Kitabı oku: «Estructuras de álgebra multilineal», sayfa 3
1º Si x e y son conjuntos, xy es también un conjunto.
2º Dado A un conjunto, representaremos por 2A el conjunto {0,1}A Entonces existe una aplicación biyectiva entre 
.
Demostración :
1º Tomemos f 
, luego f C x × y es conjunto. Esto hace que 
, es decir que
Pero el Teorema 2.7 asegura que 
es un conjunto, puesto que x × y lo es. Entonces apliquemos el Teorema 2.1, y con ello afirmamos que xy es un conjunto.
2º Sea B un subconjunto arbitrario de A (B 
A). Por función característica de B se entiende una aplicación 
B : A →{0,1} definida por
Con esta clase de funciones, definimos la aplicación
Veamos que es biyectiva :
Estudiemos en primer lugar la inyectividad de Supo
Esto hace que si b B se tiene que c(b) = B(b) = 1, de donde b C.
Esto prueba que B C.
La inclusión contraria se prueba de la misma manera.
Veamos la suprayectividad: Tomemos f : A→ {0,1}, y definimos B = f-1( 1). Evidentemente
En lo sucesivo, representaremos el conjunto de partes de un conjunto x indistintamente por o por 2X.
Proposición 6.7:
Demostración :
Simple aplicación del Axioma de extensión y de las definiciones implicadas.
En cuanto a las leyes de composición diremos que hay de dos tipos: internas y externas. Estas últimas también pueden ser reconocidas por acciones o transformaciones, si poseen propiedades específicas. Estudiemos en primer lugar las primeras :
Definición 6.8: Una ley de composición interna definida en un conjunto C es una aplicación
Es costumbre representar estas leyes por los símbolos -, •, + , etc. Así por ejemplo f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a * b, o f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a + b.
Enunciamos a continuación a título de definiciones las propiedades más usuales que pueden tener estas leyes :
Definición 6.9: Se dice que una ley de composición interna posee elemento neutro o elemento unidad e C si
Si sólo se verifica
se dirá que e es elemento neutro por la derecha; y si se cumple que
será el elemento neutro por la izquierda.
Definición 6.10: Una ley de composición interna se dice que g.oza de la propiedad asociativa si
Definición 6.11:Sea una ley de composición interna con elemento unidad e, definida en un conjunto C. Se dice que un elemento a C posee elemento simétrico a' si
En el caso de que se verifique sólo
se dirá que a' es elemento simétrico de a por la derecha. Del mismo modo se define elemento simétrico por la izquierda.
Definición 6.12: Una ley de composición interna definida en un conjunto C verifica de la propiedad conmutativa si
Definición 6.13: Dadas dos leyes de composición internas • definidas en un mismo conjunto C, se dice que la ley • posee la propiedad distributiva respecto a la ley * si para todo a,b,c G C se verifica
En la práctica no se ponen los paréntesis que aparecen en el segundo miembro, ya que se sobreentiende que el elemento a actúa por separado sobre los elementos b, c mediante la ley •, y luego los resultados se componen con la ley *
En cuanto a las leyes de composición externas sólo expondremos la definición, pues sus propiedades se irán introduciendo en los casos en que aparezcan :
Definición 6.14: Consideremos C y D dos conjuntos. Una ley de composición externa de D sobre C es toda aplicación
1.7 Relación de equivalencia
Definición 7.1: Una relación binaria S es una relación de equivalencia si posee las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Para expresar que dos elementos a y b pertenecen a la relación de equivalencia 
, (a,b) , se emplea la notación
y se lee “a (es) equivalente a b”. También escribiremos
que se lee “a congruente con (o equivalente a) b mòdulo e”.
Definición 7.2: Se llama clase de equivalencia de un elemento b a la clase formada por los elementos equivalentes a b.
Proposición 7.3: Sea C(a) la clase de equivalencia de a. Dos elementos arbitrarios b y c de C(a) son equivalentes.
Demostración :
Por ser b equivalente a a,b a, y por ser c equivalente a a, c£ a. En virtud de la Propiedad simétrica, a c. Y la Propiedad transitiva hace que b c. Luego b y c son equivalentes.
Proposición 7.4: Dos clases de equivalencia que tengan un elemento común son iguales.
