Kitabı oku: «Introducció a l'enginyeria dels reactors químics», sayfa 6

Àngel Berna Prats, Agustín Escardino Benlloch

Yazı tipi:

1) El temps necessari per a assolir un grau de conversió del 50 %.

2) Per aquest grau de conversió, la quantitat initial de cada reactiu per càrrega i el volum útil del reactor necessaris, si es vol obtenir una producció de 50 kg/h, utilitzant un sol reactor i sabent que la càrrega, descàrrega i posada al punt, entre cada dues operations consecutives, costa 30 min. Es partirà de la mescla initial indicada en el primer paràgraf.

Dades i Notes. Per al sistema en qüestió, la velocitat de reacció és de segon ordre respecte a l'acid acètic, és a dir, r (kmol/m³ s) = k c₁², on k = 0.29 10^-3 m³/kmol de A₁ s. Les propietats físiques dels components del sistema es mostren en la taula P3.2. Encara que la densitat de la mescla reactiva varia amb la conversió, l’excés de butanol utilitzat redueix la magnitud del canvi. Per tant, en primera aproximació, la densitat mitjana del conjunt pot considerar-se constant al llarg de la reacció i igual a 750 kg/m³.

TAULA P3.2

Propietats físiques dels components del sistema

3. Es vol hidrolitzar anhídrid acètic en un RCTA isoterm en què inicialment s’introdueixen 10 L d’una solució aquosa que conté 0.5 10^-4 kmol/m³ d’anhídrid acètic. En una operació típica de posada en marxa, es connecta l’agitador, una vegada s’ha introduït la càrrega inicial, i s’escalfa el reactor fins que la mescla aconsegueix la temperatura de reacció: 313 K. A continuació, comença a introduir-se en el reactor un corrent consistent en una dissolució aquosa d’anhídrid acètic, la concentració de la qual és de 3 10^-4 kmol d’anhídrid/m³, amb un cabal volumètric de 0.12 m³/h, mentre que es drena constantment un corrent de producte d’igual cabal volumètric. Si la reacció és irreversible i de primer ordre respecte a l’anhídrid acètic, calculeu la concentració d’aquest component i d’àcid acètic en la dissolució que ix del reactor al cap d’un temps de reacció de 3 min i al cap d’un temps de reacció infinit. Compareu aquests valors amb la situació corresponent a l’estat estacionari. Dades i Notes. Es pot admetre que la densitat de la mescla reactiva roman constant durant tota la reacció. A la temperatura de reacció, la constant de velocitat val k = 6.33 10^-3 s^-1. Suposeu que la reacció està pràcticament conge-lada fins al moment en què comença a introduir-se la dissolució d’anhídrid acètic en el reactor.

4. La descomposició tèrmica del n-nonà, a 1000 K i 4.1 atm, té lloc, en fase ga- sosa, d’acord amb el següent esquema de reacció: C₉H₂₀ → 4 Productes (34 % C₂H₄, 19 % CH₄, 16 % H₂, 16 % C₃H₈, etc.). És a dir, per cada volum de nonà descompost es formen quatre volums d’una mescla gasosa de la composició indicada. La reacció és irreversible i de primer ordre. La constant de velocitat en les condicions assenyalades val 3.4 s^-1. Si la reacció es vol desenvolupar en un RFP isoterm d’1 cm² de secció, que opera a 1000 K i 4.1 atm abs., i aquest reactor s’alimenta amb un cabal de 400 L/h del reactiu gasós pur, mesurat a les condicions d’operació del reactor, quina serà la longitud necessària de reactor per a aconseguir una conversió del 90 %? Pot menysprear-se la pèrdua de pressió al llarg del reactor.

