Kitabı oku: «Organon», sayfa 12

Zwanzigstes Kapitel

In der dritten und letzten Figur giebt es einen Schluss, sowohl wenn beide Vordersätze, als wenn nur ein Vordersatz auf das Statthafte lauten. Wenn beide Vordersätze nur auf das Statthafte lauten, so lautet auch der Schluss nur darauf; ebenso, wenn der eine Satz auf das Statthafte und der andere auf das einfache Sein lautet. Lautet aber der eine Vordersatz auf das Nothwendige und ist er bejahend, so lautet der Schluss weder auf die Nothwendigkeit noch auf das einfache Sein; ist er aber verneinend, so lautet der Schluss auf das einfache Nicht-sein, wie in den früheren Fällen. Aber auch bei diesen Schlüssen muss das Statthafte in demselben. Sinne, wie bisher, genommen werden.

Es sollen nun zunächst beide Vordersätze auf das Statthafte lauten, und A und B sollen beide statthafterweise in C enthalten sein. Da nur der bejahende allgemeine Satz sich in einen beschränkten umkehren lässt, und B in dem ganzen C statthafterweise enthalten ist, so wird auch C in einigen B statthafterweise enthalten sein. Wenn also A in allen C statthafterweise enthalten ist und C in einigen B, so wird auch A in einigen B statthafterweise enthalten sein, denn dieser Schluss vollzieht sich in der ersten Figur. Und wenn A statthafterweise in keinem C enthalten ist, aber B in allen C, so muss A in einigen B statthafterweise nicht enthalten sein; denn auch hier ergiebt sich durch Umkehrung die erste Figur. Lauten aber beide Vordersätze verneinend, so ergiebt sich zwar aus ihnen für sich allein kein Schluss, aber ein solcher tritt ein, wenn die Vordersätze in ihr Gegentheil so wie früher verkehrt werden. Denn wenn A und B in C statthafterweise nicht enthalten sind, so wird, wenn dafür das »statthaft enthalten sein« gesetzt wird, sich wieder die erste Figur vermittelst der Umkehrung ergeben.

Wenn aber der eine Vordersatz allgemein und der andere beschränkt lautet, beide aber sonst in Bezug auf Bejahung oder Verneinung sich gleich verhalten, so wird sich ein Schluss bald ergeben, bald nicht. Es soll also statthafterweise A in allen C und B in einigen C enthalten sein. Hier wird sich wieder die erste Figur ergeben, wenn der beschränkte Vordersatz umgekehrt wird; denn wenn A in allen C und C in einigen B statthafterweise enthalten ist, so ist auch A statthafterweise in einigen B enthalten. Dasselbe ergiebt sich, wenn der Vordersatz mit B C allgemein gesetzt wird. Auch wenn der Vordersatz A C verneinend lautet, und B C bejahend, so findet ein Schluss statt; denn auch hier gelangt man durch Umkehrung zur eisten Figur. Werden aber beide Vordersätze verneinend gesetzt und zwar der eine allgemein und der andere beschränkt, so ergiebt sich aus ihnen für sich allein kein Schluss, wohl aber, wenn die Sätze in ihr Gegentheil verkehrt werden, wie in früheren Fällen. Werden aber beide Vordersätze unbestimmt oder beschränkt gesetzt, so ergiebt sich kein Schluss, denn es muss dann A sowohl in allen B, wie in keinem B enthalten sein. Als Beispiele für das Enthaltensein nehme man die Begriffe: Geschöpf, Mensch, Weisses; und für das Nicht-enthalten-sein die Begriffe: Pferd, Mensch, Weisses, wobei Weisses der Mittelbegriff ist.