Demostración :
Sea
y elijamos un 
. Entonce x£ a, y debido a que a£ c, se tiene por la Propiedad transitiva que x c. Luego 
. De igual forma se prueba que los elementos de C(c) son elementos de C(b). Por el Axioma de extensión,
Definición 7.5: Consideremos una relación de equivalencia en C. Se llama clase cociente a la clase formada por las clases de equivalencia de , y se representa por .
Entre C y 
existe una aplicación /i, llamada proyección canónica, definida por
Evidentemente esta aplicación es suprayectiva.
Proposición 7.6: Si es conjunto, es conjunto.
Demostración :
Debido a que 
es suprayectiva,
Ahora bien, dado que def 
, por el Axioma de sustitución, es conjunto.
Es frecuente en un principiante confundir 
conjunto de clases de equivalencia (conjunto cociente) con la unión de estas mismas clases de equivalencia. Para salir del error, pensemos de nuevo en el símil de los pueblos.
Establezcamos en una nación una relación binaria que consiste que dos individuos estén relacionados si se hallan empadronados en un mismo centro. Está claro que esta relación es de equivalencia. Sus clases de equivalencia formarán los pueblos que integran la nación. La unión de todos los pueblos será esta misma nación. En cambio, el conjunto cociente resulta ser la ¡Federación de pueblos!, que, desde luego, es totalmente distinta a la unión.
1 El Teorema de Incompletitud de Godei asegura que todo sistema lógico es incompleto. Esto quiere decir que simpre habrá proposiciones que no podrán ser confirmadas ni negadas en el marco del cuerpo axiomático en que se trabaja: proposiciones indecidibles. Si se tuviera una Teoría de Conjuntos completa, ésta no sería lógica, pues sería incompatible con el Teorema de Incompletitud, por lo que contendría contradiciones entre sus proposiciones.
2. El axioma de elección
Continuando con la construcción de una teoría de conjuntos, abordamos en este Capítulo el Axioma de elección. Quizá es el axioma más controvertido de la axiomática conjuntista, pues históricamente no ha sido aceptado por todas las escuelas de matemáticos. Por ello, los partidarios del mismo se han esforzado en buscar equivalencias con otras proposiciones que en otros sistemas lógicos se consideran como puntos de partida.
Con el fin de obtener una clara exposición sobre este particular, desarrollamos el concepto de la buena ordenación que poseen los conjuntos y que ya Cantor lo había utilizado en sus primeros trabajos sobre los números transfinitos. Luego abordaremos el concepto de ordinal y de número ordinal. Se probará que la clase de los números ordinales es propia y goza de una buena ordenación. Ello nos servirá para obtener consecuencias equivalentes del Axioma de elección ya citado, y que abordaremos en la última Sección de este Capítulo. Pero los ordinales también serán utilizados en el siguiente capítulo para construir los números naturales y los cardinales en general.
2.1 Buena ordenación
Definición 1.1: Sea R una relación binaria. Se dice que R conecta a X si y sólo si
Se dice que z es un R-primer elemento de X si y sólo si z X y dado y X, con y ≠ z, es falso que (y, z) R.
Definición 1.2: SeaU una relación binaria. 1Z ordena bien a X si conecta a X y
Definición 1.3: Un orden es una una relación binaria que no posea la Propiedad simétrica y tenga al menos la Propiedad transitiva. Si además goza de las Propiedades reflexiva y antisimétrica, se dirá que es una relación de orden. (Véase Sección 4º del capítulo precedente).
La formulación empleada es x y que representa (x, y) G TZ. En esta nueva notación, se expresa diciendo que “x está -relacionado con y“ o que “x precede a y“. Obsérvese además que si una relación binaria posee la Propiedad reflexiva, la asimétrica queda sustituida por la Propiedad antisimétrica.
Teorema 1.4: Si 
ordena bien a X, entonces es transitiva y asimétrica.
Demostración :
Consideremos u,v X, con (u,v),(v,u) . Por definición de par ordenado (Definición 3.7 del Capítulo 1),
Ahora bien, debido a que u,v {u v}, resulta que {u v} X. Por consiguiente {u v} X tiene un -primer elemento z. Este z debe coincidir con u o con v, es decir que es falsa una de las proposiciones, a saber: (u,v) o (v,u) . Luego posee la Propiedad asimétrica.
