Kitabı oku: «Estructuras de álgebra multilineal», sayfa 4

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es decir, x = Im f. Entonces f|_def es una aplicación biyectiva entre el ordinal def f y el conjunto x.

El siguiente teorema también es debido a Zermelo :

Teorema 3.3: (de la buena ordenación) Todo conjunto admite un buen orden.

Demostración :

Consideremos un conjunto X. Por el teorema anterior, existe una biyección f entre X y un ordinal y. Construyamos a partir de f un buen orden en X, definiendo la relación de orden

A su vez de este resultado deducimos la siguiente proposición :

Teorema 3.4: Si X es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, entonces existe un conjunto C que contiene exactamente un elemento de cada elemento de X.

Demostración :

Llamemos Y = X. Por el Axioma de amalgamación, Y es un conjunto. Cada elemento u de X es un conjunto y, por el Corolario 3.3, u está bien ordenado. Elijamos su primer elemento. Definimos una aplicación de manera que (u) sea el primer elemento de u, entonces

Y por el Teorema 2.1 del Capítulo 1, C es conjunto.

Teorema 3.5: El Teorema 3-4 implica el axioma de Zermelo.

Demostración :

Sea X un conjunto, y definamos

Obviamente existe una biyección entre X e Y, por lo que resulta que Y es conjunto, con la propiedad de que sus elementos son disjuntos dos a dos. En virtud del Teorema 3.4, construyamos la relación binaria

El mismo teorema prueba que para cada u existe un solo v, por lo que f es una función. Se obtiene de inmediato el Axioma de Zermelo si sustituimos X por P(X). En este caso f sería la función de elección.

Con estos teoremas estudiados, se ha puesto de manifiesto que el Axioma de elección de Zermelo, el Teorema de numerabili dad, el Teorema de la buena ordenación de Zermelo y la Proposición

3.4 son equivalentes. De hecho en muchas ocasiones algunos autores toman esta última proposición como el axioma de elección.

El Axioma de elección de Zermelo posee otras equivalencias que vamos a tratar. Se necesita otros conceptos como es el de cadena, el de elemento maximal y el de conjunto inductivo. El primero de ello se enuncia como :

Definición 3.6: Una clase k se dice que es una cadena si para x, y k arbitrarios se verifica x ⊂ y ó y ⊂ x. Este concepto de cadena también se extiende para toda relación de orden arbitraria .

Lema 3.7: Si k es una cadena y cada miembro de k es una cadena, k es una cadena.

Demostración :

Tomemos x, z k. Existen m, p k tales que x m, z p. Por ser m, p elementos de la cadena k, m p ó p m. Supongamos que m p. Entonces x p, es decir, x, z p, y al ser p cadena por hipótesis, x z ó z x. En virtud de la Definición 3.6, x es una cadena.

Principio maximal de Hausdorff

Teorema 3.8: Sea x un conjunto. Existe una cadena n tal que n ⊂ x, de manera que dada otra cadena m con m ⊂ x y n ⊂ m, se cumple n = m.

Demostración :

Para cada aplicación h definimos la clase

Evidentemente Yh es conjunto por verificar Yh ⊂ V(x). Tomemos una función F que satisfaga el Axioma de elección y definimos la aplicación g como

En virtud del Teorema 2.26, existe una función /, en la que def / es ordinal y que f(u) = g(f|u) para todo ordinal u. Por definición de g, dado u def f, f(u) = g(f|u) = F(Y fu) £ Y fu. Luego /(tt) es una cadena de x, y por tanto f(u) ⊂ x.

Tomemos u,v def f distintos. Al ser u, v ordinales, uno es estrictamente mayor que el otro. Consideremos, por ejemplo, u < v; lo que es equivalente a que u v. Entonces f(u) f(v), luego f(u) ≠ f(v). Por consiguiente, F es inyectiva. Esto hace que f^-1 sea una aplicación. A partir de esta conclusion y puesto que X es conjunto, el Axioma de sustitución asegura que Im f^-1 = def f es conjunto, es decir, un númro ordinal, esto hace que def f . lamemos n este ordinal. Con ello se obtiene que, puesto que def f def f, n def f; y por tanto f(n) = , es decir, g(f) = g(f|deî) = . Pero esto contradice el hecho de que g(f) es un elemento de Y), o lo que es lo mismo g(f) no sería una cadena. Por consiguiente, no hay ninguna cadena contenida en x y que contenga propiamente a cada elemento de Imf. Ahora bien, por construcción de /, Im f es una cadena, y cada miembro de Im f es una cadena por ser imagen de un ordinal. Entonces, en virtud del Lema 3.7, Im f es una cadena que contiene a todo elemento de Im f. Llamemos, pues, n = lm f.

