Kitabı oku: «Manual de matemáticas financieras», sayfa 2
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Información del contenido de la página web
El material marcado con asterisco (*) solo está disponible para docentes.
Capítulo 1 Introducción
Mapa conceptual
Autoevaluación
Presentaciones*
Capítulo 2 Interés simple
Mapa conceptual
Autoevaluación
Presentaciones*
Capítulo 3 Interés compuesto
Mapa conceptual
Autoevaluación
Presentaciones*
Capítulo 4 Tasas de interés
Mapa conceptual
Autoevaluación
Presentaciones*
Capítulo 5 Rentas o series uniformes
Mapa conceptual
Autoevaluación
Presentaciones*
Capítulo 6 Rentas perpetuas y rentas variables
Mapa conceptual
Autoevaluación
Presentaciones*
Capítulo 7 Sistemas de amortización de préstamos
Mapa conceptual
Autoevaluación
Hoja de Excel:
• Préstamos con intereses sobre saldos, tablas de evolución
• Modelo de préstamo francés con IVA, gastos y otros detalles
• Préstamos con indexación del capital
• Préstamos, problemas resueltos Presentaciones*
Presentaciones*
Capítulo 8 Métodos de evaluación de proyectos de inversión
Mapa conceptual
Autoevaluación
Hoja de Excel:
• Métodos de evaluación de proyectos, problemas resueltos
Presentaciones*
Capítulo 9 Introducción al análisis de bonos
Mapa conceptual
Autoevaluación
Hoja de Excel:
• Bonos, ejemplos del capítulo y problemas resueltos
Presentaciones*
Capítulo 10 Métodos de depreciación
Mapa conceptual
Autoevaluación
Hoja de Excel:
• Métodos de depreciación, ejemplos del capítulo y problemas resueltos.
Presentaciones*
Capitulo 12 La fórmula de Black-Scholes
Hoja de Excel:
• Valor de la opción de compra con la fórmula de Black-Scholes
Fe de erratas
Prefacio
Las matemáticas financieras tal vez sean una de las pocas disciplinas estudiadas en la facultad que tiene una aplicación inmediata en una gran cantidad de problemas que enfrentamos en la vida real: cálculos de tasas de interés efectivas, equivalencias de rendimientos para distintas operaciones, saldos de deuda en un préstamo, refinanciaciones de obligaciones, rentabilidad de bonos, etc. Cada vez que la inflación asoma su horrible cabeza, se suma la complejidad de un contexto inflacionario, donde se hace necesario el cálculo del rendimiento «real» de las operaciones y el conocimiento acerca de cómo funcionan los índices de precios.
En la vida real, a menudo los problemas no se resuelven mediante la aplicación directa de una fórmula; los detalles hacen que las soluciones sean necesariamente indirectas. Es por eso que, ante una situación novedosa, es necesario el conocimiento científico previo para resolverla satisfactoriamente.
Sin abandonar el tratamiento matemático riguroso, se ha tratado de mantener las demostraciones matemáticas en el nivel necesario, privilegiándose la aplicación práctica. No obstante, no aparecen en este libro fórmulas sueltas; en todos los casos se realiza su deducción previa, pues creemos que saber de dónde salen las fórmulas entrena al practicante para lidiar con los detalles de los problemas reales y las situaciones nuevas que suelen aparecer en la práctica.
Nuestro deseo es que esta obra quede «gastada» por su manoseo en la consulta diaria, que brinde al lector un conocimiento acabado del cálculo financiero y que se convierta en una referencia obligada para ayudar a tomar mejores decisiones financieras.
Guillermo L. Dumrauf
Destinatarios
Este libro está destinado fundamentalmente a los estudiantes de la carrera de grado que realizan su primer curso de matemáticas financieras; también es adecuado para cursos de posgrado, analistas financieros, ejecutivos financieros y otros profesionales que hagan uso de las matemáticas financieras en su labor cotidiana.
Panorámica de la obra
Las categorías que componen las matemáticas financieras se encuentran llenas de detalles; no obstante, el orden de los temas sigue la estructura lógica que debe tener un manual sobre la disciplina y que permita al lector transitar con fluidez por la avenida principal de las matemáticas financieras.
El Capítulo 1 constituye un repaso dedicado al lector que busque refrescar sus conocimientos de matemática básica. Aquí se explican de manera sencilla las operaciones más comunes: trasposición de términos, potenciación, logaritmos y derivadas.
Los Capítulos 2, 3 y 4 se ocupan de las operaciones simples, con un solo capital. Aquí tratamos el interés simple, el interés compuesto y las tasas de interés.
Los Capítulos 5 y 6 tratan las operaciones «complejas», tal como se denomina a aquellas operaciones que involucran una serie de pagos uniformes o rentas. En la vida real, hay una cantidad de situaciones donde se producen corrientes de pagos a intervalos equidistantes de tiempo, como los planes de ahorro, las jubilaciones y pensiones, los fondos de amortización y las valuaciones de acciones por el método de dividendos, por nombrar algunas.