Si no fuera transitiva, habría elementos u, v, w de X que cumplirían (u, v) , (v, w) (w, u) , puesto que conecta a X. Entonces el subconjunto {u} 
{v} {w} X no tendría -primer elemento, lo cual es contradictorio en los conjuntos bien ordenados.
Definición 1.5: Y es una -sección de X si Y X y ordena bien a X de manera que para cada u, v tales que u X, v Y con u v se tenga que u £7.
En otras palabras, diremos que, si un orden ordena bien a un conjunto X, un subconjunto Y de X será una -sección si ningún elemento de X ~ Y precede a los elementos de Y.
Proposición 1.6: Si y ≠ , y cada elemento de y es una -sección de x, entonces y, y son -secciones de X.
Demostración :
Obsérvese que los elementos de 
y o de 
y pueden precederse unos a otros; pero ningún elemento de los complementarios x ~ y o de x ~ y precede a los elementos de las clases citadas. En consecuencia, y y y verifican las condiciones dadas en la Definición 1.5 para que sean - secciones.
Teorema 1.7: Si Y es una -sección de X con Y ≠ X, entonces existe un v X de manera que
Demostración :
Sea y es una -sección de X que no coincide con X. Debido a que TZ ordena bien a X y X ~ Y X, la Definición 1.2 asegura que X ~ Y posee ft-primer elemento v. Si consideramos que u £ X con u v, résulta que u X ~Y. Con ello se ha probado que
Tomemos u Y. Por ser Y -sección, es falso que v u. Y como ordena bien a X, uv. Esto prueba la inclusion contraria.
El siguiente resultado es inmediato por lo que lo damos sin ningún comentario :
Proposición 1.8: Dadas dos -secciones Y, Z de X, se verifica que Y Z ó Z Y.
Definición 1.9: Consideremos dos órdenes , S. Se dice que una aplicación f conserva el orden -S si 1Z ordena bien a def f y S ordena bien a Im f de manera que f(u) S f(v) si u v.
Teorema 1.10: Si ordena bien a X y f es una aplicación de una - sección Y en X, de manera que conserve el orden -, entonces es falso que f(u) u, ∀ u Y.
Demostración :
Basta probar que
Supongamos que no lo sea. Entonces posee un ft-primer elemento v, que por pertenecer a Y', f(v) v; y al conservai / el orden, f(f{v)) f{v).
Si tomamos un u X de manera que u v, resulta que u Y' (ya que v es un ft-primer elemento de y’), y por tanto, o u f(u), o u = f(u). Del mismo modo se tiene que f(v) Y' que conduce a que, o f(v)f (f(v)), o f(v) = f (f(v)), que resulta ser contradictorio con lo anterior. Esto hace que Y' = 
.
Teorema 1.11: Si f conserva el orden -S, entonces f es una aplicación inyectiva y f-1 conserva el orden S-.
Demostración :
Tomemos
Entonces no puede verificarse por separado x y ni yx. En consecuencia, x = y.
Consideremos que f(u) S f(v). Entonces u ≠ v; y debido a que f conserva el orden - S, u v. Esto hace que f-1 conserve el orden S - .
Teorema 1.12: Si f y g son aplicaciones de X en Y que conserven el orden - S, def f y def g son secciones de X, e Im f, Im g son secciones de Y, entonces f g ó g f.
Demostración :
Dado que def f, def y son secciones, la Proposición 1.8 nos indica que, o def / C def y, o def y C def /. Y la demostración se reduce a probar que
Definamos la clase
Si C es no vacía, tendrá un -primer elemento u, que verificará obviamente f(u) ≠ g(w). Supóngase que f(u) S g(u). Dado que Im g es una «S -sección de Y, f(u) Im g. (Recuérdese que no existen elementos fuera de las seciones que precedan a sus elementos). Luego existe un v X que verifique g(v) = f(u). Esto hace que g(v)Sg(u). Ahora bien, como y-1 conserva el orden S-, resulta que vu. Pero u es el primer elemento de C en donde las aplicaciones difieren, lo que es una contradicción. Esto conduce a afirmar que C = 0, por lo tanto se cumple (1.12.1).
Teorema 1.13: Si ordena bien a X y S ordena bien a Y, existe una única función f que conserva el orden - S, tal que def f = X ó Im f = Y.
