Kitabı oku: «Риск-менеджмент в эпоху бифуркаций», sayfa 4

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Социальная физика, синергетика, теория Хаоса – трансдисциплинарные направления, вбирающие в себя многие научные области от физики до социологии.

В предисловии к монографии «Синергетика» в 2-х томах, 2014 г. автор Г. Хаген подчеркивает, что востребованность синергетики базируется на непреходящей важности математики (XXI век).

«Математика ум в порядок приводит» М. Ломоносов. А это Россия – XVIII век.

Исследуемые сложные системы, подверженные влияниям среды, при изменении ее характеристик могут реагировать либо эволюционно – непрерывным образом, либо претерпевать качественные изменения. Последний случай как раз и является самым интересным, особенно в аспекте нелинейных бифуркационных процессов. Они являются и наиболее трудно формализуемыми в плане их вербального описания и математического моделирования.

3.1 Создание направления «математическое моделирование»

У основателя и драйвера этого направления в нашей стране есть имя: Самарский Александр Андреевич. В 34 года (1953 г.) – Сталинская премия за разработку численных методов и расчетов мощности взрыва атомной бомбы.

3.1.1 Академик Самарский! И это все о нем

О неизвестных процессах и удивительном человеке. А. Самарский. Краткий экскурс и немного об аналогиях.

«Взрыв ядерной бомбы – это одновременное протекание многих взаимосвязанных процессов деления ядерного горючего, распространения образующихся нейтронов, газодинамических ударных волн, горения, химических реакций и др. Все эти процессы описываются системой нелинейных уравнений в частных производных».

В те годы – 1947-1948 годы – ни физики, ни математики не умели их решать.

Начало 1948 г. Заканчиваются конструкторские работы по уникальному социальному заказу (спасение человечества) – созданию советской атомной бомбы. На семинаре И.В. Курчатова остро встал вопрос о теоретическом прогнозе мощности взрыва А как? А.Н. Тихонов (учитель А. Самарского) предложил прямой численный расчет взрыва на основе полных моделей физических процессов, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Тогда ни теории, ни опыта практического применения разностных схем для сложных задач математической физики фактически не было.

Эти заявление было неожиданностью для физиков на семинаре и вызвало удивительную реплику Л.Д. Ландау: «Такой расчет являлся бы научным подвигом».

Только много лет спустя на собственном опыте (см. гл. 2.3.) я понял, сколь велико было это решение – создать полную модель нелинейной транс дисциплинарной системы, получить ее адекватное описание системой сложнейших дифференциальных уравнений, разработать новые конечно-разностные схемы их решения и главное – провести численное моделирование с конкретными результатами.

Далее инициатива И.В. Курчатова по созданию спец. лаборатории. В расчетах использовали арифмометр «Феликс» До появления компьютеров оставалось более 6 лет.

Разработка численных методов и их реализация поручена молодому кандидату наук Александру Самарскому. Он же занимался разработкой и проведением прямого расчета ядерного взрыва.

Суперпроекты – атомная и ракетно-космическая эпопея – стали базой ренессанса и взрывного развития науки, в том числе и «гражданской.

3.1.2 «Инженерия» в аттракторе математического моделирования

Понимание необходимости максимального сближения науки с практикой – вот главный результат атомных суперпроектов.

Апологеты этого тренда искали механизмы такого взаимопроникновения (системы образования «физтеха» и др.). Среди них выдающийся организатор науки и образования в СССР академик В.А. Кириллин.

«Везет тому, кто везет». В моем дипломе МЭИ в главе «специальность» вписано яркое определение «инженер-теплофизик». Идея В.А. Кириллина, заведующего созданного им кафедры «Инженерная теплофизика» Московского энергетического института. Суперперспективная идея была подкреплена еще и мощным административным ресурсом. Академик В.А. Кириллин – был в те времена зав. Отделом науки ЦК КПСС, т.е. определял очень многое в развитии науки в стране.

Стремление «офизичить» и «оматематичить» инженерию в те годы послужило мощным толчком к развитию математического осознания и внедрению вычислительного эксперимента в прикладных областях. Одной из самых значимых и привлекательных оказалась область атомной энергетики и ракетной техники для задач турбин АЭС и ракетной техники.