Einundzwanzigstes Kapitel

Wenn aber ein Vordersatz auf das einfache Sein, der andere auf das statthafte Sein lautet, so geht der Schluss nur auf das Statthafte und nicht auf das einfache Sein. Der Beweis ergiebt sich in gleicher Weise, wie vorher, wenn man dieselben beispielsweise aufgestellten Begriffe benutzt. Es seien nämlich die Vordersätze zunächst bejahend und A soll in allen C einfach, B aber in allen C statthafterweise enthalten sein. Kehrt man hier den Vordersatz B C um, so ergiebt sich die erste Figur und der Schluss, dass A in einigen B statthafterweise enthalten ist; denn wenn der andere Vordersatz in der ersten Figur blos auf das Statthaft-sein lautete, so ginge auch der Schlusssatz nur auf das Statthaft-sein. Wenn ferner der Satz B C das einfache Sein und der Satz A C das statthafte Sein ausdrückt, sowie wenn der Satz A C verneinend und der Satz B C bejahend lautet, aber einer von beiden das einfache Sein besagt, so wird in beiden Fällen der Schluss nur auf das statthafte Sein lauten; denn es ergiebt sich wieder die erste Figur und bei dieser ist bereits gezeigt worden, dass wenn einer der Vordersätze nur das statthafte Sein ausdrückt, auch der Schlusssatz nur auf das Statthafte lautet. Wird dagegen der Vordersatz mit dem kleinern äusseren Begriff verneinend gesetzt, oder werden beide Vordersätze verneinend gesetzt, so ergiebt sich aus denselben in solcher Fassung nicht geradezu ein Schluss, aber er wird, wie in den früher erwähnten Fällen, sich ergeben, wenn die Vordersätze in ihr Gegentheil umgekehrt werden.

Ist aber einer der Vordersätze ein allgemeiner und der andere ein beschränkter, und lauten beide bejahend, oder lautet der allgemeine verneinend und der beschränkte bejahend, so wird es sich mit den Schlüssen eben so verhalten, denn alle werden durch die erste Figur vollendet. Sonach erhellt, dass aus einem Vordersatze, der auf das statthafte Sein und einen, der auf das einfache Sein lautet, Schlüsse abgeleitet werden können. Ist aber der eine ein bejahender und allgemeiner und der andere ein verneinender und beschränkter, so muss dies aus der Unmöglichkeit des Gegentheils bewiesen werden. Denn es sei B in allen C einfach seiend enthalten, A sei aber statthafterweise in einigen C nicht enthalten, so muss A statthafterweise in einigen B nicht enthalten sein Denn wenn A in allen B nothwendig enthalten wäre, so müsste, da B in allen C einfach seiend gesetzt ist, A in allen C nothwendig enthalten sein, wie früher gezeigt worden; allein es ist angenommen worden, dass A in einigen C statthafterweise nicht enthalten sei.

Werden aber beide Sätze unbestimmt oder nur beschränkt gesetzt, so ergiebt sich kein Schluss. Der Beweis ist hier derselbe, wie bei den allgemein lautenden Vordersätzen und er kann durch dieselben beispielsweise gegebenen Begriffe geführt werden.

