aceptan con una asombrosa docilidad la patología como la normalidad de la relación a los saberes (en plural), como la única manera posible de tener trato con ellos en este mundo sublunar. Se tiende así a trabar un pacto fetichista, fundado en lo que podría llamarse el enfoque monumental de los saberes.

Ese pacto, intentaré demostrarlo, tiene una inercia y una estabilidad sorprendentes. Pero primero quisiera hacer oír otra versión de las cosas, que se opone a la orientación fetichista. Los saberes son obras. Una obra siempre tiene una o varias razones de ser, que motivaron su creación y que motivan su empleo, al menos en ciertas instituciones. Una obra que ya no tiene razón de ser es una obra muerta, o moribunda. Esas razones de ser pueden formularse en los siguientes términos: existen una o varias preguntas Q a las cuales determinado saber S permite brindar una respuesta R; S(Q) = R. Una respuesta es una praxeología, una organización praxeológica, o sea, en pocas palabras, una manera razonada, justificada de actuar o de comprender. (Añado aquí que un saber es una organización praxeológica, y que, inversamente, no sería incongruente llamar saber a toda praxeología posible. Sin embargo, reservo aquí la palabra saber a las praxeologías consideradas como productoras de praxeologías.)

Los saberes permiten, pues, responder a algunas preguntas. ¿Cómo hacer esto? ¿Por qué tenemos aquello? ¿Qué podría producirse si…? De una manera general, los saberes aportan medios de actuar y de comprender: para quien entiende sus razones de ser, los saberes son una fuente de inteligencia de las situaciones del mundo y de potencia en la acción dentro de esas situaciones. Para resumir lo dicho, y sin desconocer el carácter eminentemente relativo y variable de esta formulación, diría entonces que los saberes, todos los saberes, tienen como razón de ser última el hacernos la vida buena –no siempre a la misma gente ni en los mismos contextos institucionales, sin duda, y cada uno en relación con cuestiones específicas–.

Me parece que esta visión de las cosas debería ser compartida. Pero el punto de vista fetichista ha ganado sólidas posiciones en la cultura actual: la idea de que los saberes tienen por objeto hacernos la vida buena –lisa y llanamente, por así decirlo– puede parecer, pues, extrañamente frágil, e incluso ligero, frente al formidable espíritu de seriedad del punto de vista fetichista. Entonces, daré un ejemplo de vida buena que abordaremos teniendo en mente esta restricción. Si 3 cosas cuestan 13,80 francos, se dirá que 6 cosas, es decir, dos veces más cosas, cuestan dos veces más, o sea, 2 × 13,80 francos (o 13,80 francos × 2): ¡he aquí la vida buena! Pero esa vida deja de ser buena –en cierto estado de infradifusión del saber matemático– si, en lugar de querer conocer el precio de 6 cosas, o de 9 cosas, o de 12 cosas, uno quisiera conocer el precio de 7 cosas, o de 11, o de 217... A menos que uno disponga de ese saber que es, digamos, la teoría de las fracciones. En efecto, esta última, a costa de una audaz pero rigurosa metáfora, permite restablecer las condiciones de la vida buena: entonces, si 3 cosas cuestan 13,80 francos, 11 cosas costarán 11/3 veces más, o sea 13,80 francos x 11/3 : de este modo, estamos tratando la “fracción de enteros” a la manera de un número entero. Para salir adelante con todo eso, también tengo que saber calcular, desde luego, la expresión obtenida, saber aquí, por ejemplo, que 13,80 francos ×11/3= (13,80 francos ×11)÷ 3. Si a eso agrego una calculadora, la vida se vuelve deliciosa: al ingresar la expresión del precio obtenida, (13,80×11)÷ 3, aparece directamente el precio por pagar: 50,60 francos.

En este ejemplo se halla el paradigma de que los saberes aportan algo a la vida buena. Y me parece que no es sino bajo la influencia de la ideología monumentalista que podemos ser llevados a considerar como inadecuada semejante motivación –en el fondo tan banal, tan prosaica–, de cara a la gran cuestión de la producción y de la difusión de los saberes en nuestras sociedades. A esa causa, empero, me referiré en lo que sigue bajo el nombre de principio de la vida buena (PVB).

Debe resultar claro, supongo, que la difusión monumental de los saberes en la sociedad –no sólo a través de la Escuela– no es la que está en mayor armonía con el PVB. Su fuerza de imposición tan antigua y su aparente fortalecimiento actual están, sin lugar a duda, mucho mejor correlacionados con esa idea de que los saberes nos hacen la vida buena, desde luego, pero bajo una forma esencialmente cristalizada. Por consiguiente, el abordaje monumental, antiutilitario, de los saberes y las obras, entendido como un mero precio que pagar por las generaciones en ascenso, a fin de beneficiarse de la buena vida, sería una modalidad idónea de presentación de los saberes a los profanos y de exposición de los profanos a los saberes.

En realidad, incluso en esa visión oligárquica –apenas republicana y, en cualquier caso, muy poco democrática– del funcionamiento social, el acceso monumental a las obras (y más aún, por supuesto, el acceso fetichista, que es la forma degenerativa del primero) está muy lejos de cumplir con su cometido. En efecto, el problema es que este encuentro con los saberes (y de manera más general con las obras que “hacen” la sociedad), en el caso de la matemática en la secundaria, se ha vuelto progresivamente incapaz de hacer aparecer, ni siquiera de forma puramente narrativa, discursiva, y mucho menos, claro está, en acto, las razones de ser que motivan esas obras.