Большой и во многом уникальный физический эксперимент в работах МЭИ позволил исследовать и открыть ряд интереснейших явлений нелинейной неравновесной термогазодинамики. [6, 8] Это:

– неравновесная спонтанная конденсации в транс и сверхзвуковых потоках

– нестационарные ударные волны в двухфазных средах

– кризисы фазовых переходов

– возможности управления неравновесными и нестационарными процессами в потоках влажного пара

– возможность стабилизации нестационарных течений и как следствие снижение риска аварий в турбинах АЭС и др. [8]

Не хватало прикладной математики. Однако, круг общения расширялся. Одним из драйверов вовлечения меня в «Математизацию» физических исследований стал мой друг и оппонент по докторской диссертации Р.И. Нигматулин. Ныне знаменитый академик, основатель ряда трансдисциплинарных научных направлений. Благодаря его инициативе состоялась знаменитая всесоюзная школа-семинар «Численные методы решения задач механики сплошной среды». Две недели поездки на теплоходе по Енисею, в обществе массы великих и не очень математиков. И все это за 5 месяцев до защиты моей докторской диссертации.

Вот так в неформальной, но удивительно творческой обстановке и состоялась моя первая личная встреча с Александром Андреевичем Самарским, которая переросла в дальнейшем в дружбу и плодотворное творческое партнерство в рамках программы «Атомэнергомашэксперт». Это и был ключевой для меня «прыжок в незнаемое».

Рис. 4. «Прыжок в будущее»

(А. Самарский готовится к прыжку, Г. Салтанов – «на старт». Лето 1977 г.)

Наполненный в МЭИ багаж физических знаний явно требовал его осмысления методами математической физики.

3.2 Математическое моделирование трудно формализуемых объектов и систем

«Уравнения математической физики» Н. Тихонов, А. Самарский. Классика и основа математического моделирования. К сожалению, этот учебник не был моей настольной книгой в годы студенчества и начала аспирантуры.

Понимание необходимости освоения новых для прикладного инженера-технаря, инструментариев и технологий численного эксперимента и его гибридизации с экспериментом физическим пришло где-то в начале 70-х годов. И это было еще до личного знакомства с родоначальником этого направления А. Самарским.

Базой моего приобщения к математическому моделированию явилась разрабатываемая мной проблема: неравновесные и нестационарные процессы в газодинамике двухфазных высокоскоростных течений. Там было все: и спонтанная конденсация, фазовые переходы, нестационарность и кризисы течений, газодинамические разрывы в виде ударных волн. В общем, все, что очевидно относится к разряду нелинейных неравновесных систем с элементами самоорганизации по типу «К порядку через хаос» (И. Пригожин).

Такие объекты и процессы определяются школой А. Самарского как трудно формализуемые [26].

3.2.1 Иерархия моделей и этапы их создания

Постановка вопроса о математическом моделировании трудно формализуемого процесса предполагает определенный план действий. В соответствии с апробированными и удачными практиками [6, 8, 26] возможна следующая итерационная схема. Иерархические цепочки моделей «от простого к сложному»:

– Формирование вербальной модели процесса на основе опытных данных, интуитивных соображений, физических законов.

– Построение (выбор) математического эквивалента объекта.

– Расчеты по упрощенной математической модели.

– Определение недостаточности упрощенной модели. Формирование более полной математической модели нелинейных процессов. Как правило, представление в формате дифференциальных уравнений в частных производных.

– Выбор метода численного исследования и разностных схем. (С.К. Годунов. Разностные схемы. М., Наука, 1973 г.).

– Верификация результатов численного эксперимента. Физический эксперимент сравнения.

– Эмпирическая корректировка степени незнания. Корреляция кинетических уравнений.

– Достижения адекватности качественных и численных результатов.«Масштабирование инструментария численного моделирования на аналогичные объекты и процессы, в том числе социальные (см. гл. 2, 3).

3.2.2 Из практики формирования и реализации численного моделирования трудно формализуемых объектов процессов

3.2.2.1 Физически «безопасный» ядерный реактор [Тихонов, Самарский]

Достаточно полная математическая модель активной зоны реактора должна включать в себе модели нестационарных трёхмерных процессов переноса нейтронов в сильно неоднородной среде, выгорание топлива, реакторной кинетики, модель отвода тепла.