5. L’etilè és un dels principals compostos químics per volum de producció (darrerament, als EUA era el número 4 en la llista absoluta i el primer en la dels compostos orgànics). El 1990 es van produir 16330 milions de kg, i el seu preu era de 0.53 $/kg. Un 65 % de l’etilè produït es va dedicar a la fabricació de plàstics, un 25 % a l’obtenció d’òxid d’etilè i etilenglicol, un 5 % a la fabricació de fibres i el 5 % restant per a dissolvents. Calculeu el volum d’un RFP necessari per a produir 136 milions de kg/any, per craqueig d’un corrent d’età pur. La reacció és irreversible i elemental. Es vol aconseguir una conversió a l’eixida del 80 %, operant el reactor de manera isoterma a 1100 K i a una pressió de 6 atm. L’esquema de reacció és C₂H₆ → C₂H₄ + H₂. Si el reactor es construirà amb un banc de tubs del tipus 80 (diàmetre intern 2" i longitud 12 m), que s’instal·laran en paral·lel, quants tubs es necessitaran? Si per a arredonir es decideix posar 100 tubs de les característiques indicades, trobeu el perfil conversió-posició al llarg del reactor. Quina és la conversió aconseguida a l’eixida del reactor? Quina serà la producció anual en aquestes condicions? Dades i Notes. Constant de la velocitat de la reacció a 1000 K: k = 0.072 s^-1. Energia d’activació: 82 kcal/mol. Pot suposar-se menyspreable la caiguda de pressió en el reactor.

6. Una reacció elemental, irreversible en fase gas de la forma 2 A₁ → A₂, es desenvolupa en un reactor tubular (RFP) isoterm a unes condicions de pressió i temperatura donades. Quan l’aliment consisteix en una mescla equimolecular de A₁ i un diluent inert, s’aconsegueix un grau de conversió del 80 %. Si el cabal molar del component A₁ es reduïra a la meitat, mantenint constant el de l’inert i les condicions de pressió i temperatura, quin seria el grau de conversió a l’eixida del reactor?

7. Un producte alimentari es cuina de forma discontínua. Durant el procés es produeix la desaparició per reacció química (primer ordre) de la vitamina C, la qual cosa es vol evitar o almenys reduir. El procediment habitual té lloc a 121 ºC i dura 20 min.

a) Quina fracció de vitamina C es destrueix en el procés?

b) Es proposa augmentar la temperatura d’operació a 130 ºC per a escurçar el temps de processament i reduir així les pèrdues de vitamina C. Quin és el nou temps de cocció i quin l’efecte sobre la destrucció de vitamina C?

Dades i Notes. Les constants cinètiques del procés de cuinat i de la destrucció de vitamina C són 3.20 10^-3 i 1.57 10^-4 s^-1, respectivament, a 121 ºC. Les energies d’activació del procés de cuinat i de la destrucció de vitamina C són 142 i 58 kJ/mol, respectivament.

8. En un RCTA s’està desenvolupant una reacció de primer ordre A₁ → A₂. S’ha de procedir a la revisió quinquennal, per la qual cosa que procedim a parar-lo. El procediment utilitzat per a la parada consisteix a interrompre l’aliment, mantenint el mateix cabal d’eixida, és a dir, a partir d’aquest moment Q_v manté el seu valor, però Q_vo = 0. Demostreu que el model del reactor és ara equivalent al d’un RDTA i que la concentració de A ve donada per on t és el temps a partir del moment en què s’inicia la parada i τ el temps espacial del reactor en el funcionament estacionari. Una estratègia alternativa consisteix a elevar el cabal d’eixida un 10 % sobre el valor estacionari, de manera que Q_v = 1.1 Q_vo, mentre que el cabal d’entrada s’ajusta al volum existent en cada instant: Exploreu les conseqüencies d’aquesta estratègia per al cas anterior. Pot considerar-se el sistema de densitat constant i el procés isoterm.

9. La reacció irreversible en fase gas A → 3 Pés d’ordre zero i es desenvoluparà isotèrmicament. Calculeu el temps de reacció necessari per a aconseguir una conversió del 80 % en:

a) Un RDTA de volum constant.

b) Un RDTA de pressió constant.

En aquests dos casos la concentració initial de A és de 2 mol/L, i el sistema conté un 40 % d’inerts.