Definición 3.9: Una clase Xx se dice que está parcialmente ordenada respecto a la relación binaria si x y e y z, entonces x z.

Es decir que sólo se exige que la relación binaria posea la Propiedad transitiva. En realidad, de acuerdo con el Teorema de la buena ordenación, todo conjunto admite un buen orden respecto a la relación de orden definida en el Teorema 3.3. Para esta relación todo conjunto está parcialmente ordenado; pero puede suceder que no lo sea para otro tipo de relaciones binarias.

Definición 3.10: Sea A un subconjunto de un conjunto X parcialmente ordenado con la relación binaria . Se dice que c X es cota superior de A si y c para todo y A. Y se dirá que c es cota inferior de A si c y para todo y A. La menor de las cotas superiores de un conjunto se ¡lama supremo, y la mayor de las cotas inferiores es llamada ínfimo.

Un elemento m A se dirá que es maximal si no existe ningún elemento y A que verifique que m y. Y se dirá minimal si tampoco existe un y A tal que y m.

Definición 3.11: Sea X un conjunto parcialmente ordenado con la relación de orden . Se dice que X es un conjunto inductivo (o inductivamente ordenado) si toda cadena posee una cota superior.

Con estas nuevas definiciones, prosigamos estudiando consecuencias del Axioma de elección y sus equivalencias.

Teorema 3.12: (Lema de Zorn) Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal. Demostración :

Sea X un conjunto inductivamente ordenado por una relación de orden . Para cada a x definimos

y con Xa, construimos S = {X_a :a x }.

La aplicación

es biyectiva y conserva el orden, es decir,

Esto implica que S es inductivo con la relación de inclusión C, luego en virtud del Teorema 3.8 posee un elemento maximal, y por lo tanto X también lo tiene.

Teorema 3.13: Todo elemento de un conjunto inductivamente ordenado precede a un elemento maximal. Demostración :

Sea A un conjunto inductivamente ordenado y tomemos u A. Formemos la siguiente clase

Evidentemente B A. Luego en virtud del Teorema 2.1 del Capítulo 1 B es conjunto, que obviamente es inductivo. Por el Lema de Zorn, B posee un elemento maximal m que también es maximal en A. En consecuencia, u m.

Podría suceder que u fuese maximal en A. Dado que u u, résulta que u precede a sí mismo.

Teorema 3.14: El Teorema 3.13 induce el Axioma de elección de Zer- melo.

Demostración :

Sea X un conjunto no vacío arbitrario, y sobre él formemos la clase A de funciones de elección definidas sobre subconjuntos de X. Esta clase es no vacía, pues los subconjuntos de la forma {x} tienen por función de elección la definida por F({z}) = x. En virtud de la Proposición 6.5 del Capítulo 1 A es conjunto por ser subclase de P(X)X, ya que si X es conjunto, P(X) es conjunto (Teorema 2.7 del mismo capítulo).

Establezcamos en A un orden parcial: Dadas f,g A, diremos que f g si y sólo si def f def g y g |def f = f. Claramente esta relación tiene la Propiedad transitiva.

Veamos que A es inductivo :

Consideremos una cadena {f_i} arbitraria de A y hemos de encontrar una cota superior. Para ello construimos la aplicación

Evidentemente es cota superior de la cadena. Luego A es inductivo.

Al ser A inductivo, podemos tomar un elemento maximal h de A que seguirá siendo una función de elección sobre subconjuntos de X. Puede suceder que def h — p(X), o que exista un elemento no vacío (subconjunto de X) u ‘P(X) ~ def h. Si ocurre el primer caso, se tiene ya el Axioma de Zermelo. En caso contrario, tomemos un elemento v u; y definamos la función h {(u, v)} que es una función de elección sobre def h {u}. En consecuencia, h no sería element maximal.