Demostración :
La cuestión que plantea el enunciado de este teorema no es la existencia de aplicaciones de X en Y que conserven el orden -S, pues estas funciones son fáciles de definir debido a que X e Y están bien ordenados, y se puede aprovechar esta circunstancia para ello. Además se construyen de manera que sus dominios de definición sean -secciones, y sus imágenes S -secciones. Pero eso no asegura que sus dominios sean X y sus imágenes Y. Representemos por g las aplicaciones de este tipo. El teorema prueba que existe una única aplicación cuyo dominio es X o su imagen, Y.
Definamos
Esta relación binaria es una aplicación, ya que si existiesen dos aplicaciones g1, g2 con u def g1 ⋂def g2, el Teorema 1.12 asegura que g1(u) = g2{u).
Veamos que def f es una –sección e Im f es una S– sección :
Esto es evidente debido a que def f es unión de -secciones de tipo def g e Im f es unión de «S-secciones Im g.
Probemos que def f = X ó Im f = Y :
Si no lo son, existe un - primer elemento it de X ~ def f y un -imprimer elemento v de Y ~ Im f. Entonces la función f ⋃ {(u, v)} también conserva el orden - S. Luego existe un g de manera que (u, v) g, y, por definición de f, se tiene que f.
Podemos repetir el razonamiento hasta llegar a que def f = X ó Im f = Y.
Corolario 1.14: Si H ordena bien a X y S ordena bien a Y, de manera que X sea un conjunto e Y una clase propia, existe una función f que conserva el orden -S de manera que def f = X. Demostración :
Está claro que no se puede verificar que Im f = Y, ya que Im f es conjunto e Y clase propia. Esto hace que, según el Teorema 1.13, def f = X.
2.2 Ordinales y números ordinales
Entre las clases bien ordenadas, la clase de los números ordinales es un ejemplo de ellas. En esta Sección nos dedicaremos a construir esta clase, y para ello definiremos el concepto de ordinal con sus propiedades más características.
Empecemos introduciendo un nuevo axioma :
VII Axioma de regularidad
Si x ≠ 0, existe un elemento y x que verifica
El enunciado de este axioma puede prestarse a confusión en el sentido de que podría pensarse que x ⋂ y = y, en vez de x ⋂ {y} = {y} que simpre es cierta. Efectivamente, x ⋂ y está formado por los elementos comunes de x y de y. El axioma anterior precisamente exige que al menos un elemento de x no tenga elementos comunes con x.
Consecuencias inmediatas de este axioma son :
Proposición 2.1: x ≠ x.
Demostración :
Lo probaremos por reducción al absurdo :
Consideremos que x x, entonces x es un conjunto no vacío, y por tanto es, a su vez, el único elemento de {x}, es decir, y = x. Ahora bien, por el último axioma, existe un y {x} tal que
Pero este resultado contradice el hecho que y y 
{x}.
Ahora estamos en condiciones de aceptar como válida la posible intuición (que seguramente tuvo el lector al leer la introducción del capítulo anterior) de que ningún conjunto es elemento de sí mismo. Esta intuición es una verdad lógica si aceptamos el Axioma de regularidad. En estas circunstacias, la clase de Russell R coincide con la clase universal 
.
Proposición 2.2: Es falso que x y ∧ y x.
Demostración :
Consideremos que x y, y x. En consecuencia, x, y son conjuntos, y son los únicos elementos de la clase
Aplicando el Axioma de regularidad, se llega a una contradicción, ya que ningún elemento de A posee intersección vacía con la clase A.
Definición 2.3: Se llama clase E la clase de pares ordenados
De esta misma definición, se desprende que E es una relación binaria, que posee la Propiedad asimétrica.
Teorema 2.4: La clase E es propia.
Demostración :
Consideremos que E sea conjunto, es decir, E ; entonces {E} y (E,{E}) E (ya que E {-E}). En virtud de la definición de par ordenado (Definición 3.7 del Capítulo 1), (E, {E} ) = { E{ E{ E}}}, con lo que
Construyamos la clase
Pero esta clase contradice el Axioma de regularidad, lo que es absurdo y, por tanto, E no es un conjunto.
Estudiada la clase E, podemos ocuparnos ampliamente del concepto de ordinal a partir de una definición previa.
