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Este subconjunto S también es infinito, puesto que x lo es, ya que si no lo fuera, existiría un n IN tal que

con lo que

y x no sería infinito.

Definamos la aplicación

que es una biyección. Luego Card S = Card IN.

Teorema 3.11: Si x ~ IN, entonces Card(x + 1) = Card x.

Demostración :

Debido a que x x {x} y por el Teorema 2.13,

Como x no es finito, posee un subconjunto u x, u ≠ x, tal que u x (Teorema 3.8). Por consiguiente, construyamos una función inyectiva f de x + 1 en x tal que f(y) u para y x y f(x) x ~ u. Por lo tanto x + 1 es equipolente a un subconjunto de x, es decir,

Las expresiones (3.11.1) y (3.11.2)prueban que

Definición 3.12: Llamaremos IN* = IN ~ {0}.

No hay dificultad de probar que

pues la biyección es evidente: f(n) = n + 1, si consideramos f: IN → IN*.

3.4 Operaciones con cardinales. Propiedades de los números transñnitos

En esta sección introduciremos las operaciones suma, producto y expo- nenciación de cardinales. Estas operaciones tienen propiedades diferentes si los cardinales son finitos o infinitos. En lo que respecta a la exponenciación, se verá que ésta coincide con la clásica, dada en Matemáticas elementales.

Como ya hemos tenido ocasión de constatar, los cardinales finitos coinciden con los números naturales. En cuanto los cardinales infinitos, es decir, los elementos de K ~ IN, reciben el nombre de cardinales o números transfinitos.

Para mayor claridad en la exposición, representaremos los conjuntos con letras mayúsculas, y los cardinales correspondientes a los conjuntos dados por letras minúsculas. Así por ejemplo,

Proposición 4.1: Si entonces

Demostración :

Debido a que A A', existe una aplicación biyectiva f : A→ A'. Del mismo modo existe otra aplicación biyectiva g : B→>B'. Con ella construyamos la función

Entonces h: A B→A' B' es aplicación biyectiva, es decir, A B ~ A' B'. En consecuencia,

Esta proposición permite establecer el siguiente concepto :

Definición 4.2: Sean a y b dos números cardinales, A y B dos conjuntos disjuntos tales que Card A = a, Card B = b. La suma o la adición de a, b es definida por

Siempre podremos considerar conjuntos disjuntos, puesto que si no lo fueran, elegimos dos elementos x ≠ y cualesquiera y construimos A ≠ {x} (que es equipolente con A) y B ≠ {y} (que es equipolente con B), los cuales son disjuntos.

Las propiedades de la suma de cardinales se deducen de las propiedades de los conjuntos :

La suma es conmutativa

Consecuencia directa de la Propiedad 3^a de la Sección I^a del Capítulo

1.

La suma es asociativa

Consecuencia directa de la Propiedad 6^a de la Sección I^a del capítulo citado.

a + 0 = a

Trivial.

Proposición 4.3:Si a, b son números naturales, entonces a + b es un número natural.

Demostración :

Sean A, B conjuntos disjuntos tales que Card A = a, Card B = b, entonces

Ahora bien, al ser a, 6 números naturales, A y B son conjuntos finitos, y por el Teorema 3.3, A B también es un conjunto finito. En virtud de la Definición 3.1, Card (A B) IN.

Lema 4.4: Si A es un conjunto infinito y F un conjunto finito, tales que sean disjuntos; entonces Card(A F) — Card A.

Demostración :

Procedamos por inducción sobre el cardinal de F.

Consideremos que F sea un singulete, por ejemplo, {A}. Entonces

en virtud del Teorema 3.11 y de la Proposición 2.10.

Considerémoslo cierto para Card F = n IN.

Probémoslo para Card(F {F}) = n + 1 :

Teorema 4.5: Si a, b son números cardinales tales b ≤ a, siendo a transfinito, entonces a + b = a.