Calculeu, així mateix, el volum de reactor, el temps i la velocitat espacials, per a aconseguir aquesta conversió en:

c) Un RCTA

d) Un RFP

En tots dos casos s’alimenta un cabal de 2 L/min d’un corrent de la mateixa composició que la mescla reactiva initial del RDTA.

Dades i Notes. La constant de velocitat a la temperatura d’operació val 0.1 mol/L min i l’energia d’activació és de 40 kJ/kmol.

10. Considerem que la reacció irreversible en fase gas 2 A → B + C + 3 D és de segon ordre en A. La mescla reactiva initial està formada per un 50 % de A i un 50 % d’inert. Si la reacció es desenvolupa mantenint constant la pressió i la temperatura, deduïu una expressió que mostre la variació del volum amb la conversió de A. Escriviu una expressió per a la concentració de cada espècie en funció del grau de conversió.

11. La cinètica de les reactions en fase gas sol expressar-se en funció de les pressions parcials, així, per exemple, la reacció A → B + 2 C és de primer ordre, amb r = k P_A, k = 50 mol/s m³ bar. Es vol desenvolupar aquesta reacció en un RFP, en el qual s’alimentarà A pur amb un cabal de 10 mol/s. El reactor operarà a 20 bar. Calculeu el volum de reacció necessari per a aconseguir un 50 % de conversió.

12. La reacció irreversible en fase gas 2 A → B + C és de segon ordre, amb r = k P_A², k = 6.7 mol/s m³ bar². Es vol desenvolupar aquesta reacció en un RFP de secció uniforme, a què s’alimentarà A pur amb un cabal d’1.2 mol/s. La pressió del reactor serà d’1.4 bar a l’entrada, i disminuirà linealment amb la longitud fins a 1 bar a Feixida. Calculeu el volum de reacció necessari per a aconseguir un 90 % de conversió.

13. Es vol utilitzar un RCTA de 4 L per a desenvolupar la reacció elemental, irreversible, en fase líquida: A + B → R, amb k = 10¹⁴ exp(-100/RT), on l’energia d’activació ve en kJ/mol i k en L/mol s. La concentració de A i B en l’aliment és de 3 mol/L, i el seu cabal volumètric és 1 L/s.

a) Calculeu la temperatura d’operació que es requereix per a una conversió del 60 %.

b) Determineu el flux de calor que s’ha d’aportar al reactor per a mantenir el sistema en l’estat estacionari si la temperatura de l’aliment és de 290 K.

Dades i Notes. ΔH = 60 kJ/mol. c_p = 4.2 kJ/L K.

14. L’espècie A en dissolució amb una concentració de 2 mol/L es converteix en R en un RDTA isoterm, segons una cinètica de primer ordre. En cada cicle d’operació s’aconsegueix la conversió del 95 %. Aquest cicle d’operació dura 4 h, distribuïdes en 3 h de l’etapa de reacció i 1 h de les etapes de càrrega, descàrrega i neteja. El mercat per al producte R ha crescut, per la qual cosa es vol duplicar la capacitat de producció.

a) Quina és la producció original (mol de R/h m³ de reactor) que es vol duplicar?

b) Funciona el reactor en les condicions de màxima producció? En el cas que la resposta siga negativa, quina seria la producció màxima?

c) Quin és el temps de reacció que condueix al màxim benefici?

La continuació d’aquest problema es troba en el 4.8.

Dades i Notes. El cost del reactiu A és 0.30 €/mol, el valor del producte R és de 0.90 €/mol. El cost del reactor és 120 €/ h m³ de reactor. La temperatura d’operació és 363 K.