Definición 2.5: Una clase x se dice que es o está saturada (o completa) si y sólo si cada elemento de x es un subconjunto propio de x (es decir, un subconjunto distinto de x).
Definición 2.6: x es un ordinal si x es una clase saturada y E conecta a x
Analicemos detenidamente este concepto: Por definición de E resulta que, dados dos elementos distintos de x, uno es elemento del otro. Además, los elementos de los miembros de x son elementos de x (Condición de saturación de una clase), lo que dota a E de la Propiedad transitiva en x.
Teorema 2.7: Si x es ordinal, E ordena bien a x.
Demostración :
Para que E ordene bien a x, tiene que conectarlo, hecho que por definición de ordinal ya se verifica. Además debe cumplir la Propiedad asimétrica y que todo subconjunto posea un E-primer elemento, de acuerdo con la Definición 1.2.
Tomemos u,v x, de manera que u v, es decir, u £ v. Por la Proposición 2.2, es falso que v Eu. Luego la relación binaria E posee en x la Propiedad asimétrica.
Consideremos y un subconjunto no vacío de x. Por el Axioma de regularidad, y posee un elemento u tal que
es decir que ningún elemento de y pertenece au. En consecuencia, u es el E-primer elemento de y.
Proposición 2.8: Si x es un ordinal, y C x con y / x y de manera que y también sea saturado, entonces y x.
Demostración :
Basta probar que E conecta a y. Tomemos u E v, v E y. Por ser y saturado, u E y. Esto hace que y es una .E - sección de x. En virtud del Teorema 1.7, existe un wx tal que
Ahora bien, como cada elemento de w pertenece a x, resulta que
es decir, y = w, o lo que es lo mismo y x.
Nota 2.9: Este último teorema prueba que y es un ordinal, si tenemos en cuenta la Definición 2.6, ya que al estar x üJ-conectado y también lo está.
Proposición 2.10: Si x e y son ordinales, entonces x y ó y x.
Demostración :
Si x ey son iguales, se verifica trivialmente el teorema. Si son distintos, es obvio que la clase x y está saturada, puesto que a; e y lo están. Por el teorema anterior, o x y = x, o x y x. El primer caso es equivalente a x y. En cambio, si x y x, entonces x y (pues si cumpliese también x y y, se verificaría x y x y, lo que contradice la Proposición 2.1). Ahora bien, como x y es subconjunto de y e y es saturado, x y debía ser elemento de y (y hemos visto que no lo es). La única posibilidad que queda es
Corolario 2.11: Si x e y son ordinales, entonces, o x y, o y x, o y = x.
Demostración :
Supongamos que sean distintos. Entonces la Proposición 2.10 asegura que x y o y x. Ahora bien, como x e y están saturados y son distintos, aplicamos la Proposición 2.8, con lo que, o x y, o y x.
Teorema 2.12: Si x es un ordinal e y x, entonces y es un ordinal. Demostración :
Por ser x un ordinal, es saturado; y por tanto y x (Definición 2.5). Esto hace que E también conecte a y.
Hemos de ver que y también es saturado :
Por de pronto, E conecta a y, puesto que E conecta a x. Ahora bien, dado que E es transitiva en x, también será transitiva en y. Por consiguiente, si tomamos un elemento v £ y y un elemento u v, por la Propiedad transitiva de E, u y; es decir,
Luego y está saturado. En virtud de la Definición 2.6, y es un ordinal.
Definición 2.13: Representaremos la clase de los ordinales por
Teorema 2.14: es una clase propia que es un ordinal. Demostración :
El Corolario 2.11 y la Proposición 2.12 muestran que E conecta 
Tomemos un x arbitrario. Para cualquier elemento y x, será un ordinal en virtud del Teorema 2.12, en consecuencia y . Luego
Con ello hemos probado que es saturado, y, por tanto, ordinal.
Finalmente, si fuera conjunto, , lo que es absurdo en virtud de la Proposición 2.1.
Teorema 2.15: Cada E-sección de O es un ordinal. Demostración :
Consideremos x una .E-sección de con x ≠ . En virtud del Teorema 1.7, existe un v de manera que
Como cada elemento de v es un ordinal,
con lo que x = v es ordinal.
