Kitabı oku: «Die Grundlagen der Arithmetik», sayfa 4

Ist die Zahl etwas Subjectives?

§ 26. In diesem Gedankengange kommt man leicht dazu, die Zahl für etwas Subjectives anzusehen. Es scheint die Weise, wie die Zahl in uns entsteht, über ihr Wesen Aufschluss geben zu können. Auf eine psychologische Untersuchung also würde es dann ankommen. In diesem Sinne sagt wohl Lipschitz⁴⁴:

»Wer über gewisse Dinge einen Ueberblick gewinnen will, der wird mit einem bestimmten Dinge beginnen und immer ein neues Ding den früheren hinzufügen«. Dies scheint viel besser darauf zu passen, wie wir etwa die Anschauung eines Sternbildes erhalten, als auf die Zahlbildung. Die Absicht, einen Ueberblick zu gewinnen, ist unwesentlich; denn man wird kaum sagen können, dass eine Herde übersichtlicher wird, wenn man erfährt, aus wieviel Häuptern sie besteht.

Eine solche Beschreibung der innern Vorgänge, die der Fällung eines Zahlurtheils vorhergehen, kann nie, auch wenn sie zutreffender ist, eine eigentliche Begriffsbestimmung ersetzen. Sie wird nie zum Beweise eines arithmetischen Satzes herangezogen werden können; wir erfahren durch sie keine Eigenschaft der Zahlen. Denn die Zahl ist so wenig ein Gegenstand der Psychologie oder ein Ergebniss psychischer Vorgänge, wie es etwa die Nordsee ist. Der Objectivität der Nordsee thut es keinen Eintrag, dass es von unserer Willkühr abhängt, welchen Theil der allgemeinen Wasserbedeckung der Erde wir abgrenzen und mit dem Namen »Nordsee« belegen wollen. Das ist kein Grund, dies Meer auf psychologischem Wege erforschen zu wollen. So ist auch die Zahl etwas Objectives. Wenn man sagt »die Nordsee ist 10,000 Quadratmeilen gross,« so deutet man weder durch »Nordsee« noch durch »10,000« auf einen Zustand oder Vorgang in seinem Innern hin, sondern man behauptet etwas ganz Objectives, was von unsern Vorstellungen und dgl. unabhängig ist. Wenn wir etwa ein ander Mal die Grenzen der Nordsee etwas anders ziehen oder unter »10,000« etwas Anderes verstehen wollten, so würde nicht derselbe Inhalt falsch, der vorher richtig war; sondern an die Stelle eines wahren Inhalts wäre vielleicht ein falscher geschoben, wodurch die Wahrheit jenes ersteren in keiner Weise aufgehoben würde.

Der Botaniker will etwas ebenso Thatsächliches sagen, wenn er die Anzahl der Blumenblätter einer Blume, wie wenn er ihre Farbe angiebt. Das eine hängt so wenig wie das andere von unserer Willkühr ab. Eine gewisse Aehnlichkeit der Anzahl und der Farbe ist also da; aber diese besteht nicht darin, dass beide an äusseren Dingen sinnlich wahrnehmbar, sondern darin, dass beide objectiv sind.

Ich unterscheide das Objective von dem Handgreiflichen, Räumlichen, Wirklichen. Die Erdaxe, der Massenmittelpunkt des Sonnensystems sind objectiv, aber ich möchte sie nicht wirklich nennen, wie die Erde selbst. Man nennt den Aequator oft eine gedachte Linie; aber es wäre falsch, ihn eine erdachte Linie zu nennen; er ist nicht durch Denken entstanden, das Ergebniss eines seelischen Vorgangs, sondern nur durch Denken erkannt, ergriffen. Wäre das Erkanntwerden ein Entstehen, so könnten wir nichts Positives von ihm aussagen in Bezug auf eine Zeit, die diesem vorgeblichen Entstehen vorherginge.