Algunos ejemplos. ¿Por qué despierta semejante interés el infatigable triángulo en los primeros años de la secundaria? Respuesta: exactamente por la misma razón que más tarde nos llevará, en el espacio, a interesarnos por el tetraedro. Pues con el primero uno “abarca” el plano y con el segundo uno abarca el espacio en su totalidad. Porque, por ejemplo, en una proyección paralela sobre un plano –digo, en una perspectiva caballera–, la perspectiva de todo punto quedará determinada a partir del momento en que se eligen las perspectivas de los 4 vértices de un tetraedro cualquiera (por lo demás, esa elección se puede hacer de manera arbitraria: ese es el teorema de Polke-Schwarz).

Asimismo, ¿por qué se interesa uno por los ángulos? La respuesta genérica es, desde luego, la misma que corresponde a las fracciones: ¡para hacernos la vida buena! Buena al menos para aquellos que no proceden sistemáticamente a eludir determinado tipo de tareas. Pues la respuesta específica varía de un contenido de saber al otro. Así, tratándose de ángulos, una razón de ser esencial –la única, acaso, para los principiantes–, consiste en que permiten, a través de la medición de una o varias distancias, calcular distancias inaccesibles para las mediciones. Auguste Comte hacía de ello un rasgo esencial, distintivo, paradigmático del aporte de la matemática a la cultura. Escribía:

Debemos mirar como suficientemente constatada la imposibilidad de determinar, midiéndolas directamente, la mayoría de las magnitudes que deseamos conocer. Es ese hecho general lo que requiere la formación de la ciencia matemática... Porque al renunciar, en casi todos los casos, a la medición inmediata de las magnitudes, la mente humana ha debido intentar determinarlas indirectamente, y es así como ha sido llevada a crear las matemáticas.

Señalaremos aquí que, en un nivel más elevado, se hará evidente una segunda razón de ser de los ángulos, estrechamente ligada con la primera: los ángulos nos hacen la vida buena cada vez que, en la perspectiva indicada, debemos entregarnos a lo que antaño se denominaba una “resolución de triángulo”. En ese caso, los ángulos permiten calcular con mayor comodidad, lo cual se verifica cada vez que se pretende calcular sólo en términos de distancia.

En este régimen, la difusión de los saberes matemáticos por parte de la Escuela pone a las jóvenes generaciones en contacto con obras no muertas o moribundas –rectifico aquí una alusión anterior–, ¡sino con las cuales ya no sabemos si están o no vivas! En contraste, admitiré ahora como una obviedad que el encuentro con un saber a través de una situación adidáctica, o, como diré, el acceso adidáctico a un saber, permite, por definición, acceder a una o varias razones de ser del saber en juego –razón o razones de ser que luego convendrá institucionalizar. Si se ha descubierto, así, que las expresiones algebraicas expresan –una expresión expresa: ¡aquí tenemos el sentido de las palabras!– expresan, pues, un cálculo o, como se diría con mayor naturalidad hoy en día, expresan un programa de cálculo, entonces se vuelve más improbable que uno dude mucho si x² = 2x o no, o más bien, como se escribía antaño, conservando un poco más de tiempo el signo que certifica el papel de las “expresiones con x”, si x² ≡ 2x o no, es decir si x² y 2x son o no el mismo programa de cálculo.

Sin embargo, cabe constatar que al acceso adidáctico a las obras se oponen resistencias multiformes, que sin duda varían según se las observe en la escuela primaria o secundaria, por ejemplo. No obstante, creo que la resistencia a la adidacticidad tiene fuertes razones de ser, que seguramente haya que analizar para esperar derribar esa resistencia a escala local. Para ello, en primer lugar hay que explicitar –al menos es lo que haré aquí– a qué se opone, o parece oponerse, el enfoque adidáctico, a saber, aquello que no dudaré en designar, antropológicamente, como el modo básico de nuestro encuentro con las obras de una sociedad; a esto denominaré acceso narrativo, más completamente, narrativo-mimético de las obras. Me explico. Lo esencial de las obras, grandes o pequeñas, desde la simple obrita que se descubre en familia hasta la obra fundadora de una sociedad que parece serle consubstancial, lo conocemos, en un principio, no “en situación”, sino totalmente in absentia, a través de un relato que nos hacen, a través de la intermediación de una narración –ocasional, que las circunstancias inspiran, o casi sagrada, que la tradición ha vertido en una forma santificada–. Así pues, durante siglos, las generaciones de jóvenes griegos se instruyeron en el arte de las armas o la navegación, y en las virtudes que las hacían posibles, por medio de la narración que de ellas se hacía en el transcurso de las lecturas públicas de esa auténtica enciclopedia de la civilización helénica que formaban la Ilíada y la Odisea.

Salvo alguna que otra excepción, así hemos oído hablar del coraje, el amor, la amistad, la ambición, la guerra, la humillación, la esperanza, la fortaleza, mucho antes de haber tenido la ocasión de sentir en nuestra propia piel la mordedura, exquisita a veces, impresionante siempre, de esas creaciones culturales. Lo mismo sucede, por lo general, pero desde luego no siempre, tratándose del teatro o de la matemática, de los idiomas extranjeros o de la navegación de recreo, de la química o de... ¡la didáctica! Tenemos así un vínculo con la mayoría de las obras de la sociedad –o más bien: comenzamos por tener un vínculo con la mayor parte de esas obras– que se funda, de manera minimalista aunque pueda resultar ensordecedora, sobre una pura evocación, sobre un encuentro ficticio –del carácter de la ficción–, por más que el relato de esas obras ausentes se vuelva invocación.