15. La reacció de descomposició de l’acetona en fase gas és CH₃COCH₃ → CH₂CO + CH₄. Aquesta reacció es desenvoluparà en un RFP encamisat. Per la camisa del reactor circula vapor d’aigua a una temperatura prou elevada perquè el funcionament del reactor siga isoterm. El corrent aliment, que consta d’acetona pura, s’introdueix amb un cabal de 8000 kg/h a 1035 K i 1.6 atm. La conversió a l’eixida s’ha fixat en el 20 %, a causa del caràcter inestable del cetè. Determineu el volum (longitud) de reactor necessari per a aconseguir aquest grau de conversió. Determineu, així mateix, el perfil de temperatura del gas calefactor al llarg del reactor (almenys quatre punts dins de l’interval d’interès) necessari per a mantenir constant la temperatura de la mescla reactiva. Justifiqueu la variació trobada. Dades i Notes. La reacció és de primer ordre i la constant de velocitat ve donada per k = exp(34.33 - 34222/T) s^-1. La calor de reacció a 1035 K és 78758 J/mol i les calors específiques dels components (J/mol K) són: 166.9 (acetona), 84.7 (cetè) i 73.0 (metà). El RFP està format, en realitat, per un banc de 1000 tubs (1.000 reactors RFP iguals funcionant en paral·lel) d’1" nominal (diàmetre = 0.0266 m). Es pot considerar que el sistema funciona a P constant. El coeficient de transferència de calor per a aquest sistema val 110 W/m² K.

16. L’òxid d’etilè és un dels principals compostos químics per volum de producció. El 1997, als EUA, se’n van produir uns 3 milions de tones, amb un preu de 1.3 $/kg. Un 60 % de l'òxid d’etilè produït es va dedicar a la fabricació d’etilenglicol.

Calculeu el volum d’un RFP necessari per a produir òxid d’etilè a partir de l’oxidació catalítica d’etilè amb aire. L’esquema de reacció és

Es vol assolir un 60 % de conversió. Els reactius s’alimenten en la proporció estequiomètrica, el cabal d’alimentació de l’etilè és de 0.14 kmol/s, i la pressió de l’aliment és 10 atm. El reactor conté el catalitzador com un rebliment i opera de forma isoterma a 260 °C.

Si el reactor es constraint amb 10 bancs de tubs del tipus 40 (diàmetre intern 1.5"), amb 100 tubs per banc, quina serà la longitud d’aquests tubs?

Pot suposar-se en primera aproximació menyspreable la caiguda de pressió en el reactor. Repetiu el càlcul considerant la pèrdua de pressió en el reactor. Dades i Notes. Es pot aproximar que les propietats de la mescla reactiva són les de l’aire a les mateixes condicions de pressió i temperatura (a 10 atm i 260 °C, ρ = 6.6 kg/m³ i μ = 2.78 10⁵ kg/m s). La densitat aparent de les partícules de catalitzador (diàmetre 0.25”) és de 1922 kg/m³, i la fracció buida del Hit de partícules és 0.45. La cinètica de la reacció ve donada per:

r = k P₁^1/3 P₂^2/3 mol de A₁/g cat. h.

Constant de la velocitat de la reacció a 260°C:

k = 0.0141 mol de A₁/atm g cat. h.

La solució d’aquest problema es dóna en l’Apèndix II (exemple II.2.4).

17. S’està dissenyant un esterilitzador de flux (continu) que operant a 121 °C per a tractar un cabal de líquid de 1 L/s. La mort de C. botulinum pot considerarse de primer ordre i la constant cinètica a la temperatura d’operació val 0.192 s¹. Determineu el volum d’un RCTA i d’un RFP necessaris per a reduir la concentració d’aquest microorganisme en sis ordres de magnitud. Repetiu el càlcul per a 12 ordres de magnitud.

Lectures d’ampliació

ABU-KHALAF, A. M. (1994): «Mathematical modeling of an experimental reaction system», Chemical Engineering Education, 28 (1), pp. 48-51.

— (1996): «Dynamic and steady-state behavior of a CSTR», Chemical Engineering Education, 30 (2), pp. 132-134.

DICKEY, D. J. (1991): «Succeed at Stirred-Tank-Reactor Design», Chemical Engineering Progress, 87 (12), pp. 22-31.

4. Reactors ideals. Comportament no isoterm

4.1 Introducció

En aquest capítal s’abordarà l'anàlisi i el disseny dels reactors ideals en el comportament no isoterm, la qual cosa implicarà la consideració simultània dels balanços de matèria i energia; no obstant això, en algun cas es podrà simplificar el problema. L’objectiu d’aquest capítal és manejar el model dels distints reactors ideals en diferents situacions. D’aquesta manera, es tractarà de traure conclusions de les implications de triar una forma de treballar.