Definición 2.16: Un número ordinal es un ordinal x ∈
En otras palabras diremos que todos los ordinales son números ordinales salvo . La negación de este aserto consiste la paradoja de Burali- Forti. Históricamente fue la primera contradicción que se encontró a la Teoría de Conjuntos de Cantor. Si fuera un número ordinal, sería un elemento de , y ello conduce a que tendría elementos que no son números ordinales, en contra de la definición de . Además se violaría el Axioma de regularidad.
Definición 2.17:
Teorema 2.18:
1º Si x e y son ordinales, entonces x ≤ y si y sólo si x ⊂ y
2ºsi y sólo si x C y. Si x es un ordinal, entonces
3º Si x ⊂ , entonces x es un ordinal.
Demostración :
1º Si x = y, se verifica trivialmente x ⊂ y. Si x < y, la Definición 2.17 conduce a que x y. Ahora bien, al ser y ordinal, es saturado, por lo que x ⊂ y. El recíproco se deduce de inmediato de la Proposición 2.8.
2º Trivial.
3º Por la Definición 1.12,
del Capítulo 1, tomemos z1,z2 IJ®- Existen y\, x tales que
Ahora bien, debido a que x es un ordinal, y1, y2 también lo son (Teorema 2.12) y, a su vez, z1 y Z2 son ordinales. El Corolario 1.11 conduce a que, o z1 z2, o z2 z1. Esto prueba que E conecta a x.
En el razonamiento precedente se ha probado además que los elementos de x son saturados (por ser ordinales). Probemos que x es saturado :
Sea
Existe un y x tal que 2 y. Por la condición de saturación, ,
es decir, u ∁ y; y en virtud de la Proposición 2.8, u y. Con ello se ha probado que u x, de donde
Luego x es saturado, y por tanto, un ordinal.
Proposición 2.19: Si x ⊂ y x ≠ , entonces ⋂ x ⊂ x.
Demostración :
Debido a que es ordinal, es saturado. Por la condición de saturación, x es ordinal. Por lo tanto, todo elemento de x es ordinal y subconjunto de x. Por esta razón, los elementos de elementos de x también serán miembros de x. En consecuencia,⋂ x ⊂ x.
Definición 2.20: x + 1 = x {x}.
Proposición 2.21: Si x , entonces x + 1 es ordinal y es el E-primer elemento de
Demostración :
Evidentemente x {x} es saturado, ya que x es un ordinal. Además E conecta a x {x}, ya que x x {x} y E conecta a x. Esto hace que x + 1 sea ordinal.
Supongamos que exista un elemento
con u < x + 1 . Esto hace que u x {x}, con lo que, o u x, o u = x. Pero por (2.21.1) x u. Estas conclusiones contradicen las Proposiciones 2.1, 2.2, lo que prueba que x + 1 es el E-primer elemento de {y : y O con x < y}.
Proposición 2.22: Si x , se tiene que (x + 1) = x.
Trivial.
Definición 2.23 : 
Proposición 2.24: Si f es una aplicación, f|x es una función de dominio def|x = x ⋂def f, y además
También es una proposición inmediata de la Definición 2.23.
Finalizamos esta Sección estudiando ei teorema final de los ordinales que, a su vez, precisa de un lema previo.
Lema 2.25: Sea f una aplicación tal que su dominio sea un ordinal y sea g una función que verifique f(u) = g(f|u) para cada u def f. Si h es también una función de manera que su dominio sea un ordinal y h(u) = g(h|u) con u def h, entonces h ⊂ f ó f ⊂ h. Demostración :
Al ser def f y def h ordinales, podemos suponer que def f ⊂ def h (en virtud del Teorema 2.10).
Probemos que f(u) = h(u), ∀u def f :
Supongamos que no se verifica. Consideremos que u sea el E-primer elemento de def f tal que F(u) ≠ h(u). Entonces f(v) = h(v) para los elementos v E-anteriores a u, es decir, v u. Esto hace que f|u = h|u. En consecuencia,
Sabido esto, como las imágenes de estas dos funciones coinciden en def f, resulta que f ⊂ h.
Se prueba la inclusión contraria si se hubiera partido de def h ⊂ def f.
Teorema 2.26: Para cada g existe una función f, cuyo dominio def / es un ordinal, que verifica f(x) = g(f|x) para todo número ordinal x.
Demostración :
Probaremos este teorema tanto para ordinales x def f como para los que x def f.