El Capítulo 7 trata los sistemas de amortización de préstamos sobre saldos. En todos los casos se incluyen aspectos prácticos como la refinanciación de deudas, los costes asociados a la transacción y otros.
El Capítulo 8 aborda las técnicas de evaluación de proyectos, que es generalmente el capítulo preferido tanto por los profesores como por los alumnos.
El Capítulo 9 constituye una introducción al cálculo del rendimiento y la valoración de títulos de renta fija o bonos.
El Capítulo 10 trata sobre los distintos métodos de depreciación de los activos fijos.
El Capítulo 11 constituye una introducción al mundo de las opciones financieras y, finalmente, el Capítulo 12 trata la fórmula de valoración de opciones de Black-Scholes.
En cada capítulo, se ha procurado una inmediata conexión con las situaciones reales que enfrentan cotidianamente los profesionales que hacen uso de las matemáticas financieras. Por caso, el efecto de los coeficientes de indexación creados por los gobiernos nacionales en las operaciones financieras, condiciones que suelen ofrecer los bancos en los préstamos y otras operaciones. Se incluyen varias aplicaciones con hoja de cálculo tipo Excel y también calculadora financiera del tipo HP 12 C, que permiten resolver los problemas con mayor rapidez.
En total, esta edición contiene cerca de 100 preguntas y más de 200 ejercicios, además de las preguntas de autoevaluación y los ejercicios y ejemplos que aparecen tratados dentro de cada capítulo. La totalidad de las respuestas y las resoluciones aparecen al final de cada capítulo, donde se detallan las fórmulas utilizadas y se ofrece un comentario para los ejercicios más complejos que ayuda a su resolución paso a paso.
Página web del libro
El libro cuenta con una página web que contiene cuestionarios y ejercicios diseñados por Gabriel Gambetta (candidato a Doctor en Finanzas, CEMA) y que serán de invaluable apoyo para los alumnos, donde podrán verificar y autocalificar su desempeño en matemática financiera. Para acceder a estos materiales, siga las instrucciones de la página XXI.
Reconocimientos
Siempre digo que la parte de los agradecimientos es una de las que más disfrutamos los autores. En realidad, el placer es doble, ya que esta sección se escribe después de haber sido consumido por los laberintos del libro. Por ello, quiero agradecer a los docentes que se tomaron el trabajo de realizar una lectura crítica y juiciosa de algunos capítulos. Tuve la ayuda desinteresada de los siguientes profesores: David Yepes Raigosa y Héctor Cadavid Jiménez (Universidad EAFIT, Colombia), Mario Cruz Vargas (Universidad Autónoma de Nuevo León, México).
Un agradecimiento especial para la profesora Soledad Retamar, que hizo una revisión concienzuda y que me ayudó mucho para corregir errores de la primera edición.
Deseo agradecer a mis editores, Marcelo Grillo Gianetto y Damián Fernández, que confiaron en el proyecto y a Diego Linares que diseñó el lay-out de la obra. También a Alejandro Aranda Durañona que, siempre con su buen gusto, diseñó la tapa del libro.
Finalmente, quiero agradecer a aquellos que, sin saberlo, fueron sometidos a los primeros borradores, cuando en el aula o en la vida real se trataba una cuestión o se analizaba una operación financiera. Y a todos aquellos que aun ignorando que sus opiniones estaban alimentando la obra, han proporcionado un invaluable aporte.
| «No basta tener buen ingenio; lo principal es aplicarlo bien.»René Descartes (1596-1650),filósofo y matemático francés | 1 |
Introducción
Contenido
1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras?
1.2 Revisión de álgebra
1.3 Contenido de la página web de apoyo
Objetivos
• Repasar operaciones matemáticas básicas.
1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras?
¿Cuán importante es saber matemáticas financieras para el profesional en ciencias económicas? En primer lugar, puede decirse que es una parte fundamental de la matemática de los negocios y que es una de las pocas materias que se estudia en las carreras de ciencias económicas que, una vez aprendida, tiene aplicación inmediata. El conocimiento de las matemáticas financieras es obligatorio para el profesional que se desempeña en los mercados de capitales, ya que debe analizar permanentemente el rendimiento de inversiones financieras como acciones, bonos o portafolios de inversiones. Para el profesional que se desempeña en las finanzas de empresa, también es necesaria, ya que deberá revisar el rendimiento de un depósito a plazo, la viabilidad de un proyecto de inversión o analizar la conveniencia de un préstamo.