4.2 RCTA

4.2.1 Equacions de disseny

Les equations de disseny estaran formades per les equations dels balançes, incloent-hi els models cinètics. Balanç de matèria, equations (2.55) i (2.56):

I el balanç d’energia (2.67) i (3.2):

4.2.2 Problemes de disseny

En el cas més senzill es disposa de dues equacions [balanços de matèria (4.1) i d’energia (4.2)], per la qual cosa es podran determinar dues incògnites, coneixent o fixant la resta de variables. El nombre de problemes possibles és molt gran, però es redueix en cada cas a resoldre un sistema de dues equacions. Les situacions més freqüents seran: a) Coneguda l’alimentació al reactor i fixada la grandària, així com el funcionament tèrmic, determinar X i T, és a dir, trobar el punt d’operació del reactor. b) Fixada la conversió desitjada i la temperatura d’operació (T òptima), determinar el temps espacial del reactor i el flux de calor necessaris per a una alimentació donada o una producció determinada. Ambdós casos corresponen a una aplicació directa de les equacions; no obstant això, la primera opció resulta més interessant, per la qual cosa es desenvoluparà en el següent apartat.

Exemple 4.1

Quan en el capítol 3 analitzàvem el comportament isoterm d’un RCTA aplicàvem el balanç de matèria per a calcular el temps espacial (o el volum de reactor) necessari per a obtenir un cert grau de conversió, per exemple. D’altra banda, el balanç d’energia ens permetia avaluar el flux de calor que calia intercanviar. Imaginem la mateixa situació en un RCTA adiabàtic. L’aplicació del balanç de matèria pot ser idèntica, la del d’energia canviarà (no cal avaluar q, ja que és 0); ara pot utilitzar-se per a avaluar la temperatura de l’aliment, si s’ha fixat la d’operació. Suposem que hem dissenyat un RCTA isoterm, i ara volem considerar els canvis necessaris perquè funcione de manera adiabàtica. Si decidim que X i T d’operació són els mateixos que en el cas isoterm, com caldrà que canvie el temps espacial necessari?

Solució:

Serà el mateix. En el balanç de matèria no participa la temperatura de l’aliment. El canvi de conversió està relacionat amb la velocitat de reacció (funció de X i T), i aquesta serà la mateixa.

4.2.2.1 Determinació de X i T

En les equacions (4.1) i (4.2) apareixen ambdues variables, per la qual cosa es disposa d’un sistema de dues equacions amb dues incògnites [f(X, T) = 0 i g(X, T) = 0]. Aquest sistema es pot resoldre de forma numèrica; però, atès que poden haver-hi diverses solucions, es recomana utilitzar algun dels procediments gràfics que es detallen a continuació. La multiplicitat dels estats estacionaris, com es veurà, pot aparèixer únicament en les reaccions exotèrmiques; per tant, en les altres el procediment numèric serà adequat.

• Mètode de Levenspiel

Aquest procediment consisteix a representar les dues equacions en un diagrama X-T. Així:

aquesta equació no s’especifica més perquè depèn de la cinètica de la reacció.

L’equació (4.5) correspon a una línia recta d’ordenada en l’origen, i pendent:

Segons el tipus de reacció, tindrà aspectes diferents. Cal recordar que κ representa una agrupació de paràmetres d’intercanvi de calor, i és positiva. Per això, els signes de l’ordenada en l’origen i el pendent seran tal com es mostra en la taula 4.1.

TAULA 4.1

Signes de l’ordenada en l’origen i el pendent de l’equació del balanç d’energia, equació (4.5)

Es pot demostrar que l’equació (4.4) donaria una evolució com la que es mostra en la figura 4.1. En superposar les figures d’ambdós balanços, la intersecció donarà la solució del problema. Podem trobar-nos amb els casos mostrats en les figures 4.2 i 4.3.

