Kitabı oku: «Finanzas para la formación del contador público», sayfa 2
Equivalencia de tasas de interés
Contexto
Dos tasas de interés son equivalentes cuando ambas, operando en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro, si se está pensando en una inversión monetaria. Aquí es preciso analizar que el concepto “operando en condiciones diferentes” hace referencia a que ambas tasas de interés capitalizan o reconocen intereses en periodos diferentes, o también a que una de ellas es vencida y la otra es anticipada, ya sea que su expresión esté en términos nominales o periódicos. En este orden de ideas, resulta fundamental comprender el manejo de las tasas que se deben aplicar para el tratamiento de los flujos de efectivo correspondientes.
Planteamiento del problema
En el desarrollo de una operación de crédito para la empresa ABC, que desea ampliar su planta de producción, el Banco de Crédito S. A. le está entregando una tasa nominal trimestre vencido del 28,5 % para un monto solicitado de $ 100 000 000. Se requiere saber cuál es la tasa efectiva anual equivalente que debe asumir la empresa en la atención de su obligación financiera y cuál la tasa que le será aplicada al préstamo en cada una de sus cuotas mensuales vencidas. El crédito ha sido otorgado para un plazo de 36 meses.
Datos del problema
Empresa: ABC
Banco: Banco de Crédito S. A.
Monto del crédito: $ 100 000 000
Tasa nominal: inom,tv = 28,5 %
Periodicidad de los pagos: mensual
Interrogantes planteados
¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual equivalente de la tasa nominal del inom,tv = 28,5 %? ¿Cuál será la tasa de interés periódica mensual equivalente, imv?
Solución del problema
A partir de inom,tv = 28,5 %, se conoce que la tasa periódica implícita es
Luego viene la equivalencia entre las tasas periódicas vencidas relacionadas: (1 + 0,07125)4 ≅ (1 + ieff)1, por lo tanto, 1,316932 = 1 + ieff
De esta manera, la tasa efectiva anual equivalente es:
La tasa de interés periódica mensual sería: (1 + 0,316932)1 ≅ (1 + imv)12, por lo tanto, 
De esta forma, la tasa periódica mensual equivalente es:
Análisis y conclusión
En suma, existe equivalencia en tasas de interés de igual periodicidad, así como entre tasas de diferente periodicidad solo que, en este último caso, el estudiante debe tener claro que es preciso realizar previamente las conversiones que se requieran, especialmente cuando de una tasa vencida se quiere llegar a una tasa anticipada o viceversa. En conclusión, financieramente hablando, las siguientes tasas de interés son equivalentes:
Ecuaciones de valor
Contexto
En ocasiones existen obligaciones o compromisos financieros diseñados para ser cubiertos en diferentes fechas. Teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, resulta necesario utilizar herramientas matemáticas que permitan manejar este tipo de situaciones con el fin de conocer todas sus variables. Para ello se utilizan las ecuaciones de valor, las cuales permiten comparar montos ubicados en diferentes momentos del tiempo utilizando una fecha focal, que es la fecha a la cual se deben llevar todos los flujos para hacerlos comparables.
Planteamiento del problema
Una persona natural tiene una cuenta de ahorros con $ 15 000 000 en Banco Empresarial. Este banco le ofrece una tasa de 0,9 % mensual como rendimiento. Esta persona ha contactado a un asesor bancario con el fin de recibir asesoría frente al manejo de su dinero, teniendo en cuenta que tiene unas necesidades específicas. Puntualmente, necesita hacer retiros en los meses 3, 6 y 9, tales que cada retiro sea el doble del anterior, ya que de esta manera pactó la financiación correspondiente a la compra de una motocicleta. Adicionalmente, esta persona requiere tener disponibles $ 800 000 al final de año, dado que planea realizar un paseo. Se debe calcular el valor de los retiros teniendo en cuenta las necesidades financieras específicas de esta persona.
Datos del problema
Persona: natural
Banco: Banco Empresarial
Monto en la cuenta de ahorros: $ 15 000 000
Tasa periódica: 0,9 % mensual
Periodicidad de retiros: trimestral
Interrogantes planteados
¿Cuál es el valor de los retiros en los meses 3, 6 y 9 para que tenga un saldo en el periodo 12 correspondiente a $ 800 000?