Para el primer caso, definamos la relación binaria f del siguiente modo: Los pares ordenados (u, v) f verifican u s . Para definir la segunda componente, tomemos una aplicación h cuyo dominio def h sea un ordinal y que verifique que h(z) = g(h|z) para cada z def h. (Sobre la existencia de h, hemos de decir que se construye a partir de un ordinal z, pues de este modo queda definida para los ordinales y z). Entonces elegimos v de manera que (u, v) h.
Debido a que las restricciones de h coinciden (Lema 2.25), f es una función. Además, de la definición de sección (Definición 1.5) y de la Proposición 2.8, resulta que def f es una E-sección de y, por tanto, es un ordinal (Teorema 2.15). Es más: Dado que h(z) = g(h|z) para z def h, por definición de f, h ⊂ f, con lo que
Consideremos ahora x ~ def f. En virtud del Teorema 2.9 del Capítulo 1, f(x) = .
Por otra parte, al ser def f conjunto, el Corolario 6.3 del capítulo citado asegura que / es conjunto.
En el caso de que f def g, el Teorema 2.9 citado afirma que g(f) es conjunto. Tomemos a continuación el ¿-primer elemento y de ~ def f y h = f {y, g(f)}. Puesto que def h = def f y también es saturado y es conectado por E. Luego def h es ordinal. A su vez se cumple de la misma definición de h que h(z) = g{h|z) para todo z def h. Aplicando el Lema 2.25, h ⊂ f . Esto conduce a que esta última aplicación h es de las que define la función f, lo que conduce a que y def f, que es contradictorio, ya que y ~ def f.
Luego f 
def g, entonces por las razones ya expuestas g(f) = , con lo que
Con ello se ha probado que la relación anterior es válida para todo ordinal.
2.3 Axioma de elección. Proposiciones equivalentes
Definición 3.1: Una función de elección es una aplicación F de manera que F(x) x para cada elemento x no vacío del dominio de F.
Con este nuevo concepto, enunciamos el Axioma de elección en la modalidad dada por Godei :
VIII Axioma de elección
Existe un función de elección F cuyo dominio es ~ .
En realidad la función de elección selecciona un elemento de cada conjunto no vacío.
Si se restringe este axioma a cada conjunto no vacío se tiene la versión de este axioma dada por Zermelo :
Axioma de elección de Zermelo
Para cada conjunto no vacío X existe una función de elección
definida en P(X)~ (P(X): partes de X).
Evidentemente el Axioma de elección implica el Axioma de Zermelo.
Estudiemos sus consecuencias :
Los teoremas que vamos a probar se basan en el Axioma de elección; pero con pequeñas variantes en las demostraciones también son válidos a partir del Axioma de Zermelo.
.
Teorema 3.2: (de numerabilidad) Si x es un conjunto, existe una aplicación biyectiva, cuya imagen es x y su dominio es un número ordinal.
Demostración :
Construimos una función f de la siguiente manera: Sea la aplicación definida como g(h) = F{x ~ Im h), donde h es conjunto. En virtud del Teorema 2.26, existe una aplicación F, cuyo dominio es un ordinal y que verifica f(u) = g(f|u)para cada número ordinal u. Entonces f{u) = F{x~Im f|u).
Si u def f, f(u) es conjunto (Teorema 5.9 del Capítulo 1), y por tanto
Probemos que f es una biyección: Partimos de
Si v, u son distintos, uno será mayor que el otro (por ser ordinales). Sea, por ejemplo, v < u. Y ello conduce a que f{v) Im f|u. Pero por (3.2.2), f(u) Im f|, que contradice (3.2.1). Luego / es una inyección.
Evidentemente def f ≠ , pues de lo contrario f-1 sería una aplicación, cuyo dominio sería una subclase de x y, por tanto, subconjunto (por serlo x). Por el Axioma de sustitución, Ö sería un conjunto, hecho que hemos probado que no lo es. Entonces def f £ . Llamemos u a def f.
Puesto que def f def f en virtud de la Proposición 2.2, es decir, u no es elemento de def f, u deff/, y el Teorema 5.9 citado asegura que f(u) = y, por tanto, F(x ~ Im f) = . Pero el dominio de F es ~ , y aplicando de nuevo el Teorema 5.9,