Авторы предложили на первом этапе упрощенный вариант. Моделирование собственно нейтронных процессов не в трехмерной, а в одномерной геометрии, рассматривая их к тому же в диффузионном и одногрупповом приближении.

Метод решения – полудискретная (пространственная) аппроксимация исходной модели с последующим численным интегрированием по времени системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Показано, что даже в упрощенном варианте модели вычислительный эксперимент кроме общего вывода о подтверждении основной идеи о физической безопасности реактора дал ряд важных деталей работы изучаемой системы.

Так при анализе устойчивости реактора к сильным возмущениям (авариям), возможен выброс части теплоносителя из активной зоны в результате самопроизвольного или насильственного разрыва трубопровода. Понятно, что для более полного всестороннего анализа безопасности реактора требуется использование как более полной модели активной зоны (см. выше), так и других методов разностных схем решения дифференциальных уравнений в частных производных.

3.2.2.2 Разрыв трубопровода на АЭС

Одной из важных проблем на АЭС, да и вообще, на всех тепловых электростанциях всегда была проблема эрозионнокоррозионного износа (ЭКИ) пароводяного тракта (ПВТ).

Метал и вода… Высокие температуры и скорости потоков. Металл просто ржавеет. Причем наиболее опасно это явление на АЭС.

Решение этой достаточно трудно формализуемой проблемы, вытекало в комплексную междисциплинарную задачу на стыке физики, химии, гидродинамики с разработкой системы компьютерного моделирования и интерфейса численного эксперимента. Отдельной, но необходимой составляющей было экспериментальной обоснование его результатов. Именно стыковые преимущества, синергический эффект давали основание надеяться на ее успешное в целом.

В 1988—1990 годах в основных институтах атомной отрасли СССР – ВНИИАМ и ВНИИ АЭС эта тема наиболее явно и глубоко прорабатывалась.

Расчёты эффекта и защита от ЭКИ ПВТ АЭС были основаны на анализе динамики и физики образования защитной пленки из естественных оксидов железа при специально подобранном воднохимическом режиме (ВХР). Численное моделирование проводилось на основе собственной модели, в которой учитывались эффекты гидродинамики, теплообмена, совмещенные с расчетом реакции как в пограничном слое, так и на поверхности металла.

В результате, при заданных параметрах эксплуатации можно было определить и рассчитать те стартовые параметры (концентрация кислорода, скорость потока и пр.) при которых на поверхности стали образовываться и поддерживался слой прочного и плотного оксида (а именно, черного FeO, а не более рыхлых бурых гематита и магнетита Fe2O3 и Fe3O4), пассивирующего поверхности и препятствовавших не только дальнейшей коррозии, но и защищавший металл от каплеударной эрозии.

Важнейшим результатом модельных расчетов был расчет непосредственно износа, изъедания поверхности труб, патрубков, изгибов и т.п. в потоке водяного тракта, вплоть до его разрушения.

Подобные (по цели, но не по модели) расчеты в то время проводились и за рубежом – во Франции, США и др. Однако они основывались на огромном количестве дорогостоящих ресурсных экспериментов, на которых вырабатывались эмпирические формулы и коэффициенты, частично описывающие ЭКИ, но совершенно не учитывающие физическую суть явления.

По модели, созданной во ВНИИ АЭС, были проанализированы многие инциденты, связанные с авариями в результате ЭКИ.

Наиболее ярким примером был расчет разрыва патрубка пароводяного тракта в результате ЭКИ на финской АЭС «Ло- виза». Сам обрыв был серьезнейшим инцидентом, который можно было избежать, если и не избежать, то хотя бы предотвратить своевременным прогнозом.

Численное моделирование с динамической демонстрацией износа на этапе мониторинга, что показало, что патрубок оборвался через 3,5 года. Причем сам прогнозный расчет занял всего 35 секунд. (Расчеты М. Салтанова).

Патрубок на реальной станции простоял 3 года и 8 месяцев.

Что примечательно, модель была реализована (это был 1990 г.) на минимальной конфигурации портативного компьютера, по сути арифмометра, по сравнению с которым любой современный смартфон выглядит недосягаемым вычислительным аппаратом.