3. Cardinalidad

Iniciamos este Capítulo estudiando los números naturales. Se verá que la clase de estos números no es propia, ya que es elemento de la clase de los números ordinales, estudiada en el capítulo precedente. Probaremos los postulados de Peano, a partir de la definición, que vamos a introducir de número natural. Después nos dedicaremos a desarrollar la teoría de la cardinalidad de los conjuntos y, con ella, expondremos el concepto de número cardinal. Se verá que los números naturales forman un subconjunto de los cardinales. Entonces los números transfinitos serán definidos como los elementos de la clase complementaria. Terminaremos con una sección dedicada a una breve exposición sobre las hipótesis de continuo.

3.1 Números naturales

Se podría creer que es de por sí conjunto, pues basta elegir un conjunto arbitrario x y, por el Teorema 1.15 del Capítulo 1, x; entonces por el Teorema 2.1 del mismo capítulo, resultaría que sería conjunto. Pero si analizamos bien este razonamiento, se verá que el hecho de ser 0 conjunto está condicionado a la existencia de un conjunto x. En realidad, en ningún momento se ha probado que existan conjuntos. Todos los resultados obtenidos parten del hipotético supuesto de que existan.

Una vez más necesitamos un nuevo axioma para poder asegurar que los conjuntos son realidades matemáticas. El axioma que nos disponemos a introducir no sólo nos va a permitir desarrollar la teoría de los números naturales, no sólo eso, sino tambiém construirlos. Este será el último axioma de la Teoría de Conjuntos que hemos estudiado a lo largo de estos primeros capítulos.

IX Axioma del infinito

Para algún y, y es un conjunto

Este axioma asegura que es conjunto. A partir del mismo se construye el conjunto {} (consecuencia del Axioma de unión y del Teorema 3.2.2° del Capítulo 1). A su vez obtenemos el conjunto { {}}, y así sucesivamente.

Definición 1.1: x es un número natural si y sólo si x es un ordinal y E-l ordena bien a x.

Definición 1.2: x es un E-último elemento de y si y sólo si x es un E-1 -primer elemento de y.

Definición 1.3: IN = {x : x es un número natural}.

Teorema 1.4: Un elemento de un número natural es un número natural.

Demostración :

Sea x un número natural, entonces es un ordinal, y por tanto es saturado. Esto hace que cualquier elemento y x será subconjunto. En consecuencia también estará E^-1-conectado. Como además y es ordinal en virtud del Teorema 2.12 del Capítulo 2 y será un número natural.

Proposición 1.5: Si y y x es un E-último elemento de y, entonces y = x + 1.

Demostración :

En virtud de la Proposición 2.21 del capítulo precedente x + 1 es un ordinal y es el E-primer elemento de

Al ser x el E -último elemento de y, es un elemento de y, x y. Y por la Definición 2.18 del mismo capítulo x < y. En consecuencia, y Y. Esto hace que x + 1 ≤ y.

Pero por ser x el E'-último elemento de y y x < x + 1, es falso que x + 1 < y. Luego x + 1 = y.

Teorema 1.6: (Primer Postulado de Peano) Si a: IN, entonces x + 1 IN.

Demostración :

En virtud de la Proposición 2.21 citada en la demostración de la proposición anterior, x + 1 es ordinal.

Puesto que E-1 ordena bien a x, también ordena bien a x + 1. Luego x + 1 es un número natural.

Teorema 1.7: IN y si x IN, entonces ≠ x + 1.

Demostración :

obviamente está E y E^-1 bien ordenado. Por estar bien ordenado por E será un numero ordinal, ya que es un conjunto. Y como además se halla bien ordenado por E^-1, será un número natural.

Por otra parte, tomemos un número natural x. Puede suceder que x = , o que x ≠. En el primer caso,

ya que estos dos conjuntos no tienen los mismos elementos. ( no tiene ninguno, y { } posee uno, ). En el segundo caso,

En ambos casos, se tiene que

si consideramos la Definición 2.20 del Capítulo 2.

Cuando se considere como número natural, se representará por 0. Entonces el Teorema 1.7 toma la forma :

Corolario 1.8: (Segundo Postulado de Peano) 0 no es sucesor de ningún número natural.

Teorema 1.9: (Tercer Postulado de Peano) Consideremos x,y IN tales que x + 1 = y + 1, entonces x = y.

Demostración :

Puesto que x + 1 = y + 1,

Y la Proposición 2.22 del Capítulo 2, aplicada a ambos lados de la igualdad, conduce a

ya que x, y son ordinales por ser núneros naturales.