Demostración :

Probemos en primer lugar que a + a = a. Consideremos un conjunto A de cardinal Card A = a, y definamos el conjunto de pares ordenados

Veamos que p está parcialmente ordenado: Definamos (f1,X2) ≤ ,X2) si X1 X2 y f₁ = f_2|x1. Tomemos una cadena {(f_i,X_i,)} y probemos que admite una cota superior :

Sea

y f: X→X × {0,1} como f(x) = fi(x) si x Xi que, evidentemente, es biyectiva. El par (f,X) es cota superior de la cadena {(f_i,X_i)}. Por otra parte, ≠ , pues, por ejemplo, la aplicación h:1N ×{0, 1} →IN definida por h(n,0) = 2n y h(n, 1) = 2n + 1 es biyectiva. Ahora bien, en virtud de la Proposición 3.10, A posee un subconjunto numerable D, es decir, existe una aplicación biyectiva j entre D y IN. Entonces basta definir una aplicación biyectiva de D × {0,1} en D como

para que el par (f, D) . Con ello se ha probado que p es conjunto inductivo. Entonces podemos aplicar el Lema de Zorn, con lo que posee un elemento maximal (g,C) .

Llamemos C_o = {(c,0) : c C} y C1 = {(c, 1) : c C} que obviamente son disjuntos y se cumple trivialmente Card Co = Card C = Card C₁, y además C × {0,1} = C₀ Pero como g : C × {0,1}→C es biyección, Card(C × {0,1}) = Card C; y por tanto

Para completar esta demostración, hemos de probar que CardC = a. Si A ~ C fuera infinito, contendría un subconjunto numerable B. Por idénticas razones a las expuestas, existirá una biyección B× {0,1} → B. Con las aplicaciones g y , se construye fácilmente la biyección h: (C B) x {0,1}→C B, con lo que (g, C) < (h, C B) . Pero este resultado contradice la condición de maximalidad de (g,C). Luego A ~ C es un conjunto finito.

De la identidad

obtenemos

es decir,

Para terminar, y puesto que b < a, obtenemos

y la propiedad antisimétrica de la relación de orden

Teorema 4.6: (Propiedad cancelativa de la suma) Consideremos a + n = b + n siendo n IN, entonces a = b.

Demostración :

Si a es transfinito, a + n también lo es. Entonces b también es transfinito. El Teorema 4.5 conduce a que a + n = a, b + n = b, de donde

Si a es un número natural, b también es un número natural, pues si fuera transfinito, b + n sería transfinito (Teorema 4.5). Procedamos por inducción.

1º Si n = 1, es decir a + 1 = b + 1, el Teorema 2.18 prueba que a = b.

2º Supongamos cierto para n.

3º Probemos para n + 1: Partimos de

Por la propiedad asociativa de la suma

Por la Proposición 4.3, la suma de números naturales es un número natural. Entonces a + n,b + n IN. Y aplicando el primer paso de la inducción,

Finalmente el 2º paso de la inducción conduce a que

Pasemos a estudiar otras operaciones básicas de los cardinales como son la multiplicación y la exponenciación. Como en el caso de la suma, estudiaremos un lema previo.

Lema 4.7: Consideremos A A', B B'. Entonces

Demostración :

Puesto que A A', B B', existen sendas biyecciones f: A→ A', g:B→B'. Definamos una aplicación h:A × B→A' × B' como

que es una biyección. En consecuencia, A × B A' × B', es decir,

Definición 4.8: Sean a y b dos números cardinales, A y B dos conjuntos tales que Card A = a, Card B = b.

1^º Se define la multiplicación o producto de a, b como

2º Y debido a que se verifica la Proposición 2.21, la exponentiation es definida como

A esta última expresión, hemos de añadir que a⁰ = 1 y 0° = 0 si a ≠ 0.

Las propiedades de la multiplicación de cardinales se deducen de inmediato de la teoría de conjuntos.

Es conmutativa

Es inmediata debido a que

En efecto, la aplicación f :A × B → B × A definida como f(a,b) = (b, a) es una biyección.