Zweiundzwanzigstes Kapitel

Wenn in der dritten Figur der eine Vordersatz ein nothwendiger, der andere nur ein statthafter ist, aber beide Sätze bejahend lauten, so ergiebt sich immer ein auf das Statthafte lautender Schluss. Lautet aber der eine Vordersatz bejahend, der andere verneinend, so ergiebt sich ein Schluss auf das statthafte Nicht-enthaltensein, wenn der bejahende ein nothwendiger ist; ist aber der verneinende Vordersatz ein nothwendiger, so ergiebt sich ein Schluss sowohl auf das statthafte Nicht-enthalten-sein, wie auf das einfache Nicht-enthalten-sein. Dagegen ergiebt sich kein Schluss auf das nothwendige Nicht-enthalten-sein, wie dies auch in den andern Figuren sich nicht ergeben hat. Es seien nun zunächst die Vordersätze bejahend und A sei in allen C nothwendig, aber B in allen C nur statthafterweise enthalten. Da nun A in allen C nothwendig und das C in einigen B statthafterweise enthalten ist, so wird auch A in einigen B statthafterweise, aber nicht einfach enthalten sein; denn so war es auch bei der ersten Figur. In ähnlicher Weise kann der Beweis geführt werden, wenn der Satz B C als ein nothwendiger und der Satz A C als ein blos statthafter gesetzt wird. Nun soll aber der eine Vordersatz bejahend, der andere verneinend lauten und der bejahende ein nothwendiger sein; A sei also statthafterweise in keinem C enthalten, aber B sei nothwendig in allen C enthalten. Auch hier wird sich die erste Figur ergeben, da der verneinende Vordersatz nur das Statthafte bezeichnet. Es erhellt also, dass der Schlusssatz nur auf das Statthafte lauten wird, weil bei der ersten Figur, wenn die Vordersätze so lauteten, der Schlusssatz auch nur auf das Statthafte ging. Ist aber der verneinende Vordersatz ein nothwendiger, so ergiebt sich ein Schluss sowohl dahin, dass A in einigen C statthafterweise nicht enthalten ist, wie dahin, dass A in einigen C einfach nicht enthalten ist. Denn es soll A nothwendig in keinem C enthalten sein; B soll aber statthafterweise in dem ganzen C enthalten sein; wenn man hier den bejahenden Satz B C umkehrt, so ergiebt sich die erste Figur wobei der verneinende Vordersatz ein nothwendiger ist. Wenn nun die Vordersätze dort sich so verhielten, so folgte, dass A in einigen C statthafterweise und auch einfach nicht enthalten war, so dass also auch hier A in einigen B einfach nicht enthalten sein muss. Wenn aber der Satz mit dem kleinern äussern Begriff B verneinend gesetzt wird und zwar statthafterweise, so wird sich ein Schluss ergeben, wenn dieser Vordersatz in seinen Gegentheil umgekehrt wird, wie dies früher gezeigt worden ist lautet aber dieser Vordersatz auf die Nothwendigkeit, so giebt es keinen Schluss, denn A kann dann bald in allen B, bald in keinem B enthalten sein. Man nehme beispielsweise für das »in allen enthalten sein« die Begriffe Schlaf, schlafendes Pferd und Mensch; und für das »in keinem enthalten sein« die Begriffe: Schlaf, wachendes Pferd und Mensch.

Aehnlich verhält es sich, wenn der eine Vordersatz allgemein, der andere beschränkt in Bezug auf den Mittelbegriff lautet; sind beide bejahend, so wird der Schlusssatz auf das Statthafte und nicht auf das einfache Sein lauten; und dies auch dann, wenn der eine Vordersatz verneinend, der andere bejahend und letzterer als nothwendiger genommen wird. Ist aber der verneinende Satz ein nothwendiger, so lautet der Schlusssatz auf das einfache Nicht-sein. Der Beweis bleibt hier derselbe, mögen die Vordersätze allgemein oder nicht allgemein lauten; denn die Schlüsse müssen hier durch die erste Figur vervollständigt werden, wie dort, und deshalb mit den dortigen zusammenfallen. Wenn aber der verneinende und allgemeine Vordersatz den kleinern äussern Begriff betrifft und er auf das Statthafte lautet, so ergiebt sich ein Schluss vermöge der Umkehrung desselben in das Gegentheil; lautet er aber auf das Nothwendige, so giebt es keinen Schluss; der Beweis geschieht ebenso wie bei den allgemein lautenden Vordersätzen und mittelst derselben Beispielsweise aufgestellten Begriffe.

Sonach erhellt, wonach und wie auch in dieser dritten Figur ein Schluss sich ergiebt, und wenn er auf das Statthafte und wenn er auf das einfache Sein lautet. Auch ist klar, dass alle diese Schlüsse unvollkommen sind und durch die erste Figur vervollständigt werden.

Dreiundzwanzigstes Kapitel

Aus der bisherigen Darstellung ergiebt sich nunmehr, dass alle Schlüsse in den übrigen Figuren durch die allgemein lautenden Schlüsse der ersten Figur vollendet und darauf zurückgeführt werden. Dass es nun mit allen Schlüssen sich so verhält, wird nunmehr sich ergeben, wenn ich gezeigt haben werde, dass überhaupt jeder Schluss in einer dieser Figuren erfolgt.