Solución del problema
Se debe plantear la ecuación de valor correspondiente a la fecha focal seleccionada. En este caso la ecuación de valor se plantea llevando como fecha focal el periodo 0:
Se debe despejar:
Análisis y conclusión
El valor de los retiros en el mes tres es de $ 2 177 427, en el mes seis es de $ 4 354 853 y en el mes nueve de $ 8 709 707, manteniendo un saldo en el periodo 12 correspondiente a $ 800 000 y manejando una tasa de interés de 0,9 % mensual.
Tasas de interés indizadas o indexadas
Contexto
En el mercado público de valores existe una gran variedad de alternativas e instrumentos de inversión, con tasas fijas y tasas variables. Para aquellos instrumentos con tasas variables como los bonos corporativos o los títulos de deuda pública (TES), las rentabilidades pueden estar indizadas (o indexadas si se usa este vocablo impropio) a determinados indicadores económicos como la DTF o el IPC. Incluso, puede darse el caso de una indización a una de estas tasas variables, adicionadas en un margen o spread (puntos porcentuales adicionales). Es el caso del pago de los cupones periódicos de un bono corporativo indizado al DTF + un margen, o el de un título de deuda pública indizado al IPC + un margen. En este orden de ideas, resulta fundamental comprender el manejo de las tasas que se deben aplicar para el tratamiento de los flujos de efectivo correspondientes.
Planteamiento del problema
A un inversionista le ofrecen dos alternativas de inversión. En la primera la rentabilidad está atada al DTF + 1,3 %, mientras que la segunda alternativa de inversión ofrece una rentabilidad indizada al IPC anualizado correspondiente + 4 %. La base para liquidar la inversión es de 360 días. La DTF vigente es del 4 %, mientras que el IPC anualizado vigente es del 2 % efectivo anual. ¿Qué decisión debe tomar el inversionista?
Datos del problema
Alternativa A: DTF + 1,3 %; DTF vigente = 4 %
Base de liquidación = 360 días
Margen o spread = 1,3 %
Alternativa B: IPC + 4 %; IPC anualizado vigente = 2 % efectivo anual
Base de liquidación = 360 días
Margen o spread = 4 %
Interrogantes planteados
¿Qué decisión debe tomar el inversionista si está interesado en invertir una suma importante de dinero?
Solución del problema
Para el ejercicio debe tenerse clara la naturaleza de las tasas variables que fungen como base, de suerte que los puntos adicionales siempre coinciden con dicha naturaleza. En este sentido, la DTF tiene naturaleza inom,ta por lo que el margen o spread también estará en inom,ta y será posible sumar literalmente los valores para obtener la tasa final y convertirla a una tasa efectiva anual equivalente. Resulta perentorio que la expresión de la DTF se encuentre expresada en su naturaleza, pues de estar en términos de EA, por ejemplo, deberá ser convertida a una tasa inom,ta equivalente para poder adicionar los puntos del margen o spread. De igual forma, el IPC anualizado vigente corresponde con la inflación cuya naturaleza es efectiva anual, EA. Así mismo, el margen o spread, en este caso, el 4 % también estará en EA.
Así las tasas finales serán:
Alternativa A: DTF + 1,3 %; DTF vigente = 4 %
Esta tasa tiene una EA equivalente del:
• A partir de inom,ta = 5,3 %, la tasa periódica implícita es:
• Esta tasa tiene una tasa periódica trimestre vencido equivalente a:
• Luego viene la equivalencia entre las tasas periódicas vencidas relacionadas:
• De esta manera, la tasa efectiva anual equivalente es
Alternativa B: IPC + 4 %; IPC anualizado vigente = 2 % efectivo anual
Que se traduce en una (1 + ifinal) = 1,05352, es decir, ieff = 5,352 % EA
Análisis y conclusión
El estudiante deberá tener presente que para las tasas indizadas es preciso disponer de las tasas bases en la expresión original, esto es, en la correspondiente a su naturaleza, para poder proceder con la adición de los puntos del margen o spread. Ello occurre por cuanto la tasa base puede venir expresada en otra denominación y se hace necesario llevarla a su expresión natural. En este orden de ideas, para este problema la decisión se obtiene una vez se comparan las tasas EA equivalentes de las dos alternativas de inversión. En este sentido, la alternativa A resulta tener un mejor rendimiento que el de la alternativa B. Así:
Anualidades
Contexto
En las transacciones financieras existen ciertos datos e informaciones que resultan fundamentales a la hora de tomar decisiones. Un ejemplo de ello es el valor que un deudor debe pagar periódicamente para cumplir con sus obligaciones, esto en el caso del prestatario. Esta lógica se aplica de manera inversa cuando se analiza el problema desde el punto de vista del prestamista. En línea con lo anterior, se precisa que esos pagos iguales y periódicos, llámense anualidades, series uniformes y su determinación, son básicos para la planeación financiera a nivel personal o empresarial de cara al cumplimiento de las obligaciones pactadas.