Figura 4.1. a) Balanç de matèria en un RCTA, X(T), b) formes de les corbes de Qg.

Figura 4.2. Mètode de Levenspiel. Reaccions endotèrmiques.

Figura 4.3. Mètode de Levenspiel. Reaccions exotèrmiques.

Com es pot veure en la figura 4.2, en el cas d’una reacció endotèrmica, només hi haurà un punt d’intersecció, per la qual cosa tindrem només un estat estacionari possible. En la figura 4.3 es pot veure que per al cas d’una reacció exotèrmica poden haver-hi un, dos o tres punts d’intersecció; per tant, són possibles entre un i tres estats estacionaris.

Aquesta situació en què apareixen estats estacionaris múltiples és problemàtica, i no sols per decidir en quin d’ells funcionarà el reactor (aquest aspecte el podríem dilucidar mitjançant l’anàlisi de la posada en marxa del reactor), sinó pels problemes d’inestabilitat que porta associats. Quan hi ha tres estats estacionaris, l’intermedi és inestable, per la qual cosa el reactor l’evitarà, però xicotets canvis en algunes de les variables d’operació poden provocar «l’encesa» o «l’apagament» del reactor. D’una manera simplificada, es pot dir que aquests comportaments anòmals consisteixen en el bot des de l’estat estacionari inferior al superior, o viceversa, respectivament. Encara que aquests aspectes es desenvoluparan amb més detall en el capítol 7, poden apuntar-se ací algunes solucions. Pareix evident que perquè hi haja una sola intersecció entre ambdues línies, i per tant només un estat estacionari, interessa augmentar el pendent i disminuir l’ordenada en l’origen de la recta corresponent al balanç d’energia. Ambdues coses es poden aconseguir augmentant U A i/o m_f c_pf, i/o disminuint . La disminució de l’ordenada en l’origen també es pot aconseguir augmentant T_o i/o T_fo.

• Mètode d’Aris

Aquest procediment consisteix a combinar ambdues equacions per a deixar una única variable. Així:

Així, l’equació (4.7) queda en funció d’una única variable (T). El primer membre es denomina Q_g i representa la calor «generada», mentre que el segon membre es denomina Q_e i representa la calor «eliminada». La solució de l’equació (4.7) correspon al valor de la temperatura que satisfà aquesta equació. També en aquest cas es recomana la solució gràfica. Per això, passem a veure la forma d’ambdues funcions de T.

Es tracta, doncs, d’una recta de pendent (1+ κ) i d’ordenada en l’origen - (T_o + κ T _fo). Aquests paràmetres depenen de T_o, T_fo i κ. Vegem l’efecte d’aquestes variables. Un augment de T_o i/o T_fo provoca la disminució de l’ordenada en l’origen, i amb això el desplaçament de la recta de forma paral·lela (figura 4.4a).

Figura 4.4 a) Influència de l’augment de T_o i/o T_fo sobre Q_e, i b) de Q_vo i θ_j. sobre Q_e.

κ influeix tant el pendent com l’ordenada en l’origen; així, un augment d’aquesta variable provoca un augment del pendent i una disminució de l’ordenada en l’origen, la qual cosa correspon a un gir de la recta.

La forma d’aquesta funció serà la de X(T), vista en el mètode de Levenspiel, corregida pel factor J. En la figura 4.1 es mostren les diferents possibilitats.

Vegem també la influència de diferents variables sobre la forma de Q_g. Un augment del cabal d’aliment provoca una disminució del temps espacial, i amb això la disminució del grau de conversió i de Q_g. La composició de l’aliment també pot influir sobre la figura Q_g -T, si θ_j augmenta, disminuirà J, i amb ella Q_g. Aquests canvis s’esquematitzen en la figura 4.4b. En superposar ambdues figures es tenen les situacions mostrades en les figures 4.5 i 4.6 per a una reacció endotèrmica i per a una altra d’exotèrmica, respectivament:

Figura 4.5. Mètode d’Aris. Situació per a una reacció endotèrmica.