При этом в качестве интерфейса результатов расчетов одним из первых в СССР был применен именно графический монитор, на котором наглядно отражалась динамика процесса.

Для проверки модели и режимов на специальном полигоне в г. Электрогорске под руководством Б.И. Нигматулина (руководителя всего проекта) были сооружены ряд стендов. Ресурсные и натурные эксперименты показали очень хорошее совпадение результатов с расчетами.

В 1990 году в Минатомэнерго СССР была поставлена задача реализации соответствующей программы и было выделено финансирование.

К сожалению, развитие страны после 1991 года не соответствовало дальнейшей разработке модели.

Важно, что актуальность сохраняет как методология (фи- зичность, комплексность, численный эксперимент), так и сама модель. Железо ржаветь не перестало. Главное – чтобы не ржавели мозги.

3.2.2.3 Нестационарность при спонтанной концентрации в сверхзвуковом сопле

Процесс расширения перенасыщения водяного пара в сверхзвуковых соплах включает полный набор сложностей нелинейной неравновесной динамической системы:

– неравновесность, роль флуктуаций (скорость нуклеации ядер конденсации),

– растущая неустойчивость с последующим разрушением метастабильности и скачкообразным фазовым переходом,

– явные признаки самоорганизации по типу: от неустойчивости (хаоса) к порядку (новое состояние),

– спонтанное появление стационарных или нестационарных ударных волн (газодинамических разрывов),

– возможность внешнего управления (необходимо знать механизмы и способы их использования).

Вот такой трудно формализуемый объект/процесс спонтанной конденсации и подлежал изучению, осмыслению, построения физических и математических моделей, а также созданию сложных экспериментальных установок для верификации математических моделей и численного анализа физическим экспериментом.

Эти процессы подробно исследованы и представлены в ряде статей и монографий автора. [6,8]

В данной же главе попробуем лишь кратко пройти путь формирования этого направления по типу «от простого к сложному».

Этап 1.

Экспериментальное доказательство возникновения метастабильности при расширении слабо перегретого пара в сверхзвуковом сопле. Показано, что расширение происходит не равновесно. При достижении определенного переохлаждения ДТк происходит скачкообразный фазовый переход – «скачок» конденсации, который фиксируется по распределению статического давления вдоль сопла, а также теневыми фотографиями (рис. 2). Практическая демонстрация самоорганизации неравновесной системы посредством фазового перехода в точке бифуркации (критическое значение переохлаждения расширяющегося пара ДТк.

Этап 2.

Построение упрощенной системы расчета «скачка конденсации». Одномерное приближение. Скачок рассматривается как газодинамический разрыв.

Реальная полная модель намного сложнее. Базируется на полной системе дифференциальных уравнений в частных производных с учетом уравнений кинетики ядрообразования, скорости роста/испарения капель новой фазы и т.п. [8]

В качестве методов численного исследования использовался известный метод С.К. Годунова , который был модифицирован и развит для расчета нестационарных смешанных течений с неравновесными фазовыми превращениями.

Результаты численного моделирования коррелировались на основе многофакторного физического эксперимента с получением необходимых поправок уравнения кинетики Френкеля-Зельдовича.

Полнота и адекватность описываемой модели и метода позволила исследовать широкий класс физико-химический процессов газодинамики (например, процессы в ядерных реакторах на диссонирующих газах, газодинамических лазерах с энергонакачкой и др. [8].

Ну и самое интересное – использование данной теории на базе метода аналогий (по Самарскому) для анализа нестабильных процессов в социуме в точках бифуркаций. ([9], гл. 2,3.).

3.2.3 Ренессанс вычислительной гидрогазодинамики в атомной энергетике.

В завершении этой части – демонстрация активности развития этого направления в «Росатоме», хотя и спустя 30 лет.

Приведу выдержки из статьи 2022 г. (Вестник АЭМ 2.0). В. Волков. Расчеты в условиях неопределенности. Июнь, 2022 г.).