Planteamiento del problema
Un centro de cómputo para una microempresa tiene un valor de $ 17 000 000. El gerente de esta compañía decide revisar la posibilidad de tomar un préstamo para financiar este requerimiento, teniendo en cuenta que en ese momento el flujo de caja de la compañía no se encuentra en su mejor momento, ya que se han cubierto otras necesidades prioritarias. Para ello, el gerente llama al agente comercial del banco Panato Corp., entidad con la cual manejan todo su portafolio financiero. El agente comercial le indica que este préstamo se lo pueden otorgar a una tasa de 1,53 % mensual y, de acuerdo con la solicitud de la compañía, el plazo sería de 12 meses. Con las condiciones anteriores claras, el agente comercial del banco Panato Corp. debe realizar los cálculos necesarios para informarle al gerente el valor de la cuota a pagar mensualmente para cumplir con la obligación derivada del préstamo.
Datos del problema
Persona: microempresa
Banco: Panato Corp.
Monto del préstamo: $ 17 000 000
Tasa: 1,53 % mensual
Periodicidad de cuotas: mensual
Interrogantes planteados
¿Cuál es el valor de la cuota o anualidad que debe pagar mensualmente la microempresa para cumplir con la obligación del préstamo?
Solución del problema
Siguiendo la notación de Moyer, la solución al problema se puede escribir de la siguiente manera:
Donde,
PVAN12: valor presente de la anualidad (present value of an ordinary annuity) a 12 meses.
PMT: pago de la anualidad.
PVIFA1,53 %, 12: valor presente del factor interés de una anualidad (present value of an annuity interest factor). En este caso el interés es de 1,53 % y 12 periodos.
Una vez definida la notación para resolver el problema, se procede a su solución por partes, empezando por el valor presente del factor interés de la anualidad:
Reemplazando se tiene:
Llegando al siguiente resultado:
Como lo que se pretende hallar es el valor de la anualidad, en esta expresión se despeja PMT:
Conociendo los valores de cada una de las variables, estas se reemplazan:
Con esto, la anualidad o pago es de:
Análisis y conclusión
El valor de la cuota o anualidad que deberá cubrir el gerente de la empresa mensualmente para poder financiar su centro de cómputo es de $ 1 561 566 mensuales.
Perpetuidades
Contexto
Algunas transacciones permiten pagar un flujo de manera permanente, que se puede describir como una serie infinita de pagos o una anualidad infinita. En estos casos, se recurre a la utilización de la forma de las perpetuidades, las cuales permiten trabajar transacciones o activos que denotan este tipo de comportamiento.
Planteamiento del problema
Una importante compañía pretende realizar una inversión en una acción que va a tener por un tiempo indeterminado. La compañía conoce que el dividendo anual de esa acción es de $ 135 000 anuales, con una tasa del 20 % EA. Para tomar la decisión de invertir en la actualidad, el gerente financiero está solicitando evaluar esa perpetuidad, es decir, su valor presente.
Datos del problema
Persona: empresa
Dividendo: $ 135 000
Tasa: 20 % EA
Interrogantes planteados
¿Cuál es el valor presente de la perpetuidad?
Solución del problema
Siguiendo la notación de Moyer, la solución al problema se puede notar de la siguiente manera:
Donde,
PVPER0: valor presente de la perpetuidad
PMT: pago de la perpetuidad (en este caso el dividendo)
Una vez definida la notación para resolver el problema, se procede a su solución.