Figura 4.6. Mètode d’Aris. Situació per a una reacció exotèrmica.

Com es pot veure en la figura 4.5 només hi haurà un punt d’intersecció, per tant un sol estat estacionari, mentre que en el cas d’una reacció exotèrmica (figura 4.6) poden haver-hi un, dos o tres punts d’intersecció, per tant entre un i tres estats estacionaris.

4.2.2.2 RCTA adiabàtic

Tenint en compte que en aquest cas q = Q = κ = 0, el balanç d’energia quedarà:

Amb això, en els procediments gràfics assenyalats més amunt, es té la situació mostrada en les figures 4.7 i 4.8.

Figura 4.7. a) X vs. T (Balanç d’Energia) i b) Qe vs. T.

Figura 4.8. Evolució conversió-temperatura del procés adiabàtic per a una reacció exotèrmica reversible.

Com es pot veure en la figura 4.8, la trajectòria adiabàtica per a una reacció exotèrmica pot implicar un creixement de la velocitat de reacció fins a un màxim i un decreixement posterior. El lloc geomètric d’aquests màxims per a un valor de J donat apareix representat per la corba Γ_Jm.

Vegem com determinar la corba Γ_Jm: es té com a punt de partida el model cinètic r = r(X, T) i la trajectòria adiabàtica T = T_o + J X, i per tant:

Amb això, la (4.9):

Per a una cinètica normal, el primer sumand del segon membre és sempre negatiu (la velocitat de reacció sempre disminueix en créixer el grau de conversió), però el segon sumand pot ser positiu o negatiu o zero (J és positiu per a una reacció exotèrmica). Resolent (4.11), pot determinar-se f(X, T_Jm) = 0, que és la funció buscada.

Exemple 4.2

Determineu la corba Γ_Jm per a un RCTA adiabàtic en el qual te lloc la reacció exotèrmica reversible A₁ ↔ A₂. La composició de referència (aliment) és c_1o = 1 mol/L i c_2o = 0 mol/L.

Solució:

El model cinètic per a aquesta reacció és:

Substituint aquestes equacions en la (4.11), i recordant que T_Jm = T_o + J X, tenim:

on per a cada valor de X es tindrà el corresponent de T_Jm.

4.2.3 Grandària òptima d’un RCTA

Per a determinar la grandària òptima d’un RCTA es requereix la definició prèvia de l’òptim. Evidentment, és clar que es tracta d’un concepte econòmic; no obstant això, l’estudi es pot efectuar a distints nivells. Així, considerant un sistema en què hi ha una sola reacció, l’objectiu del procés d’optimació pot ser trobar les condicions en què el volum de reacció siga mínim. Si es tracta d’un sistema en què hi ha diverses reaccions, l’objectiu que sol buscar-se és el de la màxima selectivitat en el producte d’interès. Un objectiu més específic seria, en tot cas, el del màxim benefici. En aquest i en altres capítols s’utilitzen indistintament aquests criteris.

La funció benefici B (funció objectiu a maximitzar) és difícil d’especificar, però d’una manera simple es podria proposar:

on W_j és el valor de l’espècie A_j (€/mol), V_R el cost del reactor (€/s m³) i C_Q el de l’intercanvi energètic (€/J). Falten alguns conceptes com el cost de la mà d’obra o l’amortització de la inversió. Podem considerar que o bé ja s’han tingut en compte en altres costos, o que es tracta d’un factor que afectarà igual les distintes alternatives, per la qual cosa es pot obviar. En el moment d’aplicar (4.12) a un cas concret, cal prestar molta atenció als condicionants d’aquest cas particular; per exemple, en (4.12) s’ha considerat que el valor de cada component és el mateix en el corrent d’entrada i en el d’eixida, i caldria plantejar: és açò raonable?