Jede Beweisführung und jeder Schluss muss darthun, dass Etwas in einem Andern enthalten oder nicht enthalten ist und dass dies entweder allgemein oder beschränkt stattfindet; auch muss dies entweder geradezu oder vermittelst einer Voraussetzung dargelegt werden; zu letzterem Verfahren gehören auch die Beweise durch die Unmöglichkeit des Gegentheils. Ich werde daher zuerst die direkten Beweise besprechen; ist es bei diesen dargelegt worden, so wird dasselbe auch für die Beweise aus der Unmöglichkeit des Gegentheils, und für die von einer Voraussetzung ausgehenden Beweise sich als gültig ergeben.

Wenn also für A in Bezug auf B ein Schluss soll gewonnen werden, sei es, dass A in B enthalten oder nicht-enthalten sei, so muss Etwas in Bezug auf ein Anderes angesetzt werden. Geschieht dies mit dem A unmittelbar in Bezug auf B, so ist dies eine ursprüngliche Annahme. Geschieht dies aber mit dem A zwar in Bezug auf C, aber nicht mit dem C in Bezug auf ein Anderes, noch mit Etwas in Bezug auf G, noch mit einem Anderen in Bezug auf A, so ergiebt sich kein Schluss, denn wenn nur Eines in Bezug auf ein Anderes gesetzt wird, so ergiebt sich keine nothwendige Folge. Man muss also noch einen anderen Satz hinzunehmen. Wenn nun das A in Bezug auf ein Anderes gesetzt wird, oder ein Anderes in Bezug auf A oder ein Anderes in Bezug auf C, so kann zwar ein Schluss sich ergeben, aber er wird durch diese angenommenen Sätze nicht über B lauten und dies wird auch dann nicht der Fall sein, wenn das C von einem Anderes und dieses wieder von einem Anderen und letzteres wieder von einem Anderen ausgesagt wird, ohne dass C mit B zusammengebracht wird; denn auch dann wird kein Schluss des A in Bezug auf B sich ergeben. Ich sage also, dass überhaupt niemals ein Schlusssatz, welcher Eins von dem Anderen aussagt, sich ergeben wird, wenn nicht ein Mittleres hinzugenommen wird, was sich zu jedem von jenen beiden nach irgend einer Kategorie verhält. Denn der Schluss ergiebt sich überhaupt aus Vordersätzen und zwar ein Schluss über dieses aus Vordersätzen über dieses, und ein Schluss dieses Einen in Bezug auf dieses Andere aus Vordersätzen, welche dieses Eine von diesem Anderen aussagen. Denn unmöglich kann man einen Satz über B aufstellen, welcher von B nichts bejaht oder verneint und ebensowenig kann man einen Satz, wonach A von dem B etwas aussagt, gewinnen, wenn man keinen beiden gemeinsamen Begriff hinzunimmt, sondern von A und von B, nur etwas jedem eigenthümliches bejaht oder verneint. Es muss deshalb ein Mittleres für beide gewonnen werden, welches diese Aussagen verknüpft, wenn ein Schlusssatz von diesem auf jenes zu Stande kommen soll. Wenn also etwas beiden Gemeinsames hinzugenommen werden muss und dies auf dreifache Art stattfinden kann (dann entweder sagt A etwas von C und C etwas von B aus, oder C sagt etwas von beiden, d.h. dem A und dem B aus, oder diese beiden sagen etwas von C aus), so ergeben sich die drei besprochenen Schlussfiguren und es erhellt also, dass jeder Schluss nur in einer dieser drei Figuren erfolgen kann. Dieser Ausspruch gilt auch, wenn die Verbindung des A mit dem B durch mehrere Mittelbegriffe erfolgt; denn auch bei diesen vielen Sätzen wird die Schlussfigur dieselbe bleiben.