Der Raum gehört nach Kant der Erscheinung an. Es wäre möglich, dass er andern Vernunftwesen sich ganz anders als uns darstellte. Ja, wir können nicht einmal wissen, ob er dem einen Menschen so wie dem andern erscheint; denn wir können die Raumanschauung des einen nicht neben die des andern legen, um sie zu vergleichen. Aber dennoch ist darin etwas Objectives enthalten; Alle erkennen dieselben geometrischen Axiome, wenn auch nur durch die That, an und müssen es, um sich in der Welt zurechtzufinden. Objectiv ist darin das Gesetzmässige, Begriffliche, Beurtheilbare, was sich in Worten ausdrücken lässt. Das rein Anschauliche ist nicht mittheilbar. Nehmen wir zur Verdeutlichung zwei Vernunftwesen an, denen nur die projectivischen Eigenschaften und Beziehungen anschaulich sind: das Liegen von drei Punkten in einer Gerade, von vier Punkten in einer Ebene u. s. w.; es möge dem einen das als Ebene erscheinen, was das andere als Punkt anschaut und umgekehrt. Was dem einen die Verbindungslinie von Punkten ist, möge dem andern die Schnittkante von Ebenen sein u. s. w. immer dualistisch entsprechend. Dann könnten sie sich sehr wohl mit einander verständigen und würden die Verschiedenheit ihres Anschauens nie gewahr werden, weil in der projectivischen Geometrie jedem Lehrsatze ein anderer dualistisch gegenübersteht; denn das Abweichen in einer ästhetischen Werthschätzung würde kein sicheres Zeichen sein. In Bezug auf alle geometrische Lehrsätze wären sie völlig im Einklange; sie würden sich nur die Wörter in ihre Anschauung verschieden übersetzen. Mit dem Worte »Punkt« verbände etwa das eine diese, das andere jene Anschauung. So kann man immerhin sagen, dass ihnen dies Wort etwas Objectives bedeute; nur darf man unter dieser Bedeutung nicht das Besondere ihrer Anschauung verstehn. Und in diesem Sinne ist auch die Erdaxe objectiv.

Man denkt gewöhnlich bei »weiss« an eine gewisse Empfindung, die natürlich ganz subjectiv ist; aber schon im gewöhnlichen Sprachgebrauche, scheint mir, tritt ein objectiver Sinn vielfach hervor. Wenn man den Schnee weiss nennt, so will man eine objective Beschaffenheit ausdrücken, die man beim gewöhnlichen Tageslicht an einer gewissen Empfindung erkennt. Wird er farbig beleuchtet, so bringt man das bei der Beurtheilung in Anschlag. Man sagt vielleicht: er erscheint jetzt roth, aber er ist weiss. Auch der Farbenblinde kann von roth und grün reden, obwohl er diese Farben in der Empfindung nicht unterscheidet. Er erkennt den Unterschied daran, dass Andere ihn machen, oder vielleicht durch einen physikalischen Versuch. So bezeichnet das Farbenwort oft nicht unsere subjective Empfindung, von der wir nicht wissen können, dass sie mit der eines Andern übereinstimmt – denn offenbar verbürgt das die gleiche Benennung keineswegs – sondern eine objective Beschaffenheit. So verstehe ich unter Objectivität eine Unabhängigkeit von unserm Empfinden, Anschauen und Vorstellen, von dem Entwerfen innerer Bilder aus den Erinnerungen früherer Empfindungen, aber nicht eine Unabhängigkeit von der Vernunft; denn die Frage beantworten, was die Dinge unabhängig von der Vernunft sind, hiesse urtheilen, ohne zu urtheilen, den Pelz waschen, ohne ihn nass zu machen.

§ 27. Deswegen kann ich auch Schloemilch⁴⁵ nicht zustimmen, der die Zahl Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe nennt⁴⁶. Wäre die Zahl eine Vorstellung, so wäre die Arithmetik Psychologie. Das ist sie so wenig, wie etwa die Astronomie es ist. Wie sich diese nicht mit den Vorstellungen der Planeten, sondern mit den Planeten selbst beschäftigt, so ist auch der Gegenstand der Arithmetik keine Vorstellung. Wäre die Zwei eine Vorstellung, so wäre es zunächst nur die meine. Die Vorstellung eines Andern ist schon als solche eine andere. Wir hätten dann vielleicht viele Millionen Zweien. Man müsste sagen: meine Zwei, deine Zwei, eine Zwei, alle Zweien. Wenn man latente oder unbewusste Vorstellungen annimmt, so hätte man auch unbewusste Zweien, die dann später wieder bewusste würden. Mit den heranwachsenden Menschen entständen immer neue Zweien, und wer weiss, ob sie sich nicht in Jahrtausenden so veränderten, dass 2 × 2 = 5 würde. Trotzdem wäre es zweifelhaft, ob es, wie man gewöhnlich meint, unendlich viele Zahlen gäbe. Vielleicht wäre 10¹⁰ nur ein leeres Zeichen, und es gäbe gar keine Vorstellung, in irgendeinem Wesen, die so benannt werden könnte.