El cuarto Postulado de Peano, conocido también como “Principio de inducción matemática”, dice así :

Teorema 1.10: Si x IN, 0 x, u + 1 x siempre que u x, entonces x = IN.

Demostración :

Supóngase que x ≠ IN. Entonces tomemos y el E-primer elemento de IN ~ x. Evidentemente y ≠ 0. Dado que y y + 1, y + 1 número natural, existe un ¿-último elemento u de y +1. Pero un E-último elemento es un E^-1-primer elemento. Por ello u x; y se tiene además que y = u + 1 en virtud de la Proposición 1.5. Por lo que y IN (Teorema 1.6) y esto contradice la suposición hecha.

Teorema 1.11: IN es conjunto y IN .

Demostración :

Por el Axioma del infinito, existe un conjunto y tal que y. Además, si x y, x + 1 y. Tomemos a continuación IN y que cumple IN y IN. Obviamente IN y, y si x IN y se tiene que x+1 IN y. Luego IN y cumple las condiciones del teorema anterior, con lo que

Esto hace que

y el Teorema 2.1 del Capítulo 1 asegura que IN es conjunto.

Pero debido a que IN es el conjunto formado por los números naturales, sus elementos son ordinales. En consecuencia, E conecta a IN y IN es saturado porque cada elemento de un número natural es un número natural. Esto hace que IN sea un ordinal, y por consiguiente IN .

Para terminar esta Sección, veamos cómo se construyen los números naturales a partir del cero :

Fijémonos en que cada número natural contiene a todos los números precedentes, de acuerdo con la teoría de los ordinales.

3.2 Números cardinales

Si bien con los números naturales podemos desarrollar la actividad de contar, todavía no estamos en condiciones de justificar la suma o la multiplicación de tales números, así como probar sus propiedades comúnmente conocidas. Para ello, emplearemos otro importante concepto del que gozan los números. Este es el de la cardinalidad.

Definición 2.1: x y si y sólo si existe una aplicación biyectiva f, de manera que def f = x e Im f = y.

En tal caso se dirá que x es equivalente a y, o que x, y son equipolentes. También se dice que los conjuntos x, y son equipotentes o que poseen la misma potencia. Evidentemente es una relación binaria.

Proposición 2.2: La relación binaria es de equivalencia. Demostración :

La propiedad reflexiva se cumple, ya que podemos elegir la función identidad 1_x sobre cada conjunto x.

La propiedad simétrica se deduce del hecho de que si una aplicación f es biyectiva, f-l también es aplicación biyectiva.

Finalmente la propiedad transitiva es consecuencia de que la composición de dos aplicaciones biyectivas es otra aplicación biyectiva.

Definición 2.3: x es un número cardinal si y sólo si x es número ordinal y, si z con z < x, entonces es falso que x z.

En otras palabras diremos que un número cardinal es un número ordinal que no es equivalente a ningún ordinal menor.

Definición 2.4: K = {x : x es un número cardinal}.

Teorema 2.5:

1º

2º E ordena bien a K.

Demostración :

Por la misma definición de /C, al estar formado por ordinales,

Por esta misma inclusión, y debido a que está E-conectado y bien ordenado, también lo estará K.

Definición 2.6: Card = {(x,y) : x y Λ y K}

Teorema 2.7: Card es una aplicación con def Card = e Im Card = K,

Demostración :

Evidentemente Card es una aplicación, ya que verifica la unicidad de la imagen.

Consideremos que def Card ≠ , y tomemos un conjunto

Por el Teorema 3.2 del Capítulo 2, existe un número ordinal w tal que

Pero este ordinal, si no es número cardinal, será equipolente a un ordinal menor, que será por definición número cardinal. Esto hace que y sea equivalente a un cardinal, con lo que y def Card. Esto prueba que def Card = .

Probemos a continuación que Card es suprayectiva. Supongamos que no lo sea y tomemos un número cardinal

Pero, obviamente

con lo que

en contra de la suposición. Luego Im Card = K.

Este teorema prueba el importante hecho de que todo conjunto posee un cardinal. Y todo cardinal tiene asociado al menos un conjunto.

Card x se lee “cardinal de x”. También se conoce como la “potencia de x.

Proposición 2.8: Si x es conjunto, Card x x.