Es ist also klar, dass die direkten Schlüsse durch die genannten drei Figuren vollendet werden; aber dass dies auch für die Schlüsse vermittelst der Unmöglichkeit des Gegentheils gilt, erhellt aus Folgenden. Alle solche Schlüsse vermittelst des Unmöglichen erschliessen ein Falsches und beweisen den ursprünglichen Satz vermittelst einer Annahme, indem, wenn das Gegentheil desselben angenommen wird, etwas Unmögliches sich ergiebt. So wird bewiesen, dass der Durchmesser nicht von den Seiten des Quadrats gemessen werden könne, weil, wenn man annimmt, er könne davon gemessen werden, folgt, dass das ungerade dem Geraden gleich sei. Hier wird die Gleichheit des Ungeraden mit dem Geraden durch einen Schluss abgeleitet und es wird so durch eine Voraussetzung gezeigt, dass der Durchmesser nicht von den Seiten gemessen werden kann, da aus der entgegengesetzten Annahme etwas Falsches sich ergiebt. Das Schliessen vermittelst der Unmöglichkeit besteht also darin, dass man darlegt, wie aus der anfänglich angenommenen Voraussetzung etwas Unmögliches sich ergiebt. Da sonach bei den auf das Unmögliche führenden Schlüssen der Schluss auf das Falsche direkt erfolgt und der ursprüngliche Satz vermittelst einer Voraussetzung bewiesen wird, und ich vorher dargelegt habe, dass die direkten Schlüsse sich durch jene drei Figuren vollziehen, so erhellt, dass auch die vermittelst der Unmöglichkeit des Gegentheils geführten Schlüsse durch diese drei Figuren sich vollziehen. Ebenso ist es auch bei den übrigen, auf einer Voraussetzung beruhenden Schlüssen; denn in allen geschieht ein Schluss mit Bezug auf etwas Hinzugenommenes und der ursprüngliche Satz wird vermöge eines Zugeständnisses oder vermöge einer anderen Voraussetzung gefolgert. Ist dies richtig, so muss jeder Beweis und jeder Schluss vermittelst der vorgenannten Figuren geführt werden und nachdem dies bewiesen worden, erhellt, dass jeder Schluss seine Vollendung durch die erste Figur erhält und auf die in dieser Figur allgemein lautenden Schlüsse zurückgeführt wird.

Vierundzwanzigstes Kapitel

Ferner muss in jedem Schluss ein Vordersatz bejahend und einer allgemein lauten; denn ohne einen allgemeinen Vordersatz giebt es entweder keinen Schluss, oder er geht nicht auf den aufgestellten Satz oder das zu Beweisende wird ohne Beweis als wahr behauptet. Denn man setze als zu beweisenden Satz, dass die musikalische Lust sittlich sei. Wenn man nun behauptet, dass die Lust sittlich sei, und nicht hinzusagt: jede Lust, so würde es keinen Schluss geben; wenn man aber nur setzt, dass eine Lust sittlich sei, so würde daraus für das hier Behauptete sich nichts ergeben; und wenn man die musikalische Lust selbst als sittlich setzt, so würde man den Schlusssatz ohne Beweis als wahr behaupten. Dies ergiebt sich noch deutlicher an geometrischen Figuren, z.B. wenn bewiesen werden soll, dass die Winkel an der Grundlinie des gleichschenklichen Dreiecks einander gleich seien. Es seien z.B. die Linien A und B nach dem Mittelpunkte eines Kreises gezogen; wenn man nun die Winkel A und C als gleich den Winkeln B und D annimmt, ohne allgemein vorauszusetzen, dass die Winkel, welche auf dem Halbkreis stehen einander gleich seien und wenn man ferner annimmt, dass der Winkel C gleich sei dem Winkel D, ohne zu zeigen, dass alle Winkel auf demselben Kreisabschnitt als gleich zu nehmen sind und wenn man ferner von den gleichen ganzen Winkeln gleiche Winkel abzieht und damit zeigt, dass die übrig Bleibenden E und F gleich sind, so wird man das zu Beweisende ohne Beweis behaupten, wenn man nicht auch den Satz aufstellt, dass wenn Gleiches von Gleichem weggenommen wird, Gleiches übrig bleibe.