Es asociativa

Se tiene la relación {A × B) × C ~ A × (B × C) mediante la biyección f((a,b),c) = (a, (b, c)).

la = a

Evidentemente para un z arbitrario {z} × A A.

Oa = 0

Simple aplicación de la Proposición 6.7,3º del Capítulo 1.

La multiplicación es distributiva respecto a la suma, es decir,

Consecuencia directa de la Proposición 6.7,1º del capítulo citado.

Pasemos a continuación a estudiar las propiedades de la exponen - ciación. En los resultados que vamos a obtener, consideraremos 3 cardinales a, b, c que les asociamos a tres conjuntos (disjuntos) A, B, C respectivamente.

a b + c = ab ac

Consideremos las aplicaciones f:B U C→A. En virtud de la Definición 6.5 del Capítulo 1, establecemos la siguiente aplicación :

Bastará probar que ψ una biyección.

ψ inyectiva :

Partimos de

por lo que

Esto hace que

de donde

Suprayectividad de ψ:

Sea (g, h) AB x Ac, entonces g: B→ A y h:C→A. Definimos la aplicación f: B C→A como

Evidentemente f|B = g, f|c = h, con lo que

Luego ψ suprayectiva.

Con ello queda probado que ψ es una biyección.

(ab)c = ac bc

Definamos

Veamos que ψ es inyectiva :

Partimos de

es decir,

Esto hace que

de donde

y por tanto

Suprayectividad de ψ :

Tomemos h (A × B)c y con las proyecciones canónicas p1.A × B→A y P2:A | B→B, definidas como p1(x,y) = x y P2(x, y) = y, construimos las aplicaciones

Calculemos para todo x C

luego

(ab)c = ab - c

Definimos una aplicación ψ:(AB)C → AB → C de la siguiente manera:

Dado

definimos

ψes inyectiva :

Partimos de

Esto hace que

es decir

Luego

Suprayectividad :

Tomemos h AB × C. es decir, una aplicación h: B×C→ A. Para cada z C definimos una aplicación f z :B→A como fz(y) = h(y,z). Entonces obtenemos otra aplicación

Calculemos

de donde

Veamos la relación entre la definición dada de exponenciación con la conocida en Matemáticas elementales.

Procedamos por inducción: Consideremos que A esté formado por un solo elemento y el conjunto B por b. Está claro que el número de aplicaciones de A en B es b, es decir, Card BA = b¹. Supóngase cierto para Card A = n, es decir, Card AB = bn. Tomemos A' = A {A}, entonces Card A' = n + 1; y por y la Definición 4.8,2^º obtenemos

Estos razonamientos conducen al siguiente resultado :

Teorema 4.9: Si a, b son números naturales, entonces ab es un número natural. En consecuencia, ba es natural.

Demostración :

Sean A, B dos conjuntos tales que Card A = a y Card B = b. Por ser a, b naturales, A y B son conjuntos finitos. El Teorema 3.5 asegura que A × B es finito. Luego Card(A × B) es un número natural.

Teorema 4.10: (Propiedad cancelativa de la multiplicación) Sea an = bn con n IN*, entonces a = b.

Demostración :

Sean A, N, B conjuntos tales que Card A = a, Card N = n, Card B = b. Si a es un número transfinito, A es conjunto infinito, con lo que A × N también lo es. Esto hace que B × N es conjunto infinito. Luego b es número transfinito. Entonces en virtud del Teorema 4.11 an = a, bn = b; y por tanto

Si a IN, A × N es conjunto finito, y ello lleva a la finitud del conjunto B × N, e s decir que B es finito y, en consecuencia, b IN. (Si B fuese infinito, el Teorema 4.11 conduce a que Card(B × N) sería también transfinito, y no coincidiría con an).

Probaremos por reducción al absurdo: Supóngase que a ≠ 6 y consideremos que a < b. El conjunto A será equipolente a un subconjunto de B. Tomemos A de manera que A B, entonces

Ahora bien, debido a que an = bn,

Pero al serx N, B × N finitos, contradice el Teorema 3.7.