Demostración :

Es consecuencia inmediata de la Definición 2.6.

Proposición 2.9: Consideremos u, v dos conjuntos. Entonces u v si y sólo si Cardit = Cardu. Demostración :

Por la Proposición 2.8, Cardu u, Cardi; v, y por tanto Card

Ahora bien, como Cardu, Cardi; son números cardinales, si son equivalentes son iguales.

El recíproco es inmediato.

Proposición 2.10: Card(Cardx) = Card x.

Demostración :

Si x es un conjunto, Carda: es un número cardinal, y el cardinal de un número cardinal es él mismo.

Si x no es un conjunto, por el Teorema 2.7 x = def Card. Y el Teorema 5.9 del Capítulo 1 asegura que Cardx = . Como a su vez no es conjunto (Corolario 2.2 del mismo capítulo), se verifica también que def Card, y por tanto Card = , es decir,

Proposición 2.11 : x k si y sólo si x es un conjunto y Card x = x.

Trivial.

Teorema 2.12 : Si v y u 3 v, entonces Cardit u ≤ v.

Demostración :

Por el Teorema 1.13 del Capítulo 2, existe una función / que conserva el orden E-E de u en de tal modo que def f = u ó Im f = . Dado que u es conjunto y es clase propia, una consecuencia de dicho teorema (Corolario 1.14) asegura que def f = u. Debido aue / conserva el orden E-E, el Teorema 1.11 del mismo capítulo prueba que f es inyectiva y además f^-1 también conserva el orden E-E.

Supongamos que v C /(«)• Esto hace que

Veamos que f-1(v) también es saturado: Tomemos y f~1(v), entonces f(y) v, pero al ser v saturado (u es ordinal), f(y) C v, con lo que y f^-1(i>). Esto prueba que f^-1(v) es saturado.

Sabido esto, apliquemos la Proposición 2.8 del Capítulo 2, con lo que f(v) v, pero esto es absurdo en virtud del Teorema 1.10 del capítulo citado. Esto hace que se cumpla la inclusión contraria, f(u) v o lo que es lo mismo

(Teorema 2.18 del mismo capítulo)

Ahora bien, dado que Cardu < f(u), se tiene en definitiva

Teorema 2.13: Si y es un conjunto con x y, entonces Card x ≤ Card y.

Demostración :

Como en el teorema anterior, para el conjunto y existe una aplicación / que conserva el orden E-E de manera que f(y) es un cardinal, Card y. Entonces

Por el teorema anterior,

pero como Card f(x) = Carda x, ya que f(x), x son equipolentes por ser f inyectiva, resulta

Teorema 2.14: (Cantor-Bernstein-Schroeder) Si x e y son conjuntos, u x,v y,x v e y u; entonces x y.

Demostración :

Por el Teorema 2.13,

con lo que

y por la Proposición 2.9,

Proposición 2.15: Si f es una función y el dominio de f es un conjunto, entonces Card ( Im f) ≤ Card ( def f).

Demostración :

Tomemos una función F que satisfaga el Axioma de elección, y definimos una aplicación g de la forma

(Evidentemente {u : v = f( u )} es conjunto, puesto que es subclase del conjunto def f). Además def g = Im f y por tanto

Y por el Teorema 2.13,

Veamos que g es inyectiva: Partimos de

o lo que es lo mismo,

Pero por la misma naturaleza de la función de elección, estos dos conjuntos {u : v = f(u)}, {u : w = f(u)} no son disjuntos. Tomemos z {u : v = f(u)} {u :w = f(u)}. En consecuencia,

es decir que g es inyectiva.

Sabido esto, Card Im g = Card def y = Card Imf. En consecuencia, Card

Teorema 2.16: (Cantor) Si x es conjunto, Cardar x < Card 2^x. Demostración :

Definamos la aplicación

que es inyectiva. Esto hace que x es equipolente a un subconjunto de 2^x, entonces por el Teorema 2.13

Si Card x = Card 2^x, existiría una aplicación biyectiva f con def f = x e Im f = 2x. Construyamos el subconjunto de x definido por

y debido a que f es biyectiva, existe un u x de manera que

Pero para que u f(u) se tiene que cumplir que u ^ /(«), lo que es absurdo.