«Цифровая альтернатива»

Аббревиатура CFD расшифровывается как Computational Fluid Dynamics, или по-русски: вычислительная гидроаэродинамика. Это научная дисциплина появилась с развитием компьютерных технологий, она дополняет экспериментальные и теоретические подходы к конструированию, а иногда выступает и в качестве альтернативы им.

Для наукоемких технологий, которые везде и всюду используются в атомной отрасли, знания имеют критически важное значение: чем больше имеешь информации о теплофизических процессах в оборудовании, тем надежнее и безопаснее будет АЭС. CFD – расчеты повышают этот уровень знаний, а также снижают затраты на разработку новых конструкций. Они позволяют предсказать характеристики будущего оборудования, провести сравнение различных конструкций еще на стадии проектирования.

Реальные эксперименты – занятие крайне затратное по времени и по деньгам, а CFD – коды частично заменяют и дополняют их математическими расчетами. Эти коды описывают непосредственно физику процесса и поведение среды. Они универсальны, то есть могут применяться для различного оборудования без привязки к конструкции. Получается, что при помощи CFD можно рассчитать поведение среды и для насосов, и для реакторов, и для парогенераторов (и даже аэродинамику автомобиля или самолета).

Например, эксперименты на гидравлических стендах ограничиваются определенным диапазоном чисел Рейнольдса. За пределами возможностей большинства экспериментальных установок оказывается также диапазон очень высоких температур. Многие исследования связаны со слишком большим масштабом в пространстве и недоступны для моделирования. Во всем этом может помочь технология CFD. Таким образом, сроки и стоимость проектирования новых конструкций реакторного оборудования существенно сокращаются, а качество возрастает.

Анализ неопределенности

Без CFD не обойтись при расчете абсолютно новых проектов, когда конструкторское решение неизвестно, нет рефе- рентности, нет экспериментальных данных. Например, при расчетах для реакторов средней и малой мощности. МАГАТЭ уже сейчас позволяет применять CFD – расчеты для обоснования безопасности реакторной установки при условии проведения анализа неопределенности. CFD находятся на стыке теоретических и практических знаний, программирования и физики. Современная наука движется в направлении мульти- физичности и связи различных направлений в единые. «Один из самых актуальных вопросов развития CFD – как увязать расчет одномерным и трехмерным кодом в одной модели. Это необходимо, чтобы рассчитывать ту часть исследуемой области, где преобладают трехмерные процессы (например, места соединения труб, где потоки смешиваются), и в то же самое время ту часть, где течение одномерное, по прямой».

Именно это и демонстрирует мощное развитие математического моделирования трудноформализуемых объектов на базе экспоненциального роста цифровых технологий.

3.3 «Атомэнергомашэксперт» – инновационная платформа моделирования и сопровождения «жизненного цикла» АЭС».

Атомная энергетика 70—80 годы. Скачок в развитии отечественного атомного энергетического машиностроения. Строится уникальный завод «Атоммаш» в Волгодонске. Огромные производственные корпуса с площадью по 5000 кв. м.

1977 год. Создание нового головного института атомного энергетического машиностроения (ВНИИАМ), строительство нового здания на ул. Космонавта Волкова с массой площадей для сотрудников, экспериментальных лабораторий и даже с концертным залом на 800 человек. И на удивление многих – директором назначен Г.А. Филиппов, молодой профессор из Московского энергетического института (ныне академик РАН). Мой коллега, друг и во многом учитель. И все это практически сразу после защиты моей докторской диссертации, во многом демонстрирующей эффективность сочетания физического и численного эксперимента при исследовании нелинейных, нестационарных и неравновесных процессов в газотермодинамике.

Приглашение от Филиппова активно поучаствовать в инновационной «раскрутке» нового института (Создан на базе чисто прикладного филиала Ленинградского ЦКТИ. Науки там – ноль.). И это в момент, когда я получил приглашение возглавить лабораторию газодинамических лазеров. Инициатор – великий главный конструктор КТЗ д.т.н. Кирюхин В.И., лауреат многих премий, ныне почетный гражданин г. Калуги, заказчик моих НИР по газодинамическим лазерам.

Арматура, химводоочистка, стандартизация и регламенты. Все это было мне чуждо, и малоинтересно. Но перспективы!

Профессор Филиппов давал мне здесь карт-бланш. Ему было 45 лет, мне 38!