A parecida contradicción se llega si se supone b < a. Entonces queda probado que

Definición 4.10: El conjunto de los números pares está formado por

De esta misma definición se tiene que existe una aplicación biyectiva p:IN* →P, definida por p(m) = 2m. Pues bien, la operación inversa, p^-1, es llamada “factorización por 2”, la cual será utilizada en la demostración del teorema siguiente.

Teorema 4.11: Si a, e son números cardinales con 0 ≠ e ≤ a, siendo a transfinito, entonces ae = a.

Demostración :

Probemos en primer lugar que aa = a. Elijamos un conjunto A tal que Card A = a. Este conjunto será infinito por ser a número transfinito.

Definamos el conjunto

Estudiemos en primer lugar que p / 0: Sea la aplicación

(En esta definición m - 1, 2n - 1 deben entenderse que son los números naturales anteriores a m y 2n respectivamente, es decir, m - 1 = m, 2 m - 1 = 2m).

La aplicación h es una biyección. En efecto: Para que 2m - 1 tenga sentido, debe ser impar. En general, un número natural distinto de 0, si es par se factoriza por 2 tantas veces como haga falta hasta conseguir un cociente impar. Entonces m será igual al número de veces que se ha factorizado por 2 más uno, y n se obtiene del cociente impar que se obtenga. El procedimiento descrito permite asegurar que el par (ra, n) sea único.

Por otra parte, al ser A un conjunto infinito, por el Teorema 3.10 existe un subconjunto D numerable, y como Card IN* — Card IN, también existirá una biyección j:D→IN*. Entonces llamemos

Luego (f, D)

Establezcamos en la siguiente relación de orden (f1,X2) ≤(f₂,X₂) si X₁ X₂ y f1 = f2|X1. De la misma manera a como se ha expuesto en la demostración del Teorema 4.5 , se prueba que p es conjunto inductivo. Luego el Lema de Zorn prueba la existencia de un elemento maximal (g,B) , es decir que g es una aplicación biyectiva, g: B x B—>B. Llamemos Card B = b, con lo que

Queda por probar que b = a. Supongamos que Card(A ~ B) > Card B. Existe pues un subconjunto C de A ~ B tal que Card C = Card B. Entonces

Así pues,

Este último cálculo nos indica que existe una biyección g': (B C) × (B C) → B C. Pero con ello se ha probado que (g, B) < (g',B C) , que contradice la condición de maximalidad de (g,B). En consecuencia, Card(A~B) ≤ Card B.

Sabido esto y aplicando de nuevo el Teorema 4.5,

Luego

Finalmente,

Y por el Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder,

La siguiente Proposición va a tener un papel decisivo en la ordenación de los números enteros que estudiaremos en el Capítulo 5.

Proposición 4.13: Consideremos a y b dos números naturales que verifiquen que

entonces a = 0 = b.

Demostración :

Tomemos dos conjuntos A y B disjuntos tales que

Por hipótesis, Card(AUB) = Card0.

En consecuencia, los conjuntos A U B y son equipotentes. Puesto que no tiene ningún elemento, tampoco tiene A y B, con lo que

3.5 Hipótesis del continuo

Nos planteamos la cuestión (no resuelta) de construir los números transfinitos, del mismo modo a como hicimos con los números naturales. Sabemos que existe una función de ordenación; pero se desconoce su estructura.

Teorema 5.1: Existe una función (alef\ primera letra del alfabeto hebreo) con def = e Im = K ~ IN que conserva el orden < - <(Definición 1.9 del Capítulo 2). Demostración :

En virtud del Teorema 1.13 del Capítulo 2, existe una función N que conserva el orden de manera que def = ó Im = K ~ IN. Supongamos que def ≠ y Im = K ~ IN. Entonces def sería número ordinal y, por tanto, conjunto. Por el Axioma de sustitución, Im = K ~ IN sería también conjunto, resultado imposible por no ser K ~ IN conjunto. (No es conjunto, pues al verificarse la identidad (K ~ IN) IN = K, y por el Axioma de unión resultaría que K, sería conjunto, en el caso de que K ~ IN lo fuera).