Wir sehen, zu welchen Wunderlichkeiten es führt, wenn man den Gedanken etwas weiter ausspinnt, dass die Zahl eine Vorstellung sei. Und wir kommen zu dem Schlusse, dass die Zahl weder räumlich und physikalisch ist, wie Mills Haufen von Kieselsteinen und Pfeffernüssen, noch auch subjectiv wie die Vorstellungen, sondern unsinnlich und objectiv. Der Grund der Objectivität kann ja nicht in dem Sinneseindrucke liegen, der als Affection unserer Seele ganz subjectiv ist, sondern, soweit ich sehe, nur in der Vernunft.

Es wäre wunderbar, wenn die allerexacteste Wissenschaft sich auf die noch zu unsicher tastende Psychologie stützen sollte.

Die Anzahl als Menge

§ 28. Einige Schriftsteller erklären die Anzahl als eine Menge, Vielheit oder Mehrheit. Ein Uebelstand besteht hierbei darin, dass die Zahlen 0 und 1 von dem Begriffe ausgeschlossen werden. Jene Ausdrücke sind recht unbestimmt: bald nähern sie sich mehr der Bedeutung von »Haufe,« »Gruppe,« »Aggregat« – wobei an ein räumliches Zusammensein gedacht wird – bald werden sie fast gleichbedeutend mit »Anzahl« gebraucht, nur unbestimmter. Eine Auseinanderlegung des Begriffes der Anzahl kann darum in einer solchen Erklärung nicht gefunden werden. Thomae⁴⁷ verlangt zur Bildung der Zahl, dass verschiedenen Objectenmengen verschiedene Namen gegeben werden. Damit ist offenbar eine schärfere Bestimmung jener Objectenmengen gemeint, für welche die Namengebung nur das äussere Zeichen ist. Welcher Art nun diese Bestimmung sei, das ist die Frage. Es würde offenbar die Idee der Zahl nicht entstehen, wenn man für »3 Sterne,« »3 Finger,« »7 Sterne« Namen einführen wollte, in denen keine gemeinsamen Bestandtheile erkennbar wären. Es kommt nicht darauf an, dass überhaupt Namen gegeben werden, sondern dass für sich bezeichnet werde, was Zahl daran ist. Dazu ist nöthig, dass es in seiner Besonderheit erkannt sei.

Noch ist folgende Verschiedenheit zu beachten. Einige nennen die Zahl eine Menge von Dingen oder Gegenständen; Andere wie schon Euklid⁴⁸, erklären sie als eine Menge von Einheiten. Dieser Ausdruck bedarf einer besondern Erörterung.

III. Meinungen über Einheit und Eins

Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus?

§ 29. In den Definitionen, die Euklid am Anfange des 7. Buches der Elemente giebt, scheint er mit dem Worte »μονάς« bald einen zu zählenden Gegenstand, bald eine Eigenschaft eines solchen, bald die Zahl Eins zu bezeichnen. Ueberall kommt man mit der Uebersetzung »Einheit« durch, aber nur, weil dies Wort selbst in diesen verschiedenen Bedeutungen schillert.

Schröder ⁴⁹ sagt: »Jedes der zu zählenden Dinge wird Einheit genannt.« Es fragt sich, weshalb man die Dinge erst unter den Begriff der Einheit bringt und nicht einfach erklärt: Zahl ist eine Menge von Dingen, womit wir wieder auf das Vorige zurückgeworfen wären. Man könnte zunächst in der Benennung der Dinge als Einheiten eine nähere Bestimmung finden wollen, indem man der sprachlichen Form folgend »Ein« als Eigenschaftswort ansieht und »Eine Stadt« so auffasst wie »weiser Mann«. Dann würde eine Einheit ein Gegenstand sein, dem die Eigenschaft »Ein« zukäme und würde sich zu »Ein« ähnlich verhalten wie »ein Weiser« zu dem Adjectiv »weise«. Zu den Gründen, die oben dagegen geltend gemacht sind, dass die Zahl eine Eigenschaft von Dingen sei, treten hier noch einige besondere hinzu. Auffallend wäre zunächst, dass jedes Ding diese Eigenschaft hätte. Es wäre unverständlich, weshalb man überhaupt noch einem Dinge ausdrücklich die Eigenschaft beilegt. Nur durch die Möglichkeit, dass etwas nicht weise sei, gewinnt die Behauptung, Solon sei weise, einen Sinn. Der Inhalt eines Begriffes nimmt ab, wenn sein Umfang zunimmt; wird dieser allumfassend, so muss der Inhalt ganz verloren gehen. Es ist nicht leicht zu denken, wie die Sprache dazu käme, ein Eigenschaftswort zu schaffen, das gar nicht dazu dienen könnte, einen Gegenstand näher zu bestimmen.