Per trobar les condicions òptimes es pot seguir el procediment següent. Especificar tots els paràmetres del sistema, entre aquests aquelles variables que han sigut fixades. Escriure les altres variables en funció d’una sola, per exemple el grau de conversió. D’aquesta manera en substituir aquestes equacions en (4.12) quedarà una funció d’una única variable, B = B(X); de manera que derivant i igualant a zero, es pot trobar el valor de X, i amb ell el de les altres variables, que fan màxim el benefici. Vegem-ne un exemple, es vol desenvolupar la reacció A₁ →A₂ de primer ordre en un RCTA. Es tracta d’un sistema de densitat constant i l’aliment està format únicament pel reactiu A₁. Si menyspreem el valor del reactiu no reaccionat i el de l’intercanvi de calor (podria tractar-se d’un reactor adiabàtic) l’equació (4.12) quedarà

En aquesta equació apareixen de forma explícita tres variables, F₂, F_1o i V_R. Altres, com ara T, apareixerien en tenir en compte el balanç d’energia. L’equació (4.13) ens mostra una situació contradictòria, i aquesta raó fa que siga adequada per a optimitzar. Per tal que B siga gran, cal que la producció (F₂) també ho siga, però això portarà associada una alimentació important (F_1o) i/o un reactor gran (V_R). L’òptim resultarà de considerar aquestes influències.

Suposem que estan fixats V_R i T (es disposa d’un reactor d’aquest volum, i es vol treballar a la temperatura òptima). Anem a descriure les dues variables restants en funció de X.

Amb aquest valor i les equacions (4.14) i (4.15) es determinen els valors de F₂ i F_1o que fan màxim el benefici. Revisem de nou el problema considerant que en lloc del volum es fixa ara la producció F₂. Llavors, de (4.15):

Analitzem de nou el mateix sistema amb un major grau de complexitat, ara es considera la separació del reactiu no reaccionat i la seua recirculació. En la figura 4.9 es mostra l’esquema del sistema analitzat.

Figura 4.9. Sistema amb recirculació.

Si s’ha fixat la producció F₂ el benefici quedarà

on W_1R és el cost de la separació del corrent recirculat. Les variables són ara F_1o, F₁ i V_R. Plantejant els balanços en el punt de mescla i en el reactor es té:

Amb aixòes té .

Veiem que en créixer X també ho fa el quart sumand del segon membre, mentre que el tercer decreix; això dóna peu al procés d’optimació tal com s’ha proposat en els casos anteriors. D’aquesta manera calcularem el valor de X òptim, i amb ell els de F₁ i V_R. Fent d B/d X = 0, resulta

En els casos en què resulta complicada la manipulació matemàtica del model es pot efectuar una representació gràfica per determinar-ne l’òptim.

Exemple 4.3

Es vol obtenir 100 mol/h d’un compost R, a partir d’una dissolució saturada d’un altre compost químic A, amb una concentració c_Ao = 0.1 kmol/m³, en un RCTA isoterm, segons l’esquema A → R (o A₁ → A₂). Es tracta d’una reacció elemental (irreversible i de primer ordre). A la temperatura d’operació, la constant cinètica val k = 0.2 h^-1. Si el cost de la matèria primera, per a la concentració de component a inicial, és de 0.50 €/mol de A, i el cost del reactor (incloent-hi instal·lació, equip auxiliar, instruments de control, despeses generals, amortització, mà d’obra, etc.) resulta ser de 10 €/h m³ de reactor, calculeu:

a) La grandària del reactor, el cabal d’alimentació i el grau de conversió que correspondria a les condicions òptimes de funcionament.

b) Quin serà el cost de cada mol de R que es produïsca en les condicions deduïdes en l’apartat anterior, si es prescindeix del component A que ix sense reaccionar?

Una vegada conclosa l’anàlisi anterior, pensem a fer alguna modificació al procés; així suposem que tot el reactiu A₁ (reactiu A) que no ha reaccionat es recupera en una unitat de separació (extractor), en la qual se’l porta a una concentració igual a la que té l’aliment (c₁₀ = 0.1 kmol/m³) i aquesta operació resulta a un cost de 0.125 €/mol de A₁ recuperat, i se’l recircula, introduint-lo de nou en el reactor segons l’esquema de la figura 4.9.

Ücretsiz ön izlemeyi tamamladınız.