Por otra parte, como conserva el orden, es inyectiva. Luego existe la aplicación inversa ^-1. Supongamos que def ^-1 ≠ K ~ IN e Im ^-1 = .

Entonces def ^-1 es una ^-sección de K — IN (que no coincide con K — IN) y, por tanto, conjunto, lo que conduce al absurdo de ser conjunto.

Evidentemente

Veamos el valor de N(l): Por el Teorema de Cantor,

En consecuencia,

Esto es lo único que se conoce de la función . Tratar de extender su construcción es suponer algunas condiciones que se hallan al margen de la Teoría de Conjuntos. Estas condiciones son conocidas como las hipótesis del continuo que consisten en imponer que

(hipótesis del continuo propiamente dicha). Y en general se admite la hipótesis del continuo generalizada :

x

Cohen (1964) probó que las hipótesis del continuo son proposiciones indecidibles en la Teoría de Conjuntos actual. No se puede probarlas ni refutarlas con la Axiomática estudiada. En consecuencia, si se encontrase alguna inconsistencia en la Teoría de Conjuntos, ésta sería independiente de las hipótesis del continuo.

4. Aplicaciones en estructuras algebraicas

Antes de proseguir con el estudio emprendido de formalizar las distintas clases de numeración, hemos de profundizar en las propiedades que poseen las aplicaciones cuando actúan sobre conjuntos dotados de relaciones de equivalencia. Estas propiedades son esenciales cuando se aborda las estructuras algebraicas, que serán objeto de análisis en la Sección segunda de este capítulo. Los resultados obtenidos en la citada sección, no sólo serán útiles en la construcción de los números enteros y racionales; sino que serán la base para desarrollar estructuras más complejas, como módulos, productos tensoriales, espacios vectoriales, álgebras asociativas, etc., las cuales iremos introduciendo en capítulos sucesivos.

4.1 Aplicaciones en relaciones de equivalencia

Teorema 1.1: Sean X, Y, Z tres conjuntos y consideremos dos aplicaciones

Las condiciones siguientes son equivalentes :

a) Existe una aplicación

tal que

b) Cualesquiera que sean la relación

implica la relación

Demostración :

a)

b)

Estudiemos el siguiente diagrama

Supongamos que f sea suprayectiva :

Construyamos la gráfica

Veamos que esta gráfica define una aplicación. Hemos de probar la unicidad de la imagen, es decir que

Por definición de , existen tales que

es decir que y por luego

luego hay unicidad de la imagen.

Con esto hemos probado que Ç induce una aplicación. Sea g: Y → Z la aplicación inducida, la cual verifica

Debido a que hemos supuesto que f es suprayectiva, para cada existe un de manera que y = f(x). En consecuencia,

y por tanto

Supongamos que f no sea suprayectiva :

Llamemos

Por , existe un tal que h = g' o f. Prolonguemos g' a Y. Para ello fijemos un elemento z₁ Z, y con él construimos la aplicación

entonces

c.s.q.d.

Recordemos (ver Sección del Capítulo 1) que otra forma empleada para representar elementos equivalentes respecto a una relación de equivalencia es

que indica

Esta notación será utilizada frecuentemente.

Teorema 1.2: Consideremos E un conjunto, una relación de equivalencia sobre E, p la aplicación canónica de E sobre E/, y f una aplicación de E en un conjunto X. Las propiedades siguientes son equivalentes :

a) La relación

b) Existe una aplicación

tal que

Demostración :

La relación x ≡ y (mód ) equivale a

y por tanto se verifica la conmutatividad del diagrama

en virtud del Teorema 1.1.

c.s.q.d.

Teorema 1.3: Si se cumplen las condiciones del Teorema 1.2, la aplicación es única. Para que sea inyectiva es necesario y suficiente que las relaciones x ≡ y (môd ) y f(x) = f(y) sean equivalentes. Para que sea suprayectiva es necesario y suficiente que f lo sea.