Wenn »Ein Mensch« ähnlich wie »weiser Mensch« aufzufassen wäre, so sollte man denken, dass »Ein« auch als Praedicat gebraucht werden könnte, sodass man wie »Solon war weise« auch sagen könnte »Solon war Ein« oder »Solon war Einer«. Wenn nun der letzte Ausdruck auch vorkommen kann, so ist er doch für sich allein nicht verständlich. Er kann z. B. heissen: Solon war ein Weiser, wenn »Weiser« aus dem Zusammenhange zu ergänzen ist. Aber allein scheint »Ein« nicht Praedicat sein zu können⁵⁰. Noch deutlicher zeigt sich dies beim Plural. Während man »Solon war weise« und »Thales war weise« zusammenziehen kann in »Solon und Thales waren weise,« kann man nicht sagen »Solon und Thales waren Ein«. Hiervon wäre die Unmöglichkeit nicht einzusehen, wenn »Ein« sowie »weise« eine Eigenschaft sowohl des Solon als auch des Thales wäre.

§ 30. Damit hangt es zusammen, dass man keine Definition der Eigenschaft »Ein« hat geben können. Wenn Leibniz⁵¹ sagt: »Eines ist, was wir durch Eine That des Verstandes zusammenfassen«, so erklärt er »Ein« durch sich selbst. Und können wir nicht auch Vieles durch Eine That des Verstandes zusammenfassen? Dies wird von Leibniz an derselben Stelle zugestanden. Aehnlich sagt Baumann⁵²: »Eines ist, was wir als Eines auffassen« und weiter: »Was wir als Punkt setzen oder nicht mehr als getheilt setzen wollen, das sehen wir als Eines an; aber jedes Eins der äussern Anschauung, der reinen wie der empirischen, können wir auch als Vieles ansehen. Jede Vorstellung ist Eine, wenn abgegränzt gegen eine andere Vorstellung; aber in sich kann sie wieder in Vieles unterschieden werden.« So verwischt sich jede sachliche Begrenzung des Begriffes und alles hangt von unserer Auffassung ab. Wir fragen wieder: welchen Sinn kann es haben, irgendeinem Gegenstande die Eigenschaft »Ein« beizulegen, wenn je nach der Auffassung jeder Einer sein und auch nicht sein kann? Wie kann auf einem so verschwommenen Begriffe eine Wissenschaft beruhen, die grade in der grössten Bestimmtheit und Genauigkeit ihren Ruhm sucht?

§ 31. Obwohl nun Baumann⁵³ den Begriff der Eins auf innerer Anschauung beruhen lässt, so nennt er doch in der eben angeführten Stelle als Merkmale die Ungetheiltheit und die Abgegränztheit. Wenn diese zuträfen, so wäre zu erwarten, dass auch Thiere eine gewisse Vorstellung von Einheit haben könnten. Ob wohl ein Hund beim Anblick des Mondes eine wenn auch noch so unbestimmte Vorstellung von dem hat, was wir mit dem Worte »Ein« bezeichnen? Schwerlich! Und doch unterscheidet er gewiss einzelne Gegenstände: ein andrer Hund, sein Herr, ein Stein, mit dem er spielt, erscheinen ihm gewiss ebenso abgegrenzt, für sich bestehend, ungetheilt wie uns. Zwar wird er einen Unterschied merken, ob er sich gegen viele Hunde zu vertheidigen hat oder nur gegen Einen, aber dies ist der von Mill physikalisch genannte Unterschied. Es käme darauf besonders an, ob er von dem Gemeinsamen, welches wir durch das Wort »Ein« ausdrücken, ein wenn auch noch so dunkles Bewusstsein hat z. B. in den Fällen, wo er von Einem grössern Hunde gebissen wird, und wo er Eine Katze verfolgt. Das ist mir unwahrscheinlich. Ich folgere daraus, dass die Idee der Einheit nicht, wie Locke⁵⁴ meint, dem Verstande durch jenes Object draussen und jede Idee innen zugeführt, sondern von uns durch die höhern Geisteskräfte erkannt wird, die uns vom Thiere unterscheiden. Dann können solche Eigenschaften der Dinge wie Ungetheiltheit und Abgegrenztheit, die von den Thieren ebenso gut wie von uns bemerkt werden, nicht das Wesentliche an unserm Begriffe sein.