Es ist also klar, dass in allen Schlüssen das Allgemeine nicht fehlen darf und dass das Allgemeine eines Schlusses nur bewiesen wird, wenn beide Vordersätze allgemein lauten, während der beschränkte Schlusssatz bald so, bald nicht so bewiesen wird; so dass also, wenn der Schluss allgemein lautet, auch die Vordersätze allgemein lauten müssen; lauten aber die Vordersätze allgemein, so kann der Schlusssatz auch nicht allgemein lauten. Auch erhellt, dass bei jedem Schlüsse, entweder beide Vordersätze, oder wenigstens einer mit dem Schlusssatze gleichartig lauten müssen und zwar nicht blos in der Bejahung oder Verneinung, sondern auch in Bezug auf das nothwendige oder einfache oder statthafte der Sätze. Indess muss man auch die anderen Kategorien, in denen etwas von einem Anderen ausgesagt wird, beachten. Somit erhellt, wenn es überhaupt einen Schluss giebt und wenn nicht, so wie, wenn er möglich und wenn er vollkommen ist; endlich, dass wenn ein Schluss gezogen werden soll, die Vordersätze sich in der angegebenen Weise verhalten müssen.

Fünfundzwanzigstes Kapitel

Jeder Beweis geschieht mittelst dreier Begriffe und und nicht mehrerer, es müsste denn sein, dass derselbe Schlusssatz durch verschiedene Begriffe bewiesen werden könnte, wie wenn z.B. der Schlusssatz E sowohl durch die Vordersätze A und B, wie durch die Vordersätze C und D oder durch die Vordersätze A und B und B und C bewiesen werden könnte; da es statthaft ist, dass mehrere Mittelbegriffe für dieselben äusseren Begriffe eintreten können. Wenn letzteres der Fall ist, so besteht nicht blos ein Schluss, sondern mehrere. Auch ist dies der Fall wenn jeder der beiden Vordersätze A und B durch einen besonderen Schluss gewonnen wird, also z.B. A durch die Vordersätze D und E und der Satz B durch die Vordersätze F und G. Ebenso sind es mehrere Schlüsse, wenn der eine Vordersatz durch Induktion und der andere durch einen Schluss gewonnen wird; auch in solchen Fällen sind mehrere Schlüsse vorhanden, denn es sind mehrere durch Schlüsse abgeleitete Sätze da, z.B. der Satz A, und der Satz B, und der Satz C. Sind aber nicht mehrere Schlusssätze, sondern nur einer vorhanden, so kann dieser selbige Schlusssatz zwar aus verschiedenen Ansätzen abgeleitet werden, aber unmöglich aus mehreren in der Form, wie der Schlusssatz C aus den Vordersätzen A und B abgeleitet wird. Denn es sei z.B. der Schlusssatz E aus den vier Sätzen A, B, C und D abgeleitet; hier müssen nothwendig einzelne von ihnen sich zu anderen so wie das Ganze zu dem Theile verhalten; denn schon früher ist gezeigt worden, dass wenn es einen Schluss geben soll, die Begriffe sich so verhalten müssen. Nun mag der Satz A sich so zu dem Satz B verhalten; dann kann schon ein Schlusssatz aus demselben gezogen werden, also wird dies entweder schon der Schlusssatz E oder einer von den beiden Sätzen C und D oder sonst ein anderer Satz sein. Folgt nun der Schlusssatz E schon aus den beiden Sätzen A und B, so ist ein Schluss vorhanden, der blos aus diesen beiden Sätzen abgeleitet ist. Verhalten sich nun die Sätze C und D auch so wie das Ganze zu dem Theile, so wird auch aus ihnen ein Schluss sich ableiten und dies wird entweder der Satz E oder einer von den beiden Sätzen A und B oder sonst ein anderer Satz sein. Ist dies nun der Satz E oder einer von den beiden Sätzen A und B, so ergeben sich entweder mehrere Schlusssätze oder es war statthaft denselben Schlusssatz aus verschiedenen Begriffen abzuleiten; kommt aber ein anderer Schlusssatz als der Satz E oder der Satz A und B heraus, so sind denn mehr als ein Schluss vorhanden, die mit einander in keiner Verbindung stehen. Verhält sich aber der Satz C zu dem Satze D nicht so, dass ein Schluss daraus gezogen werden könnte, so sind diese weiteren Sätze nutzlos hinzugenommen, es müsste denn sein, dass es behufs der Induktion oder eines versteckten Schlusses oder sonst eines anderen Zweckes wegen geschehen wäre. Wenn endlich aus den Sätzen A und B nicht der Satz E, sondern ein anderer sich als Schluss ergiebt und aus den Sätzen C und D entweder einer von jenen Sätzen oder sonst etwas anderes, so sind mehrere Schlüsse vorhanden und sie betreffen nicht die hier vorliegende Annahme; da ja angenommen war, dass ein Schluss auf E sich ergeben sollte. Ergiebt sich aber aus den Sätzen C und D kein Schluss, so erhellt, dass sie nutzlos hinzugesetzt worden sind und nicht zu dem anfänglich gesetzten Schluss gehören.