Teorema 2.17: K, no es un conjunto. Demostración :

Si K fuera un conjunto, entonces K sería conjunto y Card(2^k) K. Por consiguiente Card(2K ) C K. Y el Teorema 2.13 nos lleva a

y con la Proposición 2.10,

contradice el Teorema de Cantor. Esto prueba que K no es un conjunto.

La contradicción a que conduce la demostración de este último teorema constituía la paradoja de Cantor, cuando no se distinguía entre clase y conjunto.

Teorema 2.18: Si a;, y IN con x + 1 y + 1, entonces x y.

Demostración :

Debido a que x + 1 y + 1, existe una aplicación biyectiva de x + 1 sobre y + 1. Puesto que x es un elemento de x {x} ≡ x + 1; e y, un elemento de y {y} = y + 1, construyamos la función

Esta aplicación también es biyectiva por construcción, de manera que dado z x, g(z)≠ y. Luego g(z) y. Y viceversa, dado v y, g^-1(v) x. Esto hace que g|_x sea una aplicación biyectiva entre x e y.

Teorema 2.19: IN K.

Demostración :

Tomemos un x IN que sea equipolente a otro número natural menor y, y < x. Por ser ordinales, y x. Y por la Propiedad 13^º de la Sección 1^º del Capítulo 1,

Ahora bien, en virtud del Teorema 2.18,3º del Capítulo 2, y, x son ordinales. Para los ordinales, la expresión (2.19.1) toma la forma

Pero como y, x son números naturales son bien ordenados por E-1. Entonces también serán bien ordenados por E^-1 los ordinales x y, y, como fácilmente puede comprobarse. Esto conduce a que y, x son números naturales. Llamemos x¹ = x, y1= y. En consecuencia, x = x¹ + 1, y = y¹ + 1. Dado que por hipótesis x ~ y, resulta del teorema anterior que x¹ y¹.

Repetimos el proceso hasta llegar a un yq = . Entonces xq con xq ≠ , lo que absurdo. Esto prueba que x es número cardinal.

Teorema 2.20: IN K

Demostración :

Consideremos un x IN tal que x IN. Entonces x x + 1 IN. Por el Teorema 2.13, Card x = Card (x + 1). Ahora bien, acabamos de probar que todo número natural es cardinal, por lo que

lo que es contradictorio. Entonces IN es un ordinal que no es equipolente a ningún ordinal menor, es decir, IN es número cardinal.

Para finalizar esta Sección, estudiaremos la siguientes propiedades generales que poseen los cardinales y que serán utilizadas más adelante :

Proposición 2.21: Si Card A = Card B y Card C = Card D, entonces

En particular se tiene

Demostración :

Tomemos dos biyecciones f :A→>B y g: C →:D, y construimos la aplicación ψ : Ac→B° como ψ(h) = f o h o g-l.

Esta Proposición estará probada si demostramos que ψ es biyectiva. En efecto: La inyectividad de ψ se deduce de inmediato, ya que dado

obtenemos

y, como f, g son biyecciones, resulta

Para probar la suprayectividad de ψ, tomemos un t CD y construimos

Entonces

Finalmente, la segunda expresión se deduce de inmediato de la primera, con tal de tener en consideración la Proposición 6.6 del Capítulo 1.

3.3 Conjuntos finitos e infinitos

Los términos finito e infinito se encuentran muy arraigados en el habla popular. No obstante, si se pretende definirlos es casi imposible conseguirlo en el lenguaje cotidiano. Pero en Matemáticas es frecuente referirse a conjuntos finitos o infinitos, por lo que se exige la necesidad de tener una clara definición para poder trabajar con ellos. Como vamos a ver de inmediato, estos conceptos van a estar completamente delimitados si empleamos la cardinalidad de conjuntos.

Definición 3.1: Un conjunto x se dice que es finito si Card x IN.

Teorema 3.2: Un conjunto x es finito si y sólo si existe un orden de manera que , ^-l ordenen bien a x.

Demostración :

Puesto que Card x IN, E y E-l ordenan bien a Card x. Pero x Card x, es decir, existe una aplicación biyectiva f entre Card x y x. Llamemos = f o E y por tanto ^l = f o E-l, las cuales ordenan bien a x, en virtud de la Proposición 5.10, del Capítulo 1.