§ 32. Doch kann man einen gewissen Zusammenhang vermuthen. Darauf deutet die Sprache hin, indem sie von »Ein« »einig« ableitet. Etwas ist desto mehr geeignet, als besonderer Gegenstand aufgefasst zu werden, je mehr die Unterschiede in ihm gegenüber den Unterschieden von der Umgebung zurücktreten, je mehr der innere Zusammenhang den mit der Umgebung überwiegt. So bedeutet »einig« eine Eigenschaft, die dazu veranlasst, etwas in der Auffassung von der Umgebung abzusondern und für sich zu betrachten. Wenn das französische »uni« »eben,« »glatt« heisst, so ist dies so zu erklären. Auch das Wort »Einheit« wird in ähnlicher Weise gebraucht, wenn von politischer Einheit eines Landes, Einheit eines Kunstwerks gesprochen wird⁵⁵. Aber in diesem Sinne gehört »Einheit« weniger zu »Ein« als zu »einig« oder »einheitlich.« Denn, wenn man sagt, die Erde habe Einen Mond, so will man diesen damit nicht für einen abgegrenzten, für sich bestehenden, ungetheilten Mond erklären; sondern man sagt dies im Gegensatze zu dem, was bei der Venus, dem Mars oder dem Jupiter vorkommt. In Bezug auf Abgegrenztheit und Ungetheiltheit könnten sich die Monde des Jupiter wohl mit unserm messen und sind in dem Sinne ebenso einheitlich.

§ 33. Die Ungetheiltheit wird von einigen Schriftstellern bis zur Untheilbarkeit gesteigert. G. Köpp⁵⁶ nennt jedes unzerlegbar und für sich bestehend gedachte sinnlich oder nicht sinnlich wahrnehmbare Ding ein Einzelnes und die zu zählenden Einzelnen Einse, wo offenbar »Eins« in dem Sinne von »Einheit« gebraucht wird. Indem Baumann seine Meinung, die äussern Dinge stellten keine strengen Einheiten dar, damit begründet, dass wir die Freiheit hätten, sie als Vieles zu betrachten, giebt auch er die Unzerlegbarkeit für ein Merkmal der strengen Einheit aus. Dadurch dass man den innern Zusammenhang bis zum Unbedingten steigert, will man offenbar ein Merkmal der Einheit gewinnen, das von der willkührlichen Auffassung unabhängig ist. Dieser Versuch scheitert daran, dass dann fast nichts übrig bliebe, was Einheit genannt und gezählt werden dürfte. Deshalb wird auch sofort der Rückzug damit angetreten, dass man nicht die Unzerlegbarkeit selbst, sondern das als unzerlegbar Gedachtwerden als Merkmal aufstellt. Damit ist man denn bei der schwankenden Auffassung wieder angekommen. Und wird denn dadurch etwas gewonnen, dass man sich die Sachen anders denkt als sie sind? Im Gegentheil! aus einer falschen Annahme können falsche Folgerungen fliessen. Wenn man aber aus der Unzerlegbarkeit nichts schliessen will, was nützt sie dann? wenn man von der Strenge des Begriffes ohne Schaden etwas ablassen kann, ja es sogar muss, wozu dann diese Strenge? Aber vielleicht soll man an die Zerlegbarkeit nur nicht denken. Als ob durch Mangel an Denken etwas erreicht werden könnte! Es giebt aber Fälle, wo man gar nicht vermeiden kann, an die Zerlegbarkeit zu denken, wo sogar ein Schluss auf der Zusammensetzung der Einheit beruht, z. B. bei der Aufgabe: Ein Tag hat 24 Stunden, wieviel Stunden haben 3 Tage?

Sind die Einheiten einander gleich?