Hiernach erhellt, dass jeder Beweis und jeder Schluss sich nur durch drei Begriffe vollzieht. Steht dies aber fest, so erhellt auch, dass ein Schluss nur aus zwei und nicht aus mehr Vordersätzen abgeleitet werden kann; denn diese drei Begriffe bilden zwei Sätze, wenn nicht, wie im Anfang erwähnt worden ist, noch ein Mehreres zur Herstellung eines vollkommenen Schlusses hinzugenommen werden muss. Es ist auch klar, dass wenn in einer Beweisführung die Vordersätze, durch welche der Hauptschlusssatz erfolgt, nicht eine gerade Zahl bilden (denn einzelne der vorgehenden Schlusssätze können nur Vordersätze abgeben), eine solche Beweisführung zu keinem Schlüsse führt, oder dass dann mehr Vordersätze, als zum Schluss nöthig waren, hinzugenommen worden sind.

Werden die Schlüsse nur in Bezug auf ihre eigentlichen Vordersätze in Betracht genommen, so besteht jeder Schluss aus einer geraden Zahl von Vordersätzen und aus einer ungeraden Zahl von Begriffen; und die Zahl der Begriffe ist um eins mehr als die Zahl der Vordersätze. Der Schlusssätze werden dann halb so viel als der Vordersätze sein. Wenn aber vermittelst vorgängiger Schlusssätze der Schluss, oder durch mehrere nicht zusammenhängende Mittelbegriffe sich vollzieht, wenn also z.B. die Sätze A und B aus den Sätzen C und D geschlossen werden, so wird die Zahl der Begriffe zwar ebenso die Zahl der Vordersätze um einen übersteigen (denn der überschiessende Begriff wird entweder ausserhalb oder in die Mitte gestellt werden; aber in beiden Fällen sind der Vordersätze um einen weniger als die Begriffe) aber die Zahl der Vordersätze ist gleich der Zahl der Ansätze. Indess wird die Zahl der Vordersätze nicht immer eine gerade und die der Begriffe eine ungerade sein, sondern es wird sich dies austauschen; wenn nämlich die Zahl der Vordersätze eine gerade ist, so ist die Zahl der Begriffe eine ungerade und wenn die Zahl der Begriffe eine gerade ist, so ist die der Vordersätze eine ungerade; denn mit jedem weiterem Begriff wird ein neuer Vordersatz hinzugefügt, wohin auch der Begriff gesetzt werden mag. Wenn also in einem Schlüsse die Vordersätze der Zahl nach gerade, die Begriffe der Zahl nach ungerade sind, so muss das Gerade und Ungerade wechseln, wenn ein solcher Zusatz geschieht. Die Schlusssätze werden aber in ihrer Zahl nicht dasselbe Verhältniss zu der Zahl der Begriffe und Vordersätze einhalten; denn wenn ein weiterer Begriff hinzugesetzt wird, so werden damit an weiteren Schlusssätzen so viel sich ergeben, als Begriffe vorher angesetzt waren, weniger einen; denn der neue Begriff bildet denn nur mit dem letzten Vorbegriff keinen Schluss, aber wohl mit allen anderen. Wenn z.B. zu den Begriffen A, B und C noch der Begriff D hinzukommt, so treten damit sofort zwei neue Schlusssätze hinzu, nämlich einer zu A und einer zu B. Ebenso verhält es sich mit den noch weiter hinzukommenden Begriffen. Wird aber der weitere Begriff in die Mitte gestellt, so ergiebt sich dasselbe, denn er wird nur mit einem der vorigen Begriffe keinen Schluss bilden. Es werden also in solchen Fällen viel mehr Schlüsse sich ergeben, als Begriffe und Vordersätze.