Saber matemáticas financieras ayuda a mejorar la asignación de los recursos, con lo cual toda la sociedad sale ganando. Por ejemplo, imagine que debe seleccionar la inversión más rentable entre un conjunto de proyectos que conducen a diferentes costes, ingresos y vida útil de los equipos involucrados. Seleccionar la mejor inversión conduce a un mayor ingreso para distribuir entre los propietarios y esto luego se refleja en un mayor consumo, mejorando la economía como un todo.
En el ámbito personal, también hay razones para conocer las herramientas fundamentales de las matemáticas financieras. La mayoría debería estar de acuerdo en que debemos tener un plan financiero para ciertas metas en nuestra vida: comprar una vivienda, garantizar la educación de nuestros hijos y el retiro personal se cuentan entre las más importantes.
El valor tiempo del dinero: un euro del futuro vale menos que un euro del presente
En las operaciones financieras, siempre están presentes tres elementos: el capital, el tiempo de la operación y la tasa de interés. ¿Cuál es el valor del tiempo? El tiempo siempre tiene valor, pues, si hoy contamos con 1 €, tenemos la oportunidad de colocarlo a interés durante un año, al cabo del cual tendremos el euro inicial más el interés ganado:
Figura 1.1 Valor futuro de un euro colocado a interés.
Regla: un euro del futuro vale menos que un euro del presente.
Si tenemos el derecho a cobrar un euro dentro de un año, pero deseamos el efectivo, su disponibilidad inmediata tendrá un precio, que es el descuento: recibiremos solamente el valor presente del euro futuro:
Figura 1.2 Valor presente de un euro futuro.
En el ejemplo anterior, solo había un período en la operación. El valor tiempo del dinero a veces nos da sorpresas, especialmente cuando hay capitalización compuesta de intereses. Imagine que a usted le han prestado un euro hoy a una tasa del 20 % anual. Dentro de 5 años, usted debería casi 2,5 euros. La figura 1.3 muestra la evolución de un euro a lo largo de 5 años, con capitalización de intereses para cada año:
Figura 1.3 Evolución de un euro en 5 años.
Una pintoresca leyenda acerca de la fuerza del interés compuesto es la que nos cuenta sobre la vida de Hetty Green (1834-1916), también conocida como «la bruja de Wall Street». Cuenta la historia que Hetty Green recibió, como herencia de su padre, un millón de dólares y centuplicó su valor al cabo de 50 años. No buscaba los rendimientos de corto plazo; en cambio, invertía conservadoramente en busca de los rendimientos de largo plazo. Se dice que a su fallecimiento, 50 años después, su millón heredado se convirtió en casi 100 millones. Debemos percatarnos de que esto puede alcanzarse con una tasa ligeramente superior al 9,5 % anual a interés compuesto, como puede verse en la figura 1.4.1 Los beneficios del interés compuesto requieren un horizonte de largo plazo. El punto clave es que el valor de un capital fijo se incrementa con el paso del tiempo.2
Figura 1.4 Evolución de 1 millón al 9,6% anual compuesto.
Hetty Green probó que las mujeres no son «financieramente» inferiores al hombre. Según cuenta la leyenda, batalló con los mejores hombres financieros y ganó varias veces. Hoy las mujeres tienen mayores oportunidades para trabajar en el área de finanzas y esto se refleja en una mayor participación de mujeres en trabajos que antes ocupaban solamente los hombres.
Diferencia entre el interés y la tasa de interés
La tasa de interés representa el precio de la unidad de capital en la unidad de tiempo. En tal sentido, representa el precio por «alquilar» una unidad o un euro de capital. Para los cálculos matemáticos, la tasa de interés siempre es expresada en tanto por uno. Por ejemplo, para una tasa de interés del diez por ciento, sería:
0,10 (en tanto por uno) Multiplicando 0,10 × 1 = 0,10
En este ejemplo, la tasa de interés y el interés coinciden; pero solamente ocurrirá cuando el capital es igual a la unidad: para un capital cualquiera, por ejemplo, C = 900, entonces 0,10 × 900 = 90.
El interés representa el valor absoluto (el valor en «metálico») que resulta de multiplicar la tasa de interés por un capital.
Recuerde que la tasa de interés siempre expresa un valor relativo mientras que el interés representa una magnitud absoluta, en «metálico». La tasa de interés aparece expresada simbólicamente también en tanto por ciento, generalmente cuando es publicitada en las pizarras de los bancos (por ejemplo, podemos ver que los bancos publicitan las tasas de interés para los depósitos a plazo fijo como 1 % para 30 días, etc.).