Demostración :

Unicidad :

Supongamos que existe una aplicación g tal que

de donde

Dado que p es suprayectiva, se tiene

Suprayectividad :

Si es suprayectiva, f también lo es,

puesto que , p lo son.

Por otra parte, si f es suprayectiva, dado un z X existe un x E tal que 2 = f(x) = (p(x)). Luego es suprayectiva.

Inyectividad :

Si es inyectiva, dado

resulta

y por tanto

Recíprocamente, supongamos que verifica (1.3.1). Hemos de probar que es inyectiva :

Partimos de

Como p es suprayectiva, existen x,y E de manera que a = p(x), b = p(y), con lo que

y por la suposición hecha,

de donde

c.s.q.d.

Teorema 1.4: Sean X, Y, Z tres conjuntos; , , relaciones de equivalencias definidas respectivamente sobre estos conjuntos, y f una aplicación de X × Y en Z. Designemos por las proyecciones canónicas X, Y, Z sobre X/, Y/, Z/ respectivamente. Las afirmaciones siguientes son equivalentes :

a) Las relaciones

implican la relación

b) Existe una aplicación

tal que

cualesquiera que sean x X, y Y.

Si se cumplen estas condiciones, la aplicación es única.

Demostración :

Sea el diagrama

donde v se define como

y por tanto v es suprayectiva. La aplicación u es construida como

a)

Probemos en primer lugar que

En efecto :

Si v(x, y) = v(a, b), se tiene por definición de v que

de donde

es decir que la clase de x y la clase de a coinciden. Luego x, a pertenecen a la misma clase. Esto hace que

Del mismo modo se razona para probar que

Por a) tenemos que

es decir,

Y por definición de u,

Aplicando el Teorema 1.1, existe una aplicación tal que

Además es única porque se verifica las condiciones del Teorema 1.3.

Veamos su estructura :

b)

Hay que demostrar que si

En efecto :

Si x ≡ a(mód ), y ≡ b(mód ), por b)

y por definición de ,

es decir que

c.s.q.d.

Corolario 1.5: Sean X,Y dos conjuntos y f una aplicación de X × Y en Y; Y se halla provisto de una relación de equivalencia . Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes :

a) y₁ ≡ y₂ (mód ) implica

b) Existe una única aplicación definida en

como

Demostración :

Es un caso particular del Teorema 1.4, con tal de hacer Z = Y y = ; y proveer al conjunto X con la relación identidad.

c.s.q.d.

4.2 Estructuras algebraicas

Introducimos en esta Sección el concepto de estructuras algebraicas que es el objetivo principal de este libro. Hasta ahora se ha formalizado los conjuntos y hemos dado las operaciones que se pueden realizar entre ellos. Pero nos disponemos a dotar a éstos de operaciones o leyes de composición que actúan sobre los elementos de uno o más conjuntos. Estas leyes de composición hacen que los conjuntos tengan unas características especiales, conocidas por estructuras algebraicas.

Definición 2.1: Un conjunto se dice que tiene estructura de

– Semigrupo si posee una ley de composición interna con la Propiedad asociativa.

– Un monoide es un semigrupo con elemento unidad (o neutro).

Definición 2.2: Un grupo es un monoide que posee la propiedad simétrica. Si además goza de la propiedad conmutativa, el grupo se dice que es abeliano.

Proposición 2.3: Un grupo G sólo posee un elemento neutro. Cada elemento de G tiene un único elemento simétrico.

Demostración :

Supóngase que posea dos elementos neutros, e, e'. Por ser e neutro,

y por ser también e' elemento neutro

Esto conduce a que

Sea a un elemento arbitrario de G, y upongamos que tenga dos elementos simétricos a' y a”. Por definición de simetría,

Componiendo por la derecha por a',

y por la propiedad asociativa,

de donde

c.s.q.d.

Debido a la unicidad de los elementos simétricos, dado un elemento a, se representará su elemento simétrico por a^-1.