Reemplazando se tiene:
Con esto, la perpetuidad es de:
Análisis y conclusión
El valor de hoy de la acción que indefinidamente dará un dividendo anual de $ 135 000, a una tasa de 20 % EA, es de $ 675 000. Con esta información, el gerente financiero podrá decidir si adquirir o no esa acción, comparando el monto de inversión con el que debe asignar para obtener otros activos.
Gradiente geométrico
Contexto
En matemáticas financieras es útil es uso de modelos matemáticos que consideren flujos de caja conformados por una serie de pagos que varían de manera uniforme a través del tiempo, ya sea para incrementarse o disminuirse. Este tipo de comportamiento modelado se describe como gradientes o series variables.
Planteamiento del problema
A un estudiante universitario sus papás lo apoyarán económicamente por los siguientes dos años. Él necesita realizar las respectivas proyecciones de ingresos, ahorro y saldo en su cuenta, porque al final de los dos años quiere comprar su primer carro. Lo que él desea verificar es si la mesada que le dan sus padres es suficiente para cumplir con la meta, o por el contrario debe encontrar ingresos extra trabajando desde ya como contador. Cada mes ahorrará el 50 % de su mesada que durante el primer año será de $ 200 000 semanales, es decir, $ 800 000 mensuales. Sus padres son conscientes de la inflación, por lo tanto, cada año le reajustan ese porcentaje.
El estudiante se informa por diferentes medios y las proyecciones de inflación para el próximo año serán del 7 %. Todo el dinero que él ahorra, lo depositará mensualmente en su cuenta de ahorros de Bancolombia, banco que le paga un interés del 0,5 % mensual. De la misma manera, él prefiere hacer sus depósitos en el banco al final de cada mes, a pesar de que recibe su mesada semanalmente.
Datos del problema
N = 24 meses
Flujo 1 = 800 000 mensuales
Gradiente = 7 % (cambio en la mesada de un año al otro)
i = 0,5 % mensual
Interrogantes planteados
1. ¿Cuánto tendrá ahorrado en la cuenta de Bancolombia al final de los dos años?
2. Si el carro que usted desea según las proyecciones del mercado, en dos años cuesta $ 20 000 000. ¿Lo puede comprar con el dinero ahorrado?
Solución del problema
El problema puede ser resuelto planteando un gradiente geométrico escalonado. Los escalones corresponden a cada periodo anual, ya que el estudiante en el primer año de mesada recibe $ 800 000 mensuales y el siguiente año recibe el 7 % más:
Para resolver un gradiente geométrico escalonado creciente:
Donde,
Como se puede observar, se debe trabajar la tasa expresada en términos mensuales, pero también expresada en términos anuales, por tanto, se debe realizar la conversión:
El estudiante ahorra el 50 % de su mesada, es decir:
Ahorro = 800 000 × 50 %
Ahorro = 400 000
Con esto se hace el reemplazo de variables en la ecuación
Análisis y conclusión
Al final de los dos años, el estudiante tendrá ahorrado $ 10 518 000, que es el resultado del valor futuro del gradiente geométrico escalonado creciente.
Si el carro que el estudiante desea comprar en dos años, según las proyecciones del mercado cuesta $ 20 000 000, no lo podría comprar con el dinero ahorrado. Le faltarían $ 9 482 000.
Valor presente neto
Contexto
En el contexto de las matemáticas financieras resulta importante resolver problemas que involucran el concepto de valoración de alternativas de inversión por parte de un inversionista. Una de las metodologías que se suele utilizar tiene que ver con la aplicación del VAN(i %) o VPN(i %), que consiste en descontar al tiempo presente todos los flujos proyectados, tanto ingresos como egresos, para poder realizar una diferencia en tiempo presente que permita aplicar la regla de decisión prevista al evaluar si el VAN (i %) = VP (ingresos) − VP (egresos) es mayor que cero; menor que cero, o igual a cero. En este orden de ideas, podremos definir sobre el proyecto objeto de estudio o análisis así: si VAN (i %) > 0, el proyecto es viable y por tanto se recomienda; si VAN (i %) < 0, el proyecto no resulta viable y entonces no es recomendable; mientras que si VAN (i %) = 0, aparece un umbral de indiferencia y sobre el proyecto no se puede tomar una decisión plausible.