§ 34. So misslingt denn jeder Versuch, die Eigenschaft »Ein« zu erklären, und wir müssen wohl darauf verzichten, in der Bezeichnung der Dinge als Einheiten eine nähere Bestimmung zu sehen. Wir kommen wieder auf unsere Frage zurück: weshalb nennt man die Dinge Einheiten, wenn »Einheit« nur ein andrer Name für Ding ist, wenn alle Dinge Einheiten sind oder als solche aufgefasst werden können? E. Schröder⁵⁷ giebt als Grund die den Objecten der Zählung zugeschriebene Gleichheit an. Zunächst ist nicht zu sehen, warum die Wörter »Ding« und »Gegenstand« dies nicht ebenso gut andeuten könnten. Dann fragt es sich: weshalb wird den Gegenständen der Zählung Gleichheit zugeschrieben? Wird sie ihnen nur zugeschrieben, oder sind sie wirklich gleich? Jedenfalls sind nie zwei Gegenstände durchaus gleich. Andrerseits kann man wohl fast immer eine Hinsicht ausfindig machen, in der zwei Gegenstände übereinstimmen. So sind wir wieder bei der willkührlichen Auffassung angelangt, wenn wir nicht gegen die Wahrheit den Dingen eine weitergehende Gleichheit zuschreiben wollen, als ihnen zukommt. In der That nennen viele Schriftsteller die Einheiten ohne Einschränkung gleich. Hobbes⁵⁸ sagt: »Die Zahl, absolut gesagt, setzt in der Mathematik unter sich gleiche Einheiten voraus, aus denen sie hergestellt wird.« Hume⁵⁹ hält die zusammensetzenden Theile der Quantität und Zahl für ganz gleichartig. Thomae⁶⁰ nennt ein Individuum der Menge Einheit und sagt: »Die Einheiten sind einander gleich.« Ebenso gut oder vielmehr richtiger könnte man sagen: die Individuen der Menge sind von einander verschieden. Was hat nun diese vorgebliche Gleichheit für die Zahl zu bedeuten? Die Eigenschaften, durch die sich die Dinge unterscheiden, sind für ihre Anzahl etwas Gleichgiltiges und Fremdes. Darum will man sie fern halten. Aber das gelingt in dieser Weise nicht. Wenn man, wie Thomae verlangt, »von den Eigenthümlichkeiten der Individuen einer Objectenmenge abstrahirt« oder »bei der Betrachtung getrennter Dinge von den Merkmalen absieht, durch welche sich die Dinge unterscheiden,« so bleibt nicht, wie Lipschitz meint, »der Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge« zurück, sondern man erhält einen allgemeinen Begriff, unter den jene Dinge fallen. Diese selbst verlieren dadurch nichts von ihren Besonderheiten. Wenn ich z. B. bei der Betrachtung einer weissen und einer schwarzen Katze von den Eigenschaften absehe, durch die sie sich unterscheiden, so erhalte ich etwa den Begriff »Katze«. Wenn ich nun auch beide unter diesen Begriff bringe und sie etwa Einheiten nenne, so bleibt die weisse doch immer weiss und die schwarze schwarz. Auch dadurch, dass ich an die Farben nicht denke oder mir vornehme, keine Schlüsse aus deren Verschiedenheit zu ziehen, werden die Katzen nicht farblos und bleiben ebenso verschieden, wie sie waren. Der Begriff »Katze,« der durch die Abstraction gewonnen ist, enthält zwar die Besonderheiten nicht mehr, ist aber eben dadurch nur Einer.

§ 35. Durch blos begriffliche Verfahrungsweisen gelingt es nicht, verschiedene Dinge gleich zu machen; gelänge es aber, so hätte man nicht mehr Dinge, sondern nur Ein Ding; denn, wie Descartes⁶¹ sagt, die Zahl – besser: die Mehrzahl – in den Dingen entspringt aus deren Unterscheidung. E. Schröder⁶² behauptet mit Recht: »Die Anforderung Dinge zu zählen kann vernünftiger Weise nur gestellt werden, wo solche Gegenstände vorliegen, welche deutlich von einander unterscheidbar z. B. räumlich und zeitlich getrennt und gegen einander abgegrenzt erscheinen.« In der That erschwert zuweilen die zu grosse Aehnlichkeit z. B. der Stäbe eines Gitters die Zählung. Mit besonderer Schärfe drückt sich W. Stanley Jevons⁶³ in diesem Sinne aus: »Zahl ist nur ein andrer Name für Verschiedenheit. Genaue Identität ist Einheit, und mit Verschiedenheit entsteht Mehrheit.« Und weiter (S. 157): »Es ist oft gesagt, dass Einheiten Einheiten sind, insofern sie einander vollkommen gleichen; aber, obwohl sie in einigen Rücksichten vollkommen gleich sein mögen, müssen sie mindestens in Einem Punkte verschieden sein; sonst wäre der Begriff der Mehrheit auf sie unanwendbar. Wenn drei Münzen so gleich wären, dass sie denselben Raum zu derselben Zeit einnähmen, so wären sie nicht drei Münzen, sondern Eine Münze.«

§ 36. Aber es zeigt sich bald, dass die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten auf neue Schwierigkeiten stösst. Jevons erklärt: »Eine Einheit (unit) ist irgendein Gegenstand des Denkens, der von irgendeinem andern Gegenstande unterschieden werden kann, der als Einheit in derselben Aufgabe behandelt wird.« Hier ist Einheit durch sich selbst erklärt und der Zusatz »der von irgendeinem andern Gegenstande unterschieden werden kann« enthält keine nähere Bestimmung, weil er selbstverständlich ist. Wir nennen den Gegenstand eben nur darum einen andern, weil wir ihn vom ersten unterscheiden können. Jevons⁶⁴ sagt ferner: »Wenn ich das Symbol 5 schreibe, meine ich eigentlich