Definición 2.4: Un subgrupo de un grupo G es un grupo contenido en G, cuya ley de composición interna es restricción de la de G.

Un subgrupo N de G se dice que es invariante (normal o distinguido) si para cada m N se verifica

Corolario 2.5: El elemento neutro de un subgrupo coincide con el elemento neutro del grupo.

Demostración :

Es evidente que el elemento neutro del grupo es neutro del subgrupo. Luego en virtud del Terorema 2.3, éste es único.

c.s.q.d.

A continuación introduciremos el concepto de grupo cociente. Para ello estableceremos una relación de equivalencia a partir de un subgrupo S de un grupo G. Es inmediato probar que la relación

es de equivalencia. Sus clases de equivalencia serán de la forma

y son llamadas cogrupos por la derecha de G.

De la misma manera se define otra relación binaria de equivalencia como

lo que da lugar a sus respectivas clases de equivalencia, llamadas cogrupos por la izquierda de G.

Si el subgrupo S es normal, los dos tipos de cogrupos coinciden, y por tanto definen el mismo conjunto cociente : G/S,

Teorema 2.6: Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G, entonces G/N es un grupo (grupo cociente), cuya ley de composición interna es

Y viceversa, si G/N (conjunto cociente formado por los cogrupos derecha o los cogrupos izquierda) es grupo cociente, entonces N es un subgrupo normal de G.

Demostración :

Hemos de probar en primer lugar que

En efecto :

Del mismo modo se tiene que para a ≡ b(mód N), existe un m N tal que a = m·b.

Con ello obtenemos x·a = n · y · m · b. Ahora bien, dado que N es invariante, y·m·y-1 N. Llamemos r = y·m·y-1, de donde y·m=r·y; y en consecuencia

Esto hace que

y por tanto

Sabido esto, apliquemos el Teorema 1.4, tomando X = Y = Z = G, y que la aplicación f sea la definida por

entonces existe una que verifique

Si representamos por

resulta que (2.6.1) es una ley de composición interna.

Asociatividad :

Elemento neutro :

Sea e el elemento neutro de G, y su clase de equivalencia, entonces

luego es el elemento neutro de G/N.

Propiedad simétrica :

Definamos para cada Veamos que es el elemento simétrico de x :

Veamos el recíproco: Supongamos que el grupo cociente esté formado por los cogrupos derecha. Sean x G, m N arbitrarios. Tomemos un y G que pertenezca al mismo cogrupo que x; existe un n N tal que y = n · x. Elijamos un b G que no pertenezca al cogrupo de x. Con m dado, definimos a=m·b. Al ser G/N grupo, los elementos y·a, x·b pertenecen al mismo cogrupo, por lo que existe un n' N de manera que

Por otra parte, como y · a = n · x · m · b, se tiene

y simplificando,

Luego N es subgrupo invariante de G.

A la misma conclusión se llega si hubiéramos partido de que el grupo cociente estuviera formado por los cogrupos izquierda.

c.s.q.d.

Definición 2.7: Un anillo es un conjunto A con dos leyes de composición internas: adición (+) y multiplicación (·); de modo que :

Respecto a la adición A es un grupo abeliano.

Respecto a la multiplicación A es un semigrupo.

Existe una propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición (en ambos sentidos).

Un anillo A con elemento unidad o anillo unitario es un anillo en que la multiplicación dota al conjunto A de estructura de monoide. Su elemento unidad se representa por 1 y el elemento simétrico de un elemento a por a-1. También se los conoce por elementos inversos. Un elemento que posee inverso es llamado elemento inversible o unitario.

El elemento neutro de la adición es expresado por 0 y los elementos simétricos se representan por —a para cada a A, que también reciben el nombre de elementos opuestos.

Si la multiplicación es conmutativa, se dirá que el anillo es conmutativo.

Finalmente, diremos que un anillo K es un anillo de división si la ley de composición del anillo dota a K ~ {0} de estructura de grupo. Si este grupo es abeliano, se dir que el anillo de división K es un cuerpo.