Diferencia entre incremento porcentual y veces en que crece un capital
A veces se confunde el porcentaje de rendimiento con la cantidad de veces en que crece un capital o un índice de precios. La tabla 1.1 aclara la diferencia. Mientras que un incremento del 100 % es igual a 2 veces de incremento en el capital, 900 % es igual a 10 veces:
Tabla 1.1 Incremento porcentual e incremento medido en cantidad de veces
| Capital al inicio | Capital al final | Incremento en porcentaje | Incremento en cantidad de veces |
| 100 | 200 | 100 % | 2 |
| 100 | 1000 | 900 % | 10 |
Es fácil ver que 1000 es igual a 100 diez veces; sin embargo, para calcular el porcentaje de incremento, la cuenta clásica es 1000/100 − 1, y luego multiplicamos este resultado por 100 para obtener el porcentaje de incremento. En el Capítulo 2, cuando tratemos el interés simple, se aclarará perfectamente por qué se realiza de esta forma el cálculo del incremento porcentual.
Tasas de interés e inflación
La tasa de interés suele contener siempre tres componentes: la inflación, el interés puro y el riesgo. En esta sección analizaremos brevemente los dos primeros y en la próxima sección veremos el componente riesgo.
Cuando existe inflación, la tasa de interés pasa a ser aparente, pues si queremos medir el verdadero rendimiento, debemos calcular la tasa de interés real. Le enseñaremos a hacerlo en el Capítulo 4. Por ahora diremos que cuanto mayor sea la tasa de inflación, mayor debería ser la tasa de interés, pues si los depósitos a plazo no recibieran como mínimo la tasa de inflación, los depositantes no tendrían ningún incentivo para realizarlos, ya que la inflación disminuiría su valor.3
Además, es justo que la tasa de interés tenga un rendimiento que recompense, además de la inflación, la espera. Cuando un individuo deposita dinero en el banco, pospone su consumo mientras el individuo que recibe ese dinero lo anticipa. Esa espera, que no es otra cosa que el «alquiler» del dinero, representa el «interés puro» o real. Cuando la tasa de interés supera a la inflación, la tasa de interés real es positiva; cuando la inflación supera a la tasa de interés, la tasa de interés real es negativa.
Tasas de interés y riesgo: un euro con riesgo vale menos que un euro sin riesgo
Cuanto mayor es el riesgo de una inversión, mayor debe ser la recompensa por asumir dicho riesgo y, por lo tanto, mayor deberá ser la tasa de interés que rinde dicha inversión. Es natural que a las inversiones peligrosas se les exija un mayor premio a cambio para compensar el riesgo asumido.
Regla: un euro invertido con riesgo vale menos que un euro invertido sin riesgo.
Imagine dos letras del tesoro con vencimiento a un año. Ambas devolverán 100 € al inversor al cabo de un año. La primera corresponde a una letra emitida por el tesoro de EE. UU. y es considerada libre de riesgo. Se vende en el mercado por 97,08 €, lo cual implica un rendimiento anual del 3 %. En cambio, la segunda letra es emitida por un país emergente, y como es considerada con cierto riesgo, se vende en el mercado por 96,15 €, lo cual implica un rendimiento del 4 %. La diferencia de rendimientos (4 % – 3 % = 1 %), es lo que se conoce como el «premio por el riesgo».
Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real
Las matemáticas financieras tienen inmediata aplicación en una gran cantidad de situaciones de la vida real. Una vez que usted aprenda matemáticas financieras, comprobará que será capaz de:
• Calcular el rendimiento efectivo de un depósito a plazo. Este tipo de operación es muy común cuando debemos calcular el rendimiento de nuestros ahorros. Normalmente, deberá calcular la tasa efectiva de una operación de depósito, en la cual el banco le ofrece una tasa nominal anual.
• Comparaciones de rendimientos entre activos financieros. Seguramente, usted realizará inversiones en su vida y deseará comparar sus desempeños. Aquí, la denominada «tasa equivalente» juega un rol fundamental para comparar rendimientos expresados en diferentes plazos.
• Evaluar un proyecto de inversión. Si trabaja en finanzas, muy posiblemente le toque algún día tener que evaluar la bondad financiera de un proyecto de inversión. Para ello, necesitará conocer en detalle las técnicas del valor presente neto y la tasa interna de rentabilidad, entre otros métodos.
• Medición del desempeño de una inversión en bonos. La inversión en bonos puede llegar a ser muy sofisticada y para realizar un análisis exhaustivo precisará contar con sólidos conocimientos de matemáticas financieras y también técnicas de evaluación de proyectos de inversión.
• Evaluar alternativas de financiamiento y préstamos. Cuando deba financiar una inversión o analizar un préstamo para comprar su vivienda, verá que le serán muy útiles los conocimientos del capítulo sobre préstamos, donde tratamos las diferentes modalidades que los bancos suelen ofrecer.
• Planificar sus finanzas personales y su jubilación. Todos debemos tomar conciencia sobre la importancia de planificar nuestras metas y necesidades futuras; en este sentido, las matemáticas financieras resultan de imprescindible ayuda para establecer un buen emparejamiento entre nuestros recursos y necesidades.