1 + 1 + 1 + 1 + 1

und es ist vollkommen klar, dass jede dieser Einheiten von jeder andern verschieden ist. Wenn erforderlich, kann ich sie so bezeichnen:

1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´.«

Gewiss ist es erforderlich, sie verschieden zu bezeichnen, wenn sie verschieden sind; sonst würde ja die grösste Verwirrung entstehen. Wenn schon die verschiedene Stelle, an der die Eins erschiene, eine Verschiedenheit bedeuten sollte, so müsste das als ausnahmslose Regel hingestellt werden, weil man sonst nie wüsste, ob 1 + 1 2 bedeuten solle oder 1. Dann müsste man die Gleichung 1 = 1 verwerfen und wäre in der Verlegenheit, nie dasselbe Ding zum zweiten Male bezeichnen zu können. Das geht offenbar nicht an. Wenn man aber verschiedenen Dingen verschiedene Zeichen geben will, so ist nicht einzusehen, weshalb man in diesen noch einen gemeinsamen Bestandtheil festhält und nicht lieber statt

1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´

schreibt

a + b + c + d + e

Die Gleichheit ist doch nun einmal verloren gegangen, und die Andeutung einer gewissen Aehnlichkeit nützt nichts. So zerrinnt uns die Eins unter den Händen; wir behalten die Gegenstände mit allen ihren Besonderheiten. Diese Zeichen sind ein sprechender Ausdruck für die Verlegenheit: wir haben die Gleichheit nöthig; deshalb die 1; wir haben die Verschiedenheit nöthig; deshalb die Indices, die nur leider die Gleichheit wieder aufheben.

1´, 1´´, 1´´´

§ 37. Bei andern Schriftstellern stossen wir auf dieselbe Schwierigkeit. Locke⁶⁵ sagt: »Durch Wiederholung der Idee einer Einheit und Hinzufügung derselben zu einer andern Einheit machen wir demnach eine collective Idee, die durch das Wort »zwei« bezeichnet wird. Und wer das thun und so weitergehen kann, immer noch Eins hinzufügend zu der letzten collectiven Idee, die er von einer Zahl hatte, und ihr einen Namen geben kann, der kann zählen.« Leibniz⁶⁶ definirt Zahl als 1 und 1 und 1 oder als Einheiten. Hesse⁶⁷ sagt: »Wenn man sich eine Vorstellung machen kann von der Einheit, die in der Algebra mit dem Zeichen 1 ausgedrückt wird, … so kann man sich auch eine zweite gleichberechtigte Einheit denken und weitere derselben Art. Die Vereinigung der zweiten mit der ersten zu einem Ganzen giebt die Zahl 2«.

Hier ist auf die Beziehung zu achten, in der die Bedeutungen der Wörter »Einheit« und »Eins« zu einander stehen. Leibniz versteht unter Einheit einen Begriff, unter den die Eins und die Eins und die Eins fallen, wie er denn auch sagt: »Das Abstracte von Eins ist die Einheit.« Locke und Hesse scheinen Einheit und Eins gleichbedeutend zu gebrauchen. Im Grunde thut dies wohl auch Leibniz; denn indem er die einzelnen Gegenstände, die unter den Begriff der Einheit fallen, sämmtlich Eins nennt, bezeichnet er mit diesem Worte nicht den einzelnen Gegenstand, sondern den Begriff, unter den sie fallen.

§ 38. Um nicht Verwirrung einreissen zu lassen, wird es jedoch gut sein, einen Unterschied zwischen Einheit und Eins streng aufrecht zu erhalten. Man sagt »die Zahl Eins« und deutet mit dem bestimmten Artikel einen bestimmten, einzelnen Gegenstand der wissenschaftlichen Forschung an. Es giebt nicht verschiedene Zahlen Eins, sondern nur Eine. Wir haben in 1 einen Eigennamen, der als solcher eines Plurals ebenso unfähig ist wie »Friedrich der Grosse« oder »das chemische Element Gold.« Es ist nicht Zufall und nicht eine ungenaue Bezeichnungsweise, dass man 1 ohne unterscheidende Striche schreibt. Die Gleichung

3 − 2 = 1

würde St. Jevons etwa so wiedergeben:

(1´ + 1´´ + 1´´´) − (1´´ + 1´´´) = 1´

Was würde aber das Ergebniss von

(1´ + 1´´ + 1´´´) − (1´´´´ + 1´´´´´)

sein? Jedenfalls nicht 1´. Daraus geht hervor, dass es nach seiner Auffassung nicht nur verschiedene Einsen, sondern auch verschiedene Zweien u. s. w. geben würde; denn 1´´ + 1´´´ könnte nicht durch 1´´´´ + 1´´´´´ vertreten werden. Man sieht hieraus recht deutlich, dass die Zahl nicht eine Anhäufung von Dingen ist. Die Arithmetik würde aufgehoben werden, wollte man statt der Eins, die immer dieselbe ist, verschiedene Dinge einführen, wenn auch in noch so ähnlichen Zeichen; gleich dürften sie ja ohne Fehler nicht sein. Man kann doch nicht annehmen, dass das tiefste Bedürfniss der Arithmetik eine fehlerhafte Schreibung sei. Darum ist es unmöglich 1 als Zeichen für verschiedene Gegenstände anzusehen, wie Island, Aldebaran, Solon u. dgl. Am greifbarsten wird der Unsinn, wenn man an den Fall denkt, dass eine Gleichung drei Wurzeln hat, nämlich 2 und 5 und 4. Schreibt man nun nach Jevons für 3:

1´ + 1´´ + 1´´´,

so würde 1´ hier 2, 1´´ 5 und 1´´´ 4 bedeuten, wenn man unter 1´, 1´´, 1´´´ Einheiten und folglich nach Jevons die hier vorliegenden Gegenstände des Denkens versteht. Wäre es dann nicht verständlicher für 1´ + 1´´ + 1´´´ zu schreiben

2 + 5 + 4?

Ein Plural ist nur von Begriffswörtern möglich. Wenn man also von »Einheiten« spricht, so kann man dies Wort nicht gleichbedeutend mit dem Eigennamen »Eins« gebrauchen, sondern als Begriffswort. Wenn »Einheit« »zu zählender Gegenstand« bedeutet, so kann man nicht Zahl als Einheiten definiren. Wenn man unter »Einheit« einen Begriff versteht, der die Eins und nur diese unter sich fasst, so hat ein Plural keinen Sinn, und es ist wieder unmöglich, mit Leibniz Zahl als Einheiten oder als 1 und 1 und 1 zu definiren. Wenn man das »und« so gebraucht wie in »Bunsen und Kirchhof,« so ist 1 und 1 und 1 nicht 3, sondern 1, sowie Gold und Gold und Gold nie etwas anderes als Gold ist. Das Pluszeichen in

1 + 1 + 1 = 3

muss also anders als das »und« aufgefasst werden, das eine Sammlung, eine »collective Idee« bezeichnen hilft.

§ 39. Wir stehen demnach vor folgender Schwierigkeit:

Wenn wir die Zahl durch Zusammenfassung von verschiedenen Gegenständen entstehen lassen wollen, so erhalten wir eine Anhäufung, in der die Gegenstände mit eben den Eigenschaften enthalten sind, durch die sie sich unterscheiden, und das ist nicht die Zahl. Wenn wir die Zahl andrerseits durch Zusammenfassung von Gleichem bilden wollen, so fliesst dies immerfort in eins zusammen, und wir kommen nie zu einer Mehrheit.

Wenn wir mit 1 jeden der zu zählenden Gegenstände bezeichnen, so ist das ein Fehler, weil Verschiedenes dasselbe Zeichen erhält. Versehen wir die 1 mit unterscheidenden Strichen, so wird sie für die Arithmetik unbrauchbar.

Das Wort »Einheit« ist vortrefflich geeignet, diese Schwierigkeit zu verhüllen; und das ist der – wenn auch unbewusste – Grund, warum man es den Wörtern »Gegenstand« und »Ding« vorzieht. Man nennt zunächst die zu zählenden Dinge Einheiten, wobei die Verschiedenheit ihr Recht erhält; dann geht die Zusammenfassung, Sammlung, Vereinigung, Hinzufügung, oder wie man es sonst nennen will, in den Begriff der arithmetischen Addition über und das Begriffswort »Einheit« verwandelt sich unvermerkt in den Eigennamen »Eins«. Damit hat man dann die Gleichheit. Wenn ich an den Buchstaben u ein n und daran ein d füge, so sieht jeder leicht ein, dass das nicht die Zahl 3 ist. Wenn ich aber u, n und d unter den Begriff »Einheit« bringe und nun für »u und n und d« sage »eine Einheit und eine Einheit und noch eine Einheit« oder »1 und 1 und 1«, so glaubt man leicht damit die 3 zu haben. Die Schwierigkeit wird durch das Wort »Einheit« so gut versteckt, dass gewiss nur wenige Menschen eine Ahnung von ihr haben.