Recíprocamente, si , -l ordenan bien a x, entonces el Teorema 1.13 del Capítulo 2 nos propociona una única aplicación / que conserva el orden -E en x y , de manera que def f = x ó Im f = . Si IN Im f, -1 no ordenaría bien a x, pues IN no posee E-último elemento. Pero en virtud del Teorema 3.2 del capítulo citado Im f es equipotente a un ordinal, que será distinto de IN. Por consiguiente Im f IN y, por tanto, x = def/. Aplicando el Corolario 2.11 del mismo capítulo, obtenemos que Im f IN, por lo que x es finito.

Teorema 3.3: Si x e y son finitos, x y es finito.

Demostración :

Por ser x, y finitos, existen sendas , -l que ordenan bien a x, S, S-l que ordenan bien a y.

Establezcamos el siguiente orden :

coincidirá con cuando actúe sobre elementos de x; será igual a S en los puntos y ~ x. Finalmente diremos que v u si v x, u y ~ x.

Es fácil probar que y ^-1 ordenan bien ailly. Por el Teorema 3.2, x y será finito.

Teorema 3.4: Si x es finito y cada elemento de x es también finito, entonces x es finito. Demostración :

Procedamos por inducción :

Si x = que es finito, ya que Card = 0; entonces, por el Teorema 1.13 del Capítulo 1, = , luego es finito.

Consideremos cierto para x cuyo Card x = u.

Probemos para x con Card x = u + 1 :

Puesto que Card x = u + 1 ≡ u {u}, x u {u}. Entonces se puede hacer una partición de x en dos subconjuntos: uno de potencia u (cardinal) y otro que es un singulete y, por tanto, finito. Por el Teorema 3.3, se concluye que x es finito.

Teorema 3.5: Si x e y son finitos, x × y también lo es.

Demostración :

Los conjuntos de la forma {u} × y con u x son finitos, por ser equipolentes a y. Construyamos el conjunto

que es equipolente a x, y por tanto finito, con sus elementos finitos. Entonces

x × y es finito.

Teorema 3.6: Si x es finito, también lo es 2x.

Demostración :

Se procede igualmente por inducción.

Si x = , 2^{= {}, que es finito.}

Supóngase cierto para conjuntos finitos x de cardinal u. Probemos para conjuntos de cardinal u + 1 :

Los subconjuntos de x son de dos tipos de cardinalidad: los de potencia igual a u, y los que son unión de subconjuntos de x con singuletes equipolentes a {ti}. En ambos casos son finitos y, en consecuencia, por el Teorema 3.3, el conjunto partes de x, 2^x, es finito.

Teorema 3.7: Si x es finito, y x y Card y = Card x, entonces y = x.

Demostración :

Debido a que x es finito, será equipolente a un número natural. En esta demostración consideraremos que x sea un número natural, y supondremos que Card y = x. Como x ≠ 0, existe un número natural u de manera que x = u + 1. Si y ≠ x, habrá un subconjunto de u que será equivalente a y, por lo que Card y ≤ u. Pero se ha partido de que Card y = x = u + 1, y por tanto es contradictorio por ser los números naturales, según hemos visto en el Teorema 2.20, números cardinales.

Por conjuntos infinitos entenderemos los que no son finitos, es decir, aquellos conjuntos x que verifiquen que Card x K, ~ IN.

Proposición 3.8: Si x es un conjunto infinito, existe un subconjunto y x, y ≠ x, tal que y x.

Demostración :

Puesto que x es infinito, IN Carda x (por ser ordinales). Construyamos la aplicación f de Card x en K como

Esta función es inyectiva y su conjunto imagen es Im f = Card x ~ {0}. Existe un y x, y *#x2260; x, tal que Card y = Card x ~ {0}. Pero por la inyección de f, Card x Card(x ~ {0}), y por tanto

lo cual es la tesis de la proposición.

Definición 3.9: Un conjunto es numerable si su cardinal es igual a Card IN.

Se dice que un conjunto es contable si es, o finito, o numerable.

Proposición 3.10:Todo conjunto infinito posee un subconjunto numerable.

Demostración :

Tomemos un conjunto infinito x arbitrario. Por el Axioma de elección, sea F una función de elección. Llamemos

Apliquemos F al conjunto x ~ {a₀}, y llamemos

Volvamos a hacer actuar F sobre el conjunto x ~ {a₀a₀} y obtendremos otro elemento 02, y así sucesivamente. Sea el subconjunto de x formado por los elementos obtenidos por la aplicación sucesiva de la función de elección :